MAT1085 Chapitre 2 Probabilités Solutions 2.1 Soit A et B deux

MAT1085
Chapitre 2 Probabilités
Solutions
2.1 Soit A et B deux événements tels que P(A)  0,4, P(B)  0,3. Déterminer P(A  B) pour chacune des hypothèses
suivantes.
a) P(A  B) = 0,1 0,6 b) A et B sont disjoints 0,7 c) B  A 0,4
d) P(A  Bc) = 0,15 0,45 e) A et B sont indépendants 0,58 f) P(A|B)  0,8 0,46
2.2 a) Soit P(A) = 0,3, P(B) = 0,5, P(AB) = 0,7. Trouver :
(i) P(AB), 0,1 (ii) P(AcBc), 0,3 (iii) P(BAc) 0,8
b) Soit A et B deux événements incompatibles, et soit P(A) = 0,4, P(B) = 0,3. Calculer P(AcBc). 1
2.3 On tire au hasard une personne d'une certaine population. Considérons les événements suivants :
A : La personne choisie a les yeux bleus
B : La personne choisie a les yeux bruns
C : La personne choisie a les cheveux blonds
D : La personne choisie est en faveur de la peine capitale pour tout meurtre
E : La personne choisie est en faveur de la peine capitale pour le meurtre d'un policier
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Discutez.
a) A et B sont indépendants F b) A et B sont incompatibles V c) P(AB) = 0 F
d) E  D F e) P(A|C) > P(A) V (probablement) f) A et D sont indépendants V (probablement)
g) B et D sont incompatibles F h) P(D) > P(E) F i) P(D|E) = P(D)/P(E) V
j) P(E|D) = 1 V k) P(DE) = P(E). V
2.4 Un petit restaurateur emploie 3 serveurs. Il constate que les 5 dernières assiettes cassées accidentellement ont été
cassées par le même serveur, Louis Lacasse. Peut-il conclure que Louis est particulièrement maladroit ?
Sous l’hypothèse que lorsqu’il y a un bris, la probabilité que ce soit Louis le coupable est de 1/3 comme tout le monde, la probabilité que ce
soit Louis qui casse les 5 fois est (1/3)5 = 1/243 = 0,0041, très faible. Donc cette hypothèse est intenable et Louis doit avoir une probabilité >
1/3 d’être le coupable. Il est maladroit.
2.5 Dans un certain pays, la probabilité qu'un bébé atteigne l'âge de 50 ans est de 90% ; la probabilité qu'il atteigne
l'âge de 70 ans est de 80%. Quelle est la probabilité qu'une personne de 50 ans atteigne l'âge de 70 ans ?
Soit A l’événement « un bébé atteint l’âge de 50 ans » et B l’événement « il atteint l’âge de 70 ans ». On demande la probabilité P(B|A) =
P(AB)/P(A) = P(B)/P(A) = 8/9 [Nous utilisons le fait que AB = B].
2.6 On tire au hasard un compte à payer parmi les comptes pour lesquels un chèque a été émis en paiement. Soit A
l'événement « le chèque a été émis en retard » ; B l'événement « le chèque est sans provision ». Supposons que
P(A)  0,60 et P(B)  0,10.
a) Imaginez un argument pour montrer que A et B pourraient être dépendants. Déduire de cet argument que
P(AB) > P(A) P(B) ou que P(A  B) < P(A) P(B).
Il est plausible que P(B |A) > P(B) (quelqu’un qui remet un chèque en retard ne prend peut-être pas très au sérieux ses
obligations financières). Alors P(AB) = P(A)P(B|A) > P(B)P(A).
b) Supposons que P(A B)  0,08. Calculez la probabilité
(i) que le chèque soit émis en retard ou soit sans provision ; P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) = 0,62
(ii) que le chèque soit bon mais qu'il ait été émis en retard ; P(ABc) = P(A)-P(AB) = 0,52
(iii) que le chèque soit émis en retard étant donné qu'il est sans provision ; P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0,8
(iv) que le chèque soit bon étant donné qu'il a été remis en retard. P(Bc|A) = P(ABc)/P(A) = 0,52/0,6.
2.7 L'enfant d'un certain couple a, pour des raisons génétiques, une probabilité de 1/4 d'être atteint d'une certaine
maladie. Si le couple en question a 3 enfants, calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
a) Les 3 sont malades (¼)3 = 1/64
b) Aucun des trois n'est malade (3/4)3 = 0,421875
c) Au moins un des trois est malade 1-(1/4)3 = 0,984375
d) Les deux premiers sont malades mais pas le troisième (1/4)(1/4)(3/4) = 0,046875
e) Les deux premiers sont malades (1/4)(1/4) = 0,0625
f) Exactement deux des enfants sont malades

MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 2
MAT1085.02.Sols.A12 2 21 octobre 2012
Désignons par « m » une naissance malade et par « s » une naissance saine. L’événement « Deux des enfants sont malades » est
l’ensemble des résultats {mms ; msm ; smm}. La probabilité de chacun est (1/4)(1/4)(3/4). Don la probabilité de l’événement est
3(1/4)(1/4)(3/4) = 0,140625
2.8 La probabilité qu'une femme vive 60 ans ou plus est 0,9096 ; la probabilité qu'elle vive 61 ans ou plus est 0,9019.
Quelle est la probabilité qu'une femme de 60 ans vive au moins une année de plus ?
Soit B l’événement « elle vit jusqu’à 61 ans ou plus » et A l’événement « elle vit jusqu’à 60 ans ou plus ». La probabilité demandée est P(B|A)
= P(AB)/P(A) = 0,9019/0,9096 = 0,9915.
2.9 Supposons que P(avoir une fille)  P(avoir un garçon). Si une famille a deux enfants, quelle est la probabilité
qu'elles soient toutes deux des filles.
a) Étant donné que l'aînée est une fille ?
L’espace échantillon est {FF,FG,GF,GG}. Soit B l’événement « Les deux sont des filles » et A l’événement « l’ainée est une fille ». B =
{FF} et A={FG, FF} . P(B|A) = P(AB)/P(A) = P({FF})/P({FG,FF}) = ½.
Ou encore, la condition que l’ainée est une fille restreint l’espace échantillon à {FF,FG} et c’est dans cet espace qu’on calcule la
probabilité que les enfants soient des filles, soit {FF}, donc ½.
b) Étant donné qu'au moins l'une d'elles est une fille ?
Soit C l’événement « Au moins l’une d’elles est une fille ». C = {GF, FG, FF}. P(B|C) = P(BC)/P(C) = P(B)/P(C) = 1/3.
Ou encore, la condition qu’au moins l’une d’elle est une fille réduit l’espace échantillon à {FF,FG,GF} et la porbabilité de {FF} dans cet
espace restreint est 1/3.
2.10 On lance deux dés. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un 6 ? 1-P(n’avoir aucun 6) = 1-(5/6)2 = 0,3055556. Quelle
est la probabilité d'avoir au moins un 6, sachant que les deux résultats sont différents ? Soit B l’événement « Avoir
au moins un 6 » et A l’événement « Les deux résultats sont différents ».
P(B|A) = P(AB)/P(A). P(AB) = P({(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}) et P(A) = 1-6(1/6)(1/6) = 5/6. Donc P(B|A)
= P(AB)/P(A) = (10/36)/(5/6) = 1/3.
2.11 Supposons que 5 % des hommes et 0,25 % des femmes sont daltoniens. On choisit un daltonien au hasard. Quelle
est la probabilité que ce soit un homme ? (Supposez que la probabilité de tomber sur un homme est 1/2 a priori).
Soit D l’événement « La personne est daltonienne » et H « La personne est un homme ». On a P(D|H) = 0,05 et P(D | Hc) = 0,0025. On
cherche P(H | D) = P(HD)/P(D). P(HD) = P(H)P(D|H) = (1/2)(0,05) ; P(D) = P(DH)+P(DHc) = P(H)P(D|H)+P(Hc)P(D|Hc) =
(1/2)(0,05)+(1/2)(0,0025) = 0,02625. Alors P(H | D) = (1/2)(0,05)/0,02625 = 0,952381.
2.12 La boîte A contient une bille noire et une blanche ; la boîte B contient deux noires et une blanche. On choisit une
boîte au hasard, puis une boule dans la boîte. Quelle est la probabilité que la boule soit noire ? 0,583333
2.13 Trois sacs contiennent chacun deux boules. Le sac A contient 2 noires, le sac B 2 rouges, et le sac C 1 rouge est
une noire. On choisit un sac au hasard, puis une boule dans le sac. Elle est rouge. Quelle est la probabilité que la
prochaine boule, tirée dans le même sac, soit noire
(i) si on remet la première boule dans le sac avant d’en tirer une deuxième ?
Soit R : « La première boule est rouge », B : « La 2e boule est noire ». P(R) = (1/3)(0)+(1/3)(1)+(1/3)(1/2) = ½ ; P(B|R)=P(RB)/P(R) ;
P(RB) = (1/3)(0)+(1/3)(0)+(1/3)(1/4)= 1/12. Alors P(B|R) = (1/12)/(1/2)= 1/6.
(ii) Si on ne remet pas la première boule dans le sac ?

MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 3
MAT1085.02.Sols.A12 3 21 octobre 2012
P(B|R)=P(RB)/P(R) ; P(RB) = (1/3)(0)+(1/3)(0)+(1/3)(1/2)= 1/6. Alors P(B|R) = (1/6)/(1/2) = 1/3.
2.14 Vous entreprenez un voyage qui doit s'effectuer sur 3 lignes aériennes, A, B et C, dans cet ordre. La probabilité
qu'une ligne perde les bagages que vous lui confiez est 0,4 pour A, 0,2 pour B et 0,1 pour C. Vous avez perdu vos
bagages. Quelle est la probabilité que ce soit A qui les ait perdus ?
Soit A : « A perd vos bagages » ; B : « B les perd » ; V : « C les perd » ; D = « Vos bagages sont perdus ». On cherche P(A|D) =
P(AD)/P(D). P(D) = 1-(1-0,4)(1-0,2)(1-0,1) = 0,568 ; P(AD) = P(A) = 0,4. Donc P(A|D) = 0,4/0,568 = 0,7042254.
2.15 Lors de la transmission de signaux numériques, des « 0 » et des « 1 » sont envoyés dans la proportion 3 :4 (4 « 1 »
pour chaque 3 « 0 »). À cause de certains bruits dans la transmission, un « 0 » devient un « 1 » avec probabilité 1/4
et un « 1 » devient un « 0 » avec probabilité 1/3. Si on reçoit un « 0 », quelle est la probabilité qu'il ait été envoyé
comme « 0 » ?
Soit A : « Un 0 est transmis » et B : « Un 0 est reçu ». P(A|B) = P(AB)/P(B). P(AB) = (3/7)(3/4)= 9/28. P(B) = P(AB)+P(AcB) =
(3/7)(3/4)+(4/7)(1/3) = 9/28+4/21= 43/84. Donc P(A|B) = (9/28)/(43/84)=27/43= 0,627907.
2.16 Vous tirez 3 fois sur une cible. La probabilité d'atteindre la cible au premier coup est p. La probabilité à
chacun des essais suivants est p ou p/2 selon que vous avez réussi ou pas à l'essai précédent. Quelle est
la probabilité d'atteindre la cible au moins 3 fois ? 2 fois ? 1 fois ? 0 fois ?
Voici les valeurs de la fonction de masse : p(0) = (1-p)(1-p/2)2 ; p(1) = p(1-p)(8-5p)/4 ; p(2) = 2p2(1-p) ; p(3) = p3.
2.17 Une femme doit acheter une blouse ou une jupe. Il y a un choix de 3 blouses et 2 jupes. Si elle n'achète
qu'un objet, de combien de façons peut-elle faire son choix ? 5, évidemment.
S'il lui est possible d'acheter et une blouse et une jupe, de combien de façons peut-elle faire son choix ?
Ila d’abord les 5 façons de choisir un seul objet; ensuite, si elle choisit 2 objets, le nombre de façons de le faire est 32 (3 fa¸ons de choisir la
blouse et 3 façons de choisir la jupe). Donc en tout 5 + 3×2 = 11 façons.
2.18 De combien de façons 4 filles et 4 garçons peuvent-ils s'accoupler ?
4! = 24 (4 façons de choisir le partenaire de la fille 1, 3 façons de choisir celui de la fille 2, etc.)
De combien de façons peuvent-ils s'asseoir sur un banc en alternant fille et garçon ?
Les garçons peuvent occuper les places paires (2,4,6,8) ou impaires. Pour chacune de ces 2 possibilités il y a 4! de placer les garçons et 4!
façons de placer les filles. Donc 2×4!×4! = 1152 façons en tout.
2.19 On tire avec remise 8 cartes d'un jeu de 10 cartes qui consiste en 3 as, 2 rois, 2 reines et 3 valets. Quelle est la
probabilité d'avoir 2 as, 3 rois et 3 valets (et pas de reine) ?
a) dans cet ordre (0,3)(0,3)(0,2)(0,2)(0,2)(0,3)(0,3)(0,3) = 0,00001944 ;
b) dans un ordre quelconque
Pour tout ordre, la probabilité des 0,00001944. Il faut maintenant multiplier cette probabilité par le nombre d’ordres possibles de 3 as, 2 rois 3
reines et 3 valets, soit
8!
2!3!3!
. La probabilité est donc
8!
2!3!3!
× 0,00001944= 0,0108864.
2.20 On lance un dé 9 fois. Quelle est la probabilité d'avoir le "1", le "3" et le "5" deux, trois et quatre fois,
respectivement.
La probabilité d’obtenir 1,1,3,3,3,5,5, dans cet ordre, est (1/6) 9 . Il faut maintenant multiplier cette probabilité par le nombre de façons de
permuter les objets 1,1,3,3,3,5,5, soit
9!
2!3!4!
. La probabilité est donc
9!
2!3!4!
(1/6) 9 = 35/279936 = 0,000125028578.
2.21 D'une assemblée formée de 20 étudiants de 3e année, 15 de 2e année et 10 de 1ère année, on constitue un
comité de 5 personnes. Quelle est la probabilité que le comité comprenne 2 étudiants de 3e, 2 de 2e et 1 de 1ère ?
Il y a
20
2
façons de choisir les deux étudiants de 3e ,
15
2
façons de choisir les deux étudiants de 2e
10
1
façons de choisir l’étudiant de 1ère
. Le nombre de façons de choisir 5 étudiants est
45
5
. La probabilité voulue est donc
20 15 10
1
22
45
5
= 9500/58179 = 0,1632891593.
2.22 Au numéro précédent, supposons que vous savez que le comité comprend exactement un étudiant de première.
Quelle est la probabilité conditionnelle qu'il y ait 2 étudiants de 3e, 2 de 2e et 1 de 1ère ?
Si vous savez qu’il y a déjà un étudiant de 1ère, il suffit que calculer la probabilité que parmi les 4 autres il y ait 2 de 2e et 2 de 3e, soit
20 15
22
35
4
1
= 285/748 = 0,3810160428. Si on veut le faire formellement, on pose A = le comité comprend exactement un étudiant de 1ère,
et B = le comité comprend 2 étudiants de 3e, 2 de 2e et 1 de 1ère . P(B|A) = P(AB)/P(A). Or B  A, donc P(B|A) = P(AB)/P(A) =

MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 4
MAT1085.02.Sols.A12 4 21 octobre 2012
P(B)/P(A). On sait que P(B) =
20 15 10
1
22
45
5
. Quant à P(A), pour qu’il y ait exactement une personne de première, il faut choisir cette
personne (10 façons) et ensuite choisir 4 autres parmi les 35 des années 2 et 3. On a donc P(A) =
10 35
14
45
5
. On a donc P(B)/P(A) =
20 15
22
35
4
1
.
2.23 On permute au hasard les lettres A, B, C, D, E. Quelle est la probabilité que les lettres A et B ne soient pas
séparées par d'autres lettres ?
Le nombre total de permutations est 5! Maintenant considérons la paire AB comme un seule un seul objet. On a alors 4! permutations des
objets AB, C, D, et E. Mais dans chacune de ces permutations, les objets A et B peuvent se présenter dans l’ordre AB ou BA. Donc le nombre
total de permutations dans lesquelles A et B ne sont pas séparés est 2×4! et la probabilité demandée est 2×4!/5! = 0,4.
2.24 On lance un dé 5 fois. Quelle est la probabilité que les 5 résultats soient différents ?
6
5
5
A
6
= 0,0925925920
Quelle est la probabilité que chaque résultat soit supérieur au précédent ?
6
5
5
6
= 0,0007716049383
2.25 25 personnes sont assises dans une salle d'attente. Quelle est la probabilité qu'au moins 2 personnes aient la même
date de naissance. [Vous supposerez que pour chaque personne, la date de naissance peut-être l'une des 365 dates
possibles avec probabilité 1/365] 1-P(les 25 dates sont différentes) = 1-
365
2525
A
365
= 0,568699704.
2.26 Dans un bar, il y a 9 tabourets et 5 clients sont assis. Quelle est la probabilité que les sièges occupés et les sièges
vides s'alternent ?
Le nombre de façons de placer les clients est
9
5
; le nombre de façons de les placer en alternance est 1. La probabilité est donc
9
5
1
=
0,0079365079.
2.27 On place au hasard n boules dans n cases. Quelle est la probabilité qu'exactement une case soit vide ?
nn façons de placer les boules.
2
2n
façons de choisir la case qui sera vide et celle qui contiendra 2 boules ;
2
n
façons de choisie les 2 boules
contenues dans la case qui contiendra 2 boules ; (n-2)! façons de placer les n-2 boules qui restetd dans les n-2 cases qui restent. La probabilité
est donc
22
2 ( 2)!
nn
n
n
n
= n2(n-1)2(n-2)!/(2nn).
2.28 15 étudiants doivent se répartir en trois équipes de 5. S'il y a 3 génies dans la classe, quelle est la probabilité qu'il
y en ait un dans chaque équipe ?
Le nombre de façons de répartir 15 personnes en 3 groupes de 5 est
15
5;5;5 15!
5!5!5!
=756756. Il y a 3! façons de les placer dans les 3 équipes,
puis
12
4;4;4 12!
4!4!4!
= 34650. La probabilité demandée est donc 6(34650)/756756 = 25/91 = 0,2747252747.
Quelle est la probabilité qu'ils soient tous dans la même équipe ?
Il y a 3 façons de choisir l’équipe qui les contiendra,
12
2;5;5 12!
2!5!5!
de placer les 12 autres, donc 49896 façons en tout de placer les 3 génies
dans un même groupe. La probabilité est dont 49896/756756 = 6/91 = 0,06593406593.
2.29 Huit personnes sont placées en rang.
a) Quelle est la probabilité qu’Alice et Bernard soient assis ensemble ? 2(7!)/8!=1/4
b) S’il y a 4 hommes et 4 femmes, quelle est la probabilité qu’il y ait alternance homme/femme ?
8
4
2
= 1/35 = 0,0285714286
c) S’il y a 5 hommes et 3 femmes, quelle est la probabilité que les hommes soient assis ensembles ?
8
5
4
= 1/14 = 0,07142857

MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 5
MAT1085.02.Sols.A12 5 21 octobre 2012
d) Si les huit personnes forment 4 couples mariés, quelle est la probabilité que les couples ne soient pas
séparés ?
4
2 4!
8!
= 1/105= 0,0095238095
2.30 La langue hawaïenne compte 12 lettres, 5 voyelles et 7 consonnes. On forme au hasard un mot de 5 lettres
(n’importe quelle suite de 5 lettres, répétitions permise). Quelle est la probabilité que le mot soit prononçable
(c’est-à-dire, qu’il n’y ait pas deux consonnes contiguës ni 2 voyelles contiguës.
3 2 2 3
5
7 5 7 5
12
= 0,0590760031
2.31 Chacun des 200 délégués à un congrès des Nations Unies sert la main de tout le monde. Combien y a-t-il de
poignées de mains ?
200
2
= 19900.
2.32 Six étudiants forment une équipe pour collaborer à un devoir comprenant 8 problèmes. Donc deux personnes
devront en faire deux chacun et les quatre autres un chacun. Combien y a-t-il de façons de faire cette attribution ?
6
2
façons de choisir les deux étudiants qui en feront 2 chacun ;
86
22
façons de leur attribuer 2 tâches chacun ; et 4! façons d’attribuer une
tâche chacun aux quatre autres. Donc le nombre de façons est
6 8 6
222
4!
= 151200.
2.33 En Braille, les lettres sont représentées par une configuration de points surélevés et non surélevés dans une
matrice comme celle-ci ,
oo
oo
oo
, ou celle-ci,
o
oo
oo
ou encore celle-ci
o
o
oo
. Combien peut-on former de lettres en Braille ?
64 Est-ce que 4 points auraient suffi ? On peut former 24 = 16 lettres avec 4 points, ce qui ne suffit pas.
2.34 Trois Québécois, 4 Français et 5 Anglais s’assoient au hasard sur un banc.
a) Quelle est la probabilité que les personnes de même nationalité soient assises l’une à côté de l’autre ?
Le nombre de façons de placer ces 12 personnes (en ne tenant compte que de la nationalité et non de l’identité des personnes) est
12
3;4;5
= 27720. Il y a 3! façons de les ranger sans séparer les personnes de même nationalité. La probabilité est donc 3!/27720 = 1/4620 =
0,0002164502165.
b) Quelle est la probabilité qu’aucun Anglais ne soit assis à côté d’un autre Anglais ?
8
5
12
5
= 7/99 = 0,07070707
2.35 On lance un dé 10 fois.
a) Quelle est la probabilité qu’aucun des résultats 3, 4, 5, et 6 n’apparaissent ? (2/6)10 =1/59049.
b) Quelle est la probabilité que les numéros 1 et 2 apparaissent au moins une fois chacun et que seuls ceux-ci
apparaissent ? (2/6)10-2(1/6)10 = 0,00001690201147.
2.36 On forme au hasard des « mots » de n lettres choisies parmi les lettres A à Z. [Un « mot » est une suite de n
lettres, répétitions permises]
a) Quelle est la probabilité qu’une même lettre ne figure pas deux fois consécutives ? 26(25)n-1/26n = (25/26)n-1
b) Quelle est la probabilité que la lettre A apparaissent m fois (m ≤ n) ?
1 25
26 26
m n m
n
m
=
(25) 26
n n m n
m
.
2.37 On a tiré au hasard (et sans remise) un échantillon de 8 maisons dans un quartier qui en compte 60. Votre maison
est l’une des 12 situées dans un cul-de-sac.
a) Quelle est la probabilité que votre maison ait été sélectionnée ?
59
7
60
8
= 2/15 = 0,13333.
b) Quelle est la probabilité que votre maison ainsi que celle de votre voisine aient été sélectionnées ?
58
6
60
8
= 14/885=0,015819209
c) Quelle est la probabilité qu’au moins une des 12 maisons du cul-de-sac aient été sélectionnée ?
1-P(Aucune n’est sélectionnées) = 1-
48
8
60
8
= 0,8525185968