MTH1101: Approximations linéaire et quadratique

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MTH1101: Approximations linéaire et quadratique
Formule de Taylor d’une fonction à deux variables
Erreur de l’approximation linéaire et quadratique
MTH1101: Approximations linéaire et quadratique
Issmail El Hallaoui
Polytechnique Montréal,
Département de Mathématiques et de Génie Industriel
Issmail El Hallaoui
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Formule de Taylor d’une fonction à deux variables
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Formule de Taylor d’une fonction à deux variables
Erreur de l’approximation linéaire et quadratique
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Rappel : Soit f une fonction à une variable, alors les polynômes de Taylor de
degré 1 et 2 sont respectivement
P1 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) et P2 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + 12 (x − a)2
Hypothèse : Soit f une fonction à deux variables et deux fois diférentiable en
P(a, b)
Approximations linéaire et quadratique
Le polynôme de Taylor de degré 1 qui approxime f autour du point P(a, b) est
donné par :
L(x, y ) = f (a, b) + fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b)
Le polynôme de Taylor de degré 2 qui approxime f autour du point P(a, b) est
donné par :
Q(x, y ) =f (a, b) + fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b) +
+ fxy00 (a, b)(x − a)(y − b) +
Issmail El Hallaoui
1 00
fxx (a, b)(x − a)2
2
1 00
fyy (a, b)(y − b)2
2
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Remarque
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Si f s’écrit sous la forme f (x, y ) = p(x).q(y ) avec p, q : R → R alors
L(x, y ) = P1 (x).Q1 (y ) approxime f autour de (a, b)
Q(x, y ) = P2 (x).Q2 (y ) approxime f autour de (a, b)
où Pi est le polynôme de taylor de degré i de p autour de a, et Qi le polynôme
de taylor de degré i de q autour de b.
Propriété
En se basant sur les développements de Taylor avec une seule variable, il est
possible de déduire le développement de Taylor des fonctions à deux variables
autour du point P(0, 0), en se ramenant au cas de fonction avec une seule
variable.
Exemples : donner le développement de Taylor des fonctions suivantes autour
du point (0, 0). a) f (x, y ) = e x+y , b)f (x, y ) = cos xy ,
c)f (x, y ) = ln (1 + x + y ).
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Théorème
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Soient f : R2 → R, (a, b) ∈ R2 et d ∈ R+ .
On suppose que f est différentiable sur
D = {(x, y ) tel que k(a, b) − (x, y )k ≤ d}.
Soit L(x, y ) (resp. Q(x, y )) le développement de Taylor de f de degré 1 (resp.
2) autour de (a, b).
S’il existe ML tel que ML ≥ max(x,y )∈D {|fxx00 (x, y )|, |fxy00 (x, y )|, |fyy00 (x, y )|}
alors
|f (x, y ) − L(x, y )| ≤ ML k(x, y ) − (a, b)k2
S’il existe MQ tel que
000
000
000
000
MQ ≥ max(x,y )∈D {|fxxx
(x, y )|, |fxxy
(x, y )|, |fxyy
(x, y )|, |fyyy
(x, y )|} alors
√
2
|f (x, y ) − Q(x, y )| ≤
MQ k(x, y ) − (a, b)k3
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Issmail El Hallaoui
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