MTH1101: Approximations linéaire et quadratique

Draft
MTH1101: Approximations lin´eaire et quadratique
Formule de Taylor d’une fonction `a deux variables
Erreur de l’approximation lin´eaire et quadratique
MTH1101: Approximations lin´eaire et quadratique
Issmail El Hallaoui
Polytechnique Montr´eal,
D´epartement de Math´ematiques et de G´enie Industriel
Issmail El Hallaoui MTH1101: Approximations lin´eaire et quadratique

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Formule de Taylor d’une fonction `a deux variables
Erreur de l’approximation lin´eaire et quadratique
1Formule de Taylor d’une fonction `a deux variables
2Erreur de l’approximation lin´eaire et quadratique
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Formule de Taylor d’une fonction `a deux variables
Erreur de l’approximation lin´eaire et quadratique
Rappel : Soit f une fonction `a une variable, alors les polynˆomes de Taylor de
degr´e 1 et 2 sont respectivement
P1(x) = f(a) + f0(a)(x−a) et P2(x) = f(a) + f0(a)(x−a) + 1
2(x−a)2
Hypoth`ese : Soit fune fonction `a deux variables et deux fois dif´erentiable en
P(a,b)
Approximations lin´eaire et quadratique
Le polynˆome de Taylor de degr´e 1 qui approxime fautour du point P(a,b) est
donn´e par :
L(x,y) = f(a,b) + f0
x(a,b)(x−a) + f0 y(a,b)(y−b)
Le polynˆome de Taylor de degr´e 2 qui approxime fautour du point P(a,b) est
donn´e par :
Q(x,y) =f(a,b) + f0
x(a,b)(x−a) + f0 y(a,b)(y−b) + 1
2f00
xx (a,b)(x−a)2
+f00
xy (a,b)(x−a)(y−b) + 1
2f00
yy (a,b)(y−b)2
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Formule de Taylor d’une fonction `a deux variables
Erreur de l’approximation lin´eaire et quadratique
Remarque
Si fs’´ecrit sous la forme f(x,y) = p(x).q(y) avec p,q:R→Ralors
L(x,y) = P1(x).Q1(y) approxime fautour de (a,b)
Q(x,y) = P2(x).Q2(y) approxime fautour de (a,b)
o`u Piest le polynˆome de taylor de degr´e ide pautour de a, et Qile polynˆome
de taylor de degr´e ide qautour de b.
Propri´et´e
En se basant sur les d´eveloppements de Taylor avec une seule variable, il est
possible de d´eduire le d´eveloppement de Taylor des fonctions `a deux variables
autour du point P(0,0), en se ramenant au cas de fonction avec une seule
variable.
Exemples : donner le d´eveloppement de Taylor des fonctions suivantes autour
du point (0,0). a) f(x,y) = ex+y, b)f(x,y) = cos xy ,
c)f(x,y) = ln (1 + x+y).
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Formule de Taylor d’une fonction `a deux variables
Erreur de l’approximation lin´eaire et quadratique
Th´eor`eme
Soient f:R2→R,(a,b)∈R2et d∈R+.
On suppose que fest diff´erentiable sur
D={(x,y)tel que k(a,b)−(x,y)k ≤ d}.
Soit L(x,y)(resp. Q(x,y)) le d´eveloppement de Taylor de fde degr´e 1(resp.
2) autour de (a,b).
S’il existe MLtel que ML≥max(x,y)∈D{|f00
xx (x,y)|,|f00 xy (x,y)|,|f00 yy (x,y)|}
alors
|f(x,y)−L(x,y)| ≤ MLk(x,y)−(a,b)k2
S’il existe MQtel que
MQ≥max(x,y)∈D{|f000
xxx (x,y)|,|f000 xxy (x,y)|,|f000 xyy (x,y)|,|f000 yyy (x,y)|} alors
|f(x,y)−Q(x,y)| ≤ √2
3MQk(x,y)−(a,b)k3
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