Compactification de Schémas Abéliens Dégénérant au

Documenta Math. 57
Compactification de Sch´ emas Ab´ eliens
D´ eg´ en´ erant au-dessus d’un Diviseur R´ egulier
Sandra Rozensztajn
Received: September 9, 2005
Revised: Novmber 16, 2005
Communicated by Peter Schneider
Abstract. We consider a semiabelian scheme Gover a regular base
scheme S, which is generically abelian, such that the points of the
base where the scheme is not abelian form a regular divisor S0. We
construct a compactification of G, that is a proper flat scheme Pover
the base scheme, containing Gas a dense open set, such that PS0
is a divisor with normal crossings in P. We also show that given an
isogeny between two such semiabelian schemes, we can construct the
compactifications so that the isogeny extends to a morphism between
the compactifications.
2000 Mathematics Subject Classification: 11G10, 11G18, 14G35,
14K05
Introduction
Dans l’article [Mum72], Mumford construit une vari´et´e ab´elienne d´eg´en´erante,
c’est-`a-dire un sch´ema semi-ab´elien qui est g´en´eriquement ab´elien `a partir d’un
ensemble de donn´ees, dites donn´ees de d´eg´en´erescences, qui consistent en un
tore d´eploy´e de rang constant sur une base compl`ete, et en un groupe de
p´eriodes. Il obtient au cours de sa construction une compactification du sch´ema
semi-ab´elien, c’est-`a-dire un sch´ema propre contenant le sch´ema semi-ab´elien
comme ouvert dense, et muni d’une action de celui-ci prolongeant son action
sur lui-mˆeme par translation.
Faltings et Chai dans [CF90] utilisent cette construction pour obtenir des com-
pactifications des vari´et´es de Siegel et de leur sch´ema ab´elien universel. Ils ex-
posent ce faisant comment associer `a un sch´ema ab´elien d´eg´en´erant l’ensemble
des donn´ees de d´eg´en´erescence qui permettent de le retrouver en utilisant la
technique de Mumford.
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Grˆace `a ces m´ethodes, K¨unnemann, dans [K¨un98], construit des compac-
tifications r´eguli`eres de sch´emas semi-ab´eliens sur un anneau de valuation
discr`ete dont la fibre g´en´erique est ab´elienne. G´en´eralisant sa technique, nous
construisons des compactifications de sch´emas ab´eliens sur une base r´eguli`ere
d´eg´en´erant le long d’un diviseur r´egulier. La m´ethode requiert l’utilisation
d’un faisceau inversible sym´etrique ample sur le sch´ema semi-ab´elien. En vertu
du corollaire XI 1.16 de [Ray70], tout sch´ema semi-ab´elien de fibre g´en´erique
ab´elienne sur une base r´eguli`ere peut ˆetre muni d’un tel faisceau, nous n’intro-
duisons donc pas de restriction en imposant son existence.
Notre construction a pour application de permettre une compactification des
vari´et´es de Shimura associ´ees `a certains groupes unitaires et de leur sch´ema
ab´elien universel, donnant ainsi des r´esultats similaires `a ceux de Chai et Fal-
tings pour les vari´et´es de Shimura associ´ees aux groupes symplectiques expos´es
dans [CF90].
Avant d’´enoncer le th´eor`eme, introduisons les d´efinitions suivantes.
D´ efinition 1.Sest un sch´ema r´egulier noeth´erien, et S0un diviseur r´egulier
de S,Wl’ouvert compl´ementaire de S0.Gest un sch´ema semi-ab´elien sur S,
qui est de rang constant sur S0, et tel que GWest un sch´ema ab´elien, et Lest
un faisceau inversible sym´etrique ample sur G.
Remarque 1.Comme Gest de rang constant sur S0, il y est globalement
extension d’un sch´ema ab´elien par un tore, d’apr`es le corollaire 2.11 de [CF90].
D´ efinition 2.On appelle compactification de Gla donn´ee d’un sch´ema P
propre, plat et r´egulier sur Stel que G⊂P, poss´edant les propri´et´es suivantes :
1. Gest dense dans P, et agit sur Ppar prolongement de son action par
translation sur lui-mˆeme.
2. Get Pco¨ıncident sur W
3. il existe un entier kpositif tel que L⊗kse prolonge en un faisceau LP
ample sur P
4. P0est un diviseur `a croisements normaux dans P
Le th´eor`eme s’´enonce alors :
Th´ eor` eme 1.Il existe des compactifications de G.
On a mˆeme la propri´et´e suivante de prolongement des morphismes :
Th´ eor` eme 2.Soit G1et G2comme dans la d´efinition 1, et fun morphisme
de S-sch´emas en groupes G1→G2, qui induit une isog´enie fη:G1η→G2η.
Alors il existe deux compactifications P1,P2de G1et G2et un morphisme
¯
f:P1→P2prolongeant f.
L’´enonc´e ne fait aucune hypoth`ese d’existence de faisceaux amples sur G1et
G2, qui r´esulte en fait des autres conditions du th´eor`eme : d’apr`es la preuve de
la proposition XI 1.2 de [Ray70], du fait que fηest de noyau fini, il existe un
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faisceau inversible ample sym´etrique L2sur G2tel que L1=f∗L2soit aussi
ample. Nous supposerons dor´enavant deux tels faisceaux fix´es.
Pour prouver ces th´eor`emes, nous allons d’abord ´etudier une situation locale
(base affine, compl`ete) dans le paragraphe 2, puis voir comment on peut d´eduire
le r´esultat global d’un r´esultat local, dans le paragraphe 3.
1 D´ ecoupage du probl` eme
Dans tout ce paragraphe on va se placer dans un cas particulier : le cas o`u la
base Sest irr´eductible et est compl`ete par rapport au sous-sch´ema S0.
Le passage du cas complet au cas non complet est expliqu´e au paragraphe 3.3.
D’autre part, S´etant r´egulier, les composantes irr´eductibles de Scorrespondent
`a ses composantes connexes, on peut donc travailler composante par compo-
sante. Observons enfin que S´etant complet par rapport `a S0,Sest irr´eductible
si et seulement si S0l’est.
1.1 Cas d’un seul groupe
S´etant complet par rapport `a S0, on a une extension associ´ee `a G, appel´ee
extension de Raynaud (pour la construction de cette extension voir [CF90] p.
33, ou [Mor85]) :
0→T→˜ Gπ →A→0
et sur ˜ Gon a un faisceau inversible ample ˜ Lprovenant de L.˜ Gest caract´eris´e
par le fait que c’est un sch´ema semi-ab´elien de rang constant sur Sdont le
compl´et´e formel le long de S0est le mˆeme que celui de G.
D´ efinition 3.On dit que l’extension est d´eploy´ee si le tore Test d´eploy´e,
de groupe des caract`eres constant, et si ˜ Lse descend en un faisceau inversible
ample Msur A.
Lemme 3.Il existe un recouvrement ´etale fini S′de Stel que l’extension de
Raynaud du groupe sur S′obtenu par changement de base soit d´eploy´ee.
D´emonstration. En effet, d’apr`es [D+70], th´eor`eme X 5.16, il existe un tel S′
qui permette d’obtenir un tore d´eploy´e `a groupe de caract`eres constant, car S
est normal et localement noeth´erien. Pour ce qui est de l’existence de M, on
se r´ef`ere `a [Mor85], I.7.2.3.
D´ efinition 4.On appelle d´eg´en´erescence d´eploy´ee la donn´ee d’un triplet
(G, L,M)o`u (G, L)est comme dans les donn´ees et a une extension de Ray-
naud associ´ee d´eploy´ee, et Mest un faisceau cubique inversible sur Atel que
˜
L=π∗M.
Notons que nous appelons ici d´eg´en´er´escence ce qui serait appel´e dans [CF90]
d´eg´en´erescence ample.
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D´ efinition 5.Un morphisme entre d´eg´en´erescences d´eploy´ees (G, L,M)et
(G′,L′,M′)est la donn´ee de f= (fG, fL, fA, fM), o`u fGest un morphisme
G→G′,fLest un isomorphisme f∗
GL′→ L,fA:A→A′est d´eduit de fG,
fMest un isomorphisme f∗
AM′→ M, et enfin fLet fMinduisent le mˆeme
morphisme f∗
˜
G˜
L′→˜ L.
Pour nos donn´ees (G, L) sur le sch´ema Sde d´epart, il existe donc (d’apr`es le
lemme 3) une extension ´etale finie S′de Stelle que les donn´ees (G′,L′) sur S′
obtenues par changement de base forment une d´eg´en´erescence d´eploy´ee (pour
un certain faisceau M′). Comme nous le d´emontrerons dans le paragraphe 3.2,
on peut d´eduire une compactification sur Sd’une compactification sur S′, ce qui
explique que l’on s’int´eresse au cas particulier des d´eg´en´erescences d´eploy´ees.
1.2 Cas d’un morphisme
Pla¸cons-nous maintenant dans les hypoth`eses du th´eor`eme 2. La construction
de Raynaud ´etant fonctorielle, finduit fA,fT,f˜
Gqui font commuter le dia-
gramme suivant :
0−→ T1−→ ˜ G1−→ A1−→ 0
fT↓f˜
G↓fA↓
0−→ T2−→ ˜ G2−→ A2−→ 0
D´ efinition 6.On appelle morphisme d’extensions une telle fl`eche.
Lemme 4.Il existe une extension finie comme dans le lemme 3 qui convienne
`a la fois `a G1et `a G2.
D´emonstration. En effet, si S1convient `a G1et S2convient `a G2,S1×SS2
convient `a G1et G2.
Apr`es une telle extension, on obtient un morphisme de d´eg´en´erescences
d´eploy´ees (G1,L1,M1)→(G2,L2,M2). Remarquons que comme fηest une
isog´enie, le noyau de fest quasi-fini, de sorte que fTet fAsont aussi des
isog´enies.
2 Compactifications locales
Introduisons d`es `a pr´esent des notations. On notera S= SpecR,Il’id´eal
d´efinissant S0et ηle point g´en´erique de S. On notera Sn= SpecR/In+1.
On se restreint dans ce paragraphe au cas o`u Sest irr´eductible, complet par
rapport `a S0et affine. On se donne une d´eg´en´erescence d´eploy´ee (G, L,M), et
un morphisme de d´eg´en´erescences d´eploy´ees f: (G1,L1,M1)→(G2,L2,M2).
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2.1 Compactifications ´ equivariantes
Dans ce cadre plus restrictif que celui de d´epart, nous allons d´emontrer un
th´eor`eme l´eg`erement plus fort.
Soit Hun groupe fini agissant sur S, c’est-`a-dire qu’`a chaque h∈Hest associ´e
un automorphisme hS:S→S, et ce de mani`ere compatible. On suppose que
Hlaisse S0stable.
D´ efinition 7.On dit que Hagit sur la d´eg´en´erescence d´eploy´ee (G, L,M),
si `a chaque h∈Hest associ´e un morphisme de d´eg´en´erescences d´eploy´ees
(G, L,M)→h∗
S(G, L,M), ces morphismes ´etant compatibles entre eux.
D´ efinition 8.L’action de H´etant donn´ee, on dit qu’une compactification est
´equivariante si on peut d´efinir sur (P, LP)une action de Hprolongeant celle
sur (G, L).
Th´ eor` eme 5.Soit Sun sch´ema irr´eductible, affine, complet par rapport `a
S0,(G, L,M)une d´eg´en´erescence d´eploy´ee sur S, et Hun groupe fini agissant
sur cette d´eg´en´erescence. Alors il existe des compactifications ´equivariantes de
(G, L).
Th´ eor` eme 6.Soit Sun sch´ema irr´eductible, affine, complet par rapport `a S0,
(G1,L1,M1)et (G2,L2,M2)deux d´eg´en´erescences d´eploy´ees sur S, et fun
morphisme de d´eg´en´erescences H-´equivariant et tel que finduise une isog´enie
G1η→G2η. Alors il existe des compactifications ´equivariantes P1et P2de G1
et G2, et un prolongement H-´equivariant de fen un morphisme P1→P2.
La suite du paragraphe est consacr´ee `a la preuve de ces th´eor`emes.
2.2 Donn´ ees de d´ eg´ en´ erescence
On peut associer fonctoriellement `a une d´eg´en´erescence d´eploy´ee un en-
semble de donn´ees, appel´e donn´ees de d´eg´en´erescence. Ici aussi nous appe-
lons simplement donn´ees de d´eg´en´erescence ce qui serait appel´e donn´ees de
d´eg´en´erescences amples dans [CF90]. On a en fait une ´equivalence de cat´egories
entre d´eg´en´erescences et donn´ees de d´eg´en´erescence. L’obtention des donn´ees
de d´eg´en´erescence `a partir de la d´eg´en´erescence est l’objet du chapitre II de
[CF90]. La construction inverse, due `a Mumford ([Mum72]), est reprise en par-
tie ici pour obtenir une compactification.
2.2.1 Liste des donn´ ees
Une donn´ee de d´eg´en´erescence consiste en un ensemble :
(A, X, Y , ϕ, c, ct,˜
G, ι, τ, ˜ L,M, λA, ψ), tel que :
1. Aest une vari´et´e ab´elienne sur S.
2. Xet Ysont des faisceaux ´etales en groupes ab´eliens libres de mˆeme rang
fini r, qui sont constants de valeur Xet Y.
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