TP14/15 : Exercices - annales de l`époque Turbo

ECE2-B
2016-2017
TP14/15 : Exercices - annales de l’époque Turbo-Pascal . . .
I Dans votre dossier Info_2a, créez le dossier TP_14.
I. ECRICOME
Exercice (2014)
On considère la fonction f définie sur [0, +∞[ par :

1


f (x) =
x


ln(1 + x)
si x = 0
si x ∈ ]0, +∞[
ainsi que la suite (un )n∈N définie par :
u0 = e et ∀n ∈ N, un+1 = f (un )
I Écrire un programme qui, pour une valeur N fournie par l’utilisateur, calcule et affiche uN .
Problème (2014)
On dispose dans tout l’exercice d’une même pièce dont la probabilité d’obtenir PILE vaut p ∈ ]0; 1[.
On procède à l’expérience : « On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce ».
I Écrire une fonction lancer prenant un paramètre p qui crée un nombre aléatoire dans l’intervalle
[0; 1] et renvoie 1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à p et 0 sinon.
I Écrire une fonction premierPile prenant un paramètre p qui simule autant de lancers de la pièce
que nécessaire jusqu’à l’obtention du premier PILE et renvoie le nombre de lancers effectués.
Indication : on pourra utiliser la fonction lancer en la répétant convenablement.
I Écrire un programme qui demande un réel p à l’utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la
pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du second PILE, et affiche le nombre de FACE obtenus en
tout.
Indication : on pourra utiliser la fonction premierPile en la répétant convenablement.
II. EDHEC
III. EDHEC 2014
Problème
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par :
•
X(Ω) = {−1, 0, 1},
1
P(X = −1) = P(X = 1) = .
4
I Déterminer P(X = 0).
•
1
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On considère alors la v.a.r. Y dont la loi est donnée par :
1
• Y (Ω) =
,1 ,
2
1
3
1
• P Y =
= P(X = −1) + P(X = 0) =
et P (Y = 1) = P(X = 1) =
2
4
4
I On rappelle que grand(1,1,'uin',a,b) permet de simuler une variable aléatoire discrète suivant
la loi uniforme sur Ja, bK. Écrire des commandes Scilab permettant de simuler X puis Y .
III.1. EDHEC 2013
Exercice
Dans cet exercice, la lettre n désigne un entier naturel.
On dispose d’une urne contenant au départ n boules blanches et (n + 2) boules noires.
On dispose également d’une réserve infinie de boules blanches et de boules noires.
Pour tout entier naturel j, on dit que l’urne est dans l’état j lorsqu’elle contient j boules blanches et
(j + 2) boules noires. Au départ, l’urne est donc dans l’état n.
On réalise une succession d’épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant.
Pour tout j ∈ N∗ , si l’urne est dans l’état j, on extrait une boule au hasard de l’urne.
• Si l’on obtient une boule blanche, alors cette boule n’est pas remise dans l’urne et on enlève de plus
une boule noire de l’urne, l’urne est alors dans l’état (j − 1).
• Si l’on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l’urne et on remet en plus une boule
blanche et une boule noire dans l’urne l’urne est alors dans l’état (j + 1).
Dans cette question, on suppose que n = 1 (l’urne contient donc une boule blanche et 3 boules noires) et
on note X1 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l’urne après
la première épreuve et X2 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes
dans l’urne après la deuxième épreuve.
I Compléter le programme suivant pour qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice
et pour qu’il affiche les valeurs des variables aléatoires X1 et X2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
function [X1,X2] = simul()
tirage = grand(1,1,"uin", ... , ...)
if tirage == ... then
X1 = ...
X2 = ...
else
tirage = grand(1,1,"uin", ... , ...)
if tirage <= ... then
X2 = ...
X1 = ...
else
X2 = ...
X1 = ...
end
end
endfunction
2
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Exercice
On se propose d’étudier la suite (un )n∈N , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable
un 2 + 1
pour tout entier naturel n : un+1 =
.
2
I Écrire une fonction qui renvoie la valeur de un .
I En déduire un programme, qui permet de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de n pour
laquelle on a 0 < 1 − un < 10−3 .
III.2. EDHEC 2012
Exercice 3
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note p un réel de ]0; 1[ et on pose q = 1−p.
On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité p et Face avec la probabilité q.
On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l’une des deux situations suivantes :
× soit si l’on a obtenu Pile.
× soit si l’on a obtenu n fois Face.
On note Tn le nombre de lancers effectués, Xn le nombre de Pile obtenus et enfin Yn le nombre de
Face obtenus. On admet que Tn , Xn et Yn sont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un
espace probabilisé (Ω, A , P) que l’on ne cherchera pas à préciser.
I Écrire un programme permettant de simuler ces 3 v.a.r.
Problème
1
Soit λ > 0 et soit U une v.a.r. suivant la loi uniforme sur [0, 1[. On pose W = − ln(1 − U ).
λ
(on démontrait alors que W a même loi qu’une v.a.r. |X| où X était définie précédemment)
I Écrire une fonction qui simule la v.a.r. |X|.
I Vérifier que la probabilité que X prenne des valeurs positives est égale à la probabilité que X
prenne des valeurs négatives.
En déduire une fonction qui simule la v.a.r. X.
III.3. EDHEC 2011
Exercice 3
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de n urnes, numérotées de 1 à
n, contenant chacune n boules. On répète n épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard
et à en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns
des autres. Pour tout i de {1, 2, ..., n} , on note Xi la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’urne
numérotée i contient toujours n boules au bout de ces n épreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
I Écrire un programme informatique qui simule les v.a.r. X1 et N1 pour une valeur n entrée par
l’utilisateur.
Problème
1
Soient U et V des v.a.r. suivant respectivement la loi B
et la loi U([0, 1]).
2
On pose Q = − ln(1 − V ) et R = 2U − 1.
(on démontrait que Q a même loi que X, R a même loi que Y où X et Y sont des v.a.r. définies
précédemment et on notait Z = XY )
I Écrire une fonction permettant de simuler la v.a.r. Z.
3
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IV. EML
IV.1. EML 2014
Exercice
1
On considère l’application ϕ : ]0; +∞[→ R, x 7→ ex − x e x .
On considère la suite réelle (un )n∈N définie par u0 = 3 et : ∀n ∈ N, un+1 = ϕ(un ).
I Écrire un programme qui affiche et calcule le plus petit entier n tel que : un > 103 .
IV.2. EML 2013
Exercice
On considère l’application f : R −→ R définie, pour tout t ∈ R par :
−t ln t + t1/3 si
0<t<1
f (t) =
0
sinon
On suppose démontré que l’équation f 0 (t) = 0 d’inconnue t ∈ ]0, 1[, admet une unique solution, notée
1
α telle que : < α < 1.
e
I Écrire un programme qui calcule et affiche une valeur approchée de α à 10−3 près, mettant en
œuvre l’algorithme de dichotomie.
IV.3. EML 2012
Soit a ∈ R+∗ . On considère une v.a.r. U suivant la loi uniforme sur [0, 1[. On note : Z = a
p
−2 ln(U ).
I Écrire un programme simulant la v.a.r. Z, le réel a strictement positif étant entré par l’utilisateur.
IV.4. EML 2012
On considère l’application f : x 7→ (x + ln(x)) ex−1 définie sur ]0, +∞[.
On considère la suite réelle (un )n∈N définie par u0 = 2 et pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ).
I Écrire un programme qui calcule et affiche le plus entier naturel n tel que un > 1020 .
(la question précédente consistait à démontrer que : ∀n ∈ N, un > en )
V. HEC
Exercice (2014)
Si X est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, A , P), on appelle médiane
de X , tout réel m vérifiant les deux conditions :
P([X 6 m]) >
1
2
et P([X > m]) >
1
2
On admet qu’un tel réel m existe toujours.
Soit N un entier supérieur ou égal à 1. Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans J1, N K.
La loi d’une telle variable X est stockée dans une matrice ligne de taille 1 × N .
I Écrire une fonction mediane prenant en paramètre une matrice ligne représentant la loi d’une telle
variable X et renvoyant la médiane de X.
4