TP14/15 : Exercices - annales de l`époque Turbo

ECE2-B 2016-2017
TP14/15 : Exercices - annales de l’époque Turbo-Pascal . . .
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I. ECRICOME
Exercice (2014)
On considère la fonction fdéfinie sur [0,+∞[par :
f(x) = 
1si x= 0
x
ln(1 + x)si x∈]0,+∞[
ainsi que la suite (un)n∈Ndéfinie par :
u0=e et ∀n∈N, un+1 =f(un)
IÉcrire un programme qui, pour une valeur Nfournie par l’utilisateur, calcule et affiche uN.
Problème (2014)
On dispose dans tout l’exercice d’une même pièce dont la probabilité d’obtenir PILE vaut p∈]0; 1[.
On procède à l’expérience : « On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce ».
IÉcrire une fonction lancer prenant un paramètre pqui crée un nombre aléatoire dans l’intervalle
[0; 1] et renvoie 1si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à pet 0sinon.
IÉcrire une fonction premierPile prenant un paramètre pqui simule autant de lancers de la pièce
que nécessaire jusqu’à l’obtention du premier PILE et renvoie le nombre de lancers effectués.
Indication : on pourra utiliser la fonction lancer en la répétant convenablement.
IÉcrire un programme qui demande un réel pà l’utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la
pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du second PILE, et affiche le nombre de FACE obtenus en
tout.
Indication : on pourra utiliser la fonction premierPile en la répétant convenablement.
II. EDHEC
III. EDHEC 2014
Problème
On considère une variable aléatoire Xdont la loi de probabilité est donnée par :
•X(Ω) = {−1,0,1},
•P(X=−1) = P(X= 1) = 1
4.
IDéterminer P(X= 0).
1

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On considère alors la v.a.r. Ydont la loi est donnée par :
•Y(Ω) = 1
2,1,
•PY=1
2=P(X=−1) + P(X= 0) = 3 4et P(Y= 1) = P(X= 1) = 1 4
IOn rappelle que grand(1,1,'uin',a,b) permet de simuler une variable aléatoire discrète suivant
la loi uniforme sur Ja, bK. Écrire des commandes Scilab permettant de simuler Xpuis Y.
III.1. EDHEC 2013
Exercice
Dans cet exercice, la lettre ndésigne un entier naturel.
On dispose d’une urne contenant au départ nboules blanches et (n+ 2) boules noires.
On dispose également d’une réserve infinie de boules blanches et de boules noires.
Pour tout entier naturel j, on dit que l’urne est dans l’état jlorsqu’elle contient jboules blanches et
(j+ 2) boules noires. Au départ, l’urne est donc dans l’état n.
On réalise une succession d’épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant.
Pour tout j∈N∗, si l’urne est dans l’état j, on extrait une boule au hasard de l’urne.
•Si l’on obtient une boule blanche, alors cette boule n’est pas remise dans l’urne et on enlève de plus
une boule noire de l’urne, l’urne est alors dans l’état (j−1).
•Si l’on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l’urne et on remet en plus une boule
blanche et une boule noire dans l’urne l’urne est alors dans l’état (j+ 1).
Dans cette question, on suppose que n= 1 (l’urne contient donc une boule blanche et 3 boules noires) et
on note X1la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l’urne après
la première épreuve et X2la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes
dans l’urne après la deuxième épreuve.
ICompléter le programme suivant pour qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice
et pour qu’il affiche les valeurs des variables aléatoires X1et X2.
1function [X1,X2] = simul()
2tirage = grand(1,1,"uin", ... , ...)
3if tirage == ... then
4X1 = ...
5X2 = ...
6else
7tirage = grand(1,1,"uin", ... , ...)
8if tirage <= ... then
9X2 = ...
10 X1 = ...
11 else
12 X2 = ...
13 X1 = ...
14 end
15 end
16 endfunction
2

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Exercice
On se propose d’étudier la suite (un)n∈N, définie par la donnée de u0= 0 et par la relation, valable
pour tout entier naturel n:un+1 =un2+ 1
2.
IÉcrire une fonction qui renvoie la valeur de un.
IEn déduire un programme, qui permet de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de npour
laquelle on a 0<1−un<10−3.
III.2. EDHEC 2012
Exercice 3
On désigne par nun entier naturel supérieur ou égal à 2. On note pun réel de ]0; 1[ et on pose q= 1−p.
On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité pet Face avec la probabilité q.
On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l’une des deux situations suivantes :
×soit si l’on a obtenu Pile.
×soit si l’on a obtenu nfois Face.
On note Tnle nombre de lancers effectués, Xnle nombre de Pile obtenus et enfin Ynle nombre de
Face obtenus. On admet que Tn,Xnet Ynsont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un
espace probabilisé (Ω,A,P)que l’on ne cherchera pas à préciser.
IÉcrire un programme permettant de simuler ces 3v.a.r.
Problème
Soit λ > 0et soit Uune v.a.r. suivant la loi uniforme sur [0,1[. On pose W=−1
λln(1 −U).
(on démontrait alors que Wa même loi qu’une v.a.r. |X|où Xétait définie précédemment)
IÉcrire une fonction qui simule la v.a.r. |X|.
IVérifier que la probabilité que Xprenne des valeurs positives est égale à la probabilité que X
prenne des valeurs négatives.
En déduire une fonction qui simule la v.a.r. X.
III.3. EDHEC 2011
Exercice 3
On désigne par nun entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de nurnes, numérotées de 1à
n, contenant chacune nboules. On répète népreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard
et à en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns
des autres. Pour tout ide {1,2, ..., n},on note Xila variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’urne
numérotée icontient toujours nboules au bout de ces népreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
IÉcrire un programme informatique qui simule les v.a.r. X1et N1pour une valeur nentrée par
l’utilisateur.
Problème
Soient Uet Vdes v.a.r. suivant respectivement la loi B1
2et la loi U([0,1]).
On pose Q=−ln(1 −V)et R= 2U−1.
(on démontrait que Qa même loi que X,Ra même loi que Yoù Xet Ysont des v.a.r. définies
précédemment et on notait Z=XY )
IÉcrire une fonction permettant de simuler la v.a.r. Z.
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IV. EML
IV.1. EML 2014
Exercice
On considère l’application ϕ: ]0; +∞[→R, x 7→ ex−xe1
x.
On considère la suite réelle (un)n∈Ndéfinie par u0= 3 et : ∀n∈N, un+1 =ϕ(un).
IÉcrire un programme qui affiche et calcule le plus petit entier ntel que : un>103.
IV.2. EML 2013
Exercice
On considère l’application f:R−→ Rdéfinie, pour tout t∈Rpar :
f(t) = −tln t+t1/3si 0<t<1
0sinon
On suppose démontré que l’équation f0(t)=0d’inconnue t∈]0,1[, admet une unique solution, notée
αtelle que : 1
e< α < 1.
IÉcrire un programme qui calcule et affiche une valeur approchée de αà10−3près, mettant en
œuvre l’algorithme de dichotomie.
IV.3. EML 2012
Soit a∈R+∗. On considère une v.a.r. Usuivant la loi uniforme sur [0,1[. On note : Z=ap−2 ln(U).
IÉcrire un programme simulant la v.a.r. Z, le réel astrictement positif étant entré par l’utilisateur.
IV.4. EML 2012
On considère l’application f:x7→ (x+ ln(x)) ex−1définie sur ]0,+∞[.
On considère la suite réelle (un)n∈Ndéfinie par u0= 2 et pour tout n∈N,un+1 =f(un).
IÉcrire un programme qui calcule et affiche le plus entier naturel ntel que un>1020.
(la question précédente consistait à démontrer que : ∀n∈N, un>en)
V. HEC
Exercice (2014)
Si Xest une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P), on appelle médiane
de X, tout réel mvérifiant les deux conditions :
P([X6m]) >1
2et P([X>m]) >1 2
On admet qu’un tel réel mexiste toujours.
Soit Nun entier supérieur ou égal à 1. Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans J1, N K.
La loi d’une telle variable Xest stockée dans une matrice ligne de taille 1×N.
IÉcrire une fonction mediane prenant en paramètre une matrice ligne représentant la loi d’une telle
variable Xet renvoyant la médiane de X.
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