Corrigé

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 25 novembre 2013
S´erie 10
Exercice 1.
Soient Gun groupe et Hun sous-groupe de G.
(1) Donner la d´efinition du normalisateur NG(H) de Hdans G.
(2) Est-ce que NG(H) est un sous-groupe normal de G?
(3) Est-ce que Hest un sous-groupe normal de NG(H) ?
Pensez `a bien justifier vos r´eponses.
Solution.
(1) Par d´efinition,
NG(H) = {g∈G:gHg−1=H},
et notons que Hest un sous-groupe de NG(H).
(3) Le sous-groupe Hest un sous-groupe normal de NG(H) par d´efinition
du normalisateur : pour tout g∈NG(H), on a gHg−1=H. En fait,
on remarque mˆeme que NG(H) est le plus grand sous-groupe de Gdans
lequel Hest normal. En effet, si Hest normal dans un sous-groupe Jde
G, alors J⊂NG(H).
(2) Le normalisateur NG(H) n’est pas forc´ement un sous-groupe normal de
G. Par exemple, consid´erons le cas G=S3et H=h(12)i. Dans la s´erie
3 (exercice 3), nous avons vu que les seuls sous-groupes de S3contenant
(12) sont h(12)iet S3. Comme h(12)in’est pas normal dans S3, on a
NG(H) = h(12)i, d’o`u la conclusion.
Exercice 2.
Soient n≥2 un entier, et mun diviseur de n. On note q:= n/m. Montrer que
mZ/nZet Z/qZsont isomorphes.
Solution.
Nous montrons que mZ/nZest un groupe cyclique d’ordre q, ce qui implique
qu’il est isomorphe `a Z/qZpar un r´esultat du cours.

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En premier lieu, il est clair que mZ/nZest cyclique puisque [m]nest un g´en´erateur.
D’autre part, on remarque que l’ordre de [m]nest q. En effet, pour x∈Z,xm ≡0
(mod n) si et seulement si q|x, d’o`u le r´esultat. 
Exercice 3.
Soient m1,...,mr∈Ntels que (mi, mj) = 1 si i6=j. Montrer que Z/(m1···mr)Z
et Z/m1Z× · · · × Z/mrZsont isomorphes.
Solution.
On proc`ede par r´ecurrence sur r≥2. Si m1, m2sont deux entiers premiers entre
eux, consid´erons l’homomorphisme
f:Z/m1m2Z→Z/m1Z×Z/m2Z
[x]m1m27→ ([x]m1,[x]m2).
Il s’agit d’une application bien d´efinie, puisque si x≡y(mod m1m2), alors
m1m2|x−y, donc mi|x−y, i.e. x≡y(mod mi) pour i= 1,2. De plus, elle
est surjective. En effet, puisque (m1, m2) = 1, il existe une identit´e de B´ezout
m1a+m2b= 1
pour a, b ∈Z(voir s´erie 2, exercice 2). Par cons´equent,
m2b≡1 (mod m1)
m1a≡1 (mod m2).
Ainsi, pour tous x, y ∈Z, on a
f(m1ay +m2bx) = ([x]m1,[y]m2),
d’o`u la surjectivit´e. Comme |Z/m1m2Z|=m1m2=|Z/m1Z×Z/m2Z|, l’homo-
morphisme fest bijectif, donc il s’agit d’un isomorphisme. Le r´esultat est ainsi
´etabli pour r= 2. Si r > 2, alors
Z/m1Z× · · · × Z/mrZ= (Z/m1Z×...Z/mr−1Z)×Z/mrZ
∼
=Z/(m1···mr−1)Z×Z/mrZ
∼
=Z/(m1···mr)Z
si l’on suppose le r´esultat vrai pour r−1, ce qui termine la d´emonstration.
De mani`ere ´equivalente, on peut aussi obtenir le cas r= 2 par un r´esultat du
cours : l’entier m1m2annule A=Z/m1m2Z, par cons´equent
A∼
=m1Z/m1m2Z×m2Z/m1m2Z∼
=Z/m2Z×Z/m1Z,
o`u le deuxi`eme isomorphisme provient de l’exercice 2. 
Exercice 4.
Soient A:= Z/9Z×Z/9Zet B:= Z/9Z×Z/3Z×Z/3Z.
(1) Calculer 3Aet 3B.
(2) Est-ce que Aet Bsont isomorphes ? Pensez `a bien justifier votre r´eponse.

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Solution.
(1) D’une part,
3A= 3Z/9Z×3Z/9Z
et d’autre part,
3B= 3Z/9Z× {[0]3} × {[0]3}.
Notons que |3A|= 9 et |3B|= 3.
(2) Si f:A→B´etait un isomorphisme de groupes, alors fse restreindrait
en une bijection entre 3Aet 3B. Comme ces ensembles n’ont pas la mˆeme
cardinalit´e, on en conclut que Aet Bne sont pas isomorphes.
Exercice 5.
Donner la liste des groupes ab´eliens finis d’ordre 2ravec r≤4.
Solution.
Par le th´eor`eme de structure, tout groupe ab´elien fini d’ordre 2rest isomorphe `a
un groupe de la forme
Z/d1Z× · · · × Z/dnZ(1)
pour d1|d2|...|dndes entiers positifs. En particulier, on aura d1···dn= 2r, donc
di= 2aipour ai∈N. La relation de divisibilit´e se traduit par a1≤ · · · ≤ an. Ainsi,
on voit que les groupes ab´eliens finis d’ordre 2rsont en bijection avec les suites fi-
nies croissantes (a1,...,an) d’entiers strictement positifs tels que a1+···+an=r.
Pour r≤4, on a donc les possibilit´es suivantes :
(a1,...,an) Groupe correspondant
r= 0 ∅ {0}
r= 1 (1) Z/2Z
r= 2 (2) Z/4Z
(1,1) Z/2Z×Z/2Z
r= 3 (3) Z/8Z
(1,2) Z/2Z×Z/4Z
(1,1,1) Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z
r= 4 (4) Z/16Z
(1,3) Z/2Z×Z/8Z
(2,2) Z/4Z×Z/4Z
(1,1,2) Z/2Z×Z/2Z×Z/4Z
(1,1,1,1) Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z
En fait, il est possible de montrer en toute g´en´eralit´e que l’´ecriture (1) est unique.
Ici, nous montrons manuellement que les groupes ci-dessus ne sont pas isomorphes
entre eux.

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Comme un isomorphisme est en particulier une bijection, il suffit bien sˆur de
traiter le cas de groupes du mˆeme ordre :
•Les cas r= 0,1 sont triviaux.
•Le cas r= 2 a ´et´e trait´e dans l’exercice 1 de la s´erie 8.
•Pour r= 3, remarquons premi`erement que Z/8Zn’est isomorphe `a aucun
des deux autres groupes. En effet, ces derniers ont tous leur ´el´ements
d’ordre ≤4, alors que Z/8Za des ´el´ements d’ordre 8. De plus, Z/2Z×
Z/4Zn’est pas isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z, puisque le premier a
un ´el´ement d’ordre 4 alors que le second a tous ses ´el´ements d’ordre ≤2.
•Pour r= 4, on montre comme pr´ec´edemment que Z/16Zn’est isomorphe
`a aucun des quatre autres groupes. Notons les caract´eristiques suivantes :
–Z/2Z×Z/8Z: des ´el´ements d’ordre 8.
–Z/4Z×Z/4Z: des ´el´ements d’ordre 4, aucun d’ordre 8.
–Z/2Z×Z/2Z×Z/4Z: des ´el´ements d’ordre 4, aucun d’ordre 8.
–Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z: tous les ´el´ements d’ordre ≤2.
Ainsi, il suffit de voir que Z/4Z×Z/4Z6∼
=Z/2Z×Z/2Z×Z/4Z. Pour cela,
on proc`ede comme dans l’exercice 4 : si les groupes ´etaient isomorphes,
on aurait une bijection entre
2(Z/4Z×Z/4Z) et 2(Z/2Z×Z/2Z×Z/4Z).
Or, par l’exercice 2, ces ensembles sont en bijection avec Z/2Z×Z/2Z,
respectivement Z/2Z. Comme la cardinalit´e n’est pas la mˆeme, on obtient
une contradiction.