Fiche d`exercices n°4 bis - IMJ-PRG

Université de Paris 6
Arithmétique
LM 220 (INFO)
2011–2012.
Feuille d’exercices no 4
Exercice 1. Lesquels de ces ensembles sont des groupes pour les lois de composition ?
(1) (N, +).
(2) (Z, +).
(3) (Z, ×).
(4) (Z \ {0}, ×).
(5) (R \ {0}, ×).
(6) R2 \ {(0, 0)} avec la loi de composition suivante :
(x, y) ∗ (x′ , y′ ) = (xx′ − yy′ , xy′ + x′ y).
Exercice 2. Soit (G, ∗) un groupe.
(1) Donner la définition d’un sous–groupe de G.
(2) Soient H et H′ deux sous–groupes. Montrer que H ∩ H′ est un sous-groupe de G.
(3) Que peut-on dire de la réunion de deux sous-groupes de G ? (Indication : Étudier l’ensemble
Z · 2 ∪ Z · 3.)
Exercice 3. Montrer que un sous–groupe A de (Z, +) a toujours la forme Z · n pour un certain
n. (Indication : On considère le plus petit entier n ∈ A ∩ {1, 2, . . .} et on montre, avec l’aide de la
division euclidienne, que A = Z · n.)
Exercice 4. (1) Montrer que S = {z ∈ C : |z| = 1} est un sous–groupe de (C∗ , ×)
(2) Montrer que pour chaque entier n > 0, le sous–ensemble Cn = {z ∈ S : zn = 1} est un
sous–groupe. Pouvez–vous déterminer le cardinal de Cn ?
Exercice 5. Soit (G, +) un groupe commutatif et soient A, B des sous–groupes.
(1) Montrer que l’ensemble C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} est un sous–groupe de G.
(2) Montrer que A ⊆ C et B ⊆ C.
(3) Montrer que si D est un autre sous–groupe de G tel que A ⊆ D et B ⊆ D, alors C ⊆ D.
Le sous groupe C est le plus petit sous–groupe de G qui contient A et B. Il est noté A + B et est
appelé le sous–groupe engendré par A et B.
(4) Déterminer le sous–groupe Z · 4 + Z · 6 de Z.
(5) Soient a et b des entiers. Montrer que Z · a + Z · b est le sous–groupe Z · (a ∧ b).
Exercice 6. (1) Montrer que les groupes (R>0 , ×) et (R, +) sont isomorphes.
(2) Montrer que les groupes (Z, +) et (Q, +) ne sont pas isomorphes.
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(3) Soit G un groupe quelconque avec seulement deux éléments. Montrer que G est isomorphe
au groupe C2 construit dans l’exercice 4.
Exercice 7 (Le groupe symétrique). (1) Soit n un entier positif. Montrer que l’ensemble Sn des
bijections f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} avec la loi de groupe donné par la composition de fonctions
est un groupe.
(2) Déterminer les éléments de S3 . Montrer que S3 n’est pas commutatif !
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