Extrait - Questions types du bac

question-type-bac.fr
10 sujets « type-bac »
Oral de rattrapage 2016
Série ES - Mathématiques
Enseignement spécifique
(anciennement obligatoire)
Énoncés et corrigés - Avec rappels de cours
Félicitations !
Ce document va vous aider à préparer votre oral de rattrapage du baccalauréat en
un minimum de temps et avec un maximum d’efficacité ! Vous avez fait le bon choix !
Remarques importantes :
1. à l’oral de rattrapage, chaque candidat doit être interrogé sur deux thèmes différents du programme ;
2. concrètement, le candidat sélectionne un sujet au hasard, ce sujet est donc composé de deux exercices. Le
candidat dispose d’un temps de préparation de 20 minutes pour résoudre les deux exercices proposés puis il
expose, au tableau ou face à l’examinateur, ses solutions, durant 20 minutes également ;
3. s’il a des difficultés, l’examinateur pourra l’aider. L’examinateur peut également poser des questions de cours
ou, s’il juge le candidat à l’aise, des questions de prolongement afin de valoriser sa note ;
4. la difficulté des exercices proposés doit être plus modeste qu’aux épreuves écrites ;
5. nous rappelons que le jour du baccalauréat, les méthodes de raisonnement ainsi que la qualité de la
rédaction utilisées par le candidat entrent dans une part importante de l’évaluation ;
6. nous vous proposons, dans ce document, une série de sujets typiques corrigés en détail avec des questions
possibles de prolongement ;
7. n’hésitez-pas à venir (re)visiter notre site ci-dessous pour trouver les dernières versions de nos documents et
également découvrir nos autres productions.
Ce document est privé et non libre de droit. Sa diffusion ailleurs que sur le site question-type-bac.fr est
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Oral du baccalauréat ES 2
- SUJET 1 -
Question 1 -Équation de la tangente [⋆⋆]
Démontrer que la courbe de la fonction ln admet une tangente qui passe par l’origine et déterminer son
équation. http://question-type-bac.fr
On rappelle la formule suivante :
La tangente Tà la courbe (C) d’une fonction dérivable fau point d’abscisse x0est donnée par l’équation :
y=f′(x0)(x−x0) + f(x0)
Dans le cas de la fonction logarithme, on obtient :
y=1
x0
×(x−x0) + ln(x0) = 1
x0
×x−1 + ln(x0)
Il s’agit bien de l’équation d’une droite sous la forme y=mx+poù m=1
x0(coefficient directeur) et p=−1+ln(x0)
(ordonnée à l’origine). Si on veut que cette droite passe par l’origine du repère, alors l’ordonnée à l’origine de
l’équation précédente doit pouvoir être nulle. Autrement dit, l’équation suivante doit admettre au moins une
solution :
−1 + ln(x0) = 0
ln(x0) = 1
x0= e
Nous avons trouvé une solution, cela prouve que la courbe de la fonction ln admet une tangente passant par
l’origine. Il s’agit de la tangente au point d’abscisse e. Cette tangente Tadmet alors pour équation :
y=1
e×x
0
1
2
−1
1 2 3 4 5 6 xe
y
Cln
T
Figure 1 – Une tangente passant par l’origine.
Question de prolongement
Démontrer que la tangente Test au dessus de la courbe de la fonction ln.
La fonction ln est concave (cours) sur ]0 ,+∞[ donc toujours située en dessous de ses tangentes. Donc, en particulier,
Test au dessus de la courbe Cln.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Oral du baccalauréat ES 3
Question 2 -Loi binomiale [⋆⋆]
On lance 100 fois une pièce monnaie (bien équilibrée).
On note Xle nombre de fois où l’on obtient le côté PILE (on a donc 0 6X6100).
Les calculs numériques seront arrondis à 10−4près.
1. Justifier que la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale B(n,p) dont on précisera les paramètres net p.
Calculer son espérance E(X).
2. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 50 fois le côté PILE. (On détaillera les calculs)
3. Calculer la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 fois le côté PILE. (On pourra utiliser directement la calculatrice)
1. On répète n= 100 fois, de façon identique et indépendante, la même expérience, à deux issues, qui consiste
à lancer une pièce de monnaie. La probabilité d’un succès est p=1
2. La variable aléatoire X, qui compte le
nombre de succès, suit donc une loi binomiale de paramètres n= 100 et p=1
2:
X B100 ,
1
2
D’après le cours, on sait que :
E(X) = np = 100 ×1
2= 50
En moyenne, on peut espérer obtenir 50 fois le côté PILE (mais ça ne veut pas dire qu’un tel événement est
fortement probable ! Voir à ce sujet, la question suivante...)
2. Il s’agit de calculer P(X= 50). On rappelle la formule suivante :
Si X B(n,p) alors pour tout entier kcompris entre 0 et n, on a : P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
Ici, nous obtenons :
P(X= 50) = 100
50 1 250 1 250
=100
50 
2100 ≈0,0796 à 10−4près
Il y a donc environ 8% de chance d’obtenir exactement 50 fois le côté PILE en lançant 100 fois une pièce de
monnaie.
3. Il s’agit de calculer :
P(40 6X660) =
60
X
k=40
P(X=k)
On peut utiliser la calculatrice et la fonction « binomiale cumulée » en faisant la différence des deux cumuls
suivants :
P(40 6X660) = P(X660) −P(X639)
Détail de la procédure à suivre :
Calculatrice type Casio
OPTN STAT DIST BINM BCD
Binomial C.D60
|{z}
k
,100
|{z}
n
,0.5
|{z}
p−Binomial C.D39
|{z}
k
,100
|{z}
n
,0.5
|{z}
p
Calculatrice type TI
2nde distrib binomFRép
binomFRép100
|{z}
n
,0.5
|{z}
p
,60
|{z}
k−binomFRép100
|{z}
n
,0.5
|{z}
p
,39
|{z}
k

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Oral du baccalauréat ES 4
On obtient :
P(40 6X660) ≈0,9648 à 10−4près
Il y a donc environ 96,5% de chance d’obtenir entre 40 et 60 fois le côté PILE en lançant 100 fois une pièce de
monnaie.
Question de prolongement
Quelle est la probabilité d’obtenir strictement plus de fois PILE que FACE ?
Notons Yle nombre de fois où l’on obtient FACE. On a :
P(X < Y ) + P(X=Y) + P(Y > X) = 1
On cherche P(X > Y ) mais par symétrie, cette probabilité est la même que P(Y > X). On a donc :
2P(X > Y ) = 1 −P(X=Y)
L’événement X=Ysignifie qu’on obtient autant de fois PILE que FACE, donc 50 fois PILE. Cette probabilité a
été calculée dans la question 2. D’où :
P(X > Y ) = 1−P(X=Y)
2≈0,46
Il a 46% de chance d’obtenir un nombre fois PILE strictement plus grand que FACE.
Variante
On peut également calculer P(X>51) ce qui donne, via l’événement contraire :
P(X>51) = 1 −P(X650) ≈0,4602
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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