Trigonométrie

Trigonométrie
I) Cercle trigonométrique :
sens direct
définition : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon
1 sur lequel on distingue deux sens de parcours : le sens
direct (sens inverse des aiguilles d'une montre et le sens
indirect (sens des aiguilles d'une montre).
Le rayon étant de 1 (une unité), la longueur du cercle est 2
celle du demi-cercle est , celle du quart de cercle est
2
O
1
sens indirect
,
!
II) Enroulement d'une droite numérique sur le cercle trigonométrique :
a) droite numérique :
Soit C, un cercle trigonométrique de centre O.
(O;I;J) est un repère orthonormé.
Dans ce repère,
M a pour coordonnées : (0,25 ; 0,5)
H a pour coordonnées : (1 ; 1)
2
2
J
M
4
O 0,25
I
0,5
On munit (IH) du repère (I;H). On a donc une droite
graduée recouvrant tous les réels.
Nous appellerons cette droite, droite numérique.
H
–1
–2
b) enroulement de la droite numérique :
Imaginons que nous enroulions la droite autour du cercle. On associe à chaque abscisse d'un point de la droite, un point du cercle.
1
http://www.maths-videos.com
3
4
► enroulement dans le sens direct
►
2
2
2
3
4
N
M
4
P
135°
90°
45°
A
A
A
–
–
Le réel
4
point M.
Le réel
2
point N.
4
.
Le réel
L' arc AP a pour longueur
2
N est associé au réel positif
L'angle AOM a pour mesure 45°
3
vient "s'appliquer" sur
4
le point P
vient "s'appliquer" sur le
L'arc AN a pour longueur
4
M est associé au réel positif
2
2
vient "s'appliquer" sur le
L'arc AM a pour longueur
–
2
3
4
3
4
P est associé au réel positif
2
L'angle AONa pour mesure 90°
L'angle AOP a pour mesure 135°
Pour exprimer la mesure d'un angle on peut donc utiliser la longueur de l'arc de cercle !
Pour un angle de 45° la longueur de l'arc de cercle est de
4
soit environ 0,78.
Cette unité s'appelle le radian ! Par exemple, un angle de 90° a une mesure de
2
radians.
2
► enroulement dans le sens indirect
Le réel –
4
vient s'appliquer sur le point R.
A
L'arc AR a pour longueur
4
R
R est associé au réel négatif –
–
4
–
2
http://www.maths-videos.com
2
4
J
III) Cosinus et sinus d'un nombre :
x
M
1
sin x
définition : Soit (O ; I ; J) un repère orthonormé direct
du plan et C un cercle trigonométrique de centre O.
1
Soit M un point de C associé à un réel x
On appelle cosinus de x notée cos x l'abscisse de M
On appelle sinus de x notée sin x l'ordonnée de M
remarque : Soit x un nombre réel compris entre 0 et
Soit M son point associé sur le cercle trigonométrique.
M se trouve sur l'arc de cercle OI et OIM est aigu.
on a alors
OH OH
cos IOM =
=
= cos x
OM
1
2
.
J
K
M (x)
I
H
MH MH
=
= sin x
OM
1
Voilà le lien avec le cosinus et le sinus d'un
angle que nous avions vus en troisième !!
propriétés : Pour tout nombre réel x,
►–1
cos x
1
►–1
sin x
1
► cos² x + sin² x = 1
► démonstration
Les deux premières propriétés sont des conséquences des définitions du sinus et du
cosinus.
Dans le repère orthonormé (O ; I ; J), M a pour coordonnées (cos x ; sin x)
Le triangle OHM est rectangle en H.
donc OM2 = OH2 + HM2 (d'après le théorème de Pythagore)
or, OM2 = 1, OH2 = cos x, HM2 = sin x
donc cos² x + sin² x = 1
3
I 0
1
O
sin IOM =
cos x
O
http://www.maths-videos.com