Trigonométrie

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1
sens direct
sens indirect
1
O
M
O
I
J
0,25
0,5
H
2
2
4
–1
–2
Trigonométrie
I) Cercle trigonométrique :
définition : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon
1 sur lequel on distingue deux sens de parcours : le sens
direct (sens inverse des aiguilles d'une montre et le sens
indirect (sens des aiguilles d'une montre).
II) Enroulement d'une droite numérique sur le cercle trigonométrique :
a) droite numérique :
Soit
C
, un cercle trigonométrique de centre O.
(O;I;J) est un repère orthonormé.
Dans ce repère,
M a pour coordonnées : (0,25 ; 0,5)
H a pour coordonnées : (1 ; 1)
On munit (IH) du repère (I;H). On a donc une droite
graduée recouvrant tous les réels.
Nous appellerons cette droite, droite numérique.
b) enroulement de la droite numérique :
Imaginons que nous enroulions la droite autour du cercle. On associe à chaque abs-
cisse d'un point de la droite, un point du cercle.
Le rayon étant de 1 (une unité), la longueur du cercle est 2 ,
celle du demi-cercle est  , celle du quart de cercle est 
2 !

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2
► enroulement dans le sens direct
►
► enroulement dans le sens indirect
Le réel – 
4 vient s'appliquer sur le point R.
L'arc AR a pour longueur 
4
R est associé au réel négatif – 
4
– 
4
A
R
2
–
2
–
2
2
–
2
2
4
–
2
2
3
4
3
4
A
A
A
M
N
P
45°
90°
135°
Le réel
4 vient "s'appliquer" sur le
point M.
L'arc AM a pour longueur 
4
M est associé au réel positif 
4.
L'angle AOM a pour mesure 45°
Le réel
2 vient "s'appliquer" sur le
point N.
L'arc AN a pour longueur 
2
N est associé au réel positif 
2
L'angle AONa pour mesure 90°
Le réel 3
4 vient "s'appliquer" sur
le point P
L' arc AP a pour longueur 3
4
P est associé au réel positif 3
4
L'angle AOP a pour mesure 135°
Pour exprimer la mesure d'un angle on peut donc utiliser la longueur de l'arc de cercle !
Pour un angle de 45° la longueur de l'arc de cercle est de 
4 soit environ 0,78.
Cette unité s'appelle le radian ! Par exemple, un angle de 90° a une mesure de 
2 radians.

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3
sin
x
cos
x
1
M
x
0
O
1
I
J
H
K
M (
x
)
O
I
J
1
III) Cosinus et sinus d'un nombre :
définition : Soit (O ; I ; J) un repère orthonormé direct
du plan et
C
un cercle trigonométrique de centre O.
Soit M un point de C associé à un réel x
On appelle cosinus de x notée cos x l'abscisse de M
On appelle sinus de
x
notée sin
x
l'ordonnée de M
remarque : Soit x un nombre réel compris entre 0 et 
2.
Soit M son point associé sur le cercle trigonométrique.
M se trouve sur l'arc de cercle OI et OIM est aigu.
on a alors
cos IOM = OH
OM = OH 1 = cos
x
sin IOM = MH
OM = MH 1 = sin
x
propriétés : Pour tout nombre réel
x
,
► – 1  cos x  1 ► – 1  sin x  1 ► cos² x + sin² x = 1
► démonstration
Les deux premières propriétés sont des conséquences des définitions du sinus et du
cosinus.
Dans le repère orthonormé (O ; I ; J), M a pour coordonnées (cos
x
; sin
x
)
Le triangle OHM est rectangle en H.
donc OM
2
= OH
2
+ HM
2
(d'après le théorème de Pythagore)
or, OM
2
= 1, OH
2
= cos x , HM
2
= sin x
donc cos²
x
+ sin²
x
= 1
Voilà le lien avec le cosinus et le sinus d'un
angle que nous avions vus en troisième !!