PROPORTIONS (3) CALCUL ALGEBRIQUE (1) Priorités opératoires

PROPORTIONS (3)
Représentation graphique
Si on représente des suites de nombres
par un graphique, on reconnaît des
suites proportionnelles au fait que les
points sont alignés avec l'origine.
x 4 5 8 10
Ex
y 3,2 4 6,4 8
Fractions et proportions
Si deux suites de nombres sont proportionnelles, on peut écrire des égalités de
fractions :
a b c
Le tableau de
proportion d e f donne l'égalité
a
d
b
e
c
f
= =
Problèmes de vitesse
A vitesse constante, distance parcourue et temps sont proportionnels.
Formules d = vt ou v =
d
t
(d = distance, v = vitesse, t = temps)
Unités : une vitesse peut se compter en km/h (ou km.h
-1
), m/s (ou m.s
-1
)…
Exemple 1 : à la vitesse de 5 km/h, calculer la distance parcourue en 40 min
1 h ou 60 min →5 km
10 min →
5
6
km
∗Méthode 1
40 min →4×
5
6
km ≈ 3,3 km
∗Méthode 2 : 40 min =
40
60
h d = vt = 5×
40
60
≈ 3,3 km
Exemple 2 : J'ai parcouru 12 km en 2h 40min. Calculer la vitesse moyenne en
km/h et en m/s.
2h 40 min = 120 min + 40 min = 160 min
∗Méth 1 12 km →160 min 12 000 m →160 min
0,75 km →1 min 750 m →1 min
4,5 km →60 min 12,5 m →1 s
On obtient 4,5 km/h On obtient 12,5 m/s
∗Méth 2 : avec d = 12000 m et t = 9600 s (160×60) ; v =
d
t
=
12000
9600
12 5=, (en
m/s)
CALCUL ALGEBRIQUE (1)
Priorités opératoires
∗ Ordre de priorité dans un calcul sans parenthèses :
1) Puissances
2) Multiplications et divisions
3) Additions et soustractions
∗ Ex : 3 - 5×2
3
= 3 - 5×8 = 3 - 40 = -37
Suppression de parenthèses
∗ Suppression de parenthèses précédées d'un signe + : on ne change
aucun signe.
Ex : a + (b - c) = a + b - c ; a + (-b + c) = a - b + c
∗ Suppression de parenthèses précédées d'un signe - :
Première méthode : - A = -1×A
Ex : a - (b-c) = a -1×(b - c) = a - b + c ; a - (-b+c) = a -1× (-b + c) = a + b -
c
Deuxième méthode : - A = + Opp (A)
Ex : a - (b-c) = a + (-b + c) = a - b + c ; a - (-b+c) = a + (b - c) = a + b - c
Calcul littéral
∗ Sommes : 2a + 3a = 5a ; 2a + 3b ne peut pas s'écrire plus simplement
∗ Produits : 2a×3a = 6a² ; 2a×3b = 6ab ; 2y×3y = 6y² ;
Distributivité et développement
∗ a×(b + c) = a×b + a×c
Ex : a×(a + 3) = a×a + a×3 = a² + 3a
∗ Double distributivité : (a + b)×(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d
Ex : (x + 1)(y + 3) = xy + 3x + y + 3
(a - 7)(a - 8) = a² - 8a - 7a + 56 = a² - 15a + 56
(3x + 2)(5x - 7) = 15x² - 21x + 10x - 14 = 15 x² - 11x - 14
Distributivité et factorisation
∗ a×b + a×c = a×(b + c) On a mis "a" en facteur
Ex : 3a + 3b = 3(a + b) ;
6x² - 8x = 2x(3x - 4)

CALCUL ALGEBRIQUE (2)
Distributivité et factorisation (suite)
4x(x-5) + (2x+1)(x-5) = (x-5)[4x+(2x+1)] = (x-5)(4x+2x+1) = (x-5)(6x+1) :
on a mis (x-5) en facteur.
Egalités remarquables et développement
(a + b)
2
= a² + 2ab + b²
(a - b)
2
= a² - 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² - b²
Ex : (x + 7)² = x² + 14x + 49
(3x – 1)² = 9x² - 6x + 1
(5x + 10) ( 5x – 10) = 25x² - 10
Egalités remarquables et factorisation
a² + 2ab + b² = (a + b)
2
a² - 2ab + b² = (a - b)
2
a² - b² = (a + b) (a – b)
Ex : x² + 6x + 9 = (x + 3)²
4x² - 4x + 1 = (2x – 1)²
x² - 25 = (x + 5) (x – 5)
4x² - 7 = (2x + 7) (2x – 7)
Produit nul
Si A  B = 0 alors A = 0 ou B = 0 : si un produit est nul, alors un des
facteurs est nul.
Si A = 0 ou B = 0, alors A  B = 0
Application : résolution d'équation
Ex Si (3x + 2)(x – 4) = 0
alors 3x + 2 = 0 ou x – 4 = 0
x = - 2
3 ou x = 4
L'équation admet deux solutions – 2
3 et 4.
RACINES CARREES
∗ Exemples : 25 = 5 car 5² = 25 ; 9
100 = 3
10 car
3
10
2 =
9
100
∗ x doit être positif ou nul pour que x soit défini.
x est aussi un nombre positif ou nul.
∗ Equations de la forme x² = a
x² = -5 : aucune solution
x² = 5 : deux solutions, x = 5 ou x = - 5
∗ Propriétés : Si a et b sont deux nombres positifs ou nuls,
a² = a ;
( )
a
2
= a ; a×b = a × b ; a
b = a
b (b≠0)
Attention a + b n'est pas égal à a + b
∗ Ecriture sous la forme a b : 12 = 4×3 = 4×3 = 2 3
∗ Additionner des racines :
300 + 3 12 = 100×3 + 3 4×3 = 100×3 + 3 4×3
= 10 3 + 3×2 3 = 10 3 + 6 3 = 16 3
∗ Supprimer une racine carrée au dénominateur :
3
2 = 3×2 2×2 = 32
2
∗ Exemple de développement :
53
( )
3 + 2 = 5 3×3 + 5 3×2 = 5×3 + 5 3×2 = 15 + 5 6

STATISTIQUES
Exemple de série statistique (Notes obtenues lors d'un contrôle avec 17 élèves) :
5-7-8-8-10-10-12-13-13-13-14-14-14-15-15-17-17
Pour un note donnée, par exemple 14, on peut donner :
- son effectif : 3 (il y a 3 notes de 14)
- sa fréquence : 3
17 ≈ 0,18 ou 18%
Pour la série, on peut calculer :
- la moyenne : (5 + 7 + 2×8 + 2×10 + 12 + 3×13 + 3×14 + 2×15 + 2×17)
17 ≈ 12,1
- la médiane : 13 (note du 9ème élève ici)
- son étendue : 17 – 5 = 12
On peut regrouper les notes n par "classe"
note
0≤n 5 5≤n 10 10≤n 15 15≤n 20
effectif 0 4 9 4
tableau 1
On peut calculer des effectifs cumulés croissants :
note
n 5 n 10 n 15 n 20
effectif 0 4 13 17
tableau 2
On peut représenter graphiquement cette série (tableau 1) :
- par un histogramme : - par un diagramme circulaire (∗)
(∗) Calculs pour le diagramme circulaire :
Nombre d'élèves 4 9 4 17
Angle 360°
DIVISEURS
(a et b sont ici des nombres entiers)
Diviseurs
7 est un diviseur de 42 car 42 : 7 = 6 (ou 42 = 6×7)
a est un diviseur de b si le quotient de b par a est un nombre entier
PGCD
∗ PGCD = Plus Grand Commun Diviseur
∗ Le PGCD de a et a est a. Ex PGCD (12 ; 12) = 12
∗ Si a est un diviseur de b, le PGCD de a et b est a
Ex : PGCD (6 ; 30) = 6
∗ Le PGCD de a et b est égal au PGCD du plus petit et de leur différence
Ex PGCD (100 ; 180) = PGCD (100 ; 80) = PGCD (80 ; 20) = 20
∗ Pour trouver le PGCD de deux nombres avec l'algorithme d'Euclide, on
cherche le PGCD du plus petit des nombres et de leur différence jusqu'à ce
que l'on obtienne un PGCD facile à trouver (lorsqu'un nombre est un
diviseur de l'autre).
Nombres premiers entre eux
∗ Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1
(1 est alors leur seul diviseur commun).
Fraction irréductible
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont
premiers entre eux. On ne peut donc plus la simplifier.

FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES
Fonctions linéaires
∗ Une fonction linéaire f est de la forme : f(x) = ax
On peut aussi noter : x ax
∗ Remarque : si une fonction f est linéaire, alors f(x) est proportionnel à x.
Fonctions affines
∗ Une fonction affine f est de la forme : f(x) = ax + b
On peut aussi noter : x ax + b
∗ Remarques
Les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines.
Si une fonction f est affine, alors les accroissements de f(x) sont
proportionnels aux accroissements de x.
Si f(x) = ax+b et si x
1
et x
2
sont deux nombres distincts : a = f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
Représentations graphiques
∗ La représentation graphique d'une fonction linéaire
est une droite passant par l'origine du repère.
∗ La représentation graphique d'une fonction affine
est une droite.
Si f(x) = ax + b, l'équation de la droite est y = ax + b
a s'appelle le coefficient directeur de la droite (si x
augmente de 1, y varie de a)
b s'appelle l'ordonnée à l'origine.
∗ Pour tracer la représentation
graphique d'une application affine, il
suffit de déterminer les coordonnées de
deux points. Un troisième est conseillé
pour vérifier.
x -4 0 6
Ex f(x) = 1
2x – 2
f(x) -4 -2 1
INEQUATIONS
∗ On peut multiplier ou diviser par un même nombre NEGATIF chaque
membre d'une inéquation A CONDITION de changer le sens de l'inégalité
(< → > et > → <).
∗ Ex -3x < 30
x > 30
-3
x > -10
Les autres propriétés sont semblables à celles sur les équations.
∗ On résout une inéquation du 1er degré à une inconnue comme une
équation SAUF si l'on doit diviser ou multiplier par un négatif.
∗ Exemple 3x + 7 < 5x + 1
3x – 5x < 1 – 7
-2x < -6
x > -6
-2
x > 3
∗ Représentation des solutions sur une droite graduée :

SYSTEME DE DEUX EQUATIONS
A DEUX INCONNUES.
2x + 3y = 7
x – y = 6 est un système de deux équations à deux inconnues.
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues c'est trouver le couple
(x ; y) pour lequel les deux équations sont vérifiées simultanément.
Méthode de résolution par substitution
On exprime x en fonction de y (ou y en fonction de x) avec l'une des équations puis
on remplace x (ou y) par l'expression trouvée dans l'autre équation.
Exemple : résoudre le système
2x + 3y = 7 (1)
x – y = 6 (2)
Dans l'équation (2), exprimons x en fonction de y : x = 6 + y (3)
Dans l'équation (1) remplaçons x par (6 + y)
2(6 + y) + 3y = 7
12 + 2y + 3y = 7
12 + 5y = 7
5y = 7 - 12
5y = -5 d'où y = -1
Dans l'équation (3) remplaçons y par -1 : x = 6 - 1 = 5
Conclusion : x = 5 et y = -1
Vérifions :
Remplaçons x par 5 et y par -1 dans les deux équations.
2×5 + 3×(-1) = 10-3 = 7 et 5 – (-1) = 5 + 1 = 6
Donc le couple (5 ; -1) est bien solution du système.
Interprétation graphique.
Résoudre graphiquement un système de deux équations c'est trouver le couple
(x ; y) coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des deux
fonctions affines associées à chacune des équations du système.
Ex : dans chacune des équations du système,
exprimons y en fonction de x :
2x + 3y = 7
3y = -2x + 7
y = -2x + 7/3
y = -2
3 x + 7
3
x – y = 6
-y = -x + 6
y = x – 6
Représentons les fonctions affines :
f(x) = -2
3 x + 7
3 et g(x) = x – 6
Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites semblent être
(5 ; -1). On peut vérifier que le couple (5 ; -1) est solution du système.