Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) → Développements limités

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE)
Æ Développements limités
Définitions
Au voisinage d’un point
Soit a un réel et f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un voisinage
]a − α , a + α [ de a sauf, éventuellement, en a.
On dit que f possède un développement limité en a à l’ordre n si, et seulement si, il existe
( a0 , a1 ,..., an ) ∈ n +1 et une fonction réelle ε de la variable réelle définie sur ]a − α , a + α [ ,
sauf éventuellement en a, tels que :
f ( x) = a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + ... + an ( x − a ) + x nε ( x) quand x → a, x ≠ a
2
n
lim ε ( x) = 0
x→a
x≠a
a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + ... + an ( x − a ) s’appelle la partie régulière du développement
2
n
limité.
Au voisinage de +∞ ou −∞
Soit A un réel et f une fonction réelle de la variable réelle définie sur ] A, +∞[ (resp. ]−∞, A[ ).
On dit que f possède un développement limité en +∞ (resp. −∞ ) à l’ordre n si, et seulement
si, il existe ( a0 , a1 ,..., an ) ∈ n +1 et une fonction réelle ε de la variable réelle définie sur
] A, +∞[
(resp. ]−∞, A[ ) tels que :
f ( x) = a0 +
a ε ( x)
a1 a2
+ 2 + ... + nn + n quand x → +∞ (resp. −∞ )
x x
x
x
lim ε ( x) = 0 (resp. lim ε ( x) = 0 )
x →+∞
a0 +
x →−∞
a
a1 a2
+ 2 + ... + nn s’appelle la partie régulière du développement limité.
x x
x
Remarque : on peut toujours se ramener à un développement limité à l’origine.
•
•
Si on cherche un développement limité en a, on pose x = a + h et on a :
f ( x) = f (a + h) = a0 + a1h + a2 h 2 + ... + an h n + h nε (h) quand h → 0, h ≠ 0
1
Si on cherche un développement limité en +∞ ou en −∞ , on pose x = et on a :
h
⎛1⎞
f ( x) = f ⎜ ⎟ = a0 + a1h + a2 h 2 + ... + an h n + h nε (h) quand h → 0, h ≠ 0
⎝h⎠
PanaMaths
[1 - 4]
Décembre 2001
Partie principale d’un développement limité
Soit f une fonction réelle de la variable réelle admettant en a le développement limité :
2
n
f ( x) = a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + ... + an ( x − a ) + x nε ( x)
On suppose que l’ensemble {k ∈ {0,1, 2,..., n} / ak ≠ 0} est non vide et on note α son plus petit
élément. Il existe alors une fonction réelle β de la variable réelle telle que :
f ( x) = aα ( x − a ) + xα β ( x) et lim β ( x) = 0
α
x→a
x≠a
aα ( x − a ) est appelée la partie principale du développement limité et on a, au voisinage de a,
α
l’équivalence : f ( x) ∼ aα ( x − a ) .
α
Propriétés des développements limités
Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque.
1. Si f admet un développement limité en a à l’ordre n, il est unique ;
Conséquences :
a. Si f est paire, la partie régulière du développement limité de f en a ne comporte
que des puissances paires ;
b. Si f est impaire, la partie régulière du développement limité de f en a ne
comporte que des puissances impaires ;
2. f possède un développement limité en a à l’ordre 0 ⇔ f admet une limite finie en a ;
3. Si f est continue en a, alors :
f admet un développement limité en a d’ordre 1 ⇔ f est dérivable en a
On a alors : f (a + h) = f (a) + f '(a)h + o(h) (Différentiabilité de f en a)
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. On suppose que f est n
fois dérivable en a. Alors la formule de Taylor-Young :
f (a + h) = f (a) + f '(a)h + f ''(a )
x2
xn
+ ... + f ( n ) (a) + x nε ( x)
2!
n!
est le développement limité de f en a à l’ordre n.
Opérations sur les développements limités
Soient f et g deux fonctions réelles de la variable réelle et a un réel quelconque.
On suppose que f et g admettent chacune un développement limité en a d’ordre n :
f (a + h) = a0 + a1h + a2 h 2 + ... + an h n + h nε (h) = P (h) + x nε (h)
g (a + h) = b0 + b1h + b2 h 2 + ... + bn h n + h n β (h) = Q(h) + x n β (h)
avec lim ε ( x) = lim β ( x) = 0
x→a
x≠a
PanaMaths
x→a
x≠a
[2 - 4]
Décembre 2001
Alors :
1. La fonction somme, f + g , admet un développement limité en a d’ordre n :
( f + g ) (a + h) = ( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) h + ( a2 + b2 ) h2 + ... + ( an + bn ) hn + h n (ε + β ) (h)
2. La fonction produit, fg, admet un développement limité en a d’ordre n :
( fg ) (a + h) = c0 + c1h + c2 h 2 + ... + cn h n + h nγ (h) = R(h) + h nγ (h)
où le polynôme R est obtenu en ne conservant du produit polynomial PQ que les
termes de degré inférieur ou égal à n.
f
3. En supposant b0 ≠ 0 , la fonction rapport, , admet un développement limité en a
g
d’ordre n dont la partie régulière est obtenue en effectuant la division suivant les
puissances croissantes de P par Q à l’ordre n.
4. La fonction composée, gof , admet un développement limité en a d’ordre n :
( gof ) (a + h) = c0 + c1h + c2 h 2 + ... + cn h n + h nγ (h) = R(h) + h nγ (h)
où le polynôme R est obtenu en ne conservant du polynôme composé QoP que les
termes de degré inférieur ou égal à n.
Intégration d’un développement limité
Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque.
On suppose que f est dérivable sur un voisinage ]a − α , a + α [ de a et que sa dérivée possède
un développement limité en a d’ordre n :
f '(a + h) = a0 + a1h + a2 h 2 + ... + an h n + h nε (h)
Alors f possède un développement limité en a d’ordre n + 1 qui s’écrit :
f (a + h) = f (a ) + a0 h +
a
a1 2 a2 3
h + h + ... + n h n +1 + h n +1 β (h)
2
3
n +1
Dérivation d’un développement limité
Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque.
On suppose que f est dérivable sur un voisinage ]a − α , a + α [ et que f possède un
développement limité en a d’ordre n + 1 :
f (a + h) = a0 + a1h + a2 h 2 + ... + an h n + an +1h n +1 + h n +1ε (h)
Alors f ' possède un développement limité en a d’ordre n qui s’écrit :
f '(a + h) = a1 + 2a2 h + 3a3 h 2 + ... + ( n + 1) an +1h n + h n β (h)
PanaMaths
[3 - 4]
Décembre 2001
Développement limité généralisé
Soit a un réel quelconque et f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un voisinage
]a − α , a + α [ de a sauf, éventuellement, en a.
On dit que f possède un développement limité généralisé en a si, et seulement si, il existe
( a0 , a1 ,..., ak ) ∈ * × k , un réel m non nul et une fonction réelle ε de la variable réelle
définie sur ]a − α , a + α [ , sauf éventuellement en a, tels que :
(a
1
f ( a + h) =
h
0
m
)
+ a1h + a2 h 2 + ... + ak h k + h k ε (h) quand h → 0, h ≠ 0
lim ε (h) = 0
h →0
h≠0
Le développement limité généralisé est d’ordre k-m.
Notes :
1. Si m est entier, on écrira :
(
1
a0 + a1h + a2 h 2 + ... + ak h k + h k ε (h)
m
h
2. Comme a0 ≠ 0 , on a : lim f (a + h) = +∞ .
f ( a + h) =
)
h →0
h≠0
Opérations sur les développements limités généralisés
Soient f et g deux fonctions réelles de la variable réelle et a un réel quelconque.
On suppose que f et g admettent les développements limités généralisés suivants en a :
1
1
f (a + h) = p a0 + a1h + a2 h 2 + ... + ak h k + h k ε (h) = p P(h) + h k ε (h)
h
h
(
g ( a + h) =
1
h
q
)
(b
0
+ b1h + b2 h 2 + ... + bk h k + h k β (h) ) =
(
1
h
q
)
( Q ( h) + h β ( h ) )
k
avec lim ε ( x) = lim β ( x) = 0
x→a
x≠a
x→a
x≠a
Alors :
1. La fonction produit, fg, admet un développement limité généralisé en a d’ordre
k − p−q :
1
f (a + h) g (a + h) = p + q ( c0 + c1h + c2 h 2 + ... + ck h k + h k γ (h) )
h
2. La fonction rapport,
f
, admet un développement limité généralisé en a d’ordre
g
k − p+q :
f ( a + h)
1
= p − q ( d 0 + d1h + d 2 h 2 + ... + d k h k + h kϕ (h) )
g ( a + h) h
PanaMaths
[4 - 4]
Décembre 2001