PPP PPP PPP

Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Math´ematiques G´en´erales
Feuille n◦3 : Les fonctions et les bonnes habitudes
Exercice 1. ´ Epargne
Mathieu souhaite mettre un peu d’argent de cˆot´e et d´ecide donc d’´epargner en posant `a chaque
fin d’ann´ee un petit p´ecule Rsur un compte ayant un int´erˆet annuel de τ.
a) Calculez le montant total de son ´epargne `a la fin de nann´ees.
b) ´ Ecrivez une fonction R calculant ce montant.
c) Ex´ecutez votre fonction pour des valeurs de votre choix.
d) Sp´ecifiez des valeurs par d´efaut pour votre fonction et ex´ecutez alors votre fonction avec ou
sans les arguments par d´efaut.
Exercice 2. Le crible d’Eratosth`ene
a) ´ Ecrivez une fonction listant les nombres premiers inf´erieurs `a Nen vous servant du crible
d’Eratosth`ene.
Remarque : Pour que cet exercice vous soit r´eellement profitable, je vous sugg`ere de ne pas
regarder le code du cours mais de le faire par vous mˆeme ! ! !
b) Afin de rendre votre code plus lisible, d´efinissez `a l’int´erieur de votre fonction pr´ec´edente une
nouvelle fonction permettant d’ˆoter les entiers ind´esirables du crible.
Exercice 3. M´ethode de la dichotomie
Afin de trouver le z´ero d’une fonction (continue), la m´ethode de la dichotomie peut ˆetre une
alternative `a l’algorithme de Newton.
a) Si vous n’ˆetes pas familier avec cette m´ethode, allez trouver de la documentation sur internet.
b) ´ Ecrivez une fonction trouvant le z´ero d’une fonction fournie par l’utilisateur.
c) Essayez votre code avec la fonction f(x) = x3+2x2−7 dont nous savons qu’un z´ero appartient
`a [0,2]. Une pr´ecision `a 10−6est demand´ee.
d) Essayez avec d’autres fonctions de votre choix.
e) Lisez la documentation de la fonction stop() et servez vous en afin de renvoyer une erreur si
les bornes initiales sont invalides.
f) Comparez vos r´esultats avec la fonction uniroot().
Exercice 4. Ensemble de Julia
L’ensemble de Julia est une g´en´eralisation de l’ensemble de Mandelbrot que nous avons crois´e en
cours. De mani`ere non formelle, l’ensemble de Julia pour une fonction (rationnelle) complexe f
donn´ee est form´e des points z∈Ctels que les suites
zn+1 =f(zn), z0=z∗∈C
zn+1 =f(zn), z0=z∗+ε∈C
1

ont un comportement totalement diff´erent .
Pour ce qui nous concerne, nous allons nous restreindre au cas o`u f(z) = z2+c. Notons donc
au passage que l’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des points c∈Ctel que la suite {zn}est
born´ee avec z0= 0. En quelque sorte pour l’ensemble de Mandelbrot on fixe le z0et on trouve les
points calors que pour l’ensemble de Julia, on fait l’inverse.
a) Sachant que la m´ethode pour repr´esenter les ensembles de Julia est exactement la mˆeme que
pour l’ensemble de Mandelbrot, ´ecrivez une fonction permettant de d´efinir les ensembles de
Julia.
Remarque : L`a encore pour que cet exercice vous soit vraiment profitable, essayez par vous
mˆeme d’´ecrire cette fonction sans regarder le cours. . .
b) Essayez avec c=−0.74543 + 0.11301iet c=−0.1+0.651i.
Remarque : Vous pourrez utiliser la fonction image pour faire une repr´esentation graphique de
ces ensembles.
c) Regardez l’´evolution de ces ensembles lorsque le nombre d’it´erations augmente.
d) Pouvez vous ´ecrire un code ne comportant qu’une boucle for—et non deux comme je suppose
que vous l’avez fait. . . Comparez la vitesse de ces deux codes et commentez.
Exercice 5. Les polynˆomes
a) ´ Ecrivez une fonction qui ´evalue en un point xun polynˆome de la forme
P(x) = c1+c2x+c3x2+· · · +cnxn.
Votre fonction, nomm´ee polydirect, devra prendre en argument xet le vecteur des coefficients
c1, . . . , cn.
b) Lorsque nest grand, il existe une m´ethode plus efficace pour ´evaluer un polynˆome : la r`egle
d’Horner, i.e.,
1. Poser an←cn;
2. Pour i=n−1,...,1, poser ai←ai+1x+ci;
3. Retourner a1—qui est en fait la valeur de P(x) !
´
Ecrivez une fonction, nomm´ee polyHorner, qui ´evalue le polynˆome Pen xselon cette r`egle.
c) Si ce n’est pas le cas, modifiez en cons´equence les deux fonctions pr´ec´edentes de telle sorte que
si xest un vecteur, les fonctions renvoient un vecteur ´egalement.
Exercice 6. Matrice stochastique
Consid´erons la matrice suivante
P=
0,1 0,2 0,3 0,4
0,4 0,1 0,2 0,3
0,3 0,4 0,1 0,2
0,2 0,3 0,4 0,1
.
Cette matrice est en fait une matrice stochastique, i.e., toutes les entr´ees sont positives et les lignes
somment `a 1. 1
1. Si vous ˆetes curieux, votre prof pourra vous donner de plus amples d´etails sur son utilit´e.
2

a) Utilisez la fonction apply() pour v´erifier que c’est bien une matrice stochastique.
b) Calculez Pnpour n= 2,3,5,10. Que constatez vous ?
c) Trouvez un vecteur xdont les ´el´ements sont non n´egatifs et somment `a 1 v´erifiant
(Id −P)x= 0.
o`u Id est la matrice d’identit´e. Que pouvez vous dire de x?
3