Feuille 2 Méthodes itératives pour syst`emes linéaires

ENSIMAG 1`ere ann´ee (2008-09) TD M´ethodes num´eriques
Feuille 2
M´ethodes it´eratives pour syst`emes lin´eaires
Exercice 1 : Rayon spectral d’une matrice
A une norme kk sur Cnon associe une norme matricielle sur Mn(C), appel´ee
norme induite par la norme kk de Cn, et d´efinie par
kAk=Sup
x∈Cn,kxk=1 kA xk
pour toute matrice A∈Mn(C). On appelle rayon spectral d’une matrice
A∈Mn(C) et on note ρ(A) le plus grand module des valeurs propres de A.
1- Montrer que pour toute norme induite sur Mn(C) et pour tout A∈Mn(C)
on a ρ(A)≤ kAk.
2- Etant donn´e A∈Mn(C) et  > 0, montrer qu’il existe une norme induite
telle que kAk ≤ ρ(A) + .
Indication : mettre la matrice Asous forme de Jordan (voir annexe), puis
faire un changement de base de mani`ere `a rendre ses coefficients non diago-
naux d’ordre .
3- Montrer que lim
k→+∞Ak= 0 si et seulement si ρ(A)<1.
4- Montrer que pour toute norme sur Mn(C), lim
k→+∞kAkk1/k =ρ(A).
Exercice 2 : Suites r´ecurrentes lin´eaires
Etant donn´e M∈Mn(R) et f∈Rn, on consid`ere la suite (xk)k≥0dans Rn
d´efinie par
xk+1 =M xk+f, x0∈Rn.(1)
On suppose que la matrice I−Mest inversible.
1- Montrer que si la suite (xk) converge vers x∈Rnalors
(I−M)x=f. (2)
1

2- Montrer que (xk) converge pour tout x0∈Rnsi et seulement si ρ(M)<1.
Etudier la vitesse de convergence de la suite en fonction de ρ(M).
Dans la suite du probl`eme on suppose que ρ(M)<1.
3- Montrer qu’il existe une norme induite pour laquelle kMk<1.
4- En utilisant la question 3, montrer que
kxk−xk ≤ kMk
1− kMkkxk−xk−1k.
5- En d´eduire l’estimation d’erreur
kxk−xk ≤ kMkk
1− kMkkx1−x0k.
Exercice 3 : M´ethodes it´eratives pour des syst`emes lin´eaires
Etant donn´e une matrice inversible A∈Mn(R) et b∈Rn, on souhaite
r´esoudre le syst`eme lin´eaire
A x =b, x ∈Rn,(3)
en utilisant une m´ethode it´erative. Pour cela on d´ecompose la matrice A
en A=M−Navec Minversible, et on consid`ere la suite (xk)k≥0dans Rn
d´efinie par
M xk+1 =N xk+b, x0∈Rn.(4)
1- Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur Met Npour que la suite
(xk) converge vers xquel que soit x0∈Rn.
Dans la suite de l’exercice on suppose Asym´etrique d´efinie positive. On
munit Rnde la norme kxk=√xtAx, et Mn(R)de la norme induite associ´ee.
2- Montrer que Mt+Nest sym´etrique.
3- Montrer que si Mt+Nest sym´etrique d´efinie positive alors kM−1Nk<1
et la suite (xk) converge vers x.
Indication : ´etant donn´e v∈Rnet w=M−1Av, montrer les ´egalit´es
kM−1Nvk2=kv−wk2=kvk2−wt(Mt+N)w.
2

Exercice 4 : M´ethodes de Jacobi et Gauss-Seidel
On consid`ere le syst`eme lin´eaire (3) de l’exercice pr´ec´edent et le sch´ema
it´eratif (4). On d´ecompose la matrice Aen A=L+D+U, o`u Dest la
matrice diagonale telle que dii =aii et
L=
0··· ··· 0
a21
....
.
.
.
.
........
.
.
an1··· an,n−10
, U =
0a12 ··· a1n
.
.
........
.
.
.
.
....an−1,n
0··· ··· 0
.
1- La m´ethode de Jacobi consiste `a choisir M=Det N=−L−U. Montrer
que si Aest `a diagonale strictement dominante alors l’it´eration de Jacobi
converge.
Indication : on pourra estimer kM−1Nk∞avec la formule donn´ee en annexe.
2- La m´ethode de Gauss-Seidel consiste `a fixer M=D+Let N=−U
(l’´etude de sa convergence est abord´ee dans l’exercice suivant). Montrer
qu’on peut programmer cette m´ethode en utilisant un seul vecteur `a ncom-
posantes pour stocker les donn´ees.
Exercice 5 : M´ethode SOR
Afin de r´esoudre le syst`eme lin´eaire (3) de mani`ere it´erative, on consid`ere la
m´ethode SOR (“successive over-relaxation”) d´efinie par
(D+ωL)xk+1 = [(1 −ω)D−ωU ]xk+ωb, x0∈Rn(5)
o`u ω > 0 est un param`etre et les matrices L, U, D sont d´efinies dans l’exercice 4
`a partir de la matrice Ade (3). Pour ω= 1 on retrouve en particulier la
m´ethode de Gauss-Seidel.
1- Sous quelle condition sur Ala matrice D+ωL est-elle inversible ?
2- Montrer que si la m´ethode SOR converge quel que soit x0∈Rnalors
0< ω < 2.
Indication : utiliser la question 1 de l’exercice 3 et calculer le d´eterminant
de
(D
ω+L)−1[1−ω ωD−U]
3

3- On suppose que la matrice Aest sym´etrique d´efinie positive. Montrer
que si 0 < ω < 2 alors la m´ethode SOR converge (utiliser la question 3 de
l’exercice 3).
Annexe
Forme r´eduite de Jordan
Toute matrice A∈Mn(C) peut s’´ecrire A=P J P −1avec Jde la forme
J=
J10··· ··· 0
0J20··· .
.
.
.
.
. 0 .......
.
.
.
.
..
.
....Jk−10
0 0 ··· 0Jk
, Jm=
λm1 0 ··· 0
0λm1....
.
.
.
.
. 0 ......0
.
.
..
.
....λm1
0 0 ··· 0λm
.
La matrice diagonale par blocs Jest appel´ee forme de Jordan de A. Les
matrices Jm(m= 1, . . . , k) de taille nm×nmsont appel´ees blocs de Jordan.
On appelle nml’indice du bloc de Jordan Jm(nm≥1). Lorsque Aest
diagonalisable on a k=net tous les blocs de Jordan sont d’indice 1.
Normes matricielles induites kk1et kk∞
Les normes matricielles induites par les normes vectorielles kxk1=Pn
i=1 |xi|
et kxk∞=Max
1≤i≤n|xi|sur Cns’´ecrivent pour tout A∈Mn(C)
kAk1=Sup
x∈Cn,kxk1=1 kA xk1=Max
j=1,...,n
n
X
i=1 |aij|,
kAk∞=Sup
x∈Cn,kxk∞=1 kA xk∞=Max
i=1,...,n
n
X
j=1 |aij|.
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