ENSIMAG 1ère année (2008-09) TD Méthodes numériques Feuille 2 Méthodes itératives pour systèmes linéaires Exercice 1 : Rayon spectral d’une matrice A une norme k k sur Cn on associe une norme matricielle sur Mn (C), appelée norme induite par la norme k k de Cn , et définie par kAk = Sup kA xk x∈Cn ,kxk=1 pour toute matrice A ∈ Mn (C). On appelle rayon spectral d’une matrice A ∈ Mn (C) et on note ρ(A) le plus grand module des valeurs propres de A. 1- Montrer que pour toute norme induite sur Mn (C) et pour tout A ∈ Mn (C) on a ρ(A) ≤ kAk. 2- Etant donné A ∈ Mn (C) et > 0, montrer qu’il existe une norme induite telle que kAk ≤ ρ(A) + . Indication : mettre la matrice A sous forme de Jordan (voir annexe), puis faire un changement de base de manière à rendre ses coefficients non diagonaux d’ordre . 3- Montrer que lim Ak = 0 si et seulement si ρ(A) < 1. k→+∞ 4- Montrer que pour toute norme sur Mn (C), lim kAk k1/k = ρ(A). k→+∞ Exercice 2 : Suites récurrentes linéaires Etant donné M ∈ Mn (R) et f ∈ Rn , on considère la suite (xk )k≥0 dans Rn définie par xk+1 = M xk + f, x0 ∈ Rn . (1) On suppose que la matrice I − M est inversible. 1- Montrer que si la suite (xk ) converge vers x ∈ Rn alors (I − M ) x = f. 1 (2) 2- Montrer que (xk ) converge pour tout x0 ∈ Rn si et seulement si ρ(M ) < 1. Etudier la vitesse de convergence de la suite en fonction de ρ(M ). Dans la suite du problème on suppose que ρ(M ) < 1. 3- Montrer qu’il existe une norme induite pour laquelle kM k < 1. 4- En utilisant la question 3, montrer que kxk − xk ≤ kM k kxk − xk−1 k. 1 − kM k 5- En déduire l’estimation d’erreur kxk − xk ≤ kM kk kx1 − x0 k. 1 − kM k Exercice 3 : Méthodes itératives pour des systèmes linéaires Etant donné une matrice inversible A ∈ Mn (R) et b ∈ Rn , on souhaite résoudre le système linéaire x ∈ Rn , A x = b, (3) en utilisant une méthode itérative. Pour cela on décompose la matrice A en A = M − N avec M inversible, et on considère la suite (xk )k≥0 dans Rn définie par M xk+1 = N xk + b, x0 ∈ Rn . (4) 1- Donner une condition nécessaire et suffisante sur M et N pour que la suite (xk ) converge vers x quel que soit x0 ∈ Rn . Dans la suite de l’exercice on √ suppose A symétrique définie positive. On n munit R de la norme kxk = xt Ax, et Mn (R) de la norme induite associée. 2- Montrer que M t + N est symétrique. 3- Montrer que si M t + N est symétrique définie positive alors kM −1 N k < 1 et la suite (xk ) converge vers x. Indication : étant donné v ∈ Rn et w = M −1 Av, montrer les égalités kM −1 N vk2 = kv − wk2 = kvk2 − wt (M t + N )w. 2 Exercice 4 : Méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel On considère le système linéaire (3) de l’exercice précédent et le schéma itératif (4). On décompose la matrice A en A = L + D + U , où D est la matrice diagonale telle que dii = aii et 0 ··· ··· 0 0 a12 · · · a1n .. .. .. .. . . . . . . . . . a . L = .21 . , U = . . . . . .. .. .. . . an−1,n .. .. an1 · · · an,n−1 0 0 ··· ··· 0 1- La méthode de Jacobi consiste à choisir M = D et N = −L − U . Montrer que si A est à diagonale strictement dominante alors l’itération de Jacobi converge. Indication : on pourra estimer kM −1 N k∞ avec la formule donnée en annexe. 2- La méthode de Gauss-Seidel consiste à fixer M = D + L et N = −U (l’étude de sa convergence est abordée dans l’exercice suivant). Montrer qu’on peut programmer cette méthode en utilisant un seul vecteur à n composantes pour stocker les données. Exercice 5 : Méthode SOR Afin de résoudre le système linéaire (3) de manière itérative, on considère la méthode SOR (“successive over-relaxation”) définie par (D + ωL) xk+1 = [(1 − ω)D − ωU ] xk + ωb, x0 ∈ Rn (5) où ω > 0 est un paramètre et les matrices L, U, D sont définies dans l’exercice 4 à partir de la matrice A de (3). Pour ω = 1 on retrouve en particulier la méthode de Gauss-Seidel. 1- Sous quelle condition sur A la matrice D + ωL est-elle inversible ? 2- Montrer que si la méthode SOR converge quel que soit x0 ∈ Rn alors 0 < ω < 2. Indication : utiliser la question 1 de l’exercice 3 et calculer le déterminant de 1−ω D D − U] ( + L)−1 [ ω ω 3 3- On suppose que la matrice A est symétrique définie positive. Montrer que si 0 < ω < 2 alors la méthode SOR converge (utiliser la question 3 de l’exercice 3). Annexe Forme réduite de Jordan Toute matrice A ∈ Mn (C) peut J1 0 · · · · · · 0 .. 0 J2 0 ··· . . .. . . .. .. J = .. 0 . . . . . . . . . . Jk−1 0 0 0 ··· 0 Jk s’écrire A = P J P −1 avec J λm 1 0 0 λm 1 .. , Jm = ... . 0 . . .. . . . .. 0 0 ··· de la forme ··· 0 . . . .. . .. . 0 . λm 1 0 λm La matrice diagonale par blocs J est appelée forme de Jordan de A. Les matrices Jm (m = 1, . . . , k) de taille nm × nm sont appelées blocs de Jordan. On appelle nm l’indice du bloc de Jordan Jm (nm ≥ 1). Lorsque A est diagonalisable on a k = n et tous les blocs de Jordan sont d’indice 1. Normes matricielles induites k k1 et k k∞ Les normes matricielles induites par les normes vectorielles kxk1 = et kxk∞ = Max |xi | sur Cn s’écrivent pour tout A ∈ Mn (C) 1≤i≤n kAk1 = kAk∞ = Sup x∈Cn ,kxk1 =1 kA xk1 = Max Sup x∈Cn ,kxk∞ =1 j=1,...,n n X i=1 kA xk∞ = Max i=1,...,n 4 |aij |, n X j=1 |aij |. Pn i=1 |xi |