Chapitre 5 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

Chapitre 5
Calcul des valeurs propres et des
vecteurs propres
5.1 Introduction
Une m´ethode de calcul des valeurs propres d’une matrice est n´ecessairement une m´ethode
it´erative. En effet, tout polynˆome peut ˆetre consid´er´e comme le polynˆome caract´eristique de la
matrice compagnon qui lui est associ´ee. Donc s’il ´etait possible d’avoir une m´ethode directe de
calcul des valeurs propres, ceci signifierait que l’on peut extraire toutes les racines d’un polynˆome
de degr´e arbitraire en un nombre fini d’op´erations ce qui est impossible grˆace notamment `a la
c´el`ebre th´eorie de Galois.
Une premi`ere classe de m´ethode it´erative de calcul de valeurs propres d’une matrice A, consiste
`a d´eterminer une suite de matrices inversibles {Pk}∞
k=1 telle que
Ak=P−1
kAPk−→
k→∞ R,
qui converge vers une matrice Rpour laquelle il est facile de calculer ses valeurs propres. Par
exemple, il peut s’agir d’une matrice diagonale ou d’une matrice triangulaire.
Etant donn´e que les matrices sont tous semblables `a la matrice originale A, ils admettent tous
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Calcul des valeurs propres 60
le mˆeme polynˆome caract´etistique PA.
PAk=PA−→
k→∞ PR
=⇒PR=PA
car la suite des PAkest constante. C’est l’id´ee de base de toutes les m´ethodes que nous allons
voir par la suite.
Une deuxi`eme classe de m´ethodes s’applique `a la recherche de certaines valeurs propres parti-
culi`eres comme la plus grande en module ou la plus petite. Ce sont les m´ethodes de puissance.
5.2 M´ethode de Jacobi
On fait l’hypoth`ese que la matrice Aest sym´etrique r´eelle, donc ceci assure des valeurs propres
r´eelles.
L’id´ee consiste `a trouver une suite de matrices orthogonales {Ok}∞
k=1 de sorte que la suite
Ak+1 =Ot
kAOk−→
k→∞ D
converge vers une matrice diagonale Dqui va contenir, selon l’introduction 5.1, les valeurs
propres de A.
A chaque ´etape, Okest choisie de fa¸con `a augmenter les termes diagonaux, i.e. la diagonale de
Ak+1 sera plus grande que celle de Akdans un sens qui reste `a pr´eciser.
Voici le choix de la matrice de rotation O
O=p
q
I0 0 0 0
0 cos θ0 sin θ0
0 0 I0 0
0−sin θ0 cos θ0
0 0 0 0 I

Calcul des valeurs propres 61
Par exemple, avec n= 5, p= 2 et q= 4
1 0 0 0 0
0 cos θ0 sin θ0
0 0 1 0 0
0−sin θ0 cos θ0
0 0 0 0 1
Posons B=OtAO. Pour calculer les entr´ees de B, interchangeons les lignes et les colonnes
correspondant aux indices pet q. On obtient
I0 0 0 0
0I0 0 0
0 0 I0 0
0 0 0 cos θ−sin θ
0 0 0 sin θcos θ
.
.
..
.
.
ˆ
Apq api aqi
.
.
..
.
.
0app apq
apq aqq
I0 0 0 0
0I0 0 0
0 0 I0 0
0 0 0 cos θsin θ
000−sin θcos θ
o`u ˆ Apq d´esigne la sous-matrice extraite de Aen retranchant les colonnes et lignes p, q.
La multiplication par blocs conduit `a
bpp bpq
bpq bqq
=
cos θ−sin θ
sin θcos θ
app apq
apq aqq
cos θsin θ
−sin θcos θ
L’identification des composantes donne
bpp =app cos2θ+aqq sin2θ−apq sin 2θ
bqq =app sin2θ+aqq cos2θ+apq sin 2θ
bpq =apq cos 2θ+app −aqq
2sin 2θ
aussi
bij =aij
bpi =api cos θ−aqi sin θ
bqi =api sin θ+aqi cos θ
∀i6=p, q

Calcul des valeurs propres 62
Or, si apq 6= 0 il existe toujours un angle θcompris entre −π/4< θ ≤π/4 d´efinie par
cot 2θ=aqq −app
2apq
Cette valeur de θrend bpq = 0 de sorte que
b2
pp +b2 qq =a2 pp +a2 qq + 2a2 pq
=⇒
n
X
i=1
b2
ii =X
i6=p,q
b2
ii +b2 pp +b2 qq
=X
i6=p,q
a2
ii +a2 pp +a2 qq + 2a2 pq
=
n
X
i=1
a2
ii + 2a2 pq >
n
X
i=1
a2
ii
Revenons `a la m´ethode de Jacobi.
Supposons que Aka d´ej`a ´et´e calcul´e. Comment choisir la matrice unitaire Okde sorte que
Ak+1 =Ot
kAkOk
– M´ethode de Jacobi classique : on choisit le couple (p, q) tel que
|a(k)
pq |= max
i6=ja(k)
ij
– M´ethode de Jacobi cyclique : on fait un balayage cyclique des ´el´ements hors diagonaux.
(1,2),(1,3),...,(1, n),(2,3),...,(2, n),...,(n−1, n)
Montrons la convergence de la m´ethode dans le cas classique.
Pour cela, posons Ak=Dk+Bko`u Dkrepr´esente la diagonale de Ak.
Montrons que Bk−→
k→∞ 0.
Consid´erons la norme de Frobenius ||Bk||Ede Bket posons
²k=||Bk||2
E=X
i6=j|a(k)
ij |2

Calcul des valeurs propres 63
Or ||Ak+1||E=||Ak||Ecar la norme de Frobenius est invariante sous l’action des matrices uni-
taires. Ceci se traduit par
X
i,j |a(k+1)
ij |2=X
i,j |a(k)
ij |2
⇐⇒ ²k+1 +X
i|a(k+1)
ii |2=²k+X
i|a(k)
ii |2
Or on a que
X
i|a(k+1)
ii |2=X
i|a(k)
ii |2+ 2|a(k)
pq |2
=⇒²k+1 =²k−2|a(k)
pq |2
De plus, par le choix du couple (p, q) , on a l’in´egalit´e
²k≤n(n−1)|a(k)
pq |2=n(n−1)
2(²k−²k+1) =⇒²k+1 ≤(1 −2 n(n−1))²k
Mais 1 −2
n(n−1) <1, d’o`u le r´esultat.
Nous allons diviser la preuve en plusieurs ´etapes.
–Montrons que la suite Dkest born´ee.
On a que
||Dk||E≤ ||Ak||E≤ ||A||E
Ainsi il existe au moins une sous-suite Dnkconvergente vers la matrice diagonale D. Or
Dnk→D
Bnk→0
=⇒Ank→D
Or le polynˆome caract´eristique de Ankest le mˆeme que celui de la matrice originale A, i.e.
PA=PAnk→PDce qui entraˆıne que PD=PA, donc Dcontient les valeurs propres de A.
Ceci montre aussi qu’il y a un nombre fini de valeurs d’adh´erence de la suite Dk.
–Montrons que Dk+1 −Dk−→
k→∞ 0.
On introduit la notation Dk= (a(k)
ii ). Selon la formule ci-dessus, on a que
a(k+1)
ii −a(k) ii =
0i6=p, q
−tan θka(k)
pq i=p
−tan θka(k)
pq i=q