ANALYSE p

Bertin DIARRA
ANALYSE p-ADIQUE
Cours de DEA - Alg`ebre Commutative
FAST - Universit´e du Mali
D´ecembre 1999 - Mars 2000 - D´ecembre 2000

Introduction
Soit pun nombre premier : p= 2,3,5,7, , . . .. Tout entier positif ma un d´eveloppement
en base p:m=a0+a1p+· · · +atpt,0≤aj≤p−1.
En 1897, K. Hensel a d´efini, en analogie avec les s´eries formelles P
n≥q
anXn, l’ensemble
des nombres p-adiques comme ´etant des s´eries de la forme P
n≥q
anpndont il convient de
pr´eciser la convergence. Par ailleurs, l’´etude de telles s´eries est intimement li´ee `a la
r´esolution d’´equations de congruences : par exemple, ´etant donn´e un entier a, trouver
une suite d’entiers (xn)n≥1telle que x2
n≡a(mod. pn), n≥1.
La notion g´en´erale de valeur absolue sur un corps a ´et´e introduite par J. K¨urschak
(1913). Et la classification de toutes les valeurs absolues sur le corps des nombres ra-
tionnels est due `a A. Ostrowski (1917).
L’utilisation des nombres p-adiques et plus g´en´eralement des corps valu´es est fr´equente
en Th´eorie des nombres et en G´eom´etrie alg´ebrique. D’autre part, depuis quelques ann´ees
plusieurs auteurs en Physique Math´ematique prennent comme corps de base, au lieu des
corps des nombres r´eels et complexes, les corps p-adiques.
Ce cours est une initiation `a quelques aspects ´el´ementaires de l’analyse p-adique.
Bellerive-sur-Allier le 25 Octobre 1999
i

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TABLE DES MATI` ERES
Introduction
Chapitre I : Corps valu´es ultram´etriques complets -
Les corps des nombres p-adiques
I - 1 : Valeurs absolues sur un corps ·········································· 1
Propri´et´es des corps valu´es ultram´etriques ····························· 8
I - 2 : Les corps des nombres p-adiques ······································· 7
I - 3 : Extensions alg´ebriques ················································21
I - 4 : Le corps lCp···························································31
I - 5 : Appendice : Les corps valu´es archim´ediens ·····························45
Chapitre II : Espaces de Banach ultram´etriques
II - 1 : D´efinition - Exemples ·················································51
II - 2 : Espaces de Banach libres ··············································56
II - 3 : Produits tensoriels topologiques ········································66
II - 4 : Exemples d’espaces de fonctions continues ·······························76
Chapitre III : Op´erateurs aux diff´erences finies p-adiques
III - 1 : Repr´esentations r´eguli`eres ···············································86
III - 2 : Les cas G= ZZpet G=Vq
III - 2 - 1 : Le cas G= ZZp·····················································104
III - 2 - 2 : Le cas G=Vqet lQp⊆K··········································109
III - 3 : Calcul ombral p-adique ·················································112
Chapitre IV : Interpolation p-adique
IV - 1 : Sommes ind´efinies ····················································128
IV - 2 : Fonctions strictement diff´erentiables
IV - 2 - 1 : D´efinitions et Propri´et´es ·············································133
IV - 2 - 2 : X= ZZpet lQp⊆K·············································144
IV - 3 : Int´egrale de Volkenborn
IV - 3 - 1 : D´efinition et propri´et´es ··············································153
IV - 3 - 2 : Les nombres de Bernoulli ···········································160

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IV - 4 : La fonction Γ p-adique
IV - 4 - 1 : Rappels sur la fonction Γ complexe ··································165
IV - 4 - 2 : D´efinition de la fonction Γ p-adique ································166
IV - 4 - 3 : Interpolation de Γp(n) - Quelques formules ························169
IV - 4 - 4 : Analycit´e de Γp···················································176
IV - 4 - 4 - 1 : Quelques rappels ················································176
IV - 4 - 4 - 2 : Analycit´e de Γp················································176
IV - 4 - 4 - 3 : La constante d’Euler p-adique ·································183
IV - 4 - 4 - 4 : Exercice ·······················································183
IV - 4 - 4 - 5 : Exercice ·························································184
IV - 5 : Fonctions ζ p-adiques
IV - 5 - 1 : Rappels sur la fonction ζde Riemann ································186
IV - 5 - 2 : Les fonctions ζ p-adiques ···········································187
IV - 5 - 3 : Lien avec la fonction ζde Riemann ···································193
Appendice : Fonctions exponentielle et logarithme p-adiques ···············197
Bibliographie ·····························································203

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Chapitre I
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Corps valu´es ultram´etriques complets
Les corps des nombres p-adiques
I - 1 : Valeurs absolues sur un corps
D´efinition : Soit Kun corps. Une valeur absolue sur Kest une application | | :K→
IR+telle que :
(1) |a|= 0 ⇐⇒ a= 0
(2) |ab|=|a||b| ∀a, b ∈K.
(3) |a+b| ≤ |a|+|b|(in´egalit´e triangulaire )
On dit que la valeur absolue | | est ultram´etrique, si au lieu de (3), on a
(3’) |a+b| ≤ max(|a|,|b|) ( in´egalit´e triangulaire forte ou ultram´etrique )
Il est clair que (3’) =⇒(3).
On d´eduit aussitˆot de (2) que | − 1|= 1,| − a|=|a|et a6= 0 =⇒ |a−1|=1
|a|
De mˆeme (3) =⇒ ka|−|bk ≤ |a−b|
Lorsque |a|= 1 pour tout a∈K∗=K\{0}, on dit que la valeur absolue est triviale.
Posant pour a, b ∈K, d(a, b) = |a−b|, on d´efinit une distance sur K. Dans le cas
d’une valeur absolue ultram´etrique, on a
d(a, c)≤max(d(a, b), d(b, c),∀a, b, c ∈K.
Lorsque Kmuni de la distance d(a, b) = |a−b|est un espace m´etrique complet, on
dit que Kest un corps valu´e (ultram´etrique) complet.
Proposition 1.1 Soit (K, | |)un corps valu´e. Le compl´et´e b Kde K, pour Kmuni de
la distance d(a, b) = |a−b|, est un corps.
La valeur absolue de Kse prolonge de fa¸con unique sur b Ken une valeur absolue
encore not´ee | |. Si la valeur absolue est ultram´etrique on a |b K|=|K|.