Bertin DIARRA ANALYSE p-ADIQUE Cours de DEA - Algèbre Commutative FAST - Université du Mali Décembre 1999 - Mars 2000 - Décembre 2000 Introduction Soit p un nombre premier : p = 2, 3, 5, 7, , . . .. Tout entier positif m a un développement en base p : m = a0 + a1 p + · · · + at pt , 0 ≤ aj ≤ p − 1. En 1897, K. Hensel a défini, en analogie avec les séries formelles P an X n , l’ensemble n≥q des nombres p-adiques comme étant des séries de la forme P an pn dont il convient de n≥q préciser la convergence. Par ailleurs, l’étude de telles séries est intimement liée à la résolution d’équations de congruences : par exemple, étant donné un entier a, trouver une suite d’entiers (xn )n≥1 telle que x2n ≡ a (mod. pn ), n ≥ 1. La notion générale de valeur absolue sur un corps a été introduite par J. Kürschak (1913). Et la classification de toutes les valeurs absolues sur le corps des nombres rationnels est due à A. Ostrowski (1917). L’utilisation des nombres p-adiques et plus généralement des corps valués est fréquente en Théorie des nombres et en Géométrie algébrique. D’autre part, depuis quelques années plusieurs auteurs en Physique Mathématique prennent comme corps de base, au lieu des corps des nombres réels et complexes, les corps p-adiques. Ce cours est une initiation à quelques aspects élémentaires de l’analyse p-adique. Bellerive-sur-Allier le 25 Octobre 1999 i ii TABLE DES MATIÈRES Introduction Chapitre I : Corps valués ultramétriques complets Les corps des nombres p-adiques I - 1 : Valeurs absolues sur un corps · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 Propriétés des corps valués ultramétriques · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 I - 2 : Les corps des nombres p-adiques · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 I - 3 : Extensions algébriques · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21 I - 4 : Le corps Cl p · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·31 I - 5 : Appendice : Les corps valués archimédiens · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·45 Chapitre II : Espaces de Banach ultramétriques II - 1 : Définition - Exemples · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51 II - 2 : Espaces de Banach libres · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 56 II - 3 : Produits tensoriels topologiques · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 66 II - 4 : Exemples d’espaces de fonctions continues · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 76 Chapitre III : Opérateurs aux différences finies p-adiques III - 1 : Représentations régulières · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ···86 III - 2 : Les cas G = ZZp et G = Vq III - 2 - 1 : Le cas G = ZZp · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·104 III - 2 - 2 : Le cas G = Vq et Q l p ⊆ K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 109 III - 3 : Calcul ombral p-adique · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··112 Chapitre IV : Interpolation p-adique IV - 1 : Sommes indéfinies · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 128 IV - 2 : Fonctions strictement différentiables IV - 2 - 1 : Définitions et Propriétés · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 133 IV - 2 - 2 : X = ZZp et Q lp⊆K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 144 IV - 3 : Intégrale de Volkenborn IV - 3 - 1 : Définition et propriétés · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··153 IV - 3 - 2 : Les nombres de Bernoulli · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··160 iii IV - 4 : La fonction Γ p-adique IV - 4 - 1 : Rappels sur la fonction Γ complexe · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··165 IV - 4 - 2 : Définition de la fonction Γ p-adique · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·166 IV - 4 - 3 : Interpolation de Γp (n) - Quelques formules · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 169 IV - 4 - 4 : Analycité de Γp · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 176 IV - 4 - 4 - 1 : Quelques rappels · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 176 IV - 4 - 4 - 2 : Analycité de Γp · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 176 IV - 4 - 4 - 3 : La constante d’Euler p-adique · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 183 IV - 4 - 4 - 4 : Exercice · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 183 IV - 4 - 4 - 5 : Exercice · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 184 IV - 5 : Fonctions ζ p-adiques IV - 5 - 1 : Rappels sur la fonction ζ de Riemann · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ···186 IV - 5 - 2 : Les fonctions ζ p-adiques · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 187 IV - 5 - 3 : Lien avec la fonction ζ de Riemann · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ···193 Appendice : Fonctions exponentielle et logarithme p-adiques · · · · · · · · · · · · · · · 197 Bibliographie · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 203 1 Chapitre I ———— Corps valués ultramétriques complets Les corps des nombres p-adiques I-1: Valeurs absolues sur un corps Définition : Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | | : K → IR+ telle que : (1) |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 (2) |ab| = |a||b| (3) |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ K. ( inégalité triangulaire ) On dit que la valeur absolue | | est ultramétrique, si au lieu de (3), on a (3’) |a + b| ≤ max(|a|, |b|) ( inégalité triangulaire forte ou ultramétrique ) Il est clair que (3’) =⇒ (3). On déduit aussitôt de (2) que | − 1| = 1, | − a| = |a| et a 6= 0 =⇒ |a−1 | = 1 |a| De même (3) =⇒ ka| − |bk ≤ |a − b| Lorsque |a| = 1 pour tout a ∈ K ∗ = K \ {0}, on dit que la valeur absolue est triviale. Posant pour a, b ∈ K, d(a, b) = |a − b|, on définit une distance sur K. Dans le cas d’une valeur absolue ultramétrique, on a d(a, c) ≤ max(d(a, b), d(b, c), ∀a, b, c ∈ K. Lorsque K muni de la distance d(a, b) = |a − b| est un espace métrique complet, on dit que K est un corps valué (ultramétrique) complet. Proposition 1.1 b de K, pour K muni de Soit (K, | |) un corps valué. Le complété K la distance d(a, b) = |a − b|, est un corps. b en une valeur absolue La valeur absolue de K se prolonge de façon unique sur K b = |K|. encore notée | |. Si la valeur absolue est ultramétrique on a |K| 2 Démonstration : ∗ Soit C(K) = {A = (an )n≥1 ∈ K IN / lim n→+∞ m→+∞ |an − am | = 0} l’ensemble des suites de Cauchy de K. • Toute suite A = (an )n≥1 ∈ C(K) est bornée. En effet, il existe n1 entier tel que ∀m, n ≥ n1 , on a |an − am | < 1; en particulier, |an − an1 | < 1, ∀n ≥ n1 . D’où |an | < 1 + |an1 |, ∀n ≥ n1 et α = sup |an | ≤ max(|a1 |, . . . , |an1 |, 1 + |an1 |). n≥1 • C(K) est un anneau unitaire, d’unité 1 = (1, 1, . . . 1, . . .). ∗ Il suffit de vérifier que C(K) est un sous-anneau de l’anneau produit K IN . Par exemple, si A = (an )n≥1 , B = (bn )n≥1 ∈ C(K) on a pour n ≥ 1, m ≥ 1, an bn − am bm = (an −am )bn +am (bn − bm ), ainsi |an bn −am bm | ≤ β|an −am |+α|bn −bm | où α = sup |an | n≥1 et β = sup |bn |. n≥1 On en déduit que lim n→+∞ m→+∞ |an bn − am bm | = 0, c’est- à-dire AB ∈ C(K). ∗ • Soit M(K) = {A = (an )n≥1 ∈ K IN / lim |an | = 0}. Puisque |an − am | ≤ |an | + n→+∞ |am | , il vient que si A ∈ M(K), on a lim n→+∞ m→+∞ |an − am | = 0 et donc M(K) ⊂ C(K). On vérifie aussitôt que M(K) est un idéal de C(K). b = C(K)/M(K) est un corps. • L’anneau quotient K Considérons A = (an )n≥1 ∈ C(K) \ M(K). Puisque kan |−|am k ≤ |an −am |, la suite (|an |)n≥1 est une suite de Cauchy dans IR+ , α donc lim |an | = α > 0. Ainsi, il existe n0 ≥ 1 et pour tout n ≥ n0 , on a ||an | − α| < , n→+∞ 2 α ainsi < |an |, ∀n ≥ n0 . 2 Soit B = (bn )n≥1 , la suite définie en posant bn = 1, pour 1 ≤ n < n0 et bn = an , pour n ≥ n0 . Alors |bn − bm | = |an − am |, pour n, m ≥ n0 et B = (bn )n≥1 ∈ C(K). 4 −1 −1 −1 De plus b−1 |bm |−1 |bn − bm | ≤ 2 |an − am |. n ∈ K, ∀n ≥ 1 avec |bn − bm | = |bn | α −1 −1 −1 Il vient que lim |bn − bm | = 0 et C = bn n≥1 ∈ C(K). D’autre part, comme n→+∞ m→+∞ |an − bn | = 0, ∀n ≥ n0 , on a A − B ∈ M(K). b = 1. b Mais Posons b a = la classe de A modulo M(K). Puisque BC = 1, on a bbb c = bc bb = b b Mais la classe a, il vient que si A ∈ C(K) \ M(K), sa classe b a est inversible dans K. 3 b si et seulment si A ∈ b a d’un élément A de C(K) est non nulle dans K / M(K). On en b est inversible et K b est un corps. déduit que tout élément non nul de K b Posons |b • Soient A = (an )n≥1 ∈ C(K) et b a sa classe dans K. a| = lim |an |; alors |b a| n→+∞ ne dépend pas de A ∈ b a . En effet, si A, B ∈ b a, on a A−B ∈ M(K) et comme |an | ≤ |an −bn |+|bn | et |bn | ≤ |bn −an |+|an |, on obtient |b a| = lim |an | = lim |bn | = |bb|. n→+∞ n→+∞ b une valeur absolue. Considérons On vérifie alors que |b a| = lim |an | définit sur K n→+∞ d = |a|. b définie par i(a) = (a, . . . , a . . .) Alors |i(a)| l’injection canonique i : K → K b | |) est complet et K est dense dans K. b • (K, b la classe de A = (an ) Soit b a∈K n≥1 ∈ C(K), pour tout ε > 0, il existe nε tel que d pour m, n ≥ nε , on a |am − an | < ε, ainsi |b a − i(a n )| = lim |am − an | ≤ ε.Il vient m→∞ b que lim |b a − i(c an ) = 0 et K est dense dans K. n→+∞ Soit (b a(n))n≥1 une suite de Cauchy. Considérons A(m) = (am (n))m≥1 ∈ b a(n). Pour tout ε > 0, il existe nε tel que pour n, q ≥ nε , on a |b a(n) − b a(q)| = = lim |am (n) − am (q)| < ε. m→+∞ Mais il existe mε tel que ∀m ≥ mε , on a |am (n) − am (q)| < ε , pour tous n, q ≥ nε . Ainsi ∀m ≥ max(mε , nε ), ∀n ≥ nε , on a |am (n) − am (m)| < ε. La suite A = (am (m))m≥1 appartient à C(K). Si b a est la classe de A , on a lim lim |b a(n) − b a| = n→+∞ lim |am (n) − am (m)| ≤ ε, pour tout ε > 0, donc limn→+∞ |b a(n) − b a| = 0, n→+∞ m→+∞ b est complet. c’est- à-dire b a = lim b a(n) et K n→∞ • Soient (L, | |1 ) un corps valué complet , j : K → L un morphisme isométrique de b → L, corps. Alors j se prolonge de façon unique en un morphisme isométrique b j:K b b en posant pour b a ∈ K, j(b a) = lim j(an ). Si de plus j(K) est dense dans L , on n→+∞ b = L; dans ces conditions K b et L sont isométriquement isomorphes et K b est ab j(K) unique à un isomorphisme isométrique près. • Supposons (K, | |) ultramétrique. Soient a, b ∈ K tels que |a| = 6 |b|; alors |a ± b| = max(|a|, |b|). En effet, |a − b| ≤ max(|a|, |b|). Supposons |a| < |b|, alors |a − b| ≤ |b|; si l’on avait |a − b| < |b|, comme |a| < |b|, on aurait max(|a|, |a − b|) < |b| et |b| = |b − a + a| ≤ max(|a − b|, |a|) < |b|. Absurde! De même |a + b| = |a − (−b)| = max(|a|, | − b|) = max(|a|, |b|), lorsque |a| = 6 |b|. 4 b ou bien b Soit b a ∈ K; a = 0 =⇒ |b a| = 0 ∈ |K|; ou bien b a 6= 0 =⇒ α = |b a| = α lim |an | 6= 0 et il existe n0 ≥ 1 tel que < |an |, ∀n ≥ n0 . D’autre part , il n→+∞ 2 α existe n1 ≥ n0 tel que pour m, n ≥ n1 , on a |an − am | < , donc |an − an1 | < 2 α 2 < |an1 |, ∀n ≥ n1 et |an | = |an − an1 + an1 | = |an1 |, ∀n ≥ n1 , il vient que |b a| = lim |an | = |an1 | ∈ |K|. n→+∞ b = |K|. De plus la valuer absolue de K, prolongée à K, b est En conclusion |K| ultramétrique. Soit (K, | |) un corps valué ; la valeur absolue | | induit sur K une topologie T| | ayant pour système fondamental de voisinages d’un point a ∈ K, l’ensemble des boules ouvertes D− (a, ε) = {b ∈ K / |a − b| < ε}. Soient | |1 et | |2 deux valeurs absolues sur le corps K. Définition : Les valeurs absolues | |1 et | |2 sont équivalentes si T| |1 = T| |2 . Proposition 1.2 : Pour que deux valeurs absolues non triviales | |1 et | |2 sur un corps K soient équivalentes, il faut et il suffit que |a|1 < 1 =⇒ |a|2 < 1. Dans ces conditions, il existe δ > 0 tel que |a|2 = |a|δ1 , ∀a ∈ K. Démonstration : (i) Supposons T| |1 = T| |2 . Soit a ∈ K tel que |a|1 < 1, alors lim an = 0 pour la topologie T| n→+∞ |1 = T| |2 , lim |a|n2 = 0. n→+∞ Ainsi, il existe n0 ≥ 1 tel que |a|n2 0 < 1, d’où |a|2 < 1. (ii) Supposons “|a|1 < 1 =⇒ |a|2 < 1” . Alors si a ∈ K est tel que |a|1 > 1, on a |a−1 |1 < 1, d’où |a−1 |2 < 1 et |a|2 > 1 Fixons c ∈ K ∗ tel que |c|1 > 1, alors |c|2 > 1. Posons δ = δ (a) - (1) - Pour tout a ∈ K tel que |a|1 > 1 , on a |a|1 = |c|11 Considérons m, n, m0 , n0 des entiers > 0 tels que log |c|2 > 0. log |c|1 où δ1 (a) = log |a|1 > 0. log |c|1 m0 m < δ1 (a) < 0 n n donc 5 m log |a|1 (a) < δ1 (a) = ⇐⇒ log |cm |1 < log |an |1 n log |c|1 m c m log |a|2 entraı̂ne n < 1 ⇐⇒ < . a 2 n log |c|2 m c ⇐⇒ n < 1, ce qui a 1 0 an log |a|1 m0 n0 m0 (b) De même δ1 (a) = < 0 ⇐⇒ log |a |1 < log |c |1 ⇐⇒ m0 < 1, c log |c|1 n 1 ce qui entraı̂ne 0 an log |a|2 m0 < 0. m0 < 1 ⇐⇒ c log |c|2 n 2 En résumé : m log |a|2 m0 < < 0 n log |c|2 n • Ainsi par passage à la limite, on obtient δ1 (a) = log |a|1 log |a|2 = ⇐⇒ log |a|2 = log |c|1 log |c|2 log |c|2 log |a|1 = δ log |a|1 ⇐⇒ |a|2 = |a|δ1 lorsque |a|1 > 1. log |c|1 - (2) - Si a = 0, on a |0|2 = 0 = |0|δ1 1 1 = |a−1 |δ1 = δ et |a|2 = |a|δ1 . |a|2 |a|1 a a a δ - (4) - Si |a|1 = 1; comme |a|1 < |c|1 , on a < 1 =⇒ = =⇒ |a|2 = c 1 c 2 c 1 |c|2 δ |a| = |a|δ1 = 1; car par définition , |c|2 = |c|δ1 . |c|δ1 1 -(3) - Si 0 < |a|1 < 1, on a |a−1 |1 > 1 =⇒ |a−1 |2 = En résumé : ∀a ∈ K, |a|2 = |a|δ1 . On vérifie aussitôt que T| |1 = T| |2 . Corollaire : Si | |1 et | |2 sont deux valeurs absolues non triviales sur le corps K telles que |a|2 ≤ |a|1 , ∀a ∈ K; alors |a|2 = |a|1 , ∀a ∈ K. Démonstration : En effet, si |a|2 ≤ |a|1 , pour tout a ∈ K, alors |a|1 < 1 =⇒ |a|2 < 1. D’où |a|2 = |a|δ1 ≤ |a|1 pour tout a ∈ K, on a |a|δ−1 ≤ 1, lorsque a 6= 0, c’est-à -dire 1 (δ − 1) log |a|1 ≤ 0. Ou bien 0 < |a|1 < 1, alors δ − 1 ≥ 0 et δ ≥ 1. Ou bien |a|1 > 1, alors δ − 1 ≤ 0 et δ ≤ 1. En conclusion δ = 1. Soit 1 = 1K l’unité du corps K , on pose pour n entier ≥ 0, n.1 = 1 + · · · + 1. Rappelons que, ou bien n.1 6= 0, pour tout entier n ≥ 1, on dit dans ce cas que K est de caractéristique zéro; K contient le corps des nombres rationnels Q. l 6 Ou bien il existe n ≥ 2 tel que n.1 = 0; le plus petit entier vérifiant cette propriété est un nombre premier p, on dit alors que K est de caractéristique (première) p; de plus K contient le corps fini IFp à p éléments. Proposition 1.3 : Soit (K, | |) un corps valué. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) |n.1| ≤ 1,pour tout entier n ≥ 0. (ii) |a + b| ≤ max(|a|, |b|), ∀a, b ∈ K. Démonstration : On voit facilement par récurrence que (ii) implique (i) . n X n Supposons (i) vérifiée. Pour tout entier n ≥ 1, on a |(a + b)n | = ai bn−i ≤ i i=0 n n X X n i n−i |a ||b | ≤ |ai |i |b|n−i . i i=0 i=0 Puisque |a| et |b| ≤ max(|a|, |b|), on a pour 0 ≤ i ≤ n, |a|i |b|n−i ≤ (max(|a|, |b|))n , n d’où |a+b| ≤ n X 1 (max(|a|, |b|))n = (n+1)(max(|a|, |b|))n et |a+b| ≤ (n+1) n max(|a|, |b|), ∀n ≥ i=0 1. Par passage à la limite, on obtient |a + b| ≤ max(|a|, |b|). Définition : On dit qu’un corps valué (K, | |) est non-archimédien ou ultramétrique s’il vérifie les conditions équivalentes de la Proposition 1.3. Dans le cas contraire, on dit que c’est un corps valué archimédien. Propriétés des corps valués ultramétriques P.1 : P.2 : Soient a, b ∈ K tels que |a| 6= |b|, alors |a ± b| = max(|a|, |b|). n X aj = 0 =⇒ ∃i, j, i 6= j / |ai | = |aj |. j=1 P3: (an )n≥1 ⊂ K est une suite de Cauchy ⇐⇒ P.4 : Si lim an = a 6= 0, il existe n0 tel que |a| = |an |, ∀n ≥ n0 . P.5 : Si K est complet, une série n→+∞ X n≥1 P.6 : lim |an − an+1 | = 0. n→+∞ an converge dans K ⇐⇒ lim an = 0. n→+∞ Soit r > 0; les boules “fermées” (resp. ouvertes) D+ (a, r) = {b ∈ K / |a−b| ≤ r} 7 [resp. D− (a, r) = {b ∈ K / |a − b| < r}] sont des parties ouvertes et fermées pour la topologie T| | . P.7 : Si b ∈ D+ (a, r) [resp.D− (a, r)], alors D+ (b, r) = D+ (a, r) [resp. D− (b, r) = D− (a, r)]. P.8 : Posons D(a, r) = D+ (a, r) ou D− (a, r) . Soient a, b ∈ K; ou bien D(a, r) ∩ D(b, ρ) = ∅ ou bien D(a, r) ⊂ D(b, ρ) si r ≤ ρ et D(b, ρ) ⊂ D(a, r) si ρ ≤ r. P.9 : Posons Λ = D+ (0, 1) = {a ∈ K / |a| ≤ 1} et M = D− (0, 1) = {a ∈ K / |a| < 1}. (i) Soit a ∈ K , ou bien a ∈ Λ , ou bien a−1 ∈ Λ. (ii) Λ est un sous-anneau unitaire de K et M est l’unique idéal maximal de Λ. De plus U = {a ∈ K / |a| = 1} ⊂ Λ est un sous-groupe multiplicatif de K ∗ appelé S le groupe des unités de K. On a la partition Λ = U M. (iii) Λ est appelé l’anneau des entiers de (K, | |). La propriété P.9 - (i) - signifie que Λ est un anneau de valuation de K. Toute valeur absolue de K équivalente à | | définit le même anneau des entiers Λ. (iv) K = Λ/M est un corps, appelé le corps résiduel de (K, | |). La caractéristique de K est dite caractéristique résiduelle de K. P.10 : Valuation associée à | | (i) Posons pour a ∈ K, v| | (a) = v(a) = − log |a|; alors |a| = e−v(a) . On a : (1) v(a) = +∞ ⇐⇒ a = 0 (2) v(ab) = v(a) + v(b) (3) v(a + b) ≥ min(v(a), v(b)) ∀a, b ∈ K On dit que v est la valuation de K associée à la valeur absolue | | de K. Il est clair que Λ = {a ∈ K / v(a) ≥ 0} et M = {a ∈ K / v(a) > 0}. (ii) Réciproquement, si v : K → IR ∪ {+∞} satisfait aux conditions (1) , (2) , (3) cidessus ; on dit que v est une valuation réelle de K ; fixant 0 < ρ < 1 et posant |a|v = ρv(a) , a ∈ K ∗ et |0|v = 0; on définit une valeur absolue ultramétrique sur K. On a donc une bijection ( à équivalence près) entre valeurs absolues sur K et valuation réelles sur K. (iii) De façon générale, considérons un groupe commutatif totalement ordonné Γ dont la loi est notée +. Ajoutons à Γ un point ∞ tel que ν < ∞ pour tout ν ∈ Γ et S prolongeons à Γ {∞} l’addition de Γ en posant ∞ + ∞ = ∞; ν + ∞ = ∞ + ν = ∞, ∀ν ∈ Γ. Toute application v : K → Γ ∪ {∞} qui satisfait aux conditions (1) , (2), (3) de P.10 8 -(i)- est appelée une valuation de K à valeurs dans Γ. Alors l’anneau de valuation Λv de v est par définition Λv = {a ∈ K / v(a) ≥ 0}. C’est un anneau local d’idéal maximal Mv = {a ∈ K / v(a) > 0} et Kv = Λv/Mv est appelé le corps résiduel de (K, v). Remarque 1 : On déduit de P.6, que les composantes connexes de K muni de la topologie T| | sont réduites à un point : K est un espace topologique totalement discontinu. I-2: Les corps des nombres p-adiques Le corps des nombres réels peut être construit soit par les coupures de Dedekind, soit par complétion de Q l pour la valeur absolue usuelle. Nous allons construire les corps des nombres p-adiques en complétant Q l muni de ses valeurs absolues ultramétriques. Soit p un nombre premier , p = 2, 3, 5, 7 · · · . Considérons pour un entier n 6= 0, vp (n) le plus grand entier tel que pvp (n) divise n, i.e. n = pvp (n) n0 avec (n0 , p) = 1. On vérifie aussitôt que vp (nm) = vp (n) + vp (m) et vp (n + m) ≥ min(vp (n), vp (m)). m Soit a ∈ Q, l a= 6= 0, m, n ∈ ZZ. Posons vp (a) = vp (m) − vp (n). Alors vp (a) n m m0 est indépendant de la représentation de a en fraction . En effet si a = = 0 =⇒ n n 0 0 0 0 0 mn = m n =⇒ vp (mn ) = vp (m) + vp (n ) = vp (m ) + vp (n) =⇒ vp (m) − vp (n) = vp (a) = vp (m0 ) − vp (n0 ). m00 avec (m00 , p) = 1 = (n00 , p). n00 Posons vp (0) = +∞; l’application vp : Q l → ZZ ∪ {+∞} ⊂ IR ∪ {+∞} est une De plus a = pvp (a) valuation de Q, l c’est- à-dire vp satisfait aux axiomes (1) , (2) , (3) de P. 10 -(i)- à savoir (1) vp (a) = +∞ ⇐⇒ a = 0; (3) vp (a + b) ≥ min(vp (a), vp (b)). (2) vp (ab) = vp (a) + vp (b) m s mt + ns , b = ∈ Q, l on a a + b = et vp (a + b) = n t nt vp (mt+ns)−vp (nt) ≥ min(vp (mt), vp (ns))−vp (nt) = min(vp (m)+vp (t), vp (n)+vp (s))− Vérification de (3) : Soient a = vp (n) − vp (t) = min(vp (m) + vp (t) − vp (n) − vp (t), vp (n) + vp (s) − vp (n) − vp (t)) = min(vp (m) − vp (n), vp (s) − vp (t)) = min(vp (a), vp (b)). 9 Proposition 2.1 : Posons |0|p = 0 et pour a ∈ Q, l a 6= 0, |a|p = p−vp (a) . Alors | |p est une valeur absolue ultramétrique sur Q. l Démonstration : Immédiate à partir des propriétés de vp . On dit que vp (resp. | |p ) est la valuation p-adique (resp. la valeur absolue p-adique) de Q l m ∈ n Q l / (n, p) = 1} = anneau des fractions de ZZ par rapport à la partie multiplicative S = ZZ\ Remarque 2 : L’anneau des entiers Λp ( Q) l de ( Q, l | |p ) est égal à ZZ(p) = {a = pZZ. L’idéal maximal de Λp ( Q) l est Mp ( Q) l = pZZ(p) et le corps résiduel Λp ( Q)/ l Mp ( Q) l = IFp , le corps fini à p éléments . Théorème 2.2 : (Ostrowski) Toute valeur absolue non triviale | | sur Q l est équivalente soit à | |p pour un nombre premier p, soit à la valeur absolue usuelle notée | |∞ . Démonstration : Soit | | une valeur absolue sur Q. l Deux cas se présentent. -(i)- Premier cas : on a |n| ≤ 1, pour tout entier n ≥ 1. Puisque | | est non triviale, il existe n ≥ 1 tel que |n| < 1. Autrement on aurait |n| = 1, ∀n ≥ 1, d’où |n| = 1, ∀n ∈ ZZ, n 6= 0, et |a| = 1, ∀a ∈ Q, l a 6= 0. Soit n0 le plus petit entier positif non nul tel que |n0 | < 1. Alors n0 est un nombre premier p. En effet, si on avait n0 = n1 ·n2 , on aurait n1 ≤ n0 et n2 < n0 , vue la minimalité de n0 , on a |n1 | = 1 = |n2 | =⇒ |n0 | = |n1 | |n2 | = 1. Absurde. Soit q un nombre premier, q 6= p. Si on avait |q| < 1, comme lim |q s | = 0, il s→+∞ 1 1 . Puisque |p| < 1, il existe t tel que |pt | < . Mais q s 2 2 et pt sont premiers entre eux, ainsi il existe m, n ∈ ZZ tels que 1 = mpt + nq t , alors 1 1 1 = |1| = |mpt + nq t | ≤ |m||pt | + |n||q s | ≤ |pt | + |q s | < + = 1. Absurde. Ainsi |q| = 1, 2 2 pour tout nombre premier q 6= p. Y Y Soit n un entier ≥ 1, on a n = q vq (n) =⇒ |n| = |q|vq (n) . existerait s tel que |q s | < q|n Ou bien p 6 |n, alors |q| = 1, ∀q | n et |n| = 1. q|n 10 Ou bien p | n, alors |n| = |p|vp (n) Y |q|vp (n) = |p|vp (n) . q|n q6=p Il vient que |n| = |p|vp (n) pour tout entier n ≥ 1, ce qui reste vrai pour tout entier n ∈ ZZ, n 6= 0. Soit a = |m| m ∈ Q, l a 6= 0 , on a |a| = = |p|(vp (m)−vp (n)) = |p|vp (a) , avec n |n| 0 < |p| = ρ < 1. Mais ρ = |p| = p−δ où δ = − log ρ =⇒ |a| = (p−vp (a) )δ = |a|δp . Ainsi | | et | |p sont log p équivalentes. -(ii)- Deuxième cas : il existe m entier ≥ 1 tel que |m| > 1. Soit m0 le plus petit entier positif m tel que |m| > 1 ; alors m0 ≥ 2. a) Soit n = a0 + a1 m0 + · · · + at mt0 le développement en base m0 de l’entier n ≥ 1, on a 0 ≤ aj < m0 , at 6= 0 et mt0 ≤ n < mt+1 0 . Puisque m0 est minimal tel que |m0 | > 1, on a |aj | ≤ 1, ∀0 ≤ j ≤ t. Ainsi |n| = |a0 + a1 m0 + · · · + at mt0 | ≤ |a0 | + |a1 ||m0 | + · · · + |at ||mt0 | ≤ 1 + |m0 | + · · · + |m0 |t ≤ |m0 |t t X |m0 |−j ≤ |m0 |t j=0 Posant |m0 | = X |m0 |−j = M |m0 |t ≤ M n. j≥0 mγ0 , γ on obtient |n| ≤ M · mγt 0 ≤ M n , pour tout entier n ≥ 1. 1 Ainsi ∀` ≥ 1, |n` | = |n|` ≤ M nγ` =⇒ |n| ≤ M ` nγ . Faisant ` tendre vers +∞, on obtient (1) |n| ≤ nγ b) D’autre part, sachant que ||a| − |b|| ≤ |a − b| et mt0 ≤ n < mt+1 0 , on obtient t+1 (2) |mt+1 − n| ≤ |n| 0 | − |m0 γ(t+1) ; on déduit de (1) que |mt+1 − n| ≤ (mt+1 − n)γ . 0 0 t+1 Puisque mt0 ≤ n < mt+1 − n ≤ mt+1 − mt0 = mt+1 1 − m−1 . 0 , on a m0 0 0 0 Mais |m0 |t+1 = m0 γ(t+1) γ Ainsi |mt+1 − n| ≤ (mt+1 − n)γ ≤ m0 (1 − m−1 0 0 0 ) . γ γ γ(t+1) γ(t+1) γ(t+1) 1 − m−1 = |m0 |t+1 − m0 1 − m−1 ≤ |m0 |t+1 − D’où m0 − m0 0 0 γ γ(1+t) |mt+1 − n| ≤ |n|. Posons M0 = 1 − 1 − m−1 , on obtient M0 · m0 ≤ |n| et puisque 0 0 n < mt+1 , on a M0 · nγ ≤ |n|, ∀n ≥ 1. Il vient que M0 · nγ` ≤ |n` | = |n|` , ∀` ≥ 1, ou 0 1 encore M0` nγ ≤ |n|. D’où, comme ci-dessus (3) nγ ≤ |n|. En conclusion, ∀n ≥ 1 , on a |n| = nγ . 11 Notant | |∞ la valeur absolue usuelle sur Q, l on a |n| = |n|γ∞ , ∀n ≥ 1 , Il vient que m |m| |m|γ∞ ∈ Q, l |a| = = = |a|γ∞ . Les deux n |n| |n|γ∞ |n| = |n|γ∞ , ∀n ∈ ZZ et pour tout a = valeurs absolues | | et | |∞ sont donc équivalentes. N.B. : (a) Dans le cas (i) , | Q l ∗ | est un sous-groupe discret de IR∗+ . (b) ( Q, l | |∞ )b= IR. (c) On déduit de la démonstration que s’il existe m0 > 1 tel que |m0 | > 1, alors |n| = nγ pour tout entier n ≥ 0. Proposition 2.3 : u t (Formule du produit) Soit a ∈ Q, l a 6= 0. Pour presque tous les nombres premiers, on a |a|p = 1 et l’on Y a |a|∞ |a|p = 1. p Démonstration : Soit n un entier ≥ 1 et soit n = Y pvp (n) sa décomposition en facteurs primaires. On p|n a |n|∞ = Y pvp (n) = p|n Y |p|−vp (n) = Y p|n |n|−1 p . Mais si p 6 |n, on a vp (n) = 0 et |n|p = 1 p|n lorsque p 6 |n. Il vient que |n|∞ = Y |n|−1 p , c’est- à-dire |n|∞ p aussitôt que si n ∈ ZZ est non nul, alors |n|∞ Y |n|p = 1. On en déduit p Y |n|p = 1 et pour tout a ∈ Q, l a= p m 6= 0, n Y |m|∞ |m|p Y m 1 p Y on a |a|∞ = = 1. = n p 1 |n|∞ |n|p p p Définition : Soit p un nombre premier. Le complété Q l p = ( Q, l | |p )best appelé le corps des nombres p-adiques. Son anneau des entiers ZZp = {a ∈ Q l p / |a|p ≤ 1} est l’anneau des entiers p-adiques. Remarque 3 : Puisque | |p est ultramétrique, on a | Q l p |p = | Q| l p . La valuation sur Q l p prolongeant celle de Q l est telle que pour a ∈ Q l p , a 6= 0, vp (a) = − logp |a|p ∈ ZZ et |a|p = p−vp (a) . ( logp = le logarithme réel en base p ) 12 Lemme 2.4 : Soit a ∈ Q l tel que |a|p = 1. Il existe α ∈ IN tel que 0 < α ≤ p − 1 et |a − α|p ≤ |p|p = p−1 . Démonstration : m , avec (m, n) = 1 et vp (m) = n m v (a) avec (n, p) = 1 = (m, p) 0 = vp (n). Alors |a|p = |p|pp = 1 ⇐⇒ vp (a) = 0. Ainsi, a = n m(1 − sn) et il existe s, t ∈ ZZ tels que pt + sn = 1. On en déduit que a − sm = et que n |m|p |a − sm|p = |1 − sn|p = |pt|p ≤ |p|p = p−1 . |n|p Soit a ∈ Q, l a peut s’écrire sous la forme a = pvp (a) Par division euclidienne, on a sm = pk + α, avec 0 ≤ α ≤ p − 1 et |sm − α|p = |p|p |k|p ≤ |p|p = p−1 . D’où |a − α|p = |a − sm + sm − α|p ≤ max(|a − sm|p , |sm − α|p ) ≤ |p|p = p−1 . De plus 1 = |a|p = |α|p . On a déjà noté que tout entier n ≥ 1 admet un développement en base p : n = a0 + a1 p + . . . + at pt . On va montrer que tout nombre p-adique a un ” développement infini ” en base p et que IN est dense dans ZZp . Théorème 2.5 : Développement de Hensel (i) Tout élément a ∈ Q l p admet un développement unique sous forme de série conX vergente dans Q lp :a= an pn où j0 = vp (a) et 0 ≤ an ≤ p − 1, pour tout n≥j0 entier n ≥ j0 . (ii) L’anneau des entiers p-adiques ZZp est égal à l’ensemble des séries de la forme X a= an pn et IN est dense dans ZZp . n≥0 De plus ZZp est un anneau local principal, d’idéal maximal pZZp . Démonstration : −(α)− Soit a ∈ Q l p , a 6= 0; posons b = p−vp (a) a, alors vp (b) = 0 , i.e. |b|p = 1. Comme Q l est dense dans Q l p , il existe r ∈ Q l tel que |b − r|p ≤ |p|p . On déduit du Lemme 2.40 qu’il existe a0 ∈ ZZ tel que 0 < a0 ≤ p − 1 et |r − a0 |p ≤ |p|p . Ainsi |b − a0 |p ≤ |p|p et b − a0 = pn1 b1 , avec n1 ≥ 1 et |b1 |p = 1. 13 0 De même, il existe a1 , 0 < a1 ≤ p − 1 tel que b1 − a1 = pn2 b2 , n02 ≥ 1 , |b2 |p = 1. 0 Ainsi b = a0 + a1 pn1 + pn1 +n2 b2 = a0 + a1 pn1 + pn2 b2 , où n2 = n1 + n02 > n1 . Supposons par hypothèse de récurrence, avoir déterminé a0 , a1 , · · · , a` et n1 , n2 , · · · , n` tels que 0 < aj ≤ p − 1, 1 ≤ j ≤ ` , n1 < n2 < · · · < n` et b = a0 + a1 pn1 + · · · + a`−1 p`−1 + pn` b` , avec |b` |p = 1; alors, il existe a` , 0 < a` ≤ p − 1 et n0` ≥ 1 0 tels que b` − a` = pn` b`+1 , |b`+1 |p = 1. Et posant n` + n0` = n`+1 , on obtient b = a0 + a1 pn1 + · · · + a` pn` + pn`+1 b`+1 . Comme la suite (n` )`≥1 est strictement croissante, on a lim n` = +∞ et `→+∞ lim |p n`+1 `→+∞ b`+1 |p = 0. D’où b = lim a0 + `→+∞ ` X aj pnj = j=1 X an pn , où l’on a posé n≥0 an = 0 lorsque n 6∈ {0, nj , j ≥ 1}. −(β)− Si l’on a pour |a|p = 1, un autre développement de la forme X a= a0n pn , 0 ≤ a0n ≤ p − 1, alors |a0 − a00 |p ≤ |p|p . Ainsi, a0 ≡ a00 ( mod. p); n≥0 comme ces deux entiers sont compris entre 0 et p − 1, ils sont égaux. On voit alors de proche en proche que an = a0n , ∀n ≥ 0. Sachant que tout a ∈ Q l p est tel que a = pvp (a) b = pj0 b, |b|p = 1, on a le X développement en série ( unique ) a = αn pn où αn = an−j0 , n ≥ j0 , appelé n≥j0 développement de Hensel de a. −(γ)− En particulier, pour a ∈ ZZp , on a a = X an pn = n≥j0 vp (a) = j0 ≥ 0. Réciproquement si a ∈ Q l p est tel que a = X αn pn car n≥0 X an pn avec n≥j0 j0 j0 ≥ 0 et aj0 6= 0, on a a = p b et |a|p = p −j0 ≤ 1; d’où a ∈ ZZp . Il devient clair que IN est dense dans ZZp . Soit a ∈ M( Q l p ) = {a ∈ Q l p / |a| < 1}, on a a = pvp (a) b où vp (a) > 0 et |b|p = 1, ainsi a ∈ pZZp. Réciproquement , si a ∈ pZZp , on a a = pc et |a|p = |p|p |c|p ≤ p−1 < 1, i.e. a ∈ M( Q l p ). En conclusion : M( Q l p ) = pZZp . Soit I un idéal non nul de ZZp . L’ensemble {vp (a), a ∈ I} ⊂ IN admet un plus petit élément n, alors n ≤ vp (a), ∀a ∈ I. D’une part vp (p−n a) ≥ 0, ainsi p−n a ∈ ZZp , ou encore a ∈ pn ZZp , d’où I ⊂ pn ZZp . D’autre part, il existe c ∈ I tel que vp (c) = n, ainsi c = pn d avec |d| = 1, c’est-à-dire 14 que d est une unité de ZZp et donc pn = cd−1 ∈ I =⇒ pn ZZp ⊂ I. Corollaire 2.6 : L’anneau ZZp des entiers p-adiques est compact, de corps résiduel ZZp /pZZ = IFp le p corps fini à p éléments. Démonstration : Posons Ip = {0, 1, . . . , p − 1}. Considérons sur l’ensemble fini Ip la topologie discrète (Ip est compact) et sur IpIN la topologie produit qui en vertu du théorème de Tychonov X est un espace compact. L’application ϕ : IpIN −→ ZZp définie par ϕ (aj )j≥0 = aj pj j≥0 est bijective (unicité du développement de Hensel). De plus ϕ est continue. En effet les ouverts de ZZp sont de la forme a + pn ZZp = n−1 X aj pj + pn ZZp et ϕ−1 (a + j=0 n p ZZp ) = {a0 } × . . . × {an−1 } × Ip × . . . × Ip × . . . est ouvert dans IpIN . Puisque IpIN est compact et ϕ continue ϕ(IpIN ) = ZZp est compact. X Soit a ∈ ZZp ; on a a = a0 + aj pj = a0 + pb, avec 0 ≤ a0 ≤ p − 1, pb ∈ pZZ, ainsi j≥0 a ≡ a0 (mod. pZZp ). Soient a0 et b0 tels que 0 ≤ a0 , b0 ≤ p − 1 , on a a0 6≡ b0 (mod. pZZp ) et ZZp /pZZ = {0, 1, . . . , p − 1} = IFp est le corps fini à p éléments. p Remarque 4 : Soit Up = {a ∈ Q l p / |a| = 1} le groupe des unités p-adiques. On a ZZp = Up et on a les partitions ZZp = p−1 [ (j + pZZp ) et Up = Sp−1 j=1 (j S pZZp + pZZp ). j=0 Scholie. On dit d’un corps valué ultramétrique (K, | |) dont le groupe de valuation v(K ∗ ) (v(a) = − log |a|) est un sous-groupe discret de IR que c’est un corps de valuation discrète. Dans ces conditions , on a v(K ∗ ) = γZZ, où γ > 0. Un élément π de K tel que v(π) est le plus petit élément strictement positif du groupe discret v(K ∗ ) est appelé une uniformisante de K; par exemple ( Q l p , | |p ) est de valuation discrète d’uniformisante p. Si (K, | |) est de valuation discrète, on démontre, comme pour ( Q l p , | |p ) , que l’anneau des entiers Λ de K est un anneau local principal, d’idéal maximal M = πΛ et tout idéal non nul I de Λ est de la forme I = π n Λ, n ≥ 1 , π étant une uniformisante de K. t u 15 Comme pour Q l p , on a Proposition 2.7 : Soient (K, | |) un corps valué complet, de valuation discrète et π une uniformisante de K. Considérons un système de réprésentants S dans Λ du corps résiduel K = Λ/πΛ , avec 0 ∈ S. Alors tout élément a de K s’écrit de façon unique sous la forme d’une série converX 1 gente a = aj π j où j0 = v(a) ∈ ZZ et aj ∈ S, ∀j ≥ j0 . γ j≥j0 Démonstration : (i) Puisque v(a) = γv1 (a), v1 (a) ∈ ZZ et |a| = e−v(a) , on a |π| = e−1 =⇒ |a| = |π|v(a) = |π|γv1 (a) . Posant |a|1 = e−v1 (a) on obtient |a|1 = e− v(a) γ 1 = |a| γ =⇒ |a| = |a|γ1 . Les valeurs absolues | | et | |1 sont équivalentes. On peut donc supposer v(K ∗ ) = ZZ. (ii) Soit a ∈ K, a 6= 0; alors v(a) ∈ ZZ et |a| = |π|v(a) = |π v(a) |. Posant b = π −v(a) a, on obtient |b| = 1. Soit β0 l’unique élément de S tel que b = β 0 dans K, alors b − β0 ∈ M = πΛ et b − β0 = π n1 b1 , avec n1 ≥ 1, et |b1 | = 1; ainsi b = β0 + π n1 b1 . 0 De la même manière b1 = β1 +π n2 où n02 ≥ 1 et |b2 | = 1; ainsi b = β0 +β1 π n1 +π n2 b2 où n2 = n1 + n02 > n1 . Supposons qu’il exite β0 , β1 , . . . , β` ∈ S et n1 > n2 > . . . > n` tels que b = β0 + 0 β1 π n1 + . . . + β`−1 π n`−1 + π n` b` où |b` | = 1, alors b` = β` + π n`+1 b`+1 , où β` ∈ S et |b`+1 | = 1. Ainsi b = β0 +β1 π n1 +. . .+π n` β` +π n`+1 b`+1 , où n`+1 = n` +n0`+1 > n` . X X Alors, on a lim π n`+1 b`+1 = 0 et lim β` π n` = 0, d’où b = β` π n` = bj π j , `→+∞ `→+∞ `≥0 j≥0 avec bj ∈ S. X X Si b = bj π i = b0j π j où bj , b0j ∈ S, alors b0 ≡ b00 (mod. πΛ) , ainsi b0 = b00 . j≥0 Il vient que j≥0 P j≥1 bj π j−1 = 0 j−1 , j≥1 bj π P d’où b1 ≡ b01 (mod. πΛ) et b1 = b01 . De proche en proche on obtient bj = b0j , d’où l’unicité du développement en série de b. X Puisque a = π v(a) b = π j0 b, on a a = aj π j où aj = bj−j0 ∈ S. j≥j0 Lemme 2.8 : Méthode de Newton Soit n un entier ≥ 1. Soient P ∈ ZZp [X] et a ∈ ZZp tels que P (a) ≡ 0 ( mod. pn ZZp ) : i.e. |P (a)|p ≤ p−n . 16 Soit P 0 la dérivée de P . Si l’on a |P 0 (a)|p = p−k où 0 ≤ 2k < n; alors b = a− P (a) ∈ ZZp est tel que P 0 (a) (i) b ≡ a (mod. pn−k ZZp ) (ii) P (b) ≡ 0 (mod. pn+1 ZZp ) (iii) |P 0 (b)|p = |P 0 (a)|p = p−k . Démonstration : m X P (j) a) Soit P (X) = (x − a)j le développement de Taylor de P . On a P (X) = j! j=0 P (a) + P 0 (a)(X − a) + (X − a)2 P2 (X), avec P2 ∈ ZZp [X]. Considérant b = a − P (a) , on P 0 (a) 2 2 P (a) 0 P (a) P (a) P2 (b) = P2 (b), avec P2 (b) ∈ ZZp . obtient P (b) = P (a)− 0 P (a)+ P (a) P 0 (a) P 0 (a) Notons | |p = | |. On a |P (b)| = |P (a)|2 |P (a)|2 |P (a)|2 p−2n |P (b)| ≤ = ≤ = 2 |P 0 (a)|2 |P 0 (a)|2 p−2k p−2k p−2n+2k = p−n−(n−2k) . Mais par hypothèse 0 ≤ 2k < n , donc n − 2k ≥ 1 et |P (b)| ≤ p−n · p−(n−2k) ≤ p−n−1 . Il est clair que |b − a| = |P (a)| ≤ p−n+k = p−(n−k) , i.e. b ≡ a ( mod. pn−k ). |P 0 (a)| Considérant le développement de Taylor P 0 (X) = P 0 (a) + P 00 (a)(X − a) + (X − 2 P (a) P (a) a)2 R2 (X), on a R2 ∈ ZZp [X], et P 0 (b) = P 0 (a) − 0 P 00 (a) + R2 (a). P (a) P 0 (a) P (a) 2 P (a) 00 |P (a)| |P (a)|2 −(n−k) De plus 0 P (a) ≤ ≤ p et R (a) ≤ ≤ 2 P 0 (a) P a) |P 0 (a)| |P 0 (a)|2 p−2(n−k) . 2 P (a) P (a) Ainsi − 0 P 00 (a) + R (a) ≤ max(p−(n−k) , p−2(n−k) ) = p−(n−k) < 2 0 P (a) P (a) p−k = |P 0 (a)|. D’où l’on déduit 2 P (a) 00 P (a) 0 0 R (a) |P (b)| = P (a) − 0 P (a) + = |P 0 (a)| = p−k . 2 P (a) P 0 (a) 17 Théorème 2.9 : (Lemme de Hensel) Soient P ∈ ZZp [X] et a ∈ ZZp tels que P (a) ≡ 0 (mod. pZZp ) i.e. |P (a)|p ≤ p−1 . Si l’on a |P 0 (a)|p = 1, il existe une racine simple et unique ξ = ξa de P dans ZZp tel que ξ ≡ a (mod. pZZp ) et |P 0 (ξ)| = |P 0 a)|p = 1. Démonstration : Posons a0 = a et b = a1 = a0 − P (a0 ) . Appliquant le Lemme 2.8 (ici n = 1 et P 0 (a0 ) k = 0), on a a1 ≡ a0 (mod. pZZp ); P (a1 ) ≡ 0 (mod. p2 ZZp ) et |P 0 (a1 )| = |P 0 (a0 )| = 1. Supposons avoir déterminé, a0 , a1 , . . . , a` , . . . , aj−1 ∈ ZZp tels que : a` ≡ a`−1 (mod. p` ZZp ) P (a` ) ≡ 0 (mod. p`+1 ZZp ) |P 0 (a` )|p = |P 0 (a`−1 )|p = . . . |P 0 (a0 )|p = 1 Considérons aj = aj−1 − P (aj−1 ) , appliquant à nouveau le Lemme 2.8, ici pour P 0 (aj−1 ) n = j et k = 0, on a : aj ≡ aj−1 (mod. pj ZZp ) P (aj ) ≡ 0 (mod. pj+1 ZZp ) |P 0 (aj )|p = 1 Ainsi, on a construit par récurrence une suite (aj )j≥0 ⊂ ZZp telle que (1) |aj − aj−1 |p ≤ p−j (2) |P (aj )|p ≤ p−j−1 , (3) |P 0 (aj )|p = 1 ∀j ≥ 1 On déduit de (1) que (aj )j≥0 est une suite de Cauchy dans ZZp . Soit ξ = lim aj ∈ j→+∞ ZZp . On déduit de (2) que lim P (aj ) = 0 = P lim aj = P (ξ). Par (3), on obtient j→+∞ j→+∞ 0 0 1 = lim |P (aj )|p = lim P (aj ) = |P 0 (ξ)|p . Ainsi ξ est une racine simple de P . j→+∞ j→+∞ p D’autre part |aj −a0 |p = |aj −aj−1 +. . .+a1 −a0 |p ≤ max(p−j , pj+1 , . . . , p−1 ) = p−1 ; d’où l’on déduit lim |aj − a0 |p = |ξ − a0 |p ≤ p−1 , i.e. ξ ≡ a0 = a ( mod. pZZp ). j→+∞ Supposons ξ 0 ∈ ZZp tel que P (ξ 0 ) = 0 et ξ 0 ≡ a (mod. pZZp ). Alors |ξ 0 − ξ|p = |ξ 0 − a + a − ξ|p ≤ max(|ξ 0 − a|p , |ξ 0 − a|) ≤ p−1 . 18 Soit P (X) = P (ξ) + P 0 (ξ)(X − ξ) + (X − ξ)2 R2 (X) = P 0 (ξ)(X − ξ) + (X − ξ)2 R2 (X) le développement de Taylor de P au point ξ. Puisque 0 = P (ξ 0 ) = P 0 (ξ)(ξ 0 − ξ) + (ξ 0 − ξ)2 R2 (ξ), avec on a (ξ − ξ 0 )P 0 (ξ) = (ξ 0 − ξ)2 R2 (ξ) . Mais si on avait ξ 0 6= ξ, on aurait P 0 (ξ) = (ξ − ξ 0 )R2 (ξ) et 1 = |P 0 (ξ)|p = |ξ 0 − ξ|p |R2 (ξ)|p ≤ |ξ 0 − ξ|p ≤ p−1 < 1. Ce qui est absurde. Ainsi ξ 0 = ξ. Remarque 5 : (i) Le théorème 2.9 est vrai sur tout corps valué ultramétrique complet. (ii) Un énoncé plus général du Lemme de Hensel est le suivant : Lemme général de Hensel : Soient K un corps valué ultramétrique complet, Λ son anneau de valuation et P ∈ Λ[X]. S’il existe deux polynômes unitaires g, h ∈ Λ[X] tels que P = gh dans K[X], d◦ g + d◦ h ≤ d◦ P avec g et h étrangers; alors,il exite G, H ∈ Λ[X] tels que G = g, H = h, d◦ G = d◦ g et P = G.H. Pour une démonstration cf. Y. Amice, Les nombres p-adiques - P.U.F.- 1975, p. 58-61. Application du Lemme de Hensel Le corps IFp étant fini à p éléments, le groupe multiplicatif IF∗p de ses éléments non nuls est fini d’ordre p − 1; ainsi ∀x ∈ IFp , x 6= 0, on a xp−1 = 1. Supposons p 6= 2. Considérons le polynôme P (X) = X p−1 − 1, on a P 0 (X) = (p − 1)X p−2 . Pour 1 ≤ a ≤ p − 1, on a P (a) = ap−1 − 1 ≡ 0 (mod. pZZp ) et P 0 (a) = (p − 1)ap−2 ≡ −ap−2 6≡ 0 (mod. pZZp ). Ainsi il existe ξa ∈ Q l p , unique tel que ξa ≡ a ( mod. pZZp ), 1 ≤ a ≤ p − 1 et P (ξa ) = 0, c’est-à-dire ξap−1 = 1 et Q l p contient le groupe Rp−1 des racines (p − 1)-ième de l’unité. Il est clair que Rp−1 ⊂ Up = {a ∈ Q l p / |a| = 1}. Proposition 2.10 : p 6= 2 Le groupe des unités p-adiques Up est égal au produit direct Rp−1 × (1 + pZZp ) de ses sous-groupes Rp−1 et 1 + pZZp . 19 Démonstration : Il est clair que 1 + pZZp est un sous-groupe de Up . Soit a = a0 + X aj pj = a0 + pb ∈ j≥1 Up . On a 1 ≤ a0 ≤ p − 1 et a ≡ a0 (mod. pZZp ). Il existe ξa0 ∈ ZZp , unique tel que ξap−1 = 1 et ξa0 ≡ a0 (mod. pZZp ). Il vient que a ≡ a0 ≡ ξa0 (mod. pZZp ), i.e. a − ξa0 = 0 pc ∈ pZZp et a = ξa0 + pc = ξa0 (1 + pcξa−1 ) = ξa0 (1 + pγ) =⇒ Up = Rp−1 · (1 + pZZp ). 0 On a Rp−1 ∩ (1 + pZZp ) = {1}. Dans le cas contraire, il existerait a = 1 + p` b ∈ Rp−1 p−1 X p−1 p−1 ` p−1 tel que |b| = 1. On aurait 1 = a = (1 + p b) =1+ p`j bj , j j=1 d’où p−1 X p−1 j j=1 et (p−1)p` b = − p`j bj = 0 p−1 X p−1 j=2 j p−1 X p − 1 `j j `(j−1) j−1 p b =⇒ 1 = |p−1|p = p b ≤ j j=2 p p−1 |p|`(j−1) = p−` < 1. Ce qui est absurde. ≤ max2≤j≤p−1 p j p Remarque 6 : Pour p = 2 , on a U2 = 1 + 2ZZ2 et U2 = {−1, 1} × (1 + 4ZZ2 ). Démonstration : X Soit a = aj 2j ∈ ZZ2 , 0 ≤ aj ≤ 1. Alors a est inversible dans ZZ2 ⇐⇒ a0 = 1 ⇐⇒ j≥0 a = 1 + 2b ∈ 1 + 2ZZ2 =⇒ U2 = 1 + 2ZZ2 . X 1 = −1 et −1 6∈ 1 + 4ZZ2 . On a 2j = 1 + 2 + 22 . . . = 1−2 j≥0 X Soit a ∈ U2 \ 1 + 4ZZ2 , on a a = 1 + 2 + aj 2j = 3 + 4c = −1 + 4(1 + c) ∈ j≥2 −1 + 4ZZ2 = −(1 + 4ZZ2 ). Ainsi U2 = (1 + 4ZZ2 ) ∪ (−1 + 4ZZ2 ) et U2 = {−1, 1} × (1 + 4ZZ2 ). Proposition 2.11 : Les seules racines de l’unité contenues dans Q l p sont pour p 6= 2 les racines (p − 1)ièmes de l’unité et pour p = 2, 1 et −1. Démonstration : (i) p 6= 2 On pose | |p = | |. 20 Soit n un entier ≥ 2 et soit d = p.g.c.d(n , p − 1). On a n = md, avec (m, p − 1) = 1. Soit u ∈ Q l p tel que un = 1. Alors umd = (ud )m = 1. • Ou bien ud = 1. Puisque d|p − 1, on a up−1 = 1 et u est une racine p − 1-ième de l’unité. • Ou bien ud 6= 1. Comme (m, p − 1) = 1, considérant la décomposition m = qps , s où s = vp (m), on a (q, p − 1) = 1. De plus, posant v = ud , on a v m = v qp = (ud )m = 1. (α) s s Si q = 1, on a v p = 1. Réduisant modulo p, on obtient dans IFp : v p = 1. s D’où (v − 1)p = 0 et v = 1, i.e |v − 1| < 1, ou encore v = 1 + y, avec |y| < 1. t t−1 t−1 Soit t ≤ s le plus petit entier tel que v p = 1 et v p t a w = 1 + z , |z| < 1 et wp = v p 6= 1. Posons w = v p , on p X p = 1 = (1 + z)p = 1 + z j . Ainsi pz = j j=1 p−2 X p z j + z p . Si donc z 6= 0, comme |z| ≤ |p|, sachant que pour 1 ≤ j ≤ p − 1, j j=2 p = |p|, on aurait |p| ≤ max( max |p||p|j−1 , |p|p−1 ) = |p|2 < |p|. Ce qui on j 2≤j≤p−2 − t−1 est absurde. Ainsi, z = 0 et w = 1, i. e 1 6= w = v p d = 1. d Il vient que v = 1 = u , en contradiction avec u 6= 1. (β) s Si q 6= 1, comme (v q )p = 1, on déduit de (α) que v q = 1. Réduisant modulo p, on obtient dans IFp : v q = 1. Puisque (q, p − 1) = 1, on a 1 = q` + (p − 1)k et v = v q` · v (p−1)k = 1, i.e v = 1 + y, avec |y| < 1. Alors 1 = v q = (1 + y)q = q X q 1 + qy + y j . Si on avait y 6= 0, comme |q| = 1, on aurait donc 1 = |q| = j j=2 q X q q j−1 j−1 − y ≤ max y ≤ max |y|j−1 = |y| < 1. Ce qui est absurde. j 2≤j≤q 2≤j≤q j j=2 Il vient que v = 1, en contradiction avec ud 6= 1. Ce qui achève la démonstration de la première partie de la Proposition. (ii) p=2 Rappelons que tout u ∈ Q l 2 tel que |u| = 1, est de la forme u = 1+4a ou u = −1+4a, avec |a| ≤ 1. Si u 6= ±1, i.e a 6= 0 , on a u2 = (±1 + 4a)2 = 1 ± 8a + 16a2 = 1 + 8b, avec s b 6= 0, ainsi u2 6= 1. On en déduit par récurrence que u2 6= 1, ∀s ≥ 1. Soit n un entier ≥ 2, décomposant n en produit n = 2s m, avec m impair, si u 6= ±1 s était une racine n-ième de l’unité, on aurait u = ±1 + 4a , a 6= 0, avec 1 = un = (um )2 . On déduit de ce qui précède que um = ±1. 21 • Ou bien u = 1 + 4a , |a| ≤ 1. Ainsi 1 = um = (1 + 4a)m = 1 + 4ma + m m X X m m m j j j−1 j−1 4 a et 1 = |m| = − (4a) ≤ max (4a) ≤ max |4j−1 | = j j j 2≤j≤m 2≤j≤m j=2 j=2 |4| < 1. Ce qui est absurde. m X m (−1)m−j 4j aj . j j=2 X m m m−j j−1 D’où l’on déduit comme ci-dessus que 1 = |m| = − (−1) (4a) ≤ |4| < 1. j=2 j • Ou bien m u = −1+4a , |a| ≤ 1 et −1 = (−1+4a) = −1+4ma+ Ce qui est encore absurde. Il vient que toute racine de l’unité dans Q l 2 est égale à ±1. Exercice 1 : (i) Soient p et q deux nombres premiers distincts tels que (p, q) 6= (2, 3). Démontrer que les corps Q l p et Q l q sont non isomorphes. (ii) Démontrer que le polynôme X 2 + 2 est sans racine dans Q l 2, 1 X l 3 est racine de X 2 + 2 dans Q l 3. tandis que α = ± (−1)j 2 3j ∈ Q j j≥0 En déduire que les corps Q l 2 et Q l 3 ne sont pas isomorphes. (iii) Démontrer que IR n’est isomorphe à aucun des corps Q l p. I-3: Extensions algébriques Soit K un corps valué complet. Citons le théorème suivant : pour une démonstration lorsque K est commutatif, voir Appendice. Théorème d’Ostrowski : Soit K un corps valué complet archimédien. Alors K est isomorphe à IR où à C. l Si K est non commutatif , K est isomorphe au corps des quaternions réels H. l La situation est plus variée pour les corps valués ultramétriques. Définition : Soit K un corps valué . Soit E un K-espace vectoriel. Une norme sur E est une application k k : E → IR+ telle que (1) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 (2) kλxk = |λ|kxk (3) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ E ∀λ ∈ K 22 Si au lieu de (3), on a (3’) kx + yk ≤ max(kxk, kyk), on dit que la norme k k est ultramétrique (et nécessairement la valeur absolue de K est ultramétrique ). Théorème 3.1 : Soit K un corps valué complet. Toutes les normes sur un K-espace vectoriel E de dimension finie sont équivalentes: i.e. si k k et k k1 sont deux normes sur E, alors il existe α et β > 0 tels que αkxk1 ≤ kxk ≤ βkxk1 , ∀x ∈ E. Démonstration : Soit (ei )1≤i≤m une base du K-espace de dimension finie dim E = m. Posons pour x = m X λi ei ∈ E, kxk∞ = max |λi |; alors k k∞ est une norme sur 1≤i≤m i=1 E. De plus (E, k k∞ ) est isométriquement isomorphe à l’espace K m muni de la norme |(λi )1≤i≤m |∞ = max |λi |. Puisque K est complet (K m , | |∞ ) est complet et donc 1≤i≤m (E, k k∞ ) est complet. Soit k k : E → IR+ une norme sur E et soit x = m X λi ei ∈ E, on a kxk = i=1 m m m m X X X X λi ei ≤ |λi |kei k ≤ max |λi | kei k = βkxk∞ , où β = kei k > 0. 1≤i≤m i=1 i=1 i=1 i=1 • Si dim E = 1, on a E = Ke1 et tout x ∈ E est de la forme x = λe1 , avec kxk = |λ|ke1 k = kxk∞ ke1 k. Ainsi k k et k k∞ sont équivalentes. • Supposons par hypothèse de récurrence, que sur tout espace vectoriel de dimension finie strictement inférieure à dim E = m, toutes les normes soient équivalentes. M • Posons pour 1 ≤ j ≤ m, Ej = K · ei ; alors Ej est un sous-esapce vectoriel i6=j de E de dimension m − 1 < dim E = m. Par hypothèse de récurrence, toutes les normes sur Ej sont équivalentes. En particulier les restrictions de k k et de k k∞ à Ej sont équivalentes. Puisque (Ej , k k∞ ) est complet, l’espace normé (Ej , k k) est aussi complet. Ainsi (Ej , k k) est fermé dans E. Il vient que ej + Ej est une partie fermée de (E, k k). • Posons αj = dist(0, ej + Ej ) = inf y∈ej +Ej kyk. Puisque 0 6∈ ej + Ej et ej + Ej fermée dans E, on a αj > 0. Posons α = min αj > 0. 1≤j≤m 23 • Soit x = m X λi ei ∈ E; pour 1 ≤ j ≤ m fixé, on a x = λj ej + i=1 X λi ei . i6=j Ou bien λj = 0 =⇒ α|λj | = 0 ≤ kxk X X −1 −1 −1 λj λi ei Ou bien λj 6= 0 =⇒ λj x = ej + λj λi ei ∈ ej +Ej et α ≤ αj ≤ ej + = i6=j i6=j kλ−1 j xk =⇒ α|λj | ≤ kxk. En conclusion : ∀ 1 ≤ j ≤ m, α|λj | ≤ kxk et αkxk∞ ≤ kxk ≤ βkxk∞ . Exercice 2 : Trouver une autre démonstration du Théorème 3.1, lorque K est un corps localement compact. Corollaire 3.2 : Soit K un corps valué complet. Soit E un corps extension finie de K. Il existe au plus une valeur absolue sur E qui prolonge celle de K. Démonstration : Dire que le corps E est une extension finie de K équivaut à dire que E est un sur-corps de K tel que [E : K] = dimK E < +∞. Soit donc ϕ : E → IR+ une valeur absolue sur E qui prolonge la valeur absolue | | de K. Alors pour tout λ ∈ K, on a ϕ(λ·1E ) = ϕ(λ) = |λ| et pour tout x ∈ E, on a ϕ(λx) = ϕ(λ)ϕ(x) = |λ|ϕ(x). Il vient que ϕ est une norme sur le K-espace vectoriel de dimension finie E. Ainsi, considérant une norme quelconque k k sur E, il existe α, β > 0 tel que αkxk ≤ ϕ(x) ≤ βkxk, ∀x ∈ E. Alors , pour tout entier 1 1 1 1 n ≥ 1, on a αkxn k ≤ ϕ(xn ) = ϕ(x)n ≤ βkxn k =⇒ α n kxn k n ≤ ϕ(x) ≤ β n kxn k n . 1 Par passage à la limite, on obtient ϕ(x) = lim kxn k n . D’où l’unicité de ϕ si elle n→+∞ existe. Lemme 3.3 : Soit K un corps valué ultramétrique complet. Soit E un corps extension finie de K. Il existe une norme ultramétrique k k sur E telle que k1k = 1 et kxyk ≤ kxk kyk, ∀x, y ∈ E. 1 1 Posons ρ(x) = lim sup kxn k n . Alors ρ(x) = inf kxn k n = lim n→+∞ ρ est une n≥1 n→+∞ 1 kxn k n . De plus, ( semi-)norme ultramétrique sur E telle que ρ(1) = 1, ρ(xr ) = ρ(x)r et ρ(xy) ≤ ρ(x)ρ(y), ∀x, y ∈ E. 24 Démonstration : m X (i) Soit (ei )1≤i≤m une base du K-espace vectoriel E. Rappelons que kxk∞ = λi ei = i=1 m m m X X X = max |λi |. Alors si y = µj ej ∈ E, on a kxyk∞ = λi µj ei ej ≤ 1≤i≤m i=1 j=1 j=1 ≤ m X m X kei ej k∞ |λi | |µj | ≤ i=1 j=1 m X m X kei ej k∞ · max |λi | max |µi | = γkxk∞ kyk∞ . 1≤i≤m i=1 j=1 Posons kxk = sup z6=0 1≤j≤m kxzk∞ . On voit aussitôt que kzk∞ k1k = 1 ; kx + yk ≤ max(kxk, kyk) et kxyk = sup z6=0 kxyzk∞ kxyzk∞ kyzk∞ kxyzk∞ = sup · ≤ sup · kyk ≤ kxk kyk. kzk∞ kzk∞ z6=0 kyzk∞ z6=0 kyzk∞ 1 (ii) Soit ρ(x) = lim sup kxn k n . Comme kxn k ≤ kxkn , ∀n ≥ 1, on a ρ(x) ≤ kxk. n→+∞ Posons αn = kxn k, on a αn+m ≤ αn αm . Soit r ≥ 1 un entier, on a n = rp(n) + q(n) p(n) avec 0 ≤ q(n) ≤ r − 1. Ainsi αn = αrp(n)+q(n) ≤ αrp(n) αq(n) ≤ αr 1 kxn k n ≤ kxr k p(n) n . Mais 0 ≤ 1 1 · αq(n) et αnn = q(n) r−1 q(n) p(n) 1 ≤ =⇒ lim = 0 et lim = . n→+∞ n n→+∞ n n n r 1 1 1 D’où lim sup kxn k n ≤ kxr k r , ∀r ≥ 1 et lim sup kxn k n ≤ inf kxr k r . n→+∞ r≥1 n→+∞ Il vient que lim sup kxn k n→+∞ 1 n 1 r = inf kxr k = lim kxn k . n→+∞ r≥1 • On en déduit que ρ(1) = lim k1k n→+∞ 1 ρ(xr ) = lim kxnr k n = lim n→+∞ Aussi ρ(xy) = n→+∞ 1 n =1; 1 kxnr k nr 1 lim k(xy)n k n ≤ n→+∞ 1 n r = ρ(x)r . 1 lim (kxn k ky n k) n = n→+∞ 1 1 lim (kxn k n · ky n k n ) ≤ n→+∞ ρ(x)ρ(y). • Soit λ ∈ K , et x ∈ E, on a ρ(λx) = 1 lim k(λx)n k n = n→+∞ 1 lim (|λn |kxn k) n = n→+∞ |λ| ρ(x). 1 • Posons pour x ∈ E , ρj (x) = kxj k j Soient x, y ∈ E. Pour tout ε > 0, il existe pε et qε tel que pour tout j ≥ nε = max(pε , qε ), on a ρj (x) < ρ(x) + ε et ρj (y) < ρ(y) + ε. Soit α = max(ρ(x) + ε, ρ(y) + ε), on a ρj (x) < α et ρj (y) < α, ∀j ≥ nε . 25 Puisque lim (1 + ε)m = +∞, il existe mε > 2nε tel que pour tout m ≥ mε , m→+∞ on a max(α−1 ρj (x))j < (1 + ε)m et max(α−1 ρj (y))j < (1 + ε)m , c’est-à-dire ρj (x)j < j≤nε j≤nε αj (1 + ε)m et ρj (y)j < αj (1 + ε)m , ∀0 ≤ j ≤ nε . Pour m ≥ mε > 2nε , on a nε < m − nε . Considérons 0 ≤ j ≤ m. - Ou bien nε ≤ j ≤ m − nε , alors nε ≤ m − j et ρj (x)j ρm−j (y)m−j ≤ αj αm−j = αm < (1 + ε)m αm - Ou bien - j < nε ( ≤ m − nε ), ainsi nε < m − j et ρj (x)j ρm−j (y)m−j ≤ ρj (x)j · αm−j ≤ αj (1 + ε)m · αm−j = αm (1 + ε)m . m − nε < j, alors nε ≤ m − nε < j , m − j < nε et - Ou bien j m−j ρj (x) ρm−j (y) ≤ ρj (x)j · (1 + ε)m αm−j ≤ αj · (1 + ε)m αm−j = αm (1 + ε)m . ρj (x)j ρm−j (y)m−j ≤ αm (1 + ε)m , ∀0 ≤ j ≤ m. m X m m m On en déduit que ρm (x + y) = k(x + y) k = k xj y m−j k ≤ j En conclusion : j=0 ≤ max kxj kky m−j k = max ρj (x)j ρm−j (x)m−j ≤ αm (1 + ε)m . 0≤j≤m 0≤j≤m Il vient que ρ(x + y) ≤ ρm (x + y) ≤ α(1 + ε) = max(ρ(x) + ε, ρ(y) + ε)(1 + ε), ∀ε > 0. D’où ρ(x + y) ≤ max(ρ(x), ρ(y)) Nous allons démontrer que toute extension algébrique d’un corps valué ultramétrique complet K, possède une valeur absolue prolongeant celle de K. Rappelons qu’un sur-corps E de K est une extension algébrique de K si pour tout x ∈ E, il existe un polynôme P ∈ K[X] tel que P (x) = 0. Le polynôme unitaire de plus bas degré P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X] tel que P (x) = 0, appelé polynôme minimal de x, est irréductible. Si toutes les racines du polynôme irréductible P sont distinctes, on dit que P (resp. x) est séparable. C’est toujours le cas lorsque K est de caractéristique 0. Si K est de caractéristique p 6= 0, les polynômes irréductibles ν non séparables sont de la forme P (X) = X p − a et les zéros de tels polynômes sont appelés racines radicielles. Rappelons qu’une extension algébrique F | K est dite normale, si tout polynôme irréductible de K[X] ayant au moins une racine dans F , a toutes ses racines dans F . Soit x ∈ E séparable; le plus petit corps F contenant les autres racines (= conjuguées de x) du polynôme minimal P de x est une extension normale de K; cette extension normale F de K est de degré fini [F : K]; elle est galoisienne de groupe de Galois fini G = G(F | K). 26 Dans ces conditions, posant NF |K (x) = Y σ(x), on a NF |K (x) = ±P (a0 ). σ∈G Théorème 3.4 : Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique complet. Toute extension algébrique E du corps K possède une unique valeur absolue qui prolonge celle de K que l’on note encore par | |. De plus si P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X] est le polynôme 1 minimal de x ∈ E, on a |x| = |P (0)| m . Démonstration : (i) Existence du prolongement Soit donc E une extension algébrique de K. Puisque E est une réunion (filtrante) d’extensions de degrés finis , on peut supposer m = dimK E = [E : K] =degré de l’extension E | K < +∞. Sous cette hypothèse, considérons la norme sur k k définie dans le Lemme 3.3 et la 1 norme spectrale ρ(x) = lim sup kxn k n . n→+∞ Soit P = n ϕ : E → IR+ / ϕ est une (semi-)norme ultramétrique vérifiant ϕ(1) = o 1, ϕ(xy) ≤ ϕ(x)ϕ(y), ϕ(xn ) = ϕ(x)n , ∀n ≥ 1 et ϕ(x) ≤ kxk . Alors P = 6 ∅, car ρ ∈ P. De plus ∀ϕ ∈ P, ∀x ∈ E, ∀n ≥ 1, on a ϕ(xn ) = ϕ(x)n ≤ kxn k; ainsi ϕ(x) ≤ ρ(x). Considérons sur P la relation d’ordre ϕ ≤ ψ ⇐⇒ ϕ(x) ≤ ψ(x), ∀x ∈ E. Toute famille F = (ϕi )i∈I de P bien ordonnée (i.e. toute partie de F admet un plus petit élément) possède une borne inférieure, à savoir ϕ ∈ P définie par ϕ(x) = inf ϕi (x). i∈I En effet, il est clair que ϕ(1) = 1, ϕ(x) ≤ ρ(x), ∀x ∈ E. D’une part ϕ(xn ) = n n n inf ϕi (x ) = inf ϕi (x) = inf ϕ(x) = ϕ(x)n . D’autre part, puisque ϕi (xy) ≤ i∈I i∈I ϕi (x)ϕi (y) [resp. i∈I ϕi (x + y) ≤ max(ϕi (x), ϕ(y))], on a ϕ(xy) ≤ ϕ(x)ϕ(y) [resp. ϕ(x + y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y))]. On déduit du Lemme de Zorn que P possède une élément minimal ϕ0 . Soit a ∈ E, a 6= 0, puisque ϕ0 est une norme, on a ϕ0 (a) 6= 0 et puisque pour tout x ∈ E, on a ϕ0 (ax) ≤ ϕ0 (a)ϕ0 (x), on obtient ϕ0 (a)−1 ϕ0 (ax) ≤ ϕ0 (x); alors pour tout entier n ≥ 1, on a ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x) ≤ ϕ0 (a)−n ·ϕ0 (a)·ϕ0 (an−1 x) = ϕ0 (a)−(n−1) ϕ0 (an−1 x) ≤ . . . . . . ≤ ϕ0 (a)−(n−j) ϕ0 (an−j x) ≤ . . . ≤ ϕ0 (a)−1 ϕ0 (ax) ≤ ϕ0 (x). 27 Posons ϕ1 (x) = inf ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x) = lim ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x) . n→+∞ n≥0 On a ϕ1 (x) ≤ ϕ0 (x). D’une part ϕ1 (xm ) = lim ϕ0 (a)−n ϕ0 (an xm ) = lim ϕ0 (a)−nm ϕ0 (anm xm ) = n→+∞ −n m = lim (ϕ0 (a) n→+∞ n n→+∞ m ) ϕ0 (a x) = −n lim ϕ0 (a) n→+∞ m ϕ0 (a x) = ϕ1 (x)m . n D’autre part, soient n et q des entiers ≥ 1 et soient x, y ∈ E , on a ϕ0 (a)−n ϕ0 (an (x + y)) ≤ ϕ0 (a)−n max(ϕ0 (an x), ϕ0 (an y)) = = max(ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x), ϕ0 (a)−n ϕ0 (an y)) [resp. ϕ0 (a)−n−q ϕ0 (an+q xy) ≤ ϕ0 (a)−n−q ϕ0 (an x)ϕ0 (aq y) = ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x) · ϕ0 (a)−q ϕ0 (aq y)]. On obtient alors ϕ1 (x + y) ≤ max(ϕ1 (x), ϕ1 (y)) [resp. ϕ1 (xy) ≤ ϕ1 (x)ϕ1 (y)]. Il est clair que ϕ1 (1) = lim ϕ0 (a)−n ϕ0 (a)n = 1. Il vient que ϕ1 ∈ P avec n→+∞ ϕ1 ≤ ϕ0 . Puisque ϕ0 est minimal , on a ϕ1 = ϕ0 et donc pour tout a ∈ E, a 6= 0, on a ϕ0 (x) = inf ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x) ≤ ϕ0 (a)−n ϕ0 (an x) ≤ ϕ0 (x). Ainsi ∀n ≥ n≥0 −n 1, ϕ0 (x) = ϕ0 (a) ϕ0 (an x). En particulier ϕ0 (x) = ϕ0 (a)−1 ϕ0 (ax) et ϕ0 (ax) = ϕ0 (a)ϕ0 (x), ∀a, x ∈ E. En conclusion : ϕ0 est une valeur absolue sur E telle que ϕ0 (λ.1) = |λ|ϕ0 (1) = |λ|, ∀λ ∈ K. L’unicité de ϕ0 se déduit du Corollaire 3.2 et on posera ϕ0 = | |. (ii) Soit x ∈ E. Ou bien E est de caréctéristique p 6= 0 et x est radiciel, racine du polynôme P (X) = 1 ν 1 X p − a ∈ K[X]; ainsi |x| = |a| pν = |P (0)| pν . Ou bien x est séparable. Soient F la plus petite extension normale contenant x et P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X] le polynôme minimal de x. Soit σ ∈ G = G(F | K), on a P (σ(x) = σ(x)m + am−1 σ(x)m−1 + . . . + a1 σ(x) + a0 = σ(P (x)) = 0. Ainsi {σ(x), σ ∈ G} = {x1 , . . . , xm } est l’ensemble des zéros distincts de P . Il vient que P (X) = Y σ∈G m (X − σ(x)) et P (0) = (−1) Y σ∈G m σ(x) = (−1) m Y xi ∈ K. i=1 Puisque [F = K] < +∞, tout K-automorphisme σ ∈ G, étant K-linéaire, est continu pour | | ( et pour toute norme sur F ). Ainsi, il existe α > 0, tel que |σ(x)| ≤ α|x| 28 et |σ(x)n | = |σ(x)|n ≤ α|xn | = α|x|n , pour tout entier n ≥ 1, d’où |σ(x)| ≤ |x|. De même |σ −1 (x)| ≤ |x|. Ainsi |x| = |σ −1 (σ(x)| ≤ |σ(x)| et |σ(x)| = |x|, ou encore |xi | = |x|, ∀1 ≤ i ≤ m. Il vient que |P (0)| = m Y |xi | = i=1 Y 1 |σ(x)| = |x|m =⇒ |x| = |P (0)| m . σ∈G N.B. On peut démontrer aussi (ii) de la manière suivante. Exercice 3 : Supposons m = [E : K] = dimK E < +∞. Tout élément u de EndK (E) est continu pour E muni d’une norme quelconque ( en particulier pour la valeur absolue | |). Puisque dimK EndK (E) = m2 < +∞, toutes les normes sur EndK (E) sont équivalentes. Soit (ei )1≤i≤m une K-base de E et soit u ∈ EndK (E) de matrice (aij )1≤i,j≤m ∈ M atm (K) dans la base (ei )1≤i≤m : u(ei ) = m X aji ej . j=1 Posons kuk∞ = max |aij | et kuk = sup 1≤i,j≤m y6=0 |u(y)| , il existe α > 0 et β > 0 tels que |y| αkuk ≤ kuk∞ ≤ βkuk. m m 1◦ ) Démontrer que |det u| ≤ kukm ∞ et que |det u| ≤ β kuk . 2◦ ) Considérons pour x ∈ E , l’application de multiplication par x, τx : E → E, définie par τx (y) = xy. Alors kτx k = |x| et ∀n ≥ 1, τxn = (τx )n . Déduire de 1◦ ) que |det τx | ≤ |x|m ( donc aussi |det τx−1 | ≤ |x−1 |m ). Ainsi |det τx | = |x|m . 3◦ ) On suppose E = K[x]. Considérant la base (1, x, . . . xm−1 ) de E et le polynôme minimal P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . a1 X + a0 de x; démontrer que det τx = (−1)m a0 et que |x|m = |P (0)|. Proposition 3.5 : Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique complet. Soient E une extension algébrique de K et | | l’unique valeur absolue de E prolongeant celle de K. Soient Λ(E) = {x ∈ E / |x| ≤ 1} l’anneau des entiers de E et M(E) = {x ∈ E / |x| < 1} l’idéal maximal de Λ(E). Alors Λ(E) est l’ensemble des éléments x de E dont le polynôme minimal P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Λ[X], où Λ est l’anneau des entiers de K. 29 Le corps résiduel E = Λ(E)/M(E) de E est une extension algébrique du corps résiduel K = Λ/M de K. Démonstration : (i) Soit x ∈ Λ(E) de polynôme minimal P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X]. Soient x = x1 , x2 , . . . , xm les conjugués de x dans une extension finie 1 de E; alors |xi | = |P (0)| m = |x| ≤ 1. Comme P (X) = m Y (X − xi ); on a pour i=1 0 ≤ j ≤ m − 1, X aj = (−1)m−j xi1 . . . xij (formules de Newton), ainsi 1≤i1 <...<ij ≤m |aj | ≤ max j 1≤i1 <...<ij ≤m |xi1 | . . . |xij | = |x|j = |P (0)| m ≤ 1 et donc P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Λ[X]. Réciproquement, si le polynôme irréductible P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Λ[X] possède une racine x ∈ E . Comme |P (0)| = |a0 | ≤ 1, on a 1 |x| = |P (0)| m ≤ 1, et x ∈ Λ(E). (ii) Soit α ∈ E, α 6= 0. Considérons x ∈ Λ(E) tel que x = α; on a |x| = 1. Soit P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Λ[X], le polynôme minimal de x. Comme 1 |x| = |a0 | m = 1, on a |a0 | = 1 et P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X], avec P (X) 6= X m . De plus P (α) = αm +am−1 αm−1 +. . .+a1 α+a0 = 0. En d’autres termes α est algébrique sur K. Proposition 3.6. : Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique complet. e une clôture algébrique de K munie de l’unique valeur absolue prolongeant Soit K e = {|a| n1 , n ≥ 1, a ∈ K} et le corps résiduel K e de K e est une celle de K. Alors |K| clôture algébrique du corps résiduel K de K. Démonstration : e = {|a| n1 , n ≥ 1, a ∈ K}, car si x ∈ K, e x 6= 0, on a |x| = Il est clair que |K| 1 e où P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 est le polynôme minimal |P (0) m | ∈ |K|, de x. e Soit R(X) = X m + αm−1 X m−1 + . . . + α1 X + α0 ∈ K[X], α0 6= 0. Fixons e tels que aj = αj , 0 ≤ j ≤ m − 1; alors |aj | ≤ 1, et |a0 | = 1. am−1 , . . . , a0 ∈ K 30 e e est Considérons Q(X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a0 X + a0 ∈ K[X]. Puisque K e tel Q(y) = 0. On a |y| ≤ 1. algébriquement clos, il existe y ∈ K Dans le cas contraire, on aurait |y| > 1 et pour 0 ≤ j ≤ m − 1, on aurait |aj ||y|j ≤ |y|j < |y|m , d’où 0 = |y m + am−1 y m−1 + . . . + a1 y + a0 | = |y|m . Ce qui est absurde. Ainsi, Q(y) = y m + am−1 y m−1 + . . . + a1 y + a0 = αm + αm−1 y m−1 + . . . + α1 y + α0 = e On en déduit que tout polynôme non nul de K[X] e R(y) = 0; avec y ∈ K. admet une e et K e est algébriquement clos. racine dans K Lemme 3.7 : Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique complet. Soit P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X] . Posons β = max 0≤j≤m−1 |aj |. e un zéro de P . Alors |y| ≤ max(β, β m1 ). Soit y ∈ K Démonstration : Puisque y m = − m−1 X aj y j , on a |y m | ≤ j=0 • Ou bien |y| ≤ 1. Alors max 0≤j≤m−1 max 0≤j≤m−1 |aj | |y|j ≤ β max 0≤j≤m−1 1 |y|j = 1 et |y|m ≤ β, c’est-à-dire |y| ≤ β m . • Ou bien 1 < |y|. Ainsi |y j | ≤ |y|m−1 , ∀0 ≤ j ≤ m − 1 et |y|m ≤ β β|y|m−1 , d’où |y| = |y|j max 0≤j≤m−1 |y|j = |y|m ≤ β. |y|m−1 1 En conclusion : |y| ≤ max(β, β m ). Théorème 3.8 : Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique complet. e de K est algébriquement clos. Le complété C(K) l de la clôture algébrique K Démonstration : Soit P (X) = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 un polynôme unitaire à coefficients dans C(K). l e telle que lim an,j = aj . On en Pour tout 0 ≤ j ≤ m − 1, il existe (an,j )n≥1 ⊂ K n→+∞ déduit que lim max n→+∞ 0≤j≤m−1 |an,j − aj | = 0. Posons Pn (X) = X m + e tel que Pn (zn ) = 0. Alors il existe zn ∈ K m−1 X j=0 e an,j X j ∈ K[X]. 31 m−1 X j Ainsi, d’une part |P (zn )| = |P (zn ) − Pn (zn )| = (aj − an,j )zn ≤ max |aj − j=0 0≤j≤m−1 an,j | |zn |j . D’autre part, pour tout ε > 0, il existe nε tel que si n ≥ nε , on a max 0≤j≤m−1 |aj −an,j | < ε. Comme |an,j | = |an,j − aj + aj | ≤ max(|an,j − aj |, |aj |) ≤ max(ε, |aj |), on a βn = max 0≤j≤m−1 |an,j | ≤ max(ε, β) où β = max 0≤j≤m−1 |aj |. Ainsi, pour ε < β, on a βn ≤ β, lorsque n ≥ nε . 1 1 Dans ces conditions, puisque |zn | ≤ max (βn , βnm ), on a |zn | ≤ max(β, β m ) = γ. D’où |P (zn )| ≤ max 0≤j≤m−1 |aj − an,j | |zn |j ≤ ε · max 0≤j≤m−1 γ j et lim P (zn ) = 0. n→+∞ Soient y1 , . . . , ym les racines de P dans une clôture algébrique de C(K) l . On a P (X) = m Y (X − yj ) et lim n→+∞ j=1 m Y (zn − yj ) = lim P (zn ) = 0. j=1 n→+∞ Alors, pour tout entier q ≥ 1 , il existe un entier nq ≥ q tel que m Y |znq − yj | < j=1 On en déduit qu’il existe yjq ∈ {y1 , . . . , ym } tel que |znq − yjq | ≤ 1 . qm 1 . Comme {y1 , . . . , ym } q est fini dans C(K), l c’est une partie discrète et lim yjq = yj0 existe dans {y1 , . . . ym }. q→+∞ Il vient que que lim znq existe dans C(K) l avec lim znq = lim yjq = yj0 . On obient q→+∞ q→+∞ q→+∞ ainsi P (yj0 ) = P lim znq = lim P (znq ) = 0. q→+∞ q→+∞ Donc P possède une racine dans C(K) l et C(K) l est algébriquement clos. I-4: Le corps Cl p Soit p un nombre premier. Soit Q l p le corps des nombres p-adiques muni de la valeur absolue |a| = |a|p = p−vp (a) ; vp ( Q l ∗p ) = ZZ. el de Q On peut montrer que la clôture algébrique Q l p munie de l’unique valeur absolue p | | prolongeant celle de Q l p n’est pas complet. On désigne par Cl p le corps complété de el , | |) appelé parfois le corps des nombres complexes p-adiques. (Q p Nous allons donner une description des sous-corps de Cl p qui sont des extensions finies de Q l p. 32 Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique, d’anneau des entiers Λ. Théorème 4.1 : Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) Λ est compact. (2) Kest localement compact. (3) (K, | |) est complet, la valuation v associée à | | est discrète : i.e v(K ∗ ) ' ZZ et le corps résiduel K de K est fini. Démonstration : (1) =⇒ (2) Rappelons qu’un système fondamental de voisinages d’un point a ∈ K est formé des disques D− (a, r) = {a ∈ K / |a − b| < r}. En particulier un système fondamental de voisinages de zéro est formé des D− (0, |λ|) = {a ∈ K / |a| < |λ|} où λ ∈ K, alors λ−1 D− (0, |λ|) = M ⊂ Λ. Puisque M est fermé dans Λ et Λ compact, M est compact =⇒ D− (0, |λ|) = λM est compact. Il vient que K est localement compact. (2) =⇒ (3) Soit V un voisinage compact de zéro. Alors V contient un D+ (0, |λ|) = {a ∈ K / |a| ≤ |λ|}. Puisque D+ (0, |λ|) est fermé , D+ (0, |λ|) est compact et donc λ−1 D+ (0, |λ|) = Λ est compact. Puisque M = {a ∈ K / |a| < 1} est un ouvert de Λ, l’espace topologique quotient Λ/M est un espace compact discret, donc Λ/M = K est fini. Rappelons que tout espace métrique compact est complet. Soit (an )n≥1 ⊂ K une suite de Cauchy. Alors (an )n≥1 est bornée. Ainsi, il existe λ ∈ K te que |an | < |λ|, pour tout entier n ≥ 1. Posons bn = λ−1 an , la suite (bn )n≥1 est une suite de Cauchy dans l’espace métrique compact Λ et donc converge vers b = lim bn ∈ Λ; de plus n→+∞ lim an = lim λbn = λb existe dans K. n→+∞ n→+∞ Soit v(a) = − log |a|, la valuation associée à | |. Supposons le groupe v(K ∗ ) non 1 discret dans IR. Ainsi, pour tout entier n ≥ 1, il existe an ∈ K tel que < n+1 1 1 1 − log |an | < ⇐⇒ e− n < |an | < e− n+1 < 1. Il vient, d’une part que (an )n≥1 ⊂ M n et d’autre part que lim |an | = 1. Puisque M est compact, il existe une suite extraite n→+∞ (ank ) telle que lim ank = a ∈ M et |a| = limh→+∞ |ank | = 1. Ce qui est absurde; k→+∞ 33 De plus, puisque M est compact, il existe π ∈ M tel que sup |a| = |π|, d’où a∈M M = πΛ. (3) =⇒ (1) Soit S un système de représentants du corps résiduel fini K de K. Alors (Proposition 2.7) tout élément a ∈ Λ s’écrit de façon unique sous forme de série convergente a = X aj π j où aj ∈ S et π une uniformisante de K. j≥0 X Comme pour ZZp , l’application ϕ : S IN → Λ définie par ϕ( (aj )j≥0 = aj π j j≥0 est bijective et elle est continue lorsque S IN est muni de la topologie produit de l’espace IN discret fini S. L’espace S étant compact, Λ est aussi compact. Ce qui achève la démonstration du Théorème 4.1 . t u Sachant que ZZp est compact, le corps Q l p est localement compact. On en déduit aussitôt que tout Q l p -espace vectoriel V de dimension finie, muni d’une norme quelconque est localement compact. En particulier si K est un corps extension finie de Q l p , on a el ⊂ Cl p et (K, | |) est un corps localement compact. Il vient que (K, | |) est de K ⊂ Q p valuation discrète de corps résiduel K fini, extension finie du corps résiduel IFp de Q l p. Ainsi K ' IFq où q = pf avec f = [K; IFp ] = dimIFp K = degré résiduel de l’extension K|Q l p. Puisque K est de valuation discrète tout idéal J de Λ est de la forme J = π n Λ, n ≥ 1, où π est une uniformisante de K. Tout a ∈ K, s’écrit de façon unique a = π m(a) b, où |b| = 1. En particulier p = π e b, m(a) 1 1 avec |b| = 1. Ainsi |p| = = |π|e et |π| = p− e . Il vient que |a| = |π|m(a) = p− e = p p−vK (a) , vK est appelée la valuation normalisée de K. On a [|K ∗ | : | Q l ∗p |] = [|K ∗ | : pZZ ] = e = indice de ramif ication de K et vK (K ∗ ) = 1 ZZ. e Théorème 4.2 : Soit K une extension finie de de Q l p de dimension finie n . On a n = [K : Q l p ] = ef 34 Démonstration : Soit (ε0i )1≤i≤f une IFp -base de K ' IFq et soit (εi )i≤i≤f un système de représentants de (ε0i )1≤i≤f dans Λ. On va démontrer que εi π j 1≤i≤f est une Q l p -base 0≤j≤e−1 de K. (i) εi π j est Q l p -libre. 1≤i≤f 0≤j≤e−1 En effet, supposons qu’il existe (λij ) 1≤i≤f ⊂ Q l p tel que 0≤j≤e−1 f X e−1 X λij εi π j = 0 où i=1 j=0 les λij ne sont pas tous nuls. Ainsi max 1≤i≤f 0≤j≤e−1 |λij εi π j | = |λst εs π t | > 0. De plus, pour tout j 6= t, on a |λij εi π j | < |λst εs π t | = |λst π t |. Dans le cas contraire, on aurait |λij εi π j | = |λij ||π|j = |λst ||π t | pour un j 6= t. On aurait donc |π|j−t = p− j−t e = |λij | j−t ∈ |Q l ∗p | = pZZ et ∈ ZZ. Ce qui est absurde, car |λst | e 0 ≤ j, t ≤ e − 1. Il vient que 0 = −t λ−1 st π X j λij εi π = X i,j b + c, où b = f X s−t λij λ−1 st εi π = f X i,j f X X λit λ−1 st εi + i=1 j−t λij λ−1 = st εi π i=1 j6=t λit λ−1 st εi , avec |b| ≤ 1 et i=1 c= f X X s−t t−j −t λij λ−1 , avec |c| ≤ max max |λij λ−1 | = max max |λij εi π j | |λ−1 st εi π st εi π st εs π | < i i=1 j6=t i j6=t j6=t 1. On aurait donc b = −c ∈ M et b = f X −1 0 λit λ−1 st εi = 0 dans K avec λst λst = 1. Ce i=1 qui contredit le fait que (ε0i )1≤i≤f est IFp -libre. (ii) Puisque p = π e b, avec |b| = 1, on a pΛ = π e Λ. Par passage au quotient Λ/pΛ = Λ/π e Λ est un K-espace vectoriel de dimension finie e. = = désignons par a sa classe dans Λ/π e Λ , on a a = e−1 X Considérons a ∈ Λ et =j αj π où αj ∈ K. Sachant j=0 que (ε0i )1≤i≤f = est une IFp -base de K , on obtient a = f e−1 X X j=0 i=1 =j λij ε0i π , où λij ∈ IFp . 35 On en déduit que S = f e−1 X X γij εi π j , 0 ≤ γij ≤ p − 1 est un système de représentants i=1 j=0 dans Λ de l’anneau quotient Λ/pΛ . Puisque pour tout a ∈ K , il existe un entier m tel que |a| ≤ |p|m , on peut reprendre la démonstration de la Proposition 2.7 pour X voir que tout a ∈ Λ s’ecrit sous la forme de série convergente a = ak pk avec ak = k≥0 f X e−1 X γij (k)εi π j ∈ S. Ainsi a = i=1 j=0 f X e−1 XX γij (k)εi π j pk = k≥0 i=1 j=0 f e−1 X X αij εi π j où αij = i=1 j=0 X f X e−1 X X i=1 j=0 γij (k)pk εi π j = k≥0 γij (k)pk ∈ ZZp . k≥0 Considérant b ∈ K quelconque et prenant λ ∈ Q l p tel que |b| ≤ |λ|, on a a = λ−1 b ∈ Λ. Ainsi b = λ f e−1 X X j αij εi π = i=1 j=0 Il vient que εi π j f e−1 X X βij εi π j , avec βij = λαij ∈ Q l p. i=1 j=0 1≤i≤f 0≤j≤e−1 est un système générateur du Q l p -espace vectoriel K. Définition : Lorsque e = 1, on dit que l’extension K | Q l p est non ramifiée , alors [K : Q l p] = [K : IFp ]. Lorsque e = n, on dit que l’extension K | Q l p est totalement ramifiée. Dans ce cas K = IFp et [K : Q l p ] = [|K ∗ | : pZZ ] . Proposition 4.3 : Posons pour P = Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique. m X aj X j ∈ K[X], kP k = max |aj |. Alors kP Qk = kP k kQk. 0≤j≤m j=0 On définit sur le corps des fractions rationnelles K(X) une valeur absolue qui prolonge celle de K en posant pour R = P kP k ∈ K(X), kRk = . Q kQk Démonstration : m s X X j Soient P = aj X et Q = b` X ` ∈ K[X]. On a kP k = max |aj | = |λ| et j=0 `=0 0≤j≤m kQk = max |b` | = |µ|, avec λ, µ ∈ K, ainsi kλ−1 P k = 1 = kµ−1 Qk. Alors P1 = λ−1 P 0≤`≤s 36 et Q1 = µ−1 Q ∈ Λ[X] ont au moins un coefficient de valeur absolue 1. Par passage au quotient, on obtient P 1 6= 0 et Q1 6= 0 dans K[X] . Comme K[X] est intègre, on a P 1 Q1 = P1 Q1 6= 0. Ainsi P1 Q1 a un coefficient de valeur absolue 1 et kP1 Q1 k = 1 = kλ−1 P · µ−1 Qk = |λ−1 ||µ−1 |kP Qk =⇒ kP Qk = |λ||µ| = kP kkQk. On vérifie aussitôt que kP + Qk ≤ max(kP k, kQk) et que l’on définit sur K(X) une valeur absolue en posant P kP k = Q kQk . Corollaire 4.4 : Soit P ∈ Λ[X] tel que P = S1 · S2 avec S1 et S2 ∈ K[X]. Alors, il existe Q1 , Q2 ∈ Λ[X] tels que P = Q1 · Q2 . Démonstration : m X On a P = aj X j ∈ Λ[X] si et seulement si kP k ≤ 1. Si P = S1 · S2 ; posant j=0 |λ| = kS1 k, |µ| = kS2 k, λ, µ ∈ K, on obtient kP k = kS1 S2 k = kS1 kkS2 k = |λ||µ| ≤ 1. Considérons Q1 = µS1 et Q2 = µ−1 S2 , on a P = Q1 · Q2 , avec kQ1 k = |λ||µ| ≤ 1 et kQ2 k = |µ−1 |kS2 k = 1. Théorème 4.5 : Polynômes d’Eisenstein. Tout polynôme unitaire P = X m + am−1 X m−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ ZZp [X], tel que aj ∈ pZZp , ∀0 ≤ j ≤ m − 1 et a0 ∈ / p2 ZZp , est irréductible dans Q l p [X]. Démonstration : Supposons P non irréductible. On déduit du Corollaire 4.4 qu’il existe Q1 = m X i=0 et Q2 = q X c` X ` ∈ ZZp [X] tels que P = Q1 · Q2 , avec m, q ≥ 1 et n + q = m. `=0 Soit 0 ≤ j ≤ m, on a aj = X bi c` . En d’autres termes i+`=j b0 c0 b c + c1 b0 1 0 ............ bq c0 + bq−1 c1 + . . . + b0 cq ........................ bn cq = a0 = a1 = aq = 1 bi X i 37 Puisque a0 ∈ pZZp \p2 ZZp , on a |a0 | = |p| = p−1 = |b0 ||c0 | = p−vp (b0 )−vp (c0 ) , ou encore vp (b0 ) + vp (c0 ) = 1. On a, soit vp (b0 ) = 0 et vp (c0 ) = 1, soit vp (b0 ) = 1 et vp (c0 ) = 0. Supposons vp (b0 ) = 0 et vp (c0 ) = 1, alors b0 est inversible dans ZZp et c0 ∈ pZZp . =⇒ c = 1 c2 = ... ... cq = b−1 0 (a1 − b1 c0 ) ∈ pZZp b−1 0 (a2 − b2 c0 − b1 c1 ) ∈ pZZp ........................... b−1 0 (aq − bq c0 − bq c1 . . . − b1 cq ) ∈ pZZp On aurait donc bn cq = 1 dans ZZp , avec 1 = |bn cq | = |bn ||cq | ≤ |cq | < 1. Ce qui est absurde. N.B. : -(1)- Les polynômes vérifiant les conditions du Théorème 4.5 sont appelés les polynômes d’Eisenstein . -(2)- L’énoncé du Théorème 4.5 et sa démonstration restent inchangés si l’on remplace Q l p par un corps de valuation discrète K , ZZp par l’anneau des entiers Λ de u t K et p par une uniformisante π de K. Corollaire 4.6 : Soit s ≥ 1 un entier et soit Φp (X) = 1 + X + . . . + X p−1 ∈ Q[X]. l Le polynôme Ps = p−1 X X jp s−1 s−1 = Φp (X p ) est irréductible dans Q l p [X]. j=0 Démonstration : Il suffit de démontrer que Φp (X) = 1+X +. . .+X p−1 est irréductible. p p−1 X (Y + 1)p − 1 X p Xp − 1 p j−1 =⇒ Φp (Y +1) = = Y = Yj = Mais Φp (X) = j j+1 X −1 Y j=1 j=0 p−2 X p p p p p−1 p−2 p−1 Y + Y + ... + Y + = Y + Y p + p. Ainsi p−1 2 1 j+1 j=2 p(p − 1) . . . (p − j) p . a0 = p ∈ pZZp et a0 ∈ / p2 ZZp . Pour 2 ≤ j ≤ p − 2, on a = j+1 (j + 1) Mais, d’une part pour 2 ≤ j ≤ p − 2, on a |p − 1| = . . . = |p − j| = 1 et d’autre part pour 1 ≤ ` ≤ j + 1 ≤ p − 1, on a |(j + 1)!| = j+1 Y |`| = 1. `=1 |p||p − 1| . . . |p − j| p p Ainsi = = |p| < 1 et aj = ∈ pZZp , ∀0 ≤ j+1 j+1 |(j + 1)!| j ≤ p−2. Il vient que Φp (Y +1) est un polynôme d’Eisenstein et donc Φp est irréductible dans Q l p. 38 Théorème 4. 7 : Soit K une extension finie de Q l p , totalement ramifiée. Alors K est engendré par la racine d’un polynôme d’Eisenstein. Démonstration : L’extension K | Q l p étant totalement ramifiée, on a [K : Q l p ] = e = indice de ramification. Toute uniformisante π de K est telle que |π|e = |p|. Puisque (π j )0≤j≤e−1 est un système générateur de K , on a K = Q l p [π]. Soit P (X) = X e + ae−1 X e−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Q l p [X] le polynôme minimal de π. On a P (X) = e Y 1 (X − yj ) où les yj sont les conjugués de π . Ainsi |yj | = |P (0)| e = |π| j=1 et |P (0)| = e Y e | − yj | = |P (0)| e = |P (0)| = |π|e = |p|. D’où a0 = P (0) ∈ pZZp \ p2 ZZp . j=1 On déduit des formules de Newton donnant des coefficients de P que |aj | < 1, lorsque 0 ≤ j ≤ e − 1. Théorème 4.8 : Soit K un corps, extension finie de Q l p , de degré résiduel f et d’indice de ramification e. Alors K contient un sous-corps Knr extension maximale non ramifiée de Q l p de degré f . De plus, l’extension algébrique K | Knr est totalement ramifiée de degré e. Démonstration : Rappelons que [K : Q l p ] = e.f , [K : IFp ] = f et que K = IFq est le corps fini à q = pf éléments, extension algébrique du corps parfait IFp . Ainsi , il existe α ∈ IFq tel que IFq = IFp [α]. Soit Q(X) = X f + γf −1 X f −1 = . . . + γ1 X + γ0 ∈ IFp [X] le polynôme minimal de α. Considérons af −1 , . . . , a0 ∈ ZZp tels que aj = γj dans IFp , 0 ≤ j ≤ f − 1. Le polynôme Q(X) = X f + f −1 X aj X j ∈ Q l p [X] est irréductible. j=0 Dans le cas contraire, on aurait Q = Q1 ·Q2 , avec Q1 , Q2 ∈ ZZp [X], d◦ Q1 et d◦ Q2 ≥ 1, les coefficients dominants de Q1 et Q2 étant des unités de ZZp . Par réduction modulo pZZp , on aurait Q = Q1 · Q2 ; donc Q serait non irréductible. Ce qui est contradictoire! Soit b ∈ K tel que b = α; alors Q(b) = Q(α) = 0. L’extension algébrique IFq | IFp 0 étant séparable, on a Q (α) 6= 0. On déduit alors du Lemme de Hensel (vrai pour tout corps valué ultramétriqe complet : la démonstration donnée pour Q l p se transpose telle qu’elle pour les corps de valuation discrète complets) qu’il existe a ∈ K tel que Q(a) = 0. 39 Considérons E = Q l p [a] ⊂ K, le corps E est une extension de Q l p telle que E = IFp [α] = IFq = K avec [E : Q l p ] = f = [IFq : IFp ] et donc l’extension E | Q l p est nonramifiée. Ainsi [|E ∗ | : pZZ ] = 1 et |E ∗ | = pZZ . Il vient que p est une uniformisante de E. Si E ⊆ F ⊂ K, avec F une extension non-ramifiée de Q l p , on a E = IFq ⊂ F ⊂ IFq , d’où F = IFq et [F : Q l p ] = [IFq : IFp ] = f = [E : Q l p ]. Il vient que E = F et E=Q l p [a] = Knr est une sous-extension maximale non ramifiée de K. Puisque [K : Q l p ] = [K : Knr ][Knr : Q l p ] = ef = [K : Knr ]f , on a [K : Knr ] = e. D’autre part, soit π une uniformisante de K. 1 ∗ / pZZ = |Knr |, π ∈ / Knr . On déduit de la démonstration du Puisque |π| = p− e ∈ Théorème 4.2 que (1, π, . . . , π e−1 ) est un système générateur du Knr -espace vectoriel K; ∗ c’est donc une Knr -base de K et K = Knr [π]. De plus [K : Knr ] = [|K ∗ | : |Knr |], c’est-à-dire que K | Knr est une extension totalement ramifiée. Remarque 7 : (i) On peut démontrer que pour tout entier n ≥ 2, il existe (à isomorphisme près) une seule extension non ramifiée de Q l p de degré n. (ii) Le nombre des extensions de degré donné n ≥ 2 de Q l p est fini et l’on sait calculer ce nombre ( M. Krasner - 1962 ). b | |) le corps Soit (K, | |) un corps valué ultramétrique et soit (K, Lemme 4.9 : b ont le même corps résiduel. complété de K. Alors K et K Démonstration : b l’anneau des entiers de K [ resp. K] b et M [ resp. M] c l’idéal Soient Λ [ resp. Λ] b maximal de Λ [ resp. Λ] b Soit ψ : Λ/ −→ Λ l’application naturelle qui à β = b ∈ Λ/ fait correspondre /M M M b = b ψ(β) = b∈ Λ / . On vérifie aussitôt que ψ est un morphisme de corps, donc ψ est injectif. b M b b tels que α == Soient α ∈ Λ , α 6= 0 et a ∈ Λ a. On a |a| = 1 . Puisque K est /M b b il existe b ∈ K tel que |b − a| < 1 = |a|; alors |b| = |a| = 1 et b ∈ Λ est tel dense dans K, = = b que ψ(b) = b= a= α Ainsi ψ est bijectif. On identifie Λ à Λ/ . /M M b 40 Proposition 4.10. -( i )-( ii )- el de Q Soit C l p le complété de la clôture algébrique Q l p . Alors : p |C l ∗p | = p Ql . ep = Le corps résiduel C l p de Cl p est égal à la clôture algébrique IF [ IFpn n≥1 de IFp = ZZp/ . pZZp Démonstration : el , on a | Cl ∗ | = | Q el ∗ | = {|a| n1 , n ≥ 1, a ∈ Q l ∗p } (i) Puisque Cl p est le complété de Q p p p ( Proposition 3.6). m Mais | Q l ∗p | = pZZ , ainsi | Cl ∗p | = {p n , m ∈ ZZ, n ≥ 1} = p Ql . (ii) De même, on déduit de la Proposition 3.6 que le corps résiduel Cl p de Cl p est égal à [ e p de IFp = ZZ ep = la clôture algébrique IF = Z Z et l’on sait que IF IFpn . p/pZZp /pZZ n≥1 Remarque 8 : (i) Le corps C l p n’est pas localement compact. (ii) Le degré de transcendance de Cl p sur Q l est égal au cardinal du continu 2N0 . On en déduit que Cl p est algébriquement isomorphe au corps des nombres complexes C. l On a la décomposition en produit direct du groupe multiplicatif Q l ∗p : Q l ∗p = pZZ × Rp−1 × (1 + pZZp ) si p 6= 2 et Q l ∗2 = 2ZZ × {−1, 1} · (1 + 4ZZ2 ) . On va donner une décomposition semblable du groupe multiplicatif Cl ∗p . Posons Λp = {a ∈ Cl p / |a| ≤ 1} l’anneau des entiers de Cl p , d’idéal maximal Mp = {a ∈ C l p / |a| < 1} et U l p = {a ∈ Cl p / |a| = 1} le groupe multiplicatif des unités de C l p . Le sous-groupe U l 1,p = 1 + Mp de U l p est appelé le groupe des unités principales. ep = Λ Soit a ∈ U l p , il existe un plus petit entier m ≥ 1 tel que a ∈ IFpm ⊂ IF . p/Mp Posons q = pm . Le groupe multiplicatif IF∗q étant d’ordre q − 1, pour tout α ∈ IF∗q , on a αq−1 = 1 . En effet , l’ordre du sous-groupe Hα de IF∗q engendré par α divise q − 1. Ainsi ∀α ∈ IFq , on a αq = α. En particulier aq = a et aq = a + c, avec c ∈ Mp . On pose pour n ≤ m, m n = m! le cœfficient binomial. (m − n)!n! 41 m −m p =p Soit m un entier ≥ 1, on a , ∀1 ≤ j ≤ pm j |j| p p Lemme 4.11 : Démonstration : j−1 Y Par définition, m p j m m = m m (p − 1) . . . (p − j − 1) p p · = · j (j − 1)! j (pm − `) `=1 j−1 Y . Mais, ` `=1 si 1 ≤ ` < pm , on a pvp (`) ≤ ` < pm , d’où vp (`) log p < m log p et vp (`) < m. Ainsi |pm |p = p−m < p−vp (`) = |`|p et |pm − `|p = |`|p . j−1 Y m j−1 Y |p − `|p |`|p m m −m |p| p p p `=1 `=1 = Il vient que pour 1 ≤ j ≤ pm , on a · j−1 = · = j p |j|p |j|p j−1 Y Y |`|p |`|p `=1 `=1 −m p . |j|p Soit a ∈ U l p et soit q la plus petite puissance de p telle que a ∈ IFq . Lemme 4.12 : n Alors ω(a) = lim aq existe dans U l p. n→+∞ q De plus ω(a) = ω(a), ω(a) ≡ a (mod. Mp ) et ω(ω(a)) = ω(a). Démonstration : Rappelons que aq = a, ainsi aq = a + c, avecc ∈ Mp . Alors, pour tout n ≥ 1, on a qn n X n n+1 n n q aq = (a + c)q = aq + aq −j cj . j j=1 q n+1 m Posant q = p , on obtient |a mn −mn p |a|qn −j |c|j = max p −a | ≤ max n |c|j = j 1≤j≤q 1≤j≤q n |j|p p qn max p−mn · p−jvp (c) · pvp (j) = max n p−(mn−vp (j)) · p−jvp (c) . 1≤j≤q n 1≤j≤q Posons γ(c) = min(vp (c), 1). Alors, d’une part jγ(c) ≤ jvp (c) =⇒ p−jvp (c) ≤ p−jγ(c) . D’autre part, pour 1 ≤ j ≤ q m = pmn , on a vp (j) ≤ log j log q m ≤ = mn et log p log p 0 ≤ mn − vp (j). Puisque γ(c) ≤ 1 , on a (mn − vp (j))γ(c) ≤ mn − vp (j). D’où p−(mn−vp (j)) ≤ p−(mn−vp (j)γ(c)) . 42 Il vient que |aq p−jγ(c) et |aq n+1 n+1 1≤j≤q − aq | ≤ max n p−mnγ(c) · p−(j−vp (j))γ(c) . 1≤j≤q log j < j, on a j − vp (j) ≥ 1 et p−(j−vp (j))γ(c) ≤ p−γ(c) . log p En conclusion : |aq p 1≤j≤q n Puisque vp (j) ≤ −γ(c) n − aq | ≤ max n p−(mn−vp (j)) p−jvp (c) ≤ max n p−(mn−vp (j))γ(c) · n+1 n − aq | ≤ p−mnγ(c) max n p−(j−vp (j))γ(c) ≤ p−mnγ(c) · p−γ(c) ≤ 1≤j≤q . La suite aq n n≥0 est donc de Cauchy dans Cl p , de limite ω(a) = qn que |ω(a)| = lim |a| n→+∞ n→+∞ n+1 n→+∞ n = lim aq = ω(a). n→+∞ n 2 • On a pour n ≥ 1, a − aq = a − aq + aq − aq + . . . + aq n n→+∞ = lim 1 = 1. • De façon évidente, on a ω(aq ) = lim aq |a − aq | ≤ max |aq n lim aq telle i−1 1≤i≤n n−1 n − aq , d’où i n − aq | ≤ p−γ(c) et |a − ω(a)| = lim |a − aq | ≤ p−γ(c) < 1. n→+∞ Ainsi ω(a) − a ∈ Mp , c’est-à -dire ω(a) ≡ a (mod. Mp ). ` • Puisque ω(a) = a ∈ IFq , ω(ω(a)) = lim ω(a)q = lim = lim n+`→+∞ aq n+` `→+∞ n→+∞ `→+∞ n+` lim aq = ω(a). N.B. : (i) IFq ⊂ IFq0 ⇐⇒ q 0 = q ` : en effet [IFq0 : IFp ] = m0 = [IFq0 : IFq ] · [IFq : IFp ] = [IFq0 : 0 IFq ]m = m` =⇒ q 0 = pm = pm` = q ` . Alors si a ∈ IFq ⊂ IFq0 , on a lim aq 0n n→+∞ = lim aq n` n→+∞ = n lim aq = ω(a) et ω(a) n→+∞ est indépendant de q tel que a ∈ IFq . (ii) Soient a, b ∈ U l p , a ∈ IFq0 et b ∈ IFq00 , où q 0 = p` et q 00 = pk , alors ab = ab ∈ IFpk` = n n n n n IFq et ω(ab) = lim (ab)q = lim aq bq = lim aq · lim bq = ω(a)ω(b). n→+∞ n→+∞ n→+∞ Ainsi, pour a et b ∈ U l p , on a ω(ab) = ω(a)ω(b). n→+∞ u t Proposition 4.13 n L’application ω : U lp → U l p , définie ci-dessus par ω(a) = lim aq est un endomorn→+∞ phisme involutif, continu du groupe topologique U l p. On a kerω = 1+Mp et on a la décomposition en produit direct U l p = µ[p] ×(1+Mp ) où µ[p] est le groupe des racines de l’unité d’ordre premier à p. 43 Démonstration : (i) On déduit de ce qui précède que ω est un endomorphisme involutif de U l p. n n Soient a, b ∈ U l p , ∀n ≥ 1, on a aq − bq = (a − b)(aq bq n −1 n n ) =⇒ |aq − bq | ≤ |a − b| max 1≤j≤q n −1 n |aq n −j n −1 + aq n −2 b + . . . + abq n −2 + ||bj−1 | = |a − b|. n D’où |ω(a) − ω(b)| = lim |aq − bq | ≤ |a − b|. n→+∞ (ii) Soit a ∈ U l p , alors aω(a)−1 =< a > est tel que ω(< a >) = ω(a)ω(ω(a))−1 = ω(a)ω(a)−1 = 1. Ainsi < a >= aω(a)−1 ∈ ker ω, d’où a = ω(a) < a >, avec ω(a) ∈ ω( U l p ) et < a >∈ ker ω. Soit a ∈ ω( U l p )∩ker ω, on a ω(a) = 1, mais a = ω(b) =⇒ ω◦ω(a) = ω(b) = ω(a) = 1, donc a = ω(b) = 1 et ω( U l p ) ∩ kerω = {1}. On en déduit la décomposition en produit direct U l p = ω( U l p ) · ker ω. • On a a ∈ ker ω ⇐⇒ ω(a) = 1 ⇐⇒ 1 = ω(a) ≡ a ( mod. Mp ), i.e. a ∈ 1 + Mp . • Soit b = ω(a) ∈ ω( U l p ), supposant a ∈ IFq , on a bq = ω(a)q = ω(a) = b, d’où bq−1 = 1 et b est une racine (q − 1)-ième de l’unité, avec (q − 1, p) = 1. Ainsi ω( U l p ) ⊂ µ[p] . Soit a ∈ µ[p] , alors am = 1, avec (m, p) = 1, i.e. |m|p = 1 et m inversible dans Λp . On a < a >= aω(a)−1 = 1 + z, avec |z| < 1. Comme < am >= am ω(am )−1 = 1 = m m X X m m j m (1 + z) = 1 + mz + z , on a mz = − zj . j j j=2 j=2 X m m m j j |z| ≤ max |z|j = On en déduit |mz| = |m||z| = |z| = z ≤ max j j 2≤j≤m 2≤j≤m j=2 |z|2 . Il vient que |z| ≤ |z|2 . Si on avait z 6= 0, on aurait 1 ≤ |z| < 1. Ce qui est absurde. En conclusion : z = 0 , aω(a)−1 = 1 et a = ω(a) ∈ ω( U l p ), d’où µ[p] ⊂ ω( U l p ). Corollaire 4. 14 Cl ∗p = p Ql × µ[p] × (1 + Mp ) Démonstration : Soit a ∈ C l ∗p , on a |a| = p−vp (a) , avec vp (a) ∈ Q. l Ainsi a = pvp (a) b où b ∈ U l p . Donc b = u · (1 + c), avec u ∈ µ[p] et c ∈ Mp . Alors a = pvp (a) · u · (1 + c), la décomposition étant unique. 44 Remarque 9 : a ∈ ω( U l p ) ⇐⇒ ω(a) = a . De plus ω( U l p ) = µ[p] est un sous-groupe discret de U l p. Démonstration : En effet, a ∈ ω( U l p ) ⇐⇒ a = ω(b) ⇐⇒ ω(a) = ω(ω(b)) = ω(b) = a. Soient a, b ∈ ω( U l p ); si |a − b| < 1, on a |ab−1 − 1| < 1. Ainsi ab−1 ∈ (1 + Mp ) ∩ ω( U l p ) = {1} et ab−1 = 1, c’est-à-dire a = b. Il vient que ω( U l p ) est discret. Remarque 10 : e ∗p , τ (α) = ω(a), où a est un représentant de α, Posons pour α ∈ IF c’est-à-dire, a = α. Alors τ (α) est indépendant du représentant a de α choisi. e ∗p −→ µ[p] est un isomorphisme de groupes et De plus τ : IF τ (α) est appelé le représentant de Teichmüller de α. Démonstration : Soient a, b ∈ U l p tels que a = α = b. Puisque |a − b| < 1, on a |ω(a) − ω(b)| ≤ |a − b| < 1 et |ω(a)ω(b)−1 − 1| < 1, d’où ω(a)ω(b)−1 ∈ (1 + Mp ) ∩ ω( U l p ) = {1}. Ainsi, ω(a) = ω(b) et τ (α) = ω(a) est indépendant de a ∈ U l p tel que a = α. e ∗p et a, b ∈ U Considérons α, β ∈ IF l p tels que a = α, b = β. Alors αβ = ab et τ (αβ) = ω(ab) = ω(a)ω(b) = τ (α)τ (β). ∗ e p ) = ω( U Puisque τ (ω(a)) = ω(ω(a)) = ω(a), on a τ (IF l p ) = µ[p] et τ est surjectif. e ∗p est tel que τ (α) = ω(a) = 1, on a a ∈ kerω = 1 + Mp , D’autre part, si α = a ∈ IF d’où a = 1. Il vient que ker(τ ) = {1}, i.e. τ est injectif. s−1 Soit s un entier ≥ 1. Rappelons que le polynôme Ps (X) = Φp (X p ), où Φp (X) = p X −1 = X p−1 + · · · + X + 1, est irréductible sur Q l p de degré (p − 1)ps−1 = ps − ps−1 . X −1 Toute racine ξs de Ps est une racine ps -ième de l’unité . Posons ξp = 1 + γs , γs est une racine du polynôme irréductible Qs (X) = Ps (X + 1). 1 1 1 Ainsi |ξs −1| = |γs | = |Qs (0)| ps −ps−1 = |Ps (1)| ps −ps−1 = |Φp (1)| ps −ps−1 = p − 1 ps −ps−1 1 et ξs ∈ 1 + Mp . s−1 Réciproquement, si ξ est une racine ps -ième de l’unité, alors ξ p p-ième de l’unité, ainsi Ps (ξ) = Φp (ξ ps−1 est une racine ) = 0, d’où l’on déduit ξ ∈ 1 + Mp . On a ainsi une démonstration de la première partie de la remarque suivante : < 45 Remarque 11 : s Soit µp∞ = {ξ ∈ C l p / ∃s ≥ 1, ξ p = 1}. Alors µp∞ est un sous-groupe de 1 + Mp . 1 1 Posons Ep = {a ∈ C l p / |a| < p− p−1 }. Puisque p− p−1 ≤ p − 1 ps −ps−1 , ∀s ≥ 1 , on a µp∞ ∩ (1 + Ep ) = {1} . On peut montrer, en utilisant la fonction exponentielle p-adique, qu’il existe un sousgroupe ∆ de 1 + Mp , contenant 1 + Ep tel que 1 + Mp = µp∞ × ∆ ( produit direct ). I-5: Appendice : Les corps valués archimédiens complets. Rappelons que si (K, | |) est un corps valué; posant 1K = 1 l’unité de K alors, ou bien |n.1| ≤ 1, pour tout entier n ≥ 0. Dans ce cas la valuer absolue | | est ultramétrique (Proposition I-1-3). Ou bien il existe n ≥ 1 tel que |n.1| > 1. On dit dans ce cas que le corps valué (K, | |) est archimédien. Si K est un corps de caractéristique p 6= 0, toute valeur absolue | | sur K est ultramétrique. En effet, si n est un entier, ou bien p | n, alors n.1 = 0, d’où |n.1| = 0; ou bien (n, p) = 1, alors (n.1)p−1 = 1, d’où |n.1|p−1 = 1 et |n.1| = 1, en conclusion, pour tout entier positif n, on a |n.1| ≤ 1. Ainsi tout corps valué archimédien (K, | |) est de caractéristique zéro et contient donc Q. l La restriction de la valeur absolue de K à Q, l étant archimédienne, est équivalente à la valeur absolue usuelle | |∞ sur Q l (Théorème I-2-2). Ainsi, il existe γ > 0 tel |a| = |a|γ∞ , ∀a ∈ Q, l en particulier on a |n| = nγ pour tout entier n ≥ 0. Lemme 1 : Soit (K, | |) un corps valué archimédien complet. Si P (X) = X 2 − αX + β ∈ K[X] est tel que 4|β| < |α|2 ; alors il existe a ∈ K tel que P (a) = 0. Démonstration (i) Si β = 0, on a P (X) = X 2 − αX = X(X − α) et P (0) = 0 = P (α). Supposons β 6= 0; alors si 4|β| < |α|2 , on a α 6= 0. Puisque P (0) = β 6= 0, si a erst une racine de P , on a a 6= 0 et P (a) = a2 − αa + β = 0 ⇐⇒ a = α − βa−1 . (ii) Considérons la suite (an )n≥1 ⊂ K définie par récurence, en posant a1 = an+1 = α − βa−1 n , n ≥ 1. On a α 2 et 46 |an+1 | > (1) |α| , ∀n ≥ 1. 2 |α| |α| |α| = |α| − ⇐⇒ < |α| − 2 2 2 −1 2|β||α−1 |. Il vient que |a2 | = |α − βa−1 | ≥ ||α| − 2|β||α−1 || = |α| − 1 | = |α − 2βα En effet, puisque 4|β| < |α|2 , on a 2|β||α−1 | < 2|β||α−1 | > |α| |α| ; d’où |a2 | > . 2 2 |α| −1 |. , ou encore |a−1 n | < 2|α 2 |α| −1 Ainsi −2|β||α−1 | < −2|β||a−1 < |α| − 2|β||α−1 | < |α| − n | < −|β||an | et 2 2|β|| an −1| < |α| − |β||a−1 n |= Supposons par hypothèse de récurrence |an | > −1 = |α| − |β||a−1 n | ≤ |α − βan | = |an+1 |, c’est-à-dire |an+1 | > (iii) |α| . 2 On va démontrer que la suite (an )n≥1 est une suite de Cauchy dans K et que sa limite est une racine du polynôme P (X) = X 2 − αX + β. |α| ≤ |an |, ∀n ≥ 1, on a 2 − an | ≤ 4|β||α−1 |2 |an+1 − an |. Ainsi, pour tout −1 On a an+2 − an+1 = β(a−1 n − an+1 ). Puisque (a) −1 |an+2 − an+1 | = |β||a−1 n ||an+1 ||an+1 entier n ≥ 1, on a |an+2 − an+1 | ≤ r|an+1 − an |, où r = 4|β||α−1 |2 est tel que 0 < r < 1. D’où par récurrence |an+2 − an+1 | ≤ rn |a2 − a1 |, ∀n ≥ 1. (2) Alors, pour m ≥ 2 et n ≥ 1, on a |an+m − an+1 | = = |an+m − an+m−1 + ........ + an+2 − an+1 | ≤ m−2 X |an+j+2 − an+j+1 | ≤ |a2 − j=0 a1 | m−2 X rn+j . j=0 Mais m−2 X j=0 rn+j = 1 − rm−1 n rn r ≤ . Ainsi, on a 1−r 1−r rn , ∀m ≥ 2, ∀n ≥ 1. 1−r (3) |an+m − an+1 | ≤ |a2 − a1 | (b) On déduit aussitôt de (3) que (an )n≥1 est une suite de Cauchy dans le corps valué complet K. Soit lim an = a ∈ K. Puisque n→+∞ |α| ≤ |an |, ∀n ≥ 1, on a d’une part 2 47 |α| −1 −1 2 ≤ |a|, d’où a 6= 0 et d’autre part, |a−1 | = |a−1 ||a−1 | |an − a| n −a n ||an − a| ≤ 4|α 2 −1 et donc lim a−1 . n =a n→+∞ −1 Par définition, an+1 = α − βa−1 , d’où n . Passant à la limite, on obtient a = α − βa P (a) = a2 − αa + β = 0. Notons que a0 = βa−1 est l’autre racine de P (X) = X 2 − αX + β. Lemme 2 : Soit (K, | |) un corps valué archimédien complet et soit L une extension de K de degré 2. La valeur absolue de K se prolonge en une seule valeur absolue sur L. Démonstration Puisque le corps K est de caractéritique zéro, l’extension L | K étant de degré 2 est galoisienne de groupe de Galois G(L | K) = {id, σ}, avec σ 2 = id. Posons pour a ∈ L, T rL|K (a) = a + σ(a) et NL|K (a) = aσ(a), ce sont des éléments de K, car de façon évidente, on a σ(T rL|K (a)) = T rL|K (a) et σ(NL|K (a)) = NL|K (a). De plus a2 − T rL|K (a)a+NL|K (a) = a2 −(a+σ(a))a+aσ(a) = 0 et donc Pa (X) = X 2 −T rL|K (a)X + NL|K (a) est le polynôme minimal de a lorsque a 6∈ K. Si a ∈ K, on a Pa (X) = X − a, T rL|K (a) = 2a et NL|K (a) = a2 . (i) 1 Posons ϕ(a) = |NL|K (a)| 2 . Alors, si a ∈ K, on a ϕ(a) = |a|. En fait ϕ : L −→ IR+ est une valeur absolue . 1 En effet, puisque ϕ(a) = |aσ(a)| 2 , on a ϕ(a) = 0 si et seulement si aσ(a) = 0 ⇐⇒ a = 0 ou σ(a) = 0 ⇐⇒ a = 0. (a) Soient a et b ∈ K, on a NL|K (ab) = abσ(ab) = abσ(a)σ(b) = NL|K (a)NL|K (b). 1 1 1 Ainsi ϕ(ab) = |NL|K (ab)| 2 = |NL|K (a)| 2 |NL|K (b)| 2 = ϕ(a)ϕ(b). (b) Soit a ∈ L, on a ϕ(a + 1) ≤ ϕ(a) + 1. C’est clair, lorsque a ∈ K. Supposons donc a ∈ L \ K. On a NL|K (a + 1) = aσ(a) + a + σ(a) + 1 = NL|K (a) + T rL|K (a) + 1. Ainsi ϕ(a + 1)2 = |NL|K (a + 1)| ≤ |NL|K (a)| + |T rL|K (a)| + 1. Ou bien (4) 1 |T rL|K (a)| ≤ 2|NL|K (a)| 2 , alors ϕ(a + 1)2 ≤ ϕ(a)2 + 2ϕ(a) + 1 = (ϕ(a) + 1)2 =⇒ ϕ(a + 1) ≤ ϕ(a) + 1. 48 Ou bien (5) 1 2|NL|K (a)| 2 < |T rL|K (a)|, c’est-à-dire 4|NL|K (a)| < |T rL|K (a)|2 . On déduit du Lemme 1 que Pa (X) = (X − a)(X − σ(a)) a une racine dans K. Ainsi, a ou bien σ(a) ∈ K, d’où a ∈ K. Ce qui contredit a ∈ L \ K. On ne peut donc avoir (5). En conclusion, on a ϕ(a + 1) ≤ ϕ(a) + 1, ∀a ∈ L. Soient a, b ∈ L, b 6= 0, on a (a+b) = (ab−1 +1)b et ϕ(a+b) = ϕ(ab−1 +1)ϕ(b) ≤ (ϕ(ab−1 ) + 1)ϕ(b) = ϕ(a)ϕ(b−1 ) + 1 ϕ(b) = ϕ(a) + ϕ(b). (c) En résumé : ϕ est une valeur absolue sur L qui prolonge celle de K et c’est une norme de K-espace vectoriel. (ii) Pour l’unicité de ϕ, on raisonne comme dans la démonstration du Corollaire I-3-2. Sachant que toutes les normes du K-espace vectoriel E de dimension finie 2 sont équivalentes, si k k est une norme quelconque de L, il existe m, M > 0 tels que : mkak ≤ ϕ(a) ≤ M kak, ∀a ∈ L. Ainsi mkan k ≤ ϕ(an ) = ϕ(a)n ≤ M kan k, ∀n > 1. 1 1 1 1 Il vient que m n kan k n ≤ ϕ(a) ≤ M n kan k n , ∀n > 1 et ϕ(a) = 1 lim kan k n , n→+∞ quelque soit la norme k k de L. D’où l’unicité de ϕ. Théorème : Ostrowski Les seuls corps valués complets archimédiens sont IR et Cl ( à isomorhisme de corps valués près ). Démonstration : Soit (K, | |) un corps valué archimédien complet. La restriction à Q l de | | est équivalente à la valeur absolue usuelle | |∞ de Q l : il existe γ > 0 tel que |a| = |a|γ∞ , ∀a ∈ Q. l Puisque K est complet, l’adhérence Q l de Q l dans K s’identifie à ( Q, l | |γ∞ )b = IR; ainsi IR ⊆ K . (i) (ii) Ou bien, il existe i ∈ K tel que i2 = −1, alors Cl = IR[i] ⊆ K. Ou bien, X 2 + 1 n’a aucune racine dans K, alors K[i] est une extension de K de degré 2 et la valeur absolue de K se prolonge de façon unique à K[i]. De plus 49 IR[i] = C l ⊆ K[i], extension de corps valués. On pose L = K dans le cas (i) et L = K[i] dans le cas (ii). On note ϕ la valeur absolue de L. (iii) Puisque C l est un sous-corps valué complet de L, Cl est une partie fermée de L. Supposons L \ C l 6= ∅. Considérons α ∈ L \ Cl et r = dist(α, C) l = inf ϕ(α − a). a∈ C l Puisque Cl est une partie fermée de L, on a r > 0. (a) Pour tout ε > 0, il existe aε ∈ Cl tel que r ≤ ϕ(α − aε ) ≤ r + ε. En particulier, il existe a1 ∈ C l tel que r ≤ ϕ(α − a1 ) ≤ r + 1. Ainsi r = inf a∈ C l ϕ(α−a)<r+1 ϕ(α − a). Soit D+ (α, r +1) = {β ∈ L / ϕ(α−β) ≤ r +1} la boule fermée de L de centre α et de T rayon r +1. Posons D = C l D+ (α, r +1) , c’est une partie fermée de Cl telle que a1 ∈ D. De plus ∀a ∈ D, on a |a|γ∞ = ϕ(a) = ϕ(a − α + α) ≤ ϕ(a − α) + ϕ(α) ≤ r + 1 + ϕ(α). Ainsi D est une partie bornée de C; l comme elle fermée, c’est un compact de C. l On a pour a, b ∈ C, l |ϕ(α − a) − ϕ(α − b)|∞ ≤ ϕ(α − a − α + b) = ϕ(a − b) = |a − b|γ∞ . L’application ϕ(α−?) : C l −→ IR+ définie par a −→ ϕ(α − a) est donc continue, ainsi que sa restriction à la partie compacte D de Cl . Alors, il existe a0 ∈ D tel que r = inf ϕ(α − a) = ϕ(α − a0 ). a∈D Posons α0 = α−a0 , on a ϕ(α0 ) = r et α0 ∈ L\ C. l Soit a ∈ C, l comme α0 −a = α−b, où b = a0 − a ∈ C, l on a ϕ(α0 − a) = ϕ(α − b) ≥ r. En résumé, on a : (4) ϕ(α0 ) = r et r ≤ ϕ(α0 − a), ∀a ∈ C. l (b) Posons V0 = {a ∈ C l / ϕ(a) = |a|γ∞ < r}. Alors (5) V0 ⊂ {β ∈ / ϕ(α0 − β) = r}. En effet, soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité dans C. l On a, pour a ∈ C, l α0n − an = n−1 Y (α0 − ζ j a). j=0 j j Puisque ζ a ∈ C, l on a r ≤ ϕ(α0 − ζ a) et r n−1 ≤ n−1 Y ϕ(α0 − ζ j a). j=1 Ainsi, ϕ(α0 − a)rn−1 ≤ n−1 Y j=0 ϕ(α0n ) n n n n−1 Y ϕ(α0 − ζ j a) = ϕ( + ϕ(a ) = r + ϕ(a) . D’où j=0 (α0 − ζ j a)) = ϕ(α0n − an ) ≤ 50 ϕ(a)n ϕ(α0 −a) ≤ r+ n−1 = r+ϕ(a) r ϕ(a) r n−1 . Si donc a ∈ V0 , on a lim n−→+∞ ϕ(a) r n−1 0, et ϕ(α0 − a) ≤ r. Comme ϕ(α0 − a) ≥ r, on obtient ϕ(α0 − a) = r = ϕ(α0 ). Plus généralement, on a ϕ(α0 − ma) ≤ r, ∀a ∈ V0 , ∀m ≥ 1. (6) En effet, si a ∈ V0 , posant α1 = α0 − a, on a ϕ(α0 ) = r = ϕ(α0 − a) = ϕ(α1 ). Soit ζ ∈ C l une racine primitive n-ième de l’unité, comme a + ζ j a ∈ C, l on a ϕ(α1 − ζ j a) = ϕ(α0 − a − ζ j a) ≥ r, ∀ 0 ≤ j ≤ n − 1. Ainsi rn−1 ϕ(α1 − a) ≤ n−1 Y ϕ(α1 − j=0 n−1 Y ζ j a) = ϕ( (α1 − ζ j a)) = j=0 = ϕ(α1n − an ) ≤ ϕ(α1n ) + ϕ(an ) = rn + ϕ(a)n . Et ϕ(α0 − 2a) = ϕ(α1 − a) ≤ n−1 r + ϕ(a) ϕ(a) . Comme ci-dessus, on a ϕ(α0 − 2a) ≤ r, avec ϕ(α0 − a) ≥ r; d’où r ϕ(α0 − 2a) = r. Par récurrence, on obtient pour a ∈ V0 , m ≥ 1, ϕ(α0 − ma) ≤ r. On en déduit aussitôt que , ∀a ∈ V0 , on a mγ ϕ(a) = ϕ(m)ϕ(a) = ϕ(ma) = ϕ(ma − 2r α0 − α0 ) ≤ ϕ(α0 − ma) + ϕ(α0 ) ≤ r + r = 2r. Donc ϕ(a) = |a|γ∞ ≤ γ , ∀m ≥ 1. m γ γ Puisque lim m = +∞, on a ϕ(a) = |a|∞ = 0, ∀a ∈ V0 ; d’où V0 = {0}. Ce qui est m−→+∞ 1 en contradiction avec le fait que V0 = {a ∈ Cl / |a|∞ < r γ } est une boule ouverte de C. l En conclusion, Cl = L. Dans le cas (i) Cl = K = IR[i]. Dans le cas (ii), on a IR ⊆ K ⊆ Cl = K[i] et K = IR. NB. : La démonstration ci-dessus est essentiellement celle donnée dans N. Jacobson - Lectures in abstract algebra - Vol. 3 - Theory of fields and Galois theory- Van Nostrand. Pour une autre démonstration basée sur la théorie des algèbres de Banach voir N. Bourbaki - Algèbre Commutative - Chap. 6 - Hermann (1964). = 51 Chapitre II ———— Espaces de Banach ultramétriques II - 1 : Définition - Exemples Soit K un corps valué ultramétrique complet fixé une fois pour toute, de valeur absolue non triviale | |. Rappelons qu’une norme ultramétrique sur un K-espace vectoriel E est une application k k : E −→ IR+ telle que (1) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 (2) kaxk = |a|kxk (3) kx + yk ≤ max(kxk, kyk) ∀a ∈ K ∀x, y ∈ E ( inégalité triangulaire forte ou ultramétrique ). On dit alors que l’espace vectoriel (E, k k) est ultranormé et lorsqu’il est complet, on dit que c’est un K-espace de Banach ultramétrique. Remarque 1.1 : (i) Un espace vectoriel ultranormé (E, k, k) satisfait aux propriétés P.1 à P.8 des corps valués. (ii) Soit r > 0, les boules D+ (0, r) = {x ∈ E / kxk ≤ r} et D− (0, r) = {x ∈ E / kxk < r} sont des Λ-modules où Λ est l’anneau des entiers de K. En effet, il est clair que D+ (0, r) et D− (0, r) sont des sous-groupes additifs de E. Si a ∈ Λ et kxk ≤ r ( resp. kxk < r), on a kaxk = |a|kxk ≤ kxk ≤ r ( resp. kaxk = |a|kxk ≤ kxk < r). N.B. : Il existe des K-espaces vectoriels ayant une norme qui satisfait à l’inégalité triangulaire classique (3’) kx + yk ≤ kxk + kyk , mais non à l’inégalité ultramétrique (3) u t 52 Exemple 0 : Soit `1 (IN, K) = {a = (an )n≥0 ⊂ K / kak1 = X |an | < +∞}. Alors `1 (IN, K) n≥0 est un K-espace vectoriel normé de norme k k1 qui ne satisfait pas à (3). En effet, posant en = (δm,n )m≥0 , on a ken k = 1 et si n 6= m, ken + em k = 1 + 1 = 2 > max(ken k, kem k) = 1. Notons que `1 (IN, K) est complet, lorsque K est complet et `1 (IN, K) contient comme sous-espaces fermés les espaces de dimension finie m + 1 : K m+1 = {a = (an )n≥0 / an = 0, ∀n ≥ m + 1}; K m+1 , étant de dimension finie, la norme kak1 = m X |ai | est équivalente à la norme i=0 ultramétrique kak∞ = max |ai | ( voir Théorème I - 3. 1 ). 0≤i≤m N.B : Dans toute la suite tous les espaces normés seront supposés ultramétriques. On peut avoir kEk 6⊂ |K|. Exemple 1 : Soit I un ensemble quelconque. Considérons α = (αi )i∈I ⊂ IR∗+ . Posons `∞ (I, K, α) = {a = (ai )i∈I ∈ K I / kakα = sup |ai |αi < +∞}. i∈I On vérifie que k kα est une norme ultramétrique sur `∞ (I, K, α). De plus (`∞ (I, K, α), k kα ) est complet. En effet, considérons une suite de Cauchy (a(n))n≥1 dans `∞ (I, K, α) ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃nε / ∀m, ∀n ≥ nε =⇒ sup |ai (n) − ai (m)|αi = ka(n) − a(m)kα < ε, ainsi |ai (n) − i∈I ai (m)|αi < ε, ∀m, n ≥ nε , ∀i ∈ I et ((ai (n))n≥1 est une suite de Cauchy dans K. Puisque K est complet , lim ai (n) = ai existe , ∀i ∈ I. n→+∞ D’une part , on a |ai − ai (m)|αi = lim |ai (n) − ai (m)|αi ≤ ε, ∀m ≥ nε , ∀i ∈ I. n→+∞ En particulier |ai |αi ≤ max(ε , |ai (nε )|αi ) ≤ max(ε , ka(nε kα ), ∀i ∈ I. D’où kakα ≤ max(ε, ka(nε )k) < +∞ et a ∈ `∞ (I, K, α). D’autre part, ka − a(m)k = sup |ai − ai (m)|αi ≤ ε, pour tout m ≥ nε i∈I =⇒ lim ka − a(m)k = 0. m→∞ 53 N.B: (i) Soit ei = (δij )i∈I (symbole de Kronecker), on a kei kα = αi . Alors si (αi )i∈I 6⊂ |K ∗ |, on a k`∞ (I, K, α)kα 6⊂ |K|. (ii) Si αi = 1, ∀i ∈ I, on a l’espace usuel `∞ (I, K) des fonctions bornées a : I → K, muni de la norme kak∞ = sup |ai |. i∈I Exemple 2 : On dit qu’une famille (βi )i∈I ⊂ IR∗+ converge vers zéro , lim βi = 0 ⇐⇒ i∈I ∀ε > 0, ∃Jε ⊂ I, Jε f ini, tel que βi < ε, pour tout i ∈ / Jε . En d’autres termes, la limite suivant le filtre de Fréchet sur I de (βi )i∈I est nulle. Rappelons que le filtre de Fréchet sur I est le filtre des complémentaires des parties finies de I. Posons c0 (I, K, α) = {a = (ai )i∈I ∈ K I / lim |ai |αi = 0}, où comme ci-dessus, i∈I (αi )i∈I ⊂ IR∗+ . Alors c0 (I, K, α) est un sous-espace de `∞ (I, K, α). De plus c0 (I, K, α) est fermé dans `∞ (I, K, α). En effet si a = lim a(n) avec a(n) ∈ c0 (I, K, α); pour tout ε > 0 n→+∞ , il existe nε tel que pour n ≥ nε , on a |ai − ai (n)|αi ≤ ka − a(n)kα < ε. Ainsi |ai |αi ≤ max(|ai (nε ) − ai |αi , |ai (nε )|αi ) ≤ max(ε , |ai (nε )|αi ), et lim sup |ai |αi ≤ i∈I max(ε , lim |ai (nε )|αi ) = ε, ∀ε > 0. D’où lim |ai |αi = 0, et a ∈ c0 (I, K, α). i i En conclusion c0 (I, K, α) muni de la norme k kα est complet. N.B. : (i) Si αi = 1, ∀i ∈ I, alors c0 (I, K) = {a = (ai )i∈I ∈ K I / lim ai = 0} i∈I ∞ I (ii) Si I est finie , alors c0 (I, K, α) = ` (I, K, α) = K , muni de la norme kakα = max |ai |αi . i∈I u t Exemple 3 : Soit X un espace topologique compact. Soit f : X → K une fonction continue, alors |f | : X → IR+ est continue , ainsi |f (X)| est une partie compacte de IR+ et kf k∞ = sup |f (x)| < +∞. x∈X On vérifie alors, comme dans le cas réel, que l’espace C(X, K) des fonctions continues à valeurs dans K, muni de la norme k k∞ est un K-espace de Banach ultramétrique. Plus généralement si X est un espace topologique quelconque, BC(X, K) = {f : X → K / f continue et bornée } = `∞ (X, K) ∩ C(X, K) est un K-espace de Banach ultramétrique. 54 Si X est localement compact, l’espace C0 (X, K) des fonctions continues f : X → K nulles à l’infini est un sous-espace fermé de BC(X, K) : f ∈ C(X, K) ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃Cε ⊂ X compact et |f (x)| < ε, ∀x ∈ / Cε . N.B. : (i) Si l’espace topologique X est connexe alors C(X, K) = BC(X, K) ∼ = K. (ii) Dans les exemples 1 à 3, on peut remplacer K par un K-espace de Banach ultramétrique E. u t Exemple 4 : Proposition 1.2 : Soient E et F deux K-espaces de Banach ultramétriques. Soit L(E, F ) = {u : E → F / u linéaire et continue }. Alors si u ∈ L(E, F ), on a kuk = sup x6=0 ku(x)k < +∞ et (L(E, F ), k k) est un espace kxk de Banach ultramétrique. Démonstration : • Soit u ∈ L(E, F ); comme u est continue en 0, il exite η = η1 > 0, tel que kxk < η =⇒ ku(x)k < 1. Soit π ∈ K, 0 < |π| < 1. Puisque lim |π|n = 0 et n→+∞ [ on voit que IR∗+ = |π|n+1 , |π|n . lim |π|n = +∞, n→−∞ n∈ZZ Soit x ∈ E, x 6= 0, il existe m ∈ ZZ tel que |π|m+1 < kxk ≤ |π|m ⇐⇒ |π|η < η kπ −m xk ≤ η. Ainsi ku(π −m x)k = |π −m |ku(x)k ≤ 1, et ku(x)k ≤ |π|m ≤ sup x6=0 kxk . D’où |π|η 1 ku(x)k ≤ < +∞. kxk |π|η On vérifie aussistôt que kuk définit sur L(E, F ) une norme ultramétrique. • Soit (un )n≥1 une suite de Cauchy dans L(E, F ). Pour tout ε > 0, il existe nε tel que pour m, n ≥ nε , on a kum − um k = sup x6=0 kun (x) − um (x)k < ε. kxk Alors kun (x)−um (x)k ≤ kun −um kkxk < εkxk, pour n, m ≥ nε . La suite (un (x))n≥1 est donc de Cauchy dans l’espace de Banach F . Posons u(x) = lim un (x). On voit n→+∞ facilement que u : E → F est linéaire. De plus ku(x)−unε (x)k = lim kun (x)−unε (x)k ≤ n→∞ εkxk, et 55 ku(x)k ≤ max(ku(x) − unε (x)k , kunε (x)k) ≤ max(εkxk , kunε k kxk). D’où sup x6=0 ku(x)k ≤ max(ε , kunε k) < +∞ et u ∈ L(E, F ). kxk Remarque 1.3 : Considérons pour u ∈ L(E, F ), kuk0 = sup ku(x)k et τ = sup |λ|. kxk≤1 λ∈K |λ|<1 Alors k k0 est une norme ultramétrique équivalente à k k : kuk0 ≤ kuk ≤ τ1 kuk0 . En fait kuk0 = kuk si K de valuation dense et kuk0 ≤ ku| ≤ 1 |π| kuk0 lorsque K de valuation discrète, d’uniformisante π. On peut avoir kuk = 6 kuk0 . Démonstration : Il est clair que k k0 est une norme ultramétrique sur L(E, F ). Puisque pour tout x ∈ E, on a ku(x)k ≤ kukkxk, on obtient ku(x)k ≤ kuk pour tout x ∈ E tel que kxk ≤ 1. Ainsi kuk0 ≤ kuk. D’autre part, si λ ∈ K, 0 < |λ| < 1, on a comme ci-dessus, IR∗+ = [ |λ|n+1 , |λ|n n∈ZZ m+1 et pour x 6= 0, il existe m ∈ ZZ tel que |λ| m < kxk ≤ |λ| ⇐⇒ |λ| < kλ−m xk ≤ 1. Ainsi, ku(λ−m x)k = |λ−m |ku(x)k ≤ kuk0 , et ku(x)k ≤ |λ|m kuk0 ≤ D’où kuk ≤ kxk kuk0 . |λ| 1 kuk0 , ∀λ ∈ K, 0 < |λ| < 1. |λ| • Ou bien K est de valuation dense; alors, il existe une suite (λj )j≥1 telle que |λj | < 1 et lim |λj | = 1. D’où τ = 1 et kuk ≤ kuk0 . j→+∞ • Ou bien K est de valuation discrète d’uniformisante π, avec τ = |π| . Prenant λ = π, 1 on obtient kuk ≤ kuk0 . |π| Remarque 1.4 : (i) Lorsque F = K, on pose L(E, K) = E 0 = dual topologique de E = espace des formes linéaires continues x0 : E → K. (i) Pour certains corps (les corps non sphériquement complets), par exemple Cl p , on peut avoir des espaces de Banach E tels que E 0 = (0). Soit E 00 le bidual topologique du K-espace de Banach ultramétrique E. Considérons l’application canonique jE : E → E 00 qui à x ∈ E associe jE (x) : E 0 → K, définie par jE (x)(x0 ) =< x0 , x >. 56 | < x0 , x > | ≤ kxk. kx0 k x0 6=0 Puisque | < x0 , x > | ≤ kx0 k kxk, on a kjE (x)k = sup N.B. : Disons que E est réflexif lorsque jE : E → E 00 est isométrique bijective. (i) Pour les corps sphériquement complets; par exemple Q l p , on démontre que les espaces de Banach réflexifs sont les espaces de dimension finie . (ii) On peut montrer que c0 (IN, C l p ) est un Cl p -espace de Banach réflexif. u t On dit que le K-espace de Banach ultramétrique E est pseudo-réflexif lorsque | < x0 , x > | . kx0 k x0 6=0 jE : E → E 00 est isométrique : c’est-à-dire kxk = sup Proposition 1.5 : Un K-espace de Banach ultramétrique E est pseudo-réflexif si et seulement si pour ρ tout ρ > 1 et tout x ∈ E, x 6= 0, il existe x00 ∈ E tel que < x00 , x >= 1 et kxk < 0 . kx0 k Démonstration : | < x0 , x > | , pour tout x ∈ E. kx0 k x0 6=0 • Supposons E pseudo-réflexif, c’est-à-dire kxk = sup Ainsi , ∀ε > 0, ∃x0ε ∈ E 0 tel que kxk < εkxk, il existe x0ε tel que kxk < | < x0ε , x > | +ε. En particulier si x 6= 0, pour kx0ε k | < x0ε , x > | | < x0ε , x > | + εkxk =⇒ (1 − ε)kxk < . kx0ε k kx0ε k Soit ρ > 1. Considérons ε = 1 − ρ−1 , alors il existe x0ρ ∈ E 0 tel que ρ−1 kxk < x0ρ | < x0ρ , x > | | < x0ρ , x > | 0 0 −1 . Posons x = , on a < x , x >= 1 et ρ kxk < = 0 0 kx0ρ k < x0ρ , x > | < x0ρ , x > |kx00 k 1 . kx00 k D’où kxk < ρ . kx00 k • La réciproque est claire, car alors kxk < ρ | < x0 (x) > | | < x00 , x > | ≤ ρ sup , i.e. kx00 k kxk x0 6=0 kxk ≤ ρkjE (x)k, ∀ρ > 1, ainsi kxk ≤ kjE (x)k. Comme kjE (x)k ≤ kxk, on a kxk = kjE (x)k. II - 2 : Espaces de Banach libres 57 Définition 1: Un K-espace de Banach ultramétrique E est libre , s’il existe une famille (ei )i∈I ⊂ E telle que tout x ∈ E s’écrit de façon unique sous forme de famille sommable x = X xi ei , xi ∈ K, ⇐⇒ lim |xi |kei k = 0 et kxk = sup |xi |kei k. i∈I i∈I i∈I Dans ces conditions, on dit que (ei )i∈I est une base orthogonale de E. Si de plus kei k = 1, ∀i ∈ I, on dit que (ei )i∈I est une base orthonormale de E . Proposition 2.1 : Soit E un espace de Banach libre de base (ei )i∈I . La forme linéaire e0i : E → K définie en posant pour x = X xi ei ∈ E, < e0i , x >= xi i∈I 1 . kei k X X De plus pour x0 ∈ E 0 et x = xi ei ∈ E, on a < x0 , x >= xi < x0 , ei >; i.e. est continue de norme ke0i k = i∈I x0 = X i∈I < x0 , ei > e0i est une famille simplement sommable et l’on a kx0 k = i∈i 0 sup i∈I | < x , ei > | . kei k Démonstration : X Soit x = xi ei ; puisque |xi |kei k ≤ kxk = sup |xj kej k, on a | < e0i , x > | = j∈I i∈I |xi | ≤ kxk | < e0i , x > | 1 1 1 =⇒ sup ≤ =⇒ e0i ∈ E 0 avec ke0i k ≤ . Mais = kei k kxk kei k kei k kei k x6=0 | < e0i , ei > | 1 ≤ ke0i k, ainsi ke0i k = . kei k kei k X 0 0 0 0 Soit x ∈ E , on a | < x , x > | = xi < x , ei > ≤ sup |xi || < x0 , ei > | = i∈I i∈I | < x0 , ei > | | < x0 , ei > | | < x , ei > | ≤ kxk · sup =⇒ kx0 k ≤ sup . kei k kei k kei k i∈I 0 = sup |xi |kei k · i∈I Puisque | < x0 ei > | | < x0 , ei > | ≤ kx0 k, ∀i ∈ I, on a sup . ≤ kx0 k. kei k kei k i∈I Ainsi kx0 k = sup i∈I | < x0 , ei > | = sup | < x0 , ei > | ke0i k. kei k i∈I 58 Corollaire 2.2 : E ' c0 I, K, (kei k)i∈I et 1 E 0 ' `∞ I, K, kei k i∈I Démonstration : Vérification immédiate. Corollaire 2.3 : Tout espace de Banach libre est pseudo-réflexif. Démonstration : En effet kxk = sup |xi |kei k = sup i∈I i∈I | < e0i , x > | | < x0 , x > | ≤ sup = kjE (x)k. Ainsi, 0 kei k kx0 k x0 6=0 puisque kjE (x)k ≤ kxk, on obtient kxk = kjE (x)k. Remarque 2.4 : Soit E un espace de Banach libre de base orthogonale (ei )i∈I . Fixons π ∈ K tel que 0 < |π| < 1. Pour tout i ∈ I, il existe mi ∈ ZZ tel que |π|mi +1 < kei k ≤ |π|mi . Posons εi = π −mi ei . Alors |π| < kεi k ≤ 1 et (εi )i∈I est une base orthogonale de E: X pour x ∈ E, on a x = yi εi , lim yi = 0 et |π| sup |yi | ≤ kxk = sup |yi |kεi k ≤ sup |yi |. i∈I i∈I i∈I i∈I i∈I On en déduit que E est isomorphe ( non isométriquement ) à c0 (I, K). Soient E et F deux K-espaces de Banach libres de bases respectives (ej )j∈i et (f` )`∈L . Soient x0 ∈ E 0 et y ∈ F , on définit une application linéaire continue x0 ⊗ y : E 0 → F en posant pour x ∈ E, (x0 ⊗ y)(x) =< x0 , x > y. On a kx0 ⊗ yk = kx0 kkyk. En particulier on a les applications linéaires (= matrices) élémentaires e0j ⊗ f` = kf` k . kej k X Soit u ∈ L(E, F ). Pour tout j ∈ I , on a u(ej ) = α`j f` =⇒ lim |α`j | kf` k = E`j ∈ L(E, F ) de normes ke0j ⊗ f` k = ke0j k kf` k = `∈L `∈L 0, ∀j ∈ I. Soit x = X j∈I f` (x). xj ej , on a u(x) = X j∈I xj u(ej ) = X j∈I < e0j , x > X `∈L α`j f` = XX j∈I `∈L α`j e0j ⊗ 59 Proposition 2.5 : Soient E et F deux K-espaces de Banach libres de bases respectives (ej )j∈I et (f` )`∈L . Tout élément u de L(E, F ) s’écrit sous la forme unique de famille simplement X sommable u = α`j e0j ⊗ f` , avec α`j ∈ K et lim |α`j | kf` k = 0, ∀j ∈ I. `∈L j,` De plus kuk = sup |α`j | j,` kf` k . kej k Démonstration : L’unicité de la décomposition provient du fait que (ej )j∈I et (f` )`∈L sont des bases orthogonales. ku(ej )k ku(ej )k ≤ kuk, pour tout j ∈ I , on a sup ≤ kuk. kej k kej k j∈I X ku(ej )k D’autre part ku(x)k = ≤ xj u(ej ) |xj |ku(ej )k = sup |xj |kej k · ≤ sup kej k j∈I j∈I j∈I Comme ku(ej )k ku(x)k ku(ej )k ku(ej )k , d’où sup = kuk ≤ sup ; ainsi kuk = sup . ke k kxk ke k kej k j j j∈I j∈I j∈I x6=0 X kf` k Mais on a ku(ej )k = α`j f` = sup |α`j | kf` k; d’où kuk = sup sup |α`j | . `∈L kej k j∈I `∈L kxk sup `∈L Supposons que K est un corps de valuation discrète (complet) d’uniformisante π et |K ∗ | = |π|ZZ . Soit E un K-espace de Banach de norme k k; ou bien kEk ⊂ K. Ou bien kEk 6⊂ |K|. Posons dans ce cas : k0k0 = 0 et pour x ∈ E, x 6= 0, kxk0 = sup{|π|n , n ∈ ZZ / |π|n ≤ kxk}. Puisque |π|ZZ est un sous-groupe discret de IR∗+ , il existe n(x) ∈ ZZ tel que kxk0 = |π|n(x) : c’est le plus grand entier n tel que |π|n ≤ kxk. Ainsi, on a kxk < |πkn(x)−1 = kxk0 |π|−1 . Il vient que kxk0 ≤ kxk < |π|−1 kxk, ∀x ∈ E. En fait k k0 est une norme sur E. En effet kxk0 = 0 ⇐⇒ x = 0. Soit a ∈ K, on a |a| = |π|v(a) , v(a) ∈ ZZ. Comme |π|n(x) ≤ kxk, on a |π|n(x)+v(a) ≤ |π|v(a) kxk = |a|kxk = kaxk, ainsi kaxk0 = |π|n(x)+v(a) = |a|kxk0 . Donc kaxk0 = |a|kxk0 . Soient x, y ∈ E; supposons max(kxk, kyk) = kxk; alors kx + yk ≤ max(kxk, kyk) = 60 kxk. Soit n ∈ ZZ tel que |π|n ≤ kx + yk ≤ max(kxk, kyk) = kxk, alors |π|n ≤ kxk, et |π|n(x+y) = kx + yk0 ≤ kx + yk ≤ kxk. D’où |π|n(x+y) = kx + yk0 ≤ |π|n(x) = kxk0 . En conclusion kx + yk0 ≤ kxk0 ≤ max(kxk0 , kyk0 ). La norme k k0 sur E est équivalente à k k et kEk0 ⊂ K. N.B : Posant k0k1 = 0 et pour x ∈ E, x 6= 0, kxk1 = inf{|π|n , n ∈ ZZ / kxk ≤ |π|n }, on vérifie comme ci-dessus que k k1 est une norme sur E telle que kEk1 ⊂ |K| et |π|kxk1 < kxk ≤ kxk1 . N.B: kEk ⊂ |K| =⇒ kEk = |K|. Considérons les boules unités fermées et ouvertes E0 = {x ∈ E / kxk ≤ 1} et E1 = {x ∈ E / kxk < 1} de (E, k k). Ce sont des Λ-modules ( Λ = anneau des entiers de K ). Si de plus kEk ⊂ |K|, on a kE1 k ⊂ |M| où M = πΛ est l’idéal maximal de Λ. Ainsi E1 = πE0 . On vérifie aussitôt que le Λ-module quotient E0/E est un K-espace 1 vectoriel (K = Λ/M = corps résiduel de K ). Théorème 2.6 : Soit K un corps valué ultramétrique complet, de valuation discrète. Tout K-espace de Banach ultramétrique E tel que kEk ⊂ |K| possède une base orthonormale. En fait toute base (εi )i∈I du K-espace vectoriel E0/E se relève en une base or1 thonormale (ei )i∈I de E. Démonstration : Elle est semblable à celle de la Proposition I - 2.7. • Soit (εi )i∈I une base du K-espace vectoriel E0/E . Considérons la famille (ei )i∈I ⊂ 1 E0 telle que ei = εi , pour i ∈ I. Puisque kEk ⊂ K, si x ∈ E, x 6= 0, il existe a ∈ K tel que kxk = |a| =⇒ ka−1 xk = 1. Ainsi y = a−1 x ∈ E0 est tel que kyk = 1. Par réduction modulo E1 = πE0 , on a y 6= 0, y = X λ◦i εi , où I0 ⊂ I est fini , λ◦i ∈ K i∈I0 étant différent de zéro. Considérons b◦i ∈ Λ tel que b◦i = λ◦i et posons y0 = X b◦i ei . On i∈I0 n1 a y0 ∈ E0 et y = y 0 ( mod. E1 ), alors ky0 k = kyk = 1 et ky − y0 k = |π| y − y0 = π n1 z1 , avec kz1 k = 1, et y = y0 + π n1 z1 . < 1. Ainsi 61 0 De la même manière z1 = y1 + π n2 z2 où y1 = X b1i ei et kz2 k = 1. Il vient que i∈I1 n1 n2 y = y0 + π y1 + π z2 , n2 = n1 + n02 > n1 . Par récurrence , on obtient : y = y0 + π n1 y1 + . . . + π n` y` + π n`+1 z`+1 , avec kz`+1 k = 1, n0 = 0, nj+1 > nj , et X y` = b`i ei , où |b`i | = 1, ∀i ∈ I` . i∈I` Ainsi lim π n` y` = 0, `→+∞ b i et Posant bi = = lim π n`+1 z`+1 = 0 et y = `→+∞ X π n` y ` = XX π n` b`i ei `≥0 i∈I` `≥0 π n` b`i , lorsque i ∈ I` [ . 0 , lorsque i 6∈ I` `≥0 on obtient |bi | < 1, pour tout i ∈ I` , et |bi | = 1, pour i ∈ I0 . Ainsi sup |bi | = 1. De plus i∈I lim bi = 0 et i∈I X bi ei est sommable telle que y = i∈I X bi ei avec kyk = 1 = sup |bi |. i∈I i∈I On en déduit aussitôt que x = ay = X ai ei où ai = abi ; de plus kxk = |a| = sup |ai |. i∈I i∈I Il vient que (ei )i∈I est une base orthonormale de E. N.B. : u t Le théorème 2.6 ci-dessus n’est plus vrai lorsque la valuation de K est dense. Définition 2 : Soit 0 < α < 1. On dit que la famille (ei )i∈I du K-espace de Banach E est une base α-orthogonale X de E si tout élément x de E s’écrit de façon unique x = xi ei et α sup |xi |kei k ≤ i∈I i∈i kxk ≤ sup |xi |kei k. i∈I Remarque 2.7: Soit 0 < α < 1 Tout espace de Banach ultramétrique sur un coprs valué complet de valuation discrète possède une base α-orthogonale Démonstration : Soit k ≥ 1, un entier. Posons k0kk = 0 et pour x ∈ E, x 6= 0, kxkk = n n 1 = sup{|π| k , n ∈ ZZ, |π| k ≤ kxk}. Alors k kk est une norme et |π| k kxk ≤ kxkk ≤ kxk. 62 1 On a kEkk ⊂ |K| k et l’on voit comme dans le Théorème 2.6 qu’il existe pour le norme X k kk une base orthogonale (ei )i∈I de E : ∀x ∈ E, x = xi ei et kxkk = sup |xi |kei kk . i∈I i∈I 1 1 D’où |π| k sup |xi |kei k ≤ sup kxi ei kk = kxkk ≤ kxk ≤ sup kxi ei k. Comme i∈I i∈I i∈I 1, il existe k0 tel que α ≤ |π| 1 k0 lim |π| k = k→+∞ , ainsi α sup |xi |kei k ≤ kxk ≤ sup |xi |kei k. i∈I i∈I Définition 3 : Un K-espace de Banach (ultramétrique) E est dit de type dénombrable si E contient une famille libre dénombrable totale : i.e. le sous-espace engendré par cette famille [ dénombrable est dense dans E, ou encore E = En où En est un sous-espace de E de n≥1 dimension finie. Nous allons démontrer que tout espace de Banach de type dénombrable possède une base α-orthogonale. Lemme 2.8 : Soit E un K-espace de Banach. Considérons un sous-espace fermé V de E et 0 < t < 1. Alors , pour tout x ∈ E \ V , il existe yt = y ∈ V tel que tkx + yk < inf kx + zk = dist(x, V ). z∈V Démonstration : Puisque V est fermé , dist(x, V ) = inf kx − zk = inf kx + zk > 0. Soit δ > 0 , il z∈V z∈V existe yδ ∈ V tel que kx + yδ k < dist(x, V ) + δ. Prenant δ = ε dist(x, V ), il existe yε ∈ V 1 tel que kx + yε k < dist(x, V ) + ε dist(x, V ) = (1 + ε) dist(x, V ). Considérant ε = − 1, t −1 il existe yt = yε = y ∈ V , tel que kx + yk < t dist(x, V ), c’est-à-dire tkx + yk < dist(x, V ). Théorème 2.9 : Soit 0 < α < 1. Tout K-espace de Banach E de type dénombrable X possède une base α-orthogonale (en )n≥1 : ∀x ∈ E, x = an en , an ∈ K, et n≥1 α sup |an |ken k ≤ kxk ≤ sup |an |ken k. n≥1 n≥1 Démonstration : Considérons une suite (En )n≥1 de sous-espaces de E telle que dim En = n, En ⊂ [ En+1 et En = E. n≥1 63 (i) • Puisque dim En = n , toutes les normes sur En sont équivalentes, en particulier (En , k k) ' (K n , k k∞ ). Ainsi (E, k k) est complet; c’est donc un sous-espace fermé de E. • Il existe (αn )n≥1 ⊂]0, 1[ telle que 0 < α ≤ Y αn < 1. n≥1 En effet, soit α ≤ t0 < t1 < . . . < tn < . . . < 1 avec lim tn = 1. n→+∞ n0 + n + 1 α n0 + 1 où n0 = et tn = . Par exemple t0 = n0 + 2 1−α n0 + n + 2 Considérons pour n ≥ 1, αn = lim n→+∞ n Y Y αj = j=1 j≥1 n n Y Y tn−1 tj−1 t0 , on a αj = = < 1 et tn tj tn j=1 j=1 Y t0 = t0 ; ainsi α ≤ t0 = αj < 1. n→+∞ tn αj = lim j≥0 (ii) (ii)1 Considérons x ∈ En \ En−1 , n ≥ 2. On déduit du Lemme 2.8, qu’il existe yn−1 ∈ En−1 tel que αn kx + yn−1 k ≤ dist(x, En−1 ). Posons en = x + yn−1 . Alors αn ken k ≤ dist(x, En−1 ) = = inf y∈En−1 ken − yn−1 + yk = Ainsi αn ken k ≤ inf z∈En−1 −yn inf z∈En−1 −yn =En−1 inf y∈En−1 kx + yk = ken + zk. ken + zk = dist(en , En−1 ) et αn ken k ≤ ken + yk, ∀y ∈ En−1 Il vient que pour tout an ∈ K, tout y ∈ En−1 , on a αn kan en k ≤ kan en + an yk. Ainsi αn kan en k ≤ kan en + zk, ∀z ∈ En−1 (1) Puisque kzk = kan en + z − an en k ≤ max(kan en + zk , kan en k), on a αn kzk ≤ ≤ max(αn kan en + zk , αn kan en k) ≤ max(αn kan en + zk , kan en + zk) = = kan en + zk, car αn < 1. En résumé αn kzk ≤ kan en + zk, ∀z ∈ En−1 (2) On déduit de (1) et (2) que αn max(kan en k , kzk) ≤ kan en + zk, ∀z ∈ En−1 (3) (ii)2 Il existe une base (ej )1≤j≤n de En telle que pour toute famille finie (aj )1≤j≤n ⊂ K, on a 64 X n αj · max |ai |kei k ≤ aj ej 1≤i≤n j=1 j=1 n Y (0n ) Si n = 1, on a α1 ka1 e1 k ≤ ka1 e1 k . Supposons par récurrence, avoir déterminé une base (e1 , . . . en−1 ) de En−1 telle que: n−1 X αj · max kai ei k ≤ aj ej 1≤i≤n−1 j=1 j=1 n−1 Y (0n−1 ) n−1 X Prenant z = aj ej dans (3) , on obtient αn max kan en k , aj ej ≤ j=1 j=1 n−1 X an en + aj ej . j=1 n−1 n−1 Y X aj ej D’où αn max kan en k , αj · max kai ei k ≤ αn max kan en k , ≤ 1≤i≤n−1 j=1 j=1 n X aj ej , c’est-à-dire : j=1 n−1 X n X aj ej max(αn kan en k , αj · max kai ei k) ≤ 1≤i≤n−1 j=1 j=1 n Y Puisque n Y αj ≤ αn , on a j=1 αj · kan en k ≤ αn kan en k. On déduit alors de (4) que j=1 j=1 n Y n Y (4) αj · max kai ei k = max 1≤i≤n n Y αj · kan en k , n Y j=1 j=1 αj · max kai ei k ≤ 1≤i≤n−1 n X aj ej ≤ max αn kan en k , αj · max kai ei k ≤ . On a donc démontré 1≤i≤n−1 j=1 j=1 n Y (0n ) : n X aj ej αj · max kai ei k ≤ 1≤i≤n j=1 j=1 n Y 65 Rappelons que α ≤ Y αj ≤ n Y αi . Ainsi j=1 j≥1 X n aj ej α max kai ei k ≤ 1≤i≤n j=1 (5) En d’autres termes (ej )1≤j≤n et une base α-orthogonale dans En . Et si dim E < +∞ le théorème est démontré. (iii) Supposons E de dimension infine. Puisque E est complet , la série X aj ej converge j≥1 dans E si et seulement si lim |aj |kej k = 0. j→+∞ X Soit donc E0 = x = aj ej / lim aj ej = 0 ; c’est un sous-espace vectoriel de j→+∞ j≥1 E. Soit x ∈ E0 , x 6= 0; puisque x = lim n X n→+∞ aj ej , il existe n0 entier tel que pour tout j=1 n0 n X X n ≥ n0 , on a x − aj ej < kxk et kaj ej k < kxk, ∀j ≥ n0 +1. Ainsi kxk = aj ej . j=1 j=1 X n0 a e D’où α max kaj ej k ≤ j j = kxk , et α sup kaj ej k ≤ kxk ≤ sup kaj ej k. 1≤j≤n0 j≥0 j≥0 j=1 On en déduit facilement que (E0 , k k) est complet et que E0 est un sous-espace fermé [ [ de E contenant En . Ainsi E = En ⊂ E 0 = E0 et E0 = E. n≥1 En conclusion : n≥1 ∀x ∈ E, on a x = X aj ej , aj ∈ K, lim aj ej = 0 et j→+∞ j≥1 α sup |aj |kej k ≤ kxk ≤ sup |aj |kej k. j≥1 j≥1 Corollaire 2.10 : Tous les espaces de Banach de type dénombrable sont (non nécessairement isométriquement) isomorphes . Démonstration : Soit (en )n≥1 une base α-orthogonale de l’espace de type dénombrable E. Soit π ∈ K [ tel que 0 < |π| < 1. Puisque ken k ∈ IR∗+ = ]|π|m+1 , |π|m ], il existe m(n) ∈ ZZ tel m∈ZZ 66 que |π|m(n)+1 < ken k ≤ |π|m(n) , ou encore |π| < kπ −m(n) en k ≤ 1. Posant ϕn = π −m(n) en , on a |π| < kϕn k ≤ 1. X X X Soit x ∈ E, on a x = an en = an π m(n) ϕn = bn ϕn , avec n≥1 n≥1 n≥1 lim bn ϕn = 0; n→+∞ X mais |π||bn | ≤ |bn |kϕn k, ainsi lim bn = 0. De plus kxk = bn ϕ n sup |bn |kϕn k ≤ ≤ n≥1 n→+∞ n≥1 sup |bn | et α sup |an |ken k = α sup kan π m(n) π −m(n) en k = α sup kbn ϕn k ≤ kxk. n≥0 n≥1 n≥1 n≥1 D’où α|π| sup |bn | ≤ α sup kbn ϕn k ≤ kxk. n≥1 n≥1 En résumé : α|π| sup |bn | ≤ kxk ≤ sup |bn | et (E, k k) est isomorphe à (c0 (IN, K), k k∞ ). n≥1 n≥1 Corollaire 2.11 : Tout espace de Banach de type dénombrable est pseudo-réflexif. Démonstration : Soient 0 < α < 1 et (en )n≥1 une base α−orthogonale de l’espace de type dénombrable E. Considérons les formes linéaires continues définies par < e0n , em >= δnm (symbole de 1 ≤ ke0n k. Kronecker). On a d’une part | < e0n , en > | = 1 ≤ ke0n kken k ; d’où ken k X D’autre part, ∀x = an en ∈ E , on a n≥1 | < e0n , x > | = |an | ≤ kxk 1 , ainsi ke0n k ≤ . αken k αken k | < e0n , x > | 0 ken kken k ≤ ke0n k n≥1 Il vient que kxk ≤ sup |an |ken k = sup | < e0n , x > | ken k = sup n≥1 n≥1 | < e0n , x > | 1 | < x0 , x > | 1 1 sup ≤ sup = kjE (x)k. α n≥1 ke0n k α x0 6=0 kxk α C’est-à-dire kxk ≤ 1 α kjE (x)k , pour tout α, 0 < α < 1. D’où kxk ≤ kjE (x)k. Comme kjE (x)k ≤ kxk, on a kjE (x)k = kxk et jE : E → E 00 est isométrique. II - 3 : Produits tensoriels topologiques Rappelons que si E et F sont deux K-esapces vectoriels, il existe (à un isomorphisme près) un seul K-espace vectoriel E ⊗F , appelé produit tensoriel de E et de F tel que pour 67 tout K-espace vectoriel G, on a HomK (E ⊗ F, G) ' B(E × F, G) = { ψ : E × F → G / ψ bilinéaire }. On construit un tel K-espace vectoriel en considérant K (E×F ) = {z : E × F → K / ∃ Γ ⊂ E × F, Γ fini et z(x, y) = 0, ∀(x, y) 6∈ Γ}; c’est le K-espace vectoriel engendré X par E × F : si z ∈ K (E×F ) , on a z = λi (xi , yi ), λi ∈ K, (xi , yi ) ∈ E × F . finie Soit N le sous K-espace vectoriel de K (E×F ) engendré par (x1 + x2 , y) − (x1 , y) − (x2 , y), (λx, y) − (x, λy) et (x, y1 + y2 ) − (x, y1 ) − (x, y2 ) où x, x1 , x2 ∈ E, λ ∈ K, et y, y1 , y2 ∈ F . On pose E ⊗ F = K (E×F ) /N et x ⊗ y = classe de (x, y) (modulo N ) Soit ψ ∈ B(E ⊗ F, G); on définit une application linéaire vψ : K (E×F ) → G en posant pour les générateurs (x, y) ∈ E × F, vψ ((x, y)) = ψ(x, y). On vérifie aussitôt que N ⊂ kervψ . Par exemple vψ ((x1 + x2 , y) − (x1 , y) − (x2 , y)) = ψ(x1 + x2 , y) − ψ(x1 , y) − ψ(x2 , y) = 0. Ainsi on a par passage au quotient une application linéaire uψ : E ⊗ F → G telle ue uψ (x ⊗ y) = ψ(x, y). On vérifie alors que HomK (E ⊗ F, G) ' B(E × F, G). Exemple : Supposons E et F de dimensions finies n et m , si (ei )1≤i≤n et (fj )1≤j≤m sont des bases de E et F , alors (ei ⊗ fj ) 1≤i≤n est une base de E ⊗ F et dimK (E ⊗ F ) = 1≤j≤m nm. Soit E ∗ = HomK (E, K), on vérifie que E ∗ ⊗ F ' HomK (E, F ). Supposons maintenant que E et F sont des K-espaces de Banach ultramétriques. Peut-on construire un K-espace de Banach ultramétrique Et uF tel que pour tout espace de Banach G l’espace de Banach L(Et uF, G) soit isométriquement isomorphe à l’espace de Banach LB(E × F, G) des applications bilinéaires continues? Cela est possible. Il suffit de compléter E ⊗ F pour une (semi-) norme convenable. X Tout z ∈ E ⊗ F s’écrit sous la forme non-unique z = xi ⊗ yi , xi ∈ E, yi ∈ F . f inie Posons kzk = kzk⊗ = P inf max kxi kkyi k. xi ⊗yi =z i Il est clair que kλzk = |λ|kzk. X X X X Si z = xi ⊗ yi , z1 = x1j ⊗ yj1 , on a z + z1 = xi ⊗ yi + x1j ⊗ yj1 , et i j i j kz + z1 k ≤ max max kxi kkyi k , max kx1j kkyj1 k . Par passage à la borne inférieure, on i j obtient kz + z1 k ≤ max(kzk, kz1 k). Ainsi, on a sur E ⊗ F une semi-norme appelée semi-norme tensorielle. 68 Lemme 3.1 : La semi-norme tensorielle sur E ⊗F définie par kzk = P inf max kxi kkyi k est i xi ⊗yi =z une norme. Soient 0 < α < 1 et (ei )1≤i≤n ⊂ E une famille finie α-orthogonale. n X Alors ∀f1 , . . . , fn ∈ F, on a α max kei kkfi k ≤ ei ⊗ fi . 1≤i≤n i=1 En particulier , ke ⊗ f k = kekkf k, ∀e ∈ E, ∀f ∈ F . Démonstration : (i) Soit donc (ei )1≤i≤n ⊂ E, α-orthogonale. Considérons f1 , . . . , fn ∈ F et x = n X ei ⊗ i=1 fi = m X x` ⊗ y` . `=1 Soient 0 < β < 1 et (ϕj )1≤j≤q une base β-orthogonale de l’espace de dimension finie V = n X K · fi + i=1 m X K · y` . Alors, pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ ` ≤ m, on a fi = 1≤j≤q q X Tout d’abord, on a x = (a) β max |λ`j |kϕj k ≤ ky` k λ`j ϕj , avec : n X ei ⊗ fi = i=1 `=1 x` ⊗ y` = m X `=1 x` ⊗ (b) 1≤j≤q j=1 m X µij ϕj , j=1 `=1 avec: β max |µij |kϕj k ≤ kfi k et y` = q X q X j=1 n X ei ⊗ i=1 λ`j ϕj = q m X X j=1 n X µij ϕj = j=1 q n X X j=1 ! µij ei ⊗ ϕj ≡ i=1 ! λ`j x` ⊗ ϕj . `=1 Considérant la forme linéaire ϕ0j sur V définie par < ϕ0j , ϕ` >= δj` et l’application linéaire idE ⊗ ϕ0j : E ⊗ V → E, on déduit de l’identité ci-dessus que n X µij ei = i=1 m X λ`j x` , ∀1 ≤ j ≤ q et `=1 m n X X λ`j x` ≤ max |λ`j |kx` k α max |µij |kei k ≤ µj ei ei = 1≤i≤n 1≤`≤m i=1 (c) `=1 On déduit de (a) , (b) , (c) que max kx` kky` k ≥ max kx` kβ max |λ`j |kϕj k = 1≤`≤m ` j 69 = β max max |λ`j |kx` k kϕj k ≥ αβ max max |µij |kϕj k kei k . j i ` j q X max |µij |kϕj k, on obtient max kx` kky` k ≥ αβ max kfi kkei k. Puisque kfi k = µij ϕj ≤ 1≤j≤q i 1≤`≤m j=1 En conclusion αβ max kei kkfi k ≤ max kx` kky` k, pour 0 < β < 1, et pour toutes i 1≤`≤m les familles finies (x` , y` ) telles que m X x` ⊗ y` = α max kei kkfi k ≤ max kx` kky` k et posant z0 = 1≤`≤m n X ei ⊗ fi , on a i=1 α max kei kkfi k ≤ P inf i ei ⊗ fi . Ainsi, on a i=1 `=1 i n X x` ⊗y` =z0 n X max kx` kky` k = ei ⊗ fi . ` i=1 Ce qui achève la démonstration de la première partie du lemme. Puisque {e} ⊂ E est α-orthogonale , pour tout 0 < α < 1, on a αkekkf k ≤ ke⊗f k ≤ kekkf k. Ainsi kekkf k ≤ ke ⊗ f k et ke ⊗ f k = kekkf k. (ii) Soit z = m X x` ⊗ y` ∈ E ⊗ F , et soit 0 < α < 1. Considérons une base α-orthogonale `=1 (ei )1≤i≤n de l’espace de dimension finie W = m X K · x` . Pour 1 ≤ ` ≤ m, on a `=1 x` = n X α`i ei , et z = i=1 m X x` ⊗ y` = m X n X α`i ei ⊗ y` = `=1 i=1 `=1 n X ei ⊗ fi où fi = i=1 m X α`i y` . e=1 n X On déduit de (i) que α max kei kkfi k ≤ ei ⊗ fi = kzk. 1≤i≤n i=1 Alors, si kzk = 0, on a pour 1 ≤ i ≤ n, kei kkfi k = 0 . Comme kei k = 6 0, on a kfi k = 0, et fi = 0, pour 1 ≤ i ≤ n. Il vient que z = 0. La semi-norme tensorielle est donc une norme. Définition 3 : b du produit tensoriel E ⊗ F muni de la norme Le complété E ⊗F tensorielle kzk = P inf max kxi kkyi k est appelé le produit tensoriel topologique des xi ⊗yi =z i K-espaces de Banach E et F . Proposition 3.2 : Soit G un K-espace de Banach ultramétrique. b G) et LB(E × F, G) sont isométriquement isomorLes espaces de Banach L(E ⊗F, phes. 70 Démonstration : b G); on définit une application bilinéaire τ (u) : E×F → G en posant Soit u ∈ L(E ⊗F, pour x ∈ E, y ∈ F, τ (u)(x, y) = u(x ⊗ y). De plus comme ku(x ⊗ y)k ≤ kukkx ⊗ yk = kukkxkkyk, on a kτ (u)k = kτ (u)(x, y)k ≤ kuk. kxkkyk x6=0,y6=0 sup Réciproquement, soit ψ : E × F → G une application bilinéaire continue : kψk = X P kψ(x, y)k . Posons pour z = xi ⊗ yi ∈ E ⊗ F, u eψ (z) = ψ(xi , yi ). On sup x6=0,y6=0 kxkkyk i X vérifie aussitôt que u eψ : E ⊗ F → G est linéaire, de plus ke uψ (z)k = ψ(xi , yi ) ≤ i P max kψ(xi , yi )k ≤ kψk max kxi kkyi k, pour toute famille (xi , yi ) telle que z = xi ⊗yi . Il i i vient que ke uψ (z)k ≤ kψkkzk et u eψ est continue de norme ke uψ k ≤ kψk. Ainsi u eψ : E⊗F → b → G telle G se prolonge de façon unique en une application linéaire continue uψ : E ⊗F que kuψ k = ke uψ k et τ (uψ ) = ψ. Ainsi kψk = kτ (uψ )k ≤ kuψ k ≤ kψk, et kτ (uψ )k = kψk. b G) → LB(E × F, G) est bijective On en déduit que l’application linéaire τ : L(E ⊗F, et isométrique. Tout autre espace de Banach Et uF vérifiant la dernière propriété est isométriquement b . (Propriété universelle du produit tensoriel topologique ). isomorphe à E ⊗F u t N.B. Proposition 3.3 : Soient E1 ⊂ E et F1 ⊂ F des sous-espaces fermés de E et F . b 1 s’identifie isométriquement à un sous-espace de E ⊗F b . Alors E1 ⊗F Démonstration : Il suffit de montrer que si z ∈ E1 ⊗F1 , alors les normes kzk1 = Pinf1 z= (x1i ∈ E1 , yi1 ∈ F1 ) et kzk = Si donc z = X inf P z = xi ⊗yi xi ⊗yi1 max kx1i kkyi1 k i max kxi kkyi k (xi ∈ E, yi ∈ F ) sont égales. i x1i ⊗yi1 , où x1i ∈ E1 ⊂ E, et yi1 ∈ F1 ⊂ F , on a kzk ≤ max kx1i kkyi1 k; i i d’où kzk ≤ kzk1 . Soit 0 ≤ α < 1, il existe une famille α-orthogonale e1i que z = n X i=1 1≤i≤n ⊂ E1 ⊂ E telle e1i ⊗ fi1 . Ainsi (Lemm 3.1) on a α max ke1i kkfi1 k ≤ kzk1 . Mais kzk ≤ 1≤i≤n max ke1i kkfi1 k, donc αkzk ≤ kzk1 pour tout 0 < α < 1, et kzk ≤ kzk1 . 1≤i≤n 71 En conclusion : ∀z ∈ E1 ⊗ F1 , on a kzk1 = kzk et (E1 ⊗ F1 , k k1 ) ,→ (E ⊗ F, k k) b 1 , k k1 ) ,→ (E ⊗F, b k k). est isométrique. Par complétion on obtient l’isométrie (E1 ⊗F Soit 0 < α ≤ 1. Proposition 3.4 : Supposons que l’espace de Banach E possède une base α-orthogonale (ej )j∈I . b s’écrit de Soit F un autre espace de Banach ultramétrique. Alors tout z ∈ E ⊗F X façon unique z = ej ⊗ yj , yj ∈ F , et lim kej kkyj k = 0. j∈I j∈I De plus α sup kej kkyj k ≤ kzk ≤ sup kej kkyj k. j∈I j∈I Démonstration : m m X X X X • Si z = xν ⊗ zν ∈ E ⊗ F , puisque xν = αjν ej , on a z = αjν ej ⊗ zν = ν=1 X ν=1 j∈I j∈I ej ⊗ yj où yj = m X αjν zν , avec kej kkyj k ≤ max |αjν |kej k · max kzν k, et 1≤ν≤m ν=1 j∈I 1≤ν≤m lim kej kkyj k = 0. j∈I De plus kzk ≤ sup kej kkyj k. j∈I Considérons la forme linéaire e0j : E → K définie en posant pour x = X xj ej , < j∈I e0j , x >= xj . Alors | < e0j , ej > | 1 = ≤ ke0j k. Puisque α sup |xj |kej k ≤ kxk, kej k kej k j∈I on a | < e0j , x > | = |xj | = |xj |kej k αke0j k ≤ kxk 1 1 ≤ · . D’où ke0j k ≤ kej k α kej k 1 1 α kej k , et 1 ≤ ke0j k. kej k Considérons l’application linéaire e0j ⊗ 1F : E ⊗ F → F telle que (e0j ⊗ 1F )(x ⊗ y) =< e0j , x > y. On a (e0j ⊗ 1F )(z) = yj . Ainsi kyj k = k(e0j ⊗ 1F )(z)k ≤ ke0j ⊗ 1E kkzk = ke0j kkzk. D’où kej kkyj k ≤ kej kke0j kkzk ≤ 1 kzk , et α sup kej kkyj k ≤ kzk. α j∈I b ; on a z = lim zn où zn ∈ E ⊗ F , et pour n ≥ 1 zn = • Soit z ∈ E ⊗F n→+∞ X ej ⊗ yn,j . j∈I De plus, pour n et m entiers ≥ 1, on a α sup kej kkyn,j − ym,j k ≤ kzn − zm k ≤ j∈I 72 ≤ sup kej kkyn,j − ym,j k. j∈I Ainsi , pour ε > 0, il existe nε tel que pour m, n ≥ nε et j ∈ I, on a αkej kkyn,j − ym,j k ≤ kzn − zm k < ε. Alors (yn,j )n≥1 est une suite de Cauchy dans l’espace complet F . Il vient que yj = lim yn,j existe dans F . n→+∞ De plus, pour m ≥ nε et j ∈ I, on a αkej kkyj − ym,j k ≤ ε. Ainsi pour tout j ∈ I, on a αkej kkyj k ≤ α max(kej kkyj − ynε ,j k , kej kkynε ,j k) ≤ max(ε , αkej kkynε ,j k), et lim sup kej kkyj k ≤ max(ε , α lim kej kkynε ,j k) = ε, pour tout ε > 0. Il vient que j j∈I lim kej kkej k = 0 et Z = j X b . ej ⊗ yj ∈ E ⊗F j∈I X De plus , on a pour m ≥ nε , kZ − zm k = e ⊗ (y − y ) j j m,j ≤ j∈I ≤ supj kej kkyj − ym,j k ≤ Ainsi ε α. lim kZ − zm k = 0 et z = m→+∞ lim zm = Z = m→+∞ X ej ⊗ yj . j∈I On voit comme ci-dessus que α sup kej kkyj k ≤ kzk ≤ sup kej kkyj k. j∈J j∈I Soit (αj )j∈I ⊂ IR∗+ . Posons c0 (I, F , (αj )j∈I ) = {y = (yj )j∈I ∈ F I / lim kyj kαj = 0}. j∈I Alors c0 (I, F , (αj )j∈I ) muni de la norme kyk = sup kyj kαj est un espace de j∈I Banach. Corollaire 3.5 : Soit 0 < α ≤ 1. Si E possède une base α-orthogonale (ej )j∈I ; alors, b ' c0 (I, F, (kej k)j∈I ). on a un isomorphisme d’espaces de Banach E ⊗F Cet isomorphisme est isométrique lorsque α = 1 , c’est-à-dire lorsque (ej )j∈I est une base orthonormale. Démonstration : Elle découle de la démonstration de la Proposition 3.4. Soient 0 < α, β ≤ 1. Si E et F possèdent des bases respectivement b s’écrit de façon α-orthogonales et β-orthogonales (ei )i∈I et (fj )j∈J ; alors tout z ∈ E ⊗F Corollaire 3.6 : 73 unique z = X λij ei ⊗ fj , lim |λij |kei kkfj k = 0 i,j et αβ sup |λij |kei kkfj k ≤ kzk ≤ i,j sup |λij |kei kkfj k. i,j Démonstration : La vérification se fait facilement. Corollaire 3.7 : Soit 0 < α < 1. b , il existe une famille dénombrable, α-orthogonale (en )n≥1 ⊂ E telle Soit z ∈ E ⊗F X que z = en ⊗ yn , où yn ∈ F et lim ken kkyn k = 0. n→+∞ n≥1 De plus α sup ken kkyn k ≤ kzk ≤ sup ken kkyn k n≥1 n≥1 Démonstration : Soit m ≥ 1 , il existe zm q(m) X 1 ∈ E⊗F tel que kz−zm k < . Posons zm = xm,j ⊗ym,j . m j=1 Le sous-espace fermé V de E engendré par la famillle dénombrable {xm,j , 1 ≤ j ≤ b q(m), m ≥ 1} est de type dénombrable. De plus z ∈ V ⊗F (par définition de V ). Puisque V est de type dénombrable V possède pour 0 < α < 1 , une base α-orthogonale (en )n≥1 . Le corollaire est alors une conséquence des Propositions 3.3 et 3.4. Exercice 1 : Soit E 0 le dual topologique de E. Considérons l’application linéaire ϕ : E 0 ⊗ F → L(E, F ) définie par ϕ(x0 ⊗ y)(x) =< x0 , x > y. -(1)-(a)- Considérant sur E 0 ⊗ F la norme tensorielle, montrer que ϕ est isométrique. -(b)- Montrer que ϕ(E 0 ⊗ F ) est égal au sous-espace Lf (E, F ) de L(E, F ) formé des opérateurs linéaires continus de rang fini. -(2)- Soit C(E, F ) l’adhérence de Lf (E, F ) dans L(E, F ). (un élément u de C(E, F ) appelé un opérateur complètemnt continu. C’est une limite d’une suite d’opérateurs linéaires continus de E dans F de rangs finis). b ) = C(E, F ). Montrer que ϕ(E 0 ⊗F En déduire que pour u ∈ C(E, F ) et 0 < α < 1, il existe (f` )`≥1 une famille αorthogonale dans F et une famille (x0` )`≥1 dans E 0 telle que X u= x0` ⊗ f` , lim kx0` kkf` k = 0. `≥1 `→+∞ 74 -(3)- On suppose E et F libres de bases orthogonales respectivement (ej )j∈J et (f` )`∈L . Soit pour j ∈ J, e0j : E → K la forme linéaire continue définie par < e0j , x >= xj , X 1 lorsque x = xj ej . On a ke0j k = . kej k j∈J Soit u ∈ L(E, F ) et soit pour j ∈ J, ` ∈ L, α`j =< f`0 , u(ej ) >. -(a)- Démontrer que la famille (α`j e0j ⊗ f` )(j,`)∈J×L est ponctuellement sommable dans L(E, F ) de somme u. -(b)- Démontrer que u ∈ C(E, F ) si et seulement si lim(kf` k sup `∈L j∈J |α`j | ) = 0. kej k -(4)Soient w : E1 → E et v : F → F1 deux applications linéaires continus d’espaces de Banach. -(a)- Montrer que si u ∈ Lf (E, F ), alors u◦w ∈ Lf (E1 , F ) [resp. v ◦u ∈ Lf (E, F1 )]. -(b)-De même, montrer que si u ∈ C(E, F ), alors u ◦ w ∈ C(E1 , F ) [resp. v ◦ u ∈ C(E, F1 )]. En déduire que C(E, E) est un idéal bilatère fermé de l’algèbre de Banach L(E). Soit X un espace topologique compact. Toute fonction continue f de X dans un corps valué ultramétrique complet K est constante sur les composantes connexes de X. Puisque les composantes connexes de X réalisent une partition de X, par passage au quotient selon la relation d’équivalence sRt ⇐⇒ s et t sont dans la même composante connexe, on peut supposer que X est totalement discontinu : c’est-à-dire toute composante connexe de X est réduite à un point. Si Y est un autre espace topologique, on désigne par C(X, Y ) l’ensemble des applications continues de X dans Y . Si Y = E est un K-espace de Banach ultramétrique, alors C(X, E) est un espace de Banach pour la norme kf k∞ = sup kf (s)k. s∈X Proposition 3.8 : Soit X un espace compact totalement discontinu. b Soit E un K-espace de Banach ultramétrique. Alors les espaces de Banach C(X, K)⊗E et C(X, E) sont isométriquement isomorphes. Démonstration : Soient f ∈ C(X, K) et x ∈ E. Posons pour s ∈ X, ΠE (f ⊗ x)(s) = f (s)x. Il devient clair que ΠE (f ⊗ x) ∈ C(X, E) et kΠE (f ⊗ x)k∞ = sup |f (s)| · kxk = kf k∞ · kxk. s∈X 75 Par linéarité on définit pour z = X fi ⊗ xi ∈ C(X, K) ⊗ E, l’élément ΠE (z) ∈ C(X, E), i en posant pour s ∈ X, ΠE (z)(s) = P i fi (s)xi . Alors kΠE (z)(s)k ≤ max |fi (s)|kxi k ≤ i max kfi k∞ kxi k. D’où kΠE (z)(s)k ≤ kzk = i max kfi k∞ kxi k et kΠE (z)k∞ ≤ inf P z= fi ⊗xi i b → C(X, E) kzk. Alors par continuité on a l’application linéaire continue ΠE : C(X, K)⊗E b telle que kΠE (z)k∞ ≤ kzk, pour tout z ∈ C(X, E)⊗E. • ΠE est isométrique b En effet, soit z ∈ C(X, K)⊗E, comme dans le Corollaire 3.7, pour 0 < α < X 1, il existe une famille α-orthogonale (en )n≥1 ⊂ E, telle que z = fn ⊗ en , avec n≥1 lim kfn k∞ ken k = 0 et α sup kfn k∞ ken k ≤ kzk ≤ sup kfn k∞ ken k. n→+∞ n≥1 n≥1 D’autre part, pour s ∈ X, on a ΠE (z)(s) = X fn (s)en et n≥1 α sup |fn (s)|ken k ≤ kΠE (z)(s)k ≤ sup |fn (s)|ken k. n≥1 n≥1 D’où l’on déduit α sup kfn k∞ ken k ≤ kΠE (z)k∞ ≤ sup kfn k∞ ken k. n≥1 n≥1 Il vient que αkzk ≤ α sup kfn k∞ ken k ≤ kΠE (z)k∞ ≤ sup kfn k∞ ken k ≤ n≥1 n≥1 1 kzk, et α ceci pour tout α tel que 0 < α < 1. b D’où kΠE (z)k∞ = kzk et ΠE isométrique. On en déduit que ΠE (C(X, K)⊗E) est complet; c’est donc un sous-esapce fermé de C(X, E). • Soit F ∈ C(X, E). L’image F (X) de l’espace compact X est une partie compacte de E. Posons pour ε > 0, x ∈ E, D− (x, ε) = {y ∈ E / kx − yk < ε}, on a un m(ε) recouvrement disjoint F (X) ⊂ [ D− (xj , ε) avec xj = f (sj ) ∈ F (X). Posons j=1 m(ε) Oj,ε = F −1 (D− (xj , ε)), c’est un ouvert fermé de X. On a sj ∈ Oj,ε et X = [ Oj,ε j=1 avec Oi,ε ∩ Oj,ε = ∅, lorsque i 6= j. Puisque Oj,ε est ouvert et fermé, sa fonction caractéristique χj,ε : X → K est continue. Par définition χj,ε (s) = 1 lorsque s ∈ Oj,ε et χj,ε (s) = 0 lorsque s ∈ / Oj,ε . Soit s ∈ X et soit j(s) tel que s ∈ 0j(s),ε , on a kF (s) − xj(s) k < ε. Considérons 76 m(ε) ϕε = X m(ε) X χj,ε ⊗ xj ∈ C(X, K) ⊗ E, on a ΠE (ϕε )(s) = j=1 χj,ε (s)xj = xj(s) . j=1 D’où kF (s) − ΠE (ϕε )(s)k < ε et F appartient à l’adhérence de ΠE (C(X, K) ⊗ E) b b qui est égale à ΠE (C(X, K)⊗E). Il vient que C(X, E) = ΠE (C(X, K)⊗E). Corollaire 3.9 : Soient X et Y deux espaces compacts totalement discontinus. On a les isomorb phismes isométriques d’espaces de Banach C(X, K)⊗C(Y, K) ' C(X, C(Y, K)) ' C(X × Y, K). Démonstration : Il suffit de vérifier que C(X, C(Y, K)) ' C(X × Y, K). Considérons f : X → C(Y, K) continue . On a kf k∞ = sup kf (s)k∞ = sup sup |f (s)(t)|. s∈X s∈X t∈Y Posant pour (s, t) ∈ X × Y, F (s, t) = f (s)(t), on voit que F ∈ C(X × Y, K) et kF k∞ = sup |f (s)(t)| = kf k∞ s,t Réciproquement, si F ∈ C(X × Y, K), on définit une application continue f : X → C(Y, K) en posant pour s ∈ X, t ∈ Y : f (s)(t) = F (s, t), avec kf k∞ = kF k∞ . II - 4 : Exemples d’espaces de fonctions continues Dans toute la suite X est un esapce compact totalement discontinu. Soit K un corps valué ultramétrique complet, C(X, K) est l’espace de Banach des fonctions continues f de X dans K, muni de la norme kf k = kf k∞ = sup |f (s)|. s∈X Soit U un ouvert fermé de X. La fonction caractéristique χU de U : χU (s) = 1 si s ∈ U et χU (s) = 0 si s ∈ / U , est continue. Lemme 4.1 : Le sous-espace V de C(X, K) formé des combinaisons linéaires des fonctions caractéristiques χU des ensembles ouverts et fermés U de X est dense dans C(X, K). Démonstration : c.f. Démonstration de la Proposition 3.8. m(ε) Soient f ∈ C(X, K), ε > 0 et un recouvrement disjoint f (X) ⊂ [ j=1 D− (aj , ε), aj = 77 m(ε) f (sj ) ∈ K. On a la réunion disjointe X = [ Uj,ε où Uj,ε = f −1 (D− (aj , ε)) est ouvert j=1 m(ε) et fermé . Considérons gε = X aj χj,ε où χj,ε = χUj,ε . Alors gε ∈ V et pour s ∈ X, on j=1 a |f (s) − gε (s)| = |f (s) − f (sj(s)) | < ε. Ainsi kf − gε k < ε. N.B: On peut démontrer que C(X, K) possède une base orthonormale formée de fonc- tions caractéristiques d’ouverts fermés de X ( M. van der Put ). Nous allons donner la description pour X = ZZp . Soit donc ZZp l’anneau des entiers. Rappelons que si s ∈ ZZp , alors on a le développement X de Hensel, s = sj pj , 0 ≤ sj ≤ p − 1. j≥0 Soit n un entier ≥ 1 et soit n = t X aj pj , (0 ≤ aj ≤ p−1, et at 6= 0), le développement j=0 de n en base p. On dit que n est une partie initiale de s, si aj = sj , pour 0 ≤ j ≤ t. Ce qui 1 équivaut à |s − n| ≤ |p|t+1 = p−t−1 . Mais , on a pt ≤ n < pt+1 ; donc p−t−1 < ≤ p−t . n 1 Alors n est une partie initiale de s, on écrit n / s, si et seulement si |s − n| < . On n convient que 0 / s . Considérons pour n ≥ 0, la fonction en : ZZp → K définie par en (s) = 1 si n / s, 1 et en (s) = 0, autrement. Alors en (s) = 1 si |s − n| < et en (s) = 0 autrement. En n d’autres termes : en est la fonction caractéristique de D− (n, n1 ), pour n ≥ 1, et e0 est la fonction constante égale à 1. Posons pour n = t X aj pj , at 6= 0, n− = aj pi ; alors n− / n. j=0 j=0 Théorème 4.2 : t−1 X ( M. van der Put) La suite (en )n≥0 est une base orthonormale de C(ZZp , K) . Soit f ∈ C(ZZp , K) on a X f= (f (n) − f (n− ))en et kf k = sup |f (n) − f (n− )|; on convient que f (0− ) = 0. n≥0 n≥0 78 Démonstration : Soit f ∈ C(ZZp , K) . Puisque ZZp est un espace métrique compact, f est uniformément continue: pour tout ε > 0, il existe ηε > 0, tel que pour |x−y| < ηε , on a |f (x)−f (y)| < ε. Soit n ≥ 1 et soit n = t(n) X aj pj le développement de n en base p. On a pt(n) ≤ j=0 n < pt(n)+1 et t(n) ≤ h log n < t(n) + 1; ainsi t(n) = log log log p n p i et lim t(n) = +∞. n→+∞ Puisque |n − n− | = |at(n) pt(n) | = |p|t(n) = p−t(n) , il existe nε tel que pour n ≥ nε , on a |n − n− | < p−t(n) < ηε , et |f (n) − f (n− )| < ε. Il vient que lim |f (n) − f (n− )| = 0 et X lim |f (n) − f (n− )| = 0. Ainsi la série g = (f (n) − lim k(f (n) − f (n− ))en k = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n≥0 f (n− ))en converge dans C(ZZp , K). De plus g(s) = X (f (n) − f (n− )). En particulier n/s t(m) g(0) = f (0) et pour m ≥ 1, on a g(m) = X X (f (n) − f (n− )). Mais n / m = n/m seulement si n = 0, n = nt = t X bj pj , si et j=0 bj pj , 0 ≤ t ≤ t(m). De plus (nt )− = j=0 t−1 X bj pj = nt−1 , j=0 avec (n0 )− = 0 = n−1 . t(m) Ainsi g(m) = f (0) + X (f (nt ) − f (nt−1 )) = t=0 = f (0)+ t(m) t(m) t(m) X X X f (nt )−f (n−1 )− t=0 t=1 f (nt−1 ) = f (0)+ t(m−1) f (nt )−f (0)− t=0 X f (nt ) = t=0 f (nt(m) ) = f (m). Il vient que g(m) = f (m), ∀m ∈ IN. Puisque IN est dense dans ZZp , on a g(s) = X f (s), ∀s ∈ ZZp . D’où f = (f (n) − f (n− ))en . n≥0 X • D’une part , kf k = (f (n) − f (n− ))en sup |f (n) − f (n− )|. ≤ n≥0 n≥0 • D’autre part, comme |f (n) − f (n− )| ≤ max(|f (n) − f (n− )| ≤ sup |f (s)| = kf k, s∈ZZp on a sup |f (n) − f (n− )| ≤ kf k. n≥0 79 En conclusion : kf k = sup |f (n) − f (n− )|. n≥0 Théorème 4.3 : ( I. Kaplansky) Soit X une partie compacte du corps valué ultramétrique complet K. L’espace des fonctions polynômes sur X est dense dans C(X, K). Démonstration : Puisque l’espace engendré par les fonctions caractéristiques χU des ouverts fermés U de X est dense dans C(X, K) il suffit de montrer que pour tout ouvert fermé U de X et tout ε > 0, il existe un polynôme Pε tel que pour tout s ∈ X, on a |χU (s) − Pε (s)| < ε, ou encore : |1 − Pε (s)| < ε, ∀s ∈ U et |Pε (s)| < ε, ∀s ∈ X \ U. Soient a ∈ U et δ > 0 tels que U ⊂ D+ (a, δ). Puisque X est compact, on a un m [ recouvrement disjoint de X, X ⊂ D+ (a, δ) ∪ D+ (bj , δ). j=1 En particulier a ∈ / D+ (bj , δ), ∀1 ≤ j ≤ m. Ainsi δ < |bj − a|, ∀1 ≤ j ≤ m. On numérote les bj de telle sorte que |b1 − a| ≤ |b2 − a| ≤ . . . ≤ |bm − a|. Soit 0 < ε < 1; puisque δ < |b1 − a|, il existe un entier q tel que (i) Soit s ∈ U , alors |s − a| ≤ δ et pour 1 ≤ j ≤ m , on a δ |b1 − a| |s − a| |bj − a| δ |b1 − a| q ≤ q < ε. |s − a| |b1 − a| q ≤ q < ε. Considérons des entiers n1 , . . . , nm ≥ 1 et posons Pε (s) = m Y 1− j=1 s−a bj − a q n j . q n j s − a q s−n =1+ Puisque pour 1 ≤ j ≤ m, on a < ε < 1, et 1 − bj − a bj − a X q` q n j q` nj n−j X s − a s − a s − a n n j j (−1)` , on obtient 1 − − 1 = (−1)` ≤ ` ` bj − a bj − a bj − a `=1 `=1 nj s − a q` s − a q` < max ε` = ε. ≤ max ≤ max ` bj − a 1≤`≤nj 1≤`≤nj bj − a 1≤`≤nj q n j q` nj X s−a s−a nj ` Il vient que 1 − = 1+Rj (s) où Rj (s) = (−1) ` bj − a bj − a `=1 80 est tel que |Rj (s)| < ε. Ainsi Pε (s) = m Y (1 + Rj (s)) = 1 + Qε (s) où Qε (s) = j=1 = m X X Rj1 (s) . . . Rjν (s) est tel que ν=1 1≤j1 <...<jν ≤m |Qε (s)| ≤ max 1≤ν≤m Il vient que max 1≤j1 <...<jν ≤m |Pε (s) − 1| < ε, |Rjν (s)| . . . |Rjν (s)| ≤ max εν = ε. 1≤ν≤m ∀s ∈ U . (ii) Soit s ∈ X \ U et soit i l’unique i ∈ {1, . . . m} tel que s ∈ D+ (bi , δ). Alors s ∈ / D+ (a, δ); d’où |s − bi | ≤ δ < |s − a|, et |s − a| = |bi − a|. q s − a • Ou bien j < i ; alors |bj − a| ≤ |bi − a| = |s − a| et 1 − ≤ bj − a q q |bi − a| |s − a| = max 1, . max 1, |bj − a| |bj − a| q q |bi − a| s − a |bi − a| Puisque 1 ≤ , on obtient 1 − ≤ , ∀j < i. |bj − a| bj − a |bj − a| q q−1 s−a (bi − a)q − (s − a)q (bi − s) X • Ou bien j = i; alors 1 − = = (bi − bi − a (bi − a)q (bi − a)q `=0 q−1 q X s − a |b − s| i q−1−` ` = a)q−1−` (s − a)` et 1 − (b − a) (s − a) ≤ i bi − a |bi − a|q `=0 ≤ |bi − s| |bi − a|q max |bi − a|q−1−` |s − a|` = 0≤`≤q−1 |bi − s| |bi − a|q max |bi − a|q−1−` |bi − a|` = 0≤`≤q−1 |bi − s| · |bi − a|q−1 . |bi − a|q q s − a |bi − s| δ Il vient que 1 − ≤ ≤ . bi − a |bi − a| |bi − a| q q s − a ≤ max 1, |s − a| • Ou bien i < j; alors |bi −a| ≤ |bj −a| et 1 − = bj − a |bj − a| q q s − a |bi − a| ≤ 1, ∀j > i. = max 1, = 1, ainsi 1 − |bj − a| bj − a = On déduit de ce qui précède que pour s ∈ D+ (bi , δ), on a q n m i−1 Y Y |bi − a|qnj δ ni s − a j |Pε (s)| = · 1 − bj − a ≤ |b − a|qnj |bi − a| j=1 j=1 j • Il existe des entiers n1 , . . . nm ≥ 1 tels que : 81 i−1 Y |bi − a|qnj · qnj |b − a| j j=1 δ |bi − a| ni < ε, ∀1 ≤ i ≤ m (I) δ |b1 − a| En effet, pour i = 1 , on peut prendre n1 = q et q < ε. δ < 1 , ayant déterminé n1 , il existe n2 tel que |b2 − a| n 2 δ · < ε. |b2 − a| Pour i = 2 , puisque |b2 − a|qn1 |b1 − a|qn1 Ainsi, ayant déterminé n1 , . . . , ni−1 , puisque i−1 Y |bi − a|qnj · |b − a|qnj j=1 j δ |bi − a| δ < 1, il existe ni tel que |bi − a| n i < ε. D’où de proche en proche on a une suite finie d’entiers n1 , . . . , nm telle que (I) est vérifiée. Soit s ∈ X \ U , considérant l’unique entier i, 1 ≤ i ≤ m, tel que s ∈ D+ (bi , δ) , on i−1 Y |bi − a|qnj δ ni déduit de (I) que |Pε (s)| ≤ · < ε. |b − a|qnj |bi − a| j=1 j (iii) En résumé, pour tout 0 < ε < 1, il existe un polynôme Pε tel que |1 − Pε (s)| < ε pour s ∈ U et |Pε (s)| < ε pour s ∈ X \ U , c’est-à–dire |χU (s) − Pε (s) < ε, ∀s ∈ X. Ce qui achève la démonstration du Théorème 4.3. Théorème 4.4 : (Y. Amice) Soit X une partie compacte infinie du corps valué ultramétrique complet K. Soient une suite (sn )n≥0 ⊂ X et une suite de polynômes (Pn )n≥0 telles que P0 (s) = 1, Pn (s) = (s − sn−1 )Pn−1 (s), n ≥ 1 et kPn k = |Pn (sn )|, n ≥ 0. Posons pour n ≥ 0, Qn (s) = Pn (s) . Pn (sn ) Alors, la suite de fonctions polynômes (Qn )n≥0 est une base orthonormale de C(X, K). Démonstration : (i) On voit aussitôt que Pn (s) = (s − s0 ) . . . (s − sn−1 ). Chaque polynôme Qn est de degré n tel que Qn (sj ) = 0, 0 ≤ j ≤ n − 1 et Qn (sn ) = 1 ; de plus kQn k = 1. Soit P = m X n=0 an Qn un plynôme de degré ≤ m. Comme P (s0 ) = a0 , on a |a0 | ≤ kP k. 82 Pour 1 ≤ j ≤ m, on a P − j−1 X an Qn = n=0 m X an Qn et P− j−1 X ! an Qn (sj ) = aj + n=0 n=j ! j−1 j−1 X X an Qn (sj ) = aj . D’où |aj | = P − an Qn (sj ) ≤ P − an Qn ≤ n=0 n=0 n=j+1 max kP k, max |an | . m X 0≤n≤j−1 Supposons par hypothèse de récurrence |aj | ≤ max kP k, max 0≤n≤j−1 max 0≤n≤j−1 |an | ≤ kP k, alors |an | = kP k et ∀0 ≤ j ≤ m, on a |aj | ≤ kP k; d’où max |an | ≤ kP k 0≤n≤m m X Puisque kP k = an Qn ≤ max |an |kQn k = max |an |, on obtient kP k = 0≤n≤m 0≤n≤m n=0 max |an |. En d’autres termes (Qn )n≥0 est une famille orthonormale dans C(X, K). 0≤n≤m En particulier (Qn )n≥0 est libre dans C(X, K). Soit P un polynôme de degré ≤ m ; alors P ∈ Em = {P ∈ K[X] / d◦ P ≤ m}. Comme dim Em = m + 1 = ]{Q0 , . . . , Qm }, la famille (Qn )0≤n≤m est une base de Em et l’on a P = m X an Qn . n=0 Il vient que (Qn )n≥0 est une base de l’espace P des fonctions polynômes. (ii) Soit (an )≥0 ⊂ K telle que lim an = 0, on a lim kan Qn k = lim |an | = 0, ainsi n→+∞ n→+∞ n→+∞ X an Qn converge dans l’espace de Banach C(X, K). n≥0 Le sous-espace V = {f ∈ C(X, K) / f = X an Qn } est isométriquement isomorphe n≥0 à c0 (IN, K). En effet si f = X an Qn 6= 0, il existe un entier n0 , tel que kf − n≥0 n0 X n=0 n 0 X an Qn = an Qn k < kf k, et pour n > n0 , on a |an | < kf k. D’où kf k = n=0 max |an | = sup |an | . Ainsi (V, k k) est complet et c’est un sous-espace fermé de 0≤n≤n0 n≥0 C(X, K) contenant l’espace des fonctions polynômes P qui est dense dans C(X, K), d’après le Théorème de Kaplansky. Il vient que V fermé, dense dans C(X, K) est égal à C(X, K). 83 ∀f ∈ C(X, K), ∃ (an )n≥0 ⊂ K / En conclusion : lim an = 0, f = n→+∞ X an Qn et n≥0 kf k = sup |an |. n≥0 Exercice 2 : Formule d’interpolation de Lagrange. Vérifier que si f = X an Qn ∈ C(X, K), alors an = Pn (sn ) · n≥0 Indication : Considérer fm = m X f (sj ) . 0 P (s ) j=0 n+1 j an Qn et pour 0 ≤ n ≤ m, ϕn = n=0 = n X Y s − sj = sn − sj i6=n m X Pn+1 (s) 1 · 0 . Alors fm = f (sn )ϕn et exprimer ϕn en fonction des Qn . (s − sn ) Pn+1 (sn ) n=0 Proposition 4.5 : Soit X une partie compacte infinie du corps valué ultramétrique complet K. Il existe une suite (sn )n≥0 ⊂ K et une suite de polynômes (Pn )n≥0 satisfaisant aux conditions du Théorème 4.4. Démonstration : Posons P0 (s) = 1. Soit s0 ∈ X fixé, considérons le polynôme de degré 1 , P1 (s) = (s − s0 ). Puisque X est compact il existe s1 ∈ X tel que kP1 k = sup |s − s0 | = |s1 − s0 | = |P1 (s1 )|. Posons s∈X P2 (s) = (s − s0 )(s − s1 ), il exite s2 ∈ X tel que kP2 k = sup |P2 (s)| = |P2 (s2 )|. s∈X Supposons avoir déterminé s0 , . . . sn−1 ∈ X. Considérons le polynôme Pn (s) = (s − s0 ) . . . (s − sn−1 ); il existe sn ∈ X tel que kPn k = sup |Pn (s)| = |Pn (sn )|; on pose alors Pn+1 (s) = (s − s0 ) . . . (s − sn ), etc . . . s∈X La double suite ((sn )n≥0 , (Pn )n≥0 ) satisfait aux conditions du Théorème 4.4. Théorème 4.6 : ( K. Mahler) Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. s(s − 1) . . . (s − n + 1) les polynômes binomiaux. n! Alors ∀s ∈ ZZp , Bn (s) ∈ ZZp et (Bn )n≥0 est une base orthonormale de C(ZZp , K) Soient B0 (s) = 1, Bn (s) = 84 Démonstration : X(X − 1) . . . (X − n + 1) . n! m(m − 1) . . . (m − n + 1) Soit m ∈ IN , on a Bn (m) = 0, lorsque m < n et Bn (m) = = n! m! m = ∈ IN, lorsque m > n. n (m − n)!n! Considérons pour n ≥ 0 , le polynôme binomial Bn (X) = Soit s ∈ ZZp ; puisque IN est dense dans ZZp , il existe (mj )j≥1 ⊂ IN telle que lim mj = s. j→+∞ Mais Bn est une fonction continue sur ZZp et Bn (mj ) ∈ IN; ainsi Bn (s) = lim Bn (mj ) ∈ ZZp j→+∞ Il est associé à la suite (sn = n)n≥0 ⊂ ZZp les polynômes Pn (s) = (s − s0 ) . . . (s − sn−1 ) = s(s − 1) . . . (1 − n + 1) tels que Pn (sn ) = n(n − 1) . . . (n − n + 1) = n!. Ainsi Qn (s) = Pn (s) = Bn (s). On déduit du Théorème 4.4. que (Bn )n≥0 est une base Pn (sn ) orthonormale de C(ZZp , K). Exercice 3 : Appliquer l’Exercice 2 pour déterminer les cœfficients an dans le X développement de f = an Bn ∈ C(ZZp , K) en fonction des valeurs f (n), n ≥ 0. n≥0 Lemme 4.7. Soit q ∈ ZZp , non racine de l’unité,tel que |q| = 1. Considérons l’adhérence Vq dans ZZp de l’ensemble { q n , n ∈ IN } (en fait dans le groupe des unités Up de ZZp ) . Alors Vq est un sous-groupe compact infini de Up . Démonstration : ν Soit ω = lim q p le représentant de Teichmller de q et soit h | p − 1 l’ordre ν→+∞ de ω ( on a ω = 1 lorsque p = 2). Alors ν n ≥ 1, q −n = lim q hp ν→+∞ −n lim q hpν = ω h = 1 et pour tout entier ν→+∞ ∈ Vq ( il existe ν0 tel que pour ν ≥ ν0 , on a hpν − n ∈ IN ). Il vient que le groupe q ZZ = {q n , n ∈ ZZ} est inclus dans Vq et son adhérence Vq est un groupe. De plus Vq étant fermé dans le compact Up est compact. Considérons la suite (sn = q n )n≥0 de Vq . Posons pour s ∈ Vq , P0 (s) = (s − 1)(0) = 1 et pour n ≥ 1, Pn (s) = (s − 1)(n) = (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ). 85 Alors le polynôme Qn (s) = Pn (s) (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ) (s − 1)(n) = n = n (n) Pn (sn ) (q − 1)(q n − q) . . . (q n − q n−1 ) (q − 1) est tel que Qn (q m ) = 0, pour 0 ≤ m ≤ n − 1, Qn (q n ) = 1 et pour m ≥ n, Qn (q m ) = = (q m − 1)(q m − q) . . . (q m − q n−1 ) = (q n − 1)(q n − q) . . . (q n − q n−1 ) q · q 2 . . . q n−1 · (q m − 1)(q m−1 − 1) . . . (q m−n+1 − 1) . q · q 2 . . . q n−1 (q n − 1)(q n−1 − 1) . . . (q − 1) D’où Qn (q m ) = (q m − 1)(q m−n+1 − 1) . . . (q m−1+1 ) , ∀m ≥ 0. (q n − 1)(q n−1 − 1) . . . (q − 1) Soit k un entier ≥ 0. Posons [k]q = qk − 1 = q k−1 + . . . q + 1 q−1 et [0]q ! = 1, [k]q ! = [1]q · [2]q . . . [k]q , [m]q ! m m enfin = , lorsque 0 ≤ n ≤ m et = 0, lorsque m ≤ n − 1. n q n q [m − n]q ![n]q ! m Les sont appelés les coefficients q-binomiaux ou encore polynômes de Gauss n q en q. On a = (q m n = q (q m − 1) . . . (q − 1) × (q − 1)m−n × (q − 1)n = (q − 1)m × (q m−n − 1) . . . (q − 1) × (q n − 1) . . . (q − 1) m − 1) . . . (q m−n+1 − 1) = Qn (q m ) . (q n − 1) . . . (q − 1) Lemme 4.8 : 0 ≤ n ≤ m m m−1 m−1 n m−1 m−n m − 1 (i) = +q = +q n q n−1 q n n n−1 q q q m (ii) Le coefficient q-binomial est un polynôme en q à coefficients entiers. n q Démonstration : [m]q ! [m − 1]q ![m]q m m (i) Par définition = . Ainsi = = n q n q [m − n]q ![n]q ! [(m − 1) − (n − 1)]![n − 1]q ![n]q qm − 1 qm − qn + qn − 1 m−1 m−1 m−1 m−1 · = · = + · n − 1 q qn − 1 n−1 q n−1 q n−1 q qn − 1 qm − qn q m−n − 1 m−1 m−1 m−1 n n m−1 = +q · · = +q · n−1 q n−1 q n−1 q n−1 q qn − 1 qn − 1 86 [m − n]q [m − 1]q ! [m − n]q [m − 1]q ! m−1 m−1 n = · = = +q +q n n−1 q n−1 q [n]q [m − n]q ![n − 1]q ! [n]q [m − n − 1]q ![n]q ! m−1 n m−1 +q . n−1 q n q De la même manière, on a m m m−1 m−n m − 1 = = +q = n q m−n q m−n−1 q m−n q m−1 m−n m − 1 = +q . n n−1 q q qm − 1 m = q m−1 + q m−1 + . . . + q + 1 (ii) On a = 1 q q−1 [m]q ! [m]q [m − 1]q (q m − 1)(q m−1 − 1) m • = = = . 2 q [m − 2]q ![2]q ! [1]q [2]q (q − 1)(q 2 − 1) `−1 2`−2 X X (q 2` − 1)(q 2`−1 − 1) m 2` Si m = 2`, on a = = = q 2j · qj 2 q 2 q (q 2 − 1)(q − 1) j=0 j=0 m et est un polynôme en q à coefficients entiers. 2 q 2` `−1 2`+1 2` X X (q − 1)(q − 1) m 2` + 1 Si m = 2`+1, on a = = = qj q 2j 2 − 1) 2 q 2 (q − 1)(q q j=0 j=0 m et est également un polynôme en q à coefficients entiers. 2 q m m−1 n m−1 • Alors par double récurrence, sachant que = +q , on n q n−1 q n q m voit que est un polynôme en q à coefficient entiers. n q Exercice 4 : Démontrer que pour 0 ≤ n ≤ m , on a Démonstration : m m−1 m−1 m−1 = +q n = +q n n q n−1 q n n − 1 q q m−1 m−2 m−2 = + qn + q 2n = n−1 q n−1 q n q m n = q m−n X j=0 q nj m−j−1 n−1 ! m−2 n m−2 +q = n−1 n q 87 ! m−1 m−3 m−1 n m−2 2n n m−3 = +q +q +q = + n−1 q n−1 q n−1 q n n−1 q q 2n m − 3 2n m − 3 n m−2 +q +q = q n−1 q n−1 q n q m−1 n m−2 jn m − j − 1 (j+1)n m − j − 1 = +q + ... + q +q . n−1 q n−1 q n−1 n q q Ainsi m n = q j X q `n `=0 m−`−1 n−1 +q (j+1)n q m−j−1 n , pour j entier tel que q n ≤ m − j. En particulier pour j = m − n − 1, on a q (m−n)n m−n X `=0 q n` m n = m−n−1 X q q n` ell=0 m−`−1 n−1 m−`−1 n−1 +q m n (m−n)n = m−n−1 X q q q n` `=0 n−1 n−1 m−`−1 n−1 ; c’est-à-dire q m n + q = q . q Corollaire : ( Exercice 4 ) m X X m+n nj m + n − j − 1 nj n + i − 1 q = q = n−1 n−1 q n q q j=0 i+j=m Exercice 5 : (i) Soit K un corps. Considérons q ∈ K ∗ et soit Kq < X, Y > l’anneau des polynômes non commutatifs en X et Y , soumis à la relation Y X = qXY . X n n Démontrer que pour tout n ≥ 1, on a (X + Y ) = X iY j . i q i+j=n (ii) Déduire de (i) que (iii) Vérifier que m n = q m+k n m−n−1 X j=0 X = q q q (m−i)(k−j) i+j=n jn m−j−1 n−1 m i k j q q + q n(m−n) . q N.B. : Les polynômes de Gauss sont d’un emploi constant en analyse combinatoire, en théorie des nombres et en théorie des groupes quantiques. t u 88 Théorème 4.9 : ( L. Van Hamme) Soit K un sur-corps valué complet de Q l p . Considérons q ∈ ZZp tel que |q| = 1 et q non racine de l’unité. Soit Vq le sous-groupe compact du groupe des unités Up de ZZp , adhérence de { q n , n ∈ IN }. Posons pour s ∈ Vq , n ≥ 0, Q0 (s) = 1, Qn (s) = (s − 1)(n) (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ) = . (q n − 1)(q n − q) . . . (q n − q n−1 ) (q n − 1)(n) Alors la suite de polynômes (Qn )n≥0 est une base orthonormale de C(Vq , K). Démmonstration On applique le Théorème 4.4 aux suites (sn = q n )n≥0 ⊂ Vq et Pn (s) = (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ). Pn est tel que Qn (q n ) = 1 et kQn k = 1. Pn (q n ) m m m Mais Qn (q ) = 0 si m ≤ n−1 et Qn (q ) = est un polynôme en q à coefficients n q N X (m,n) ` m entiers (Lemme 4.8 - (ii) ). Ainsi |Qn (q )| = n` q ≤ max |n` ||q ` | = 0≤`≤N (m,n) `=0 Il suffit alors de vérifier que Qn = max 0≤`≤N (n,m) |n` | ≤ 1. Soit s ∈ Vq , comme s = lim q mj , où mj ∈ IN, on a |Qn (s)| = lim |Qn (q mj )| ≤ 1. j→+∞ j→+∞ n Puisque Qn (q ) = 1, on a kQn k = sup |Qn (s)| = 1. s∈Vq Il vient que (Qn )n≥0 est une base orthonormale de C(Vq , K): soit f ∈ C(Vq , K), il X existe (an )n≥0 ⊂ K telle que lim an = 0, f = an Qn et kf k = sup |an |. n→+∞ n≥0 n≥0 Exercice 6 : Comme pour le théorème de Mahler, appliquer l’Exercice 2 pour déterminer X les cœfficients an dans le développement f = an Qn en fonction des valeurs f (q n ), n ≥ n≥0 0. Soit K un sur-corps valué complet de Q l p . Considérant les opérateurs de translation sur C(ZZp , K) ( resp. C(Vq , K)), dans ce qui suit, on va donner la forme originelle, plus précise, des Théorèmes 4.7 et 4.9. Soit τ1 l’endomorphisme linéaire de C(ZZp , K) défini par τ1 f (s) = f (s + 1). 89 Il est clair que τ1 est bijectif, d’isomorphisme réciproque τ−1 f (s) = f (s−1). Puisque 1 + ZZp = ZZp , on a kτ1 f k = sup |f (s + 1)| = sup |f (s)| = kf k et τ1 est isométrique. s∈ZZp s∈ZZp Posons ∆ = τ1 − id, alors k∆k ≤ 1 et comme ∆(B1 )(s) = s + 1 − s = 1, on a 1 ≤ k∆k et k∆k = 1. Plus généralement, considérant la base de Mahler formé des polynômes binomiaux s(s − 1) . . . (s − n + 1) , on a n! (s + 1)s(s − 1) . . . (s − n + 2) s(s − 1) . . . (s − n + 2)(s − n + 1 + n) τ1 Bn (s) = Bn (s+1) = = = n! n! s(s − 1) . . . (s − n + 1) s(s − 1) . . . (s − n + 2) ns(s − 1) . . . (s − n + 2) = + = Bn (s)+ = n! n! (n − 1)! B0 (s) = 1, Bn (s) = = Bn (s) + Bn−1 (s), c’est-à-dire τ1 Bn = Bn + Bn−1 . Puisque ∆ = τ1 − id, on a ∆Bn = Bn−1 , avec la convention B−1 = 0. Il vient que ∆j Bn = Bn−j , ∀j ≥ 0, avec la convention Bn−j = 0, lorsque j ≥ n + 1. Théorème 4.60 : Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. X Soit f ∈ C(ZZp , K); alors f = an Bn si et seulement si an = ∆n f (0); ainsi n≥0 f= X ∆n f (0)Bn , avec n≥0 lim ∆n f (0) = 0 et kf k = sup |∆n f (0)|. n→+∞ n≥0 X X n n j n De plus an = ∆ f (0) = (−1) f (i) si et et seulement si f (n) = ai . i i i+j=n i+j=n Démonstration : X X Soit f = an Bn ∈ C(ZZp , K). Pour tout j ≥ 0, on a ∆j f = an ∆j Bn = n≥0 X an Bn−j = n≥0 X n≥0 an+j Bn = aj + n≥0 et f = X X an+j Bn . Ainsi ∆j f (0) = aj + n≥1 X an+j Bn (0) = aj n≥1 ∆n f (0)Bn . n≥0 Puisque ∆ = τ1 − id, on a ∆n = (τ1 − id)n = X i+j=n f (s + i). Ainsi an = ∆n (0) = X i+j=n n j (−1) f (i). i (−1)j n τ1i , avec τ1i f (s) = i 90 Réciproquement, puisque τ1n f (s) = f (s + n) et τ1n X n = (∆ + id) = ∆i , on i n i+j=n X n X n i n a f (n) = τ1 f (0) = ∆ f (0) = ai . i i i+j=n Remarque 4.10 : i+j=n Fonctions puissances Soit a ∈ pZZp , fixé. Alors ∀s ∈ ZZp , ∀n ≥ 1, on a |Bn (s)||a|n ≤ |a|n et X Bn (s)an n≥0 est uniformément convergente. Posons ψa (s) = (1 + a)s = X Bn (s)an . n≥0 Soit m ∈ IN, on a X n Bn (m)a = m X m n=0 n≥0 n an = (1 + a)m . Ainsi la fonction ψa (s) est obtenue par prolongement de la fonction IN → K qui à m ∈ IN associe (1 + a)m . Pour tous s, t ∈ ZZp , on a ψa (s + t) = (1 + a)s+t = X Bn (s + t)an = (1 + a)s · n≥0 (1 + a)t = X X n≥0 X Bi (s)Bj (t) an et ceci pour tout a ∈ pZZp . D’où Bn (s + t) = i+j=n Bj (s)Bj (t), ∀s, t ∈ ZZp (généralisation de l’identité de Chen-Vandermonde des i+j=n coefficients binomiaux ). Considérons à présent l’espace des fonctions continues sur le groupe Vq . L’opérateur de translation τq sur C(Vq , K) défini par τq f (s) = f (qs) est bijectif d’isomorphisme réciproque τq−1 = τq−1 . De plus comme qVq = Vq , on a kτq f k = sup |f (qs)| = sup |f (s) = kf k. s∈Vq (0) Considérons les opérateurs Dq (n) = id et Dq s∈Vq = (τq − id)(τq − qid) . . . (τq − q n−1 id) = = (τq − id)(n) ( q-puissance symbolique de τq − id ). (n) Les opérateurs Dq (n) sont linéaires avec kDq k ≤ 1. Rappelons que lorsque Q l p ⊂ K, la suite de polynômes, Q0 (s) = 1, Qn (s) = C(Vq , K). (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ) , n ≥ 1, est une base orthonormale de (q n − 1)(q n − q) . . . (q n − q n−1 ) 91 Lemme 4.11 : (j) (j) On a Dq Qn (s) = q −j(n−j) sj Qn−j (s), lorsque 0 ≤ j ≤ n et Dq Qn (s) = 0, lorsque j ≥ n + 1. (n) De plus kDq k = 1, ∀n ≥ 0. Démonstration : (i) On a Qn (s) = (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ) (s − 1) . . . (s − q n−2 ) · (s − q n−1 ) = = (q n − 1)(q n − q) . . . (q n − q n−1 ) (q n − 1) · q n−1 (q n−1 − 1) . . . (q n−1 − q n−2 ) s − q n−1 Qn−1 (s). q n−1 (q n − 1) D’autre part τq Qn (s) = = (qs − 1)(qs − q) . . . (qs − q n−1 ) = (q n − 1)q n−1 (q n − 1) . . . (q n−1 − q n−2 ) (qs − 1)q n−1 (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−2 ) qs − 1 = n Qn−1 (s). n n−1 n−1 n−1 n−2 (q − 1)q (q − 1) . . . (q −q ) q −1 (1) (ii) Ainsi Dq Qn (s) = τq Qn (s) − Qn (s) = = qs − 1 s − q n−1 Q (s) − Qn−1 (s) = n−1 qn − 1 q n−1 (q n − 1) q n s − q n−1 − s + q n−1 Qn−1 (s) (q n − 1)s Qn−1 (s) · = · n = q −n+1 sQn−1 (s). q n−1 qn − 1 q n−1 q −1 (j) Supposons par hypothèse de récurrence Dq Qn (s) = q −j(n−j) sj Qn−j (s), j < n. (j+1) Alors puisque Dq (j+1) Dq (j) (j) = Dq ◦ (τq − q j id) = (τq − q j id) ◦ Dq , on a (j) Qn (s) = (τq −q j id)◦Dq Qn (s) = q −(n−j) (τq −q j id)(sj Qn−j (s)) = q −j(n−j) (τq (sj Qn−j (s))− q j sj Qn−j (s)) = q −j(n−j) (q j sj Qn−j (qs)−q j sj Qn−j (s)) = q −j(n−j)+j sj (Qn−j (qs)−Qn−j (s)) = (1) q −j(n−j−1) sj Dj Qn−j (s) = q −j(n−j−1) ·sj q −n+j+1 sQn−j−1 (s) = q −(j+1)(n−j−1) sj+1 Qn−j−1 (s). (j) D’où, pour 0 ≤ j ≤ n, on a Dq Qn (s) = q j(n−j) sj Qn−j−1 (s). (n) En particulier, on a Dq Qn (s) = q −n(n−m) sn Qn−n (s) = sn . (n+1) Ainsi, Dq (n) Qn (s) = (τq − q n id) ◦ Dq Qn (s) = (τq − q n id)(sn ) = τs (sn ) − q n sn = = q s sn − q n sn = 0. (n+j) Puisque Dq (n+1) = Dq (n+j) ◦ (τq − q n+1 id) ◦ . . . ◦ (τq − q n+j id), on a Dq (n+1) = (τq − q n+1 id) ◦ . . . ◦ (τq − q n+j id) ◦ Dq (n) Qn (s) = (j) Qn (s) = 0, i.e. Dq Qn = 0, ∀j ≥ n + 1. (n) (n) • Puisque |sn | = 1, ∀s ∈ Vq , on a |Dq Qn (s)| = 1, et 1 = kDq (Qn )k ≤ kDq k ≤ 1. (n) Il vient que kDq k = 1, ∀n ≥ 0. 92 (j) (1) On a démontré, en passant, la formule Dq Qn (s) = q −(j−1)(n−j) si−1 Dq Qn−j+1 (s). N.B. : (j) Notons que pour 0 ≤ j ≤ n et pour s ∈ Vq , on a |Dq Qn (s)| = |Qn−j (s)|. D’où (j) kDq Qn k = kQn−j k = 1, pour ≤ j ≤ n. On a pour n ≥ 0 : n X j(j+1) j n = (−1) q 2 τqn−j j q u t Lemme 4.12 : (n) Dq et j=0 τqn n X n = j j=0 Dq(j) q Démonstration : (1) (i) Dq (Par récurrence) 1 X j(j−1) j 1 = τq − id = (−1) q 2 τq1−j j q j=0 Supposons (n) Dq = n X j=0 Alors (n+1) Dq = j(j−1) n (−1) q 2 τqn−j . j q j (n) Dq ◦(τq −q n id) = n X j=0 = n X τqn+1 + j=1 = τqn+1 + j=1 (−1)n+1 q j=0 n−1 X j(j−1) j(j−1) n(n−1) n n+1−j j n n+1−(j+1) n n 2 2 (−1) τq − (−1) q τq −(1) q 2 +n τq0 = q j q n q j q n X n(n+1) 2 n X j(j−1) j(ji1) n n n+1−j j − (−1) q 2 q n τqn−j = (−1) q 2 τq j q j q j j j=0 n X j(j−1) (j−1)(j−2) n i n n+1−j j−1 +n n+1−j 2 2 (−1) q τq − (−1) q τq + j q j−1 q j=s τq0 = ! n+(j−1)(j−2)−j(j−1) n(n+1) n n 2 +q τ n+1−j +(−1)n+1 q 2 τq0 = j q j−1 q q j=1 ! n X j(j−1) n(n+1) n n = τqn+1 + (−1)j q 2 + q n+1−j τqn+1−j + (−1)n+1 q 2 τq0 . j q j−1 q j=1 n n n n+1−j +q = . Mais (Lemme 4.8.) on a j q j−1 q j q n X j(j−1) n(n+1) n + 1 (n+1) j n+1 D’où Dq = τq + (−1) q 2 τqn+1−j + (−1)n+1 q 1 τq0 , et l’on j q n X j(j−1) n+1 = τq + (−1)j q 2 j=1 a 93 (n) Dq = n X j (−1) q j(j−1) 2 j=0 X j(j−1) n n n−j j τ = (−1) q 2 τ i , ∀n ≥ 0. j q q j q q i+j=n (ii) De la même manière , on a τq = 1 X j=0 Supposons τqn = n X j=0 Alors τqn+1 = n X j=0 n j 1 j Dq(j) = id + Dq(1) . q Dq(j) . q n X n n (j) Dq ◦ τq = Dq(j ◦ (τq − q j id + q j id) = q j j=0 n n n+1 n X X X n X n n (j+1) j (j) (j) j n D + q D(j) = = D + q Dq = j q q j q j−1 q q j q q j=0 j=0 j=1 j=0 ! n X n n n n (n+1) = Dq + + qj Dq(j) + q 0 D(0) . n q j−1 q j q 0 q q j=1 n n+1 j n Mais +q = . j−1 q j q j q n+1 n Xn + 1 X X n n (j) (j) n+1 n = D’où τq Dq et τq = Dq = Dq(j) , ∀n ≥ 0. j j j q q q j=0 j=0 i+j=n Théorème 4.90 : Soit K un sur-corps valué complet de Q l p . Soit f ∈ C(Vq , K) de X développement dans la base orthonormale (Qn )n≥0 , f = an Qn , lim an = 0. n→+∞ n≥0 n f (q i ). Alors an = D f (1) = (−1) q j q i+j=n X n X n n aj = Dq(j) f (1). Réciproquement f (q ) = j j X (n) j(j−1) 2 j i+j=n i+j=n Démonstration : (j) (j) Rappelons que Dq Qn = 0, lorsque j ≥ n + 1 et Dq Qn = q −j(n−j) sj Qn−j , X X (j) lorsque 0 ≤ j ≤ n. Il vient que Dq f = an Dq(j) Qn = an q −j(n−j) sj Qn−j = n≥0 sj X (j) an+j q −j(n−j) Qn . D’où Dq f (1) = aj + n≥0 X n≥j an+1 q −j(n−j) Qn (1) = aj , car Qn (1) = n≥1 0, ∀n ≥ 1. Ainsi an = (n) Dq f (1) = X i+j=n j (−1) q j(j−1) 2 n f (q i ). En d’autres termes, an est j q 94 entièrement déterminé par les valeurs de la fonction f aux points 1, q 2 , . . . , q i , . . . , q n . Réciproquement, appliquant le Lemme 4.12, on obtient : X n X n f (q n ) = τqn f (1) = Dq(j) f (1) = a et f (q n ) est entièrment déterminé j j q j i+j=n i+j=n par les coefficients a0 , . . . , an du dévelopement de f . Exercice 7 : (X − 1)(n) Démontrer que dans l’anneau des polynômes K[X], on a : X j(j−2) n j n−1 = (X − 1)(X − q) . . . (X − q )= (−1) q 2 Xj j q i+j=n et n X n n X = (X − 1)(j) . j q j=0 Remarque 4.13: Les puissances symboliques b(s) Soit b ∈ K tel que lim bhpν = 1, où h | p − 1, si ζ est une racine primitive h-ième ν→+∞ de l’unité, alors b ∈ h−1 [ ζ j (1 + M), où M est l’idéal maximal de l’anneau des entiers de j=0 K. Il existe une fonction continue, unique , χb : Vq → K telle que χb (q m ) = bm , ∀m ≥ 0. En effet, on voit que lim (b − 1)(n) = 0 et posant χb (s) = n→+∞ obtient χb (q m ) = X n≥0 Qn (q m )(b − 1)(n) = X n≥0 m X n=0 Posant χb (s) = b(s) , on a b(st) = b(s) · b(t) . m n q (b − 1)(n) = bm . Qn (s)(b − 1)(n) , on 95 Chapitre III ———— Opérateurs aux différences finies p-adiques III - 1 : Représentations régulières • On dit qu’un ensemble G est un groupe topologique si G est un groupe muni d’une topologie telle que les applications : (s, t) → s · t de G × G dans G et s → s−1 de G dans G sont continues. • On en déduit aussitôt que s → s−1 est un homéomorphsme de G. De plus pour s ∈ G les applications Ls : t → Ls (t) = st et Rs : t → Rs (t) = ts sont des homéomorphismes de G. Lemme 1.1 : Tout sous-groupe ouvert H d’un groupe topologique G est fermé Démonstration : Si H est un sous-groupe ouvert de G, alors pour tout s ∈ G, la classe à gauche s·H = ! S [ Ls (H) est un ouvert. On a la partition de G en classes à gauche G = H sH , s∈Σ où Σ est un système de représentants des classes à gauche modulo H, distinctes de H . [ [ Comme sH réunion d’ensembles ouverts est un ouvert, on a H = G \ sH fermé s∈Σ s∈Σ dans G. Proposition 1.2 : Soit G un groupe topologique, localement compact, totalement discontinu, d’unité e. Alors tout voisinage de e contient un sous-groupe ouvert compact H de G. Si de plus G est compact; la famille des sous-groupes ouverts distingués de G est une base de voisinages de e. Démonstration : Par définition, G est localement compact si tout point de G possède un voisinage compact et G est totalement discontinu si toute composante connexe de G est réduite à un point. Dans ce dernier cas tout point a une base de voisinages formée d’ensembles à la fois ouverts et fermés. 96 • Soit U (e) = U un voisinage de e. Puisque G est totalement discontinu et localement compact, U contient un voisinage ouvert et compact V (e) = V de e. • Considérons A = {s ∈ G / s · V ⊂ V }. On a e ∈ A, car e · V = V . Puisque e ∈ V , si s ∈ A, on a s = s · e ∈ s · V ⊂ V ; ainsi A ⊂ V • A est ouvert Rappelons que l’application (s, t) → st de G×G dans G est continue. Soit s ∈ A fixé; puisque pour tout t ∈ V , on a st ∈ V , il existe W (t) et V (t) des voisinages ouverts de s et t tels que V (t) ⊂ V et W (t) · V (t) ⊂ V . Puisque V est compact, on a le recouvrement fini V = m [ V (tj ). Posons W = j=1 m \ W (tj ); c’est un ouvert contenant s tel que W · V ⊂ V . j=1 Il vient que W est un voisinage ouvert de s contenu dans A et donc A est ouvert. • Puisque s → s−1 est un homéomorphisme de G, A−1 = {s−1 /s ∈ A} est ouvert. Il vient que H = A ∩ A−1 est un un ouvert , contenant e. D’autre part, s ∈ A−1 ⇐⇒ s−1 V ⊂ V ⇐⇒ V ⊂ sV . On en déduit que H = A ∩ A−1 = {s ∈ G / sV = V } est un sous-groupe de G tel que H ⊂ A ⊂ V ⊂ U . De plus, H sous-groupe ouvert de G est fermé (Lemme 1.1). Puisque H est fermé dans le compact V , H est compact . • Supposons G compact. Considérons le sous-groupe ouvert compact de G défini cim [ S dessus. On a G = s · H, s · H ouvert : d’où la partition finie G = sj H du j=1 groupe compact G. Ainsi m = [G : H] l’indice du sous-groupe H de G est fini. Posons H0 = m \ sj Hs−1 j ; c’est un sous-groupe ouvert de G. Mais, pour tout s ∈ G, j=1 il existe j, 1 ≤ j ≤ m, tel que s ∈ sj H, ainsi s = sj tj avec tj ∈ H et sHs−1 = \ −1 sj · tj Ht−1 = sj Hs−1 sHs−1 est un j · sj j . On en déduit aussitôt que H0 = s∈G sous-groupe distingué (ouvert) de G. Remarque 1.3 : On déduit de ce qui précède que si G est groupe compact totalement discontinu, alors l’ensemble N des sous-groupes ouverts distingués est un système fondamental de voisinages de e. On montre que G = lim G/ = limite projective des groupes finis ←− H H∈N G/ . H Réciproquement, tout groupe limite projective de groupes finis est un groupe com- 97 pact, totalement discontinu. Les groupes compacts, totalement discontinus, sont souvent appelés groupes profinis . Exemples : (i) (ZZp , +), Up = {s ∈ ZZp / |s| = 1} et le groupe Vq défini au Chapitre II sont des groupes compacts totalement discontinus (ii) Soit (Gi )i∈I une famille de groupes finis. Le groupe produit Y Gi , muni de la i∈I topologie produit des groupes finis discrets Gi est un groupe compact totalement discontinu. (iii) Soit Fq le corps fini à q éléments ( q est une puissance d’un nombre premier). Soit Fq [[X]], l’anneau des séries formelles à coefficients dans Fq . Le groupe additif (Fq [[X]], +) est un groupe compact totalement discontinu isomorphe à (Fq IN , +). Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Fq [[X]] , ainsi que 1 + XFq [[X]], sont également des groupes compacts totalement discontinus . Dans toute la suite, G est un groupe compact totalement discontinu et N désigne la famille des sous-groupes ouverts distingués de G. Soit K un corps valué ultramétrique complet. On désigne par C(G, K) l’espace de Banach ultramétrique des fonctions continues f : G → K muni de la norme kf k = sup |f (s)|. s∈G Lemme 1.4 : Toute fonction continue f : G → K est uniformément continue à gauche. En d’autres termes pour tout ε > 0, il existe Hε ∈ N tel que pour s, t ∈ G satisfaisant s−1 t ∈ Hε , on a |f (s) − f (t)| < ε. Démonstration : • Soit a ∈ G , f étant continue, ∀ε > 0, ∃Hε (a) ∈ N tel que a−1 s ∈ Hε (a) =⇒ |f (a) − f (s)| < ε. [ • Comme G est compact et G = aHε (a), il existe (aj )1≤j≤m ⊂ G telle que G = a∈G m [ j=1 aj Hε (aj ). Posons Hε = \ Hε (aj ); c’est un sous-groupe ouvert fermé de G. 1≤j≤m Soient s, t ∈ G tels que s−1 t ∈ Hε . Il existe j, 1 ≤ j ≤ m tel que s ∈ aj Hε (aj ). −1 −1 −1 Ainsi a−1 t ∈ Hε (aj ) · Hε ⊂ j s ∈ Hε (aj ) et |f (s) − f (aj )| < ε. Mais aj t = aj s · s 98 Hε (aj )Hε (aj ) = Hε (aj ), donc |f (t) − f (aj )| < ε. Il vient que |f (s) − f (t)| = |f (s) − f (aj ) + f (aj ) − f (t)| ≤ max(|f (s) − f (aj )|, |f (aj ) − f (t)|) < ε. Remarque 1.5: De la même manière, f est uniformément continue à droite : ∀ε > 0, ∃Hε ∈ N tel que ts−1 ∈ Hε =⇒ |f (s) − f (t)| < ε. Considérons pour f ∈ C(G, K) et s ∈ G la fonction τs f : G → K définie par τs f (t) = f (st). On vérifie aussitôt que τst f = τt (τs f ). Lemme 1.6 : Soit f ∈ C(G, K). (i) Pour tout s ∈ G, on a τs f ∈ C(G, K) (ii) L’application s → τs f de G dans C(G, K) est continue. De plus s −→ τs est un anti-homomorphisme du groupe G dans le groupe des automorphismes linéaires de C(G, K) Démonstration : (i) Pour tout ε > 0, ∃Hε ∈ N tel que t−1 t0 ∈ Hε =⇒ |f (t) − f (t0 )| < ε ( Lemme 1.3). Soit s ∈ G, on a (st)−1 st0 = t−1 s−1 st0 = t−1 t0 ∈ Hε , ainsi |τs f (t) − τs f (t0 )| = |f (st) − f (st0 )| < ε et donc τs f ∈ C(G, K). (ii) De la même manière, f étant uniformément continue à droite, ∀ε > 0, ∃Hε ∈ N tel que s0 s−1 ∈ Hε =⇒ |f (s) − f (s0 )| < ε. Pour tout t ∈ G , on a (s0 t)(st)−1 = s0 tt−1 s−1 = s0 s−1 ∈ Hε =⇒ |τs f (t) − τs0 f (t)| = |f (st) − f (s0 t)| < ε. D’où sup |τs f (t) − τs0 f (t)| = kτs f − τs0 f k < ε. t∈G Il est clair que τs ∈ L(C(G, K)). De plus kτs f k = kf k, ∀f ∈ C(G, K). On a τs−1 ◦ τs (f ) = τss−1 f = τe f = f = τs ◦ τs−1 (f ). Il vient que τs est un automorphisme de l’espace de Banach C(G, K). On achève la démonstration en rappelant que τs ◦τt = τts , pour tous s, t ∈ G. Les opérateurs τs sont appelés les opérateurs de translation à gauche de C(G, K). Remarque 1.7 : Posons γs = τs−1 ; on a γs ◦ γt = γst et γ : G → L(C(G, K)) est appelée la représentation régulière gauche de G. N.B. : Considérons pour f ∈ C(G, K) et s ∈ G , la fonction δs f : G → K définie par δs f (t) = f (ts). On vérifie aussitôt que δst f = δs (δt f ). 99 On démontre comme pour τ que δs f ∈ C(G, K). De plus l’application s → δs f de G dans C(G, K) est continue et s → δs est un homomorphisme du groupe G dans le groupe des automorphismes linéaires de C(G, K). On dit que δ : G → L(C(G, K) est la représentation régulière droite de G, et les opérateurs δs sont les opérateurs de translation à droite. t u Proposition de définition 1.8 : Le commutant W (G, K) de {τs , s ∈ G} dans L(C(G, K)), c’est-à-dire l’ensemble des opérateurs u ∈ L(C(G, K)) tels que u ◦ τs = τs ◦ u, ∀s ∈ G, est une sous-algèbre unitaire fermée de L(C(G, K)). Les éléments de W (G, K) sont appelés les opérateurs aux différences finies (à gauche) de G. Démonstration : Les vérifications sont immédiates. Par exemple si u, v ∈ W (G, K) , on a (u◦v)◦τs = u ◦ (v ◦ τs ) = u ◦ (τs ◦ v) = (u ◦ τs ) ◦ v = τs ◦ (u ◦ v). Soit u ∈ W (G, K), il existe une suite (un )n≥0 ⊂ W (G, K) telle que lim un = u. n→+∞ Puisque kun ◦τs −u◦τs k = k(un −u)◦τs k ≤ kun −ukkτs k = kun −uk, on a lim un ◦τs = n→+∞ u ◦ τs . De la même manière , lim τs ◦ un = u ◦ τs . Ainsi puisque un ◦ τs = τs ◦ un , ∀s ∈ n→+∞ G, ∀n ≥ 0, on a u ◦ τs = lim un ◦ τs = n→+∞ lim τs ◦ un = τs ◦ u =⇒ u ∈ W (G, K) et n→+∞ W (G, K) est fermée. Remarque 1.9 : Définissant de la même manière l’algèbre Wd (G, K) des opérateurs aux différences finies (à droite) : u ∈ Wd (G, K) ⇐⇒ u ◦ δs = δs ◦ u. On vérifie que Wd (G, K) est une sous-algèbre unitaire fermée de L(C(G, K)). Considérons l’application η : C(G, K) → C(G, K) définie par η(f )(s) = f (s−1 ); c’est un isomorphisme isométrique de l’algèbre C(G, K) tel que η ◦ η = id. On voit que ∀s ∈ G, τs−1 = η ◦ δs ◦ η : les représentations γ et δ sont équivalentes. On en déduit que Wd (G, K) = η ◦ W (G, K) ◦ η. Si G est commutatatif , on a τs = δs , ∀s ∈ G et Wd (G, K) = W (G, K). 100 Proposition 1.10 : Soit M (G, K) = C(G, K)0 l’espace de Banach dual de C(G, K). Posons pour µ, ν ∈ M (G, K), f ∈ C(G, K) :< µ ∗ ν, f >=< µ, < ν, τs f >>. Alors (i) < µ ∗ ν, f >=< ν, < µ, δs f >> (ii) M (G, K) muni du produit de convolution µ ∗ ν est une algèbre de Banach unitaire, d’unité εe où εe (f ) = f (e), et e l’unité du groupe G. Démonstration : Rappelons qu’une K-algèbre de Banach (ultramétrique) A, d’unité e, est un espace de Banach muni d’une structure d’algèbre telle que kabk ≤ kakkbk, a, b ∈ A; kek = 1. (i) Les fonctions s →< ν, τs f > et s →< µ, δs f > de G dans K sont continues. En effet, pour s, t ∈ G, on a | < ν, τs f > − < ν, τt f > | = | < ν, τs f − τt f > | ≤ kνkkτs f − τt f k. Mais l’application s → τs f de G dans C(G, K) est continue, on en déduit que s →< ν, τs f > est continue. On démontre de la même manière que s →< µ, δs f > est continue. Il vient que les expressions < µ, < ν, τs f >> et < ν, < µ, δs f >> sont bien définies. • Associons à f la fonction F ∈ C(G × G, K) définie par F (s, t) = τs f (t) = f (st). Puisque b C(G × G, K) ' C(G, K)⊗C(G, K), on déduit du Corollaire II-3.7. que F correspond à Fe = X b fj ⊗ gj ∈ C(G, K)⊗C(G, K), lim kfj k kgj k = 0. Ainsi τs f (t) = f (st) = j→+∞ j≥1 X fj (s)gj (t). De plus δs f (t) = f (ts) = j≥1 X X fj (t)gj (s). En d’autres termes, τs f = j≥1 fj (s)gj et δs f = j≥1 X gj (s)fj . j≥1 Alors < µ ∗ ν, f >=< µ, < ν, τs f >>=< µ, < ν, X fj (s)gj >>= j≥1 = X < µ, fj > < ν, gj >. De la même manière j≥1 < ν, < µ, δs f >>=< ν, < µ, X j≥1 gj (s)fj >>= X < ν, gj >< µ, fj >. j≥1 Il vient que < µ ∗ ν, f >=< µ, < ν, τs f >>=< ν, < µ, δs f >>. D’où l’on déduit < µ ∗ εe , f >= =< µ, < εe , τs f >>=< µ, τs f (e) >=< µ, f > et < εe ∗ µ, f >=< µ, < εe , δs f >>= =< µ, δs f (e) >=< µ, f >=⇒ µ ∗ εe = µ = εe ∗ µ. (ii) • Pour tout s ∈ G , on a | < ν, τs f > | ≤ kνk kτs f k = kνk kf k 101 =⇒ sup | < ν, τs f > | ≤ kνk kf k s∈G Ainsi | < µ ∗ ν, f > | = | < µ, < ν, τs f >> | ≤ kµk sup | < ν, τs f > | ≤ kµk kνk kf k s∈G et kµ ∗ νk ≤ kµk kνk. • Il reste à vérifier l’associativité de ∗ Soient s, t, σ ∈ G, f ∈ C(G, K) , on a τst f (σ) = f ((st))σ) = X fj (st)gj (σ) = j≥1 = XX 1 2 fj,` (s)fj,` (t)gj (σ) = f (s(tσ)) = j≥1 `≥1 X fj (s)gj (tσ) = j≥1 XX 1 2 fj (s)gj,k (t)gj,k (σ). j≥1 k≥1 Pour toute mesure µ ∈ M (G, K), on a < µ, τt f >= X fj (t) < µ, gj >. Ainsi j≥1 τs < µ, τt f >= P j≥1 τs fj (t) < µ, gj >= P j≥1 1 2 `≥1 fj,` (s)fj,` (t) P < µ, gj >. Alors pour µ1 , µ2 , µ3 ∈ M (G, K) , on a < µ1 ∗(µ2 ∗µ3 ), f >=< µ1 , < µ2 ∗µ3 , τs f >>= =< µ1 , < µ2 , < µ3 , τt τs f >>>=< µ1 , < µ2 < µ3 , τst f >>>= XX 1 2 = < µ1 , fj > < µ2 , gj,k >< µ3 , gj,k >= j≥1 k≥1 XX XX 1 2 1 2 = (µ1 ⊗µ2 ⊗µ3 ) fj ⊗ gj,k ⊗ gj,k = (µ1 ⊗µ2 ⊗µ3 ) fj,` ⊗ fj,` ⊗ gj j≥1 k≥1 j≥1 `≥1 X X X 1 2 = < µ1 , fj,` > < µ2 , fj,` > < µ3 , gj >= < µ1 ∗ µ2 , fj > < µ2 , gj >= j≥1 j≥1 `≥1 =< (µ1 ∗ µ2 ) ∗ µ3 , f >. D’où µ1 ∗ (µ2 ∗ µ3 ) = (µ1 ∗ µ2 ) ∗ µ3 . Théorème 1.11 ( M. van der Put) Les algèbres de Banach unitaires W (G, K) et M (G, K) sont isométriquement isomorphes. Démonstration (i) Soit u ∈ L(C(G, K)); posons θ(u) =t u(εe ). On définit ainsi une application linéaire continue de L(C(G, K)) dans M (G, K) telle que kθ(u)k = kεe ◦uk ≤ kεe k kuk = kuk. On note θ1 la restriction de θ à W (G, K). (ii) Soit µ ∈ M (G, K), on a vu que pour f ∈ C(G, K), l’application s →< µ, τs f > de G dans K est continue. Posons ϕ(µ)(f )(s) =< µ, τs f >. Alors ϕ(µ) ∈ L(C(G, K)) : en effet , il est clair que ϕ(µ) : C(G, K) → C(G, K) est linéaire telle que kϕ(µ)(f )k = sup | < µ, τs f > | ≤ kµk kf k, d’où kϕ(µ)k ≤ kµk. s∈G 102 Soit a ∈ K. Puisque ϕ(µ + aν)(f )(s) =< µ + aν, τs f >=< µ, τs f > +a < ν, τs f >= ϕ(µ)(f )(s) + aϕ(ν)(f )(s), l’application ϕ : M (G, K) → L(C(G, K)) est linéaire avec kϕ(µ)k ≤ kµk. De plus τt ϕ(µ)(f )(s) = ϕ(µ)(f )(ts) =< µ, τts f >=< µ, τs (τt f ) >= ϕ(µ)(τt f )(s), ∀s, t ∈ G. Il vient que τt ◦ ϕ(µ) = ϕ(µ) ◦ τt , ∀t ∈ G : c’est-à-dire ϕ(µ) ∈ W (G, K). (iii) Soient µ ∈ M (G, K) et f ∈ C(G, K). On a < θ1 ◦ ϕ(µ), f >= ϕ(µ)(f )(e) =< µ, τe f >=< µ, f >. En d’autres termes θ1 ◦ ϕ(µ) = µ et θ1 ◦ ϕ = id. D’autre part, si u ∈ W (G, K), on a pour s ∈ G, ϕ ◦ θ1 (u)(f )(s) =< θ1 (u), τs f >= u ◦ τs (f )(e) = τs ◦ u(f )(e) = u(f )(s), ∀f ∈ C(G, K). Il vient que : ϕ ◦ θ1 (µ) = µ et ϕ ◦ θ1 = id On déduit de ce qui précède que les espaces de Banach W (G, K) et M (G, K) sont isométriquement isomorphes. (iv) Il est clair que ϕ(εe )(f )(s) =< εe , τs f >= f (s), i.e. ϕ(εe ) = id. Soient µ, ν ∈ C(G, K) et f ∈ C(G, K). On a ϕ(µ ∗ ν)(f )(s) =< µ ∗ ν, τs f >= =< µ, < ν, τt τs f >>=< µ, ϕ(ν) ◦ (τs f )(t) >=< µ, τs ◦ ϕ(ν)(f )(t) >= = ϕ(µ) ◦ ϕ(ν)(f )(s). D’où ϕ(µ ∗ ν) = ϕ(µ) ◦ ϕ(ν). Il vient que ϕ : M (G, K) → W (G, K) est un isomorphhe d’algèbres de Banach unitaire. Exercice 1 : Démontrer que l’application θ : L(C(G, K) −→ M (G, K) est surjective et déterminer son noyau . Corollaire 1.12 : Soient u ∈ W (G, K) et µ ∈ M (G, K), on a t u(µ) = µ ∗ θ1 (u) Démonstration : En effet, on a ϕ(t u(µ))(f )(s) =<t u(µ), τs f >=< µ, u ◦ τs (f ) >=< µ, τs ◦ u(f ) >= ϕ(µ)(u(f ))(s). Il vient que ϕ(t u(µ)) = ϕ(µ) ◦ u et θ1 ◦ ϕ(t u(µ)) =t u(µ) = θ1 (ϕ(µ) ◦ u) = (θ1 ◦ ϕ(µ)) ∗ θ1 (u) = µ ∗ θ1 (u). N.B : Le théorème 1.11 et le Corollaire 1.12 restent vrais pour les espaces de fonctions continues sur les groupes compacts à valeurs réelles ou complexes. De plus ils admettent une généralisation en théorie des algèbres de Hopf ultramétriques. 103 Théorème 1.13 : Soit (ei )i∈I une base orthonormale de C(G, K) (il en existe toujours) et soit (e0i )i∈I ⊂ M (G, K) la famille des formes linéaires continues définies par < e0i , ej >= δij , j ∈ I. Alors Ai = ϕ(e0i ) ∈ W (G, K) et tout u ∈ W (G, K) s’écrit de façon unique sous forme X de famille simplement sommable : u = u(ei )(e)Ai , lim Ai (f ) = 0, ∀f ∈ C(G, K). i∈ i∈I De plus kuk = sup |u(ei )(e)|. i∈I Démonstration : (i) Soit f ∈ C(G, K), on a f = X ai (f )ei , où ai (f ) ∈ K , lim ai (f ) = 0 et kf k = i∈I i∈I sup |ai (f )|. En particulier, pour s ∈ G, on a τs (f ) = i∈I X ai (τs f )ei . Posons Ai (f )(s) = i∈I ai (τs f ). Pour s, t ∈ G, on a τs (f ) − τt (f ) = X (Ai (f )(s) − Ai (f )(t))ei et |Ai (f )(s) − i∈I Ai (f )(t)| ≤ kτs (f ) − τt (f )k, ∀i ∈ I. Ainsi pour tout ε > 0, ∃Hε ∈ N , tel que s−1 t ∈ Hε =⇒ |Ai (f )(s) − Ai (f )(t)| ≤ |τs (f ) − τt (f )| < ε. On en déduit que m(ε) Ai (f ) ∈ C(G, K). De plus comme G = [ s` Hε ; pour tout s ∈ G, il existe `=1 `, 1 ≤ ` ≤ m(ε) tel que s−1 ` s ∈ Hε , d’où |Ai (f )(s) − Ai (f )(s` )| < ε, ∀i ∈ I. Ainsi |Ai (f )(s)| ≤ max(ε , |Ai (f )(s` )|) et kAi (f )k ≤ max ε , max |Ai (f )(s` )| . 1≤`≤m(ε) Mais pour 1 ≤ ` ≤ m(ε), on a lim |Ai (f )(s` )| = 0. D’où l’on déduit lim Ai (f ) = 0. i i∈I (ii) On vérifie aussitôt que chaque Ai est une application linéaire continue de C(G, K) dans C(G, K). Par définition, ϕ(e0i )(f )(s) =< e0i , τs f >=< e0i , X Aj (f )(s)ej >= j∈I X Aj (f )(s)δij = j∈I Ai (f )(s); ainsi Ai = ϕ(e0i ) ∈ W (G, K), avec kAi k = kϕ(e0i )k = ke0i k = 1 et θ1 (Ai ) = e0i . (iii) Soit u ∈ W (G, K), alors u = ϕ ◦ θ1 (u) = ϕ(t u(εe )). t Il vient que u(f )(s) = ϕ( u(εe ))(f )(s) = X X <t u(εe ), τs f >= Ai (f )(s) <t u(εe ), ei >= u(ei )(e)Ai (f )(s) et donc u(f ) = i∈I = X i∈I u(ei )(e)Ai (f ). i∈I 104 On obtient ku(f )k ≤ sup |u(ei )(e)|kAi (f )k ≤ sup |u(ei )(e)| kAi kkf k = sup |u(ei )(e)|kf k, i∈I i∈I i∈I d’où kuk ≤ sup |u(ei )(e)|. i∈I D’autre part < θ1 (u), f >= u(f )(e) = X u(ei )(e)Ai (f )(e) = X i∈I X u(ei )(e) < e0i , f >. En particulier < θ1 (u), ei >= i∈I X u(ei )(e) < θ1 (Ai ), f >= i∈I X u(ej )(e) < e0j , ei >= j∈I u(ej )(e)δij = u(ei )(e). Ainsi |u(ei )(e)| = | < θ1 (u), ei > | ≤ kθ1 (u)kkei k = kuk. j∈I D’où sup |u(ei )(e)| ≤ kuk et kuk = sup |u(ei )(e)|. i∈I i∈I Remarque 1.14: (i) Le Théorème 1.9 est équivalent au fait que (e0i )i∈I est une base topologique de l’espace des mesures M (G, K) muni de la topologie de la convergence simple : toute mesure µ ∈ M (G, K) s’écrit de façon unique sous forme de famille simplement sommable X µ= < µ, ei > e0i . i∈I De plus kµk = sup | < µ, ei > |. i∈I (ii) Soit e0i ∗ e0j = X αi,j (`)e0` la table de multiplication des e0i . On a Ai ◦ Aj = `∈I X αij (`)A` . `∈I III - 2 : Les cas G = ZZp et G = Vq III - 2 - 1 : Le cas G = ZZp X Soient s ∈ ZZp et s = sj pj , 0 ≤ sj ≤ p − 1, le développement de Hensel de s. j≥0 Soit n un entier ≥ 1, n = t X aj pj , 0 ≤ aj ≤ p − 1. Rappelons que n est une partie j=0 initiale de s si aj = sj , ∀0 ≤ j ≤ t; ce qui équivaut à |s − n| < la convention 0 / s. Posons n− = t−1 X j=0 aj pj , on a n− / n. 1 . On écrit n / s, avec n 105 D’autre part, considérons pour n ≥ 0, la fonction en : ZZp → K définie par en (s) = 1, lorsque n / s et en (s) = 0, autrement; c’est une fonction continue. On sait que la suite (en )n≥0 est une base orthonormale de C(ZZp , K) : ∀f ∈ C(G, K), on a X f= (f (n) − f (n− ))en , avec f (0− ) = 0 et kf k = sup |f (n) − f (n− )| (Théorème n≥0 n≥0 II - 4.2). Ainsi pour tout s ∈ ZZp , τs f (t) = f (s + t) = X (f (n + s) − f (n− + s))en (t) = n≥0 = P n≥0 (τn − τn− )(f )(s)en (t), i.e. τs f = X (τn − τn−1 )(f )(s)en . n≥0 Théorème 2.1.1 : Soit u ∈ W (ZZp , K), i.e. u ◦ τs = τs ◦ u, ∀s ∈ ZZp . Alors u = X αn Ǎn (convergence n≥0 simple) où Ǎn = τn − τn− , αn = u(en )(0) et kuk = sup |αn |. n≥0 Pour tout s ∈ ZZp ,on a τs = X Ǎn . n/s X De plus Ǎn ◦Ǎk = Ǎ` − `/(n+k) X Ǎ` − X Ǎ` + Ǎ` = n+k X βn,k (`)Ǎ` , `=0 `/(n− +k− ) `/(n− +k) `/(n+k− ) X avec βn,k (`) ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}; Ǎ0 = τ0 = id. Démonstration : (i) Puisque τs f = X (τn − τn− )(f )(s)en , avec les notations légèrement modifiées n≥0 du Théorème 1.13, on a τs (f ) = X Ǎn (f )(s)en ; ainsi Ǎn = τn − τn− n≥0 Pour u ∈ W (ZZp , K), on a u = X u(en )(0)Ǎn (convergence simple) et kuk = n≥0 sup |u(en )(0)|. n≥1 En particulier τs = X X τs (en )(0)Ǎn = n≥0 en (s)Ǎn = X en (s)Ǎn = n/s n≥0 X n/s (ii) Ǎn ◦ Ǎk = (τn − τn− ) ◦ (τk − τk− ) = τn+k − τn+k− − τn− +k + τn− +k− = = X `/(n+k) Ǎ` − X `/(n+k− ) Ǎ` − X Ǎ` + `/(n− +k) On a donc βn,k (`) = −2, −1, 0, 1, ou 2. X `/(n− +k− ) Ǎ` = n+h X `=0 βn,k (`)Ǎ` . Ǎn . 106 Supposons Q l p ⊆ K. Rappelons que la suite des polynômes binomiaux : B0 (s) = 1, Bn (s) = s(s − 1) . . . (s − n + 1) , n≥ n! 1, est une base orthonormale de C(ZZp , K). De plus, pour f ∈ C(ZZp , K), posant ∆ = τ1 −id, on a f = X ∆n f (0)Bn , lim ∆n f (0) = n→∞ n≥0 0 et kf k = sup |∆n f (0)| ( Théorème II - 4.7’) n≥0 On en déduit aussitôt que pour s ∈ ZZp , τs f = X ∆n (τs )f (0)Bn = n≥0 X X ∆n f (s)Bn = n≥0 X τs ∆n f (0)Bn = n≥0 An (f )(s)Bn ( Théorème 1.13). Ainsi An = ∆n , ∀n ≥ 0. n≥0 Théorème 2.1.2 : Q l p ⊆ K. (i) Tout élément u de W (ZZp , K) s’écrit de façon unique comme somme de série simX plement convergente u = an ∆n , avec an = u(Bn )(0), kuk = sup |an |. n≥0 n≥0 (ii) L’algèbre de Banach commutative W (ZZp , K) est isométriquement isomorphe à l’algèbre des séries formelles à cœfficients bornés : n o X K < X >= S = an X n ∈ K[[X]] / kSk = sup |an | < +∞ . n≥0 n≥0 De plus , ∀u, v ∈ W (ZZp , K), ku ◦ vk = kukkvk Démonstration : (i) Par le Théorème 1.13, on a u = X u(Bn )(0)An = n≥0 X u(Bn )(0)∆n = n≥0 X an ∆n n≥0 avec kuk = sup |an |. n≥0 (ii) On fait correspondre à u = X an ∆n la série formelle Su = n≥1 X an X n . Alors posant n≥0 kSu k = sup |an |, on a kSu k = kuk < +∞. n≥0 Réciproquement considérons S = X an X n ∈ K < X >, posant uS = n≥0 X an ∆n , n≥0 on définit un opérateur linéaire continu de C(ZZp , K) dans C(ZZp , K) , car ∀f ∈ X C(ZZp , K), lim ∆n (f ) = 0, alors uS (f ) = an ∆n f ∈ C(ZZp , K). n→+∞ n≥0 n On obtient aussitôt, kuS (f )k ≤ sup |an | k∆ f k ≤ sup |an |kf k; n≥0 n≥0 107 d’où kuS k ≤ sup |an | = kSk. Mais uS (Bm ) = n≥0 m X X an ∆n Bm = n≥0 X an Bm−n = n≥0 an+m Bn ; ainsi uS (Bm )(0) = am et |am | = |uS (Bm )(0)| ≤ kuS (Bm )k ≤ kuS k. Il n=0 vient que kSk = sup |an | ≤ kuS k et kuS k = kSk. n≥0 • Le fait que pour u, v ∈ W (ZZp , K) on ait ku ◦ vk = kukkvk est un résultat classique sur K < X > dont voici une démonstration. X X X Soient S = an X n et T = bn X n ∈ K < X >. On a ST = cn X n , n≥0 avec cn = X n≥0 n≥0 ai bj . Il vient que |cn | ≤ max |ai ||bj | ≤ kSkkT k et kST k = sup |cn | ≤ i+j=n i+j=n n≥0 kSkkT k. • Ou bien K est de valuation discrète. Les bornes supérieures kSk = sup |an | et kT k = sup |bn | sont alors atteintes. Soient n≥0 n≥0 n0 et m0 les plus petits entiers tels que kSk = |an0 | et kT k = |bm0 |. X Considérons cn0 +m0 = ai bj : ou bien i < n0 , donc j ≥ m0 et |ai bj | < i+j=n0 +m0 |an0 |bj | ≤ |an0 ||bm0 | ou bien j < m0 , donc i ≥ n0 et |ai bj | < |ai ||bm0 | ≤ |an0 ||bm0 |. On en déduit X |cn0 +m0 | = ai bj + an0 bm0 = |an0 ||bm0 |. i+j=n0 +m0 (i,j)6=(n ,m ) 0 0 Il vient que kSkkT k = |an0 ||bm0 | = |cn0 +m0 | ≤ sup |cn | = kST k. n≥0 Dans ce cas on a démontré kST k = kSkkT k. • Ou bien K est de valuation dense. Alors sup |π| = 1. 0<|π|<1 Posons pour 0 < |π| < 1 et S ∈ K < X >, kSkπ = sup |an ||π|n . n≥0 On a kSkπ ≤ kSk. De plus k kπ est une norme sur K < X > telle que kST kπ = kSk kT kπ . En effet, il est clair que k kπ est une norme. Puisque |an ||π|n ≤ kSk|π|n , on a lim |an ||π|n = 0, et kSkπ = supn≥0 |an ||π|n = n→+∞ maxn≥0 |an ||π|n . Soient n0 , m0 les plus petits entiers tels que kSkπ = |an0 ||π|n0 et 108 kT kπ = |bm0 ||π|m0 (S 6= 0 6= T ). X ai π i bj π j = |an0 ||π|n0 |bm0 ||π|m0 = Comme ci-dessus, on voit que |cn0 +m0 π n0 +m0 | = i+j=n0 +m0 kSkπ kT kπ et kSkπ ·kT kπ = |cn0 +m0 π n0 +m0 | ≤ sup |cn ||π|n = kST kπ . Ainsi kSkπ ·kT kπ = n≥0 kST kπ ≤ kST k. sup sup |an ||π|n = sup sup |an ||π|n = sup |an |· sup |π|n = Mais sup kSkπ = 0<|π|<1 n≥0 0<|π|<1 n≥0 0<|π|<1 n≥0 0<|π|<1 sup |an | = kSk. n≥0 Alors pour S 6= 0 6= T, 0 < ε < 1, il existe πε , 0 < |πε | < 1 tel que kSk < εkSk + kSkπε et kT k < εkT k + kT kπε . Ainsi (1 − ε)2 kSkkT k < kSkπε kT kπε = kST kπε ≤ kST k, ∀0 < ε < 1. Il vient que kSkkT k ≤ kST k, et kST k = kSkkT k. Q lp⊆K Théorème 2.1.3 : Le éléments Ǎn et ∆n , n ≥ 0, de W (ZZp , K) sont liés par les relations : n X n n− (1) Ǎn = − ∆n k k k=0 n (ii) ∆ = n X βkn Ǎk où βnn = 1 et βkn = n X n−1 (−1) i=0 k/i k=0 n , i 0≤k ≤n−1 Démonstration : Appliquant les Théorèmes 2.1.1 et 2.1.2, on obtient Ǎn = X Ǎn (Bk )(0)∆k = k≥0 n X X n n− k = − Bk (n) − Bk (n− ) ∆ = ∆k . k k k≥0 k=0 Puisque ∆n = n X (−1)n−i i=0 n X i=0 k/i n X n n τi , on a ∆n (ek )(0) = (−1)n−i ek (i) = i i i=0 n i (−1) , lorsque k ≥ n et ∆n (ek )(0) = 0, lorsque k ≥ n + 1. i n Ainsi , on a ∆ = X k≥0 n ∆ (ek )(0)Ǎk = n X k=0 βkn Ǎk avec βkn = n X i=0 k/i n−i (−1) n . i 109 III - 2 - 2 : Le cas G = Vq et Q lp⊆K Rappelons que pour q ∈ ZZp , |q| = 1, q non racine de l’unité, Vq est le sous-groupe compact multiplicatif du groupe des unités p-adiques Up , adhérence de {q n , n ≥ 0} dans ZZp . La suite de polynômes (Qn )n≥0 où Q0 (s) = 1 et Qn (s) = m n ≥ 1, est telle que Qn (q ) = m n = q (s − 1)(s − q) . . . (s − q n−1 ) , (q n − 1)(q n − q) . . . (q n − q n−1 ) [m]q ! où [k]q ! = [1]q . . . [k]q et [m − n]q ![n]q k [k]q = q −1 . q−1 De plus (Qn )n≥0 est une base orthonormale de C(Vq , K) : ∀f ∈ C(Vq , K), X (n) f= Dq(n) (f )(1)Qn , où Dq = (τq − id)(n) = (τq − id)(τq − qid) . . . (τq − q n−1 id) n≥0 ( Théorème II - 4.9’). Théorème 2. 2. 1 : (A. Verdoodt) Q lp⊆K Soit u ∈ W (Vq , K). Alors u s’écrit de façon unique sous forme de série simplement X αn Dq(n) , avec αn = u(Qn )(1) et kuk = sup |αn |. convergente, u = n≥0 n≥0 Démonstration : Soit f ∈ C(Vq , K), pour tout s ∈ Vq , on a τs f = X Dq(n) (τs f )(1)Qn = n≥0 X τs Dq(n) (f )(1)Qn = n≥0 X Dq(n) (f )(s)Qn = n≥0 X An (f )(s)Qn =⇒ An = Dq(n) . Ainsi ap- n≥0 pliquant le Théorème 1.9, on voit que tout u ∈ W (Vq , K) est une somme simple unique, X u= u(Qn )(1)Dq(n) , avec kuk = sup |u(Qn )(1)|. n≥0 n≥0 N.B. : Vq étant topologiquement engendré par q, on a u ∈ W (Vq , K) ⇐⇒ u ◦ τq = τq ◦ u. u t Exercice 2 : q-formule de Leibniz X n (n) τ i ◦ Dq(j) (f ) · Dq(i) (g). Dq (f g) = j q q i+j=n Démonstration : Elle se fait par récurrence . 110 (1) Pour n = 1, on a Dq (f g) = τq (f g) − f g = τq (f )τq (g) − f g = τq (f )(τq (g) − g) + (1) (1) τq (f )g − f g = Dq (f )g + τq (f )Dq (g) Supposons la formule vraie pour n. ! n X n i (n+1) (n−i) (i) n Alors Dq (f g) = (τq − q id) τ ◦ Dq (f ) · Dq (g) = i q i=0 = n X i=0 n i τqi+1 ◦ Dq(n−i) (f ) · τq ◦ Dq(i) (g) −q q n n X n i=0 i τqi ◦ Dq(n−i) (f ) · Dq(i) (g). q n X n (n+1) D’où l’on déduit Dq (f g) = τ i+1 ◦ Dq(n−i) (f ) · Dq(i+1) (g)+ i q q i=0 n X n + q i τqi+1 ◦ Dq(n−i) (f ) − q n τqi ◦ Dq(n−i) (f ) Dq(i) (g). i q i=0 (n−i) Mais q i τqi+1 ◦ Dq (n−i) (n−i) (f ) − q n τqi+1 ◦ Dq (f ) = q i τqi ◦ (τq − q n−i id) ◦ Dq (f ) = n+1 X n (n+1) (n−i+1) i i (f g) = τ i ◦ Dq(n−i+1) (f ) · (f ). Il vient que Dq = q τq ◦ Dq i−1 q q i=1 Dq(i) (g)+ + n X qi i=0 n τ i ◦ Dq(n−i+1) (f ) · Dq(i) (g), i q q ou encore (n+1) (f g) Dq = ! n X n n + qi τ i ◦D(n+1−i) (f )Dq(i) (g)+ i−1 q i q q q (n+1) (n+1) (g)+ Dq τq i=1 Dq(n+1) (f )g. Ce qui, avec le Lemme II-4-8, achève la vérification de l’Exercice 2. Exercice 3 : (n) Dq (sm ) n = [n]q !(q − 1) q n(n−1) 2 m n (n) sm , avec Dq (sm ) = 0, si n ≥ m + 1 q Indication : (τq − q j id)(sm ) = (qs)m − q j sm = (q m − q j )sm . (n) D’où Dq (sm ) = (q m − 1)(q m − q) . . . (q m − q n−1 )sm = q n(n−1) 2 que [n]q ! = (q m −1)(q m−1 −1) . . . (q m−n+1 −1)sm . On en déduit l’exercice en se rappelant (q n − 1) . . . (q − 1) . (q − 1)n 111 Théorème 2.2.2 (n) La table de multiplication des Dq est donnée par X j(j−1) n k (n) (k) j D(i) Dq ◦ Dq = [j]q !(q − 1) q 2 j q j q q i+j=n (k) Démonstration : Rappelons que Dq (Qi ) = q −k(i−k) sk Qi−k , avec la convention Qi−k = 0, lorsque k > i. Utilisant la q-formule de Leibniz et l’Exercice 3 , on obtient : X n (n) k) −k(i−k) (n) k −k(i−k) Dq ◦Dq (Qi ) = q Dq (s Qi−k ) = q τ α ◦Dq(β) (sk )Dq(α) (Qi−k ) = β q q α+β=n X β(β−1) k n = q −k(i−k) [β]q ! (q − 1)β q 2 τ α (sk ) · q −α(i−k−α) sk Qi−k−α . β q q β q α+β=n = q αk sk , on a X n β(β−1) k (n) (k) β −k(i−k) 2 q −α(i−2k−α) sk Qi−k−α . Dq ◦ Dq (Qi ) = q [β] !(q − 1) q β q β q q Puisque τqα (sk ) α+β=n Puisque Qi−k−α (1) = δ0,i−k−α = δi,k+α , on voit que X n β(β−1) k (n) (k) β −k(i−k) 2 Dq ◦ Dq (Qi )(1) = q [β] !(q − 1) q q −α(i−2k−α) δi,k+α = β q q β q α+β=n (n+k−i)(n+k−i−1) n k n+k−i 2 = [n + k − i]q !(q − 1) q . n+k−i q n+k−i q Ainsi, (n) Dq ◦ (k) Dq = X Dq(n) ◦ Dq(k) (Qi )(1)Dq(i) k X n k Di . n+k−i q n+k−i q q X j(j−1) n k = [j]q !(q − 1)j q 2 D(i) . j q j q q [n + k − i]q !(q − 1)n+k−i q i=0 (n) D’où Dq (k) ◦ Dq Dq(n) ◦ Dq(k) (Qi )(1)Dq(i) = i=0 i≥0 = = k X (n+k−i)(n+k−i−1) 2 i+j=n (n) Remarque 2.2.3 : On déduit de la formule ci-dessus que Dq (k) ◦ Dq (k) = Dq (n) ◦ Dq . Ce qui est aussi une conséquence du fait que W (Vq , K) est commutative, car Vq est commutatif. Exercice 4 : Considérons dans K[X] les polynômes (X − 1)(0) = 1 et (X − 1)(n) = (X − 1)(X − q) . . . (X − q n−1 ), n ≥ 1. Démontrer que l’on a : 112 (n) (i) (X − 1) (k) · (X − 1) X = j [j]q !(q − 1) q j(j−1) 2 i+j=n+k (n+k) (ii) (X − 1) III - 3 : =q nk n k (X − 1)(i) j q j q (X − 1)(n) (q −n X − 1)(k) Calcul ombral p-adique Rappelons que W (ZZp , K) est la sous-algèbre de Banach unitaire de L(C(ZZp , K)) formée des éléments u de L(C(ZZp , K)) tels que u ◦ τs = τs ◦ u, ∀s ∈ ZZp . Puisque 1 est un générateur topologique du groupe additif ZZp , dire que u ∈ W (ZZp , K) équivaut à dire que u ◦ τ1 = τ1 ◦ u. Supposons Q l p ⊆ K. X On a vu que W (ZZp , K) ' M (ZZp , K) ' K < X >, où K < X >= {S = bn X n ∈ n≥0 K[[X]] / kSk = sup |an | < +∞} (Théorème 2.1.2). Tout u ∈ W (ZZp , K) s’écrit sous n≥0 forme de série simplement convergente u = X bn ∆n , où bn = u(Bn )(0) et kuk = sup |bn |. n≥0 n≥0 Rappelons que les Bn (s) = s(s − 1) . . . (s − n + 1) sont les polynômes binomiaux. n! Proposition 3.1 : Q l p ⊆ K. X Soit u = bn ∆n ∈ W (ZZp , K) n≥0 (i) u est inversible si et seulement si kuk = |b0 | = 6 0 (ii) u et isométrique bijective si et seulement si kuk = |b0 | = 1 Démonstration : Soit Λ l’anneau des entiers de K. Soit u ∈ W (ZZp , K) ; alors kuk = sup |bn | ≤ 1 si n≥0 et seulement si u ∈ Λ[[∆]] ' Λ[[X]]. Il vient que u = X bn ∆n ∈ Λ[[∆]] est inversible si n≥0 et seulement si b0 est inversible dans Λ (i) • Supposons kuk = sup |bn | = |b0 | 6= 0. Alors |bn | ≤ |b0 |, ∀n ≥ 0 et |bn b−1 0 | ≤ 1, ∀n ≥ 0. n≥0 Il vient que b−1 0 u = 1+ X βn ∆n ∈ Λ[[∆]] est inversible dans Λ[[∆]]. On en déduit n≥1 que u est inversible dans W (ZZp K). 113 • Réciproquement, si u = X bn ∆n ∈ W (ZZp , K) est inversible, il existe v = n≥0 X Il vient que b0 d0 = 1 et X n≥0 n X d n ∆n ∈ n≥0 W (ZZp , K) tel que id = u◦v = X bi d j ∆ n = b0 d 0 + i+j=n X X n≥1 i+j=n bn−j dj = 0, ∀n ≥ 1, i.e b0 d0 = 1 et bn = −b0 j=0 bi d j ∆ n . n X bn−j dj . j=1 Puisque kuk = sup |bn |, kvk = sup |dn | et ku ◦ vk = kukkvk (la norme est multiplican≥0 n≥0 n X tive), on a |bi ||dj | ≤ kukkvk = ku ◦ vk = 1, ∀i, j ≥ 0. Ainsi |bn | = |b0 | bn−j dj ≤ j=1 |b0 | max |bn−j ||dj | ≤ |b0 |kukkvk = |b0 |ku ◦ vk = |b0 |. D’où |bn | ≤ |b0 |, ∀n ≥ 0 et 1≤j≤n kuk = sup |bn | = |b0 |. n≥0 (ii) • Supposons u = X bn ∆n isométrique bijective, on déduit de (i) que kuk = 1 = |b0 |. n≥0 • Réciproquement, si kuk = 1 = |b0 |, u est inversible d’inverse u−1 = b−1 0 id+ X d n ∆n n≥1 tel que ku−1 k = |b−1 0 | = 1. Soit f ∈ C(ZZp , K), on a kf k = ku−1 ◦ u(f )k ≤ ku−1 kku(f )k = ku(f )k ≤ kukkf k ≤ kf k. Il vient que ku(f )k = kf k, i.e. u isométrique (et bijective). Remarque 3.2 : Soient u ∈ W (ZZp , K) et S ∈ K < X >, on déduit du Corollaire 1.8 que t t u(S) = t S · θ1 (u). Alors si u 6= 0, u(S) = 0 ⇐⇒ S = 0. Ainsi u est injective. On démontre à partir de là que tout u ∈ W (ZZp , K), u 6= 0 est un opérateur surjectif. Ainsi , u ∈ W (ZZp , K), u 6= 0 est bijectif ⇐⇒ u injectif . Définition : On dit que la suite (qn )n≥0 ⊂ K[X] est une suite de polynômes de type binomial si : (i) q0 = 1, (ii) d◦ qn = n, n ≥ 1 X (iii) qn (X + Y ) = qi (X)qj (Y ), n ≥ 0, dans K[X, Y ]. i+j=n Dans cette définition K est un corps quelconque. 114 Exemple : Supposons K de caractéristique 0. Soient B0 (X) = 1, Bn (X) = X(X − 1) . . . (X − n + 1) = n! X n les polynômes binomiaux ; alors (Bn )n≥0 est de type binomial . Lemme 3.3 : Soit (qn )n≥0 ⊂ K[X] une suite de polynômes de type binomial. Alors (1) qn (0) = 0, n ≥ 1 (2) (qn )n≥0 est une base du K-espace vectoriel K[X] (3) Posant pour α ∈ K et q ∈ K[X], τα q(X) = q(X + α), on a τα qn = n X qn−j (α)qj . j=0 Démonstration : (3) est une conséquense immédiate de la définition - (iii). On a q1 (X + Y ) = q1 (X) + q1 (Y ); ainsi q1 (X) = q1 (X) + q1 (0), d’où q1 (0) = 0 Supposons par hypothèse de récurrence que q1 (0) = . . . = qn−1 (0) = 0. Puisque qn (X + Y ) = qn (X) + n−1 X qn−j (X)qj (Y ) + qn (Y ), on a qn (X) = qn (X) + j=1 n−1 X qn−j (X)qj (0) + qn (0) = qn (X) + qn (0). D’où qn (0) = 0. j=1 • Supposons α0 q0 + α1 q1 + . . . + αn qn = 0. Si on avait αn 6= 0, on aurait qn = −αn−1 n−1 X αj qj avec d◦ qn = n = d◦ (−αn−1 j=0 n−1 X αj qj ) ≤ n − 1. Ce qui est absurde. j=0 Ainsi αn = 0 et α0 q0 + . . . αn−1 qn−1 = 0, d’où αn−1 = 0 et de proche en proche αn = αn−1 = . . . = α1 = α0 = 0. En conclusion (qn )n≥0 est libre. Considérons Em = {q ∈ K[X] / d◦ q ≤ m}; Em est un sous-espace vectoriel de K[X] de dimension finie dim Em = m + 1 et contient la famille libre à m + 1 éléments (qn )0≤n≤m . Ainsi [ (qn )0≤n≤m est une base de Em . Mais K[X] = Em , il vient que (qn )n≥0 est une base m≥0 de K[X]. Exercice 5 : ZZp ⊆ K. X Soit u = bj ∆j ∈ W (ZZp , K) tel que b1 6= 0. Il existe une suite de polynômes j≥1 unique (qn )n≥0 telle que d◦ qn = n, n ≥ 0; q0 = 1, qn (0) = 0, n ≥ 1 et u(qn ) = qn−1 . 115 De plus (qn )n≥0 est de type binomial. Démonstration : Par récurrence • Déterminons q1 = α1 B1 + α0 B0 satisfaisant aux conditions de l’exercice : q1 (0) = X α0 = 0 et u(q1 ) = q0 = α1 u(B1 ) = α1 bj ∆j (Bj ) = α1 b1 B0 = α1 b1 . D’où j≥1 α1 = b−1 1 • Supposons par hypothèse de récurrence avoir déterminé q0 , q1 , . . . , qn−1 satisfaisant aux conditions de l’exercice. Puisque d◦ qj = j, 0 ≤ j ≤ n − 1, et d◦ Bn = n, (qj )0≤j≤n−1 ∪ {Bn } est une base du K -espace vectoriel En = {q ∈ K[X] / d◦ q ≤ n}. Alors qn ∈ En s’écrit de façon unique qn = αnn Bn + n−1 X αnj qj . Mais qn (0) = j=0 0 = αnn Bn (0) + n−1 X αnj qj (0) + αn0 = αn0 . Ainsi qn = αnn Bn + j=1 n−1 X αnj qj−1 . Puisque u(Bn ) = j=0 X bj Bn−j = bj Bn−j = et u(Bn ) = n−1 X n−1 X X bj ∆j (Bn ) = j≥1 bn−j Bj avec b1 Bn−1 6= 0, on a d◦ u(Bn ) = n − 1 j=0 j=1 j≥1 αnj qj et j=1 u(qn ) = qn−1 = αnn u(Bn ) + n X n−1 X βnj qj avec βn,n−1 6= 0. D’où qn−1 = u(qn ) = j=0 = αnn n−1 X βnj qj + j=0 = n−2 X n−1 X αnj qj−1 = αnn j=1 n−1 X βnj qj + j=0 n−2 X αn,j+1 qj = j=0 (αnn βnj + αn,j+1 )qj + αnn βn,n−1 qn−1 . j=0 On en déduit que αnn βn,n−1 = 1 et αnn βnj + αn,j+1 = 0, 0 ≤ j ≤ n − 1, c’est-à-dire −1 αnn = βn,n−1 et αnj = −αnn βn,j−1 , 1 ≤ j ≤ n − 1. • Puisque u(qn ) = qn−1 , on a pour ` ≥ 0, u` (qn ) = qn−` , avec la convention qn−` = 0, ◦ si n < `. Considérons q ∈ K[X] tel que d q = n. On a q = n X cj qj et u` (q) = j=0 n X j=0 cj u` (qj ) = n X j=0 cj qj−` = n X j=` cj qj−` et u` (q)(0) = c` + n X j=`+1 cj qj−` (0) = c` . 116 Il vient que q = n X uj (q)(0)qj . j=0 Soit α ∈ ZZp , on a τα q = n X j u (τα q)(0)qj = j=0 c’est-à-dire : q(x + α) = n X n X j τα ◦ u (q)(0)qj = j=0 n X uj (q)(α)qj ; j=0 uj (q)(α)qj (x). j=0 En particulier qn (x+α) = n X j u (qn )(α)qj (x) = j=0 n X n X qn−j (α)qj (x) = j=0 qi (α)qj (x), ∀α, x ∈ i+j=n ZZp et donc (qn )n≥0 est une suite de polynômes de type binomial. Proposition 3.4. Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. X Considérons u = bn ∆n ∈ W (ZZp , K) tel que kuk = |b1 | = 1. n≥1 Alors, il existe une suite unique de polynômes (qn )n≥0 telle que (ii) d◦ qn = n, qn (0) = 0 pour n ≥ 0 et (i) q0 = 1 , (iii) u(qn ) = qn−1 , n ≥ 0 où q−1 = 0. De plus (qn )n≥0 est une suite de polynômes de type binomial, appelée la suite de polynômes basique de u, telle que kqn k = 1, n ≥ 0. Démonstration. (a) Supposons qu’il existe une suite de polynômes (qn )n≥0 vérifiant les conditions (i) , (ii) et (iii). Alors d’une part, pour n ≥ 0, (qj )0≤j≤n est une base du K-espace vectoriel En = {q ∈ K[X] / d◦ q ≤ n}. D’autre part, pour j, ` ≥ 0 , on a u` (qj ) = qj−` , si ` ≤ j et u` (qj ) = 0, si j < `. Si donc q = n X j=0 cj qj , on a u` (q) = n X cj qj−` pour j=0 ` ≤ n ( et u` (q) = 0 si ` ≥ n + 1). Puisque qj (0) = 0, j ≥ 1, on a u` (q)(0) = c` , c’est-à-dire n X uj (q)(0)qj q= (1) j=0 Si qn1 n≥0 est une autre suite de polynômes qui satisfait aux conditions (i) , (ii) et (iii), on a qn1 = n X j=0 suite (qn )n≥0 . uj (qn1 )(0)qj = n X j=0 1 qn−j (0)qj = q01 (0)qn = qn . D’où l’unicité de la 117 Soit α ∈ ZZp , si q est un polynôme de degré n, τα q est un polynôme de degré n. On a τα q = n X uj (τα q)(0)qj = j=0 n X τα ◦ uj (q)(0)qj = j=0 q(s + α) = n X n X uj (q)(α)qj , c’est-à-dire j=0 qj (s)uj q(α), s, α ∈ ZZp . (2) j=0 En particulier qn (s + α) = n X qj (s)uj (qn )(α) = j=0 n X qj (s)qn−j (α), x, α ∈ ZZp . Il vient j=0 que (qn )n≥0 est une suite de polynômes de type binomial. X X X (b) Posons u = ∆P , on a P = bn+1 ∆n . Considérons u0 = nbn ∆n−1 = (n + n≥0 n≥1 n≥0 n 1)bn+1 ∆ (dérivation de W (ZZp , K) induite par celle de K < T >. Il est clair que kP k = |b1 | = ku0 k. Comme |b1 | = 1, on déduit de la Proposition 3.1 que P et u0 sont des isométries bijectives. Considérons la suite de polynômes définie par qn = u0 ◦ P −n−1 (Bn ), n ≥ 0 , où s Bn (s) = . Puisque u0 et P −n−1 sont isométriques, on a kqn k = kBn k = 1, n ≥ n 0. Sachant que ∆Bn = Bn−1 et u = ∆P , on a u(qn ) = u ◦ u0 ◦ P −n−1 (Bn ) = u0 ◦ P −n ◦ ∆(Bn ) = u0 ◦ P −n (Bn−1 ) = qn−1 . X X Posons P −n = αnj ∆j et u0 ◦ P −n−1 = dnj ∆j . Puisque u0 = (∆P )0 = ∆0 P + j≥0 j≥0 ∆P 0 = P + ∆P 0 , on obtient u0 ◦ P −n−1 = P −n + ∆P 0 P −n−1 = P −n − 1 ∆(P −n )0 = n 1X (n − j)αnj ∆j . Ainsi dnj = (1 − nj )αnj , avec dn0 = αn0 6= 0 et dnn = 0. n j≥0 Comme ∆j Bn = Bn−j , si j ≤ n et ∆j Bn = 0, si j ≥ n + 1, on a qn = u0 ◦ P −n−1 (Bn ) = X dnj ∆j Bn = n X j=0 j≥0 ◦ dnj Bn−j = dn0 Bn + n−1 X dnj Bn−j . D’où l’on j=1 ◦ déduit, d’une part que d qn = d Bn = n, avec kqn k = 1 et d’autre part que qn (0) = 0, n ≥ 1. u t N.B: Le fait que d◦ qn = n , peut aussi se démontrer comme suit : Comme u0 ◦ P −n−1 = X j≥0 dnj ∆j , avec dn,0 = b−n 6= et |dn,0 | = 1, l’opérateur 1 118 u0 ◦ P −n−1 est inversible d’inverse u0−1 ◦ P n+1 = X γnj ∆j , avec γn,0 = bn1 6= 0. On a j≥0 0 qn = u ◦ P −n−1 (Bn ) si et seulement si Bn = u Comme qn = X j dnj ∆ (Bn ) = n−1 X ◦ P n+1 (qn ). dnj Bn−j , on a d◦ qn ≤ n. Si on avait d◦ qn < n, j=0 j≥0 on aurait qn = n X 0−1 an` B` et on aurait Bn = u0−1 ◦ P n+1 (qn ) = `=0 n X `=0 an` ` X γnj B`−j = j=0 n−1 X `=0 n−1 X n−1 X j=0 an` X γnj ∆j B` = j≥0 an` γn,`−j Bj . On aurait donc d◦ Bn = n ≤ n − 1, ce `=j qui est absurde. Il vient que d◦ qn = n. N.B: Ce raisonnement montre que tout élément inversible de W (ZZp , K) transforme tout polynôme en un polynôme de même degré. Théorème 3.5 : Bases de van Hamme Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. X Considérons u = bn ∆n ∈ W (ZZp , K) tel que kuk = |b1 | = 1. n≥1 Alors, la suite de polynômes basique (qn )n≥0 de u est une base orthonormale de C(ZZp , K). On a pour f ∈ C(ZZp , K), f = X un (f )(0)qn et kf k = sup |un (f )(0)|. n≥0 n≥0 Démonstration : Rappelons que si q est un polynôme, on a m X q = un (q)(0)qn où m = d◦ q. Puisque kqn k = 1, on a kqk ≤ max |un (q)(0)| 0≤n≤m n=0 et puisque kuk = 1, on a |un (q)(0)| ≤ kun (q)k ≤ kqk et max |un (q)(0)| ≤ kqk. Ainsi 0≤n≤m n kqk = max |u (q)(0)|. Il vient que (qn )n≥0 est une famille orthonormale de C(ZZp , K). 0≤n≤m Sachant que (qn )n≥0 est une base de l’espace vectoriel K[x] des fonctions polynômes et que K[x] est dense dans C(ZZp , K), on voit que (qn )n≤0 est une base orthonormale de X C(ZZp , K). Alors si f ∈ C(ZZp , K), on a f = an qn , lim an = 0 et kf k = sup |an |. n≥0 n→+∞ n≥0 Rappelons que pour ` ≥ 0, n ≥ 0, on a u` (qn ) = qn−` , si ` ≤ n et u` qn = 0, si X X an+` qn . Puisque qn (0) = 0, pour n ≥ 0, on n < `. Alors u` (f ) = an qn−` = a` + n≥` n≥1 119 X a u` (f )(0) = a` . Il vient que f = un (f )(0)qn , avec kf k = sup |un (f )(0)|. u t n≥0 n≥0 Remarque 3.6 : (i) Avec les notations du Théorème 3.5, posant u = ∆P , on a P isométrique et kun (f )k = kP n ◦ ∆n (f )k = k∆n (f )k, d’où lim kun (f )k = 0. Ainsi, la série n→+∞ X g = un (f )(0)qn converge dans C(ZZp , K). Puisque u ◦ τs = τs ◦ u, on a τs g = n≥0 X un (τs f )(0)qn = n≥0 X un (f )(s)qn et g(s) = τs g(0) = f (s). D’où une démonstration n≥0 du Théorème 3.5, sans référence au Théorème de Weierstrass - Kaplansky. Corollaire 3.7 : X Soit u = bn ∆n ∈ W (ZZp , K) tel que kuk = |b1 | = 1 et soit (qn )n≥0 la suite de n≥1 polynômes basique de u. Tout élément T de W (ZZp , K) s’écrit de façon unique sous forme de série simplement X convergente T = αn un avec αn = T (qn )(0) et kT k = sup |T (qn )(0)| n≥0 n≥0 Démonstration : Puisque (qn )n≥0 est une base orthonormale de C(ZZp , K) , avec les notations du X X Théorème 1.13, on a τs (f ) = An (f )(s)qn et T = T (qn )(0)An (convergence simn≥0 ple). Comme ici, τs (f ) = X un (τs f )(0)qn = n≥0 T = X n≥0 X un (f )(s)qn , on a An = un . D’où n≥0 T (qn )(0)un , avec kT k = sup |T (qn )(0)|. n≥0 n≥0 N.B. : (i) Bien entendu, on peut vérifier directement le Corollaire 3.7 en remarquant que T ◦ X τs (f ) = τs ◦ T (f ) = un (f )(s)T (qn ). n≥0 (ii) Considérons T = X n≥0 cn ∆n . Posons T t uu = X cn un (substitution dans les séries n≥0 formelles). On sait qu’il existe u1 unique tel que u1 t uu = ∆ = X n≥1 résultat classique sur la substution dans les séries formelles. dn un : c’est un 120 Alors il existe T1 = X βn ∆n unique tel que T = T1 t uu = n≥0 αn = n X j=0 X cj X αn un , où α0 = c0 et n≥0 di1 . . . dij , lorsque n ≥ 1. u t i1 +...+ij =n Soit U ∈ L(C(ZZp , K)) bijective. Corollaire 3.8 : Posons pn = U (qn ), n ≥ 0. Alors (pn )n≥0 est une base α-orthogonale de C(ZZp , K) où α= X 1 . On a pour f ∈ C(Z Z , K), f = un ◦ U −1 (f )(0)pn . p kU kkU −1 k n≥0 Si de plus U ∈ W (ZZp , K), alors pn = U (qn ) est un polynôme et f = X U −1 ◦ n≥0 n u (f )(0)pn . Démonstration : En effet, puisque f = X un (f )(0)qn , on a U (f ) = n≥0 X un (f )(0)pn et f = U (U −1 (f )) = n≥0 X X un (f )(0)U (qn ) = n≥0 un (U −1 (f ))(0)pn . n≥0 Posons g = U −1 (f ), comme f = X bn pn , on a g = n≥0 X n≥0 bn qn et kgk = sup |bn | = n≥0 kU −1 (f )k ≤ kU −1 kkf k. D’autre part |bn |kpn k = |bn |kU (qn )k ≤ |bn |kU kkqn k = kU k|bn |. Ainsi kU k−1 |bn |kpn k ≤ |bn | et kU k−1 sup |bn |kpn k ≤ sup |bn | = kgk ≤ kU −1 kkf k. Il vient que kU −1 k−1 kU k−1 sup |bn |kpn k ≤ n≥0 n≥0 n≥0 kf k avec kf k ≤ sup |bn |kpn k, c’est-à-dire que (pn )n≥0 est une base α−orthogonale, où n≥0 α = kU −1 k−1 kU k−1 . Si de plus U ∈ W (ZZp , K), on a U = X cj ∆j avec kU k = |c0 | 6= 0. Soit U −1 = j≥0 X dj ∆j l’inverse de U , on a d0 = c−1 et kU −1 k = |d0 | = |c−1 6 0. Puisque qn = 0 0 | = j≥0 n X `=0 ◦ an` B` , avec d qn = n, on a pn = U (qn ) = n X `=0 an` ` X c` B`−j et pn est un polynôme j=0 de degré ≤ n. Si on avait d◦ pn ≤ n − 1, on aurait pn = n−1 X k=0 αnk Bk et qn = U −1 (pn ) = 121 n−1 X αnk k X dj Bk−j serait un polynôme de degré ≤ n − 1. Ce qui est absurde. En j=0 k=0 conclusion d◦ pn = d◦ qn = n. Exemple : α Soit α ∈ ZZp , on a τα = (id + ∆) = Xα n≥0 Alors pn = τα (qn ) = n X j=0 α j ∆j qn et f = n X j=0 s+α n et f (s) = X ∆n f (−α) n≥0 ∆n et τα−1 = τ−α . un f (−α)pn . n≥0 Si u = ∆, on a qn = Bn , pn (s) = X n α j n X s α s ∆ = = n j n−j j j=0 s+α . n Exercice 6: Soit u = id − τ−1 = ∆ ◦ τ−1 . (i) Démontrer que u0 = τ−2 = (id + ∆)−2 = X (−1)j (j + 1)∆j . j≥0 (ii) Démontrer que la suite de polynômes basique (qn )n≥0 de u est donnée par qn = X X n+1 = τn+1 ◦ u0 (Bn ) = (−1)j (j + 1) Bm . ` k+m=n `+j=k On a la réciproque suivante du Théorème 3.5. Théorème 3.9 : Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. Soit (qn )n≥0 une suite de polynômes de type binomial qui est une base orthonormale de C(ZZp , K). Alors, il existe u ∈ W (ZZp , K) unique telle que X (i) u(qn ) = qn−1 où q−1 = 0 (ii) u = bn ∆n et kuk = |b1 | = 1. n≥1 Démonstration : Soit f ∈ C(ZZp , K) on a f = X n≥0 u(f ) = X n≥1 an qn−1 = X n≥0 an qn avec kf k = sup |an |. Posons n≥0 an+1 qn . On vérifie aussitôt que u est linéaire continue telle que 122 ku(f )k = sup |an | ≤ kf k. De plus, on a u(q0 ) = 0, u(qn ) = qn−1 et ku(qn )k = 1, n ≥ 1. n≥1 Soient x, α ∈ ZZp , on a τα ◦u(qn )(s) = τα qn−1 (s) = qn−1 (s+α) = n−1 X qi (s)qn−i−1 (α) = i=0 n−1 X qi (s)u(qn−i )(α) = i=0 n X qi (s)u(qn−i )(α) = u i=0 n X ! qi (s)qn−i (α) = u(qn (s + α)) = i=0 u ◦ τα (qn )(s). Il vient que τα ◦ u = u ◦ τα et u ∈ W (ZZp , K). X Posant u = bn ∆n , puisque ∆n (q0 ) = 0, n ≥ 1, on obtient 0 = u(q0 ) = b0 q0 + n≥0 X bn ∆n q0 = b0 . D’autre part, on a q1 = αB1 avec 1 = kq1 k = |α|. Mais ∆(q1 ) = n≥1 α∆B1 = αq0 et ∆n (q1 ) = 0, n ≥ 2. Ainsi u(q1 ) = q0 = b1 ∆(q1 ) + X bn ∆n (q1 ) = αb1 q0 n≥2 . Il vient que αb1 = 1 et |1| = |α||b1 | = |b1 |. Puisque kuk = sup |bn | ≤ 1, on a n≥1 kuk = |b1 | = 1 Scholie : u t Soit u = X bn ∆n ∈ W (ZZp , K) tel que kuk = |b1 | = 1. n≥1 On définit une représentation linéaire continue de ZZp dans C(ZZp , K) en posant pour Xs s ∈ ZZp et f ∈ C(ZZp , K), ρs (f ) = un (f ). n n≥0 La représentation linéaire ρs est équivalente à la représentation régulière τs si et seulement si il existe v ∈ L(C(ZZp , K)) bijective telle que u = v ◦ ∆ ◦ v −1 . Exemples Exemple 1 : Considérons pour α ∈ ZZp , u eα = τα −id = α∆+ Xα j≥2 j ∆j . L’opérateur u eα vérifie la condition du Théorème 3.5 si et seulement si |α| = 1. X α X α j −1 e e On a u eα = ∆Pα , où Pα = ∆ = α(id+α Rα ), avec Rα = ∆j . j+1 j+1 j≥0 Ainsi Peα−n−1 = α−n−1 (id + α−1 Rα )−n−1 = α−n−1 j≥1 X `≥0 −n − 1 ` −` α−` Rα = 123 =α −n−1 ` P `≥0 (−1) n+` ` α −` ` Rα . On voit que ` Rα s = 0, lorsque ` ≥ n + 1 n et ` Rα s s + `α s + (` − 1)α s + (` − 1)α = −` − α` lorsque ` ≤ n. n n+` n+` n+`−1 D’autre part u e0α = τα0 = ατα−1 . On en déduit : s s qn (x) = u e0α ◦ Peα−n−1 = ατα−1 ◦ Peα−n−1 = n n n X s + (` + 1)α − 1 n+` −` ` −n − α = α (−1) ` n+` `=0 X n+` s + `α − 1 ` −` −n − α (−1) ` α − ` n+` `=0 n X n+` s + `α − 1 ` −`+1 −n α . − α (−1) ` n+`−1 ` `=0 Exemple 2 : Lemme 3.10 : Soit u = X bn ∆n ∈ W (ZZp , K) tel que kuk = |b1 | = 1 et soit (qn )n≥0 n≥1 la suite de polynômes basique de u. s s On a qn (s) = τ1−1 ◦ u0−1 ◦ qn−1 (s) = τ1−1 ◦ P −n n n X s , où P = bn+1 ∆n . n−1 n≥0 Démonstration : Rappelons que pour s, t ∈ ZZp et f ∈ C(ZZp , K) , on a τs f (t) = f (s + t) = X X un (f )(s)qn (t) = τt f (s) . Ainsi, on a τt f = qn (t)un (f ) et donc pour s ∈ ZZp n≥0 n≥0 fixé, on a τs = X qn (s)un . n≥0 s D’autre part, puisque τs = (id + ∆) = Xs n≥0 = X nqn (s)u0 ◦ un−1 = n≥0 X n ∆n , on obtient (τs )0 = sτs−1 = (n + 1)qn+1 (s)u0 ◦ un . Comme τs = n≥0 τ1 ◦ (τs )0 , on en s déduit aussitôt: qn+1 (s) τ1 ◦ u0 ◦ un f (t) = τt f (s). (3) s n≥0 X X Considérons g = τ1 ◦u0 (f ). On a g(s) = un (g)(0)qn (s) = τ1 ◦u0 ◦un (f )(0)qn (s); τs f (t) = X (n + 1) n≥0 n≥0 124 d’où f (s) = τ1−1 ◦u0−1 (g)(s) = X τ1 ◦u0 ◦un (f )(0)τ1−1 ◦u0−1 (qn )(s). Puisque τ1 ◦u0 ◦un ◦ n≥0 τt = τt ◦ τ1 ◦ u0 ◦ un , n ≥ 0, on obtient τt f (s) = X τ1 ◦ u0 ◦ un (τt f )(0)τ1−1 ◦ u0−1 (qn )(s) = n≥0 = X τ1−1 ◦ u0−1 (qn )(s)τ1 ◦ u0 ◦ un (f )(t); c’est-à-dire : n≥0 τt f (s) = X τ1−1 ◦ u0−1 (qn )(s)τ1 ◦ u0 ◦ un (f )(t). (4) n≥0 On déduit aussitôt de (3) et (4) que pour s ∈ ZZp fixé, on a dans W (ZZp , K), X X qn+1 (s) (n + 1) τ1 ◦ u 0 ◦ u n = τ1−1 ◦ u0−1 (qn )(s)τ1 ◦ u0 ◦ un s n≥0 et donc n≥0 X n≥0 (n + 1) qn+1 (s) n X −1 u = τ1 ◦ u0−1 (qn )(s)un . Il vient que s n≥0 qn+1 (s) = τ1−1 ◦ u0−1 (qn )(s), n ≥ 0, ou encore s s qn (s) = τ1−1 ◦ u0−1 (qn−1 )(s), n ≥ 1. Puisque n s −1 s s 0 −n −n qn−1 (x) = u ◦ P , n ≥ 1. t u , on a aussi qn (s) = τ1 ◦ P n−1 n−1 n (n + 1) Exercice 7: X n 1 ) Démontrer que pour f, g ∈ C(ZZp , K) , on a ∆ (f g) = τ1i ◦∆j (f )∆i (g), n ≥ i ◦ n i+j=n 0. En déduire que ∆n (B1 f ) = (B1 · ∆n )(f ) + nτ1 ◦ ∆n−1 (f ). X De plus, on a pour tout u = bn ∆n ∈ W (ZZp , K) n≥0 u · B1 = B1 · u + τ1 ◦ u0 où u0 = X nbn ∆n−1 . n≥1 ◦ 2 ) Considérant R ∈ W (ZZp , K) et u = τ1 ◦ R ◦ ∆, montrer que B1 · τ−1 ◦ R ◦ ∆ = τ−1 ◦ R ◦ (B1 · ∆ + ∆) − R0 ◦ ∆. 3◦ ) Vérifier que B1 · Bn = (n + 1)Bn+1 + nBn et aussi que τ1 (Bn ) = Bn + Bn+1 : ou encore τ−1 (Bn ) + τ−1 (Bn+1 ) = Bn . 1 1 4◦ ) a) Avec les notations du 2◦ ), montrer que (R− R0 ◦∆)(Bn ) = B1 ·(τ−1 ◦R◦∆)(Bn ). n n 1 0 B1 Alors posant pn = (R − R ◦ ∆)(Bn ), on a pn = · τ−1 ◦ R(Bn−1 ). n n 125 b) Soit u = ∆ ◦ P satisfaisant aux conditions du Lemme 3.8. Montrer que u0 ◦ 1 P −n−1 = P −n − ∆ ◦ (P −n )0 . n B1 ·τ−1 ◦Q−1 (qn−1 ). Posant R = P −n , déduire de 4◦ ),a) que qn = u0 ◦P −n−1 (Bn ) = n (D’où une autre démonstration du Lemme 3.10. ) Proposition 3.11 : Soit u = X bn ∆n = ∆ ◦ P ∈ W (ZZp K) tel que kuk = |b1 | = 1 et n≥1 X s 0 −n−1 soit qn (s) = u ◦ P . Posons pour α ∈ ZZp , uα = u ◦ τα = ∆ ◦ Pα = bα,n ∆n . n n≥1 qn (s − nα) s Alors bα,1 = b1 , kuα k = |bα,1 | = 1 et qα,n (s) = u0α ◦ Pα−n−1 =s . n s − nα Démonstration : En effet, on a d’une part Pα = P ◦τα et u0α = u0 ◦τα +u◦τα0 = u0 ◦τα +αu◦τα−1 . Ainsi, s s on obtient qα,n (x) = u0α ◦ Pα−n−1 = (u0 ◦ τα + αu ◦ τα−1 ) ◦ P −n−1 ◦ τα−n−1 = n n s − nα − α s − nα − α 0 −n−1 −n−1 u ◦ τα ◦ P + αu ◦ τα−1 ◦ P = n n s − nα s − nα 0 −n−1 −n−1 = u ◦P + αu ◦ τ−1 ◦ P = qn (s − nα) + αu ◦ τ−1 ◦ n n s − nα −n−1 P . n s − nα s − nα −1 −n−1 0−1 0 −n−1 Mais u ◦ τ−1 ◦ P = τ1 ◦ u ◦u◦u ◦P = τ1−1 ◦ n n n qn (s − nα). u0−1 ◦ u(qn )(s − nα) = τ1−1 ◦ u0−1 (qn−1 )(s − nα) = s − nα nα qn (s − nα) Il vient que qα,n (s) = qn (s − nα) + qn (s − nα) = s u t s − nα s − nα Corollaire 3.12 : Soit f ∈ C(ZZp , K) et soit α ∈ ZZp . X s On a f (s) = un (f )(nα) qn (s − nα). s − nα n≥0 Remarque 3.13 : s Soit α ∈ ZZp . Rappelons que qn (s) = τ1−1 ◦ P −n n n s . On a qn (s) = n−1 s 126 −1 −n = τ1 ◦ P qn (s − nα) 1 s s = = 1. Ainsi s − nα = |n| et n−1 n−1 n n n n n u (f )(nα) qn (s − nα) = |u (f )(nα)| ≤ ku f k = k∆ f k . Alors, si lim k∆ f k = n→+∞ s − nα |n| |n| |n| |n| X qn (s − nα) f (s) − f (0) converge uniformément dans C(ZZp , K) vers . 0 , la série un (f )(nα) s − nα s n≥1 Si de plus f est localement constante, on obtient X un (f )(nα) n≥1 qn (−nα) = 0. nα u t Cas où u = ∆. s Dans ce cas qn (s) = ,n ≥ 0 . n s s − nα Soit α ∈ ZZp , pour uα = ∆ ◦ τα , on a qα,n (s) = . n s − nα nα s − nα s − nα s − nα s − nα − 1 D’où qα,n (s) = + = +α , n n n n−1 s − nα t t−1 s − nα s − nα − 1 s − nα − 1 t car = , n ≥ 1. On a aussi qα,n (s) = +α = n n−1 n−1 n n−1 n s s − nα − 1 . n−1 n En résumé : s n qα,n (s) = s s − nα s − nα n = s − nα n +α s − nα − 1 n−1 = s − nα − 1 . n−1 s s−n (a) Pour α = 1, on a u1 = ∆ ◦ τ1 = ∆ + ∆ . Ainsi q1,n (s) = = n s−n s s−n−1 s−n s−n−1 + = . n n−1 n−1 n X n+j −n−1 j 0 −n−1 −n−1 Aussi, puisque u1 = id+2∆ et P = τ1 = (id+∆) = (−1) ∆j , j j≥0 X n+j s j j on obtient q1,n (s) = (id + 2∆) (−1) ∆ = j n 2 j≥0 n X n+j s = = (id + 2∆) (−1)j j n−j j=0 127 n n X X n+j s n+j s j j = (−1) +2 (−1) = j n−j j n−j−1 j=0 j=0 X n s n+j n+j−1 s j = + (−1) −2 = n j j−1 n−j j=1 X X n n 2j s n+j s x n+j j jn−j = (−1) . = + (−1) 1− n−j j n−j n j n + j n + j j=0 j=1 D’où l’identité n X n+j s s−n s−n−1 jn−j = + . (−1) j n−j n n−1 n+j j=0 (b) Pour α = −1, on a u−1 = ∆◦τ−1 = X (−1)j ∆j+1 . Ainsi q−1,n (s) = j≥0 s+n n s+n+1 . n Aussi, puisque u0−1 = X −n−1 (−1)j (j + 1)∆j et P −n−1 = τ−1 = τ1n+1 , on obtient j≥0 q−1,n (s) = u0−1 ◦ τ1n+1 X s s+n+1 (−1)j (j + 1)∆j = = n n j≥0 = s s−n (5) n X (−1)j (j + 1) j=0 s+n+1 . n−j D’où l’identité n X s+n+1 s+n−1 j (−1) (j + 1) = . n−j n j=0 (6) = 128 Chapitre IV ———— Interpolation p-adique IV - 1 : Sommes indéfinies Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. Rappelons que l’ensemble IN des entiers positifs est dense dans ZZp . Puisque ZZp est compact, considérant sur IN la topologie p-adique l’espace BCU(IN, K) des fonctions uniformément continues et bornées de IN à valeurs dans K s’identifie à l’espace C(ZZp , K) des fonctions continues de ZZp dans K. En d’autres termes toute fonction continue f : ZZp −→ K est déterminée de façon unique par les valeurs qu’elle prend sur IN. Définition : Une suite (an )n≥0 ⊂ K est dite une suite d’interpolation dans K, s’il existe une fonction continue f : ZZp −→ K telle que f (n) = an Exemple : Soit m ∈ IN, la suite des coefficients binômiaux fonction continue de ZZp dans ZZp définie par Bm (s) = s m = n m s’interpole en la s(s − 1) . . . (s − m + 1) . m! Cette suite de fonctions est la base de Mahler (Bm )m≥0 de C(ZZp , K). Une suite (an )n≥0 ⊂ K est une suite d’interpolation si et seulement si pour tout ε > 0 , il existe un entier positif mε tel que pour les entiers positifs n et k vérifiant |n − k| < p−mε , on a |an − ak | < ε. Il sera souvent plus économique d’utiliser le Lemme 1-1 : La suite (an )n≥0 ⊂ K est une suite d’interpolation si et seulement si pour tout ε > 0, il existe mε entier > 0 tel que si k est un entier positif et n = k + pmε , on a |an − ak | < ε. 129 Démonstration : L’implication dans un sens est claire. Réciproquement , si n, k ∈ IN, k ≤ n et |n − k| < p−mε , on a n = k + `pmε ; ainsi |an − ak | = ` X ak+jpmε − ak+(j−1)pmε ≤ max ak+jpmε − ak+(j−1)pmε < ε. = j=1 1≤j≤` N.B : Si (an )n≥0 ⊂ K est une suite d’interpolation, on écrit parfois pour s ∈ ZZp , f (s) = lim an . n→s n∈IN Remarque 1.2 : Soit (an )n≥0 une suite d’interpolation et soit f ∈ C(ZZp , K) telle que f (n) = an . Rappelons que l’on a le développement de f dans la base de Mahler X f= αj Bj , où j≥0 Bj (s) = s(s − 1) . . . (s − j + 1) , αj = ∆j f (0), ∆ étant l’opérateur aux différences j! défini par ∆f (s) = f (s + 1) − f (s) = τ1 f (s) − f (s), alors ∆ = τ1 − id. Ainsi an = n X X n n f (n) = αj si et seulement si αn = ∆n f (0) = (−1)i aj , car ∆n = j i j=0 i+j=n X n (−1)i τj . i i+j=n Exercice 1 : m p |p|m = Rappelons que si n est un entier ≥ 1 , alors , 1 ≤ j ≤ pm (Lemme j |j| I -4-11). m Soit a ∈ K tel que |a| < 1. Démontrer que pour n ≥ 1 , on a (1 + a)n+p − (1 + a)n = m X p m m p m−[ m j p[ 2 ] ] 2 a ≤ max |p| , |a| . j j=1 En déduire que ((1 + a)n )n≥0 est une suite d’interpolation. Xs n s De plus , ∀s ∈ ZZp , on a n→s lim (1 + a) = (1 + a) = an . n n∈IN n≥0 130 Soit f ∈ C(ZZp , K), on déduit aussitôt du théorème de Mahler qu’il exite F ∈ X X C(ZZp , K) telle que ∆F = f . En effet, considérons f = αj Bj et F = bj B j ∈ j≥0 C(ZZp , K), on a ∆F = X bj ∆Bj = j≥0 X bj Bj−1 = j≥1 seulement si bj+1 = αj , ∀j ≥ 0. Ainsi F = b0 + X j≥0 bj+1 Bj = f = j≥0 X X αj Bj si et j≥0 αj−1 Bj et F est unique si F (0) = 0. j≥1 Nous allons en donner une autre démonstration. Proposition 1.3 : Somme indéfinie. Soit f : ZZp −→ K une fonction continue. L’équation aux différences ∆F (s) = F (s + 1) − F (s) = f (s), s ∈ ZZp admet une solution continue (1) unique F : ZZp −→ K telle que F (0) = 0 De plus F (s) = n→s lim n−1 X f (j) que l’on écrit aussi Sf (s) = n∈IN j=0 s−1 X f (j), s ∈ ZZp . j=0 La fonction Sf est appelée la somme indéfinie de f . Démonstration : (i) Si F existe , on a F (n)−F (n−1) = f (n−1), n ≥ 1. Ainsi F (n) = n−1 X f (j)+F (0) = j=0 n−1 X f (j); d’où, par passage à la limite, l’unicité de F . j=0 (ii) Soit donc F : IN −→ K définie par F (0) = 0 et F (n) = n−1 X f (j), n ≥ 1. On a j=0 F (n + 1) − F (n) = f (n), n ≥ 0. Il suffit de montrer que (F (n))n≥0 est une suite d’interpolation. m Soit m un entier ≥ 1; on a F (n + p ) − F (n) = m n+p X−1 f (j). j=n Posons Im = [n , n + pm − 1], on a card(Im ) = pm , ainsi l’application canonique ϕm : ZZ −→ ZZ/ = Am induit une bijection de Im sur Am . [ Soit 1 ≤ k ≤ m, on déduit de la partition Am = (ν + pk Am ), la partition pm ZZ 0≤ν≤pk −1 Im = [ 0≤ν≤pk −1 Jν , où Jν = ϕ−1 (ν + pk Am ) = (ν + pk ZZ) T Im , 131 avec card(Jν ) = card(ν + pk Am ) = pm−k . m Alors F (n + p ) − F (n) = k pX −1 X f (j) = ν=0 j∈Jν k pX −1 X (f (j) − f (ν)) + ν=0 j∈Jν pm−k f (ν). ν=0 m k pX −1 m−k Il vient que |F (n + p ) − F (n)| ≤ max max max |f (j) − f (ν)| , |p| ν j∈Jν kf k où kf k = sup |f (s)|. s∈ZZp Posons k = hmi 2 On a d’une part, = partie entière de m . 2 lim |p|m−[ 2 ] = 0. m m→+∞ m m D’autre part, pour tout 0 ≤ ν ≤ p[ 2 ] − 1 et tout j ∈ Jν , on a |j − ν| ≤ |p|[ 2 ] . Comme ZZp est compact, f est uniformément continue : pour tout ε > 0, il existe ηε > 0 tel que |s − t| < ηε =⇒ |f (s) − f (t) < ε. Mais , il existe mε tel que ∀m ≥ mε , on m a |j − ν| ≤ |p|[ 2 ] < ηε , ainsi |f (j) − f (ν)| < ε et On obtient max |f (j) − f (ν)| < ε. max 0≤ν≤p[ ] m −1 2 j∈Jν lim |F (n+pm )−F (n)| = 0 et (F (n))n≥0 est une suite d’interpolation. m→+∞ Exemples : (1) S(Bn ) = Bn+1 , n≥0 s (2) Soient a ∈ K, 0 < |a| < 1 et fa (s) = (1 + a) = Xs n≥0 Sfa (s) = X n≥0 s n+1 n an , s ∈ ZZp . Alors an = a−1 ((1 + a)s − 1). Exercice 2 : (i) Démontrer que B1 · Bn = nBn + (n + 1)Bn+1 , n ≥ 0 (ii) Démontrer que S(B12 ) = B2 + 2B3 ; S(B13 ) = B2 + 6B3 + 6B4 . En déduire que n−1 n−1 X X n n n n n 2 3 j = +2 et j = +6 +6 . 2 3 2 3 4 j=1 j=1 Posons pour f ∈ C(ZZp , K) : σ(f ) = f (0)B0 et η(f )(s) = f (−s), s ∈ ZZp . 132 Proposition 1.4 L’application de somme indéfinie S : C(ZZp , K) −→ C(ZZp , K) est linéaire, continue isométrique. De plus (i) ∆ ◦ S = id et S ◦ ∆ = id − σ (ii) S ◦ τ1 ◦ η = −η ◦ S. Démonstration : On vérifie facilement que S est linéaire. Soit f = X αn Bn ∈ C(ZZp , K); on a n≥0 S(f ) = X αn Bn+1 . Ainsi, d’une part kS(f )k = sup |αn | = kf k. n≥0 n≥0 D’autre part, on a ∆ ◦ S(f ) = X αn ∆(Bn+1 ) = n≥0 de plus S ◦ ∆(f ) = S X αn Bn = f , i.e. ∆ ◦ S = id et n≥0 X n≥1 αn Bn−1 = X αn Bn = f − σ(f )B0 , i.e. S ◦ ∆ = id − σ. n≥1 On déduit de Sf (s + 1) = Sf (s) + f (s), par récurrence sur m , que Sf (s + m) = Sf (s) + m−1 X f (s + j), s ∈ ZZp . En particulier Sf (0) = Sf (−m) + m−1 X j=0 Sf (−m) + m X f (−m + j) = j=0 f (−j). Mais τ1 ◦ η(f )(s) = η(f )(s + 1) = f (−s − 1); d’où τ1 ◦ η(f )(j − 1) = j=1 f (−j). Comme Sf (0) = 0 , on a −Sf (−m) = −η(Sf )(m) = m X f (−j) = j=1 η(f )(j − 1) = m−1 X m X τ1 ◦ j=1 τ1 ◦ η(f )(j) = S(τ1 ◦ η(f ))(m). j=0 Par continuité, on obtient S(τ1 ◦ η(f ))(s) = −η(Sf )(s), ∀s ∈ ZZp . N.B. : Les opérateurs S et ∆ de C(ZZp , K) peuvent s’interpréter dans c0 (IN, K) comme les opérateurs de décalage à droite et à gauche (shift et anti-shift ) : (α0 , · · · , αn , · · · · · ·) −→ (0, α0 , · · · , αn , · · · · · ·) et (α0 , · · · , αn , · · · · · ·) −→ (α1 , · · · , αn , · · · · · ·). t u 133 Exercice 3 : X Soient f, g : IN −→ K . On pose f g(0) = 0, f g(m) = f (i)g(j), m ≥ 1. i+j=m−1 1◦ ) (a) Démontrer que ∆(f g) = f (0)g + ∆f g et par récurrence que l’on a X ∆i f (0)∆j g + (∆n f ) g. ∆n (f g) = i+j=n−1 (b)On suppose f, g ∈ C(ZZp , K). Démontrer que lim ∆n (f g)(0) = 0 . En n→+∞ déduire que ((f g)(m))m≥0 est une suite d’interpolation. D’où une fonction continue f g de ZZp dans K : (f g)(s) = m→s lim f g(m). m∈IN (c) Démontrer que kf gk ≤ kf kkgk. De plus (C(ZZp , K), +, ) est une Kalgèbre commutative, non unitaire . n 2◦ ) On pose f = f . . . f, n fois . n (a) Montrer que S(f ) = B0 f et plus généralement que S n (f ) = ( B0 ) n ≥ 1. f, n+1 (b) En déduire que B0 = S n (B0 ) = Bn . 3◦ ) (a) Vérifier que ∆n ◦ S n = id, ∀n ≥ 0 (b) Sachant que S n+1 (f ) = Bn f, montrer que f = ∆n+1 ◦ S n+1 (f ) = = n X ∆i f (0)Bi + ∆n+1 (f ) Bn ( appliquer 1◦ ) - (a) ) . i=0 IV - 2 : Fonctions strictement différentiables IV - 2 - 1 : Définitions et propriétés Rappel : Soient T un espace topologique et X une partie de T . On dit que x ∈ X est un point isolé de X dans T s’il existe un voisinage V (x) de x tel que X ∩ V (x) = {x}. En particulier x est un point isolé de T si et seulement si {x} est ouvert dans T . On déduit aussitôt de la définition qu’une partie X de T est sans points isolés dans T si et seulement si pour tout x ∈ X et tout voisinage V (x) de x, on a X ∩ V (x) 6= {x}. 134 On a : -(i)- Si X est un ouvert de T , alors X est sans points isolés. -(ii)- Soit S(T ) = {X ⊂ T, X 6= ∅ et X sans points isolés }. -(a)- Soient X ⊆ Y deux sous-ensembles de T tels que X est dense dans Y . Alors X ∈ S(T ) si et seulement Y ∈ S(T ). En particulier X ∈ S(T ) ⇐⇒ X̄ ∈ S(T ), où X̄ est l’adhérence de X dans T . -(b)- Soit (Xi )i∈I une famille de parties de X telle que Xi ∈ S(T ), ∀i ∈ I, alors [ Xi ∈ S(T ). i∈I Soient U un autre espace topologique et f : T −→ U une application continue, -(c)- injective. Si X ∈ S(T ), alors f (X) ∈ S(U ). -(d)- Si T = K est un corps valué, non discret et si X ⊂ K, X 6= ∅ est sans points isolés, alors X est un ensemble infini. u t Considérons un corps valué ultramétrique complet K et X une partie non vide de K sans points isolés. On définit, comme dans la cas réel ou complexe la dérivabilité en un point a ∈ X. Une fonction f : X −→ K est dérivable en a, si x→a lim x6=a f (x) − f (a) = f 0 (a) existe; ce x−a qui équivaut à dire que l’on a un développement limité d’ordre 1 : f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a)f1 (x, a) où lim f1 (x, a) = 0. x→a Toutefois cette définition présente plusieurs écueils et différences avec le cas réel ou complexe. Exemple : ( J. Dieudonné ) X = ZZp , Q l p ⊆ K. Soit m un entier ≥ 2. La fonction fm : ZZp −→ K qui à x = X an pn associe n≥0 fm (x) = X 0 an pmn est injective, dérivable de dérivée fm = 0. n≥0 Démonstration : En effet, soient x = X n≥0 an pn et y = X bn pn ∈ ZZp . On a |x − y| = |p|k si et n≥0 seulement si ai = bj , 0 ≤ j ≤ k − 1 et ak 6= bk . Ainsi f (y) − f (x) = X n≥k (bn − an )pmn 135 est tel que |f (y) − f (x)| = |p|mk = |y − x|m . Il vient que |f (y) − f (x)| = |y − x|m−1 et |y − x| f (y) − f (x) = 0. Supposons f (x) = f (y), alors |x − y|m = 0, d’où x = y et y−x f est injective. f 0 (x) = lim y→x Soit X une partie non vide de K. On dit que la fonction f : X −→ K est localement constante si pour tout x ∈ X il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à X ∩ V est constante. Proposition 2.1.1 : Soient X une partie non vide de K sans points isolés et f : X −→ K une fonction continue. Soit ε > 0, il existe une fonction localement constante gε : X −→ K telle que |f (x) − gε (x)| < ε, pour tout x ∈ X. Démonstration : Posons pour x ∈ X, Cε (x) = {y ∈ X / |f (x) − f (y) < ε}. La boule ouverte D− (f (x), ε) de K étant un ensemble ouvert et fermé dans K, son image réciproque par la fonction continue f , à savoir Cε (x) = f −1 (D− (f (x), ε)) est un ouvert fermé de X. Soient x et z ∈ X; ou bien Cε (x) ∩ Cε (z) = ∅, ou bien Cε (x) ∩ Cε (z) 6= ∅. Dans ce dernier cas fixons x0 ∈ Cε (x) ∩ Cε (z). Soit y ∈ Cε (x) on a |f (y) − f (z)| = |f (y) − f (x) + f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) − f (z)| ≤ max(|f (y) − f (x)|, |f (x) − f (x0 )|, |f (x0 ) − f (z)|) < ε. Il vient que Cε (x) ⊆ Cε (z). De la même manière, on a Cε (z) ⊆ Cε (x), d’où Cε (x) = Cε (z). La famille (Cε (x))x∈X [ induit donc une partition de X formée d’ensembles ouverts et fermés : X = Cε (xi ). i∈I Considérons la fonction gε : X −→ K définie par gε (x) = f (xi ) lorsque x ∈ Cε (xi ). Alors gε est localement constante telle que |f (x) − gε (x)| < ε pour tout x ∈ X. Corollaire 2.1.2 : Soit X une partie non vide de K sans points isolés et soit f : X −→ K une fonction continue. Soit ε > 0 , il existe une fonction dérivable gε : X −→ K , de dérivée gε0 = 0, telle que |f (x) − gε (x)| < ε. Démonstration : Il suffit de remarquer que toute fonction localement constante est dérivable, de dérivée nulle. 136 Remarque 2.1.3 : L’énoncé de la Proposition 2.1.1 reste vrai pour tout espace topologique quelconque X, sans points isolés. Exercice 4 : Soient X un espace topologique sans points isolés et BC(X, K) l’espace des fonctions continues bornées f : X −→ K. On pose kf k = sup |f (x)|. Montrer que BC(X, K) est s∈X une K-algèbre de Banach unitaire, ultramétrique et que l’espace des fonctions localement constantes bornées est dense dans BC(X, K). Exercice 5 : Soit Λ l’anneau des entiers de K. Considérons π ∈ K tel que 0 < |π| < 1 et Dn = D− (π n , |π|2n ) = = {x ∈ K / |x − π n | < |π|2n }, n ≥ 0. 1◦ ) Démontrer que Dn ⊂ {x ∈ K / |x| = |π|n } ⊂ Λ et que Dn ∩ Dm = ∅, lorsque n 6= m. 2◦ ) Soit f : Λ −→ K la fonction définie par f (x) = x − π 2n si x ∈ Dn et f (x) = x si [ x∈Λ\ Dn . n≥0 Démontrer que g(x) = x − f (x) est localement constante et que f est dérivable telle que f 0 (x) = 1, pour tout x ∈ X. 3◦ ) Démontrer que Φ1 f (x, y) = f (x) − f (y) , x 6= y , n’a pas de limite lorsque x−y (x, y) → (0, 0). [ pour (xn , yn ) = (π n , π n − π 2n ) on a Φ1 f (xn , yn ) = 0 et pour (x0n , yn0 ) = (π n , π n − π 3n ) on a Φ1 f (x0n , yn0 ) = 1 − π −n ]. Vu ce qui précède, on est amené à renforcer la définition de dérivabilité d’une fonction, par exemple pour obtenir un analogue du théorème des accroissements finis. Définition : Soit X une partie non vide de K, sans points isolés. Considérons une fonction f : X −→ K. Soit Φ1 f la fonction des quotients aux différences Φ1 f (x, y) = f (x) − f (y) définie sur X×X\∆(X) où ∆(X) = {(x, x), x ∈ X}. x−y On dit que f est strictement différentiable ( ou strictement dérivable ) au point a ∈ X lorsque la limite lim (x,y)→(a,a) Φ1 f (x, y) existe dans K. Si f est strictement différentiable en tout point de X, on dit que f est strictement différentiable ou de classe C 1 . On note C 1 (X, K) l’ensemble des fonctions f : X −→ K de classe C 1 . 137 Remarque 2.1.4 : Une fonction f : X −→ K est strictement différentiable au point a ⇐⇒ f est dérivable en a et pour tout ε > 0, il existe δε tel que pour (x, y) ∈ X × X \ ∆(X), |x − a| < f (x) − f (y) 0 − f (a) < ε. δε , |y − a| < δε , on a x−y Toute fonction strictement différentiable au point a ∈ X est uniformément continue au voisinage de a. N.B. : ∆(X) est une partie fermée de l’espcace topologique produit X × X. Puisque X est sans points isolés, X × X \ ∆(X) est dense dans X × X. Ainsi f : X −→ K est strictement différentiable ⇐⇒ Φ1 f : X × X \ ∆(X) −→ K se prolonge en une fonction e 1 f : X × X −→ K ⇐⇒ il existe une fonction continue R : X × X −→ K telle continue Φ que f (x) = f (y) + (x − y)R(x, y), ∀x, y ∈ X. u t Exercice 6 : Soit X ⊂ K non vide et sans points isolés . 1◦ ) Soient (fn )≥0 ⊂ C 1 (X, K) une suite telle que (fn )n≥0 et (Φ1 fn )n≥0 convergent uniformément sur X ( resp. sur X × X \ ∆(X) ). Soit f = lim n−→+∞ fn . Montrer que f ∈ C 1 (X, K) et que e 1 fn = Φ e 1 f , cette lim Φ n→+∞ dernière limite étant uniforme sur X × X . ◦ 2 ) On pose pour f ∈ C 1 (X, K), kf k = sup |f (x)|, kΦ1 f k = sup |Φ1 f (x, y)| et x∈X x6=y kf k1 = max(kf k, kΦ1 f k). Montrer que BC 1 (X, K) = {f ∈ C 1 (X, K) / kf k1 < +∞} est une K-algèbre de Banach ultramétrique, unitaire. Proposition 2.1.5 : Soit X une partie non vide de K sans points isolés. Soit f : X −→ K une fonction strictement différentiable au point a ∈ X. Si f 0 (a) 6= 0, il existe un voisinage V de a dans X tel que la restriction de f 0 (a)−1 f à V est une isométrie. En particulier f : V −→ K est injective. Démonstration : Soit ε > 0, il existe un voisinage Vε (a) de a dans X tel que |Φ1 f (x, y) − f 0 (a)| < ε, ∀x, y ∈ Vε (a). En particulier pour ε = |f 0 a)| > 0, posant V = Vε (a) , on a |Φ1 f (x, y)− f 0 (a)| < |f 0 (a)| lorsque x, y ∈ V . Ainsi |Φ1 (x, y)| = |f 0 (a)|, pour x, y ∈ V . 138 Il vient que |f (x) − f (y) = |f 0 (a)||x − y| et f 0 (a)−1 f : V −→ K est isométrique. Proposition 2.1.6 : Théorème d’inversion locale Soient W (a) un voisinage de a ∈ K et f : W (a) −→ K une fonction strictement différentiable en a telle que f 0 (a) 6= 0. Il existe r > 0 tel que D− (a, r) = {x ∈ K / |x − a| < r} ⊂ W (a) et la restriction de f à D− (a, r) est injective avec f (D− (a, r)) = D− (f (a), |f 0 (a)|r). De plus l’application réciproque g : D− (f (a), |f 0 (a)|r) −→ D− (a, r) de f est strictement différentiable au point f (a), avec g 0 (f (a) = f 0 (a)−1 . Démonstration |f 0 (a)| . Comme dans la 2 Proposition 2.1.5, il existe r > 0 tel que D− (a, r) ⊂ W (a) et |Φ1 f (x, y) − f 0 (a)| < δ < Soit δ > 0, fixé tel que δ < |f 0 (a)| , par exemple δ = |f 0 (a)|, ∀x, y ∈ D− (a, r). Ainsi |Φ1 f (x, y)| = |f 0 (a)| et |f (x) − f (y)| = |f 0 (a)||x − y|, pour tous x, y ∈ D− (a, r). On en déduit que f (D− (a, r)) ⊂ D− (f (a), |f 0 (a)|r). Soit b ∈ D− (f (a), |f 0 (a)|r). Considérons la fonction h : D− (a, r) −→ K définie par h(x) = x − f 0 (a)−1 (f (x) − b). Soit x ∈ D− (a, r) , puisque f (x) et b ∈ D− (f (a), |f 0 (a)|r) , on a |f (x) − b| = |f (x) − f (a) + f (a) − b| ≤ max(|f (x) − f (a)| , |f (a) − b|) < |f 0 (a)|r. D’où |h(x) − a| = |x − a − f 0 (a)−1 (f (x) − b)| ≤ max(|x − a| , |f 0 (a)|−1 |f (x) − b|) < r. Il vient que h(D− (a, r)) ⊂ D− (a, r). D’autre part, pour x, y ∈ D− (a, r), on a h(x)−h(y) = x−y −f 0 (a)−1 (f (x)−f (y)) = f (x − f (y) 0 −1 0 f (a) (x − y) f (a) − . Ainsi |h(x) − h(y)| = |f 0 (a)|−1 |x − y||f 0 (a) − x−y Φ1 f (x, y)| < δ|f 0 (a)|−1 |x − y| = ρ|x − y|, avec 0 < ρ = δ|f 0 (a)|−1 < 1. En d’autres termes, la fonction h : D− (a, r) −→ D− (a, r) est contractante. Fixons x0 ∈ D− (a, r) et définissons la suite (xn )n≥0 en posant xn+1 = h(xn ), n ≥ 0. On a xn ∈ D− (a, r), avec |xn+1 − xn | = |h(xn ) − h(xn−1 )| < ρ|xn − xn−1 |. D’où |xn+1 − xn | < ρn |x1 − x0 | et (xn )n≥0 est une suite de Cauchy dans D− (a, r). Soit x = lim xn ∈ K; comme n→+∞ D− (a, r) est fermé dans K, on a x ∈ D− (a, r) et x = lim xn+1 = lim h(xn ) = h(x) n→+∞ n→+∞ ( théorème du point fixe ) . En conclusion x = x − f 0 (a)−1 (f (x) − b) et b = f (x) ∈ f (D− (a, r)). Soit g : D− (f (a), |f 0 (a)|r) −→ D− (a, r) l’application réciproque de la restiction de f 139 g(s) − g(t) à D (a, r). Pour s, t ∈ D (f (a), |f (a)|r), on a Φ1 g(s, t) = = s−t − − (Φ1 f (g(s), g(t))−1 . Ainsi 0 lim (s,t)→(f (a),f (a)) Φ1 g(s, t) = lim (s,t)→(f (a),f (a)) f (g(s)) − f (g(t)) g(s) − g(t) (Φ1 f (g(s), g(t))−1 = e 1 f (g(f (a)), g(f (a))−1 = (Φ e 1 f (a, a))−1 = f 0 (a)−1 . =Φ Exemple : Soit X ⊂ K non vide et sans points isolés . m X Toute fonction polynôme P (x) = an xn sur X est strictement différentiable telle n=0 que P 0 (a) = m X nan an−1 , pour tout a ∈ X n=1 En tout point a ∈ X non racine du polynôme P 0 , on a le théorème de l’inversion local. Démonstration Il suffit de le vérifier sur les fonctions monômes Pn (x) = xn . Mais Φ1 Pn (x, y) = X X xn − y n = xi y j . Ainsi lim Φ1 Pn (x, y) = ai aj = nan−1 . t u x−y (x,y)→(a,a) i+j=n−i i+j=n−1 Plus généralement, considérons l’algèbre des séries formelles restreintes X K{T } = {f = cn T n ∈ K[[T ]] / lim cn = 0}. n≥0 n→+∞ Alors, K{T } munie de la norme kf k0 = sup |cn | = max |cn | est une K-algèbre de n≥0 n≥0 Banach unitaire et (T n )n≥0 est une base orthonormale de K{T }. On voit ausssitôt que {f ∈ K{T } / kf k0 ≤ 1} = Λ{T } et que {f ∈ K{T } / kf k0 < 1} = M{T } où Λ est l’anneau des entiers de K et M l’idéal maximal de Λ. . De plus Λ{T } = K[T ] l’anneau des polynômes à coefficients dans le corps M{T } résiduel K de K. X X Soit f = cn T n ∈ K{T } et soit x ∈ Λ, la série f (x) = cn xn converge dans K. n≥0 n≥0 On définit ainsi une fonction continue f de Λ dans K. De plus kf k = sup |f (x)| ≤ kf k0 . x∈Λ Si K est infini; alors kf k = kf k0 . En effet, puisque kf k0 = max |cn | = |λ|, λ ∈ K, si n≥0 f 6= 0, posant g = λ−1 f , on a kgk0 = 1 et g(T ) = X n≥0 dn T n ∈ Λ{T }. Il existe n0 tel −1 = 140 que |dn0 | = 1 et m0 tel que |dn | < 1, pour n ≥ m0 + 1. Ainsi l’image g de g dans K[T ] est un polynôme non nul. Puisque K est infini , il existe x ∈ Λ tel que g(x) 6= 0. Ainsi |g(x)| = 1 et kgk = 1 = kgk0 . Il vient que kf k = kλgk = |λ|kgk0 = kλgk = kf k. Proposition 2.1.7 : X X Soit f = cn T n ∈ K{T }. La fonction f : Λ −→ K définie par f (x) = cn xn , x ∈ n≥0 n≥0 Λ , est strictement différentiable de dérivée f 0 (x) = X ncn xn−1 . n≥1 De plus posant kf k1 = max(kf k , kΦ1 f k) où kΦ1 (f )k = sup |Φ1 f (x, y)|, on a kf k1 ≤ x6=y kf k0 . Démonstration : X Soit f 0 (T ) = ncn T n−1 la série formelle dérivée de la série formelle f . Puisque n≥1 |ncn | ≤ |cn |, on a lim ncn = 0 et f 0 (T ) ∈ K{T } avec, kf 0 k0 ≤ kf k0 . n→+∞ X Soient x, y ∈ Λ, x 6= y, on a pour n ≥ 1, xn − y n = (x − y) xi y j . i+j=n−1 Puisque f (x) − f (y) = X cn (xn − y n ) = (x − y) n≥1 X n≥1 cn X i+j=n−1 a ∈ Λ , Φ1 f (x, y) − X ncn an−1 = n≥1 = P n≥1 cn i j i+j=n−1 (x y P X cn xi y j , on a pour X xi y j − nan−1 = i+j=n−1 n≥1 − ai+j ). Mais pour i + j = n − 1, on a xi y j − ai+j = (xi − ai )y j + ai (y j − aj ). Comme xi − ai = (x − a) X X xk a` et y j − aj = (y − a) k+`=i−1 y k a` , on a k+`=j−1 |xi − ai | ≤ |x − a| max |xk ||a` | ≤ |x − a| et |y j − aj | ≤ |y − a| max |y k ||a` | ≤ |y − a|. k+`=i−1 k+`=j−1 Ainsi |xi y j − ai+j | ≤ max(|xi − ai ||y i |, |ai ||y j − aj |) ≤ max(|x − a|, |y − a|) et X i j i+j x y − a max |xi y j − ai+j | ≤ max(|x − a| , |y − a|). ≤ i+j=n−1 i+j=n−1 X Alors |Φ1 f (x, y) − f 0 (a)| = |Φ1 f (x, y) − ncn an−1 | ≤ n≥1 ≤ sup |cn || n≥1 X i+j=n−1 xi y i − ai+j | ≤ kf k0 max(|x − a| , |y − a|). 141 On en déduit d’une part que x→a lim |Φ1 f (x, y) − f 0 (a)| = 0. Donc f est strictement y→a différentiable. D’autre part |Φ1 f (x, y) − f 0 (a)| ≤ kf k0 . D’où |Φ1 f (x, y)| ≤ max(|f 0 (a)| , kf k0 ) ≤ kf k0 et kΦ1 f k ≤ kf k0 . Il vient que kf k1 = max(kf k , kΦ1 (f )k) ≤ kf k0 . u t Exercice 7 : Soit f = X cn T n ∈ K{T } telle que |cn | ≤ 1, pour tout n ≥ 0. On suppose qu’il n≥0 existe a ∈ Λ tel que |f (a)| < 1 et |f 0 (a)| = 1 . (i) Démontrer que pour tout x ∈ Λ, on a f (x) = X bn (x − a)n où lim bn = 0, |bn | ≤ n→+∞ n≥0 1, avec b0 = f (a) et b1 = f 0 (a) . (ii) Si f (a) 6= 0, en utilisant le développement de f ci-dessus, montrer que pour |x − a| ≤ |f (a)| et |y − a| ≤ |f (a)|, on a |Φ1 f (x, y) − f 0 (a)| ≤ |f (a)|. Raisonnant comme dans la démonstration de la Proposition 2.1.7,montrer que f (D+ (a , |f (a)|) = D+ (f (a) , |f (a)|). En déduire qu’il existe b ∈ Λ tel que |b − a| ≤ |f (a)| et f (b) = 0. N.B. : (1) Soit a ∈ Λ, si f ∈ K{T } est telle que f 0 (a) 6= 0; alors f admet dans un voisinage de a une fonction réciproque de classe C 1 . X (2) Soit r > 0 et soit Kr {T } = f = cn T n ∈ K[[T ]] / n≥0 lim |cn |rn = 0 . Alors n→+∞ Kr {T } est une K-algèbre de Banach pour la norme kf kr = sup |an |rn . Soit a ∈ K, n≥0 comme dans la Proposition 2.1.7, les éléments de Kr {T } définissent sur D+ (a, r) = {x ∈ K / |x − a| ≤ r} des fonctions de classe C 1 . Scholie : u t Fonctions de classe C n . Soit X ⊂ K, non vide et sans points isolés.. Posons pour n ≥ 1, ∇n (X) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ X n / xi 6= xj , lorsque i 6= j}. Soit f : X −→ K; la fonction Φn f : ∇n+1 (X) −→ K des quotients aux différences d’ordre n est définie par récurrence en posant : Φ0 f = f et Φn f (x1 , . . . , xn+1 ) = Φn−1 f (x1 , x3 , . . . , xn+1 ) − Φn−1 f (x2 , x3 , . . . , , xn+1 ) . x1 − x2 142 On voit que Φn f (x1 , . . . xn+1 ) = n+1 X i=1 f (xi ) Y ; (xj − xi ) j6=i c’est donc une fonction symétrique en les xi . On dit que f est n fois strictement différentiable ou de classe C n lorsque la fonction e n f : X n+1 −→ K; en d’autres termes Φn f se prolonge par continuité en une fonction Φ lorsque lim (x1 ,...,xn+1 )→(a,...,a) Φn f (x1 , . . . , xn+1 ) existe en tout point a de X ; noter que ∇n+1 (X) est dense dans X n+1 . e n f (a, . . . a) = Dn f (a). On pose Φ Soient C ◦ (X, K) = C(X, K) l’espace des fonctions continues et C n (X, K) l’espace des fonctions n fois strictement différentiables. Chaque espace C n (X, K) est une K-algèbre. On a . . . ⊂ C n (X, K) ⊂ . . . ⊂ C 1 (X, K) ⊂ C 0 (X, K). Soit f ∈ C n (X, K). On a (S.1) : f est dérivable d’ordre n et j!Dj f = f (j) , pour 0 ≤ j ≤ n. De plus , si i+j 0 ≤ i, j ≤ n, on a Di ◦ Dj f = Di+j f . j (S.2) : Soient x, y ∈ X , on a la formule de Taylor : f (x) = f (y) + (x − y)D1 f (y) + . . . + (x − y)n−1 Dn−1 f + (x − y)n Ψn f (x, y) où e n f (x, y, . . . y). Ψn f (x, y) = Φ Voici quelques vérifications pour le cas simple n = 2. Proposition 2.1.9 : Soit f ∈ C 2 (X, K). Alors f et f 0 ∈ C 1 (X, K). De plus pour x, y ∈ X, on a e 2 f (x, y, y). f (x) = f (y) + (x − y)f 0 (y) + (x − y)2 Ψ2 f (x, y) où Ψ2 f (x, y) = Φ Démonstration : (i) Soient (x, y, s) ∈ ∇3 (X). Par définition Φ2 f (x, y, s) = Φ1 f (x, s) − Φ1 f (y, s) . Ainsi x−y f (x) − f (s) f (y) − f (s) f (x) f (y) − = − + (x − y)(x − s) (x − y)(y − s) (x − y)(x − s) (x − y)(y − s) f (s) 1 1 f (x) f (y) f (s) + et Φ2 f − = + x−y y−s x−s (x − y)(x − s) (y − x)(y − s) (s − x)(s − y) Φ2 f (x, y, s) = est une fonction symétrique en les x, y, s. 143 Puisque pour tout (x, y, s) ∈ ∇3 (X), on a Φ1 f (x, s)−Φ1 f (y, s) = (x−y)Φ2 f (x, y, s), on voit que Φ1 f (x, y) − Φ1 f (s, t) = Φ1 f (x, y) − Φ1 f (y, s) + Φ1 f (y, s) − Φ1 f (s, t) = (x − y)Φ2 f (x, y, s) + (s − t)Φ2 f (y, s, t). Mais pour a ∈ X, la limite lim (x,y,s)→(a,a,a) Φ2 f (x, y, s) existe. Ainsi, il existe ρ > 0 tel que si |x − a| < ρ, |y − a| < ρ, |s − a| < ρ et |t − a| < ρ, on a |Φ2 f (x, y, s) − D2 f (a)| < 1 et |Φ2 f (y, s, t) − D2 f (a)| < 1. Il vient que |Φ2 f (x, y, s) − Φ2 f (y, s, t)| ≤ max(|D2 f (a)| , 1) = M , lorsque (x, y) ∈ ∇2 V (a) et (s, t) ∈ ∇2 V (a) où V (a) = {x ∈ X / |x − a| < ρ}. Alors |Φ1 f (x, y) − Φ1 f (s, t)| ≤ M max(|x − y| , |s − t|). Soit ε > 0, si (x, y) et (s, t) ∈ ∇2 V (a) sont tels que |x − y| < ε et |s − t| < ε, on a |Φ1 f (x, y) − Φ1 f (s, t)| < M ε. Ainsi (Φ1 f (x, y))(x,y)∈∇2 V (a) est une famille de Cauchy dans le corps complet K. On en déduit que la limite lim (x,y)→(a,a) Φ1 f (x, y) existe dans K et f ∈ C 1 (X, K). e 2 l’extension de Φ2 à X 3 . Soit (x, y, s) ∈ ∇3 (X); on a Φ1 f (x, s) − Φ1 f (y, s) = (ii) Soit Φ e 2 f (x, y, s). Ainsi lim (Φ1 f (x, s) − Φ1 f (y, s)) = Φ e 1 f (x, x) − Φ1 f (y, x) = = (x − y)Φ s→x e 2 f (x, y, x). Comme Φ e 1 f (x, x) = f 0 (x), on a = (x − y)Φ e 2 f (x, y, x). f 0 (x) = Φ1 f (x, y) + (x − y)Φ e 2 f (y, x, y). D’où Φ1 f 0 (x, y) = De la même manière f 0 (y) = Φ1 f (x, y) + (y − x)Φ f 0 (x) − f 0 (y) e 2 f (x, y, x) + Φ e 2 f (y, x, y) et = Φ x−y lim (x,y)→(a,a) e 2 f (a, a, a). Il Φ1 f 0 (x, y) = 2Φ e 2 f (a, a, a) = 2D2 f (a). vient que f 0 ∈ C 1 (X, K) avec f 00 (a) = (f 0 )0 (a) = Φ1 f 0 (a, a) = 2Φ e 2 f (y, x, y) que On déduit de f 0 (y) = Φ1 f (x, y) + (y − x)Φ e 2 f (x, y, y). f (x) = f (y) + (x − y)f 0 (y) + (x − y)2 Φ Exercice 8 : Soit f = X cn T n ∈ K{T }. Démontrer que la fonction f : Λ −→ K définie par n≥0 f (x) = X n≥0 n ≥ 0. cn xn est de classe C 2 et plus généralement de classe C n pour tout entier 144 X = ZZp et Q lp⊆K IV - 2 - 2 : Soit X ⊂ K, non vide et sans points isolés. Posons pour f ∈ C 1 (X, K), kf k1 = max(kf k, kΦ1 f k) où kf k = sup |f (x)| et kΦ1 f k = sup |Φ1 f (x, y)|. x∈X x6=y n o Soit BC 1 (X, K) = f ∈ C 1 (X, K) / kf k1 < +∞ ; c’est une K-algèbre de Banach ( cf. Exercice 6 ). Si de plus X est compacte, on a BC 1 (X, K) = C 1 (X, K). En effet puisque X 2 est compact et que Φ1 f : ∇2 (X) −→ K se prolonge en une fonction continue e 1 f : X 2 −→ K, on a sup |Φ1 f (x, y)| = sup |Φ e 1 f (x, y)| < +∞. Φ x6=y x,y∈X Considérons pour X compacte, Lip(X, K) = o 0 / |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|, x, y ∈ X . n f : X −→ K : il existe M > Si f ∈ Lip(X, K) , on dit que f est une fonction lipschitzienne. Il est clair que Lip(X, K) est une sous-algèbre de l’algèbre des fonctions continues C(X, K). De plus , posant pour f ∈ Lip(X, K), kf k1 = max(kf k , kΦ1 f k), on voit que (Lip(X, K), k k1 ) est une algèbre de Banach qui contient C 1 (X, K) comme sous-algèbre fermée. Soit K un sur-corps valué complet de Q l p de valeur absolue normalisée de telle sorte que |p| = p−1 . Soit n = α0 + α1 p + . . . + αt pt le développement en base p de l’entier n ≥ 1 ; 0 ≤ log n t t+1 αj ≤ p − 1, αt 6= 0. On a p ≤ n < p et t = t(n) = . Soient n− = log p α0 + α1 p + . . . αt−1 pt−1 et γn = n − n− ; on a γn = αt(n) pt(n) et |γn | = |p|t(n) . On pose γ0 = 1. Lemme 2.2.1 : Soit n un entier ≥ 1. Alors (i) |γn | = min |j| 1≤j≤n (ii) 1 p ≤ |γn | < et n n |γn | ≤ |γn+1 | ≤ |γn |. p 145 Démonstration : (i) Soit 1 ≤ j ≤ n; puisque p vp (j) log n = vp (n0 ) où ≤ j ≤ n , on a vp (j) ≤ t(n) = log p n0 = pt(n) . Ainsi max vp (j) = t(n) = vp (γn ), d’où |γn | = min |j|. 1≤j≤n 1≤j≤n (ii) Par définition |γn | = p−t(n) . Ainsi |γn |−1 ≤ n < p|γn |−1 ⇐⇒ p 1 ≤ |γn | < . n n On déduit aussitôt de la relation log n ≤ log(n + 1) ≤ log n + 1 que l’on a t(n) ≤ t(n + 1) ≤ 1 + t(n); d’où p−1 |γn | ≤ |γn+1 | ≤ |γn |. x(x − 1) . . . (x − n + 1) x Rappelons que les polynômes binomiaux B0 (x) = 1, Bn (x) = = , n n! n ≥ 1, forment une base orthonormale de C(ZZp , K). Soit a ∈ K tel que |a| < 1 ; on a la fonction puissance x −→ (1 + a)x = X Bn (x)an . n≥0 On déduit de la relation (1+a)x+y X xy x y = (1+a) (1+a) que l’on a Bn (x+y) = , i j i+j=n pour x, y ∈ ZZp et n ≥ 0. Proposition 2.2.2 : x y Soient x, y ∈ ZZp et n ∈ IN. On a − ≤ |γn |−1 |x − y| n n Démonstration : Posons pour x, y ∈ ZZp , |x − y| = |p|m . On a x = y + αpm où α ∈ ZZp , |α| = 1. X y αpm x y + αpm x y = , on obtient − = Puisque = n n i j n n i+j=n n X j=1 y n−j αp j m . Comme αpm j αpm = j αpm − 1 j−1 x y , 1 ≤ j ≤ n, on a − ≤ n n −1 m αp − 1 |p|m 1 y m m ≤ max max = |p| min |j| = |j| ≤ |p| 1≤j≤n n − j j−1 1≤j≤n 1≤j≤n |j| |γn |−1 |x − y|. 146 Théorème 2.2.3 : X an Bn ∈ C(ZZp , K). Alors f ∈ Lip(ZZp , K) si et seulement si Soit f = n≥0 sup |an ||γn |−1 < +∞. n≥1 De plus, on a kf k1 = sup |an ||γn |−1 . n≥0 Démonstration : (i) Supposons sup |an ||γ|−1 < +∞. n≥1 1 X x y Soient x, y ∈ ZZp , x 6= y , on a Φ1 f (x, y) = an − . n n x−y n≥1 x |an | x y y −1 − ≤ |an ||γn |−1 et Puisque − ≤ |γn | |x−y|, on a n n n n |x − y| X an |an | x x y y |Φ1 f (x, y)| = − ≤ sup − ≤ sup |a ||γ |−1 . n≥1 |x − y| n n n n n≥1 n n x−y n≥1 Il vient que kΦ1 f k = sup |Φ1 f (x, y)| ≤ sup |an ||γn |−1 < +∞ =⇒ f ∈ Lip(ZZp , K). n≥1 x6=y 1X x+y x (ii) Soient x, y ∈ ZZp , y 6= 0. On a Φ1 f (x + y, x) = an − = n n y n≥1 X X X an n−1 Xx y XX 1 x y x − = = bn,i an i j n n−i y y i=0 i i+j=n n≥1 n≥1 n≥1 i≥0 an x 1 y x y−1 où bn,i = 0 si i ≥ n et bn,i = = an , lorsque i n−i i n−i n−i−1 y i < n. On a lim bn,i = 0 uniformément par rapport à n. i→+∞ |an | |an | x y ≤ Puisque pour 0 ≤ i ≤ n−1, |bn,i | = , on a lim bn,i = i n−i n→+∞ |y| |y| 0 uniformément par rapport à i. La double suite (bn,i ) est donc telle que Il vient que Φ1 f (x + y, x) = X n−1 X n≥1 i=0 XX j≥0 i≥0 bi+j+1,i lim i+n→+∞ bn,i = bn,i = 0 et elle est sommable. X X i≥0 n≥i+1 bn,i = XX i≥0 j≥0 X X ai+j+1 x y − 1 = et pour y 6= −1, on a i j j+1 j≥0 i≥0 bi+j+1,i = 147 X ai+j+1 x y Φ1 f (x+y+1, x) = cj (x) où cj (x) = , avec lim cj (x) = 0. j i j→+∞ j+1 j≥0 i≥0 X y cj , Mais si ϕ : ZZp \ {−1} −→ K est une fonction continue telle que ϕ(y) = j j≥0 X j ` j on a |ϕ(y)| ≤ sup |cj |. Comme cj = ∆ ϕ(0) = (−1) ϕ(k), on a ` j≥0 X k+`=j |cj | ≤ max |ϕ(k)| ≤ sup |ϕ(y)| . Il vient que sup |ϕ(y)| = sup |cj |. On en déduit k+`=j y6=−1 y6=−1 j≥0 X ai+j+1 x que sup |Φ1 f (x + y + 1, x) = sup |cj (x)| = sup et i j+1 j≥0 j≥0 y6=−1 i≥0 X X ai+j+1 x ai+j+1 x kΦ1 f k = sup sup |Φ1 f (x+y+1, y)| = sup sup = sup sup = i j≥0 x j+1 (j + 1) i x y6=−1 x j≥0 i≥0 P = supj≥0 i≥0 Mais sup i,j ai+j+1 j+1 Bi = sup sup j≥0 i≥0 i≥0 |ai+j+1 | < +∞, lorsque f ∈ Lip(ZZp , K). |j + 1| |ai+j+1 | |ai+j+1 | 1 = sup max = sup |an | max = sup |an ||γn |−1 . i+j+1=n 1≤j≤n |j + 1| |j + 1| |j| n≥1 n≥1 n≥1 Ainsi kΦ1 f k = sup |an ||γn |−1 < +∞, lorsque f ∈ Lip(ZZp , K). n≥1 (iii) Par définition kf k1 = max(kf k, kΦ1 f k). Comme |γn |−1 ≥ 1, on a |an | ≤ |an ||γn |−1 . −1 Ainsi, kf k1 = max sup |an | , sup |an ||γn | = supn≥0 |an ||γn |−1 , car γ0 = 1. n≥0 n≥1 Soit S(K) l’espace des suites (an )n≥0 ⊂ K. X L’application de Lip(ZZp , K) dans S(K) qui à f = an Bn associe la suite an γn−1 n≥0 Remarque 2.2.4 : n≥0 est un isomorphisme d’espaces de Banach de Lip(ZZp , K) sur `∞ (IN, K). En fait, on a un isomorphisme isométrique de Lip(ZZp , K) sur `∞ (IN, (|γn |−1 )n≥0 , K) X en associant à f = an Bn la suite (an )n≥0 . n≥0 Corollaire 2.2.5 : X Soit f : an Bn ∈ C(ZZp , K). Alors f ∈ Lip(ZZp , K) si et seulement si sup n|an | < n≥1 n≥0 +∞. Posons ||| f |||1 = max(|a0 |, sup n|an |), on a p−1 ||| f |||1 ≤ kf k1 ≤||| f |||1 . n≥1 148 Démonstration : C’est une conséquence immédiate des inégalités 1 p ≤ |γn | < , n ≥ 1. n n Corollaire 2.2.6 Soient f ∈ C(ZZp , K) et Sf la somme indéfinie de la fonction f . Alors f ∈ Lip(ZZp , K) si et seulement si Sf ∈ Lip(ZZp , K). De plus kf k1 ≤ kSf k1 ≤ pkf k1 . Démonstration : Rappelons que si f = X an Bn ∈ C(ZZp , K), alors Sf = n≥0 X an Bn+1 = n≥0 X an−1 Bn . n≥1 Sachant que |γn−1 |−1 ≤ |γn |−1 ≤ p|γn−1 |−1 , n ≥ 1, on a |an−1 ||γn−1 |−1 ≤ |an−1 ||γn |−1 ≤ p|an−1 ||γn−1 |−1 , n ≥ 1. D’où kf k1 ≤ kSf k1 ≤ pkf k1 et f ∈ Lip(ZZp , K) si et seulement si Sf ∈ Lip(ZZp , K). Théorème 2.2.7 : X Soit f = an Bn ∈ C(ZZp , K). n≥0 Alors f ∈ C 1 (ZZp , K) si et seulement si lim an γn−1 = 0. n→+∞ De plus C 1 (ZZp , K) est un sous-espace fermé de (Lip(ZZp , K) , k k1 ) et (γn Bn )n≥0 est une base orthonormale de C 1 (ZZp , K). Démonstration : X 1 X x y (i) Soient x, y ∈ ZZp , x 6= y, on a Φ1 f (x, y) = an − = Ψn (x, y) n n x−y n≥1 n≥1 an x y où les fonctions Ψn (x, y) = an Φ1 Bn (x, y) = − sont telles que n n x−y |Ψn (x, y)| ≤ |an ||γn |−1 . Chaque fonction Ψn : ∇2 ZZp −→ K se prolonge de façon évidente en une fonction e n : ZZ2p −→ K telle que Ψ e n (x, x) = an Bn0 (x) et |Ψ e n (x, y)| ≤ |an ||γn |−1 . continue Ψ X e n (x, y) est Supposons lim |an γn−1 | = 0; alors la série de fonctions Ψ(x, y) = Ψ n→+∞ uniformément convergente dans n≥1 C(ZZ2p , K), avec Ψ(x, y) = Φ1 f (x, y) lorsque x 6= y . e 1 f = Ψ et f ∈ C 1 (ZZp , K). On en déduit que Φ X (ii) Réciproquement, considérons f = an Bn ∈ C 1 (ZZp , K). n≥0 149 Comme dans la démonstration du Théorème 2.2.3, on a pour x, y ∈ ZZp , y 6= −1. X X ai+j+1 y x . Φ1 f (x + y + 1, x) = j i j+1 i≥0 j≥0 e 1 f de ZZ2p dans K. Par hypothèse Φ1 f se prolonge en une fonction continue Φ b C(ZZp , K) ' On déduit de l’isomorphisme isométrique d’espaces de Banach C(ZZp , K)⊗ C(ZZ2p , K) que les fonctions Bj ⊗ Bi définies par (Bj ⊗ Bi )(y, x) = Bj (y)Bi (x) fore 1 f (x + y + 1, x) = ment une base orthonormale de C(ZZ2p , K). En particulier, on a Φ X y x αij avec lim αij = 0. j i i+j→+∞ i,j X X ai+j+1 y x X X y x = αij Ainsi, pour y 6= −1, on a j i j i j+1 i≥0 j≥0 i≥0 j≥0 X ai+j+1 y X y pour tout x ∈ ZZp . D’où l’on déduit que = αij pour tout j j j+1 j≥0 j≥0 y ∈ ZZp , y 6= −1. Il vient que pour i, j ≥ 0, on a αij Comme max i+j+1=n lim i+j→+∞ ai+j+1 et = j+1 lim i+j→+∞ |ai+j+1 | = |an ||γn |−1 , on a lim |an ||γn |−1 = lim n→+∞ n→+∞ |j + 1| ai+j+1 = 0. j+1 max i+j+1=n |ai+j+1 | |= |j + 1 |ai+j+1 | = 0. |j + 1| (iii) De façon évidente C 1 (ZZp , K) est un sous-espace de Lip(ZZp , K). X Soit f = an Bn ∈ C 1 (ZZp , K); on a d’une part kf k1 = sup |an ||γn |−1 et d’autre n≥0 n≥0 part f = X (an γn−1 )(γn Bn ), avec n≥0 lim an γn−1 = 0. La suite (γn Bn )n≥0 est donc n→+∞ une base orthonormale de C 1 (ZZp , K) pour la norme k k1 et C 1 (ZZp , K) est fermé dans Lip(ZZp , K). Remarque 2.2.8 : Rappelons que p−1 n < |γn |−1 ≤ n. Alors f = X an Bn ∈ C 1 (ZZp , K) si et seulement n≥0 si lim n|an | = 0. n→+∞ Corollaire 2.2.9 : L’application f −→ f 0 de C 1 (ZZp , K) dans C(ZZp , K) est linéaire continue telle que kf 0 k ≤ kf k1 . 150 Démonstration : Soit f ∈ C 1 (ZZp , K). Par définition kf k1 = max(kf k , kΦ1 f k). Comme f 0 (x) = e 1 f (x, x) et puisque Φ e 1 f est obtenue par prolongement continu de Φ1 f , on a kf 0 k ≤ Φ e 1 f k = kΦ1 f k ≤ kf k1 . kΦ Exercice 9 : (i) Soit f = X e 1 f (x + y + 1, x). an Bn ∈ C 1 (ZZp , K) et soit Ψ(y, x) = Φ n≥0 Montrer que f 0 (x) = Ψ(−1, x) = X i≥0 X (−1)j ai+j+1 x . i j+1 j≥0 En déduire une autre démonstration du Corollaire 2.2.9. n−1 X (−1)n−i−1 (ii) Démontrer que kBn k1 = |γ|n |−1 et que Bn0 = Bi . n − i i=0 X (iii) Soit f = an Bn ∈ C(ZZp , K). Démontrer que f est dérivable au point 0 si et n≥0 seulement si X |an | aj = 0. Dans ces conditions f 0 (0) = (−1)j−1 . n→+∞ |n| j lim j≥1 Proposition 2.2.10 (1) Soit f ∈ C 1 (ZZp , K); alors la fonction somme indéfinie Sf ∈ C 1 (ZZp , K). (2) Posons pour deux opérateurs u et v, [u , v] = u ◦ v − v ◦ u. Considérons les opérateurs définis par σ(f ) = f (0)B0 , δ(f ) = f 0 et τs f (x) = f (x + s), lorsque x, s ∈ ZZp . On a (i) [S , τ1 ] = −σ (ii) [δ ◦ S , τs ] = 0, ∀s ∈ ZZp , i.e. δ ◦ S et τs commutent (iii) [S , δ] = −σ ◦ δ ◦ S. Démonstration : (a) Rappelons que |γn−1 |−1 ≤ |γn |−1 ≤ p|γn−1 |−1 , n ≥ 1. Soit f = X n≥0 −1 1 C (ZZp , K), on a lim |an ||γn | = 0. n→+∞ X Puisque Sf = an−1 Bn et |an−1 ||γn |−1 ≤ p|an−1 ||γn−1 |−1 avec n≥1 an Bn ∈ 151 lim |an−1 ||γn−1 |−1 = 0, on a lim |an−1 ||γn |−1 = 0 et Sf ∈ C 1 (ZZp , K). n→+∞ n→+∞ (b) Rappelons que ∆ = τ1 − id , ∆ ◦ S = id et S ◦ ∆ = id − σ = ∆ ◦ S − σ (i) On obtient aussitôt S ◦ τ1 = S ◦ ∆ + S = ∆ ◦ S − σ + S = τ1 ◦ S − σ (ii) Soit s ∈ ZZp . On a δ(τs f )(x) = lim h→0 f (x + s + h) − f (x + s) = f 0 (x + s) = h τs (δf )(x), i.e. δ ◦ τs = τs ◦ δ. Puisque δ ◦ σ = 0 et S ◦ τ1 = τ1 ◦ S − σ, on obtient δ ◦ S ◦ τ1 = δ ◦ τ1 ◦ S − δ ◦ σ = τ1 ◦ δ ◦ S. D’où par récurrence , (δ ◦ S) ◦ τn = τn ◦ (δ ◦ S), n ≥ 1 et par passage à la suite (δ ◦ S) ◦ τs = τs ◦ (δ ◦ S), ∀s ∈ ZZp . (iii) Puisque δ ◦ τ1 = τ1 ◦ δ, on a δ ◦ ∆ = ∆ ◦ δ. Alors S ◦ δ = S ◦ δ ◦ id = S ◦ δ ◦ ∆ ◦ S = = S ◦ ∆ ◦ δ ◦ S = (id − σ) ◦ δ ◦ S = δ ◦ S − σ ◦ δ ◦ S. Considérons la suite de fonctions en : ZZp −→ K définie de la façon suivante: e0 (x) = 1 et en (x) = 0 autrement : en 1, x ∈ ZZp et pour n ≥ 1, en (x) = 1, lorsque |x − n| < n 1 est la fonction caractéristique de la boule D− n , . Rappelons que (en )n≥0 est une n base orthonormale de C(ZZp , K) (Théorème II - 4. 2 ). Plus précisément, si f ∈ C(ZZp , K) X on a f = bn en , n≥0 lim bn = 0, kf k = sup |bn | et bn = f (n) − f (n− ). n→+∞ n≥0 Théorème 2.2.11 : X X Soient f = bn en ∈ C(ZZp , K) et P f = bn (x − n)en . n≥0 n≥0 Alors P f ∈ C 1 (ZZp , K) et P (f ) est une primitive de f , i.e. P (f )0 = f . L’application P : C(ZZp , K) → C 1 (ZZp , K) est linéaire isométrique. Démonstration : X (i) Soit f = bn en ∈ C(ZZp , K). Puisque kbn (x − n)en k ≤ |bn | et n≥0 la série de fonctions P (f ) = X lim |bn | = 0, n→+∞ bn (x − n)en converge dans C(ZZp , K). On vérifie n≥0 aussitôt que P : C(ZZp , K) −→ C(ZZp , K) est une application linéaire continue telle que kP (f )k ≤ kf k. 152 (ii) Soit f = X bn en et soit gn = bn (x − n)en le terme général de la série de fonctions n≥0 P (f ) = X bn (x − n)en . On a gn = P (fn ) où fn = bn en et kgn k ≤ |bn | = kfn k. n≥0 Soient x, y ∈ ZZp , x 6= y; ou bien x, y ∈ D 1 , alors Φ1 gn (x, y) = bn ; n, n 1 x−n , y∈ /D n, , alors Φ1 gn (x, y) = bn ; ou bien x ∈ D n x−y 1 1 y−n − − ou bien x ∈ /D n, ,y ∈ D n, , alors Φ1 gn (x, y) = −bn ; n n x−y 1 1 − − n, ,y ∈ /D n, et Φ1 gn (x, y) = 0. ou bien x ∈ /D n n − 1 n, n Mais si |x − n| < − − 1 1 |x − n| et |y − n| ≥ , on a |x − y| = |y − n| et < 1. De n n |x − y| même si |x − n| ≥ 1 1 |y − n| et |y − n| < , on a |x − y| = |x − n| et < 1. n n |x − n| On en déduit que kΦ1 gn k = sup |Φ1 gn (x, y)| ≤ |bn | . Puisque kgn k ≤ |bn |, on a x6=y kgn k1 = max(kgn k , kΦ1 gn k) ≤ |bn | et sup kgn k1 ≤ sup |bn | = kf k. n≥0 Soit a ∈ ZZp . Si a ∈ D − n≥0 1 1 − n, , on a x→a lim Φ1 gn (a, a) = bn et si a ∈ /D n, , n n y→a alors x→a lim Φ1 gn (a, a) = 0. Ainsi gn ∈ C 1 (ZZp , K), avec gn0 = bn en . y→a Puisque kgn k1 ≤ |bn |, on a lim kgn k1 = 0 et la série de fonctions g = n→+∞ X gn n≥0 converge dans l’espace de Banach ultramétrique (C 1 (ZZp , K), k k1 ). Puisque kg − n X gj k ≤ kg − j=0 n X gj k1 , on a lim kg − j=0 D’autre part on a P f = n→+∞ X j≥0 n X gj k = 0. j=0 gj , avec lim kP f − n→+∞ n X gj k = 0; ainsi P f = g ∈ j=0 1 C (ZZp , K). On déduit du Corollaire 2.2.9 que (P f )0 = X n≥0 0 gn0 = X bn en = f avec kf k = n≥0 k(P f ) k ≤ kP f k1 . Comme kP f k1 ≤ sup kgn k1 ≤ kf k, on a kP f k1 = kf k. n≥0 153 Remarque 2.2.12 : X (i) P f = (n − n− )f (n− )en . n≥1 (ii) Soit N 1 (ZZp , K) = {h ∈ C 1 (ZZp , K) / h0 = 0}. Si h ∈ N 1 (ZZp , K), alors P f + h est une primitive de f . (iii) On peut montrer que (γ0 e0 , . . . , γn en , . . . , P e0 , . . . , P en , . . .) est une base orthonormale de C 1 (ZZp , K) tandis que (γn en )n≥0 est une base orthonormale de N 1 (ZZp , K). IV - 3 : Intégrale de Volkenborn IV - 3 - 1 : Définition et Propriétés Définition : Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. n p −1 1 X f (j) On dit que la fonction f : ZZp −→ K est Volkenborn-intégrable si la suite n p j=0 n p −1 1 X a une limite dans K. On pose f (x)dx = lim n f (j). n→+∞ p ZZp j=0 Z n p −1 n−1 1 X 1X j Les sommes n f (j) sont analogues aux sommes de Riemann f p j=0 n j=0 n d’une fonction f : [0, 1] −→ IR. Soit χm la fonction caractéristique de pm ZZp . Z Lemme 3.1.0 : χm (x)dx = ZZp 1 . pm Démonstration : (i) Soient n ≤ m, comme pn ≤ pm , pour 1 ≤ j ≤ pn − 1, on a j 6∈ pm ZZp . Il vient que 1 pn n pX −1 χm (j) = j=0 1 . pn (ii) Soient m < n, comme pm < pn , posant Im,m = {0 ≤ j ≤ pn − 1, j, ∈ pm ZZp }, on voit que card(Im,m ) = p n−m . Ainsi, 1 pn n pX −1 j=0 card(Im,m ) = 1 , ∀n > m. pm χm (j) = 1 X 1 χm (j) = n · n p p j∈Im,n 154 n p −1 1 X 1 On en déduit aussitôt que χm (x)dx = lim n χm (j) = m . n→+∞ p p ZZp j=0 Z N.B. : Il existe des fonctions continues non Volkenborn-intégrables. Exemple : En effet, considérons (αm )m≥0 , une suite d’éléments de K telle que : X lim αm = 0. La série de fonctions f = αm χm converge dans C(ZZp , K). Posons m→∞ m≥0 n Σn (f ) = p −1 n X 1 X αm 1 f (j), on a Σ (f ) = + n n m pn j=0 p p m=0 X αm . De plus, on voit que m≥n+1 1−p X εn (f ) = Σn+1 (f ) − Σn (f ) = n+1 αm . Une condition nécessaire et suffisante pour p m≥n+1 que f soit Volkenborn-intégrable est que lim εn (f ) = 0. n→+∞ m Considérant αm = p , ∀m ≥ 0, on a n X pm 1 X m p 1 Σn (f ) = + p = n+1+ = n+ et εn (f ) = 1. La m n p p 1 − p 1 − p m=0 m≥n+1 X fonction continue f = pm χm n’est donc pas Volkenborn-intégrable. u t m≥0 Soit f : ZZp −→ K une fonction continue et soit Sf la fonction somme indéfinie n p −1 1 1 X f (j) = n (Sf (pn ) − Sf (0)). Alors f est Volkenborn-intégrable associée. On a n p j=0 p 1 si et seulement si lim n Sf (pn ) existe dans K. En particulier, si Sf est dérivable en n→+∞ p Z zéro, on a f (x)dx = (Sf )0 (0). On déduit de la Proposition 2.2.10 que toute fonction ZZp strictement différentiable est Volkenborn-intégrable. Proposition 3.1.1 : Z L’application : C 1 (ZZp , K) −→ K est une forme linéaire continue pour la norme ZZp Z k k1 : en fait f (x)dx ≤ pkf k1 . ZZp 155 Alors , si (fn )n≥0 est une suite convergente dans C 1 (ZZp , K) vers la fonction f , on Z Z lim fn (x)dx = f (x)dx. a n→+∞ ZZp ZZp Démonstration : Z Il est clair que est une forme linéaire. Puisque k(Sf )0 k ≤ kSf k1 ≤ pkf k1 , on a ZZp Z f (x)dx = |(Sf )0 (0)| ≤ k(Sf )0 k ≤ pkf k1 . ZZp Z Z Z En particulier fn (x)dx − f (x)dx = (fn (x) − f (x)dx ≤ pkfn − f k1 . ZZp ZZp ZZp Corollaire 3.1.2 : Z X 1 Soit f = an Bn ∈ C (ZZp , K) ; on a f (x)dx = ZZp n≥0 X (−1)n an . n+1 n≥0 Démonstration : Z Rappelons que SBn = Bn+1 . Ainsi 0 Bn (x)dx = Bn+1 (0). ZZp n X Y x(x − 1) . . . (x − n) 1 0 et Bn+1 (x) = (x − j), on (n + 1)! (n + 1)! i=0 j6=i Z (−1)n (−1)n (−1) . . . (−n) 0 = . D’où Bn (x)dx = et par continuité a Bn+1 (0) = (n + 1)! n+1 n+1 ZZp Z f (x)dx = Comme Bn+1 (x) = ZZp = X Z an Bn (x)dx = ZZp n≥0 X (−1)n an . n+1 n≥0 Démontrer que pour n ≥ 1, on a Exercice 10 : Bn0 = n X (−1)j−1 j=1 j Bn−j . Corollaire 3.1.3 : Z X n Soit f = cn T ∈ K{T } une série formelle restreinte. On a n≥0 X n≥0 Z cn ZZp xn dx. ZZp f (x)dx = 156 Démonstration : Il suffit de remarquer que ZZp est contenu dans l’anneau des entiers de K et d’appliquer la Proposition 2.1.7 : posant kf k0 = sup |cn |, on a kf k1 ≤ kf k0 . n≥0 N.B. : Z (i) Nous allons voir ci-après que les intégrales xn dx sont les nombres de Bernoulli. ZZp n X n X (−1)j j n ∆ (x )(0). Sachant que (ii) On a x = ∆ (x )(0)Bj ; ainsi x dx = j+1 ZZp j=0 j=0 n j Z n n ∆j (xn ) = j X Z j n X (−1)j X j j n n j−` = (−1) τ` (x ), on a x dx = (−1) `n = ` ` j + 1 Z Z p j=0 `=0 `=0 n n X X 1 j = (−1)` `n . j+1 ` `=1 j−` j=` En particulier, on a x = B1 , x2 = 2B2 + B1 et x3 = 6B3 + 6B2 + B1 . D’où l’on déduit Z Z Z 1 1 2 xdx = − , x dx = et x3 dx = 0. t u 2 6 ZZp ZZp ZZp Proposition 3.1.4 : Soit f ∈ C 1 (ZZp , K). 0 Z 0 (i) La fonction (Sf ) − S(f ) est constante égale à f (x)dx. ZZp Z (ii) Soit s ∈ ZZp . On a τs f (x)dx = (Sf )0 (s) et Z Z τs f (x)dx − ZZp f (x)dx = ZZp ZZp S(f 0 )(s). Z En particulier 0 Z 0 Z ∆f (x)dx = S(f )(1) = f (0) et τs+1 f (x)dx− ZZp ZZp τs f (x)dx = ZZp f 0 (s). Démonstration : Z f (x)dx = δ ◦ S(f )(0) = σ ◦ δ ◦ Avec les notations de la Proposition 2.2.10, on a ZZp S(f ). 0 0 Z (i) Puisque δ ◦ S − S ◦ δ = σ ◦ δ ◦ S, on a (Sf ) − S(f ) = f (x)dx. ZZp 157 Z (ii) (a) Rappelons que δ ◦ S ◦ τs = τs ◦ δ ◦ S. Alors τs f (x)dx = (S ◦ τs f )0 (0) = ZZp δ ◦ S ◦ τs f (0) = = τs ◦ δ ◦ S(f )(0) = S(f )0 (s). Z Z (b) De la même manière , on a τs f (x)dx− ZZp f (x)dx = δ◦S◦τs f (0)−δ◦Sf (0) = ZZp (S ◦ δ + σ ◦ δ ◦ S) ◦ τs f (0) − δ ◦ Sf (0) = S ◦ δ ◦ τs f (0) + σ ◦ δ ◦ S ◦ τs f (0) − δ ◦ Sf (0) = τs ◦ S ◦ δf (0) + σ ◦ τs ◦ δ ◦ Sf (0) − δ ◦ Sf (0) = S ◦ δf (s) + σ(δ ◦ Sf )(s) − δ ◦ Sf (0) = S(f 0 )(s) + δ ◦ Sf (0) − δ ◦ Sf (0) = S(f 0 )(s). Z Z Z En particulier ∆f (x)dx = τ1 f (x)dx − ZZp ZZp f (x)dx = S(f 0 )(1). ZZp Puisque ∆ ◦ S(f 0 )(s) = S(f 0 )(s + 1) − S(f 0 )(s) = f 0 (s), on a S(f 0 )(1) = S(f 0 )(1) − Z S(f 0 )(0) = f 0 (0) et ∆f (x)dx = f 0 (0). ZZp τs+1 f (x)dx − D’où l’on déduit que ZZp Z Z Z Z (τs+1 − τs )(f )(x)dx = τs f (x)dx = ZZp ZZp ∆ ◦ τs f (x)dx = (τs f )0 (0) = f 0 (s). = ZZp Corollaire 3.1.5 : Soit N 1 (ZZp , K) = {f ∈ C 1 (ZZp , K) / f 0 = 0}. L’intégrale de Volkenborn est invariante par translation sur N 1 (ZZp , K), i.e. Z f (x+ ZZp Z s)dx = f (x)dx pour toute fonction f ∈ N 1 (ZZp , K) ZZp Démonstration : Elle découle immédiatement de la Proposition 3.1.4 - (ii), car si f ∈ N 1 (ZZp , K), on a f 0 = 0, ainsi S(f 0 ) = 0. Exemple : Soit B l’algèbre de Boole formée des ouverts fermés de ZZp . Soit U ∈ B. La fonction caractéristique χU de U appartient à N 1 (ZZp , K). Pour s ∈ ZZp , on a τ−s χU = χs+U . Z Posons m(U ) = χU (x)dx. ZZp On a : (i) m(s + U ) = m(U ) (ii) m(U ∪ V ) = m(U ) + m(V ), lorsque U, V ∈ B et U ∩ V = ∅ 158 (iii) m(s + pm ZZp ) = p−m , m ≥ 0 et m(U ) ∈ Q, l ∀U ∈ B. u t Corollaire 3.1.6 : Soient f ∈ C 1 (ZZp , K) et s ∈ ZZp . Si P f est une primitive de f de classe C 1 , on a : Z Z Z Z τs P f (x)dx − P f (x)dx = Sf (s) et τs+1 P f (x)dx − τs P f (x)dx = ZZp ZZp ZZp ZZp f (s) Démonstration : Il suffit de remplacer f par P f dans les formules correspondantes de la proposition 3.1.4 Proposition 3.1.7 : Soit f ∈ C 1 (ZZp , K). On a Z Z f (−x)dx = ZZp f (x + 1)dx. ZZp Z 1 f (x)dx = − f 0 (0) 2 ZZp Si de plus f est impaire, alors Démonstration : Soit η l’opérateur défini par η(f )(x) = f (−x). Rappelons que S ◦ τ1 ◦ η = −η ◦ S (Proposition 1.4). On déduit de η ◦ η = id que S ◦ η = −η ◦ S ◦ τ1 . On vérifie facilement que δ ◦ η = −η ◦ δ; ainsi δ ◦ S ◦ η = −δ ◦ η ◦ S ◦ τ1 = η ◦ δ ◦ S ◦ τ1 = η ◦ τ1 ◦ δ ◦ S. Alors Z Z f (−x)dx = η(f )(x)dx = ZZp ZZp = δ ◦ S ◦ η(f )(0) = η ◦ τ1 ◦ δ ◦ S(f )(0) = S(f )0 (1 − 0) = S(f )0 (1) = Z τ1 f (x)dx = ZZp Z f (x + 1)dx. ZZp Z Z Puisque ∆f (x)dx = ZZp Z = ZZp Z f (x + 1)dx = ZZp Z f (x+1)dx− Z 0 f (x)dx = f (0), on voit que ZZp f (−x)dx = ZZp f (x)dx + f 0 (0). ZZp Z Alors si f est impaire, on obtient 2 f (x)dx = −f 0 (0). u t ZZp Considérons un ouvert fermé U de ZZp . Soit χU la fonction caractéristique de U et soit f ∈ C 1 (ZZp , K) , on a f χU ∈ C 1 (ZZp , K). Z Z On pose f (x)χU (x)dx = f (x)dx. ZZp U 159 Proposition 3.1.8 : Soit f ∈ C 1 (ZZp , K) (i) Soit m un entier ≥ 0. Pour 0 ≤ j ≤ pm − 1, on a Z Z Z f (x)dx = f (j + x)dx = p−m f (j + pm x)dx. j+pm ZZp pm ZZp ZZp (ii) Soit Up = ZZp \ pZZp le groupe des unités de ZZp . On a Z Z −1 f (x)dx = p (pf (x) − f (px))dx. Up ZZp Démonstration : n p −1 1 X 1 (i) Pour tout entier n ≥ m, on a n f (`)χj+pm ZZp (`) = n p p pn−m X−1 `=0 = 1 pn n pX −1 f (j + pm k) = k=0 f (j + `)χpm ZZp (`). `=0 1 Comme n p pn−m X−1 f (j + pm k) = p−m k=0 Z Z sage à la limite pm ZZ p pn−m f (j + pm k), on obtient par pas- k=0 f (j + x)dx = p−m f (x)dx = j+pm ZZ pn−m X−1 1 Z f (j + pm x)dx. ZZp p (ii) On déduit de la partition ZZp = Up ∪ pZZp que pour toute fonction f ∈ C 1 (ZZp , K), Z Z Z on a f = f χU p + f χpZZp . Il vient que f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = Up ZZp = R Up N.B : f (x)dx + p−1 Z R ZZp f (px)dx et f (x)dx = Up [ Puisque Up = Z pZZp (f (x) − p−1 f (px))dx. ZZp (j + pZZp ) est une partition , on a 1≤j≤p−1 Z p−1 Z 1X f (x)dx = p j=1 Up f (j + px)dx. ZZp Exercice 11 : Sachant que SBn = Bn+1 et (x + 1)Bn = (n + 1)Bn+1 + (n + 1)Bn , démontrer que Z Z SBn (x)dx = − (x + 1)Bn (x)dx. ZZp ZZp 1 Z En déduire que pour f ∈ C (ZZp , K), on a Z Sf (x)dx = − ZZp (x + 1)f (x)dx. ZZp 160 IV - 3- 2. : Les nombres de Bernoulli. Considérons la série formelle exp(z) = ez = X zn ∈ Q[[z]]. l On voit que la série n! n≥0 X bn z formelle z = z n est aussi un élément de Q[[z]]. l e −1 n! n≥0 Les nombres rationnels bn sont appelés les nombres de Bernoulli. 1 1 On a b0 = 1 , b1 = − , b2 = , . . . . 2 6 X Pn (y) zeyz Soit y une autre indéterminée. Considérons la série formelle z = zn ∈ e −1 n! n≥0 Q[[x, l y]]. On voit que Pn ∈ Q[y]. l Les polynômes Pn , usuellement désignés par Bn , sont appelés les polynômes de Bernoulli . On a Pn (0) = bn . On sait (cf. Remarque 4.2.2- (ii)-) que le rayon de convergence p-adique ρp de la X zn 1 est égal à p− p−1 , tandis que, comme dans le cas réel ou série formelle exp(z) = n! n≥0 complexe, celui de la série formelle log(1 + z) = X (−1)n−1 z n est égal à 1. n n≥1 Soit K un sur-corps valué complet de Q l p , de valeur absolue normalisée de telle sorte que |p| = p−1 . Par exemple C l p ou chacun de ses sous-corps fermés. Posons Ep = {t ∈ K / |t| < ρp }, on a pZZp ⊂ Ep . On montre que pour tout t ∈ Ep , on a |et − 1| = |t| et | log(1 + t)| = |t|. De plus l’application exp : Ep −→ 1 + Ep est un isomorphisme isométrique de groupes, d’application réciproque la fonction log. (cf. Appendice) X tn Soit t ∈ Ep fixé. La série formelle etz = z n ∈ K{z}= l’anneau des séries n! n≥0 formelles restreintes à coefficients dans K. On en déduit que la fonction qui à x ∈ ZZp Z X tn X tn Z n tx tx 1 associe e = x est de classe C et e dx = xn dx. n! n! ZZp ZZp n≥0 n≥0 161 Lemme 3.2.1 : Z On a bn = n−1 X n x dx, avec b0 = 1 et ZZp De plus b1 = − j=0 n j bj = 0, pour n ≥ 2 1 et b2n+1 = 0, lorsque n ≥ 1 2 Démonstration : Z (i) Appliquant la Proposition 3.1.4 -(ii), on a Z tx ∆(e )dx = ZZp Z d tx (e )(0) = t. dx ZZp Z Ainsi, pour tout t ∈ Ep , t 6= 0 , on a = (et − 1) (et(x+1) − etx )dx = ZZp etx dx = X tn Z t e dx = t = xn dx. e −1 n! ZZp ZZp n≥0 Z Z t D’où bn = xn dx. (Pour t = 0, on a dx = 1 = lim t .) t→0 e − 1 ZZp ZZp Z Il vient d’une part que b0 = 1 et d’autre part, pour n ≥ 2, on a ∆(xn )dx = tx ZZp = R ((x + 1)n − xn )dx = ZZp n−1 X j=0 n j Z xj dx = ZZp n−1 X j=0 (ii) Les fonctions x −→ x2n+1 étant impaires, on a b2n+1 = D’où b1 = − n j Z bj = (xn )0 (0) = 0. 1 x2n+1 dx = − (x2n+1 )0 (0). 2 ZZp 1 et b2n+1 = 0, lorsque n ≥ 1. 2 Proposition 3.2.2 : Les polynômes de Bernoulli satisfont aux relations suivantes : X n (i) Pn (y) = bi y j . i i+j=n (ii) (iii) (iv) Pn (y + 1) − Pn (y) = ny n−1 . En particulier Pn (1) = Pn (0) = bn , lorsque n ≥ 2. n−1 1 X n+1 n Pn (y) = y − Pj (y). j n + 1 j=0 Pn (1 − y) = (−1)n Pn (y). Démonstration : Soient y ∈ ZZp et t ∈ Ep , t 6= 0. 162 X tn Z X tn tety = (x+y)n dx = Pn (y). t e −1 n! ZZp n! ZZp ZZp n≥0 n≥0 Z X n Z X n Donc Pn (y) = (x + y)n dx. Ainsi Pn (y) = yj xi dx = bi y j . i i ZZp Z Z p i+j=n i+j=n Z Z Par définition Pn (y + 1) − Pn (y) = (x + y + 1)n dx − (x + y)n dx. Il vient que Z et(x+y) dx = ety On a Z etx dx = ZZp Z ∆((x + y)n )dx = Pn (y + 1) − Pn (y) = ZZp ZZp ny n−1 d n ((x + y) ) (0) = ny n−1 , i.e ∆Pn (y) = dx . La relation (iii) se déduit de (ii) de la manière suivante : (n + 1)y n = Pn+1 (y + 1) − Z n+1 Xn + 1Z n+1 (x + y + 1) dx − Pn+1 (y) = (x + y)j dx − Pn+1 (y) = Pn+1 (y) = j ZZp ZZp j=0 = n+1 X j=0 n+1 j Pj (y) − Pn+1 (y) = n−1 X j=0 n+1 j Pj (y) + (n + 1)Pn (y) + Pn+1 (y) − Pn+1 (y) = = (n + 1)Pn (y) + n−1 X j=0 D’où Pn (y) = y n − Z Rappelons que n−1 j n ZZp n Z (−x − y) dx = (−1) ZZp Pj (y). n−1 1 X n+1 Pj (y). j n + 1 j=0 Z Z f (x+1)dx = f (−x)dx. Ainsi Pn (1−y) = ZZp Z (x+1−y)n dx = ZZp (x + y)n dy = (−1)n Pn (y). ZZp Lemme 3.2.3 : Soit pour n ≥ 0, Sn (y) = S(y n ) la fonction somme indéfinie de la fonction y −→ y n . n X 1 y j+1 n On a Sn (y) = (Pn+1 (y) − bn+1 ) = bn−j . j n+1 j+1 j=0 Démonstration : Comme ci-dessus, on a (n + 1)y n = Pn+1 (y + 1) − Pn+1 (y) = ∆Pn+1 (y). Puisque 1 1 n ∆Sn (y) = y , on a ∆ Sn − Pn+1 = 0. Alors Sn (y) − Pn+1 (y) = cn est n+1 n+1 une constante telle que 0 = 1 bn+1 Pn+1 (0) + cn . D’où cn = − n+1 n+1 et Sn (y) = 163 1 (Pn+1 (y) − bn+1 ). n+1 Sachant que Pn+1 (y) = n+1 X j=0 = n+1 X j=1 1 n+1 n+1 j n+1 j bn+1−j y j = n+1 1 X n+1 bn+1−j y , on a Sn (y) = bn+1−j y j = j n + 1 j=1 j n+1 X j=1 n j−1 n bn+1−j X yj = j j=0 y j+1 n bn−j . j j+1 Remarque 3.2.4 : Pour y = m un entier ≥ 1 , on a Sn (m) = m−1 X `n , somme des puissances et `=1 Sn (m) = n X j=0 n j j+1 bn−j m 1 = (Pn (m) − bn+1 ). j+1 n+1 En particulier, S1 (m) = S3 (m) = m(m − 1) m(m − 1)(2m − 1) , S2 (m) = , 2 6 m2 (m − 1)2 = S1 (m)2 , etc....... 4 Proposition 3.2.5 : Soit n un entier ≥ 1 Pour tout nombre premier p, on a pbn ∈ ZZp et pb2n ≡ S2n (p) (mod. pZZp ). Démonstration : (i) Z Z n f (x)dx ≤ pkf k1 que |bn | = x dx ≤ pkxk1 = On déduit aussitôt de ZZp ZZp p = |p−1 |, i.e. |pbn | ≤ 1. (ii) Puisque b2n−j = 0, lorsque j 6= 2n−1 est impair, on a S2n (p) = 2n X 2n j=0 = pb2n + n X 2n j=1 2j n X 2n p2j+1 b2n−2j + 2j + 1 2n 2n − 1 b1 j b2n−j pj+1 = j+1 p2n = 2n p2j p2n − , avec pb2(n−j) ∈ ZZp , pour 0 ≤ j ≤ n. 2j 2j + 1 2 j=1 2j 2 -(a)- Si p = 2, on a pour 1 ≤ j ≤ n, v2 = 2j − v2 (2j + 1) = 2j ≥ 2 2j + 1 2n 2 et v2 = v2 (22n−1 ) = 2n − 1 ≥ 1. 2 = pb2n + pb2(n−j) 164 -(b)- Si p ≥ 3, on a vp 2j + 1, on a vp (2j + 1) ≤ p2n 2 = 2n ≥ 2. Pour 1 ≤ j ≤ n, comme pvp (2j+1) ≤ log(2j + 1) < log(2j + 1). Mais pour tout nombre réel log p > 0, on a log(x + 1) < x. Ainsi log(2j + 1) < 2j. 2j p = 2j − vp (2j + 1) ≥ 1. Il vient que vp (2j + 1) < 2j et vp 2j + 1 On déduit de ce qui précède que pour tout nombre premier p, on a vp (S2n (p) − pb2n ) ≥ 2n p2j p 2n min min vp pb2(n−j) ≥ , vp 2j 1≤j≤n 2j + 1 2 ≥ min min (2j − vp (2j + 1)) , 2n − vp (2) ≥ 1. 1≤j≤n Il vient que S2n (p) − pb2n ∈ pZZp . Théorème 3.2.6 : Clausen-Von Staudt Soit n un entier ≥ 1 . On a b2n + X 1 ∈ ZZ et le dénominateur du nombre p p−1|2n rationnel b2n est sans facteur carré. Démonstration : (i) Réduisant la somme S2n (p) = p−1 X j 2n modulo p, on a S2n (p) = X j=1 u∈IF∗ p Ou bien p − 1|2n, alors u2n = 1, pour tout u ∈ IF∗p et S2n (p) = X u2n . 1 = (p − 1) = u∈IF∗ p −1. Ou bien p − 1 6 |2n. Considérons ζ ∈ IF∗p tel que ζ 2n 6= 1. X X Comme ζ · IF∗p = IF∗p , on a S2n (p) = u2n = (ζu)2n = ζ 2n S2n (p). u∈IF∗ p u∈IF∗ p Ainsi (1 − ζ 2n ) S2n (p) = 0 et S2n (p) = 0. En résumé, on a S2n (p) ≡ −1 (mod. pZZp ), lorsque p − 1|2n et S2n (p) ≡ 0 (mod. pZZp ), lorsque p − 1 6 |2n. (ii) Puisque pb2n ≡ S2n (p) (mod. pZZp ), on a : pb2n ≡ −1, lorsque p − 1|2n et pb2n ≡ 0, lorsque p − 1 6 |2n. En d’autres termes |pb2n + 1|p ≤ |p|p si p − 1|2n et |pb2n |p ≤ |p|p , lorsque p − 1 6 |2n, 1 i.e. |b2n + |p ≤ 1, pour p − 1|2n et |b2n |p ≤ 1, pour p − 1 6 |2n. p 165 X 1 ∈ Q. l p p−1|2n X 1 1 ≤ = b2n + + q p p−1|2n p6=q Soit q un nombre premier quelconque. Considérons b2n + Ou bien X 1 q − 1|b2n , alors b2n + p p−1|2n q q ! 1 1 max b2n + q , max = 1. p6=q p q q X 1 ∈Q l ∩ ZZq . p p−1|2n ! X 1 ≤ max |b2n |q , max 1 Ou bien q − 1 6 |b2n , alors b2n + = 1. p6=q p q p p−1|2n q ! X 1 X 1 \ D’où b2n + ∈Q l ∩ ZZq . En conclusion : b2n + ∈Q l ∩ ZZq = ZZ; p p q Il vient que b2n + p−1|2n p−1|2n d’où l’on déduit que le dénominateur de b2n est sans facteur carré. IV - 4 : La fonction Γ p-adique IV - 4 - 1 : Rappels sur la fonction Γ complexe La fonction Γ peut s’introduire de plusieurs façons différentes [cf. par exemple N. Bourbaki - Fonctions d’une variable réelle Chap. VII -Hermann , Paris ] et joue un rôle important dans la théorie des fonctions spéciales. Posons donc pour z ∈ C, l <(z) > 0 : Z +∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt (1) 0 On vérifie que cette intégrale est convergente et définit une fonction holomorphe sur l’ensemble P = {z ∈ C, l <(z) > 0}. D’autre part, on montre que le produit infini : Y z z (1 + )e− n converge pour tout z ∈ Cl et définit une fonction entière. n n≥1 166 Ainsi, le produit infini : z e−γz Y z (1 + )−1 e n z n (2) n≥1 converge pour tout z ∈ Cl \ ZZ− . Cette fonction est une fonction méromorphe sur C, l de pôles simples l’ensemble ZZ− = {n ∈ ZZ / n ≤ 0}. La constante γ = ! n X 1 − log(n) est la constante d’Euler. De plus, le produit infini (2) ci-dessus lim n→+∞ k k=1 est un prolongement méromorphe de la fonction Γ définie par l’intégrale (1). On pose alors Γ(z) = z e−γz Y z (1 + )−1 e n z n (3) n≥1 On démontre alors les différentes formules qui suivent : Formule de Gauss : Pour tout z ∈ Cl \ ZZ− , on a n!nz n→+∞ z(z + 1) · · · (z + n) Γ(z) = lim D’où l’on déduit : Γ(z + 1) = zΓ(z), (4) ∀z ∈ Cl \ ZZ− . Il vient que pour tout entier positif n, on a Γ(n + 1) = n!. Ce qui a fait dire par les auteurs anciens que la fonction Γ est une interpolation de la fonction factorielle. Formule de Legendre-Gauss : Pour tout z ∈ Cl \ ZZ− et tout entier m ≥ 1, on a m−1 1 z z+1 z+m−1 Γ( )Γ( ) · · · Γ( ) = (2π) 2 m 2 −z Γ(z) (5) m m m Formule des compléments : Pour tout z ∈ C, l on a 1 1 = sin(πz) (6) Γ(z)Γ(1 − z) π Développement asypmtotique de Stirling Rappelons que les b2k désignent les nombres de Bernoulli. On a pour | arg(z)| ≤ π−δ n X 1 b2k 1 1 log Γ(z) = (z − ) log(z) − z + · 2k−1 + O( 2n+1 ), 2 2k(2k − 1) z z k=1 IV - 4 - 2 : Définition de la fonction Γ p-adique Rappelons que vp désigne la valuation p-adique sur ZZ. (7) 167 Lemme 4.2.1 : Soient n = a0 + a1 p + · · · + at pt , le développement p-adique de l’entier n et Sp (n) = a0 + a1 + · · · + at la somme des chiffres de n dans la base p. On a vp (n!) = n − Sp (n) . p−1 Démonstration : Soit pour j entier positif j = αν pν + αν+1 pν+1 + · · · + αs ps son développement p-adique, où ν = vp (j). On a ν s X ν j − 1 = (αν − 1)p + p − 1 + ` α` p = (p − 1) `=ν+1 D’où Sp (j − 1) = (p − 1) ν−1 X 1 + αν − 1 + `=0 ν−1 X ` ν p + (αν − 1)p + `=0 s X s X α` p` . `=ν+1 α` = ν(p − 1) + Sp (j) − 1 et `=ν+1 Sp (j − 1) − Sp (j) + 1 . On obtient donc p−1 n n n n Y X X 1 X n − Sp (n) vp (n!) = vp j = vp (j) = ( Sp (j −1)− Sp (j)+n) = . p − 1 p − 1 j=1 j=1 j=1 j=1 vp (j) = ν = Remarque 4.2.2 : (i) Pour n = a0 + a1 p + · · · + at pt , at 6= 0, on a t = (ii) 1 ≤ Sp (n) ≤ (1 + t)(p − 1). 1 log(n) . log(p) 1 On a lim |n!| n = p− p−1 , et le rayon de convergence p-adique de la série formelle n→+∞ exp(z) = X zn 1 est égal à p− p−1 . = n! n≥0 (iii) vp (n!) = X n [ k ]. p k≥1 Démonstration : (i) On voit immédiatement que pt ≤ n ≤ t X `=0 log(n) log(n) t≤ < t + 1. D’où t = . log(p) log(p) (p − 1)pt = pt+1 − 1 < pt+1 ; où encore 168 Il est clair quer 1 ≤ Sp (n) ≤ (ii) t X (p − 1) = (t + 1)(p − 1) . `=0 On en déduit avec (i) que lim n→+∞ Sp (n) = 0 et n lim n→+∞ vp (n!) n − Sp (n) = lim = n→+∞ n n(p − 1) 1 . p−1 1 1 D’où lim |n!| n = p− p−1 . n→+∞ Ce qui est le rayon de convergence p-adique de exp. Soit k un entier ≥ 1. Posons Jk = { 1 ≤ j ≤ n / pk |j }. Alors j ∈ Jk j n si et seulement si 1 ≤ j = pk m ≤ n, ou encore 1 ≤ [ k ] = m ≤ [ k ]. On a donc p p n card(Jk ) = [ k ]. p n n Mais Lk = Jk \ Jk+1 = { 1 ≤ j ≤ n / vp (j) = k } et card(Lk ) = [ k ] − [ k+1 ]. p p n X X X X n n Ainsi vp (n!) = vp (j) = vp (j) = k [ k ] − [ k+1 ] = p p j=1 (iii) k≥1 j∈Lk = X k≥1 k[ n ]− pk X k≥1 k≥1 X n n (k − 1)[ k ] = [ k ]. p p k≥1 On peut démontrer le Lemme 4.2.1 en utilisant (iii) : noter que pour k ≥ 0, n n on a [ k ] = ak + p[ k+1 ]. p p La fonction Γ complexe est telle que Γ(n + 1) = n!, pour tout n ∈ IN. On déduit du Lemme 4.2.1 que l’on a dans ZZp , lim n! = 0. n→+∞ On ne peut donc pas interpoler la suite (Γ(n + 1))n≥0 en une fonction continue f : ZZp −→ ZZp . En 1952, G. Overholzer a proposé comme analogue p-adique de la fonction Γ, la fonction γp : ZZp −→ ZZp qui interpole la suite d’entiers définie par γp (n) = n−1 Y (1 + ip), i=0 pour p 6= 2 et pour p = 2, γ2 (n) = n−1 Y (1 + 4i) , car alors γp (n + `pν ) ≡ γp (n) (mod. i=0 pν+1 ). Il obtient un développement en série de logp γp (x) que l’on peut simplifier, dans le cas p 6= 2, en la formule : 169 1 1 logp γp (x) = (x− + ) logp (1+px)−x+ 2 p X (−1)m pm−1 m≥1 X n≥1 2n p b2n xm (m + 2n)(m + 2n − 1) où logp est le logarithme p-adique, les b2n étant comme ci-dessus les nombres de Bernoulli. Cette formule est comparable à la formule asymptotique de Stirling. Remarquons que la formule asymptotique de Stirling a un sens p-adiquement et on a une fonction Gp définie sur Cl p \ ZZp telle pour tout x ∈ Cl p \ ZZp , on a : X 1 b2n 1 Gp (x) = (x − ) logp (x) − x + · . 2 2n(2n − 1) x2n−1 n≥1 En 1975, Y. Morita considère la suite d’entiers définis pour n ≥ 1 par n Γp (n) = (−1) n−1 Y j (8) j=1,(p,j)=1 Cette suite s’interpole en une fonction continue Γp : ZZp −→ ZZp . Cette fonction s’avère être la ”bonne” fonction qui correspond à la fonction Γ complexe. IV - 4 - 3 : Interpolation de Γp (n) - Quelques formules Posons Γp (0) = 1 et pour n ≥ 1, Γp (n) défini par la formule (8). Dans la formule (8), (p, j) = 1 signifie comme d’habitude que p et j sont premiers entre eux. On a Γp (1) = −1 et pour n ≥ 0, on a p 6 |Γp (n). D’où Γp (n) ∈ ZZ∗p = ZZp \ pZZp = Up , le groupe des éléments inversibles de ZZp . De plus, on vérifie aussitôt que Γp (n + 1) = −nΓp (n), si (n, p) = 1 et Γp (n + 1) = −Γp (n), si p|n ; c’est-à-dire Γp (n + 1) = τp (n)Γp (n) (9) où τp (n) = −n, si (n, p) = 1 et τp (n) = −1 si p|n. Lemme 4.3.1 : Soient n, s ∈ IN; s ≥ 1. (i) Si p 6= 2, on a Γp (n + ps ) ≡ Γp (n) ( mod. ps ). (ii) Si s 6= 2, on a Γ2 (n + 2s ) ≡ Γ2 (n) ( mod. 2s ). Démonstration : Posant Is = [n , n + ps − 1], on a déjà remarqué que l’application canonique ϕs : ZZ −→ ZZ/ps ZZ induit une bijection de Is sur ZZ/ps ZZ. Si l’on pose Is0 égal à l’ensemble des j ∈ Is tels que p|j et Is00 égal à l’ensemble des j ∈ Is tels que (p, j) = 1, on a Is = Is0 ∪ Is00 , 170 avec ϕs (Is0 ) = pZZ/ps ZZ et ϕs (Is00 ) = (ZZ/ps ZZ)∗ = Gs , le groupe des éléments inversibles de l’anneau ZZ/ps ZZ. De plus card(Is0 ) = ps−1 et card(Is00 ) = ps − ps−1 . Puisque Γp (n + 1) = τp (n)Γp (n), on voit aussitôt que Γp (n + m) = m−1 Y Y τp (n + j) · Γp (n) = j=0 τp (j) · Γp (n). n≤j≤n+m−1 En particulier Γp (n + ps ) = Y τp (j) · Γp (n). Comme Is = Is0 ∪ Is00 et τp (j) = −1, j∈Is lorsque j ∈ Is0 et τp (j) = −j, lorsque j ∈ Is00 , on a Y s τp (j) = (−1)p s Y j. j∈Is00 j∈Is Ainsi ϕs (Γp (n + ps )) = (−1)p Y ϕs (j) · ϕs (Γp (n)). j∈Is00 Y Puisque ϕs (j) = j∈Is00 Y Y σ= Y σ, on obtient Y ϕs (j) = j∈Is00 σ 2 =1 σ∈Gs σ, et puisque pour tout groupe commutatif fini, on a σ∈Gs Y σ. σ 2 =1 Supposons p 6= 2. On voit facilement que σ 2 = 1 si seulement si σ = ±1. Y s D’où ϕs (j) = −1 et ϕs (Γp (n + ps )) = (−1)p · (−1) · ϕs (Γp (n)) = ϕs (Γp (n)), -(a)- j∈Is00 c’est-à-dire Γp (n + ps ) ≡ Γp (n) (mod. ps ). -(b)- Si p = 2; alors : Ou bien s = 1, dans ce cas G1 = {1}. D’où Γ2 (n + 2) ≡ Γ2 (n) ( mod. 2). Ou bien s = 2, on a G2 = {1, −1} et 4 Y ϕ2 (j) = −1. D’où j=1,(2,j)=1 Γ2 (n + 4) ≡ −Γ2 (n) (mod. 4). Ou bien s ≥ 3, dans ce cas on voit que {σ ∈ Gs / σ 2 = 1} = {1, −1 , 1 + ϕs (2s−1 ) , −1 + ϕs (2s−1 )}. Y D’où σ = −1 · (1 + ϕs (2s−1 )) · (−1 + ϕs (2s−1 )) = −1 · (−1 + ϕs (22(s−1) ) = σ 2 =1 −1 · −1 = 1 et Γ2 (n + 2s ) ≡ Γ2 (n) (mod. 2s ). N.B : Le Lemme 4.3.1 montre que la suite (Γp (n))n≥0 est une suite d’interpolation. t u 171 Corollaire 4.3.2 : Soient m, n, s ∈ IN, s ≥ 1 (i) Si p 6= 2, on a Γp (n + mps ) ≡ Γp (n) ( mod. ps ) (ii) Pour p = 2, on a Γ2 (n + m2s ) ≡ Γ2 (n) ( mod. 2s ) , lorsque s 6= 2, et Γ2 (n + 4m) ≡ −Γ2 (n) ( mod. 4). Démonstration : Elle se fait par récurrence sur m Remarque 4.3.3 : n−1 Y On peut avoir l’idée d’interpoler la suite définie par les produits j, cependant cette suite n’est une suite d’interpolation que pour p = 2. j=1,(p,j)=1 Théorème 4.3.4 : n−1 Y La suite Γp : IN −→ Q l p définie par Γp (n) = (−1)n j se prolonge en une j=1,(p,j)=1 unique fonction continue sur ZZp , encore notée Γp telle que : (i) (ii) Γp (ZZp ) ⊂ ZZ∗p Γp (x + 1) = τp (x)Γp (x), où τp (x) = −x, si |x| = 1 et τp (x) = −1, lorsque |x| < 1. (iii) Soient x, y ∈ ZZp . Si p 6= 2, on a |Γp (x) − Γp (y)| ≤ |x − y|. Si p = 2, on a |Γ2 (x) − Γ2 (y)| ≤ |x − y|, lorsque |x − y| = 6 14 , et |Γ2 (x) − Γ2 (y)| ≤ 2|x − y|, lorsque |x − y| = 1 4 . Démonstration : Le fait que Γp : IN −→ Q l p se prolonge en une fonction continue sur ZZp découle du Lemm 3.2.2 ci-dessus et du Lemme 1.1 de IV -1. Puisque ZZ∗p est une partie fermée de ZZp et que Γp (IN) ⊂ ZZ∗p , on a Γp (ZZp ) ⊂ ZZ∗p . On déduit aussitôt (ii) de la relation (9). Quant à (iii), il suffit d’appliquer le Corollaire 3.2.2 . Proposition 4.3.5 : n Soit n un entier ≥ 1. On a Γp (n + 1)Γp (−n) = (−1)n+1−[ p ] . 172 Démonstration : En effet, on a Γp (1−j) = τp (−j)Γp (−j) ( Théorème 3.2.4-(ii) ). Ainsi n Y Γp (1−j) = j=1 n Y τp (−j) · j=1 n Y n Y Γp (−j). Il vient que 1 = Γp (−n) · j=1 τp (−j). On a τp (−j) = −1, j=1 n si p|j et τp (−j) = j, si (p, j) = 1. Comme card{1 ≤ j ≤ n / p|j } = [ ], on a p n Y Y Y n Γp (−n)−1 = τp (−j) = (−1) · (j) = (−1)[ p ] (−1)n+1 Γp (n + 1) = j=1 n+1−[ n p] (−1) 1≤j≤n,p|j 1≤j≤n,(p,j)=1 Γp (n + 1). Théorème 4.3.6 : (Formule des compléments) (i) Si p 6= 2 , posons pour x ∈ ZZp , `(x) le représentant de x modulo pZZp tel que On a Γp (x)Γp (1 − x) = (−1)`(x) . X Si p = 2 et x = ai xi ∈ ZZ2 , ai ∈ {0, 1}, posons σ(x) = a1 . Alors 1 ≤ `(x) ≤ p. (ii) i≥0 Γ2 (x)Γ2 (1 − x) = (−1)σ(x)+1 . Démonstration : Rappelons que Γp (n)Γp (1 − n) = (−1)n−[ n−1 p ] , ∀n ≥ 0. Par définition, on a pour n ≥ 0, n = mp + `(n), 1 ≤ `(n) ≤ p. Alors, pour p 6= 2, on a n − 1 = mp + `(n) − 1 et [ n−1 ] = m. p D’où `(n) = n − p[ n−1 p ] et (−1)`(n) = (−1)n−p[ n−1 p ] = (−1)n · (−1)−p[ n−1 p ] = (−1)n−[ n−1 p ] = Γp (n)Γp (1 − n). Dans le cas p = 2, considérons le développement 2-adique n = a0 + a1 2 + · · · + at 2t de n. t−1 Ou bien a0 = 1, alors on a n − 1 = a1 2 + · · · + at 2t et [ n−1 . 2 ] = a1 + a2 2 + · + at 2 t−1 D’où n − [ n−1 = 1 + σ(n) + 2q. Il vient que 2 ] = 1 + a1 + (2 − 1)2a2 + · · · + (2 − 1)at 2 (−1)n−[ n−1 2 ] = (−1)1+σ(n) . Ou bien a0 = 0, alors n − 1 = −1 + a1 2 + · · · + at 2t = 1 − 2 + a1 2 + · · · + at 2t et n−1 [ ] = −1 + a1 + a2 2 + · · · + at 2t−1 . 2 t−1 Il vient que n − [ n−1 + at 2t . 2 ] = 1 − a1 + (a1 − a2 )2 + · · · + (at − at−1 )2 Ainsi, on obtient (−1)n−[ n−1 2 ] = (−1)1−σ(n) = (−1)1+σ( n) . 173 On donc démontré que Γ2 (n)Γ2 (1 − n) = (−1)σ(n)+1 , ∀n ≥ 0. On achève la démonstration du théorème en remarquant que la fonction ` ( resp. σ) est continue. En fait ` ( resp. σ ) est une fonction localement constante. En effet, par défintion, pour p 6= 2 et pour n, entier ≥ 0, on a `(n) = k, si n ≡ k (mod. p), 1 ≤ k ≤ p. Ainsi `(x) = k, lorsque x ∈ k + pZZp , 1 ≤ k ≤ p − 1 et `(x) = p, lorsque x ∈ pZZp . Pour p = 2, on a σ(x) = 0, si x ∈ 4ZZ2 ∪ (1 + 4ZZ2 ) et σ(x) = 1, lorsque x ∈ (2 + 4ZZ2 ) ∪ (3 + 4ZZ2 ). Corollaire 4.3.7 : Si p 6= 2, on a p+1 1 ∈ ZZp et Γp ( 12 )2 = (−1) 2 . 2 1 Alors pour p ≡ 1 (mod. 4), on a (−1) 2 = i ∈ Q l p. Démonstration : 1 En effet, Γp ( 12 )2 = Γp ( 12 )Γp (1 − 12 ) = (−1)`( 2 ) . Comme p + 1 ≡ 1 (mod. p), on a p+1 p+1 p+1 1 ≡ et `( 12 ) = . Ainsi Γp ( 12 )2 = (−1) 2 2 2 2 Si donc p = 4m + 1, on a Γp ( 21 )2 = (−1)2m+1 = −1 et Γp ( 12 ) est une racine carrée de −1 dans Q l p. N. B : Soit m un entier positif tel que (m, p) = 1. On a mp−1 ≡ 1 ( mod. p) - petit théorème de Fermat - Ainsi mp−1 = 1 + y où y ∈ pZZp . On pose pour α ∈ ZZp : Xα p−1 α α (m ) = (1 + y) = yn . u t n n≥0 Théorème 4.3.8 : (Formule de multiplication de Legendre - Gauss) Supposons p 6= 2. Posons pour x ∈ ZZp , `1 (x) = (i) x − `(x) ∈ ZZp . p Soit m un entier ≥ 1 tel que (m, p) = 1. m−1 Y On a j=0 (ii) Γp ( m−1 Y x+j j )= Γp ( ) · m1−`(x) · (mp−1 )−`1 (x) Γp (x). m m j=0 Soit m un entier impair ≥ 1. Alors m−1 Y j=0 m−1 Y x+j j Γ2 ( )= Γ2 ( ) · m−σ(x) · Γ2 (x). m m j=0 174 Démonstration : Considérons pour tout nombre premier p, la fonction fm (x) = m−1 Y Γp ( j=0 Γp (x). On a fm (0) = m−1 Y Γp ( j=0 De plus fm (x+1) = m−1 Y j −1 ) . m Γp ( j=0 où ψm (x) = x + j −1 ) · m x + j + 1 −1 τp (x) ) ·Γp (x+1) = x ·fm (x) = ψm (x)·fm (x), m τp ( m ) τp (x) est égal à m si |x| = 1 et est égal à 1 , lorsque |x| < 1. x ) τp ( m En particulier, pour j entier ≥ 1, on a fm (j) = fm (j − 1)ψm (j − 1) et multipliant pour j parcourant [1, n], on obtient fm (n) = n Y ψm (j −1)·fm (0) = j=1 = mn−1−[ n−1 p ] Y m·fm (0) = j=1,(p,j)=1 · fm (0). D’où l’on déduit : -(a)- Pour p = 2, fm (n) = m−σ(n) · fm (0), c’est-à-dire m−1 Y Γ2 ( j=0 m−1 Y j n+j )= Γ2 ( ) · m−σ(n) · Γ2 (n). m m j=0 -(b)- Pour p 6= 2, on vérifie que n − 1 − [ n−1 ] = `(n) − 1 + (p − 1)`1 (n). p Il vient que fm (n) = m`(n)−1+(p−1)`1 (n) · fm (0), c’est-à-dire m−1 Y j=0 Γp ( m−1 Y n+j j )= Γp ( ) · m1−`(n) · (mp−1 )−`1 (n) Γp (n). m m j=0 Ces formules sont celles du théorème aux valeurs entières; ensuite on passe à la limite. Remarque 4.3.9 : j j Soit m un entier tel que (m, p) = 1. Posons pour 1 ≤ j ≤ m, δ( m ) = `( m ), lorsque p 6= 2 et j j δ( m ) = σ( m ) + 1 , lorsque p = 2. On déduit de la formule des compléments que l’on a : 0 m X pour m = 2m0 + 1, m−1 Y j=1 Γp ( j ) = (−1) j=1 m δ( j ) m , et 175 m0 X m−1 Y pour m = 2m0 et p 6= 2, Γp ( j=1 j ) = (−1) j=1 m δ( j ) m 1 Γp ( ). 2 Proposition 4.3.10 : Quelques formules arithmétiques n! (i) Γp (n + 1) = (−1)n+1 n . n [ ]!p[ p ] p (ii) Γp (np + j + 1) = (−1)np+j+1 (iii) Γp (pn ) = (−1)p n (np + j)! , 0 ≤ j ≤ p − 1. n!pn (pn − 1)! (pn−1 − 1)!ppn−1 −1 n Γp (pn + 1) = (−1)p , +1 pn ! . pn−1 !ppn−1 Soient n = a0 + a1 p + · · · + at pt le développement p-adique de n et log(n) Sn = a0 + · · · + at , la somme des chiffres t = . Alors log(p) (iv ) n+1−t n! = (−1) (−p) n−Sn p−1 · t Y Γp ([ i=0 n ] + 1). pi En particulier n p−n+1 p ! = (−1) (−p) pn −1 p−1 · n Y Γp (pi + 1). i=0 Démonstration : Nous allons démontrer (i), (ii) et (iii) sont des conséquences immédiates de (i). La vérification de (iv) est laissée au lecteur. Par définition, n! = n Y n Y j= j=1 j· j=1,(p,j)=1 n Y j=1,p|j n Mais card({1 ≤ j ≤ n / p|j}) = [ ]. Ainsi p En conclusion Γp (n + 1) = (−1)n+1 n Y j=1,p|j n! n [ np ]!p[ p ] n Y j = (−1)n+1 Γp (n + 1) · j. j=1,p|j [n p] j= n n pj = [ ]!p[ p ] . p j=1 Y . Exercice 12 : Soit f : ZZp −→ Q l p une fonction continue et soit f (x) = X n≥0 de Mahler de f, an ∈ Q l p, (1) Soient u(z) = x an le développement n lim an = 0. n→+∞ X an X f (n) z n et v(z) = z n les séries génératrices exponenn! n! n≥0 n≥0 tielles des suites (an )n≥0 et (f (n))n≥0 . Montrer que u(z) = exp(−z)v(z). 176 (2) (3) X Γp (n + 1) 1 − (−z)p (−z)p n Démontrer que z =− exp . n! 1+z p n≥0 X x Soit Γp (x + 1) = αn le développement de Mahler de la fonction n n≥0 Γp (x + 1). Démontrer que l’on a αn = (−1)n+1 βn , où les βn sont définis par = X 1 − zp zp exp( ) = 1−z p βn z n . ( D. Barsky ) n≥0 IV - 4 - 4 : Analycité locale de Γp IV - 4 - 4 - 1 : Quelques rappels -(1)- Soit D− (1, 1) la boule ouverte de centre 1 et de rayon 1 de Cl p = complété de la clôture algébrique de Q l p . C’est un sous-groupe multiplicatif de Cl ∗p = Cl p \ {0}. Soit Up = {a ∈ C l p / |a| = 1} le groupe des unités de Cl p . Considérons pour a ∈ Up la plus petite puissance q de p telle que la classe de a, [ ˜p = dans le corps résiduel IF IFpn de Cl p , appartienne à IFq . On voit alors que la suite n≥1 n n (aq )n≥0 converge dans Up vers ω(a) = lim aq . n→+∞ On montre que ω(ab) = ω(a)ω(b), ω(ω(a)) = ω(a). De plus, kerω = D− (1, 1) et ω(Up ) = R[p] est le groupe des racines de l’unité dans Cl p d’ordre premier à p. On a les décompositions en produit direct de groupes Up = R[p] × D− (1, 1) et Cl ∗p = p Ql × Up = p Ql × R[p] × D− (1, 1). La fonction logp : D− (1, 1) −→ Cl p définie par logp (a) = X n≥1 (−1)n−1) (a − 1)n est n un morphisme continu de groupes : logp (ab) = logp (a) + logp (b). Vue la décomposition en produit direct de Cl ∗p ci-dessus, il existe un prolongement unique, encore noté logp : C l ∗p −→ C l p tel que logp (p) = 0. Si K est un sous-corps fermé de Cl p , on a logp (K ∗ ) ⊂ K. 1 Soit Ep la boule ouverte de Cl p de centre 0 et de rayon p− p−1 . C’est le disque de X xn convergence de exp(x) = . On a logp ◦ exp(x) = x, ∀x ∈ Ep et exp ◦ logp (x) = n! n≥0 x, ∀x ∈ 1 + Ep . 177 De plus | exp(x) − 1| = |x| et | logp (x)| = |x|, ∀x ∈ Ep et logp : Cl ∗p −→ Cl p est surjectif. Pour ce dernier point, considérons y ∈ Cl p , il existe un entier m ≥ 0 tel que pm y ∈ Ep . Ainsi, il existe z ∈ 1 + Ep tel que logp (z) = pm y. Comme Cl p m est algébriquement clos, il existe u ∈ Cl p tel que up = z. Ainsi, pm y = logp (z) = m logp (up ) = pm logp (u) = pm y et logp (u) = y. -(2)- Soient K un corps valué complet et L un sur-corps valué complet de K. Soit D une boule ouverte de K; on dit que la fonction f : D −→ L est X analytique s’il existe a ∈ D, (an )n≥0 ⊂ L telle que f (x) = an (x − a)n , ∀x ∈ D. (a) n≥0 Ceci est alors vrai pour tout a ∈ D. (b) Soit U un ouvert de K; on dit que f : U −→ L est localement analytique si pour tout a ∈ U , il existe une boule ouverte D contenant a et contenue dans U tel que f|D est analytique. (c) f : ZZp −→ C l p est localement analytique d’ordre m ≥ 0, si la restriction de f à toute boule D− (a, p−m ) = a + pm ZZp de ZZp est analytique. IV - 4 - 4 - 2 : Analycité de Γp Rappelons que pour tout x ∈ ZZp , on a Γp (x + 1) = τp (x)Γp (x), où τp (x) = −x, si |x| = 1 et τp (x) = −1, lorsque |x| < 1. Alors logp ◦Γp (x + 1) − logp ◦Γp (x) = logp (x), si |x| = 1 et est égal à 0, lorsque |x| < 1. Posant f (x) = logp ◦τp (x), on a donc logp ◦Γp (x) = S(f )(x). Si l’on pose P (f )(x) = x logp (x) − x, si |x| = 1 et égal à 0, si |x| < 1, on a P (f )0 (x) = f (x). Ainsi, par la Proposition 3.1.4-(ii) , on obtient logp ◦Γ(x) = S(f )(x) = Z Z 0 S(P (f ) )(x) = P (f )(x + u)du − P (f )(u)du. ZZp ZZp Z Comme P (f ) est impaire, on a 1 1 P (f )(u)du = − P (f )0 (0) = − f (0) = 0. Il 2 2 ZZp Z vient que logp ◦Γp (x) = P (f )(x + u)du. ZZp Fixons x ∈ pZZp , c’est-à-dire |x| < 1; on a P (f )(x + u) = (x + u) logp (x + u) − (x + u), lorsque |u| = 1 et P (f )(x + u) = 0, lorsque |u| < 1. D’où Z logp ◦Γp (x) = ((x + u) logp (x + u) − (x + u))du. Up [ Up = ZZ∗p est le groupe des unités de ZZp ] 178 Soient x ∈ pZZp et u ∈ Up , on a le développement en série : X (x + u) logp (x + u) − (x + u) = x logp (u) + P (f )(u) + (−1)n−1 n≥1 xn+1 u−n . n(n + 1) Considérons pour x ∈ pZZp et pour tout entier n ≥ 1 , la fonction gn,x : ZZp −→ Cl p xn+1 u−n , pour |u| = 1 et gn,x (u) = 0, lorsque |u| < 1. On n(n + 1) définie par gn,x (u) = |x|n+1 . |n(n + 1)| 1 1 1 = − = ≤ n. Comme n(n + 1) n n + 1 vérifie facilement que la fonction gn,x est de classe C 1 telle que kgn,x k1 ≤ Pour tout entier n ≥ 1, on a pvp (n) = |n|−1 1 1 1 ≤ max(n, n + 1) = n + 1. Il vient que kgn,x k1 ≤ max(| | , ), on a n n+1 n(n + 1) X (n + 1)|x|n+1 ≤ (n + 1)p−n−1 et lim kgn,x k1 = 0. Ainsi, la série gn,x converge dans n→+∞ n≥1 C 1 (ZZp , C l p ). On en déduit que Z logp ◦Γp (x) = x Z logp (u)du + Up Z P (f )(u)du + Up X n−1 (−1) n≥1 xn+1 n(n + 1) Z u−n du. Up Z On sait que P (f )(u)du = Up P (f )(u)du = 0. De la même manière, pour tout ZZp Z entier impair, on a u−n du = 0. Up Z En conclusion : logp ◦Γp (x) = x logp (u)du − Up X n≥1 x2n+1 2n(2n + 1) Z u−2n du. Up Théorème 4.4.2.1 : La fonction logp ◦Γp est analytique sur pZZp . En fait pour tout x ∈ pZZp , on a le développement en série entière Z X λn 2n+1 logp ◦Γp (x) = λ0 x − x , où λ0 = logp (u)du et 2n(2n + 1) Up n≥1 Z λn = u−2n du, ∀n ≥ 1. Up Démonstration : C’est une conséquence de la convergence de la suite (gn,x )n≥0 dans C 1 (ZZp , Cl p ). En fait, la convergence de la série ci-dessus donnant logp ◦Γp (x) est uniforme. Pour 179 cela, considérons la suite de fonctions ϕn : ZZp −→ Cl p , n ≥ 1, définies par ϕn (u) = u−2n , si |u| = 1 et ϕn (u) = 0, pour |u| < 1 . Les fonctions ϕn sont de classe C 1 telles que Z Z −2n kϕn k1 ≤ 1. Ainsi, on a |λn | = | u du| = | ϕn (u)du| ≤ p. Alors pour x ∈ pZZp , Up ZZp λn on a | 2n(2n+1) ||x2n+1 | ≤ p(2n+1)p−2n−1 . D’où l’on déduit que lim sup | n→+∞ x∈pZZp x2n+1 | = 0 et la série λ0 x − X n≥1 λn · 2n(2n + 1) λn x2n+1 est uniformément convergente sur pZZp . 2n(2n + 1) Lemme 4.4.2.2 : Soit K un sur-corps valué complet de Q l p. 2 Z 1 Considérons f ∈ C (ZZp , K) ⊂ C (ZZp , K) et F (x) = f (x + u)du. ZZp 0 1 Z On a F ∈ C (ZZp , K), de plus F (x) = f 0 (x + u)du . ZZp Démonstration : On sait que si f ∈ C 2 (ZZp , K), alors f 0 ∈ C 1 (ZZp , K) (Proposition 2.1.9). Rappelons que l’on a S ◦ δ = δ ◦ S − σ ◦ δ ◦ S, où δ(f ) = f 0 et σ(f ) = f (0). Ainsi, δ ◦ S ◦ δ = δ 2 ◦ S − δ ◦ σ ◦ δ ◦ S = δ 2 ◦ S − 0 = δ 2 ◦ S. Z Il vient que f 0 (x + u)du = S(f 0 )0 (x) = δ ◦ S ◦ δ(f )(x) = δ 2 ◦ S(f )(x) = ZZp !0 Z = = F 0 (x). f (x + u)du ZZp Corollaire 4.4.2.3 : Z Γ0p (x) = logp (x + u)du Γp (x) Up et 00 Z (log ◦Γp ) (x) = Up du . x+u Démonstration : Puisque log ◦Γp est analytique, elle est de classe C ∞ . Sachant que log ◦Γp (x) = Z = ((x + u) log( x + u) − (x + u))du, appliquant le Lemme 4.4.2.3, on obtient Up Γ0p (x) = (log ◦Γp )0 (x) = Γp (x) Z 00 logp (x + u)du et (log ◦Γp ) (x) = Up Γ0p (x) Γp (x) 0 Z = Up du . x+u 180 Proposition 4.4.2.4 : (i) ∀n ≥ 1, on a λn − b2n ∈ ZZp , b2n étant le (2n)-ième nombre de Bernoulli . (i) Si p − 1|2n, on a |λn | = p . Démonstration : Z Par définition, λn = u −2n Up 1 du = lim m→+∞ pm m pX −1 j −2n . j=1,(p,j)=1 Soit A∗m le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau quotient Am = X X ZZ/pm ZZ . Il est clair que w−1 = w. w∈A∗ m m pX −1 Ainsi j −2n j=1,(p,j)=1 1 pm m pX −1 j w∈A∗ m m pX −1 ≡ j 2n (mod. pm ) et j=1,(p,j)=1 1 − m p −2n j=1,(p,j)=1 Z Il vient que λn − m pX −1 j 2n ∈ ZZp . j=1,(p,j)=1 u2n du ∈ ZZp . Up Z On déduit de la Proposition 3.1.8-(ii) que 2n u du = p −1 Z Up = (1 − p 2n−1 Z ) (pu2n − p2n u2n )du = ZZp u2n du = (1 − p2n−1 )b2n . Ainsi ZZp λn − b2n + p2n−1 b2n ∈ ZZp . Rappelons que pb2n ∈ ZZp et que b2n + X 1 ∈ ZZ ( Clausen -Von Staudt). q q−1|2n Alors d’une part, on a p2n−1 b2n = p2n−2 ·pb2n ∈ p2n−2 ZZp ⊂ ZZp . D’où λn −b2n ∈ ZZp . X 1 1 D’autre part, supposons p − 1|2n. Comme b2n + p + ≤1= q q−1|2n,q6=p X 1 1 −1 = < p = |p | , on a |b2n + p | = p. q q−1|2n,q6=p Puisque |λn + b2n | ≤ 1 < p = |b2n + p1 |, on obtient |λn | = p. Plus généralement, on a : 181 Lemme 4.4.2.5 : La série formelle ϕ(z) = λ0 z − (i) X n≥1 λn z 2n+1 converge dans la boule 2n(2n + 1) unité ouverte D− (0, 1) de C l p vers la fonction analytique ψ(x) = λ0 x− X n≥1 λn x2n+1 . 2n(2n + 1) Posons q = p si p 6= 2 et q = 4 lorsque p = 2. (ii) On a ψ(D+ (0, q −1 )) ⊂ D+ (0, q −1 ), où D+ (0, q −1 ) est la boule fermée de Cl p de centre 0 et de rayon q −1 . Démonstration : λn 1 ≤p ≤ p · max(2n, (2n + 1)) = (2n + 1)p. Pour n ≥ 1, on a 2n(2n + 1) |2n(2n + 1)| 1 2n+1 λn On en déduit que lim sup ≤ 1. Donc le rayon de convergence de la série 2n(2n + 1) n≥1 est ≥ 1. Ce qui démontre (i). • Lorsque p 6= 2, pour tout x ∈ Cl p tel |x| ≤ p−1 , on a comme dans la démonstration du théorème ci-dessus λn 2n+1 | ≤ (2n + 1)p−2n ≤ p−1 , ∀n ≥ 1. 2n(2n+1) |x Z Pour n = 0, on déduit de la Proposition 3.1.4-(ii) que λ0 = logp (u)du = Up Z ∆(logp ◦Γp )(u)du = (logp ◦Γp )0 (0) = = ZZp Γ0p (0) = Γ0p (0). Mais |Γp (m) − Γp (0)| ≤ Γp (0) |p|m . Ainsi Γp (m) − Γp (0) ∈ ZZp et λ0 = Γ0p (0) = pm Γp (pm ) − Γp (0) ∈ ZZp . Il vient m→+∞ pm lim que |λ0 x| ≤ |x| ≤ p−1 . • Pour p = 2 et pour tout x ∈ Cl 2 tel que |x| ≤ 4−1 , on a 2n+1 2 · 2−2n−2 2−2n λn |λn | 2n+1 |x | = |x | ≤ = ≤ n2−2n ≤ 2−2 , ∀n ≥ 1. 2n(2n + 1) |2n| 2−1 |n| |n| Pour n = 0, on voit comme ci-dessus que |λ0 x| ≤ 2−2 . Alors, puisque l’on a pour |x| ≤ q −1 , λn x2n+1 ∈ D+ (0, q −1 ), ∀n ≥ 0, on obtient ψ(D+ (0, q −1 )) ⊂ D+ (0, q −1 ). Théorème 4.4.2.6 : (i) Si p 6= 2 , Γp est analytique sur pZZp . (ii) Si p = 2 , Γ2 est analytique sur 23 ZZ2 . 182 La fonction G2 définie en posant G2 (x) = Γ2 (x), lorsque |x| < 4−1 et G2 (x) = −Γ2 (x), pour |x| = 4−1 , est analytique sur 4ZZ2 . Démonstration : Supposons p 6= 2. La fonction ψ(x) = λ0 x − X n≥1 λn x2n+1 étant analytique 2n(2n + 1) sur D+ (0, p−1 ), avec ψ(D+ (0, p−1 )) ⊂ D+ (0, p−1 ) ⊂ Ep , la fonction exp ◦ψ définie sur D+ (0, p−1 ) est analytique. D’autre part, si x ∈ pZZp ⊂ D+ (0, p−1 ), on a ψ(x) = logp ◦Γp (x) ∈ D+ (0, p−1 ). Ainsi exp ◦ logp ◦Γp = exp ◦ψ est analytique sur pZZp . Mais pour x ∈ pZZp , on a |Γp (x) − 1| ≤ |x| < 1. D’où Γp (x) ∈ 1 + pZZp ⊂ 1 + Ep . Il vient que exp(logp ◦Γp (x)) = Γp (x) = exp ◦ψ(x), ∀x ∈ pZZp , et donc Γp composée de fonctions analytiques est analytique sur pZZp . . La démonstration de (ii) se fait de la même manière et est laissée au lecteur. Théorème 4.4.2.7 : (i) Si p 6= 2, Γp est localement analytique d’ordre 1 sur ZZp et non analytique sur ZZp . (ii) Si p = 2 , Γ2 est localement analytique d’ordre 3 sur ZZ2 et non analytique d’ordre 2 sur ZZ2 . Démonstration : Puisque Γp (x + 1) = τp (x)Γp (x), avec τp (x) = −x, si |x| = 1 et τp (x) = −1, lorsque |x| < 1, on a pour tout entier j ≥ 1, Γp (x + j) = j−1 Y τp (x + i) · Γp (x). i=1 Faisons la démonstration pour p 6= 2, le cas p = 2 étant laissé au lecteur. j−1 Si 1 ≤ i ≤ p−1 et x ∈ pZZp , on a |x+i| = 1; d’où Γp (x+j) = (−1) j−1 Y (x+i)·Γp (x). i=1 Il vient que pour 1 ≤ j ≤ p − 1, la fonction x −→ Γp (x + j) est analytique sur pZZp et donc Γp est analytique sur pZZp , 1 + pZZp , · · · , (p − 1) + pZZp . En d’autres termes Γp est analytique d’ordre 1 sur ZZp . Comme pour x ∈ ZZp , on a Γp (x)Γp (1 − x) = (−1)`(x) , où 1 ≤ `(x) ≤ p est tel que |`(x) − x| < 1, si Γp était analytique sur ZZp , la fonction x −→ (−1)`(x) serait analytique. Ce qui est absurde, car cette dernière fonction est localement constante. 183 4.4.3 : La constante d’Euler p-adique Sachant que logp ◦Γp (x + 1) − logp ◦Γp (x) = logp (x), si |x| = 1 et égal 0, lorsque |x| < 1, on a Γ0p (x + 1) Γ0p (x) 1 − = hp (x), avec hp (x) = , lorsque |x| = 1 et hp (x) = 0, Γp (x + 1) Γp (x) x pour |x| < 1. La somme indéfinie S(hp ) de hp est telle que S(hp )(0) = 0 , S(hp )(1) = 0 et pour m m−1 X entier ≥ 1, on a S(hp )(m) = j=1,(p,j)=1 relation ci-dessus, on a Γ0p (x) Γp (x) 1 . Vue la définition des sommes indéfinies et la j = S(hp )(x)+C, C = constante. Alors C = Γ0p (1) Γ0p (0) = . Γp (1) Γp (0) Z De plus C = λ0 = logp (u)du. Up On pose γp = −C, on a γp = −Γ0p (0) = −Γ0p (1); c’est la constante d’Euler p-adique. Γp (pn + 1) − Γp (1) Γp (pn + 1) + 1 = lim , n→+∞ n→+∞ pn pn pn ! n sachant que Γp (pn + 1) = (−1)p +1 · n−1 pn−1 , on a p !p n (−1)p pn ! −n γp = lim p 1 − n−1 pn−1 . n→+∞ p !p On a |γp | ≤ 1. Puisque γp = Γ0p (1) = lim Notons que la définition de γp est parallèle au fait que le nombre d’Euler réel γ est tel que γ = − Γ0 (1) = −Γ0 (1). Γ(1) 4.4.4 : Exercice : Le développement de Mahler de (logp ◦Γp )0 (x + 1) ( L. van Hamme 1998, in p-adic functional analysis - Lecture notes in pure and applied mathemaics vol. 207 , Marcel Dekker, New-York, 1999 ). (1) Posons Hp (x) = (logp ◦Γp )0 (x + 1) = Γ0p (x + 1) . Γp (x + 1) Soit χp la fonction caractéristique de pZZp , i.e. χp (x) = 1, si |x| < 1 et χp (x) = 0, lorsque |x| = 1. Démontrer que Hp (x) − Hp (x − 1) = X x (2) Soient Hp (x) = an et n n≥0 1 − χp (x) . x 184 χp (x) = X n≥0 x un les développements de Mahler de Hp et χp . n On a a0 = −γp et u0 = 1. 1 − χp (x) X x−1 Montrer que = an . n−1 x n≥1 En déduire que −nan = un , ∀n ≥ 1. 4.4.5 : Exercice : Propriétés des un ( L. van Hamme 1998, ......). X x Rappelons que χp (x) = un . n n≥0 (1) Sachant que un = ∆n χp (0), montrer que (a) un = X j=0,p|j [n X p] n n n−j n−pj (−1) . (−1) = pj j j=0 En déduire que pour p 6= 2, on a u(2m+1)p = 0 . (b) u2p Montrer que un = (−1)n , lorsque 0 ≤ n ≤ p − 1 ; 2p =2− et up = 0, pour p 6= 2 . p (2) (a) Soit Rp l’ensemble des racines p-ièmes de l’unité dans Cl p . Démontrer que l’on a les identités : n X X n n (1 + ζX) = p Xj j ζ∈Rp j=0,p|j En déduire que un = 1 X (ζ − 1)n , n ≥ 1. p ζ∈Rp En particulier, pour p = 2, on a un = (−1)n 2n−1 , n ≥ 1 . Sachant que pour ζ ∈ Rp , ζ − 1 est une racine de (X + 1)p − 1, p X p montrer que un+j−1 = 0, ∀n ≥ 1. j (b) j=1 De même, sachant que si ζ 6= 1, alors ζ − 1 est une racine du polynôme p−1 X 1 p d’Eisenstein X j , et donc que vp (ζ − 1) = , j+1 p−1 (c) j=0 185 montrer que l’on a vp (un ) ≥ n −1 . p−1 (3) (a) Démontrer que l’on a l’egalité de séries formelles Y X un 1 z n = − log (1 − (ζ − 1)z). n p n≥1 ζ∈Rp Notant que si ζ ∈ Rp , ζ 6= 1, alors (ζ − 1)−1 est une racine du polynôme Y (1 + X)p − X p = (1 − (ζ − 1)X), montrer que l’on a ζ∈Rp ,ζ6=1 X un 1 z n = − log((1 + z)p − z p ). n p n≥1 (b) Démontrer que pour tout x ∈ Cl p tel que |x| ≤ 1, on a X un 1 xn = − logp ((1 + x)p − xp ). n p n≥1 (c) Démontrer les identités suivantes : +∞ X (−1)n un = 0. n n=1 +∞ X 1 1 un = − logp (2p − 1). n p n=1 +∞ X (−1)n 1 1 un = logp (2p−1 ) = (1 − ) logp (2), n n2 p p n=1 pour p 6= 2. En réduisant modulo p, déduire de la dernière égalité que l’on a pour p 6= 2, la congruence p−1 2p−1 − 1 X 1 ≡ (mod. p). p n2n n=1 Pour le second membre de la congruence , vérifier directement que pour p + 1 ≤ n ≤ 2p − 1, on a vp ( unn ) ≥ 1; vp (u2p ) ≥ 2 et pour n ≥ 2p + 1, utiliser (2)-(c), en distinguant les cas (n, p) = 1 et p|n. (4) p=3 Soit ζ une racine primitive 3-ième de l’unité. Montrer que (ζ − 1)2 = −3ζ. En déduire que (ζ − 1)6 = −27 et et que l’on a pour m ≥ 0, 0 ≤ r ≤ 5, u6m+r = (−1)m 33m ur . Vérifier que u0 = 1, u1 = −1, u2 = 1, u3 = 0, u4 = −3 et u5 = 9. 186 IV - 5 : Fonctions ζ p-adiques IV - 5 - 1 : Rappels sur la fonction ζ de Riemann Soit s ∈ C l tel que <(s) > 1, on sait et l’on vérifie facilement que la série X 1 est ns n≥1 absolument convergente et définit une fonction holomorphe sur son domaine de converX 1 . En outre, on a le gence. C’est la célèbre fonction zeta de Riemann notée ζ(s) = ns n≥1 Y développement en produit infini d’Euler : ζ(s) = (1 − q −s )−1 où P est l’ensemble des q∈P nombres premiers. De plus, on montre que cette fonction, holomorphe sur <(s) > 1, se prolonge en une fonction méromorphe sur Cl ayant un seul pôle simple en s = 1 de résidu 1. Cette fonction méromorphe encore notée ζ satisfait à l’équation fonctionnelle : 2 πs ζ(1 − s) = cos( )Γ(s)ζ(s). (1) s (2π) 2 D’où l’on déduit que ζ(−2n) = 0 , ∀n ≥ 1. D’autre part, on montre que ζ(2n) = (−1)n−1 (2π)2n b2n , les b2n étant les nombres (2n)! de Bernoulli. Appliquant l’équation fonctionnelle, on a ζ(1 − 2n) = − − b2n et donc ζ(1 − n) = 2n bn , ∀n ≥ 1. n Notons que l’on a pour <(s) > 1, la formule intégrale Z +∞ 1 1 1 ζ(s) = − −s x − [x] − x−s−1 dx (2) s−1 2 2 1 ( cf. par exemple P. Cartier : An Introduction to Zeta Functions , in ”From Number Theory to Physics - M . Waldschmidt, P. Moussa, J.M. Luck, C . Itzykson (eds) - Springer Verlag (1992), p. 1 - 63 ). On déduit de l’équation fonctionnelle (1) que les zéros non triviaux de ζ, c’est-àdire les zéros distincts des entiers −2n, n ≥ 1, sont symétriques par rapport à la droite 1 <(s) = . 2 1 Hypothèse de Riemann : Tous les zéros non triviaux de ζ sont sur la droite <(s) = . 2 187 IV - 5 - 2 : Les fonctions zeta p-adiques Partant des congruences dites de Kummer, Kubota et Leopoldt (1964) ont défini un analogue p-adique de la fonction ζ de Riemann ( cf. par exemple N. Koblitz : p-adic Numbers, p-adic analysis and zeta functions - GTM no. 58 - Springer Verlag (1977) ). Nous allons définir à l’instar de la formule intégrale (2) ci-dessus, les fonctions zeta padiques en utilisant l’intégrale de Volkenborn , comme dans : W.H. Schikhof :Ultrametric calculus - An introduction to p-adic analysis - Cambridge University Press (1984). Soit x ∈ Up = { x ∈ ZZ / |x| = 1}, rappelons que l’on déduit du petit théorème de Fermat que xp−1 ≡ 1 ( mod. p). Considérons s ∈ C l p , la série de fonctions sur Up définie par exp(s(p − 1) logp (x)) = X (s logp (xp−1 ))n . Cette série converge pour tout x ∈ Up n! n≥0 −1 si et seulement si |s logp (xp−1 )| < p p−1 , ∀x ∈ Up . Comme pour tout x ∈ Up , on a | logp (xp−1 )| ≤ p−1 et | logp (xp−1 )| = |xp−1 − 1| et −1 puisque pour x0 = 1+p, on a |xp−1 −1| = p−1 , on obtient |s| ≤ p p−1 . inf 0 x∈Up 1 p1− p−1 = p p−2 p−1 1 = | logp (xp−1 )| . p−2 Pour tout s ∈ D− (0 , p p−1 ) et tout x ∈ Up , on a exp(s logp (xp−1 )) = X (s logp (xp−1 ))n X (s(p − 1) logp (x))n Xs p−1 s = = (x ) = (xp−1 − 1)n . n n! n! En conclusion : n≥0 n≥0 n≥0 Lemme 5.2.1 : p−2 Soit s ∈ D− (0 , p p−1 ), fixé. Considérons la suite de fontions hn,s : ZZp −→ Cl p définies par sn (p − 1)n (logp (x))n , si x ∈ Up et hn,s (x) = 0, sinon. n! On a hn,s ∈ C 1 (ZZp , Cl p ), avec lim khn,s k1 = 0. hn,s (x) = n→+∞ La fonction hs définie par hs (x) = exp(s(p − 1) logp (x)), si x ∈ Up et hs (x) = 0, X sinon, étant égale à hn,s est une fonction de classe C 1 . n≥0 Démonstration: (i) 1 Soit x ∈ Up , alors | logp (x)| ≤ p−1 . Ainsi, pour |s| < p1− p−1 , on a 188 |hn,s (x)| = |sn (p − 1)n | |ps|n | logp (x)|n ≤ . |n!| |n!| Comme hn,s (x) = 0, lorsque x ∈ ZZp \ Up , on voit que khn,s k∞ = sup |hn,s (x)| ≤ x∈ZZp (ii) |ps|n . |n!| Soit x ∈ Up , on a logp (x) = 1 1 X (−1)j−1 p−1 logp (xp−1 ) = (x − 1)j . p−1 p−1 j j≥1 D’où l’on déduit que pour x, y ∈ Up , x 6= y, on a | logp (x) − logp (y)| ≤ 1 p−1 (x − 1)j − (y p−1 − 1)j . ≤ sup j≥1 |j| j−1 X 1 p−1 1 xp−1 − y p−1 · Mais (x − 1)j − (y p−1 − 1)j = (xp−1 − 1)j−`−1 (y p−1 − 1)` , |j| |j| `=0 p−2 X p−2−k k p−1 p−1 avec d’une part |x −y | = |x − y| x y ≤ |x − y|, k=0 j−1 1 X p−1 D’autre part (x − 1)j−`−1 (y p−1 − 1)` ≤ |j| `=0 ≤ 1 |j| 0≤`≤j−1 ≤ 1 −(j−1) p = p−j+1+vp (j) ≤ 1. |j| max (xp−1 − 1)j−`−1 (y p−1 − 1)` ≤ On a donc démontré que | logp (x) − logp (y)| ≤ |x − y|. De la même manière, on a | logp (x)n − logp (y)n | ≤ ≤ | logp (x) − logp (y)| max 0≤j≤n−1 | logp (x)n−1−j logp (y)j | ≤ ≤ | logp (x) − logp (y)| max(| logp (x)|, | logp (y)|)n−1 ≤ ≤ | logp (x) − logp (y)| · p−n+1 , ∀x, y ∈ Up . En conclusion, pour x, y ∈ Up , x 6= y, on a | logp (x)n − logp (y)n | ≤ p−n+1 . |x − y| Ainsi, pour x , y ∈ Up , x 6= y, on a |Φ1 hn,s (x, y)| = ≤ |s|n | logp (x)n − logp (y)n | ≤ |n!| |x − y| |s|n −n+1 |ps|n p =p· . |n!| |n!| Pour x ∈ Up , y ∈ ZZp \ Up , on a |Φ1 hn,s (x, y)| = |hn,s (x)| = |hn,s (x)| = |x| 189 = |sn (p − 1)n logp (x)n | |ps|n ≤ . Changeant les rôles de x et y , on a pour x ∈ |n!| |n!| ZZp \ Up , y ∈ Up , |Φ1 hn,s (x, y)| = |hn,s (y)| ≤ Il vient que kΦ1 hn,s k∞ =p· |ps|n . |n!| |s|n |ps|n |ps|n = · sup |Φ1 hn,s (x, y)| ≤ max p · , = |n!| x, y ∈ ZZ |n!| |n!| p x 6= y |ps|n . |n!| (iii) Réunissant (i) et (ii) on obtient : khs,n k1 = max(khn,s k∞ , kΦ1 hn,s k∞ ) ≤ max( |ps|n |ps|n |ps|n , p· )=p· . |n!| |n!| |n!| Ainsi hn,s ∈ C 1 (ZZp , Cl p ). −1 1 Puisque |ps| < p−1 ·p1− p−1 = p p−1 = rayon de convergence p-adique de l’exponentielle, |ps|n = 0 et lim khn,s k1 = 0. n→+∞ |n!| n→+∞ X Il vient que hn,s converge dans C 1 (ZZp , Cl p ) vers la fonction hs définie par on a lim n≥0 p−1 s hs (x) = (x ) = exp(s(p − 1) logp (x)), lorsque x ∈ Up et hs (x) = 0, pour x ∈ ZZp \ Up . Soit 0 ≤ j ≤ p − 2. p−2 Considérons pour s ∈ D− (0 , p p−1 ), la fonction hj (s, .) : ZZp −→ Cl p définie par n j p−1 s x (x ) , si x ∈ Up hj (s, x) = ( = xj hs (x) ). 0, si x 6∈ Up La fonction hj (s, .) produit de deux fonctions de classe C 1 est de classe C 1 . Elle est donc Volkenborn intégrable. Z Z On pose fp,j (s) = hj (s, x)dx, on a fp,j (s) = ZZp xj (xp−1 )s dx Up Proposition 5.2.2 : Soit 0 ≤ j ≤ p − 2 p−2 La fonction fp,j : D− (0 , p p−1 ) −→ Cl p définie par Z fp,j (s) = hj (s, x)dx, est analytique. ZZp On a fp,j (s) = X n≥0 n an,j s , où an,j (p − 1)n = n! Z Up xj (logp (x))n dx ∈ ZZp . 190 Démonstration: Avec les notations du Lemme 5-2-1, on voit que la série de fonctions X xj hn,s n≥0 1 converge dans C (ZZp , C l p ) vers la fonction hj (s, .). Appliquant la Proposition 3.1.1, on obtient fp,j (s) = Z Z j = x exp((p − 1)s logp (x))dx = Up = X Up n≥0 X (p − 1)n sn n! n≥0 Z xj (p − 1)n sn (logp (x))n dx = n! xj (logp (x))n dx. Up Il vient que fp,j (s) = X n an,j s , avec an,j n≥0 (p − 1)n = n! Z xj (logp (x))n dx, élément Up de ZZp . Corollaire 5.2.3 : p−2 Si p 6= 2 , alors ZZp ⊂ D− (0 , p p−1 ). On a le développement de Mahler de la restriction de fp,j à ZZp : Z X s bn,j , s ∈ ZZp , où bn,j = xj (xp−1 − 1)n dx. fp,j (s) = n Up n≥0 Démonstration: p−1) s Il suffit de remarquer que pour s ∈ ZZp , on a (x ) = X n≥0 Alors fp,j (s) = X s Z n≥0 n p−1 (x s − 1) . n n xj (xp−1 − 1)n dx. Up Proposition 5.2.4 : Si j est impair, 0 ≤ j ≤ p − 2, on a fp,j = 0 . Démonstration: La fonction x −→ hj (s, x) = n xj (xp−1 )s = xj exp(s(p − 1) logp (x)), si x ∈ Up 0, si x ∈ ZZp \ Up est telle que hj (s, −x) = (−1)j hj (s, x). Ainsi, hj (s, .) est une fonction impaire, lorsque j est impair, avec hj (s, 0) = 0. On déduit de la Proposition 3.1.7 que fp,j = 0. 191 Définition 5.2.5 : Fonctions zeta p-adiques Les fonctions zeta p-adiques sont les foncions ζp,j définies pour 0 ≤ j ≤ p − 2 et s∈ C l p, j , par p−1 Z 1 1 xj (xp−1 )s dx ( = fp,j (s) ). ζp,j (s) = j + (p − 1)s Up j + (p − 1)s 1 |s| < p1− p−1 , s 6= − N.B : Z 1 -(i)- Il n’existe qu’une seule fonction zeta 2-adique à savoir ζ2,0 (s) = xs dx. s U2 Z 1 1 x1+2s dx = f3,1 (s) = -(ii)- On déduit de la Proposition 5-2-4 que ζ3,1 (s) = 1 + 2s U3 1 + 2s 1 0, |s| < 3 2 . Ainsi, comme pour p = 2, il n’y a qu’une fonction zeta 3-adic, à savoir Z 1 x2s dx. Aussi, pour p ≥ 5, on a ζp,j = 0, lorsque 0 ≤ j ≤ p − 2, j ζ3,0 (s) = 2s U3 impair. Théorème 5.2.6 : Les fonctions s −→ ζp,0 − analytiques sur D− (0 , p 1 1− p−1 1 ps et ζp,1 , · · · , ζp,p−2 se prololongent en des fonctions ). Démonstration: (i) X 1 f0 (s). Sachant que f0 = an,0 sn (p − 1)s n≥0 Z X p−1 1 p − 1 + = dx = , on a ζp,0 (s) = an,0 sn = p (p − 1)s p Up Par définition, on a ζp,0 (s) = (Proposition 5-2-2) , avec an,0 n≥1 = 1 X 1 + an,0 sn−1 . Il vient que ps p − 1 n≥1 ζp,0 (s) − 1 1 1 X = an,0 sn−1 est une fonction analytique sur D− (0 , p1− p−1 ). ps p−1 n≥1 (ii) Rappelons que pour x ∈ Up , le représentant de Teichmüller de x est donné n par ω(x) = lim xp , avec x ≡ ω(x) ( mod. p). n→+∞ Ainsi, on a x = ω(x) < x >, avec < x >≡ 1 ( mod. p) et ω(x)p−1 = 1. Pour tout entier j ≥ 0, on a exp(j logp (x)) = exp ◦ logp (xj ) = = exp ◦ logp (ω(x)j · < x >j ) = exp ◦ logp (< x >j ) =< x >j . 192 Il vient que xj (xp−1 )s = ω(x)j < x >j exp(s(p − 1) logp (x)) = = ω(x)j exp((j + (p − 1)s) logp (x)). On vérifie comme dans la démonstration du Lemme 5-2-1, que les fonctions ω(x)j logp (x)n , si x ∈ Up et gn,j (x) = 0, lorsque x 6∈ Up , n! n−Sp (n) 1 1 sont de classe C 1 , de normes kgn,j k1 ≤ p.p−n = p · p−n+ p−1 ≤ p · p−n(1− p−1 ) . |n!| X Ainsi lim kgn,j k1 = 0 et la série gn,j converge dans C 1 (ZZp , Cl p ). x −→ gn,j (x), définies par n→+∞ n≥0 D’où le développement en série, en les puissances de j + (p − 1)s, de fp,j : Z Z X 1 j n fp,j (s) = ω(x) exp((j+(p−1)s) logp (x))dx = (j+(p−1)s) ω(x)j logp (x)n dx = n! Up Up n≥0 Z X 1 cn,j (j + (p − 1)s)n , avec cn,j = ω(x)j logp (x)n dx, ∀n ≥ 0. n! Up n≥0 Soit θ une racine primitive (p−1)-ième de l’unité. On a ω(Up ) = {1 = θp−1 , θ, · · · , θp−2 }, et pour 1 ≤ ` ≤ p−1, il existe α(`) unique tel que 1 ≤ α(`) ≤ p−1 et ω(x) = θα(`) , ∀x ∈ ` + pZZp . [ On déduit de la partition Up = Z (`+pZZp ) que c0,j = = θ jα(`) ω(x) dx = Up 1≤`≤p−1 p−1 X j p−1 Z X `=1 ω(x)j dx = `+pZZp Z dx. `+pZZp `=1 p−1 Z 1 1 X jα(`) Mais, on a dx = , ∀1 ≤ ` ≤ p − 1. Ainsi c0,j = θ = 0. p p `+pZZp `=1 X Il vient que fp,j (s) = cn,j (j + (p − 1)s)n et pour 1 ≤ j ≤ p − 2, n≥1 ζp,j (s) = X 1 cn,j (j + (p − 1)s)n−1 est une fonction analytique sur D− (0 , p1− p−1 ). n≥1 N.B : On a, pour 1 ≤ j ≤ p − 2 , −j ζp,j ( p−1 ) = c1,j = p−1 X θ jα(`) Z `=1 logp (x)dx. `+pZZp Z On déduit de la Proposition 3.1.8-(i) que logp (x)dx = `+pZZp 1 = p Z 1 1 logp (` + px)dx = logp (`) + p p ZZp Z ZZp logp (1 + `−1 px)dx. 193 Comme logp (1+`−1 px) est analytique sur ZZp avec logp (1+`−1 px) = X (−1)ν−1 `−ν pν xν , ν ν≥1 X (−1)ν−1 `−ν pν bν , logp (1 + `−1 px)dx = ν ZZp Z on a bν étant le ν-ième nombre de ν≥1 Bernoulli. Il vient que p−1 c1,j X (−1)ν−1 1 X jα(`) −ν θ ` logp (`) + = p ν ν≥1 `=1 p−1 X ! θ jα(`) −ν ` pν−1 bν . u t `=1 IV - 5 - 3 : Lien avec la fonction ζ de Riemann Z Rappelons que pour toute fonction de classe C 1 de ZZp à valeurs dans Cl p , on a Z Z −1 f (x)dx = p (pf (x) − f (px))dx. Ainsi, on a xn dx = (1 − pn−1 )bn , pour Up ZZp Up n ≥ 0; bn étant, comme ci-dessus, le n-ième nombre de Bernoulli. Proposition 5.3.1 : (i) p 6= 2. Pour 1 ≤ j ≤ p − 2 et pour tout entier n ≥ 0, on a ζp,j (n) = (ii) (1 − pn(p−1)+j−1 ) (1 − pn(p−1)−1 ) ·bn(p−1)+j et ζp,0 (n) = ·bn(p−1) , ∀n ≥ 1. j + n(p − 1) n(p − 1) ζ2,0 (n) = (1 − 2n−1 ) · bn , ∀n ≥ 2. n Démonstration: 1 Par définition des fonctions zeta p-adiques, on a ζp,j (n) = j + n(p − 1) Z xj+n(p−1) dx. Up On en déduit aussitôt la proposition. Considérons la fonction ζ de Riemann et pour <(s) > 1, son développement en Y produit d’Euler auquel on associe la fonction ζ ∗ (s) = (1 − q −s )−1 = (1 − p−s )ζ(s). q6=p Puisque ζ(1 − n) = − bn bn , pour n ≥ 1, on a ζ ∗ (1 − n) = −(1 − pn−1 ) . n n Corollaire 5.3.2 : (i) p ≥ 5 On a ζp,0 (n) = −ζ ∗ (1 − n(p − 1)), ∀n ≥ 1. Pour 1 ≤ j ≤ p − 1, on a ζp,j (n) = −ζ ∗ (1 − j − n(p − 1)), ∀n ≥ 0. (ii) ζ2,0 (n) = −ζ ∗ (1 − n), ∀n ≥ 2 et ζ3,0 (n) = −ζ ∗ (1 − 2n), ∀n ≥ 1. 194 Démonstration: C’est une conséquence immédiate des remarques ci-dessus . Proposition 5.3.3 : Soient p ≥ 5 et 1 ≤ j ≤ p − 2. On a pour s, t ∈ ZZp , |ζp,j (s) − ζp,j (t)| ≤ p−1 |s − t|. Démonstration: Les fonctions ζp,j , pour p ≥ 5 et 1 ≤ j ≤ p − 2, sont analytiques, avec Z X 1 n ω(x)j logp (x)n+1 dx. ζp,j (s) = cn+1,j (j + (p − 1)s) ; cn+1,j = (n + 1)! Up n≥0 (Théorème 5.2.6) Z 1 Rappelons que pour toute fonction de classe C , on f (x)dx ≤ p · kf k1 . ZZp Z Ainsi, on a |cn+1,j | = gn+1,j (x)dx ≤ pkgn+1,j k1 ≤ ZZp ≤ p |p|n−1 · p−n = , ∀n ≥ 1. |(n + 1)!| |(n + 1)!| • Supposons n ≥ 2. Comme pour p ≥ 3, on a n 1 = 1+ < p − 1, n−1 n−1 c’est-à-dire n n + 1 − Sp (n + 1) n+1−1 n < n − 1, on obtient ≤ = < n − 1 et p−1 p−1 p−1 p−1 |p|n−1 < |p| n+1−Sp (n+1) p−1 = |(n + 1)!|, c’est-à-dire |p|n−1 < 1. |(n + 1)!| D’où l’on déduit |cn+1,j | < 1, ∀n ≥ 2. Puisque cn+1,j ∈ Q l p , on a |cn+1,j | ≤ |p| = p−1 , ∀n ≥ 2. Z 1 • Considérons c2,j = ω(x)j logp (x)2 dx. 2! Up p−1 Z 1 X On a c2,j = ω(x)j logp (x)2 dx = 2! `+pZZp `=1 1 = 2 p−1 X `=1 θ jα(`) p−1 Z 1 X jα(`) logp (x) dx = θ 2p `+pZZp 2 `=1 Z logp (` + px)2 dx. ZZp Puisque logp (` + px) = logp (`) + 2 logp (`) · logp (1 + `−1 px) + logp (1 + `−1 px)2 et Z ν−1 X X 1 ν −ν ν ν −1 2 comme logp (1+` px) = (−1) ` p x , on a logp (`+px)2 dx = i(ν − i) Z Z p i=1 2 2 ν≥2 195 ν−1 X X (−1)ν−1 X = logp (`) + 2 logp (`) · `−ν pν bν + (−1)ν ν 2 ν≥1 i=1 ν≥2 1 i(ν − i) ! `−ν pν bν . ν−1 Rappelons que |p · bν | ≤ 1. Comme | logp (`)| ≤ |p| et |p| |ν| ≤ |p|, lorsque ν ≥ 2, on ν−1 ν−1 X pi−1 pν−i 1 X pν = a ≤ |p|2 , lorsque ν ≥ 3. i(ν − i) i ν − i i=1 i=1 D’où l’on déduit R 2 ZZp logp (` + px) dx ≤ max |p|2 , |p|2 |b1 |, |p|2 |b2 | . R 1 1 2 Sachant que b1 = − et b2 = , on a ZZp logp (` + px) dx ≤ |p|2 , lorsque p ≥ 5. 2 6 p−1 Z 1 X Ainsi pour p ≥ 5, on a |c2,j | = θjα(`) logp (` + px)2 dx ≤ 2p ZZp `=1 Z ! 1 ≤ · max logp (` + px)2 dx ≤ |p| max(1, |b1 |, |b2 |) = |p|. |p| 1≤`≤p−1 ZZp En conclusion : |cn+1,j | ≤ |p| = p−1 , ∀n ≥ 1. On voit, comme dans la démonstration du Lemm 5-2-1, que pour tous s, t ∈ ZZp et tout entier n ≥ 1, on a |(j + (p − 1)s)n − (j + (p − 1)t)n | ≤ |s − t|. X cn+1,j ((j + (p − 1)s)n − (j + (p − 1)t)n ))| ≤ Ainsi, |ζp,j (s) − ζp,j (t)| = | n≥1 ≤ sup |cn+1,j ||(j + (p − 1)s)n − (j + (p − 1)t)n | ≤ p−1 |s − t|. n≥1 Corollaire 5.3.4 : Congruences de Kummer (p≥5) Soient m et n ∈ IN tels que m ≡ n ( mod. (p − 1)pk ) et m 6≡ 0 ( mod. (p − 1)). Alors (1 − pm−1 ) bm bn ≡ (1 − pn−1 ) ( mod. pk+1 ). m n Démonstration: Puisque m 6≡ 0 ( mod. (p − 1)), on a m = (p − 1)m0 + j0 , avec 1 ≤ j0 ≤ p − 2. D’autre part, comme m ≡ n ( mod. (p − 1)pk ), on a n = m + (p − 1)pk = (p − 1)(m0 + pk ) + j0 = (p − 1)n0 + j0 et |m − n| = |(p − 1)(m0 − n0 )| = |m0 − n0 |. bm bn − (1 − pn−1 ) | = |ζp,j0 (m0 ) − ζp,j0 (n0 )| ≤ p−1 |m0 − n0 | = m n −1 −1 k −k−1 p |m − n| = p |(p − 1)p | = p . Il vient que |(1 − pm−1 ) 196 N.B: Les nombres de Bernoulli, comme on vient de le voir, sont intimément liés à la théorie des nombres. Les congruences de Kummer ont été démontrées par Kummer au XIXe siècle lors de ses recherches sur le ”grand” Théorème de Fermat. 5- 3-5 Exercice : Retrouver, comme conséquence de la Proposition 5.3.1 que pour p ≥ 3, et pour j impair 1 ≤ j ≤ p − 2, on a ζp,j (n) = 0, ∀n ≥ 1. En déduire qu’alors ζp,j ≡ 0 lorsque j est impair, 1 ≤ j ≤ p − 2. 197 Appendice Fonctions exponentielle et logarithme p-adiques Considérons les séries formelles exp(z) = X zn et n! n≥0 n−1 log(1 + z) = X (−1) n z n ∈ Q[[z]]. l n≥1 Soit K un sur-corps valué complet de Q l p de valeur absolue normalisée telle |p| = p−1 . 1 1 Rappelons que ρp = lim inf |n!| n = p− p−1 est le rayon de convergence p-adique de n→+∞ la série formelle exp. Tandis que le rayon de convergence p-adique de la série formelle log est 1; on note par logp la fonction p-adique correspondante. Posons Ep = {x ∈ K / |x| < ρp }. Lemme 1 : (i) On a pour tout x ∈ Ep , | exp(x) − 1| = |x| et | logp (1 + x)| = |x| . (ii) exp(Ep ) ⊂ 1 + Ep , logp (1 + Ep ) ⊂ Ep . Pour tout x ∈ Ep , on a exp ◦ logp (1 + x) = x et logp ◦ exp(x) = x. Démonstration : n−1 n−Sp (n) n−1 1 |xn | = |xn | · p p−1 ≤ |xn | · p p−1 = |x|p p−1 · |x|. |n!| n−1 1 1 1 |xn | · |x| < Comme |x| < p− p−1 , c’est-à-dire |x| · p p−1 < 1, on a ≤ |x|p p−1 |n!| (i) Soit x ∈ Ep , on a |x|, ∀n ≥ 2. n n n n X X x |x | |x | x Il vient que = max < |x|. Ainsi, |exp(x)−1| = x + = ≤ sup n≥2 |n!| n! n≥2 n! n≥2 |n!| n≥2 |x|. Comme |n!| ≤ |n| ( car vp (n) ≤ vp (n!) ), on a Alors, si x ∈ Ep , on a |xn | |xn | ≤ . |n| |n!| |xn | |xn | ≤ < |x|, ∀n ≥ 2. D’où | logp (1 + x)| = |n| |n!| 198 n X x n−1 = |x|. = x + (−1) n n≥2 (ii) Les inclusions d’ensembles sont une conséquence immédiate de (i) Les fonctions exp : Ep −→ 1 + Ep et logp : 1 + Ep −→ Ep étant analytiques sont 1 . Les fonctions 1+x : 1 + Ep −→ 1 + Ep , composées de fonctions dérivables. On vérifie aussitôt que exp0 = exp logp ◦ exp : Ep −→ Ep et exp ◦ logp et log0p (1 + x) = analytiques sont analytiques. D’une part, pour la fonction analytique exp ◦ logp (1 + x) = X an xn , on a n≥0 X X exp ◦ logp (1 + x) 1 = · an xn = (n + 1)an+1 xn . 1+x 1+x n≥0 n≥0 X X X Ainsi, on a an xn = (1+x) (n + 1)an+1 xn = a1 + ((n + 1)an+1 + nan ) xn . (exp ◦ logp )0 (1 + x) = n≥0 n≥0 n≥1 Il vient que a0 = a1 et (1 − n)an = (n + 1)an+1 . En particulier 2a2 = (−1 + 1) · a1 = 0 et par récurrence, on obtient an = 0, ∀n ≥ 2. Alors, exp ◦ logp (1 + x) = a0 · (1 + x). Comme exp ◦ logp (1+0) = exp(0) = 1, on a aussitôt a0 = 1 et exp ◦ logp (1+x) = 1+x, ∀x ∈ Ep . X D’autre part, pour la fonction analytique logp ◦ exp(x) = bn xn , on a n≥0 (logp ◦ exp)0 (x) = exp0 (x) · log0p ◦ exp(x) = 0 X exp (x) =1= (n + 1)bn+1 xn . Ainsi, exp(x) n≥0 b1 = 1 et bn = 0, ∀n ≥ 2. Comme logp ◦ exp(0) = logp (1 + 0) = 0, on a b0 = 0 et logp ◦ exp(x) = x, ∀x ∈ Ep . Corollaire : (i) On a exp(Ep ) = 1 + Ep et logp (1 + Ep ) = Ep . (ii) Soit 0 < r < ρp . On a exp(D± (0, r)) = 1 + D± (0, r) et logp (1 + D± (0, r)) = D± (0, r) . Démonstration : (i) Comme exp ◦ logp (1 + x) = 1 + x, ∀x ∈ Ep et logp ◦ exp(x) = x, ∀x ∈ Ep , les fonctions exp : Ep −→ 1 + Ep et logp : 1 + Ep −→ Ep sont bijectives réciproques l’une de l’autre. (ii) Vérifions que exp(D± (0, r)) = 1 + D± (0, r), la démonstration pour logp se faisant de la même manière. 199 Soit y ∈ D± (0, r) ⊂ Ep , posons x = exp(y), avec |y| ≤ r (resp. |y| < r ). Ainsi, |x−1| = | exp(y)−1| = |y| ≤ r (resp. |x−1| = | exp(y)−1| = |y| < r ) et x ∈ 1+D± (0, r). Réciproquement, si x ∈ 1 + D± (0, r), il existe y ∈ Ep tel que x = exp(y). Ainsi, |x − 1| = | exp(y) − 1| ≤ r (resp. < r ). D’où x = exp(y) ∈ exp(D± (0, r)). Lemme 2 : (i) exp : Ep −→ 1 + Ep est un isomorphisme de groupes topologiques logp : D− (1, 1) −→ K est un morphisme du groupe multiplicatif D− (1, 1) (ii) dans le groupe additif (K, +). De plus, si le corps K est algébriquement clos, logp est surjectif. Démonstration : (i) Soient x, y ∈ Ep , on a exp(x + y) = X (x + y)n X 1 X n = xi y j = n! n! i+j=n i n≥0 n≥0 X X 1 1 XX 1 1 = xi y j = xi y j = exp(x) exp(y). i! j! i! j! i+j=n n≥0 i≥0 j≥0 La fonction exp étant analytique est continue. Sa réciproque étant la fonction analytique restriction de logp à Ep , c’est un isomorphisme de groupes topologiques. (ii) On vérifie aussitôt que D− (1, 1) est un sous-groupe du groupe des unités de K, appelé le groupe des unités principales. Soient 1 + x, 1 + y ∈ D− (1, 1). Considérons, pour y fixé, logp ((1 + x)(1 + y)) comme X fonction de x. Cette fonction est analytique. Ainsi logp ((1 + x)(1 + y)) = an (y)xn , n≥0 avec logp (1 + y) = a0 (y). On a X d 1+y 1 logp ((1 + x)(1 + y)) = (n + 1)an+1 (y)xn = = = dx (1 + x)(1 + y) 1+x n≥0 X (−1)n xn . Ainsi (n + 1)an+1 (y) = (−1)n , ∀n ≥ 0. On en déduit aussitôt que an (y) = n≥0 (−1)n−1 , ∀n ≥ 1. n En conclusion : logp ((1 + x)(1 + y)) = a0 (y) + X (−1)n−1 xn = logp (y) + logp (x). n n≥1 Lorsque K est algébriquement clos, la surjectivité de logp se démontre comme pour Cl p . En effet, considérons y ∈ K. Il existe un entier m ≥ 1 tel que |pm y| < ρp . Ainsi, il existe z ∈ Ep tel que logp (1+z) = pm y. Comme K est algébriquement clos, il existe x ∈ K 200 m tel que xp m = 1 + z. On a |xp − 1| = |z| < ρp < 1. Réduisant modulo l’idéal maximal m de l’anneau des entiers de K, on a dans le corps résiduel K de K : xp = 1. Comme K m est de caractéristique p, on a (x − 1)p = 0 et x = 1, c’est-à-dire |x − 1| < 1. Il vient que X (−1)ν−1 m logp (x) = (x−1)ν est définie et logp (1+z) = logp (xp ) = pm logp (x) = pm y. ν n≥1 D’où logp (x) = y. Exercice 1 : Démontrer que pour x, y ∈ Ep , on a | exp(x) − exp(y)| = |x − y|. En déduire que pour x, y ∈ Ep , on a | logp (x) − logp (y)| = |x − y|. Exercice 2 : Fonctions trigonométriques p-adiques Supposons i ∈ K, i2 = −1. Posons pour x ∈ Ep : exp(ix) + exp(−ix) exp(ix) − exp(−ix) , cosp (x) = 2i 2 Donner le développement en série de sinp et de cosp . sinp (x) = (i) En déduire que l’on peut définir ces fonctions sur Ep même si i 6∈ K . (ii) Démontrer que sinp (x)2 + cosp (x)2 = 1 , sin0p (x) = cosp (x) et cos0p (x) = − sinp (x). De plus pour x, y ∈ Ep , on a sinp (x + y) = sinp (x) cosp (y) + cosp (x) sinp (y) et cosp (x + y) = cosp (x) cosp (y) − sinp (x) sinp (y) . (iii) Démontrer que pour x, y ∈ Ep , on a les relations suivantes : | sinp (x)| = |x| , | cosp (x)| = | exp(ix)| = 1 | sinp (x) − sinp (y)| = |x − y| et | cosp (x) − cosp (y) ≤ |x − y|. (iii) Démontrer que logp ◦ sinp : Ep −→ K est bien définie et est une fonction analytique. En déduire que la fonction tanp : Ep −→ K, définie par tanp (x) = sinp (x) est cosp (x) analytique . Proposition : Supposons que le corps résiduel K de K est un sous-corps de la clôture algébrique du corps fini IFp et que pΓ ⊂ K, où Γ = − log(|K ∗ |) ⊂ Q l est le groupe de valuation de K. Par exemple lorsque K est un sous-corps fermé de Cl p tel que pΓ ⊂ K. 201 Alors, la fonction logp : D− (1, 1) −→ K se prolonge de façon unique en un homomorphisme de groupes de K ∗ = K \ {0} dans K tel que logp (p) = 0. Ce prolongement est souvent appelé la fonction logarithme d’Iwasawa . Démonstration : Soit x ∈ K ∗ , on a |x| = p−r , où r ∈ Γ. De plus, puisque pr ∈ K, on y = p−r x ∈ K, avec |y| = 1. Soit q la plus petite puissance de p telle que la classe résiduelle de y soit dans IFq . Soit ω(y) = lim y q n→+∞ n le représentant de Teichmüller de y dans K. On a ω(y)q−1 = 1 et |ω(y) − y| < 1. D’où l’on déduit que < y >= y · (ω(y))−1 ∈ D− (1, 1). On a donc x = pr · ω(y)· < y >. Soit ϕ : K ∗ −→ K un homomorphisme de groupes qui prolonge logp : D− (1, 1) −→ K . m , n et ϕ(pnr ) = nϕ(pr ) = mϕ(p). Si donc ϕ(p) = 0, on a ϕ(pr ) = 0 et Comme ω(y)q−1 = 1, on a ϕ(ω(y)q−1 ) = (q − 1)ϕ(ω(y)) = ϕ(1) = 0. Posons r = on a pnr = pm ϕ(x) = ϕ(pr ) + ϕ(ω(y)) + ϕ(< y >) = ϕ(< y >) = logp (< y >). Ce qui montre l’existence et l’unicité du prolongement de logp à K ∗ . Exercice 3 : Soit a = 1 + x ∈ D− (1, 1). Considérons la fonction puissance de ZZp dans K définie X t t par a = xn . n n≥0 d Montrer que (at )(0) = logp (a). En déduire que dt m ap − 1 lim = logp (a). m→+∞ pm Montrer que les zéros de logp dans D− (1, 1) sont les racines de l’unité dans K d’ordre une puissance de p . Remarques : (1) Avec les hypothèses sur K ci-dessus, soient ϕ et ψ deux homomorphismes de groupes de K ∗ dans K qui prolongent logp , alors il existe c ∈ K telle ϕ(x) − ψ(x) = c · v(x), ∀x ∈ K, où v(x) = − log |x| est la valuation de K. (2) On peut démontrer, dans le cas où K = Cl p , que l’homomorphisme de groupes exp : Ep −→ 1 + Ep admet un prolongement continu, non unique, de Cl p dans D− (1, 1). 202 N.B : (i) Considérons K = Q l p. Si p 6= 2, alors Ep = pZZp et logp : 1 + pZZp −→ pZZp est un isomorphisme du groupe des unités principales 1 + pZZp de ZZp sur le groupe additif (pZZp , +). (ii) Tandis que pour p = 2, on a E2 = 4ZZ2 et on a l’isomorphisme de groupes log2 : 1 + 4ZZ2 −→ 4ZZ2 . 203 Bibliographie Livres [1] Y. Amice, Les nombres p-adiques, PUF- Paris 1975. [2] N. Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, GTM 58, Springer-Verlag, New-York, Heidelberg, Berlin, 1977. [3] A. Robert, A Course in p-adic Analysis, GTM 198, Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 2000. [4]) A.C.M. van Rooij, Non-archimedean functional analysis, Marcel Dekker, NewYork, 1978. [5] W.H. Schikhof, Ultrametric calculus. An Introduction to p-adic analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1984. Articles [i] Y. Amice, Interpolation p-adique, Bulletin SMF, Tome 92 - 1964 - Fasc.2, 117-180. [ii] B. Diarra, Bases de Mahler et autres, Séminaire Anal. Université Blaise Pascal (Clermont II) -1994-95 ( 16),18 pp. - 1997. [iii] B. Diarra, Complete ultrametric Hopf algebras which are free Banach spaces, in ”p-adic functional Analysis, edited by W.H. Schikhof, C. Perez-Garcia, J. Kakol, Marcel Dekker, New-York, 1997, 61-80. [iv] L. Van Hamme, Jackson’s interpolation in p-adic analysis, Proceedings of the Conference on p-adic analysis, Report 7806, Nijmegen, June 1978, 119-125. [v] L. van Hamme, Continuous operators which commute with translations, on the space of continuous functions on ZZp , in ”p-adic functional Analysis, edited by J.M. Bayod, N. De Grande-De Kimpe and J. Martı́nez-Maurica, Marcel Dekker, NewYork, 1991, 77-88. [vi] M. van der PUT, Difference equations over p-adic fields, Math. Ann. 198, 1972, 189-203 [vii] A. Verdoodt, Normal bases for non-archimedean spaces of continuous functions, Publicacions Matemàtiques 37, 1993, 685-699.