Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 7

Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
1
Daniel ALIBERT
Arithmétique et algèbre commutative : entiers, polynômes
à une indéterminée, idéal.
Objectifs :
Savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bézout, théorème de Gauss,
éléments premiers). Etudier des équations à coefficients entiers. Racines
d'un polynôme. Connaître des généralisations à des sous-anneaux de C
(idéal, entiers de Gauss, …).
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Organisation, mode d'emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage
pratique simple.
Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours.
Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet,
il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs,
et des exercices pour aider à l'assimilation du cours.
Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des
Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une
place importante.
Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces
étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord
des mathématiques au niveau du premier cycle des universités :
- difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont
ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée,
- difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils
mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des
mathématiques de le faire,
- difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples,
- manque de méthodes de base de résolution des problèmes.
L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces
difficultés aux côtés des enseignants.
Ce livre comporte quatre parties.
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La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui
sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni
démonstration, ni exemple.
La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des
exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie
précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant
abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent
des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de
ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou
l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés
"exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir
de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont
suivis immédiatement d'explications détaillées.
La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des
énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces
énoncés comportent des renvois de trois sortes :
(☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question,
( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite,
( ) renvoie à une entrée du lexique.
Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie
3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui
souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions
complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.
La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les
méthodes, et le lexique.
Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez
voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant
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en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à
traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent
des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour
l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.
Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce
qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires)
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Table des matières
1 A Savoir........................................................................... 6
1-1 Arithmétique des entiers ................................. 6
1-2 Polynômes ....................................................... 9
1-3 Algèbre commutative .................................... 16
2 Pour Voir ....................................................................... 18
2-1 Arithmétique des entiers ............................... 18
2-2 Polynômes ..................................................... 33
2-3 Algèbre commutative .................................... 52
Comprendre et Utiliser ..................................................... 60
3-1 Énoncés des exercices ................................... 60
3-2 Corrigés des exercices ................................... 78
3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 120
4 Pour Chercher .............................................................. 125
4-1 Indications pour les exercices ..................... 125
4-2 Méthodes ..................................................... 133
4-3 Lexique........................................................ 138
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6
A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les
principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour
les démonstrations.
Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.
1-1 Arithmétique des entiers
Théorème
Soient p et q des entiers relatifs, avec q différent de 0. Il existe un couple
unique d'éléments de Z, (b, r) , tels que :
p = b q + r, et 0 ≤ r < |q|.
Soient p et q des éléments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z,
s'il existe un élément b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On
dit que q est un diviseur de p.
Si a et b sont des entiers et si q divise à la fois a et b, on dit que q est un
diviseur commun à a et b.
La relation q | p n'est pas une relation d'ordre. Cette relation n'est pas
antisymétrique :
si q | p et p | q, alors p = a q
avec a un élément inversible dans l'anneau Z, c'est-à-dire 1 ou –1.
Proposition
Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier
strictement positif d vérifiant :
1) d divise a et b ;
2) Si d' est un diviseur commun à a et b, alors d' divise d.
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On dit que d est le plus grand diviseur commun à a et b (PGCD), et
on note d = (a,b).
On définit de même le PGCD d'une famille (a, b, c, …) d'entiers.
On a les propriétés élémentaires suivantes :
((a,b),c) = (a,(b,c)).
Si k n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb).
Pour tout entier q, (a,b) = (b,a – bq).
Si a est non nul, (a,0) = a.
Définition
On dit que a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, si 1 est le PGCD
de a et b.
a
b
Ainsi, si d = (a,b), et si on pose a ′ = , et b ′ = , alors (a',b') = 1.
d
d
Théorème (Bézout)
Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des
entiers u et v vérifiant :
au + bv = 1.
Calcul du PGCD par l'algorithme
d'Euclide
Cet algorithme permet de déterminer le pgcd de deux entiers a et b par une
suite de divisions euclidiennes :
a = bq + r
b = r q1 + r1
r = r1q2 + r2
…
rn-1 = rnqn+1 + rn+1.
Cette suite est poursuivie jusqu'à ce que le reste obtenu soit nul.
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Le dernier reste non nul est le pgcd cherché.
Théorème (Gauss)
Soient a, b, c des éléments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont
premiers entre eux, alors a divise c.
En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c,
alors ab divise c.
Définition
Soit p un élément de Z. On dit que p est un élément premier s'il est
supérieur ou égal à 2, et premier avec tout entier q tel que 0 < q < p.
Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs
positifs distincts.
Un entier p est premier si et seulement si il est supérieur ou égal à 2 et
ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Si p est premier, il est premier avec tout élément de Z qu'il ne divise pas.
Si p est premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou b.
Théorème
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Proposition
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Il existe une famille finie de nombres
premiers, p1, … , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1,
… , nr tels que n = p1n1 p2n2 … prnr .
De plus cette décomposition est unique.
Théorème (Fermat)
Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a.
En particulier, si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 - 1.
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1-2 Polynômes
Définition :
Soit K un corps, on appelle polynômes formels à coefficients dans K, ou
plus simplement polynômes, les suites finies d'éléments de K.
Un polynôme est noté généralement :
A = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn.
L'ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X].
Dans ce livre, K sera en général Q, R ou C.
Si A = (ap) est un polynôme, mais n'est pas la suite nulle, on pose :
deg(A) = max{p | ap ≠ 0},
cet entier est le degré de A.
On notera que cet entier n'est pas défini si A est nul.
Si n est le degré de A, le coefficient an est appelé le coefficient
dominant de A. S'il vaut 1, le polynôme est dit unitaire.
On note Kn[X] l'ensemble des polynômes de degré au plus n, et du
polynôme nul.
On définit le produit de deux polynômes formels de la manière
suivante :
Soient P = (a0, a1, … , an, … ) et Q = (b0, b1, … , bn, … ) des polynômes,
le polynôme PQ est le polynôme dont le terme d'indice n est :
n
cn = ∑ ak bn −k .
k= 0
L'ensemble K[X] est un anneau.
L'ensemble K[X] est un K-espace vectoriel, dont une base (infinie),
souvent appelée "base canonique", est 1, X, …, Xn, …
L'ensemble Kn[X] est un K-espace vectoriel de dimension n + 1.
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Proposition
Si A et B sont des polynômes non nuls, la relation suivante est vérifiée :
deg(AB) = deg(A) + deg(B),
et si de plus A + B n'est pas nul, on a également la relation :
deg(A + B) ≤ max(deg(A),deg(B)),
et l'égalité est vraie si deg(A) ≠ deg(B).
Soit P un polynôme formel à coefficients dans K. On définit la fonction
polynôme associée à P, notée encore P de K dans K en posant, pour P =
a0 + a1X + a2X2 + … + anXn, et x ∈ K :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn.
Proposition
(Division euclidienne dans K[X]).
Soient P et Q des polynômes, avec Q différent de 0. Il existe un couple
unique d'éléments de K[X], (B, R), tels que :
P = B Q + R, et deg(R) < deg(Q), ou R = 0.
On dit que P est divisible par Q, ou que Q est un diviseur de P si le
reste de la division de P par Q est nul, c'est-à-dire s'il existe un polynôme
B tel que P = BQ. On note : Q | P.
La relation Q | P n'est pas une relation d'ordre : si Q | P et P | Q , alors
P = a Q avec a un élément inversible dans l'anneau K[X], c'est-à-dire un
scalaire (élément de K) non nul.
Soient P et Q deux polynômes, on dit qu'un polynôme R est un diviseur
commun à P et Q si R divise P et R divise Q.
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Proposition
Soient A et B des éléments non tous les deux nuls de K[X], il existe un
unique élément D unitaire de K[X] tel que :
1) D divise A et B,
2) Si D1 est un diviseur commun à A et B, alors D1 divise D.
On dit alors que D est le plus grand diviseur commun (PGCD) de A
et B. On note D = (A,B). On dit souvent d'un polynôme non nul multiple
du PGCD par un scalaire que c'est un PGCD.
Le PGCD est le "plus grand" par le degré, et aussi par la relation de
divisibilité.
Définition
Si le PGCD de A et B est le polynôme 1, on dit que A et B sont premiers
entre eux, ou étrangers.
Théorème (de
Bézout)
Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si il existe des
polynômes U et V vérifiant :
A.U + B.V = 1.
Calcul de PGCD
Pour calculer un PGCD de deux polynômes P et Q, on peut utiliser
l'algorithme d'Euclide.
On fait la suite d'opérations suivantes
1) Effectuer la division euclidienne de P par Q : P = BQ + R
2) Effectuer la division euclidienne de Q par R :
Q = B1R + R1.
3) Effectuer la division euclidienne de R par R1 :
R = B2R1 + R2
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et ainsi de suite, d'où une suite de polynômes Ri.
Le degré de la suite des polynômes Ri est strictement décroissant, donc il
existe un rang k pour lequel Rk est nul. Le PGCD de P et Q est obtenu à
partir du reste précédent Rk ("dernier reste non nul ") en le divisant par son
coefficient dominant.
Théorème (Gauss)
Soient A, B, C des polynômes non nuls. Si A divise BC, et si A et B sont
premiers entre eux, alors A divise C.
En particulier, si A et B sont premiers entre eux, et si A et B divisent C,
alors AB divise C.
Proposition
Soit P un élément de K[X], et a un élément de K. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
1) P(a) = 0. (On dit alors que a est une racine de P dans K).
2) X – a divise P, c'est-à-dire il existe un polynôme Q tel que :
P(X) = (X – a) Q(X).
NB : on a noté de la même manière le polynôme P et la fonction
polynôme associée.
On peut en déduire qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n
racines distinctes.
Théorème
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans C, a au
moins une racine dans C.
Définition
On appelle polynôme irréductible un polynôme P de degré supérieur ou
égal à 1 qui n'a pas de diviseur Q tel que :
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1 ≤ deg(Q) < deg(P).
Si K = R, les polynômes irréductibles unitaires sont d'une part les
polynômes de degré 1, α(X – a) (avec α et a dans R, α non nul), d'autre
part les polynômes de degré 2 sans racine, α(X2 + aX + b) (avec α, a, b
dans R, α non nul et a2 – 4b < 0).
Si K = C, les polynômes irréductibles sont ceux de degré 1.
Tout polynôme est produit de polynômes irréductibles.
Définition
On dit que l'élément a de K est une racine multiple de multiplicité k du
polynôme P si (X – a)k divise P, et (X – a)k+1 ne divise pas P.
On caractérise les racines multiples de P à l'aide de la dérivée :
Soit P un polynôme, P = a0 + a1 X + a2 X2 + … + anXn, on appelle
polynôme dérivé de P, et on note DP le polynôme :
a1 + 2a2X + 3a3X2 … + nanXn-1.
Proposition
Soit a un élément de K, et p un entier. L'élément a est une racine multiple
de multiplicité p du polynôme Q si et seulement si on a les relations
suivantes :
P(a) = 0 ,
et pour tout k entier naturel, 1 ≤ k < p :
k
D P(a) = 0 ,
et enfin D n P(a) ≠ 0 .
En particulier, les racines multiples de P (quel que soit leur ordre de
multiplicité) sont les racines communes à P et DP, ce qu'on peut traduire
en disant que a est une racine multiple de P si et seulement si (X – a) est
un diviseur commun à P et DP.
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Fractions
rationnelles
On suppose maintenant K = R.
On définit sur R[X] × R[X]* une relation d'équivalence R :
(P, Q) R (P1, Q1)
si et seulement si :
PQ1 = P1Q.
L'ensemble quotient est le corps des fractions rationnelles à coefficients
dans R. On le note R(X).
Soit F un élément de R(X) et (P, Q) un de ses représentants.
On notera en général :
P(X )
F(X) =
.
Q(X)
On cherche à simplifier l'écriture de F, en en donnant une forme
standardisée.
Décomposition en éléments
simples
1 Si deg(P) ≥ deg(Q), notons S le quotient de la division euclidienne
de P par Q, et R le reste. On écrit :
P(X )
R( X)
= S(X) +
.
Q(X)
Q(X)
R(X )
On passe au point 2 pour la fraction
.
Q(X)
Si deg(P) < deg(Q), on passe directement à 2 .
2 Factoriser Q en un produit de polynômes du premier degré, ou du
second degré sans racine réelle. (Ce point peut être difficile, voire
impossible à réaliser dans la pratique puisqu'il suppose qu'il est possible
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de déterminer les racines de Q). On obtient une décomposition de la
forme :
(α1X + β1)n1..(αkX + βk)nk(γ1X2 + δ1X + ε1)m1..(γrX2 + δrX + εr)mr.
On a supposé que les polynômes figurant ci-dessus sont deux à deux non
proportionnels.
3 Il existe alors des familles de réels :
(a1,i1)i1 = 1 , … , n1; … ; (ak,ik)ik = 1 , … , nk
(c1,j1, d1,j1)j1 = 1, … , m1 ; … ; (cr,jr, dr,jr)jr = 1, … , mr ,
telles qu'on ait l'égalité :
a1,1
a1,n1
cr, mr X + dr,mr
R(X )
=
+ …+
.
n1 + … +
Q(X) (α1 X + β1 )
(α1 X + β1 )
(γ r X 2 + δ r X + ε r )mr
Dans la pratique, pour déterminer ces réels, il y a diverses méthodes ou
astuces.
Si elle n'est pas trop compliquée, on écrit la fraction sous la forme cidessus, avec des coefficients indéterminés, puis on réduit au même
dénominateur, et on identifie le numérateur à P, ce qui permet de calculer
les coefficients.
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1-3 Algèbre commutative
Dans ce livre, les anneaux sont supposés unitaires (il existe un élément
neutre pour la multiplication) et intègres (le produit de deux éléments non
nuls est différent de 0).
On s'intéresse principalement aux anneaux de polynômes sur un corps, à
Z et aux sous-anneaux de C.
Définition
Soit A un anneau commutatif, dont les opérations sont notées + et ×.
On appelle idéal de A une partie I de A ayant les deux propriétés
suivantes :
1) I est un sous-groupe de (A,+),
2) Pour tout a de A et tout x de I, le produit a × x est un élément de I.
A et {0} sont des idéaux.
Si A est un corps, ce sont les seuls idéaux de A.
Si t est un élément de A, l'ensemble des multiples de t :
t.A = {t × a | a ∈ A}
est un idéal de A. Un tel idéal est dit principal. Il est engendré par t, qui
est un générateur.
Si un idéal est engendré par t d'une part et par s d'autre part alors s est le
produit de t par un élément inversible de A (c'est-à-dire un élément qui a
un symétrique pour la multiplication).
Si u et v sont des éléments de A, l'ensemble des combinaisons de t et u
:
t.A + u.A= {t × a + u × b | a, b ∈ A}
est un idéal de A. Il est engendré par t et u, qui en sont des générateurs.
Un anneau dans lequel tout idéal est un idéal principal est appelé un
anneau principal.
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Théorème
L'anneau des entiers relatifs, Z, et, pour tout corps K, l'anneau des
polynômes à coefficients dans K, K[X], sont des anneaux principaux.
Si U et V sont des polynômes (ou des entiers), l'idéal engendré par U et
V a pour générateur le PGCD de U et V.
Définition
Dans un anneau principal, on appelle PGCD de deux élément a et b un
diviseur commun d tel que tout autre diviseur commun de a et b soit un
diviseur de d.
Un PGCD de a et b est un générateur de l'idéal engendré par a et b.
Si un PGCD est inversible, ils le sont tous, et on dit que les éléments
sont étrangers.
On peut étendre le théorème de Gauss et le théorème de Bézout à cette
situation.
On dit qu'un élément est premier s'il n'est pas inversible, et si ses seuls
diviseurs sont les produits de lui-même par un élément inversible.
Définition
On dit qu'un idéal est maximal s'il est différent de l'anneau, et maximal
pour la relation d'inclusion entre idéaux.
Un élément extrémal est un élément qui engendre un idéal maximal.
Dans un anneau principal, un élément est extrémal si et seulement si il
est premier.
Dans un anneau principal, si p est premier, et si p divise un produit ab,
alors p divise a ou p divise b.
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Pour Voir
Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou
résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très
élémentaires à propos d'autres exemples, pour vérifier votre
compréhension.
2-1 Arithmétique des entiers
"Soient p et q des entiers relatifs, avec q différent de 0. Il existe un couple unique
d'éléments de Z, (b, r) , tels que : p = b q + r, et 0 ≤ r < |q|."
exemple 1
Les entiers p, b, q peuvent être négatifs, seul le reste r est supposé positif
ou nul. Pour p et q positifs, il s'agit de la division usuelle pratiquée dès les
classes primaires.
Soit p = 345, q = 103. On pose la division :
345 | 103
36 | 3
Le quotient est 3, le reste est 36.
exemple 2
(à traiter)
Si p ou q est négatif, on procède d'abord à la division usuelle de |p| par |q|,
puis on passe à l'égalité ci-dessus. Effectuer de cette manière la division
de 431 par – 29, puis de – 107 par – 19.
# réponse
Pour les valeurs absolues, 431 et 29, on obtient :
431 = 29 × 14 + 25
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donc :
431 = (–29) × (–14) + 25.
Le quotient est –14, le reste 25.
Pour 107 et 19, on obtient :
107 = 19 × 5 + 12
– 107 = (– 19) × 5 – 12
– 107 = (– 19) × 6 + 7.
Le quotient est 6 et le reste 7.
"Soient p et q des éléments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z, s'il existe un
élément b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On dit que q est un diviseur de
p."
exemple 3
Les diviseurs positifs de 918 sont 2, 17, 27, puisque 918 = 2 × 17 × 27, mais
aussi :
1, 3, 6, 9, 18, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918.
Méthode : la recherche des diviseurs d'un entier doit s'effectuer par essais
successifs, en notant bien, pour chaque diviseur trouvé, le quotient
correspondant, qui est un autre diviseur. Il faut arrêter le calcul quand le
quotient devient inférieur au diviseur, en effet on ne pourra plus obtenir
que des diviseurs déjà trouvés à partir de ce moment. Il est inutile d'essayer
des diviseurs supérieurs à la racine carrée de l'entier étudié.
Dans l'exemple de 918, les couples obtenus sont :
(1, 918), (2, 459), (3, 306), (6, 153), (9, 102), (17, 54), (18, 51),
et enfin (27, 34).
exemple 4
(à traiter)
Parmi les entiers suivants, lesquels sont des diviseurs de 378 :
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7, 27, 36, 127, 189, 212.
# réponse
Il s'agit bien sur de 7, 27, 189.
"Si a et b sont des entiers et si q divise à la fois a et b, on dit que q est un diviseur commun
à a et b."
exemple 5
Les nombres – 1323 et 945 ont 189 comme diviseur commun, ainsi que –
189. Les diviseurs de 189 sont également des diviseurs communs, par
exemple 27, 63…
exemple 6
(à traiter)
Chercher tous les diviseurs communs aux deux entiers 351 et 234.
(Méthode suggérée : factoriser ces deux nombres).
Quelle observation peut-on faire sur l'ensemble de ces diviseurs
communs ?
# réponse
On verra que la méthode n'est pas optimale, surtout si les nombres sont
grands. Ici, toutefois, elle reste applicable.
Rappelons qu'elle consiste en un essai systématique de division par les
nombres premiers successifs, jusqu'à épuisement.
Ainsi, 351 n'est pas divisible par 2, est divisible par 3, par 9, par 27, mais
pas par 81, ni par 5, 7, 11, enfin est divisible par 13 :
351 = 27 × 13.
De même :
234 = 2 × 9 × 13.
Les diviseurs communs sont 1, 3, 9, 13, 39, 117, et leurs opposés.
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On observe que ce sont les diviseurs du plus grand d'entre eux, 117.
"Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier strictement positif
d vérifiant : 1) d divise a et b ; 2) Si d' est un diviseur commun à a et b, alors d' divise d."
exemple 7
Revoir l'exemple précédent, on a bien constaté que les diviseurs communs
à 351 et 234 étaient les diviseurs du plus grand d'entre eux, soit 117.
exemple 8
(à traiter)
Chercher les diviseurs communs à 134 et 335 et vérifier l'énoncé proposé.
# réponse
On voit que 134 est divisible par 2. Le quotient est 67 qui est premier,
comme on le voit en essayant de le diviser par 2, 3, 5, 7, qui ne conviennent
pas (méthode de l'exemple 3) :
134 = 2 × 67.
De même, on voit que 335 n'est pas divisible par 2, ni 3, mais par 5. Le
quotient est encore 67.
Le plus grand diviseur commun est 67. Les seuls diviseurs communs sont
1 et 67 (et leurs opposés).
"On dit que d est le plus grand diviseur commun à a et b (PGCD), et on note d = (a,b)."
exemple 9
Ainsi 117 = (351, 234).
exemple 10
(à traiter)
Calculer, par la méthode précédente, le PGCD de 918 et 810.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
22
# réponse
On a déjà donné les diviseurs de 918 :
1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918.
Pour 810, on obtient :
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, et
810.
Le plus grand diviseur commun est donc 54.
"On définit de même le PGCD d'une famille (a, b, c, …) d'entiers."
exemple 11
La même méthode s'applique pour un nombre quelconque fini d'entiers,
sous réserve de la longueur des calculs.
Ainsi pour 918, 810, et 351, on obtient à partir des listes ci-dessus et de
celle des diviseurs de 351 :
1, 3, 9, 13, 27, 39, 117, 351,
PGCD(918, 810, 351) = 27.
Remarquer que, comme on pouvait s'y attendre, on obtient un diviseur du
PGCD de 918 et 810.
exemple 12
(à traiter)
Chercher, par cette méthode, le PGCD de 552, 828, 667.
# réponse
On obtient les listes suivantes de diviseurs :
Pour 552 {1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 24, 46, 69, 92, 138, 184, 276,
552}
Pour 828 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207,
276, 414, 828}
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
23
Pour 667 {1, 23, 29, 667}.
Le PGCD est donc 23.
"On a les propriétés élémentaires suivantes :
((a,b),c) = (a,(b,c)), si k
n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb), pour tout entier q, (a,b) = (b,a – bq), si a est non nul, (a,0)
= a.
exemple 13
Dans l'exemple 12 :
(552, 828) = 276
(276, 667) = 23,
puisque les diviseurs de 276 sont :
{1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276}.
D'autre part :
(828, 667) = 23
(552, 23) = 23
puisque 23 est un nombre premier.
exemple 14
(à traiter)
Utiliser la seconde relation (a, b) = (a – qb, b) pour chercher le PGCD des
entiers 337 et 233.
Indication : remplacer dans le couple (a, b), le plus grand des deux entiers
par la différence entre le plus grand et le plus petit, jusqu'à obtenir 0 pour
l'un d'entre eux. Conclure.
# réponse
On écrit successivement :
(337, 233) = (104, 233) = (104, 129) = (104, 25) = (79, 25) = (54, 25)
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
24
= (29, 25) = (4, 25) = (4, 21) = (4, 17) = (4, 13) = (4, 9) = (4, 5) = (4, 1) =
(3, 1) = (2, 1) = (1, 1) = (0, 1) = 1.
Le PGCD est 1.
NB : le lecteur attentif aura reconnu une version de l'algorithme d'Euclide
(voir plus loin).
Noter également le caractère élémentaire des opérations en jeu, par
comparaison avec la méthode de recherche de la liste des diviseurs des
deux entiers.
"On dit que a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, si 1 est le PGCD de a et b."
exemple 15
Ainsi, 337 et 233 sont étrangers.
exemple 16
(à traiter)
Les entiers 567 et 249 sont-ils étrangers ?
On utilisera la méthode de l'exemple 14.
# réponse
On fait les réductions successives :
(567, 249) = (318, 249) = (69, 249) = (69, 180) = (69, 111) = (69, 42)
= (27, 42) = (27, 15) = (12, 15) = (12, 3) = (9, 3) = (6, 3) = (3, 3)
= (3, 0) = 3.
Les entiers considérés ne sont pas étrangers, leur PGCD est 3.
"Ainsi, si d = (a,b), et si on pose
a′ =
a
b
, et b ′ = , alors : (a',b') = 1."
d
d
exemple 17
Ainsi, les nombres 567/3 = 189 et 249/3 = 83 sont étrangers :
Daniel ALIBERT
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volume 7
25
(189, 83) = (106, 83) = (23, 83) = (23, 60) = (23, 37) = (23, 14)
= (9, 14) = (9, 5) = (4, 5) = (4, 1) = (3, 1) = (2, 1) = (1, 1) = (1, 0) =1.
exemple 18
(à traiter)
Calculer le PGCD de 272 et 187, et appliquer ce résultat.
# réponse
On utilise encore la même méthode, qui n'est qu'un algorithme d'Euclide
non perfectionné :
(272, 187) = (85, 187) = (85, 102) = (85, 17) = (68, 17)
= (51, 17) = (34, 17) = (17, 17) = (17, 0) = 17.
Par division, on voit que 272/17 et 187/17, c'est-à-dire 16 et 11 sont
étrangers.
"Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v
vérifiant : au + bv = 1."
exemple 19
Pour 11 et 16 :
3 × 11 – 2 × 16 = 1.
La méthode employée ici est simple : écrire les multiples successifs de 11
et 16 jusqu'à en trouver deux dont la différence est 1.
exemple 20
(à traiter)
Pour 189 et 83, chercher a et b.
# réponse
Utilisons la même méthode :
multiples de 189 = {189, 378, 567, 756…}
Daniel ALIBERT
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26
multiples de 83 = {83, 166, 249, 332, 415, 508, 591, 674, 757,…}
On voit donc :
9 × 83 – 4 × 189 = 1.
"Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide."
exemple 21
Pour 568 et 249, on effectue les opérations suivantes :
568 = 2 × 249 + 70
249 = 3 × 70 + 39
70 = 1 × 39 + 31
39 = 1 × 31 + 8
31 = 3 × 8 + 7
8 = 1 × 7 + 1.
Le PGCD est donc 1.
exemple 22
(à traiter)
Traiter de même le PGCD de 488 et 828.
# réponse
Les opérations sont :
828 = 1 × 488 + 340
488 = 1 × 340 + 148
340 = 2 × 148 + 44
148 = 3 × 44 + 16
44 = 2 × 16 + 12
16 = 1 × 12 + 4
12 = 3 × 4 + 0.
Le PGCD est donc 4.
Daniel ALIBERT
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volume 7
27
"Soient a, b, c des éléments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont premiers entre
eux, alors a divise c. "
exemple 23
Si 3 divise un nombre pair, alors ce nombre est divisible par 6 :
3 | 2p
(3, 2) = 1
donc 3 | p, il existe q entier tel que p = 3q.
On obtient 2p = 6q.
exemple 24
(à traiter)
Quel est le plus petit multiple de 17 divisible par 13 ?
# réponse
Un multiple de 17 est de la forme 17 × c. Si 13 | 17× c, alors 13 | c. Le plus
petit c est donc 13, et le plus petit multiple de 17 divisible par 13 est 17 ×
13, soit 221.
"En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c, alors ab divise c."
exemple 25
Ci dessus, comme 17 et 13 sont premiers entre eux, un multiple de 17 et
de 13 est un multiple de 17 × 13.
exemple 26
(à traiter)
Donner un exemple où a et b ne sont pas premiers entre eux et où ce résultat
est faux.
# réponse
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
28
C'est très facile : un nombre pair divisible par 4 n'est pas toujours divisible
par 8, comme 12 par exemple.
"Soit p un élément de Z. On dit que p est un élément premier s'il est supérieur ou égal à
2, et premier avec tout entier q tel que :
0 < q < p."
exemple 27
Le premier nombre premier est donc 2.
exemple 28
(à traiter)
En application directe de cette définition, on a une méthode pour voir si un
nombre donné est un nombre premier : il suffit de calculer son PGCD avec
tout nombre qui lui est inférieur.
Ce n'est pas une méthode très efficace pour les grands nombres, comme
on l'imagine bien.
# réponse
Par cette méthode, vérifier que 17 est premier.
(17, 1) = 1, bien entendu,
(17, 2) = (2, 1) = 1
(17, 3) = (3, 2) = (1, 1) = 1
(17, 4) = (4, 1) = 1
(17, 5) = (5, 2) = (2, 1) = 1
(17, 6) = (6, 5) = (5, 1) = 1
(17, 7) = (7, 3) = (3, 1) = 1
(17, 8) = (8, 1) = 1
(17, 9) = (9, 8) = (8, 1) = 1
(17, 10) = (10, 7) = (7, 3) = (3, 1) = 1
(17, 11) = (11, 6) = (6, 5) = (5, 1) = 1
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
29
(17, 12) = (12, 5) = (5, 2) = (2, 1) = 1
(17, 13) = (13, 4) = (4, 1) = 1
(17, 14) = (14, 3) = (3, 2) = (2, 1) = 1
(17, 15) = (15, 2) = (2, 1) = 1
(17, 16) = (16, 1) = 1.
"Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs distincts."
exemple 29
C'est effectivement le cas de 2 et 17.
exemple 30
(à traiter)
Le nombre 1 est-il premier ?
# réponse
Non puisqu'il a un seul diviseur positif, lui-même.
"Si p est premier, il est premier avec tout élément de Z qu'il ne divise pas."
exemple 31
Si 17 n'est pas premier avec un entier n, ils ont un diviseur commun
supérieur à 1. Ce diviseur, qui doit diviser 17, est nécessairement 17. Donc
17 divise n.
exemple 32
(à traiter)
L'énoncé est-il vrai pour des nombres non premiers : si p ne divise pas n
alors p est premier avec n.
# réponse
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
30
Non, bien sûr. Si p n'est pas premier, il se peut que p ne divise pas n, mais
qu'ils aient un diviseur commun autre que 1 :
p = 6, n = 33, on voit que 6 ne divise pas 33, mais leur PGCD est 3.
"Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Il existe une famille finie de nombres premiers,
p1, … , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1, … , nr tels que n = p n1
1
p n2 … p nr ."
2
r
exemple 33
Décomposition de 547560 :
547560 = 23 × 34 × 5 × 132.
Méthode (si on ne dispose pas d'un logiciel) : on procède de proche en
proche, en trouvant les facteurs premiers par essai, puis l'exposant en
divisant autant que possible par un facteur premier trouvé, avant de passer
au nombre premier suivant.
Ici, 547560 est pair, donc divisible par 2 : 547560 = 2 × 273780.
Le quotient 273780 est encore pair … d'où : 547560 = 2 × 2 × 2 × 68445.
Le nombre 68445 n'est pas pair. On essaie de le diviser par 3 :
68445 = 3 × 22815, …
68445 = 3 × 3 × 3 × 3 × 845.
Le nombre 845 n'est pas divisible par 3. Il est divisible par 5 :
845 = 5 × 169.
Le nombre 169 n'est pas divisible par 5, 7, 11, mais par 13 :
169 = 13 × 13.
exemple 34
(à traiter)
Décomposer de cette manière 218025.
# réponse
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
31
On trouve 218025 = 33 ×52 × 17 × 19.
"Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a. En particulier,
si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 – 1."
exemple 35
Formons, pour a de 1 à 9, les expressions a5 – a :
a
a5
a5 - a
1
1
0
2
32
30
3
243
240
4
1024
1020
5
3125
3120
6
7776
7770
7
16807
16800
8
32768
32760
9
59049
59040
On voit bien qu'elles sont toutes divisibles par 5.
exemple 36
(à traiter)
Pour p = 7, former de même les expressions a7 – a, et les expressions a6 – 1,
pour a de 7 à 14. Conclure.
# réponse
On obtient le tableau :
a
a6
a7
(a6-1)/7
(a7-a)/7
7
117649
823543
16806,8571
117648
8
262144
2097152
37449
299592
9
531441
4782969
75920
683280
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
32
10
1000000
10000000
142857
1428570
11
1771561
19487171
253080
2783880
12
2985984
35831808
426569
5118828
13
4826809
62748517
689544
8964072
14
7529536
105413504
1075647,86
15059070
On vérifie bien sur cet exemple l'énoncé général. On voit aussi que si a est
divisible par 7, le nombre a6 – 1 n'est pas nécessairement divisible par 7.
(Essayer aussi a = 49).
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
33
2-2 Polynômes
"Soit K un corps, on appelle polynômes formels à coefficients dans K, ou plus
simplement polynômes, les suites finies d'éléments de K."
exemple 37
La suite a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 1, a5 = 0, a6 = 1, définit un
polynôme, noté habituellement :
1 + X + X4 + X6.
Il faut bien comprendre qu'il n'y a aucune information supplémentaire dans
cette écriture usuelle par rapport à celle d'une suite finie : les valeurs
successives prises par la suite sont les valeurs des coefficients, les indices
correspondant sont les exposants de X. L'écriture usuelle se justifie par sa
grande facilité d'usage dans les calculs (ce qui est extrêmement important).
exemple 38
(à traiter)
Ecrire la suite correspondant au polynôme (1 + X)5.
# réponse
Pour faire apparaître les coefficients correspondant aux différents
exposants, il faut développer :
(1 + X)5 = 1 + 5X + 10X2 + 10X3 + 5X4 + 1.
La suite est :
0 → 1, 1 → 5, 2 → 10, 3 → 10, 4 → 5, 5 → 1.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
34
"Si n est le degré de A, le coefficient an est appelé le coefficient dominant de A. S'il vaut
1, le polynôme est dit unitaire."
exemple 39
Dans l'exemple 37, le coefficient dominant est 1. C'est un polynôme
unitaire.
exemple 40
(à traiter)
Quel est le coefficient dominant du polynôme (1+ 2X)6(1 – X)4 ?
# réponse
Pour un produit, inutile de développer. Le coefficient dominant est le
produit des coefficients dominants, soit ici 26 × (–1)4 = 64.
"Si A et B sont des polynômes non nuls, la relation suivante est vérifiée : deg(AB) =
deg(A) + deg(B), et si de plus A + B n'est pas nul, on a également la relation :
deg(A + B) ≤ max(deg(A),deg(B)), et l'égalité est vraie si deg(A) ≠ deg(B).
exemple 41
Ainsi, dans l'exemple 40, le coefficient dominant est 64, il correspond à 64
X10. Le degré est bien 6 + 4.
exemple 42
(à traiter)
Calculer le degré du polynôme :
(1 + X)5 + (1 – X)5.
# réponse
On prévoit, d'après le résultat rappelé, que ce degré est au plus 5. Pour le
déterminer, il faut développer les polynômes (1 + X)5 et (1 – X)5.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
35
On obtient :
(1 + X)5 + (1 – X)5 = 2 + 20 X2 + 10 X4.
Le degré est donc 4.
Noter que c'est seulement parce que les degrés des deux polynômes de la
somme sont égaux qu'il a pu y avoir une simplification.
"Soient P et Q des polynômes, avec Q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments
de K[X], (B, R), tels que : P = B Q + R, et deg(R) < deg(Q), ou R = 0."
exemple 43
Les deux conditions sont indispensables pour que le couple (B, R) soit bien
déterminé. Ainsi, les deux égalités suivantes sont vraies :
X5 + X + 1 = (X4 – X3 + X2 – X + 2)(X + 1) – 1,
X5 + X + 1 = (X4 – X3 + X2 – X)(X + 1) + 2 X + 1.
Seule la première correspond à l'égalité de la division euclidienne.
exemple 44
(à traiter)
Effectuer la division euclidienne de 3 X4 + 2 X3 – X + 4, par X2 + X + 1.
# réponse
On obtient le quotient 3 X2 – X – 2, et le reste 2 X + 6.
Vérifier au moins le terme dominant (3 × 1 = 3).
"On dit que P est divisible par Q, ou que Q est un diviseur de P si le reste de la division
de P par Q est nul, c'est-à-dire s'il existe un polynôme B tel que P = BQ. On note Q | P."
exemple 45
La plupart du temps, il faut faire la division pour vérifier qu'un polynôme
est un diviseur d'un autre (voir des cas particuliers en exercice).
Ainsi, on voit que X2 + X + 1 est un diviseur de X4 + X3 – X – 1.
Daniel ALIBERT
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volume 7
36
Le quotient, qui est un autre diviseur, est (X2 – 1) :
X4 + X3 – X – 1 = (X2 + X + 1)(X2 – 1).
exemple 46
(à traiter)
Chercher les diviseurs de degré 1, dans R[X], du polynôme X4 – 1.
# réponse
Il suffit de chercher les diviseurs unitaires, c'est à dire les polynômes de la
forme X – a, a étant un réel.
On observe que le reste est constant, et que c'est a4 – 1. Il suffit donc de
connaître les réels vérifiant a4 = 1. Il s'agit de 1 et – 1. Les diviseurs de
degré 1 dans R[X], du polynôme X4 – 1 sont donc les polynômes de l'une
des deux formes suivantes :
c (X – 1), d (X + 1),
c et d étant des réels non nuls.
"Soient P et Q deux polynômes, on dit qu'un polynôme R est un diviseur commun à P et
Q si R divise P et R divise Q."
exemple 47
D'après les exemples précédents, X + 1 est un diviseur commun à X4 – 1
et X4 + X3 – X – 1.
exemple 48
(à traiter)
Vérifier que X2 + 1 est un diviseur commun à :
X5 + X3 – X2 – 1 et X5 + 2 X3 + 2 X2 + X + 2.
# réponse
On obtient en effet, par division, les égalités :
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
37
X5 + X3 – X2 – 1 = (X2 + 1)(X3 – 1),
X5 + 2 X3 + 2 X2 + X + 2 = (X2 + 1)(X3 + X + 2).
Une autre méthode, utilisant la connaissance des racines de X2 + 1, est
possible. Voir plus bas.
"Soient A et B des éléments non tous les deux nuls de K[X], il existe un unique élément
D unitaire de K[X] tel que : 1) D divise A et B,
2) Si D1 est un diviseur commun à A et B, alors D1 divise D.
exemple 49
Reprenons l'exemple 47. Le polynôme X + 1 n'est pas le seul diviseur
commun à X4 – 1 et X4 + X3 – X – 1 dans R[X].
Les calculs déjà faits montrent que le polynôme X2 – 1 est aussi un diviseur
commun. C'est d'ailleurs le polynôme unitaire de plus haut degré qui soit
diviseur commun :
X4 – 1 = (X2 – 1)(X2 + 1)
X4 + X3 – X – 1 = (X2 – 1)(X2 + X + 1).
Un diviseur commun de plus haut degré serait un multiple de X2 – 1 par
un diviseur commun, et non constant, à X2 + 1 et X2 + X + 1, ce qui n'existe
pas dans R[X] (ni dans C[X] d'ailleurs). En effet ces polynômes n'ont pas
de diviseur de degré 1 (raisonnement de l'exemple 46).
exemple 50
(à traiter)
Chercher par cette méthode de factorisation le PGCD de :
X4 + X3 – X2 + X – 2, et X4 + X3 – 3 X2 – X + 2.
(Bien noter dans cette méthode l'importance de la recherche des racines
des polynômes.
La méthode de l'algorithme d'Euclide évite d'avoir à résoudre ce
problème).
Daniel ALIBERT
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volume 7
38
# réponse
En recherchant les diviseurs de degré 1, à partir des racines "évidentes"
des polynômes, on trouve les factorisations :
X4 + X3 – X2 + X – 2 = (X – 1)(X + 2)(X2 + 1)
X4 + X3 – 3 X2 – X + 2 = (X – 1)2(X + 2)(X + 1).
Le PGCD est (X – 1)(X + 2).
"Le PGCD est le "plus grand" par le degré, et aussi par la relation de divisibilité."
exemple 51
Dans les deux exemples précédents, on a vu que le PGCD était un multiple
des autres diviseurs communs, et le seul polynôme unitaire de degré 2 qui
soit un diviseur commun.
exemple 52
(à traiter)
Déterminer le PGCD des polynômes suivants, sachant qu'ils sont
divisibles par X2 + X + 1 :
X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2,
X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2.
# réponse
Le PGCD est un multiple de X2 + X + 1. On factorise d'abord les
polynômes :
X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 = (X2 + X + 1)(X3 – 3 X + 2),
X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 = (X2 + X + 1)(X3 – 2 X2 – X + 2).
Il suffit maintenant de trouver un diviseur commun à :
X3 – 3 X + 2 et X3 – 2 X2 – X + 2.
On peut passer par la recherche de racines.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
39
On peut aussi remarquer que, comme dans le cas des entiers, un tel diviseur
commun est aussi commun à :
X3 – 3 X + 2 et
X3 – 3 X + 2 – (X3 – 2 X2 – X + 2) = 2 X2 – 2 X.
Les diviseurs de degré 1 de 2 X2 – 2 X sont évidents : X et (X – 1) (et leurs
multiples par une constante non nulle, bien entendu).
On vérifie que X ne divise pas X3 – 3 X + 2 (ni X3 – 2 X2 – X + 2), par
contre X – 1 divise ces deux polynômes :
X3 – 3 X + 2 = (X – 1)(X2 + X – 2),
X3 – 2 X2 – X + 2 = (X – 1)(X2 – X – 2).
En conclusion le PGCD est (X – 1)(X2 + X + 1).
Retenir cette méthode de simplification par combinaison des polynômes
dont on cherche un diviseur commun. Elle n'est, bien sûr, pas sans rapport
avec l'algorithme d'Euclide !
"Si le PGCD de A et B est le polynôme 1, on dit que A et B sont premiers entre eux, ou
étrangers."
exemple 53
Les polynômes X2 + X + 1 et X2 + 1 sont étrangers. En effet un diviseur
commun à ces polynômes serait un diviseur de leur différence X. Or X ne
divise ni l'un ni l'autre.
exemple 54
(à traiter)
Les polynômes P = X5 + 1 et Q = X6 – 1 sont-ils étrangers ?
# réponse
Premier raisonnement : on "voit" que ces polynômes ont – 1 pour racine,
donc sont divisibles par X + 1. Ils ne sont donc pas étrangers.
Daniel ALIBERT
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40
Second raisonnement (si on ne voit pas) : on procède par combinaison. Un
diviseur commun à P et Q est un diviseur de toute combinaison de P et Q
:
Q – XP = X6 – 1 – X (X5+ 1) = – 1 – X.
Donc, soit X + 1 est un facteur commun, soit les polynômes sont étrangers.
On vérifie alors que X + 1 convient. Comme c'est le seul facteur commun
possible, c'est le PGCD.
Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si il existe des polynômes U et
V vérifiant : A.U + B.V = 1.
exemple 55
Dans l'exemple 53, A = X2 + X + 1, B = X2 + 1. On peut alors écrire :
A – B = X,
B = (A – B)2 + 1
B – A2 + 2AB – B2 = 1
A (2B – A) + B (1 – B) = 1.
On peut donc prendre U = 2B – A, V = 1 – B.
exemple 56
(à traiter)
Les polynômes U et V sont-ils uniques ?
# réponse
Il suffit de reprendre l'exemple précédent pour voir que non. On aurait pu
choisir U = – A, V = 2A + 1 – B.
Pour calculer un PGCD de deux polynômes P et Q, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide.
exemple 57
C'est le même calcul, d'un point de vue formel, que pour les entiers.
Daniel ALIBERT
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41
Retrouvons de cette manière le PGCD de X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 et
X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 (exemple 52).
X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2
= (X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2) + (– 2 X4 + 2X).
X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2
= (– 2 X4 + 2X)(–1/2 X – 1/2)+ (– 2 X3 + 2).
– 2 X4 – 2X = (– 2 X3 + 2)(X) + 0.
Le PGCD est donc le polynôme unitaire obtenu à partir de – 2 X3 + 2, soit
X3 – 1.
exemple 58
(à traiter)
Chercher le PGCD de P = X5 + 1 et Q = X6 – 1 par cette méthode.
# réponse
On a les calculs suivants :
Q = P X + (– X – 1)
P = (– X – 1)(– X4 + X3 – X2 + X – 1) + 0.
Le PGCD se calcule à partir de – X – 1 : c'est X + 1.
Soient A, B, C des polynômes non nuls. Si A divise BC, et si A et B sont premiers entre
eux, alors A divise C.
exemple 59
Ainsi, comme X2 + X + 1 est étranger à X2 + 1 et X2 – 1, il ne divise pas
leur produit X4 – 1.
exemple 60
(à traiter)
A partir de l'égalité (exemple 55) :
Daniel ALIBERT
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42
(X2 + X + 1) (X2 – X + 1) + (X2 + 1) (– X2) = 1,
trouver d'autres polynômes U et V vérifiant :
(X2 + X + 1) U + (X2 + 1) V = 1.
# réponse
L'égalité :
(X2 + X + 1) (X2 – X + 1) + (X2 + 1) (– X2)
= (X2 + X + 1) U + (X2 + 1) V
s'écrit :
(X2 + X + 1) (X2 – X + 1 – U) = (X2 + 1) (V + X2).
Comme X2 + X + 1 et X2 + 1 sont étrangers, on voit que X2 + X + 1 divise
V + X2, donc il suffit de prendre U et V tels que :
V = – X2 + T (X2 + X + 1)
U = X2 – X + 1 – T (X2 + 1),
T étant un polynôme quelconque.
Par exemple pour T = 1, on obtient :
V = X + 1, U = – X,
2
(X + X + 1) (– X) + (X2 + 1) (X + 1) = 1.
En particulier, si A et B sont premiers entre eux, et si A et B divisent C, alors AB divise
C.
exemple 61
Le résultat n'est pas vrai si A et B ne sont pas supposés premiers entre eux.
Il ne suffit pas, par exemple, que A ne divise pas B et que B ne divise pas
A:
X2 – 1 divise X4 – 1,
X3 – X2 + X – 1 divise X4 – 1,
mais X5 – X4 – X + 1 ne divise pas X4 – 1.
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43
Pourtant X2 – 1 ne divise pas X3 – X2 + X – 1.
Par contre ils ne sont pas étrangers, puisque X – 1 est un diviseur commun.
exemple 62
(à traiter)
Sans calculer de division, montrer que – X4 + 3 X3 – 2 X est divisible par
X2 – X.
# réponse
Il est clair que ce polynôme est divisible par X et par X – 1 qui sont
étrangers.
Soit P un élément de K[X], et a un élément de K. Les conditions suivantes sont
équivalentes : 1) P(a) = 0, 2) X – a divise P, c'est-à-dire il existe un polynôme Q tel que
P(X) = (X – a) Q(X).
exemple 63
On a déjà utilisé ce résultat, très important, dans quelques exemples
(exemple 46). C'est un test très facile d'emploi pour vérifier qu'un
polynôme de degré 1 est un diviseur. Remarquer toutefois que la résolution
d'une équation algébrique de degré supérieur à 2 est, en général, difficile,
voire impossible à traiter autrement que par un calcul approché.
exemple 64
(à traiter)
Un polynôme P à coefficients réels a pour racine le complexe i.
Montrer qu'il est divisible par X2 + 1.
# réponse
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44
Si P(i) = 0, alors, par conjugaison complexe, P(–i) = 0. Donc P est divisible
par X – i et par X + i. Comme ces polynômes sont étrangers, P est divisible
par leur produit X2 + 1.
On peut en déduire qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes.
exemple 65
Ainsi X3 – 1 a une racine (dans R) ou trois racines (dans C).
exemple 66
(à traiter)
Combien de racines distinctes a le polynôme :
X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1.
# réponse
Il s'annule pour 1, donc se factorise par X – 1 :
X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 =
(X – 1)(X4 – 2 X3 + 2 X2 – 2 X + 1).
Le quotient s'annule encore pour 1, on obtient ainsi par deux divisions :
X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 = (X – 1)3(X2 + 1).
Dans R, ce polynôme a une seule racine ; dans C, il en a trois.
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans C, a au moins une
racine dans C.
exemple 67
Le résultat est vrai dans R pour les polynômes de degré impair (en raison
du théorème des valeurs intermédiaires). Par contre il y a des polynômes
de degré pair n'ayant pas de racine dans R (X2 + 1 par exemple).
Daniel ALIBERT
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45
exemple 68
(à traiter)
Comme l'énoncé est vrai pour tout polynôme, il a pour conséquence que
tout polynôme à coefficients dans C est produit de facteurs du premier
degré dans C[X].
Mettre X5 – 1 sous forme d'un produit de facteurs du premier degré. Sontils tous distincts ?
# réponse
Les complexes z tels que z5 = 1 sont les racines cinquièmes de l'unité, il y
en a cinq distinctes :
 2kπ 
 2kπ 
zk = cos
+ i sin
, k = 0, 1, 2, 3, 4.

5
5 
On a donc la factorisation :

 2π 
 2π  
 4π 
 4π  
X − cos
X 5 − 1 = ( X − 1) X − cos
− i sin
− i sin
 5
 5  
 5 
 5 


 6π
 6π 
 8π
 8π
X − cos  − isin    X − cos  − isin  .

5
5 
5
5 
"Si K = R, les polynômes irréductibles unitaires sont d'une part les polynômes de degré
1, α(X – a) (avec α et a dans R, α non nul), d'autre part les polynômes de degré 2 sans
racine,
α(X2 + aX + b) (avec α, a, b dans R, α non nul et a2 – 4b < 0)."
exemple 69
Le polynôme X2 + X + 1 est irréductible sur R puisqu'il n'a pas de racine
réelle.
Daniel ALIBERT
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46
exemple 70
(à traiter)
Le polynôme X4 + 1 est de degré supérieur à 2, donc il n'est pas irréductible
sur R, quoique n'ayant pas de racine réelle.
Le factoriser sur R.
# réponse
Deux méthodes peuvent s'appliquer ici :
Factoriser sur C, puis apparier les facteurs du premier degré conjugués
(qui existent toujours).
Considérer X4 + 1 comme une partie de développement d'un carré.
Première méthode : elle est analogue à celle utilisée en 68. Les racines
quatrième de – 1 dans C s'écrivent sans problème :
iπ / 4 ikπ / 2
yk = e e
, k = 0, 1, 2, 3,
2
2
2
2
(1+ i), y1 =
(−1 + i), y2 =
(−1 − i), y3 =
(1 − i).
2
2
2
2
On déduit :

2

2

2

2

4
X +1 =  X −
(1 + i)  X −
(−1 + i)  X −
(−1− i)  X −
(1 − i)

2

2

2

2

et les facteurs 1 et 4, et 2 et 3 respectivement sont conjugués, donc leur
produit réel :
y0 =
X 4 + 1 = (X 2 + 2X + 1)(X 2 − 2X + 1).
Deuxième méthode :
X4 + 1 = (X2 + 1)2 – 2 X2,
d'où le même résultat, par application de a2 – b2 = (a – b)(a + b).
Daniel ALIBERT
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47
"On dit que l'élément a de K est une racine multiple de multiplicité k du polynôme P si
(X – a)k divise P, et (X – a)k+1 ne divise pas P."
exemple 71
Dans l'exemple 66, X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 a une racine de
multiplicité 3, a = 1.
exemple 72
(à traiter)
Déterminer les racines de X6 + 4 X5 + 8 X4 + 10 X3 + 8 X2 + 4 X + 1, avec
leur ordre de multiplicité. On vérifiera que ce polynôme est divisible par
X2 + X + 1.
# réponse
On voit que – 1 est racine, et après division par X + 1, que sa multiplicité
est 2 :
X6 + 4 X5 + 8 X4 + 10 X3 + 8 X2 + 4 X + 1
= (X+1)(X5 + 3 X4 + 5 X3 + 5 X2 + 3 X + 1).
X5 + 3 X4 + 5 X3 + 5 X2 + 3 X + 1
= (X + 1)(X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1).
Pour factoriser X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1, on peut utiliser la méthode des
polynômes symétriques (voir exercice 11), ou de la dérivée (voir plus bas).
On trouve :
X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1 = (X2 + X + 1)2.
Les racines sont donc –1, j, et j2 avec multiplicité 2.
−1
3
(Rappel : j =
).
+i
2
2
Daniel ALIBERT
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volume 7
48
"Soit a un élément de K, et p un entier. L'élément a est une racine multiple de multiplicité
p du polynôme Q si et seulement si on a les relations suivantes : P(a) = 0 , et pour tout
k entier naturel, 1 ≤ k <p : D k P(a) = 0 , et enfin D n P(a) ≠ 0 .
exemple 73
Les premières dérivées du polynôme :
X6 + 4 X5 + 8 X4 + 10 X3 + 8 X2 + 4 X + 1
de l'exercice précédent sont :
6 X5 + 20 X4 + 32 X3 + 30 X2 + 16 X + 4
30 X4 + 80 X3 + 96 X2 + 60 X + 16
120 X3 + 240 X2 + 192 X + 60.
On voit que la première dérivée est divisible par X + 1, mais pas la
seconde, ce qui est une manière de voir que – 1 est racine de multiplicité
2.
exemple 74
(à traiter)
Faire le même travail pour :
X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1.
# réponse
Les dérivées sont :
5 X4 – 12 X3 + 12 X2 – 8 X + 3,
20 X3 – 36 X2 + 24 X – 8,
60 X2 – 72 X + 24,
120 X – 72,
on voit bien que 1 est racine du polynôme et de ses deux premières
dérivées mais pas de la troisième.
Daniel ALIBERT
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49
Donc la multiplicité de cette racine est 3.
Après division par (X – 1)3, on obtient X2 + 1 (exemple 66), dont les
racines simples sont i et – i.
"En particulier, les racines multiples de P (quel que soit leur ordre de multiplicité) sont
les racines communes à P et DP, ce qu'on peut traduire en disant que a est une racine
multiple de P si et seulement si (X – a) est un diviseur commun à P et DP."
exemple 75
On peut utiliser cette remarque pour tenter de factoriser un polynôme,
puisque le PGCD a un degré plus faible. Ainsi, pour le polynôme de
l'exemple 72, Q = X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1, on obtient :
DQ = 4 X3 + 6 X2 + 6 X + 2,
et l'algorithme d'Euclide s'écrit :
Q = (1/4 X + 1/8) DQ + 3/4 X2 + 3/4 X + 3/4
DQ = (16/3 X + 8/3)(3/4 X2 + 3/4 X + 3/4) + 0.
Le PGCD est X2 + X + 1. On retrouve à partir de ce résultat la factorisation
de l'exemple 72.
exemple 76
(à traiter)
Chercher les racines multiples dans C du polynôme :
X7 + 3 X6 + 6 X5 + 6 X4 + X3 – 5 X2 – 8 X – 4.
# réponse
Le PGCD de ce polynôme et de sa dérivée est :
X3 + 2 X2 + 3 X + 2.
On peut vérifier qu'il admet – 1 pour racine. La factorisation donne :
X3 + 2 X2 + 3 X + 2 = (X + 1)(X2 + X + 2).
Daniel ALIBERT
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volume 7
50
Il y a donc trois racines doubles, – 1, et les racines complexes du facteur
−1
7 −1
7
X2 + X + 2, soit
+i
,
−i
.
2
2
2
2
On peut alors factoriser complètement le polynôme :
X7 + 3 X6 + 6 X5 + 6 X4 + X3 – 5 X2 – 8 X – 4
= (X – 1)(X + 1)2(X2 + X + 2)2.
Décomposition en éléments simples
exemple 77
Décomposition de :
X +1
.
X − 3X + 2
Première étape, factoriser le dénominateur :
X2 – 3 X + 2 = (X – 1)(X – 2).
Deuxième étape, faire une décomposition formelle, avec coefficients
indéterminés :
X +1
a
b
=
+
.
2
X − 3X + 2 X − 1 X − 2
Il y a deux coefficients inconnus. Une méthode classique consiste à
multiplier par X – 1, puis, après simplification, à remplacer X par 1, on
trouve a :
X+1
b(X − 1)
=a+
.
X −2
X −2
On obtient a = – 2.
On procède de manière analogue pour b :
X + 1 a( X − 2)
=
+ b.
X −1
X −1
On obtient b = 3.
2
Daniel ALIBERT
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volume 7
51
exemple 78
(à traiter)
Une autre méthode passe par une réduction au même dénominateur, suivie
d'une identification, qui donne des équations que doivent vérifier les
coefficients inconnus. Procéder de cette manière pour la fraction :
X
.
3
X −1
# réponse
Factorisation :
X3 – 1 = (X – 1)(X2 + X + 1).
Présentation formelle de la décomposition :
X
aX + b
c
= 2
+
.
3
X −1 X + X +1 X −1
Réduction au même dénominateur, et identification :
aX 2 + bX − aX − b + c(X 2 + X + 1)
aX + b
c
+
=
,
X3 − 1
X2 + X + 1 X − 1
a+c =0
b − a + c =1
c − b = 0.
La résolution du système linéaire donne :
b = c = – a = 1,
X
−X +1
1
= 2
+
.
3
X −1 X + X +1 X −1
Daniel ALIBERT
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volume 7
52
2-3 Algèbre commutative
On s'intéresse principalement aux anneaux de polynômes sur un corps, à Z et aux sousanneaux de C.
exemple 79
L'ensemble des "entiers de Gauss" est Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z}.
On vérifie sans problème que c'est bien un sous-anneau.
exemple 80
(à traiter)
Soit X2 + b X + c un polynôme à coefficients entiers, et α une de ses
racines, dans C. Vérifier que l'ensemble :
Z[α] = {p + qα | p et q entiers}
est bien un anneau pour les lois usuelles de C.
# réponse
Seules les stabilités sont à vérifier. Il est clair que la somme de deux
éléments de cet ensemble est encore un élément de l'ensemble. Les
éléments neutres sont bien dans l'ensemble, et l'opposé d'un réel p + qα est
(–p) + (–q)α, donc encore de la même forme. Pour le produit :
(p + qα)(p' + q'α) = pp' + (qp' + q'p)α + qq'α2,
or on a :
α2 = –b α – a,
donc :
(p + qα)(p' + q'α) = pp' + (qp' + q'p)α + qq'(–b α – a)
= pp' –qq'a + (qp' + q'p – qq'b)α.
La multiplication est bien interne.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 7
53
"Soit A un anneau commutatif, dont les opérations sont notées + et ×. On appelle idéal
de A une partie I de A ayant les deux propriétés suivantes : 1) I est un sous-groupe de
(A,+), 2) Pour tout a de A et tout x de I, le produit a × x est un élément de I."
exemple 81
Les entiers relatifs de la forme 3 p + 7 q sont les éléments d'un idéal de Z,
en effet, 0 est bien de cette forme, et la différence de deux tels éléments
est encore de cette forme, enfin le produit d'un entier par un élément de la
forme 3 p + 7 q est encore de cette forme.
NB. : comme on le verra plus bas, cet idéal est en fait Z tout entier.
exemple 82
(à traiter)
Soit α un complexe, montrer que l'ensemble suivant est un idéal de Q[X]
:
{P ∈ Q[X] | P(α) = 0}.
# réponse
Ce sous-ensemble contient 0, il est stable pour la soustraction, et le produit
d'un polynôme qui s'annule pour α par un polynôme quelconque est encore
un polynôme qui s'annule pour α.
A et {0} sont des idéaux, si A est un corps, ce sont les seuls idéaux de A.
exemple 83
Soit J = 2Q. Comme 1/2 est un élément de Q, alors 2 × 1/2 est un élément
de J, soit 1 ∈ J. Par suite, pour tout rationnel t, 1 ∈ t est un élément de J.
On trouve bien J = Q.
Daniel ALIBERT
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54
exemple 84
(à traiter)
La réciproque de cet énoncé est vraie, en donner une preuve.
# réponse
Soit A un anneau, et a non nul. L'idéal a.A contient a donc n'est pas {0},
donc a.A = A. On conclut que 1 appartient à a.A, donc il existe a' dans A
tel que a × a' = 1. Tout élément non nul est inversible, A est un corps.
Si un idéal est engendré par t d'une part et par s d'autre part alors s est le produit de t par
un élément inversible de A (c'est-à-dire un élément qui a un symétrique pour la
multiplication).
exemple 85
Dans Z, les idéaux autres que {0} ont deux générateurs possibles,
puisqu'ils sont principaux, et que les seuls inversibles de Z sont 1 et – 1 :
a.A = (– a).A.
exemple 86
(à traiter)
Examiner la même question dans Q[X].
# réponse
Les polynômes inversibles sont les polynômes non nuls P pour lesquels il
existe un polynôme Q tel que :
PQ = 1.
On déduit deg(P) = deg(Q) = 0. Les polynômes inversibles sont les
constantes non nulles. Il y en a une infinité :
PQ[X] = λPQ[X], λ ∈ Q – {0}.
Daniel ALIBERT
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55
"L'anneau des entiers relatifs, Z, et, pour tout corps K, l'anneau des polynômes à
coefficients dans K, K[X], sont des anneaux principaux."
exemple 87
L'idéal J = {12 p + 14 q| p, q entiers} est égal à 2Z.
En effet, d'une part 2 = 14 – 12, donc 2 est un élément de J, ce qui entraîne
que 2Z est contenu dans J, d'autre part les éléments de J sont, de façon
évidente, des nombres pairs, donc J est contenu dans 2Z.
exemple 88
(à traiter)
Montrer, de même, que l'idéal XR[X] + (X2 + 1)R[X] est égal à R[X].
# réponse
Comme 1 = (X2 + 1) – X (X), le nombre 1 est dans l'idéal, donc le produit
de 1 par n'importe quel polynôme est dans l'idéal, donc l'idéal contient
R[X]. Il est donc égal à R[X] = 1.R[X].
"Si U et V sont des polynômes (ou des entiers), l'idéal engendré par U et V a pour
générateur le PGCD de U et V."
exemple 89
Ci-dessus, X et X2 + 1 sont étrangers, leur PGCD 1 engendre l'idéal des
combinaisons de X et X2 + 1.
exemple 90
(à traiter)
Déterminer le générateur de l'idéal de Z :
172Z + 226Z.
# réponse
Daniel ALIBERT
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volume 7
56
Le PGCD de 172 et 226 s'obtient par l'algorithme d'Euclide :
226 = 172 + 54
172 = 3 × 54 + 10
54 = 5 × 10 + 4
10 = 2 × 4 + 2
4 = 2 × 2 + 0.
Donc (172, 226) = 2, et 172Z + 226Z = 2Z.
On dit qu'un idéal est maximal s'il est différent de l'anneau, et maximal pour la relation
d'inclusion.
exemple 91
Dans l'anneau des entiers de Gauss, l'idéal J = {2p + iq | p, q entiers} est
maximal.
En effet il n'est pas égal à Z[i], car 1 + i n'est pas dans l'idéal, et si un idéal
I contient strictement J, I contient un élément n'appartenant pas à J, c'està-dire de la forme (2r + 1) + is, r et s étant des entiers.
Comme 2r + is appartient à J, donc à I, on voit par différence que 1
appartient à I, qui est donc égal à l'anneau.
exemple 92
(à traiter)
Dans Z, l'idéal 7Z est maximal. Le démontrer.
# réponse
Cet idéal n'est pas égal à Z.
Si J est un idéal contenant 7Z strictement, il existe dans J un élément non
multiple de 7, donc étranger à 7, soit a.
D'après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que :
7u + av = 1,
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57
donc 1 est un élément de J, qui est donc égal à Z.
Un élément extrémal est un élément qui engendre un idéal maximal.
exemple 93
On vient de voir que 7 est extrémal.
exemple 94
(à traiter)
L'élément X de R[X] est-il extrémal ?
# réponse
Soit I un idéal de R[X] contenant strictement XR[X]. Un polynôme P
appartenant à I, mais pas à XR[X], a un terme de degré 0 non nul, soit b ce
terme. Il est clair que P – b est un élément de XR[X], donc de I. Comme P
est aussi dans I, on voit que b est dans I. On en déduit que 1, produit de b
et de son inverse, est dans I, qui est donc R[X].
L'élément X est bien extrémal.
Dans un anneau principal, un élément est extrémal si et seulement si il est irréductible (ou
premier).
exemple 95
On vient de le vérifier pour X, qui est irréductible.
exemple 96
(à traiter)
Dans Z, soit a un élément extrémal positif. Vérifier que c'est un nombre
premier.
# réponse
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L'idéal aZ est maximal. Soit t un diviseur positif de a. Comme il existe s
tel que a = st, on voit que a est un élément de tZ donc aZ est contenu dans
tZ.
Il en résulte que tZ = aZ, ou tZ = Z.
Dans le premier cas, a = t, dans le second t est inversible donc t = 1.
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3
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60
Pour Comprendre
et Utiliser
3-1 Énoncés des exercices
Savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bezout,
théorème de Gauss, éléments premiers). Etudier des
équations à coefficients entiers.
exercice 1
Calculs de PGCD, et de PPCM, dans Z.
Rappelons qu'on appelle PPCM d'une famille finie d'entiers le plus petit
multiple commun des entiers de cette famille.
1) Soient a et b deux entiers, g leur PGCD, m leur PPCM. Vérifier la
relation : g × m = a × b (☺).
2) Si n et p sont étrangers, déterminer le PGCD (☺) et le PPCM de a = np
et de b = n + p.
3) Si n et p sont des entiers strictement positifs, quel est le PGCD (☺) des
entiers :
2n – 1, et 2p – 1.
4) Soient a et b des entiers, dont le PGCD est un nombre premier p.
Que peut-on dire du PGCD de a2 et b, de a3 et b (☺) ?
exercice 2
Sur les diviseurs d'un entier.
On note τ(n) le nombre de diviseurs ( ) positifs d'un entier n strictement
positif, et σ(n) la somme de ces diviseurs.
☺ indications pour résoudre - méthode -
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61
1) On suppose m et n étrangers. Démontrer les relations (☺) ( ):
τ(mn) = τ(m)τ(n),
σ(mn) = σ(m)σ(n).
2) Si p est un nombre premier, et q un entier naturel, démontrer :
τ(pq) = q + 1,
pq+1 − 1
q
σ (p ) =
.
p−1
3) Déduire (☺) des questions précédentes une expression de τ(n) et une
expression de σ(n) à l'aide des entiers apparaissant dans la décomposition
de n en produit de facteurs premiers.
Application : calculer τ(300) et σ(300).
4) Un nombre N est dit parfait si σ(N) = 2N. Montrer que si 2n – 1 est
premier, alors n est premier (☺) (voir exercice 9) et 2n-1(2n – 1) est parfait.
Calculer quelques valeurs de nombres parfaits ainsi obtenus.
NB : on ne sait pas s'il existe un nombre parfait impair. Les nombres
parfaits pairs sont tous du type précédent.
exercice 3
Sur les triplets pythagoriciens.
Il s'agit des triplets d'entiers (x, y, z) qui vérifient la relation de Pythagore :
x2 + y2 = z2.
(exemple : (3, 4, 5)).
On cherche à trouver tous les triplets pythagoriciens.
Soit (a, b, c) l'un d'entre eux.
1) Démontrer que pour tout entier p, le triplet (pa, pb, pc) est encore
pythagoricien. Si d est le PGCD de (a, b, c), montrer que d est le PGCD de
(a, b), de (a,c), de (b, c). Si a = da', b = db', c = dc', montrer que (a', b', c')
est un triplet pythagoricien.
☺ indications pour résoudre - méthode -
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62
2) On suppose maintenant les entiers a, b, c premiers entre eux (ou
étrangers ( )) deux à deux (☺). Montrer que a et b ne peuvent être
simultanément pairs, ou simultanément impairs, et que c est impair.
3) On suppose que a est impair et b pair (a et b jouent le même rôle dans
l'équation) ( ). Démontrer (☺) qu'il existe des entiers premiers entre eux,
p et q tels que a = p – q, et c = p + q, et que ces entiers sont des carrés
d'entiers.
4) On note p = m2, q = n2. Exprimer a, b, c en fonction de m et n (☺).
5) Réciproquement, vérifier que pour tout couple d'entiers premiers entre
eux, tout triplet vérifiant les relations précédentes est un triplet
pythagoricien d'entiers premiers entre eux deux à deux.
exercice 4
Un cas du théorème de Fermat.
(Utilise les résultats de l'exercice 3).
On étudie l'existence de solutions entières (x, y, z) à l'équation :
x4 + y4 = z4.
Il y a bien sûr des solutions évidentes : (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 0)…
On démontre dans cet exercice qu'il n'y a pas de solution autre que les
solutions évidentes (Dernier Théorème de Fermat, pour n = 4).
On étudie l'équation :
x4 + y4 = z2.
1) S'il existe une solution (a, b, c), montrer qu'il en existe une où a, b, c
sont étrangers ( ) deux à deux (☺).
On suppose maintenant que (a, b, c) est une telle solution, avec c minimal,
c > 1.
2) Utiliser l'exercice 3 pour exprimer alors a2, b2, c en fonction de deux
entiers m et n. Montrer que l'un des deux est pair et l'autre impair. (☺)
Quelle relation vérifient m et n ?
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3) Appliquer à nouveau l'exercice 3, et conclure à l'existence d'entiers m'
et n' tels que :
n = 2m'n', a = m'2 – n'2, m = m'2 + n'2, b2 = 4m'n'm.
4) En déduire (☺) qu'il existe r, s, t, tels que :
0 < t < c, m' = r2, n' = s2, m = t2.
Remarquer que (m', n', m) = 1, et conclure que l'équation de Fermat n'a pas
de solution (x, y, z) avec x > 0 et y > 0.
exercice 5
Sur les nombres premiers.
Etant donné un nombre premier p, on note φ(p) le produit des nombres
premiers inférieurs ou égaux à p.
On suppose dans cet exercice p ≥ 5.
1) Soit q = 2φ(p) – 1. Montrer (☺) ( ) que q est de la forme 4k + 3.
Montrer que si q n'est pas premier il a un facteur premier ( ) supérieur à
p de la forme 4k + 3. En déduire que l'ensemble :
{4k + 3 | k entier naturel}
contient une infinité de nombres premiers.
2) Montrer (☺), de même, qu'il y a une infinité de nombres premiers de la
forme 6k + 5.
3) En considérant les entiers φ(p) + 2, φ(p) + 3 … φ(p) + p, montrer qu'il
existe dans N des intervalles de longueur arbitrairement grande où il n'y a
pas de nombre premier (☺).
exercice 6
Equations diophantiennes.
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Il s'agit d'équations, ou de systèmes d'équations à une ou plusieurs
inconnues entières, et à coefficients entiers. On s'intéressera ici aux
équations du premier degré.
1) Résoudre (☺) ( ) l'équation suivante, en discutant selon les valeurs du
paramètre a :
18 x + 15 y = a.
Généraliser la méthode à une équation quelconque de cette forme :
ux + vy = a.
2) Résoudre (☺) le système d'équations :
x + 15 y = 2
x + 14 z = 3.
Plus généralement, soient p et q des entiers strictement supérieurs à 1, et
premiers entre eux, a et b des entiers. Résoudre le système :
x+py=a
x + q z = b.
exercice 7
Equations modulo p ( ).
Soit p un entier strictement positif. On dit que des entiers a et b sont "égaux
modulo p" si la différence a – b est divisible par p.
On n'a pas introduit dans ce livre la notion de congruence, ni celle de
groupe (ou anneau) quotient. Le lecteur familier de ces domaines traduira
les énoncés.
1) Inverse modulo p : soit p un entier strictement supérieur à 1, et a un
entier. Un entier b est un "inverse modulo p" de a s'il existe un entier n tel
que :
ab + pn = 1.
Trouver les inverses modulo p, s'ils existent (☺) ( ) dans les cas suivants :
p = 13, a = 7
p = 12, a = 4
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65
p = 12, a = 7
A partir de ces exemples, et d'autres éventuellement, discuter l'existence,
pour p donné, d'un inverse modulo p de a.
2) Ordre modulo p : soit a un entier, on dit que a est d'ordre fini modulo p
s'il existe un entier n, n > 0, tel que an – 1 soit divisible par p. Dans ce cas,
le plus petit entier vérifiant cette propriété est appelé l'ordre de a modulo
p, noté ici ω(a) (p est sous-entendu). (☺).
Montrer qu'une condition nécessaire pour que a soit d'ordre fini modulo p
est que a et p soient étrangers ( ).
Soit a étranger à p. On note ai le reste de la division de ai par p. Montrer
que ai ≠ 0, pour tout i.
Considérer l'ensemble :
{a1, a2,…, ap}
et montrer que deux de ses éléments, au moins, sont égaux. Déduire que a
est d'ordre fini modulo p.
Soit a d'ordre fini modulo p, ω(a) son ordre, et n un entier, n > 0, tel que :
an – 1 est divisible par p.
Soit r le reste de la division euclidienne de n par ω(a). Montrer que ar – 1
est divisible par p. En déduire que n est divisible par ω(a).
3) Soit G l'ensemble des entiers strictement positifs, inférieurs à p, et
étrangers à p. On note ici N le nombre de ses éléments (voir exercice
suivant). On veut montrer que pour tout a de G, ω(a) divise N.
Pour les relations d'équivalence, se reporter au volume 1. On peut
admettre ce résultat qui sera utilisé dans l'exercice suivant.
On définit une relation ~ dans G par :
x ~ y s'il existe t entier, 0 < t ≤ ω(a),
x – aty est divisible par p.
Montrer que ~ est une relation d'équivalence dans G.
Montrer que les classes d'équivalence ( ) ont toutes le même nombre
d'éléments (☺), égal à ω(a). Conclure.
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66
exercice 8
Soit n un entier strictement supérieur à 1. On appelle indicatrice d'Euler
de n, et on note ϕ(n), le nombre d'entiers compris entre 1 et n – 1 qui
admettent un inverse modulo n. On pose ϕ(1) = 1.
1) Calculer ϕ(n) si n est premier (☺).
2) Démontrer que si a est premier avec n, alors aϕ(n) – 1 est divisible par n
(☺).
3) On suppose m et n premiers entre eux. Démontrer (☺) ( ) :
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
4) Soit p un nombre premier, et n entier naturel. Démontrer :
ϕ(pn) = (p – 1)pn-1.
5) Pour un entier quelconque, exprimer ϕ(n) à l'aide des entiers donnés
dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers ( ) (☺).
exercice 9
Nombres de Mersenne.
1) Soit q un entier. Montrer que si q est pair et supérieur à 2, alors 2q – 1
n'est pas premier, et que ce nombre est divisible par 3 (☺).
2) Soit q un entier impair. Montrer que si q n'est pas premier, alors 2q – 1
n'est pas premier (☺).
3) On suppose maintenant q premier et impair. On appelle nombre de
Mersenne les nombres :
Mq = 2q – 1.
Il se peut qu'un nombre de Mersenne ne soit pas premier (M11 par
exemple). Dans ce cas, soit p un facteur premier de Mq.
3-1) Soit A = {n ∈ N | p divise 2n – 1}. Peut-il être vide ?
On note ω le plus petit élément strictement positif de A. Montrer que ω
divise tous les éléments de A ( ) . En déduire que ω = q.
3-2) Démontrer que q divise p – 1.
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3-3) Utiliser ce résultat pour factoriser M11. (☺).
exercice 10
Nombres de Carmichael.
On sait que si p est premier et a premier avec p, alors p divise ap-1 – 1.
La réciproque est fausse : il existe des entiers non premiers N tels que pour
tout entier a premier avec N, N divise aN-1 – 1. On les appelle les nombres
de Carmichael.
1) Soient p1, p2, …, pk des nombres premiers distincts, et N leur produit.
On suppose que pour tout i entre 1 et k, pi – 1 divise N – 1.
On montre dans cette question que N est un nombre de Carmichael.
On note bi le quotient de N – 1 par pi – 1.
1-1) Soit a un entier premier avec N. Montrer que a est premier avec pi,
pour tout i. Déduire que pour tout i il existe un entier ti tel que (☺) :
aN-1 = (1 + piti)bi.
1-2) Déduire que pi divise aN-1 – 1, quel que soit i (i = 1, …, k) puis que N
divise aN-1 – 1 (☺).
On admettra que, réciproquement, tout nombre de Carmichael est de cette
forme.
2) Vérifier que 561, 1105, 1729 sont des nombres de Carmichael.
3) Dans cette question, on montre qu'un nombre de Carmichael a au moins
trois facteurs premiers distincts.
Soient p et q des nombres premiers tels que p < q, et q – 1 divise pq – 1.
3-1) Montrer (☺) que si q – 1 divise pq – 1, alors q – 1 divise p – 1.
3-2) Déduire qu'il n'existe pas de nombre de Carmichael ayant exactement
deux facteurs premiers.
4) On étudie les nombres de Carmichael ayant trois facteurs premiers.
Soient p, q, r trois nombres premiers, tels que p < q < r, et N = pqr.
On suppose que N est un nombre de Carmichael. (☺).
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68
4-1) Montrer qu'il existe des entiers t et u vérifiant :
pr – 1 = (q – 1)t
pq – 1 = (r – 1)u.
4-2) Exprimer q en fonction de p, t, u et r en fonction de p, q, u.
4-3) Démontrer ( ) :
2 ≤ u ≤ p – 1,
2
p
p2 + p
< t < 1+
.
u
u
4-4) Existe-t-il des nombres de Carmichael pairs produit de trois facteurs
( )?
Existe-t-il des nombres de Carmichael produit de trois facteurs, et
multiples de 3 ( ) ? Dans chaque cas, donner toutes les valeurs possibles,
s'il en existe. (☺) .
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69
Polynômes : savoir utiliser les propriétés algébriques,
savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bezout,
théorème de Gauss, éléments irréductibles). Racines d'un
polynôme.
exercice 11
Fonctions symétriques des racines de polynômes.
1) Développer les produits :
(X – a)(X – b),
(X – a)(X – b)(X – c),
i =n
∏ (X − a ) ,
i
i=1
en déduire (☺) des relations entre les coefficients d'un polynôme :
P(X) = a0 + a1X + … + anXn
et certaines expressions calculées à partir de ses racines. Remarquer que
expressions ne changent pas lorsqu'on permute les racines entre elles.
On appelle ces expressions les "fonctions symétriques élémentaires" des
racines du polynôme. Soient α1,…, αn les n racines complexes de P, on
note les fonctions symétriques élémentaires σp (0 < p ≤ n = deg(P)) :
σ1 = α1 + … + αn,
σ 2 = ∏ α iα j ,
i≠ j
σp =
∏α α
i1
i1<i 2<…<ip
i2
…αip .
On obtient la relation suivante, que nous admettrons :
p a
σ p = ∏ α i1α i 2 …α ip = (−1) n− p .
an
i1<i 2<…<ip
2) Vérifier que les expressions suivantes ne changent pas lorsqu'on
permute les lettres a, b (pour les premières), a, b, c (pour les suivantes), ou
☺ indications pour résoudre - méthode -
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70
a, b, c, d (pour les dernières) (NB : un résultat de la théorie des groupes
permet de ne faire cette vérification que pour deux tests, l'échange de a et
b, et la permutation circulaire, (remplacer a par b, b par c, c par d, d par
a)).
E1(a, b) = ab3 + a3b + a + b,
E2(a, b, c) = (a – b)2 + (a – c)2 + (c – b)2 + ab + ac + bc,
E3(a, b, c) = ab2 + ac2 + cb2 + ba2 + bc2 + ca2 + abc.
3) Toute fonction symétrique polynomiale s'exprime à l'aide des fonctions
symétriques élémentaires (résultat admis). Le vérifier sur les 3 cas
particulier ci-dessus (☺).
Déduire de 1) la valeur de ces expressions, lorsque les nombres (a, b), (a, b,
c), représentent respectivement les racines des polynômes :
P(X) = X2 + X + 2,
Q(X) = 2X3 – X + 2.
4) Inversement, écrire des équations polynômiales équivalentes aux
systèmes non linéaires suivants (☺), puis les résoudre, si possible :
αβ 2 + α 2 β = 0

2
(α − β ) = 1
a + b + c = 0

abc = 1
a 2 + b 2 + c 2 = 1
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71
exercice 12
Localisation de racines.
Ce problème est à distinguer de celui du calcul, par une formule
algébrique, ou de manière approchée, d'une racine localisée dans un
intervalle donné.
La méthode de Sturm recherche les intervalles où un polynôme P admet
une et une seule racine. On se limite au cas où les racines réelles de P sont
simples.
1) On définit une suite de polynômes Ak par :
A0 = P, A1 = P´, et de façon générale,
Ak+2 est l'opposé du reste de la division de Ak par Ak+1.
Calculer cette suite pour les cas suivants :
P(X) = X4 + 2X3 – 4X2 – 5X – 6,
Q(X) = X4 + X3 – X2 + X – 2,
R(X) = X5 + 2X4 + 2X3 + 4X2 + X + 2.
Expliquer pourquoi cette suite est, dans tous les cas, finie.
On notera Am le dernier polynôme non nul de la suite.
2) Soit a une racine réelle de P. Montrer que (☺) le produit A0(x)A1(x) est
négatif pour x voisin de a, x < a, et positif dans le cas contraire, x voisin
de a, x > a ( ).
3) Montrer que deux polynômes successifs de la suite n'ont pas de racine
réelle commune (☺), et que si α est une racine de Ak(X), alors :
Ak-1(α)Ak+1(α) < 0.
4) Pour tout réel x on considère la suite de nombres réels :
A0(x),A1(x),…,Am-1(x),Am(x),
et on note a(x) le nombre de changements de signe dans cette suite.
((1, 9, 0, 1, – 1, – 3, 5, – 4, 0, – 2, 1, 3) comporte 4 changements de signe,
autrement dit, 0 n'a pas de signe). Vérifier que a est une fonction
décroissante (☺) ( ).
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volume 7
72
Etant donnés deux réels α et β, (α < β), montrer que si P n'a pas de racine
dans ]α , β[ alors a(α) = a(β). Montrer que si P a une racine unique dans
cet intervalle, alors a(α) = a(β) + 1. Enfin montrer que si α et β ne sont pas
des racines de P alors le nombre de racines de P dans ]α , β[ est a(α) –
a(β).
exercice 13
Arithmétique. Calculs.
1) Calcul de PGCD.
Ici, comme la factorisation des polynômes en facteurs irréductibles est
difficile, et souvent impossible, il faut passer impérativement par
l'algorithme d'Euclide.
Dans chacun des exemples ci-dessous, calculer le PGCD des polynômes
A et B (☺). Déduire une factorisation, au moins partielle, de A et B.
A = X4 + 3X3 + 3X2 + 6X + 2, B = X4 + 3X3 + 5X2 + 12X + 4.
A = X5 + 3X4 + 2X3 + 7X2 + 13X + 6, B = X5 + 2X3 + 4X2 - 1.
A = X4 + 9X3 + 25X2 + 24X + 16, B = X5 + 8X4 + 15X3 – 8X2 – 16X.
2) Le théorème de Bézout.
Dans le dernier exemple ci-dessus, si G désigne le PGCD, trouver des
polynômes U et V tels que ( ) :
AU + BV = G.
exercice 14
Factorisation.
Factoriser un polynôme, c'est l'écrire sous forme de produit de polynômes
de degré aussi faible que possible. La détermination de racines d'un
polynôme permet de le factoriser partiellement.
Se rappeler que la possibilité théorique de factoriser un polynôme dépend
du corps (ou de l'anneau) sur lequel on se place (Cf. A Savoir).
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73
1) Soit P un polynôme de Z[X] :
P(X) = a0 + a1X + … + anXn.
Soit q une racine entière de P. Démontrer que q divise a0 (☺).
u
Soit α une racine rationnelle de P, et α = l'écriture de α sous forme de
v
fraction irréductible à dénominateur positif. Démontrer que u divise a0 et
que v divise an ( ).
Exemples : pour les polynômes suivants, chercher s'il existe des racines
entières ou rationnelles, et si possible factoriser, au moins partiellement,
sur Z.
P1(X) = 1 + X + X2 + X3 + X4.
P2(X) = 1 + X – X2 + 2X3.
P3(X) = –2 – X + 8X2 + 4X3.
2) (Critère d'Eisenstein) Soit U un polynôme à coefficients entiers :
U(X) = u0 + u1X + … + Xn.
On suppose que les coefficients u0, u1, …, un-1, sont pairs, et u0 non
divisible par 4. Démontrer que U(X) n'est pas le produit de polynômes à
coefficients entiers de degré au moins 1 (☺). Généraliser au cas où an n'est
pas nécessairement égal à 1, mais est un entier impair.
Ecrire un polynôme irréductible de Z[X] de degré 11.
Généraliser le résultat précédent sous la forme suivante : s'il existe un
nombre premier p tel que p divise u0, u1, …, un-1, mais pas un, et si p2 ne
divise pas u0, alors U(X) est irréductible sur Z.
Factoriser complètement sur Z le polynôme :
3 + 3X – 3X2 + X3+ 2X4.
3) Factoriser les polynômes suivant, sur R (☺) :
B(X) = X3 – 4X2 + 2X + 3,
C(X) = 1 + X + X2 + X3 + X4.
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volume 7
74
Connaître des généralisations à des sous-anneaux de C.
Notions d'idéal, d'anneau principal.
exercice 15
Elément algébrique. Polynôme minimal.
1) Soit A une algèbre sur un corps K (rappelons que cela signifie que A est
un K-espace vectoriel, qui est par ailleurs un anneau, et que pour tout
scalaire α, tout P et tout Q de A, α(PQ) = P(αQ) = (αP)Q).
Pour T dans A, et R(X) un polynôme à coefficients dans K :
R(X) = r0 + r1X + … + rnXn,
on pose :
R(T) = r01 + r1T +…+ rnTn,
où 1 désigne l'élément neutre de la multiplication de A.
(Par abus d'écriture, on écrira aussi R(T) = r0 + r1T +…+ rnTn).
On suppose que A est un espace vectoriel de dimension finie.
Soit T un élément non nul de A. Soit J(T) le sous-ensemble de K[X] :
J(T) = {R∈ K[X] | R(T) = 0}
Démontrer que J(T) est un idéal de K[X], admettant un générateur non nul
(☺).
Ce générateur est le polynôme minimal de T (Cf. volume d'algèbre linéaire
pour le cas des matrices carrées).
2) On suppose ici K = Q. On dit qu'un nombre complexe α est algébrique
s'il existe un polynôme non nul P à coefficients rationnels tel que :
P(α) = 0.
On note Q[α] l'ensemble des complexes de la forme U(α) où U est un
élément de Q[X].
Montrer que α est algébrique si et seulement si Q[α] est une Q-algèbre de
dimension finie (☺). Quelle est la relation entre la dimension de Q[α] sur
Q et le degré du polynôme minimal de α ?
☺ indications pour résoudre - méthode -
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75
Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est un sous-corps de C
(☺).
Montrer que α est algébrique si et seulement si Q[α] est un corps.
exercice 16
Extensions quadratiques de Q.
On désigne ainsi les corps Q[α] qui sont des espaces vectoriels de
dimension 2 sur Q. On dit que α est de degré 2 sur Q.
On note Z[α] le sous-anneau de Q[α] formé des nombres U(α), où U est
un polynôme de Z[X].
1) Soit K une extension quadratique de Q. Montrer, par des exemples, que
le nombre algébrique α vérifiant K = Q[α] n'est pas déterminé de manière
unique par K (☺).
Montrer que toute extension quadratique est de la forme :
[ ]
K=Q d ,
où d est un entier sans facteur carré dans sa décomposition en produit de
facteurs premiers (et où d désigne un des complexes de carré égal à d).
2) On dit qu'un élément γ de K est entier sur Z si son polynôme minimal
est à coefficients entiers.
Ainsi, γ = d est entier sur Z puisque γ2 – d = 0.
Soit A l'ensemble des éléments de K entiers sur Z.
On admettra que A est un anneau, qui contient Z[ d ].
Soit u un élément de A, de polynôme minimal X2 + sX + p. Il s'écrit sous
la forme u = a + b d , a et b étant des rationnels.
Montrer que v = a – b d a le même polynôme minimal que u (☺).
En déduire que :
2a et a2 – db2 sont entiers.
Réciproquement, soit u = a + b d , un élément de K, tel que :
2a et a2 – db2 sont entiers.
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Montrer que u est entier sur Z.
Avec ces notations, montrer que 2b est entier. Soient a' et b' les entiers tels
que 2a = a', 2b = b'. Démontrer que a'2 – db'2 est divisible par 4 (dans Z
bien entendu) ( ).
Supposons b' impair, montrer que b'2 – 1 est divisible par 4. En déduire
que a'2 – 1 est divisible par 4, enfin que d – 1 est divisible par 4.
Supposons b' pair, montrer que a' est pair, et que a et b sont entiers.
A partir de ces résultats, dire comment s'écrivent les éléments de A dans
les cas suivants (pourquoi sont-ils les seuls possibles ?) :
d = 1 + 4k
d = 2 + 4k
d = 3 + 4k
où k est un entier.
3) Soit x = a + b d , a et b étant des rationnels, un élément quelconque du
corps K. L'entier a2 – db2 utilisé ci-dessus s'appelle la norme de x, notée
N(x). Démontrer (☺) l'égalité :
N(x x') = N(x) N(x').
On suppose d = – 5. Quel est l'anneau des entiers ? Quels sont les éléments
inversibles de cet anneau ( ) ?
On note p et q les deux éléments :
p = 1 + i 5, q = 1 − i 5.
On veut démontrer que ce sont des éléments irréductibles de Z[i 5 ]. On
fait un raisonnement par l'absurde : supposons p non irréductible, et soit r
un diviseur non inversible de p. Quelle devrait être la norme de r ?
Montrer que les équations dans Z :
a2 + 5b2 = 2,
a2 + 5b2 = 3,
n'ont pas de solution, et déduire que p est irréductible (ainsi que q).
Vérifier l'égalité :
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pq = 6,
en déduire que, si Z[i 5 ] est principal, alors p divise 2 ou 3. Démontrer
que p ne divise ni 2 ni 3, et déduire que Z[i 5 ] n'est pas un anneau
principal.
(NB : au contraire Z[i], par exemple, est principal).
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3-2 Corrigés des exercices
exercice 1-C
1) On définit des entiers a' et b' par :
a = ga', b = gb'.
La relation proposée s'écrit :
gm = ga'gb',
m = a'gb'.
Montrons que ga'b' est un multiple commun à a et b :
ga'b' = ab' = a'b.
Soit M un multiple commun à a et b, il existe des entiers p et q tels que :
M = pa = qb,
pga' = qgb',
pa' = qb'.
Comme a' divise qb', et est étranger à b', a' divise q, donc il existe n tel que
q = na', donc :
M = na'b = nga'b'.
Il en résulte que ga'b' est bien le plus petit multiple commun (positif) des
entiers a et b.
2) Soit t un diviseur positif commun à a et b. Il en résulte que t divise a et
nb, soit np et n2 + np, donc t divise np et n2. Comme n et p sont étrangers,
il existe des entiers u et v tels que :
un + vp = 1
un2 + vpn = n,
donc un diviseur commun à np et n2 divise n. Par un raisonnement
analogue, on voit que t divise p. Il en résulte que t est un diviseur commun
à n et p, donc t = 1.
D'après la question précédente, le PPCM est le produit ab.
3) Pour fixer les idées, supposons n > p (si n = p, il n'y a pas de problème).
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On a l'égalité :
2n – 1 = (2p – 1 )2n-p + 2n-p – 1, et si n – p > p
2n-p – 1 = (2p – 1 )2n-2p + 2n-2p – 1, …
On peut répéter cette opération q fois si 0 ≤ n – qp < p, c'est-à-dire si q est
le quotient de la division euclidienne de n par p. On obtient :
2n – 1 = (2p – 1 )2n-p + (2p – 1 )2n-2p +…+ (2p – 1 )2n-qp + 2n-qp – 1.
En conclusion, si n = qp + r, avec 0 ≤ r < p on a l'égalité :
2n – 1 = (2p – 1 )(2n-p + 2n-2p +…+ 2n-qp)+ 2r – 1,
et comme 0 ≤ 2r – 1 < 2p – 1, cette dernière égalité est celle de la division
euclidienne.
On en déduit donc que si d est le pgcd de n et p, alors 2d – 1 est le pgcd de
2n – 1 et 2p – 1.
Comment penser à cette solution ? Faire des essais semble la meilleure
méthode pour deviner le résultat :
n = 3, p = 2, pgcd(7, 3) = 1 = 21 – 1,
n = 6, p = 2, pgcd(63, 3) = 3 = 22 – 1,
n = 9, p = 6, pgcd(511, 63) = 7 = 23 – 1.
4) Si p est un diviseur commun à a et b, c'est aussi un diviseur commun à
a2 et b, ou à a3 et b.
Soit q le pgcd de a2 et b, c'est un multiple de p :
q = np.
Si n > 1, soit p' un diviseur premier de n :
n = p'n'.
On écrit :
a = pa', b = pb' = p'n'pb", a2 = p2a'2 = p'n'pa",
pa'2 = p'n'a"
b' = p'n'b".
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Si p' ≠ p, on voit que p' divise a'2, donc a', ce qui est impossible, puisque
p' divise aussi b' et que a' et b' sont étrangers.
On en déduit que p' = p, donc p est le seul diviseur premier de n, qui est
donc une puissance de p.
Conclusion : le pgcd de a2 et b est une puissance de p.
On procède de même pour a3 et b, avec le même résultat.
(QC-1) Que peut-on dire si le pgcd de a et b n'est pas un nombre premier
?
exercice 2-C
1) Par exemple, pour 2 et 3 :
diviseurs de 2 = {1, 2},
diviseurs de 3 = {1, 3},
diviseurs de 6 = {1, 2, 3, 6},
σ(2) = 3, σ(3) = 4, τ(2) = τ(3) = 2,
τ(6) = 4, σ(6) = 12.
Sur cet exemple, les diviseurs de mn sont tous les produits d'un diviseur
de m et d'un diviseur de n. Est-ce que cela se généralise ?
Notons Div(k) l'ensemble des diviseurs positifs d'un entier k.
On définit une application :
Div(m) × Div(n) → Div(mn)
(u, v) → uv,
montrons que c'est une bijection.
Une remarque préliminaire : comme m et n sont étrangers, chaque diviseur
de m est étranger à chaque diviseur de n.
Injectivité ( ) : soient (u, v) et (u', v') deux couples tels que uv = u'v'.
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On applique le lemme de Gauss : u divise u'v', et est étranger à v' donc u
divise u', de même v divise v' : il existe des entiers k et t tels que ku = u',
et tv = v'.
Mais comme uv = u'v', ktu'v' = u'v', donc kt = 1 donc on a l'égalité :
k = t = 1,
et u = u', v = v'.
Surjectivité ( ) : soit w un diviseur de mn. Soit p un diviseur premier de
w.
Il divise mn donc s'il ne divise pas m, il est premier avec m et donc divise
n. On peut donc ranger les facteurs premiers de w en deux familles
disjointes : celles des facteurs premiers qui divisent m et celle des facteurs
premiers qui divisent n. Soit w' le produit des facteurs premiers de la
première famille et w" le produit des facteurs premiers de la seconde
famille. On a w = w'w", et comme w' divise mn et est étranger à n, alors
w' divise m, et de même w" divise n.
L'application définie ci-dessus est bijective donc les deux ensembles ont
le même nombre d'éléments : τ(mn) = τ(m)τ(n).
De même, σ(mn) est la somme des produits d'un diviseur de m et d'un
diviseur de n, c'est donc le produit de la somme des diviseurs de m par la
somme des diviseurs de n : σ(mn) = σ(m)σ(n).
2) Exemples :
Div(23) = {1, 2, 4, 8}
τ(23) = 4 = 3 + 1, σ(23) = 15 = 16 – 1,
Div(32) = {1, 3, 9}
τ(32) = 3, σ(32) = 13.
A la lumière de ces exemples, on voit que les égalités proposées résultent
simplement du fait que :
Div(pq) = {1, p, p2,…,pq}
et de la formule usuelle de somme des premiers termes d'une suite
géométrique.
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3) Soit n un entier, dont la décomposition en produit de facteurs premiers
s'écrit :
n = p1 q1 … pk q k .
On écrit d'après 1) :
τ (n ) = τ (p1q )…τ (pk q ),
1
k
σ (n ) = σ (p1q )…σ (pk q ).
1
k
Et il résulte de 2) :
 p1 q1 +1 − 1  pk q k +1 − 1
 …
,
 p1 − 1   pk − 1 
σ (n ) = 
τ (n ) = (q1 + 1)…(qk + 1).
La décomposition de 300 s'écrit :
300 = 223152,
d'où :
τ(300) = (2 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 18,
 2 2+1 − 1  31+1 − 1  52+1 − 1
σ (300 ) = 
,
 2 − 1  3 −1  5 − 1 
8 124
×
= 7 × 4 × 31 = 868.
2
4
4) Supposons 2n – 1 premier. Si n est pair, supérieur à 2, n = 2k, alors :
2n – 1 = (2k)2 – 1 = (2k – 1)(2k + 1),
et 2k – 1 > 1, donc 2n – 1 n'est pas premier.
Donc si n ≠ 2, n est impair. Si n'est pas premier, n est le produit pq de deux
nombres impairs supérieurs ou égaux à 3 :
2n – 1 = (2p)q – 1 = (2p – 1)((2p)q-1 + (2p)q-2 +…+ 1),
et 2p – 1 ≥ 7, par ailleurs, (2p)q-1 + (2p)q-2 +…+ 1 est somme d'au moins 3
termes au moins égaux à 1. Donc 2n – 1 n'est pas premier.
= 7×
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Soit N = 2n-1(2n – 1), calculons σ(N) et τ(N) :
σ(N) = σ(2n-1)σ(2n – 1) = (2n – 1)[(2n – 1) + 1] = 2N,
τ(N) = τ(2n-1)τ(2n – 1) = 2n.
Les premiers nombres parfaits sont calculés par Maxima :
6, pour n = 2, et
On trouve ensuite 28, 496, 8128, 33550336, …
exercice 3-C
1) La première question est évidente.
Pour la seconde, d est un diviseur commun de a et b donc divise le pgcd
de (a, b), soit d'. La relation :
a2 + b2 = c2
montre que d'2 divise c2. Pour chaque facteur premier p de d', soit v(p)
l'exposant de p dans d'. On voit que p2v(p) divise c2, donc p divise c. Soit
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w(p) l'exposant de p dans la décomposition de c en produit de facteurs
premiers : comme p2v(p) divise c2, 2v(p) ≤ 2w(p) donc v(p) ≤ w(p).
Ce raisonnement s'applique à tout facteur premier de d', il en résulte que d'
divise c.
L'entier d' est donc un diviseur commun à (a, b, c), donc un diviseur de d.
On conclut d = d' (ce sont des entiers positifs).
Un raisonnement analogue s'applique à (a, c) et (b, c).
La troisième demande est évidente, par simplification.
On se ramène donc au cas de 2).
2) Comme a et b sont étrangers, ils ne peuvent pas être pairs simultanément.
Si a et b sont impairs, on écrit a = 2a' + 1, b = 2b' + 1 ( ), donc :
a2 + b2 = 4a'2 + 4b'2 + 4a' + 4b' + 2.
Or un carré c2 est de l'une des formes ( ) :
4k si c est pair, 4k + 1 si c est impair.
Il est donc impossible que a et b soient impairs.
Il reste donc le cas où l'un est pair, l'autre impair, par exemple a = 2a' + 1,
et b = 2b' :
a2 + b2 = 4a'2 + 4b'2 + 4a' + 1
donc c est impair d'après la remarque faite ci-dessus, c = 2c' + 1.
3) Avec ces notations :
a + c = 2a' + 2c' + 2
c – a = 2c' – 2a'.
Posons :
p = a' + c' + 1
q = c' – a'.
Ces entiers vérifient bien a = p – q, c = p + q. Un diviseur commun de p et
q serait un diviseur commun de a et b donc p et q sont étrangers.
La relation a2 + b2 = c2 donne :
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a'2 + b'2 + a' = c'2 + c',
(c' – a')(c' + a' + 1) = b'2,
qp = b'2.
Soit r un facteur premier de q, il divise b'2, et comme r n'est pas un facteur
premier de p, l'exposant de r dans q est le même que dans b'2, en particulier
il est pair. Comme cela est vrai de tout facteur premier de q, on voit que q
est le carré d'un entier. On raisonne de la même façon pour p.
4) Par définition :
a = m 2 – n2 , c = m 2 + n2 ,
b2 = c2 – a2 = 4m2n2,
b = 2mn.
5) Soient m et n des entiers premiers entre eux, et posons :
a = m2 – n2, c = m2 + n2, b = 2mn,
on voit bien que (a, b, c) est un triplet pythagoricien dont les termes sont
deux à deux étrangers. En effet, s'il existait un diviseur premier commun à
a et c, ce serait un diviseur commun à m et n. Un diviseur premier de b, est
nécessairement soit 2, soit un diviseur premier de m ou n. Or 2 ne divise
pas a, ni c, puisque m et n sont de parités différentes. Un diviseur de m qui
diviserait a (respectivement c) diviserait n, donc serait un diviseur
commun à m et n, soit 1.
(QC-1) A quel choix de m et n correspond le triplet (3, 4, 5) ?
(QC-2) Si n = 2, m est impair quelconque. Donner les trois premiers
triplets ainsi obtenus.
(QC-3) Examiner la question de la forme des triplets pythagoriciens de
rationnels.
exercice 4-C
Rappelons que le théorème de Fermat affirme que l'équation :
xn + yn = zn
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n > 2, n'a pas de solutions entières autres que les solutions évidentes (1, 0,
1), (0, 0, 0) …
1) Soit d le pgcd de (a, b, c), et a = da', b = db', c = dc' :
(da')4 + (db')4 = (dc')4
a'4 + b'4 = c'4.
Un diviseur premier commun à deux des entiers a', b', c' divise encore le
troisième, et de même pour (a', c') et (a', b'). Le seul diviseur commun à a',
b', c', supérieur ou égal à 1 est 1, donc ces couples sont étrangers.
2) L'équation :
x4 + y4 = z2
est un cas particulier de l'équation étudiée dans l'exercice précédent.
Si (a, b, c) est une solution formée d'entiers étrangers deux à deux, alors
(a2, b2, c) est un triplet pythagoricien formé d'entiers étrangers deux à
deux, donc il existe des entiers m et n tels que :
a2 = m2 – n2, c = m2 + n2, b2 = 2mn.
On sait que c est impair, donc m2 et n2 sont de parités différentes, et il en
est de même pour m et n. Il vérifient la relation :
n2 + a2 = m2.
3) Comme a est impair, on déduit de l'exercice 3 que n est pair et m impair.
Il existe donc des entiers m' et n' tels que :
n = 2m'n', a = m'2 – n'2, m = m'2 + n'2,
et on a bien :
b2 = 4m'n'm.
Dans l'exercice précédent, on a vu que m' et n' sont étrangers, donc m et
m' également, ainsi que m et n', puisque m = m'2 + n'2.
Soit p un facteur premier de m. Il divise b donc p2 divise 4m'n'm, donc p2
divise m. On voit que m est un carré. On raisonne de même pour m' et n'.
4) Posons m = t2, m'= r2, n' = s2. On obtient donc l'égalité :
t2 = r4 + s4.
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Or il est clair que 0 < t < c, et r > 0, s > 0. Comme on avait supposé que c
était une solution minimale, on aboutit à une contradiction, l'équation :
z2 = x4 + y4
n'a pas de solution non triviale.
Comme l'équation :
z4 = x4 + y4
s'écrit :
(z2)2 = x4 + y4
on voit que l'équation de Fermat pour n = 4 n'a pas d'autre solution que les
solutions évidentes.
(QC-1) Déduire le Théorème de Fermat pour les exposants multiples de 4.
exercice 5-C
1) Il est clair que φ(p) est pair, puisque 2 < p, et 2 premier. Donc il existe
k tel que φ(p) = 2k, et :
q = 2φ(p) – 1 = 4k – 1 = 4(k – 1) + 3.
Comme φ(p) ≥ 6p, q ≥ 12p – 1 > p.
D'après le théorème de Bézout, un nombre premier inférieur ou égal à p
est premier avec q :
1 = 2φ(p) + q.
Tout facteur premier de q est donc supérieur à p.
Un nombre premier impair est de la forme 4k + 1, ou 4k + 3 ( ). Un produit
de nombres de la forme 4k + 1 est encore de cette forme ( ), donc q ne
peut pas être produit uniquement de tels nombres, donc si q n'est pas
premier, il admet un facteur premier de la forme 4k + 3, supérieur à p.
Il existe donc des nombres premiers aussi grands qu'on veut de la forme
4k + 3.
2) Un nombre premier supérieur à 5 est de l'une des formes ( ) :
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6k + 1, 6k + 5.
Le produit de nombres de la forme 6k + 5 est de la forme :
(6k + 5)(6k' + 5) = 6(5k + 5k' + 6kk' + 4) + 1 = 6K + 1,
et le produit de nombres de la forme 6k + 1 est encore de cette forme.
Or :
φ(p) = 2× 3 × … × p = 6K,
donc q est de la forme 6k – 1, ou encore 6k + 5.
Donc un nombre impair de ses facteurs premiers est également de cette
forme. Il y a donc, pour tout nombre premier p au moins égal à 5 un nombre
premier au moins de la forme 6k + 5 supérieur à p.
3) Existe-t-il un nombre premier dans l'ensemble :
{φ(p) + 2, …, φ(p) + p}.
Soit φ(p) + k (k > 1) un élément de cet ensemble. Soit r un diviseur premier
de k. Il est nécessairement inférieur à p, donc divise également φ(p). On
voit que φ(p) + k n'est pas premier, donc l'intervalle de N :
[φ(p) + 2 , φ(p) + p],
de longueur p – 1 ne contient pas de nombre premier.
(QC-1) φ(p) + 1 est-il premier ?
exercice 6-C
1) Le premier membre de l'équation est divisible par 3, pgcd de 18 et 15,
quelles que soient les valeurs de x et y. Une condition nécessaire
d'existence d'une solution (x, y) est que a soit divisible par 3.
Supposons que ce soit le cas, et soit a' tel que a = 3a'.
L'équation devient :
6x + 5y = a'.
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On note maintenant, après division par le pgcd de 18 et 15, que les
coefficients du premier membre sont étrangers. On peut donc leur
appliquer le théorème de Bézout : il existe des entiers u et v tels que :
6u + 5v = 1,
donc :
6ua' + 5va' = a'.
A tout couple (u, v) de l'égalité de Bézout correspond une solution de
l'équation, soit (a'u, a'v).
Par exemple (u, v) = (1, –1), et une solution est (a', –a').
Si (x, y) est une solution de :
6x + 5y = a',
on écrit :
6x + 5y = 6a' – 5a',
6(x – a') = 5(– y – a').
Utilisons encore le fait que les coefficients de l'équation sont étrangers :
6 est étranger à 5 donc (Théorème de Gauss) 6 divise – y – a'.
Il existe donc un entier k tel que :
– y – a' = 6k,
y = – a' – 6k,
et on obtient également :
x = a' + 5k.
Tous les couples (a' + 5k, – a' – 6k) sont solutions donc ils représentent
l'ensemble des solutions.
La méthode générale est donc la suivante :
Vérifier la condition nécessaire : le pgcd de u et v divise a.
Si cette condition est vérifiée, simplifier par ce pgcd :
xu' + yv' = a',
puis résoudre l'équation obtenue en cherchant d'abord des coefficients du
Théorème de Bézout :
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x'u' + y'v' = 1
puis en multipliant par a'.
Des coefficients vérifiant la formule de Bézout peuvent se trouver à partir
de l'algorithme d'Euclide.
2) Si y et z sont des entiers vérifiant :
14z – 15y = 1,
on voit que x = 2 – 15y est une solution du système, puisqu'on aura
également x = 3 – 14z.
L'équation :
14z – 15y = 1,
a des solutions puisque 14 et 15 sont étrangers, par exemple :
z = –1, y = –1
Les autres solutions sont de la forme :
(y , z) = (–1 + 14k, –1 + 15k),
d'où les solutions du système :
(x, y, z) = (17 – 210k, –1 + 14k, –1 + 15k),
k étant un entier quelconque.
Méthode générale :
Soient u et v vérifiant :
pu – qv = a – b.
Ces entiers existent, puisque, p et q étant étrangers, il existe des entiers u'
et v' vérifiant :
pu' + qv' = 1,
il suffit de prendre u = (a – b)u', v = (b – a)v'.
L'ensemble des solutions de l'équation :
py – qz = a – b
est l'ensemble des couples (u + kq, v + kp), k entier quelconque.
Les solutions du système sont donc :
(x, y, z) = (a – pu – kpq, u + kq, v + kp),
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k entier quelconque.
exercice 7-C
1) Il faut résoudre :
7b + 13n = 1.
Conformément à la méthode employée à la question précédente, il est
nécessaire que le pgcd de 7 et 13 divise 1, ce qui est vrai.
Il faut ensuite trouver une solution particulière : ici b = 2, n = –1 est une
solution évidente. On voit que 2 est un inverse de 7 modulo 13.
(NB : le lecteur familier de la notion de congruence traduira facilement
dans ce langage).
Pour la seconde équation :
4b + 12n = 1,
la condition nécessaire n'est pas vérifiée puisque le pgcd de 4 et 12 vaut 4,
et ne divise pas 1.
On voit qu'une condition nécessaire d'existence d'un inverse de a modulo
p est que a et p soient étrangers.
On le vérifie sur le dernier exemple :
7b + 12n = 1.
Ici 7 et 12 sont étrangers. On sait par le théorème de Bézout qu'il existe
des solutions à cette équation, donc la condition est également suffisante.
Pour calculer une solution, s'il n'y en a pas d'évidente, on passe par
l'algorithme d' Euclide :
12 = 7 + 5
7=5+2
5 = 2 × 2 + 1,
d'où :
1 =5 – 2× 2
1 = 5 – 2× (7 – 5) = –2 × 7 + 3 × 5
1 = –2 × 7 + 3 × (12 – 7)
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92
1 = –5 × 7 + 3 × 12.
Méthode : partant de la dernière égalité, celle où apparaît le pgcd, on
substitue de proche en proche les restes (en gras ci-dessus) en les
remplaçant par la combinaison (dividende – quotient ∞ diviseur).
On conclut : –5 est un inverse de 7 modulo 12.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier a ait un
inverse modulo un entier p est que a et p soient étrangers.
(QC-1) Que peut-on en déduire si p est premier, ou puissance d'un nombre
premier q ?
2) Un entier a est d'ordre fini modulo p s'il existe des entiers n > 0, et k tels
que :
an = 1 + kp,
an – kp = 1,
donc a et p sont étrangers d'après le théorème de Bézout.
Si a est étranger à p, toute puissance de a est un entier étranger à p : en
effet si un nombre premier divise p et an, il divise a, et c'est donc un
diviseur commun à a et p.
L'ensemble considéré est formé d'entiers compris entre 1 et p – 1, or il y
en a p. Deux au moins d'entre eux sont égaux, il existe i et j entiers vérifiant
0 < i < j < p, tels que ai = aj, et des entiers m et n tels que :
ai = np + ai,
aj = mp + aj,
aj – ai = (m – n)p,
ai (aj-i – 1) = (m – n)p.
On voit que p divise ai (aj-i – 1), et comme ai et p sont étrangers, p divise
(aj-i – 1), donc a est bien d'ordre fini modulo p.
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La division de n par ω(a) s'écrit :
n = ω(a)q + r,
donc :
ar aω(a)q = an,
ar (1 + kp) = 1 + sp,
ar = 1 + (s – kar)p,
or ω(a) est le plus petit entier t strictement positif tel que at – 1 soit divisible
par p. Comme 0 ≤ r < ω(a), on voit que r = 0, et n est divisible par ω(a).
3) La relation est réflexive, prendre t = ω(a).
La relation est symétrique :
x – aty = kp entraine
aω(a)-t(x – aty) = aω(a)-tkp
aω(a)-tx – aω(a)y = aω(a)-tkp
aω(a)-tx – (1 + np)y = aω(a)-tkp
aω(a)-tx – y = (aω(a)-tk + ny)p.
Enfin la relation est transitive.
S'il existe des entiers convenables tels que :
x – asy = np
y – atz = mp
alors :
x – as+tz = (n + asm)p.
Soit C une classe d'équivalence, et x un de ses éléments. Les éléments de
la classe sont les entiers de G de la forme :
y = asx + kp,
donc ce sont les restes des divisions des entiers asx par p, pour :
0 < s ≤ ω(a).
Comme tous ces entiers sont étrangers à p, il y a exactement ω(a) éléments
distincts dans cette classe donc dans chaque classe.
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94
La réunion des classes d'équivalence est G, donc s'il y a m classes
d'équivalence, le nombre d'éléments de G est égal à m ∞ ω(a).
exercice 8-C
D'après l'exercice précédent, ϕ(n) est le nombre d'entiers inférieurs à n
étrangers à n, noté N ci-dessus.
1) Si n est premier, il est premier avec tous les entiers positifs plus petits
que lui, donc ϕ(n) = n – 1.
2) Si n est premier, c'est un théorème de Fermat rappelé dans la première
partie. De façon générale, on a vu ci-dessus que si a est étranger avec n,
alors ϕ(n) est un multiple de l'ordre de a modulo n, soit sω(a), d'où :
aϕ(n) = (aω(a))s
= (1 + kn)s
= 1 + Kn.
3) Notons, comme dans l'exercice précédent, G(p) l'ensemble des entiers
inférieurs à p et étrangers à p. On définit une application :
G(mn) --. G(m) ∞ G(n)
en associant à un entier w le couple formé du reste de la division de w par
m et du reste de la division de w par n. Ces restes sont bien dans G(m) et
G(n) respectivement. Par exemple :
w = qm + r,
donc un diviseur commun à m et r serait un diviseur de w, donc commun
à m et w. Ce diviseur serait alors 1.
Montrons que cette application est bijective.
Injectivité ( ) : si w et y ont la même image (r, s), alors il existe des
entiers p, q, p', q', tels que :
w = qm + r
y = q'm + r
w = pn + s
y = p'n + s.
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95
On obtient :
w – y = (q – q')m = (p – p')n,
donc n divise q – q', et m divise p – p', donc mn divise w – y. Comme w et
y sont inférieurs à mn, on voit que w – y = 0.
Surjectivité ( ) : soit (r, s) un couple dans G(m) ∞ G(n). Il faut résoudre
le système d'équations en x, y, w :
w – mx = r
w – ny = s.
On a traité ce problème dans l'exercice 6.
L'application est bien bijective, d'où l'égalité demandée.
4) Les entiers inférieurs à pn non premiers avec p, sont les multiples de p.
Ils s'écrivent :
p, 2p, …, (pn-1 – 1) p,
il y en a donc pn-1 – 1. Le nombre total d'entiers entre 1 et pn est pn – 1,
donc :
ϕ(pn) = pn – 1 – (pn-1 – 1) = pn – pn-1.
5) Si a s'écrit :
a = p1n1…prnr,
alors :
ϕ(a) = (p1 – 1)p1n1-1…(pr – 1)prnr-1
d'après les résultats précédents.
(QC-1) Exprimer ϕ(a)/a par une formule simple en fonction des facteurs
premiers de a.
exercice 9-C
1) Si q est pair et supérieur à 2, il existe un entier p, au moins égal à 2, tel
que q = 2p. On écrit :
2q – 1 = (2p)2 – 1 = (2p – 1)(2p + 1),
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96
et :
2p – 1 ≥ 4 – 1,
donc 2q – 1 n'est pas premier.
Il est divisible par 3, car 22 = 1 + 3, donc il existe un entier k tel que :
(22)p = (1 + 3)p = 1 + 3k
2q – 1 = 3k.
2) Si q est impair non premier, il est le produit de nombres impairs
strictement supérieurs à 1, q = rs :
2rs – 1 = (2r)s – 1
= (2r – 1)(1 + 2r +…+ (2r)s-1),
et les deux facteurs de ce produit sont bien supérieurs à 1, donc 2q – 1 n'est
pas premier.
En conclusion, si 2q – 1 est premier, alors q est impair et premier.
3-1) Les nombres de Mersenne sont impairs donc p est impair, et par
conséquent étranger à 2. D'après un résultat de Fermat, p – 1 est un élément
de A. Par ailleurs, par définition, q est un élément de A.
Soit n dans A, effectuons la division euclidienne de n par ω :
n = ωu + v, 0 ≤ v < ω.
On a des entiers k, r, K tels que :
2n = (2ω)u2v
1 + kp = (1 + rp)u2v
1 = 2v + Kp
donc v appartient à A, et comme il est inférieur à ω, v = 0.
(Cf. exercice 7 question 2)).
En particulier, ω divise q, qui est premier, donc ω = q.
3-2) On a remarqué que p – 1 est dans A, donc q divise p – 1.
3-3) Les "candidats" sont des nombres premiers p pour lesquels il existe t
vérifiant :
p = 1 + 11t.
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97
Voici les premiers :
t = 2, p = 23
t = 6, p = 67
t = 8, p = 89.
Par ailleurs M11 vaut 2047. On voit facilement que 23 divise 2047 :
2047 = 23× 89.
exercice 10-C
1) Il est clair que si un nombre a est premier avec un nombre N, il est
premier avec chacun de ses diviseurs. On applique le théorème de Fermat
à a et à chaque nombre premier pi, il existe un entier ti tel que :
api – 1 = 1 + tipi,
(api – 1)bi = (1 + tipi)bi ,
aN-1 = (1 + tipi)bi .
1-2) Il suffit de développer l'égalité ci-dessus pour vérifier que pi divise
bien aN-1 – 1. Comme les pi sont des nombres premiers distincts, on en
déduit que leur produit N divise aN-1 – 1.
2) Factorisons ces entiers, ainsi que leur différence avec 1.
Nous utilisons "divisors" dans Maxima.
On voit dans les résultats ci-dessous que les relations demandées sont bien
vérifiées.
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98
On peut écrire un petit programme pour chercher les nombres dde
Charmichael inférieurs à un entier donné (la difficulté réside dans la
recherche des nombres premiers : fonction primep(n) de maxima)
3-1) On écrit :
pq – 1 = (q – 1)p + (p – 1),
donc si q – 1 divise pq – 1, alors q – 1 divise p – 1.
3-2) Mais il est impossible que q – 1 divise p – 1 puisque q < p, donc pq
n'est pas un nombre de Carmichael.
4-1) On procède de même.
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On a la formule générale :
pqr – 1 = (pr – 1)q + (q – 1),
donc, comme q – 1 divise pqr – 1, et q – 1 est premier avec q, on voit que
q – 1 divise pr – 1.
Le même raisonnement s'applique à r – 1.
4-2) On écrit les égalités suivantes. Il est clair que u n'est pas nul, puisque
pq ne vaut pas 1, et que tu ≠ p2, sinon t = u = p, ce qui entraine, en reportant
dans les égalités de 4-1), p = 1.
1 + (q − 1)t
(q − 1)t = pr − 1, r =
,
p
qt =
p 2 q − p + pu
−1 + t
u

p2  pu − p − u + tu
=
q t −

u
u
q=
pu − p − u + tu
(p − 1)(p + u)
=1+
.
2
tu − p
tu − p 2
4-3) Il est clair que u ne peut pas être égal à 1, car cela impliquerait :
pq – 1 = r – 1,
pq = r,
alors que r est premier.
Donc ( ) u ≥ 2.
Comme q < r, on obtient :
pq = 1 + (r – 1)u < pr,
ur + 1 – u < pr,
ur < pr,
donc :
2 ≤ u ≤ p – 1.
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100
Dans l'expression ci-dessus donnant q en fonstion de p, u, t, comme q > 2,
le dénominateur de la fraction est positif :
tu > p2.
D'autre part, p < q, donc :
(p − 1)(p + u)
1+
>p
tu − p 2
p+u
>1
tu − p2
p + u > tu − p 2
p +p
.
u
4-4) S'il existe un nombre de Carmichael pair produit de trois facteurs,
alors pour ce nombre p = 2, d'où :
u = 2, 2 < t < 1 + 3, soit ( ) t = 3.
On en déduit :
q = 3, r = 7/2, ce qui est impossible.
Il n'existe pas de nombre de Carmichael pair ayant trois diviseurs premiers
distincts.
S'il existe un nombre de Carmichael ayant exactement trois diviseurs
premiers distincts, et multiple de 3, alors p = 3. On déduit :
u = 2 ou 3.
Si u = 2, t = 5 ou 6.
Si u = 3, t = 4.
u = 2, t = 5 :
q = 11, r = 17, N = 561.
u = 2, t = 6 :
q = 13/3, impossible.
u = 3, t = 4 :
t < 1+
2
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101
q = 5, r = 17/3, impossible.
Il existe un unique nombre de Carmichael ayant exactement trois diviseurs
premiers distincts, et multiple de 3, c'est 561.
NB : le programme ci-dessus permet de trouver un nombre de Charmichael
ayant 4 facteurs premiers distincts, c'est 41041.
exercice 11-C
1) On obtient en développant :
(X – a)(X – b) = X2 – (a + b)X + ab,
donc le coefficient de X est l'opposé de la somme des racines, et le
coefficient constant est le produit des racines.
De même :
(X – a)(X – b)(X – c) = X3 – (a + b + c)X2 + (ab + ac + bc)X – abc,
et des relations analogues.
2) Les vérifications sont élémentaires.
3) Pour E1(a, b) :
ab3 + a3b + a + b = σ2(b2 + a2) + σ1,
= σ2(σ12 – 2σ2) + σ1,
= σ2σ12 – 2σ22 + σ1.
Pour E2(a, b, c) :
(a – b)2 + (a – c)2 + (c – b)2 + ab + ac + bc = a2 + b2 + c2 – (ab + ac + bc)
= σ12 – 3σ2.
Pour E3(a, b, c) :
ab2 + ac2 + cb2 + ca2 + ba2 + bc2 + abc = σ13 – 2σ2 – 5σ3.
Pour P(X), σ1 = –1, σ2 = 2, donc :
E1(a, b) = σ2σ12 – 2σ22 + σ1
= 2 – 8 – 1 = – 7.
Pour Q(X), σ1 = 0, σ2 = –1/2, σ3 = 1, donc :
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102
E2(a, b, c) = σ12 – 3σ2 = 3/2.
E3(a, b, c) = σ13 – 2σ2 – 5σ3 = 1 – 5 = – 4.
4) Premier système.
Les nombres α et β vérifient :
(α + β)αβ = 0
(α + β)2 – 4 αβ = 1.
Donc soit αβ = 0, et α + β = 1, soit αβ = 0 et α + β = – 1, soit αβ ≠ 0, (α
+ β) = 0, donc αβ = –1/4.
Selon le cas, α et β sont les solutions de l'équation :
X2 – X = 0,
ou de :
X2 + X = 0,
ou enfin de :
4X2 – 1 = 0.
D'où l'ensemble des solutions :
{(1, 0), (0, 1), (–1, 0), (0, –1), (1/2, –1/2), (–1/2, 1/2)}.
Second système.
σ1 = 0, σ3 = 1, σ12 – 2σ2 = 1, σ2 = – 1/2.
Les nombres a, b, c sont solutions de l'équation du troisième degré :
2x3 – x – 2 = 0.
Les solutions de cette équation sont :
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103
Comme on voit, cette équation a une racine réelle, et deux non réelles, dont
l'expression exacte n'est pas simple.
(QC-1) On peut aussi procéder par substitution. Le faire pour comparer
l'efficacité des deux méthodes.
exercice 12-C
1)
Pour le polynôme P.
Pour les polynômes Q et R, Maxima donne les résultats :
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104
Il s'agit d'une suite de polynômes de degrés strictement décroissants, donc
finie.
(QC-1) Que peut-on dire du dernier terme non nul de la suite ?
Est-ce toujours une constante ?
2) Les polynômes considérés n'ont que des racines réelles simples.
Donc si P(a) est nul, P'(a) n'est pas nul. Comme P'(x) est une fonction
continue de x, son signe est fixe dans un voisinage de a ( ).
P'(a) < 0. La fonction est décroissante au voisinage de a, donc P(x) > 0
si x < a, et P(x) < 0 si x > a.
P'(a) > 0. La fonction est croissante au voisinage de a, donc P(x) < 0 si
x < a, et P(x) > 0 si x > a.
Dans les deux cas, on voit que P(x)P'(x) < 0 si x < a et P(x)P'(x) > 0 si x >
a.
3) Un PGCD de deux termes successifs de la suite est un PGCD de P et P',
c'est-à-dire un polynôme sans racine réelle. Deux polynômes successifs de
la suite n'ont pas de racine réelle commune.
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105
L'égalité :
Ak-1(x) = Ak(x)Qk(x) – Ak+1(x)
montre que si Ak(α) = 0, alors Ak-1(α) = – Ak+1(α). Le produit de ces
nombres est donc négatif.
4) A quel moment cette suite peut-elle changer ? Il faut que l'un des
polynômes au moins change de signe, donc, comme il s'agit de fonctions
continues, que l'un des polynômes au moins s'annule ( ).
Supposons que, pour x = ξ, le polynôme Ak s'annule.
Supposons 0 < k < m.
On a vu plus haut que Ak-1(x) et Ak+1(x) ne s'annulent pas en ξ, donc leurs
signes ne changent pas au voisinage de ce réel. On a vu que ces signes sont
différents. Si Ak(x) ne change pas de signe, il n'y a pas de modification de
la suite à cet endroit.
Sinon, on a les configurations de signes suivantes :
x
Ak-1(x)
x<ξ
x=ξ
x>ξ
x
–
–
–
Ak-1(x)
x<ξ
x=ξ
x>ξ
x
x<ξ
x=ξ
Ak(x)
Ak+1(x)
–
0
+
Ak(x)
+
+
+
Ak-1(x)
Ak+1(x)
–
0
+
Ak(x)
–
–
+
+
+
–
–
–
Ak+1(x)
+
0
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+
+
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x>ξ
–
–
Ak-1(x)
x
x<ξ
x=ξ
x>ξ
volume 7
+
Ak(x)
+
+
+
106
Ak+1(x)
+
0
–
–
–
–
Dans tous ces cas, le nombre de changements de signe ne varie pas.
Supposons k = 0.
Si ξ est une racine de P, on a vu à la question 2 que P(x)P'(x) est négatif
pour x voisin de ξ, inférieur à ξ, positif dans le cas contraire. Les
configurations de signes sont les suivantes :
x
P(x)
P'(x)
+
–
x<ξ
0
–
x=ξ
–
–
x>ξ
x
x<ξ
x=ξ
x>ξ
P(x)
P'(x)
–
0
+
+
+
+
Dans les deux cas, le nombre de changements de signe diminue de 1.
Le cas où k = m ne se présente pas puisque Am est un polynôme sans racine
réelle.
On voit bien que la fonction a est décroissante.
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107
De plus, elle ne décroit que lorsque x passe par la valeur d'une racine de P.
On en déduit les règles énoncées.
(QC-2) Si vous disposez d'un outil de calcul (Maxima ou un autre logiciel).
A l'aide de cette méthode, situer les racines du polynôme suivant, après
s'être assuré qu'il n'a pas de racine réelle multiple.
Vérifier en calculant les racines réelles.
0,6X6 + 0,28X5 + 0,23X4 + 0,112X3 + 0,02X2 + 0,0112X – 0,0004.
exercice 13-C
1) Les résultats donnés par Maxima sont les suivants.
2) Ce calcul peut être confié à Maxima.
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108
La méthode est celle utilisée dans le cas des entiers, à partir de la méthode
d' Euclide pour la détermination du PGCD.
On écrit :
B = A(X – 1) + R1
A = R1(–X – 2) + 3G
3G = A + R1(X + 2)
3G = A + [B – A(X – 1)](X + 2)
3G = A[1 – (X – 1)(X + 2)] + B(X + 2).
On retrouve bien le résultat de Maxima.
exercice 14-C
1) Il suffit d'écrire que P(q) est nul :
a0 + a1q +…+ anqn = 0
a0 = –q(a1 +…+ anqn-1).
On voit bien que q divise a0.
Dans le cas d'une racine rationnelle, le même calcul donne :
a0 + a1α +…+ anαn = 0
a0 = –α(a1 +…+ anαn-1)
d'où une égalité dans Z (étape indispensable pour utiliser les propriétés de
la divisibilité) ( ) :
vna0 = –uvn-1a1 –…– anun
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109
on voit donc que u divise vna0, donc, comme u et v sont étrangers (fraction
irréductible), u divise a0. On raisonne de même pour an :
vna0 + uvn-1a1 +…+ un-1van-1 = – anun,
donc v divise anun, donc v divise an.
Exemples :
Les seules racines rationnelles envisageables pour P1 sont 1 et –1. Il est
clair qu'elles ne conviennent pas. Ce polynôme n'a pas de racine
rationnelle.
Pour P2, il n'y a pas de racine entière (± 1 ne convient pas), et les autres
1
1
racines rationnelles possibles sont ± , ± .
2
4
1
Un calcul simple montre que −
convient, d'où une première
2
factorisation :
1 + X – X2 + 2X3 = (1 + 2X)(X2 – X + 1).
Le second facteur n'a pas de racine réelle.
Pour P3, parmi les racines entières possibles, seul – 2 convient, d'où une
première factorisation :
4X3 + 8X2 – X – 2 = (X + 2)(4X2 – 1),
on obtient ensuite facilement :
4X3 + 8X2 – X – 2 = (X + 2)(2X – 1)(2X + 1).
Retenir qu'il est utile de factoriser au fur et à mesure que des racines
apparaissent, pour faciliter les autres essais.
2) On fait un raisonnement par l'absurde.
Si U(X) est un produit de polynômes non constants, on peut écrire :
Xn +…+ u1X + u0 = (apXp + …+ a0)(bqXq +…+ b0)
donc :
1 = apbq,
donc ( ) ap et bq valent 1 ou –1, de plus :
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110
u0 = a0b0,
donc l'un des deux coefficients a0, b0, est pair et l'autre impair.
Pour fixer les idées, supposons que ap = 1, et a0 est pair, b0 impair.
Pour le degré 1 :
u1 = a0 b1 + a1 b0
u1 est pair, a0b1 aussi donc a1b0 est pair, donc a1 est pair.
Pour le degré 2 :
u2 = a0b2 + a1b1 + a2b0
donc, comme u2, a0, a1 sont pairs, et b0 impair, a2 est pair.
Supposons démontrée la parité de ak pour k ≤ m, on voit qu'on
démontrerait ainsi la parité du coefficient ak+1. On en déduit que ap est
pair, ce qui est faux puisque ap = 1.
Cette contradiction termine le raisonnement par l'absurde : U ne peut donc
se factoriser sur Z, c'est un polynôme irréductible.
En examinant cette démonstration, on voit que le raisonnement par
l'absurde repose sur le fait que ap est impair, puisque c'est un diviseur du
coefficient dominant de U(X).
Il suffit donc de supposer que ce coefficient dominant est impair (et non
nécessairement égal à 1) pour obtenir la même conclusion.
Un exemple en degré 11 :
3X11 + 4X + 2.
Plus généralement, il est facile de voir que si on remplace dans le
raisonnement "pair" par "divisible par p", p étant un nombre premier, il n'y
a rien à changer, d'où le critère d'irréductibilité d'Eisenstein.
Le polynôme :
2X4 + X3 – 3X2 + 3X – 3
ne peut avoir comme racine entière que les diviseurs de 3, soit 1, –1, 3, –
3.
On voit facilement que 1 convient :
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111
2X4 + X3 – 3X2 + 3X – 3 = (X – 1)(2X3 + 3X2 + 3),
quant au second facteur, il est irréductible d'après le critère d'Eisenstein
(avec p = 3).
3) La méthode employée est la suivante :
Chercher les racines rationnelles, factoriser.
Pour les facteurs de degré 2, conclure par la méthode habituelle.
Pour les autres, essayer d'utiliser les symétries de l'équation.
Polynôme B(X).
Les racines rationnelles possibles sont entières, ce sont les diviseurs de 3.
On vérifie que 3 est bien racine, d'où la première factorisation :
X3 – 4X2 + 2X + 3 = (X – 3)(X2 – X – 1),
et le polynôme X2 – X – 1 a deux racines réelles, d'où :

1
5  
1
5 
3
2
X− +
.
X − 4X + 2 X + 3 = ( X − 3) X − −

2
2 
2
2 
Polynôme C(X).
Les racines rationnelles ne peuvent être que 1 ou – 1, qui ne conviennent
pas. Ce polynôme a la particularité d'être symétrique, c'est-à-dire que, son
degré étant noté n, et ses coefficients ck, il vérifie :
ck = cn-k, pour tout k, 0 ≤ k ≤ n.
On peut, dans les polynômes symétriques, faire un changement de variable
en posant :
1

Y =  X +  .
X
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112
On obtient, pour C(X) :
1
 1
C(X ) = X 2  2 + + 1 + X + X 2 
X
X
= X (Y − 2 + Y + 1)
2
2
= X 2 (Y 2 + Y − 1).
Comme 0 n'est pas racine de C(X), une équation équivalente à C(X) = 0
est l'équation suivante en Y :
Y2 + Y – 1 = 0.
Ses solutions sont :
1
5
1
5
y1 = − −
, y2 = − +
.
2
2
2
2
On écrit donc :
C(X ) = X 2 (Y − y1 )(Y − y2 )
= (X 2 + 1− y1 X )(X 2 + 1 − y2 X ).
Les facteurs de degré 2 n'ont pas de racine réelle.
(QC-2) Chercher, dans C, les racines de (1 – X)C(X). Que peut-on en
déduire ?
exercice 15-C
1) L'ensemble J(T) est un idéal car il n'est pas vide :
le polynôme 0 appartient à J(T)),
stable pour l'addition :
si P(T) = 0, et Q(T) = 0, (P + Q)(T) = 0,
stable pour le passage à l'opposé :
si P(T) = 0, (– P)(T) = 0,
enfin, si P(T) = 0, pour tout polynôme Q(X), P(T)Q(T) = 0.
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113
Soit n la dimension de l'algèbre A. Toute famille de plus de n éléments est
donc une famille liée, en particulier 1, T,…, Tn, donc il existe des scalaires
b0,…, bn non tous nuls, tels que :
b01 + b1T +…+ bnTn = 0,
ce qui signifie que le polynôme non nul :
B(X) = b0 + b1X +…+ bnXn
appartient à J(T).
2) L'argument précédent montre que si Q[α] est de dimension finie sur Q,
alors tout élément de Q[α] est algébrique, en particulier α.
Réciproquement, si α est algébrique, et si P est un polynôme de Q[X] tel
que P(α) = 0, non nul, de degré n, alors αn, et par récurrence αm si m ≥ n
est combinaison linéaire de :
1, α,…, αn-1.
L'espace vectoriel Q[α] a donc une famille génératrice finie, il est de
dimension finie.
Si P est le polynôme minimal de α, on voit que la dimension de Q[α]
est au plus égale au degré de P. Montrons que la famille :
1, α,…, αn-1
est libre.
Soient a0, …, an-1 des rationnels tels que :
a0 + a1α +…+ an-1αn-1 = 0.
Si ces nombres n'étaient pas tous nuls, le polynôme :
Q(X) = a0 + a1X +…+ an-1Xn-1
serait un polynôme non nul de J(α). Or P, de degré n, est un polynôme non
nul de degré minimal dans J(α). On conclut donc que tous les nombres a0,
…, an-1 sont nuls. La famille est bien libre.
En conclusion, la dimension de Q[α] est égale au degré du polynôme
minimal de α.
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114
L'opposé d'un nombre algébrique est également algébrique.
L'inverse d'un nombre algébrique non nul est également algébrique,
puisque si
a0 + a1α +…+ αn = 0,
on peut écrire :
n
n−1
1
1
a0  + a1  + …+ 1 = 0.
α 
α 
Il reste à vérifier que la somme et le produit, de deux nombres algébriques
α et β sont également des nombres algébriques.
Pour cela, on montre que Q[α + β] et Q[αβ] sont de dimension finie.
Ces deux espaces vectoriels sont des sous-espaces du sous-espace
vectoriel Q[α, β] de C engendré par la famille infinie (αiβj), i et j étant des
entiers naturels quelconques.
Or, si n = dim(Q[α]), m = dim(Q[β]), Q[α, β] est engendré par la famille :
(αiβj)0≤i<n, 0≤j<m
donc Q[α, β] est de dimension finie, comme chacun de ses sous-espaces
vectoriels.
Supposons α algébrique. Il faut établir que l'inverse de tout complexe
non nul de Q[α] est un nombre de Q[α].
Traitons d'abord le cas de α, supposé non nul. On suppose que l'équation
minimale de α est :
a0 + a1α +…+ αn = 0,
avec a0 ≠ 0. On déduit :
– a0 = a1α +…+ αn,
– a0 = α(a1 +…+ αn-1),
donc :
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115
 −a

−1
1 = α  1 + … + α n−1 
 a0
a0

1
α
=
−a1
−1
+ … + α n−1 .
a0
a0
L'inverse d'un nombre algébrique non nul α appartient donc à Q[α].
Soit maintenant ξ un élément non nul de Q[α]. Comme Q[α] est une
algèbre, il est clair que Q[ξ] est contenu dans Q[α], donc est de dimension
finie. On voit que ξ est également un nombre algébrique, donc son inverse
est un élément de Q[ξ], donc un élément de Q[α].
Réciproquement, supposons que α est un complexe non nul et Q[α] un
corps. En particulier, l'inverse de α est un élément de Q[α], il existe donc
des rationnels a0,…, ak tels que :
1
= a0 + … + akα k ,
α
d'où :
0 = −1+ a0 α + … + akα k +1 .
Le nombre α est bien algébrique.
exercice 16-C
1) On voit ainsi facilement que :
Q[i] = Q[– i], Q[2 3 ] = Q[ 3 ], Q[1 + 2 ] = Q[ 2 ].
D'une façon générale, si α est racine du polynôme :
aX2 + bX + c,
alors α est l'un des deux complexes :
−b + b 2 − 4ac −b + b 2 − 4ac
,
2a
2a
donc Q[α] = Q[ b − 4ac ].
2
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116
NB. ici, par abus, b − 4ac désigne l'un des deux nombres complexes
dont le carré est b2 – 4ac.
u
Si on écrit b2 – 4ac sous forme d'une fraction irréductible, soit , on
v
obtient :
2
Q [ b − 4ac ] = Q[ uv ],
et si uv a un facteur carré dans sa décomposition en produit de facteurs
premiers, soit p2, alors uv = p2d :
Q[ uv ] = Q[ d ],
d'où le résultat demandé.
2) Un élément entier est donc solution d'une équation :
Xk + bk-1Xk-1 +…+ b0 = 0.
Le nombre u est racine du polynôme X2 + sX + p, donc :
2
(a + b d )
2
+ s(a + b d ) + p = 0
a + b d + sa + p = 0,
2ab + sb = 0,
car 1 et d sont indépendant sur Q.
On voit que les mêmes égalités restent vraies en remplaçant d par – d
.
La somme et le produit de deux éléments entiers sont des éléments entiers,
donc :
2a et a2 – db2 sont entiers sur Z.
Comme on l'a vu plus haut (exercice 14-1), le dénominateur d'une racine
rationnelle d'un polynôme à coefficients entiers divise le coefficient
dominant, qui est ici 1, donc un rationnel entier sur Z est un élément de Z
(on dit que Z est intégralement clos). On conclut :
2a et a2 – db2 sont des entiers.
Réciproquement, il est clair que u est racine de :
2
2
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117
X2 – 2aX + a2 – db2
donc d'un polynôme unitaire à coefficients entiers. Ce nombre u est bien
entier sur Z.
Soit N = a2 – db2, qui est un entier. On écrit :
4N = (2a)2 – d(2b)2
donc :
d(2b)2 est un entier.
Soit Q le dénominateur de 2b, mis sous forme de fraction irréductible à
dénominateur positif. Comme d(2b)2 est un entier, on voit que Q2 divise
d, or d est sans facteur carré, donc Q = 1.
On a l'égalité :
4N = a'2 – db'2,
donc a'2 – db'2 est bien divisible par 4.
Si b' est impair, il existe un nombre p tel que b' = 2p + 1, donc :
b'2 – 1 = 4p2 + 4p,
donc :
a'2 = db'2 + 4N
= d + d(4p2 + 4p) + 4N.
Un carré d'entier est de la forme 4k ou 4k + 1 ( ), dans le premier cas, d
serait multiple de 4, ce qui est faux, donc a'2 – 1 est multiple de 4, donc d –
1 est multiple de 4 si b' est impair.
Si b' est pair, b est entier, donc a2 = N + db2 est entier, et, a étant rationnel,
a est également entier.
Conclusion :
Si d = 2 + 4k ou 3 + 4k, a et b sont entiers, donc A = Z[ d ].
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118
Si d = 1 + 4k, a et b sont des entiers ou des fractions de dénominateur 2,
p q

donc A = Z +
d .
2 2

On ne peut pas avoir d = 4k puisque d n'a pas de facteur carré.
3) Si on pose :
x = a + b d, x' = a' +b' d,
alors le produit xx' est :
xx' = (a + b d )(a' +b' d ),
= aa' +bb' d + (a' b + ab' ) d.
On déduit :
N (xx' ) = ( aa' +bb' d ) − (a' b + ab' ) d
2
2
= a2 a' 2 +b2 b' 2 d 2 − a' 2 b 2 d − a 2 b' 2 d.
On vérifie alors l'égalité N(xx') = N(x)N(x').
(QC-1) Interpréter N(x) comme le déterminant de l'application Q-linéaire
de K dans K, qui associe à y le produit xy. Déduire l'égalité ci-dessus.
Pour d = –5, on est dans le cas où d est de la forme 3 + 4k (k = –2), donc
l'anneau des entiers est Z[i 5 ] d'après ce qui a été vu plus haut.
Un élément inversible a une norme inversible, puisque la norme de 1 est
1.
Il faut donc rechercher les entiers a et b tels que :
a2 + 5b2 = 1.
Il n'y a pas d'autres solutions que b = 0 et a = 1 ou –1. Les éléments
inversibles de l'anneau des entiers sont 1 et –1.
Si p est divisible par r, il existe s tel que p = rs, donc :
N(p) = N(r)N(s)
1 + 5 = N(r)N(s).
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119
Si r n'est pas inversible, N(r) est 2 ou 3.
Posons :
r = a + bi 5,
N(r) = a2 + 5b2.
L'équation :
a2 + 5b2 = 2
n'a pas de racine puisqu'elle impose b = 0 (sinon a2 + 5b2 ≥ 5), et qu'il
n'existe pas d'entier de carré 2.
On raisonne de même pour 3. On conclut que r n'existe pas.
Les nombres p et q sont donc irréductibles.
L'égalité pq = 6 a été vérifiée plus haut (c'est N(p)).
Le nombre irréductible p divise le produit 2 × 3, donc divise 2 ou 3 si
l'anneau des entiers Z[i 5 ] est principal.
Dans le premier cas, N(p) divise N(2), c'est-à-dire 6 divise 4, dans le
second cas, N(p) divise N(3), soit 6 divise 9. Ces deux affirmations étant
fausses, on voit que p ne divise ni 2, ni 3, donc Z[i 5 ] n'est pas principal.
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volume 7
120
3-3 Corrigés des questions complémentaires
exercice 1-QC
Examinons un cas :
a = 12, b = 18, (a, b) = 6
= 144, b = 18, (a2, b) = 18.
On voit que le PGCD de a2 et b n'est pas toujours une puissance du PGCD
de a et b. Bien entendu, cela peut arriver :
(30, 36) = 6, (900, 36) = 36.
a2
exercice 3-QC
1) Le triplet (3, 4, 5) correspond à m = 2, n = 1.
2) Si n = 2, et m impair, m = 2p + 1, on obtient :
a = 4p2 + 4p + 1 – 4, b = 8p + 4, c = 4p2 + 4p + 1 + 4.
Si p = 1 :
a = 5, b = 12, c = 13,
si p = 2 :
a = 21, b = 20, c = 29,
si p = 3 :
a = 45, b = 28, c = 53.
3) Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien de nombres rationnels.
On suppose que les formes irréductibles de a, b, c sont :
p
r
t
a= , b = , c= .
q
s
u
De l'égalité :
a 2 + b 2 = c 2,
on déduit :
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121
2
 p   r  2  t  2
+
=
,
 u
 q   s
(psu)2 + (rqu)2 = (tsq)2 .
Le triplet d'entiers (psu, rqu, tsq) est un triplet pythagoricien.
exercice 4-QC
Il faut examiner les solutions entières non triviales de l'équation :
x4p + y4p = z4p.
Si (a, b, c) est une telle solution, alors (ap, bp, cp) est une solution entière
non triviale de :
x4 + y4 = z4.
L'équation de Fermat avec exposants multiples de 4 n'a pas de solution non
triviale.
exercice 5-QC
On peut soit essayer de démontrer que φ(p) + 1 est premier, par un
raisonnement général, soit qu'il n'est pas toujours premier, à l'aide d'un
contre-exemple, soit enfin qu'il est dans certains cas premier et dans
d'autres cas non premier, à l'aide d'exemples.
Il est indiqué de faire quelques calculs pour avoir une première idée sur la
réponse :
p = 3, φ(p) + 1 = 7, nombre premier,
p = 5, φ(p) + 1 = 31, nombre premier,
p = 7, φ(p) + 1 = 211, nombre premier,
p = 11, φ(p) + 1 = 2311, nombre premier,
p = 13, φ(p) + 1 = 30031 = 59 × 509, non premier.
On voit que les quatre premiers essais auraient incité à chercher une preuve
de l'affirmation "φ(p) + 1 est un nombre premier".
Daniel ALIBERT
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122
exercice 7-QC
Si p est un nombre premier, a est étranger à p si et seulement si p ne divise
pas a. Si p est une puissance d'un nombre premier q, p et a sont étrangers
si et seulement si q ne divise pas a.
Dans ce cas, a est inversible modulo p.
exercice 8-QC
Rappelons la formule obtenue :
a = p1n1…prnr,
ϕ(a) = (p1 – 1)p1n1-1…(pr – 1)prnr-1
d'où :
ϕ (a)
a
=
p1 − 1 p2 − 1
p −1
.
.…. r
p1
p2
pr
=

1
1−  .
pi 
pi facteur 
∏
premier
de a
exercice 11-QC
Reprenons les équations :
a + b + c = 0

abc = 1
a 2 + b 2 + c 2 = 1
Daniel ALIBERT
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123
d'où par substitution :
a = −b − c
−b c − bc 2 = 1
2
2b + 2c + 2bc = 1
2
2
2b2 c + 2c 3 + 2bc 2 = c
−2 + 2c3 = c
on retrouve l'équation obtenue directement.
exercice 12-QC
1) On reconnait un algorithme voisin de celui d'Euclide pour le calcul du
PGCD. Le dernier terme de la suite est proportionnel au PGCD de P et P',
il n'est pas nécessairement constant. Ses racines sont les racines multiples
de P, s'il en existe.
D'après l'hypothèse, il n'y a pas de racine réelle multiple, donc le dernier
terme de la suite est un polynôme sans racine réelle.
2) Le polynôme R(X) à étudier est :
0,6X6 + 0,28X5 + 0,23X4 + 0,112X3 + 0,02X2 + 0,0112X – 0,0004.
Formons la suite de polynômes Aj (calcul par Maple).
On voit que le dernier terme est, ici, un polynôme du second degré sans
racine, donc il n'y a pas de racine réelle multiple.
Pour x > 1, on voit que R(x) > 0, de même si x < – 1. On calcule les
changements de signe entre – 1 et 1, de 0,5 en 0,5 :
x
–1
– 0,5
0
0,5
1
a(x)
3
2
2
1
1
On trouve qu'il y a une racine entre 0 et 0,5, et que – 0,5 est racine.
La racine entre 0 et 0,5 peut être trouvée par diverses méthodes, par
exemple par dichotomie, ou par la méthode de Newton : il s'agit de 1/30.
Daniel ALIBERT
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124
exercice 14-QC
Un calcul simple donne :
(1 – X)C(X) = 1 – X5.
Les racines complexes de C(X) sont donc les racines cinquièmes de 1.
La factorisation obtenue précédemment permet de calculer des expressions
π
π
algébriques donnant ces racines, en particulier cos  , et sin  .
 5
 5
exercice 16-QC
Une base de K, comme Q-espace vectoriel, est (1, i 5 ).
Soit x = a + bi 5 , et f l'application linéaire qui à y associe xy.
L'image de 1 est a + bi 5 , et l'image de i 5 est ai 5 + bd, donc la
matrice de cette application linéaire, dans la base (1, i 5 ), est :
 a bd 
.
b a 
Son déterminant est bien a2 – db2, c'est-à-dire N(x). l'égalité :
N(xx') = N(x)N(x'),
correspond au calcul du déterminant d'un produit de matrices.
Daniel ALIBERT
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4
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125
Pour Chercher
4-1 Indications pour les exercices (☺)
Le symbole (M) signifie que Maple peut apporter une aide sur le point
considéré.
exercice 1-I
(M)
1) Diviser chaque entier a et b par leur PGCD.
2) Montrer qu'un diviseur commun à a et b divise n et p. Utiliser la relation
de Bézout pour n et p.
3) Faire des essais pour tenter de deviner la réponse. Effectuer la division
euclidienne de 2n – 1 par 2p – 1, puis, si possible, poursuivre l'algorithme
d'Euclide du PGCD de ces deux nombres.
4) Faire des essais.
Le PGCD de a2 et b est un multiple du PGCD de a et b. Soit p' un facteur
premier du quotient de ces PGCD. Vérifier que p' = p.
exercice 2-I
1) Faire des essais : quels sont les diviseurs d'un produit de deux nombres
étrangers ? (2 et 3, 3 et 5 …). Pour montrer que deux ensembles ont le
même nombre d'éléments, établir qu'il existe une bijection entre les deux.
2) Prendre des exemples : 8, 9, … A quoi fait penser la formule de σ ?
3) Utiliser 1) puis 2)
4) Distinguer n = 2, et n impair. Raisonner par contraposition ( ).
Daniel ALIBERT
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126
exercice 3-I
2) Penser que a et b sont étrangers.
Si a et b sont impairs, calculer a2 + b2, et voir que ce nombre ne peut être
un carré. Pour cela, voir quels sont les restes possibles de la division d'un
carré par 4 ( ).
3) Selon l'hypothèse, traduire le fait que a est impair et b pair.
Pour trouver p et q, supposer qu'ils existent, puis les exprimer en fonction
de a et b. Vérifier que pq est un carré. En raisonnant sur les facteurs
premiers de q (ou de p), en déduire que p et q sont des carrés.
4) Simple substitution.
5) Montrer qu'un diviseur commun à a et c serait un diviseur commun à m
et n.
QC-3) Se ramener au cas des entiers.
exercice 4-I
1) Diviser par le PGCD de (a, b, c), voir que les quotients sont étrangers
deux à deux.
2) Montrer que (n, a, m) est un triplet pythagoricien.
3) On utilise encore la remarque sur un produit de nombres étrangers qui
est un carré : chacun est un carré.
4) On trouve une nouvelle solution, avec t inférieur à c, supposé minimal.
exercice 5-I
1) Remarquer que φ(p) est pair, et qu'un entier de la forme 4k – 1 s'écrit
aussi 4(k – 1) + 3.
Les nombres premiers impairs sont de la forme 4k + 3, ou 4k + 1. Un
produit de nombres de la forme 4k + 1 est encore de cette forme ( ).
Daniel ALIBERT
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127
2) Le nombre 2φ(p) – 1 est de la forme 6k + 5. Un produit de deux nombres
de cette forme est de la forme 6k + 1 (25 = 6 ∞ 4 + 1). Conclure que 2φ(p)
– 1 a un diviseur premier au moins de la forme 6k + 5.
3) Montrer que dans l'ensemble :
{φ(p) + 2, …, φ(p) + p}.
il n'y a pas de nombre premier.
exercice 6-I
1) Condition nécessaire : montrer que le premier membre est un multiple
d'un entier p > 1. Lequel ? Si a est divisible par p, utiliser la formule de
Bézout pour montrer que l'équation a des solutions.
Pour résoudre, trouver une solution particulière, puis déduire la solution
générale (il s'agit d'une équation linéaire).
2) Par soustraction, déduire une condition que y et z doivent vérifier.
Résoudre en (y, z), puis déduire x.
Pour généraliser, bien dégager les conditions nécessaires ou suffisantes.
exercice 7-I
1) C'est un cas particulier d'équation diophantienne. Traiter d'abord
l'exercice 6.
2) Penser au théorème de Bézout.
Un reste de division par p est strictement inférieur à p, et positif.
L'ensemble considéré a donc au plus p – 1 éléments distincts.
Montrer que ar – 1 est divisible par p, 0 ≤ r < ω(a).
3) Les vérifications sont faciles ( ). Compter le nombre d'éléments d'une
classe quelconque : comment se déduisent-ils de l'un d'entre eux ?
Daniel ALIBERT
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128
exercice 8-I
Utiliser l'exercice 7.
1) Un nombre premier est premier avec ceux qui sont inférieur à lui (et
positifs).
2) Voir 7-3.
3) Comme dans l'exercice 2, établir une bijection entre deux ensembles :
associer à un entier le couple formé du reste de la division par m et du reste
de la division par n.
Pour la surjectivité, voir l'exercice 6.
4) Les nombres non premiers avec pn sont les multiples de p. Les compter,
pour obtenir ϕ(pn) par différence.
5) Utiliser 3) et 4).
exercice 9-I
Calculer M11.
1) Poser q = 2p, et utiliser une "identité remarquable".
2) Poser q = rs, et factoriser (Xr)s – 1.
3) Voir exercice 7-2. Si q est premier, et ω un diviseur différent de 1 de q,
alors q = ω.
Penser à un théorème de Fermat.
Chercher les valeurs possibles de p si q = 11, et essayer.
exercice 10-I
1-1) Utiliser Fermat, après avoir vérifié qu'il s'applique.
1-2) Utiliser le fait que les pi sont des nombres premiers distincts.
2) (M)
3) Utiliser l'égalité :
pq – 1 = (q – 1)p + (p – 1).
Penser que q < p.
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129
4) De même :
pqr – 1 = (pr – 1)q + (q – 1).
S'assurer que u ≠ 0, u ≠ 1, et tu ≠ p2, puis procéder par substitution.
Dans le cas d'un nombre pair, s'il existe, p = 2, déduire des conditions sur
u, t, puis les valeurs possibles de q et r. Conclure.
Si p = 3, procéder de même.
exercice 11-I
1) Calculs élémentaires.
3) Utiliser les égalités :
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab,
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + ac + bc)
etc.
4) Déduire des équations les valeurs des fonctions symétriques
élémentaires des inconnues, et écrire les équations polynômiales
correspondantes.
exercice 12-I
(M)
2) Se rappeler qu'un polynôme est une fonction continue, donc ne change
de signe qu'en s'annulant (Théorème des valeurs intermédiaires) ( ).
Distinguer deux cas pour P'(a), et étudier les variations de P au voisinage
de a.
3) Dans l'égalité de la division euclidienne, poser x = α.
4) Voir quand le nombre de changement de signes peut changer.
Distinguer les polynômes Ak (0 < k < m), et A0.
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130
exercice 13-I
(M)
Ce sont de simples calculs.
exercice 14-I
1) Dans tous les cas, se ramener à une égalité dans Z avant d'utiliser les
résultats de divisibilité (Gauss) ( ).
2) Faire un raisonnement par l'absurde. Supposer que U se factorise, et
montrer que tous les coefficients d'un des deux polynômes sont pairs. En
déduire une contradiction.
Voir comment le raisonnement se généralise.
Pour le polynôme :
2X4 + X3 – 3X2 + 3X – 3
chercher les racines entières.
3) Chercher les racines rationnelles, factoriser si possible. Utiliser les
symétries de l'équation restante.
exercice 15-I
1) Il suffit d'appliquer la définition d'un idéal.
2) Si α est algébrique, les puissances de α, αn, pour n assez grand, sont
des combinaisons linéaires des puissances inférieures. Conclure que Q[α]
a une famille génératrice finie.
Examiner soigneusement ce raisonnement pour voir la relation avec le
polynôme minimal.
Pour montrer que la somme, ou le produit, de deux nombres algébriques
est un nombre algébrique, utiliser un argument d'algèbre linéaire :
Q[α + β] et Q[αβ] sont de dimension finie.
Pour montrer que Q[α] est un corps, montrer d'abord que α est inversible,
puis que tout nombre algébrique non nul est inversible.
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exercice 16-I
1) Par exemple, comparer Q[i] et Q[– i].
Généraliser : Q[a + bξ] = Q[ξ] si a et b sont rationnels.
2) La somme et le produit de deux éléments entiers est un élément entier,
d'après la propriété admise dans l'énoncé.
Utiliser 14-1 pour montrer qu'un rationnel entier sur Z est un élément de Z
(c'est-à-dire un rationnel dont le dénominateur est 1).
Montrer que d(2b)2 est un entier. Déduire que 2b est entier, sachant que d
est sans facteur carré.
Quelle est le reste de la division d'un carré par 4 ( ) ?
3) Faire le calcul.
Voir dans quel cas, examiné plus haut, on se trouve pour d = – 5.
Remarquer qu'un élément inversible a pour norme un entier inversible, et
que si un nombre en divise un autre, la norme du premier divise la norme
du second (dans Z).
Se rappeler que dans un anneau principal, si un élément irréductible divise
un produit, il divise au moins un des facteurs.
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133
4-2 Méthodes ( )
Vous trouverez d'abord une liste de méthodes de résolution des
types de questions présentées dans ce volume ; par commodité, on
a précisé ensuite à propos de chaque exercice où une méthode a été
indiquée par ( ) le (ou les) numéro de la méthode concernée.
S'agissant d'un discours sur les mathématiques, et non d'un discours
mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les abus de langage
usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche
d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les étudiants.
1-
Démontrer qu'une application est bijective. En général, il faut
montrer que l'application est injective ( ) et surjective ( ). Dans
certains cas, on peut montrer directement qu'elle a une application
réciproque ( ).
2-
Démontrer qu'une application est injective. En général, montrer
que si f(x) = f(y), alors x = y. dans le cas des applications linéaires,
il suffit de montrer que si f(x) = 0, alors x = 0.
3-
Démontrer qu'une application est surjective. Prendre un élément
quelconque de l'espace d'arrivée, et montrer qu'il a un antécédent. Il
est équivalent de montrer que l'équation f(x) = y a une solution, au
moins, quel que soit y.
4-
Raisonner par contraposition. Pour démontrer qu'une hypothèse
A implique une conclusion B, il est équivalent de démontrer que si
B est faux alors A est faux (ne pas confondre avec le raisonnement
par l'absurde).
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134
5-
Chercher si une application réelle s'annule. Si l'application est
continue, on pourra chercher si elle change de signe (condition
suffisante).
6-
Etudier le signe d'une fonction à valeurs réelles. Si la fonction est
continue sur un intervalle, elle ne change de signe que si elle
s'annule entre-temps.
7-
Utiliser les raisonnements de divisibilité. Si le problème est posé
dans Q, il est indispensable de le ramener à un problème dans Z
avant d'appliquer les résultats sur la divisibilité (Théorème de Gauss
par exemple). Il suffira souvent de multiplier l'équation considérée
par un dénominateur commun.
8-
Transformer une hypothèse pour pouvoir faire un calcul. Bien
des problèmes d'arithmétique comportent une hypothèse comme
"soit un nombre impair", ou "supposons que p est un nombre
premier impair", ou encore "supposons que c est un carré". Il est
alors utile de traduire l'hypothèse pour soumettre les nombres
considérés à un calcul. Pour cela on a très souvent recours à une
forme "générale" du ou des nombres considérés, formule rendant
compte de l'hypothèse. Ainsi :
Un entier impair : Il s'écrit 2k + 1 (sous-entendu, k est entier).
Un nombre premier impair : Il s'écrit 2k + 1 ou 2k + 3.
Un carré (d'entier) : Il s'écrit 4k + 1 ou 4k.
Un nombre premier supérieur à 5 : Il s'écrit soit 6k + 1, soit 6k +
5.
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135
9-
Arithmétique des entiers : utiliser certaines stabilités. Ainsi, on
peut remarquer que le produit de nombres de la forme 2k + 1 est
encore de cette forme. La même remarque s'applique aux nombres
de la forme 4k + 1, et à bien d'autres évidemment. Un autre cas
souvent utilisé : si a est un entier de la forme 1 + kN, alors toute
puissance de a est encore de la forme 1 + KN. Ces remarques sont
plus naturelles, et évidentes, si on utilise la notion d'anneau quotient,
ce que nous n'avons pas fait dans ce livre.
10-
Utiliser le caractère discret de Z . Dans Z, une inégalité stricte
peut être remplacée par une inégalité large (et inversement, bien
entendu) ainsi :
u > 1 et u ≥ 2.
Dans Z, un encadrement sélectionne un nombre fini de cas. De
nombreux raisonnements permettent d'obtenir un encadrement d'un
nombre cherché, ce qui permet de se ramener à l'étude de quelques
exemples particuliers. Un encadrement peut même être équivalent à
une égalité :
2 < t < 4 équivaut à t = 3.
Dans Z, seuls 1 et – 1 sont inversibles, ainsi, si p et q sont positifs,
et pq = 1, alors p = q = 1.
11-
Trouver des coefficients de la formule de Bézout.
On utilise
l'algorithme d' Euclide permettant de calculer le PGCD. Partant de
la dernière égalité, celle où apparaît le PGCD, on substitue de
proche en proche les restes en les remplaçant par la combinaison
(dividende – quotient × diviseur).
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volume 7
136
12-
Etablir l'égalité de deux nombres entiers. Lorsqu'il s'agit des
nombres d'éléments de deux ensembles, on peut montrer qu'il existe
une application bijective entre ces deux ensembles. Si c'est le cas, il
ont le même nombre d'éléments.
13-
Utiliser la décomposition en produit de facteurs irréductibles
(ou premiers). En considérant la représentation d'un entier ou d'un
polynôme comme produit de facteurs premiers (ou irréductibles) on
se ramène dans certains cas à résoudre une question dans le cas
particulier d'un élément premier (ou irréductible).
14
Raisonner modulo un entier. Certains calculs se simplifient
lorsqu'on raisonne modulo un entier, soit p. cela signifie qu'on ne
s'intéresse qu'aux restes de la division par p. Dans ce cas, tout entier
s'écrira sous la forme a + kp (0 ≤ a < p), et on fera les calculs sans
s'attacher à préciser les termes "k" intervenant dans les différents
entiers (cela revient à calculer dans l'anneau quotient). On peut, de
la même façon, calculer modulo un polynôme.
15-
Utiliser la notion d'idéal. Lorsqu'on doit montrer qu'un nombre
particulier, ou que tout nombre ayant une certaine propriété est
multiple d'un même entier, on peut essayer de montrer que ce
nombre, ou tous ces nombres, appartient à un idéal, puis que l'entier
particulier appartient au même idéal, enfin que ce nombre
particulier est le générateur de l'idéal.
16-
Utiliser une relation d'équivalence. Une relation d'équivalence sur
un ensemble permet de décomposer cet ensemble en parties
rassemblant les éléments "équivalents", c'est-à-dire se ressemblant
pour un critère particulier (celui qui détermine la relation
d'équivalence). Ainsi, si le critère est le reste dans la division par 3,
les nombres 5 et 8 se ressemblent, ils sont équivalents. Cette notion
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volume 7
137
conduit à celle, très importante, d'ensemble quotient. Elle est sousjacente aux calculs modulo un élément. On utilise également dans
certains cas une relation d'équivalence pour obtenir des résultats
concernant le nombre d'éléments de certains ensembles finis (le
nombre total d'éléments est la somme des nombres d'éléments des
différentes parties - appelées classes d'équivalence).
Les méthodes dans les exercices :
ex. 2 : 1, 2, 3, 12
ex. 6 : 11
ex. 9 : 15
ex. 13 : 11
ex. 3 : 8, 9
ex. 7 : 14, 16
ex. 10 : 10
ex. 14 : 7
ex. 5 : 8, 9
ex. 8 : 1, 2, 3, 12
ex. 12 : 5, 6
ex. 16 : 8, 9
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4-3 Lexique (
volume 7
138
)
A
Anneau : ensemble muni de deux lois internes (+,×). Pour +, A est un
groupe commutatif. L'opération ∞ est associative, distributive sur +,
admet un élément neutre.
Application bijective : application pour laquelle il existe une application
réciproque ( ).
Application injective : application pour laquelle deux éléments distincts
ont des images distinctes.
Application réciproque : si f est une application, une application g est la
réciproque de f si les applications composées f o g et g o f sont toutes
deux égales à l'application identique.
Application surjective : application pour laquelle tout élément de l'espace
d'arrivée a au moins un antécédent.
B
Bézout : la formule de Bézout permet de caractériser des entiers (ou des
polynômes) étrangers. Deux nombres entiers (a et b) sont étrangers
si et seulement si il existe des entiers u et v tels que :
au + bv = 1.
C
Classe d'équivalence : ensemble des éléments équivalents, pour une
relation d'équivalence, à un élément donné.
Contraposée : la contraposée d'une implication A ⇒ B est l'implication
non(B) ⇒ non(A). La contraposée est équivalente à l'énoncé direct.
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volume 7
139
D
Diviseur : a divise b s'il existe c tel que b = ac.
Diviseur de 0 : a est un diviseur de 0, si a ≠ 0, et s'il existe b ≠ 0, tel que
ab = 0.
E
Etrangers : des entiers (ou des polynômes) sont étrangers si leur PGCD
vaut 1.
F
Facteur premier : si a est un entier, on dit que p est un facteur premier de
a si p est premier et si p divise a..
I
Inversible : dans un anneau A, a est inversible s'il existe b tel que :
a × b = 1.
R
Relation d'équivalence : relation sur un ensemble (x R y), réflexive (x R
x pour tout x), symétrique (si x R y, alors y R x), et transitive (si x R
y et y R z alors y R z). Si x R y, x et y sont ditx équivalents.
Relation d'ordre : relation sur un ensemble (x R y), réflexive (x R x pour
tout x), antisymétrique (si x R y, et y R x, alors x = y), et transitive
(si x R y et y R z alors y R z).
S
Suite géométrique : suite définie par la donnée du premier terme, u, et
d'un réel a. Le terme de rang n vaut uan.