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Hyperbole TS 2012 Page 224 n°133 - Déduire une intégrale de deux autres
Corrigé
1)
ex
a) f(x)  ----------- . f est dérivable sur [0 ; 1 ] et
2x
 1  e x    2  x   e x    1   ex   2 + x + 1   ex  x  1  .
f (x)  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2  x2
 2  x 2
 2  x 2
Pour tout X on a e X  0 ; et pour tout x  2 on a  2  x  2  0 ; f (x) est donc du signe de x  1 c’est dire
négatif sur [0 ; 1 [ . f est donc strictement décroissante sur [0 ; 1 ]
b) Comme f strictement décroissante sur [0 ; 1 ] , pour tout réel x tel que 0  x  1 on a f(0)  f(x)  f(1) .
e  0-  1--- et f(1)  ----------e  1-  e  1  1--- ; on a donc bien 1---  f(x)  1--- pour tout x  [0 ; 1 ] .
Or f(0)  ----------e
2
20
2
21
e
2)
a) G(x)   ax + b e  x ; G est dérivable sur R et
G(x)  a  e  x +  ax + b     1  e  x   e  x   a  ax  b    a  b  ax e  x .
G est une primitive de x   2 + x e  x si et seulement si G(x)   2 + x e  x c’est à dire
 a  b  ax e  x   2 + x e  x .
Pour avoir cela il suffit que a  b  2 et  a  1 c’est à dire a   1 et b  a  2   3 .
J 
1
0  2 + x e
 x dx
4
4
    x  3 e  x  1 0    1  3 e  1    0  3 e  0  ------ + 3  3  --e
e
1
1
b) Pour tout réel x tel que 0  x  1 on a ---  f(x)  --- . Comme x 2  0 on a donc 1--- x 2  x 2 f(x)  1--- x 2
e
2
e
2
Comme 0  1 on sait alors que
1
11
--- x 2 dx  x 2 f(x) dx  --- x 2 dx .
0e
0
02


11
1 1
1 x3 1
1 1
1
1 1
1
--- x 2 dx  --- x 2 dx  --- ---- ---  ---  ------ ; de même --- x 2 dx  ---  ---  --- .
e
e
e
3
e
3
3e
2
2
3
6
0
0
0
0
1
1
On obtient bien ------  K  --- .
3e
6
Or

11

11
c) J + K 

1
0
 2 + x e  x dx +

1
0
x 2 f (x ) d x 
1
0   2 + x e
x
+ x 2 f (x )  d x
ex
 2 + x   2  x e  x + x 2 e  x
e x  2 2  x 2 + x 2 
e x
or  2 + x e  x + x 2 f(x)   2 + x e  x + x 2 -----------  --------------------------------------------------------------  ------------------------------------------  4  ----------2x
2x
2x
2x
e  x dx  4 1 ----------e  x dx  4I
4  ----------2x
0
02  x
J+K
d) J + K  4I d’où I  ------------- .
4
D’où J + K 
1


1
1
J+K 1
1
1
1
1
1
------  K  --- d’où J + -----  J + K  J + --- et ---  J + ------  -------------  ---  J + ---
3e
6
4
3e
6
4
3e
4
6
J+K
4
1
4 1
J  3  --- d’où ---  3  --- + ------  ------------- 


4
e
4
e 3e
1
4 1
--- 3  --- + ---

4
e 6
1
19
On a donc 1---  3  4--- + ------  I  1---  ------  4--- . Or



4
e 3e
4 6 e
0,42 est une valeur approchée à 10  2 près de I .
1
1  3  4 + -----  0,413
--- 
--4
e 3e
19
et 1---  ------  4---  0,424 .

4 6 e
Corrigé
1)
Distance d’un point à une droite (Hyperbole TS 2012 n°100 page 341)
a) BO  BC   BH + HO   BC  BH  BC + HO  BC
H étant le projeté orthogonal de O sur  BC  , on a  OH    BC  d’où HO  BC  0 .
D’où BO  BC  BH  BC   tBC   BC  t  BC  BC   t BC
2
 BC
BO  BC
b) On en déduit t  BO
--------------------  -------------------- .
2
BC 2
BC
 0   2   2
  4    2   2


B   2 ;  6 ; 5  et C   4 ; 0 ;  3  d’où BO  0    6   6 et BC  0    6   6


 0  5  5
   3   5  8
BO  BC  2    2  + 6  6 +   5     8    4 + 36 + 40  72
BC 2    2  2 + 6 2 +  8  2  4 + 36 + 64  104
BO  BC
72
9
t  --------------------  ---------  -----2
104
13
BC
c) l  OH ; déterminons les coordonnées de H :
9
 x    2   -----   2 
 H
13

 13x H + 26   18


9
24
7
BH  tBC d’où  y H    6   ------  6 d’où  13y h + 78  54 et H   44
------ ;  ------ ;  ------ .

13
13 13 13


13z H  65   72


9   8 
 z H  5  ----
13
l  OH 
2)
2
24 2
7 2
  44
------ +   ------ +   ------ 
 13
 13
 13
44 2 + 24 2 + 7 2
------------------------------------ 
13 2
197
---------  3,89
13
x  xB + k  x
BC

 x   2  2k
y  y + k  y

a) Une représentation paramétrique de  BC  est 
; k  R soit  y   6 + 6k ; k  R .
B
BC


 z  zB + k  z
 z  5  8k

BC
On retrouve les expression de la ligne 2 en fonction du paramètre k .
b) Avec M   2  2k ;  6 + 6k ; 5  8k  point de  BC  correspondant à la valeur k on a
OM    2  2k  2 +   6 + 6k  2 +  5  8k  2 
 104k 2  144k + 65
(résultat de la ligne 4)
4 + 8k + 4k 2 + 36  72k + 36k 2 + 25  80k + 64k 2
La fonction x  x étant strictement croissante sur [0 ;  [ , la fonction k 
104k 2  144k + 65 possède
les même variations que la fonction k  104k 2  144k + 65 . Cette dernière fonction est un polynôme du
second degré del a forme ak 2 + bk + c . Comme le coefficient de k 2 est positif, il y a un minimum atteint en
b
   144 
9
------  --------------------  ------ .
2a
2  104
13
La distance l est la valeur minimale de OM , c’est à dire
9 2
9
104  ------  144  ------ + 65 
 13
 13
197
--------- .
13
Remarque : la distance entre un point O et un ensemble E de points est définie comme étant la plus courte distance entre le
point O et un point M de E . Si E est une droite, cet exercice montre que cette distance est la distance entre O et H où H
est le projeté orthogonal de O sur la droite.