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Corrigé Hyperbole TS 2012 Page 224 n°133 - Déduire une intégrale de deux autres
1) a) . est dérivable sur et
.
Pour tout on a ; et pour tout on a ; est donc du signe de c’est dire
négatif sur . est donc strictement décroissante sur
b) Comme strictement décroissante sur , pour tout réel tel que on a .
Or et ; on a donc bien pour tout .
2) a) ; est dérivable sur et
.
est une primitive de si et seulement si c’est à dire
.
Pour avoir cela il suffit que et c’est à dire et .
b) Pour tout réel tel que on a . Comme on a donc
Comme on sait alors que .
Or ; de même .
On obtient bien .
c)
or
D’où
d) d’où .
d’où et
d’où
On a donc . Or et .
est une valeur approchée à près de .
f x
( ) e
x
2x
-----------
f
0 1;[ ]
f
x( ) 1e
x
  2x  e
x
1 
2x 2
-------------------------------------------------------------------------------- e
x
2x1+ + 
2x 2
--------------------------------------- e
x
x1 
2x 2
-------------------------
X
e
X
0
x
2
2x 
2
0
f
x
( )
x
1
0 1;[ [
f
0 1;[ ]
f
0 1;[ ]
x
0
x
1
f
0
( )
f x
( )
f
1
( )
f
0( ) e
0
2 0
------------ 1
2
--- 
f
1( ) e
1
2 1
------------ e11
e
---  
1
e
--- f x( )
1
2
---
  x0 1;[ ]
G x( ) ax b+ e
x
G
R
Gx( ) a e
x
ax b+  1e
x
 +e
x
a axb  a bax e
x
G
x2x+ e
x
 Gx( ) 2 x+ e
x
a bax e
x
2x+ e
x
a b
2
a
1
a
1
b a
2
3
J2x+ exxd
0
1
x3 ex
 1013 e103 e0 4
e
------ 3+ 3 4
e
---    
x
0
x
1
1
e
--- f x( )
1
2
---
  x20
1
e
---x2x2f x( )
1
2
---x2
0 1
1
e
---x2xd
0
1
x2f x( ) xd
0
1
1
2
---x2xd
0
1
1
e
---x2xd
0
1
1
e
--- x2xd
0
1
1
e
--- x3
3
-----
0
1
1
e
--- 1
3
---1
3e
------    1
2
---x2xd
0
1
1
2
--- 1
3
---1
6
--- 
1
3e
------ K
1
6
---
J K+ 2 x+ exxd
0
1
x2f x( ) xd
0
1
+ 2 x+ exx2f x( )+  xd
0
1
2x+ exx2f x( )+ 2 x+ exx2e
x
2x
-----------+ 2x+  2x e
x
x
2
e
x
+
2x
-------------------------------------------------------------- e
x
2
2
x
2
x
2
+ 
2x
------------------------------------------ 4 e
x
2x
-----------   
J K+ 4 ex
2x
-----------xd
0
1
4ex
2x
----------- xd
0
1
4I  
J K
+
4
I
I
J K
+
4
-------------
1
3e
------ K
1
6
---
  J
1
3e
------+ J K+J
1
6
---+  1
4
--- J1
3e
------+
  J K+
4
------------- 1
4
--- J1
6
---+
J3
4
e
--- 1
4
--- 3 4
e
---1
3e
------+
  J K+
4
------------- 1
4
--- 3 4
e
---1
6
---+
1
4
--- 34
e
---
1
3e
------+
  I1
4
--- 19
6
------ 4
e
---
  1
4
--- 34
e
---
1
3e
------+
  0,4131
4
--- 19
6
------ 4
e
---
  0,424
0,42
10
2
I

Corrigé Distance d’un point à une droite (Hyperbole TS 2012 n°100 page 341)
1) a)
étant le projeté orthogonal de sur , on a d’où .
D’où
b) On en déduit .
et d’où et
c) ; déterminons les coordonnées de :
d’où d’où et .
2) a) Une représentation paramétrique de est soit .
On retrouve les expression de la ligne 2 en fonction du paramètre .
b) Avec point de correspondant à la valeur on a
(résultat de la ligne 4)
La fonction étant strictement croissante sur , la fonction possède
les même variations que la fonction . Cette dernière fonction est un polynôme du
second degré del a forme . Comme le coefficient de est positif, il y a un minimum atteint en
.
La distance est la valeur minimale de , c’est à dire .
Remarque : la distance entre un point et un ensemble de points est définie comme étant la plus courte distance entre le
point et un point de . Si est une droite, cet exercice montre que cette distance est la distance entre et où
est le projeté orthogonal de sur la droite.
BO BCBH HO+  BCBH BCHO BC+ 
H
O
BC
OH
BC
HO BC0
BO BCBH BCtBC  BCt BC BC  t BC
2
tBO BC
BC 2
-------------------- BO BC
BC2
--------------------
B2 6 5; ; C4 0 3 ; ; BO
0 2  2
0 6  6
0 55
BC
4  2  2
0 6  6
3  58
BO BC2 2  6 65  8 + + 436 40+ + 72  
BC
2
2 
2
6
2
8 
2
+ + 4 36 64+ + 104  
tBO BC
BC2
-------------------- 72
104
--------- 9
13
------  
l OH
H
BH tBC
xH2  9
13
------ 2 
yH6  9
13
------ 6
zH59
13
------ 8 
13xH26+ 18
13yh78+ 54
13zH6572
H44
13
------
24
13
------
7
13
------
; ;
l OH 44
13
------
  224
13
------
  27
13
------
  2
+ + 44224272
+ +
132
------------------------------------ 197
13
--------- 3,89   
BC
x xBk x
BC
+
y yBk y
BC
+
z zBk z
BC
+
kR;
x22k
y66k+
z5 8k
kR;
k
M2 2k 6 6k+ 5 8k ; ;
BC
k
OM 22k 266k+ 25 8k 2 + + 4 8k4k236 72k36k225 80k64k2 + + + + + +
104k2144k65+
x x 0;[ [ k104k2144k65+
k104k2144k65+
ak2bk c+ + k2
b
2a
------
144
2 104
--------------------
9
13
------ 
l
OM
104 9
13
------
  2144 9
13
------ 65+ 197
13
---------
O
E
O
M
E
E
O
H
H
O