diffusion de particules - Physique PSI Moreggia Sylvain

Exercices – Ecoulement parfait : Bernoulli
Exercice 1 : Jauge de Venturi
Une jauge de Venturi est constituée d’un tube de section circulaire, de
surface SA (diamètre d A) qui présente un rétrécissement de section SB
(diàmètre dB). On mesure à l’aide d’un tube en U contenant du mercure la
différence de pression entre A et B. La dénivellation du mercure est h’’.
Déterminer la vitesse de l’eau en A et le débit à travers la jauge. On
assimilera l’eau a un fluide parfait et incompressible en écoulement
stationnaire.
Données : h’’ = 35,0 cm ; dA = 30,0 cm ; dB = 15,0 cm ; µ(Hg) = 13 600
kg.m-3 ; g = 9,81 m.s-2.
Exercice 2 : Débimètre
Dans une rivière, le champ de vitesse est horizontal, supposé uniforme près de la surface
, et l’eau
est assimilée à un fluide parfait. On y plonge un tube coudé de section uniforme S, qui descend à la
profondeur et qui dépasse la surface libre de la rivière d’une hauteur . L’axe ascendant a pour origine
la surface libre de la rivière.
1. Faire un schéma. Dans un premier temps, on suppose que l’eau monte dans le tube jusqu’à la hauteur
au-dessus de la surface de la rivière. Etablir la relation entre et .
2. A partir de quelle vitesse critique
d’écoulement de la rivière un jet d’eau peut-il se former au-dessus
du tube ? Jusqu’à quelle hauteur (au-dessus de la rivière) ce jet monte-t-il ?
3. En supposant que le jet d’eau est vertical à sa base, et que les lignes de courant sont toutes parallèles,
quelle est la vitesse de l’eau à la sortie du tube ? Quelle est alors la vitesse de l’eau dans le tube ?
Exercice 3 : Analyse d’une expérience avec le canal hydrodynamique
De l’eau s’écoule dans le canal de section rectangulaire
constante, disponible en TP. A l’entrée du canal, la hauteur d’eau
est
. A la sortie, la hauteur d’eau est
.
A l’entrée, la vitesse est de l’ordre de quelques
.
La surface libre de l’eau est au contact de l’air ambiant, à
pression atmosphérique.
z
h0
h1
Montrer que la baisse du niveau de l’eau dans le canal traduit une perte de charge, dont on estimera l’ordre
de grandeur en
, puis en mètres.
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Exercice 4 : Micro-centrale hydraulique (MPonts PSI 2006)
La centrale est alimentée par une conduite d’eau cylindrique de diamètre constant D , dite
conduite forcée, issue du barrage (Fig. 1). La capacité de ce barrage est suffisamment importante pour que l’on considère l’eau qu’il contient comme immobile. L’extrémité aval de la
conduite, notée A, est reliée à une tubulure de section décroissante, appelée injecteur.
L’axe vertical repérant l’altitude z est orienté vers le haut. L’altitude du point A est, par
convention, nulle ; on note H la dénivellation entre la surface libre de l’eau et l’axe de
l’injecteur et h la différence de niveau entre l’entrée de la conduite et la sortie, en A (la
différence de niveau entre la surface libre et l’entrée de la conduite est donc h  H  h ). L’eau
est considérée comme un fluide parfait, incompressible et de masse volumique  ; elle sort de
l’injecteur à l’air libre, sous la pression atmosphérique P0 , supposée indépendante de l’altitude.
Le jet est cylindrique d’axe horizontal et de section circulaire de diamètre D dans la conduite
puis d dans l’injecteur. Ce jet frappe la turbine et l’anime d’un mouvement de rotation. On
considère les écoulements comme permanents et irrotationnels. On néglige tout frottement.
On néglige les variations avec l’altitude de l’accélération de la pesanteur g .
Fig. 1 - Retenue et conduite forcée pour installation hydroélectrique.
L’injecteur, en A, est schématisé dans le rectangle en pointillés.
Données : P0  105 Pa , g  10 m.s2 , D  60 cm , H  300 m et   103 kg.m3 .
I – Conduite forcée
1 – Dans cette question — et dans cette question seulement — on suppose que l’extrémité aval
de la conduite n’est pas reliée à l’injecteur ; l’eau sort à l’air libre au
point A. En justifiant l’utilisation de la relation de Bernoulli entre
le point A et un point quelconque de la canalisation et en
considérant la conservation du débit, exprimer la pression P1  z  à
l’intérieur de la conduite sous la forme

P
z
P1  z   P0  1   , avec z0  0 .
z0 
g

Calculer z0 .
La pression de vapeur saturante de l’eau à la température
ambiante est Psat  3  103 Pa .
Montrer qu’au-delà d’une certaine altitude, à préciser, ce modèle de pression n’est plus applicable. Le phénomène qui intervient alors (cavitation) engendre toutes sortes de perturbation
(attaque des matériaux, bruits …).
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 2 – Pour pallier cet inconvénient, on visse en A sur la partie finale horizontale de la
conduite un injecteur (encart de la Fig. 1) de section décroissante et de diamètre de sortie
d  D . Montrer que la vitesse en sortie de l’injecteur, notée c , est c  2 gH (relation de
Torricelli). Calculer c .
d
Établir que la vitesse en A est V   
D
2
2 gH .
 3 – Exprimer la pression P2  z  à l'intérieur de la conduite munie d’injecteur. On admet que
l'entrée de la conduite est pratiquement à l’altitude H . Montrer que les phénomènes de
cavitation disparaissent dans toute la conduite si d est inférieur à un certain d 0 dont on
établira l’expression en fonction de D , P0 , H , g et  . Vérifier que d0  26 cm.
4 – Le diamètre de sortie de l’injecteur est d  12 cm. La vitesse du jet mesurée en sortie de
l’injecteur est c  74 m.s1 . A quelle dénivellation, notée H  , cette vitesse correspondrait-elle ?
H
Exprimer et calculer le coefficient de contraction Cc 
. Donner quelques raisons de l’écart à
H
l’unité de ce coefficient.
5 – Exprimer et calculer le débit volumique q de l’injecteur sans pertes, puis le débit
massique Dm (en litres par seconde) en fonction de d , de c et de . Exprimer et calculer la
puissance cinétique réelle Pc du jet en sortie (énergie cinétique par unité de temps, pour la
vitesse de sortie c et le débit associé q ).
6 – Justifier que l’on nomme puissance potentielle la quantité Ppot  qgH . Exprimer et
calculer le rendement de la conduite  
Pc
en fonction de Cc .
Ppot
Exercice 5 : Vase de Tantale, oscillateur de relaxation mécanique (CCP PC 2010)
On notera  la masse volumique de l’eau, g l’accélération de la pesanteur, et l’on prendra pour valeurs
numériques :  = 103 kg.m-3 ; g = 9,8 m.s-2.
I.1. Vidange d’un réservoir :
On considère un réservoir cylindrique dont la section horizontale est un disque d’aire S. Les hauteurs
sont repérées à l’aide d’un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, et dont l’origine coincide avec le fond du
réservoir ( voir figure I,1 à gauche ) . ce réservoir est rempli d’eau jusqu’à une certaine hauteur h et percé
d’un orifice situé au niveau du point B à hauteur zB.Cet orifice possède une section droite .
On nomme Ds le débit volumique d’eau sortant par l’orifice B associé à l’écoulement de vidange du
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réservoir. La surface libre du réservoir et l’extrémité de l’orifice sont en contact avec l’air , à la pression
atmosphérique P0 = 1 bar. Tous les écoulements considérés sont assimilés à des écoulements non visqueux,
homogènes, incompressibles et laminaires. La variable de temps est notée t.
I.1.1 On assimile la vidange du réservoir à un écoulement stationnaire, en faisant l’hypothèse que la
hauteur h(t) de la surface libre varie lentement par rapport aux vitesses caratéristiques de l’écoulement.
Tracer l’allure plausible des lignes de courant associées à l’écoulement.
Quelle relation peut-on écrire entre la vitesse de la surface libre vA, la vitesse vB en B, et les sections  et
S ? Justifier.
I.1.2. Enoncer et appliquer le théorème de Bernoulli le long de l’une de ces lignes de courant, et
déterminer, dans le cadre des hypothèses, et pour des sections droites S et  quelconques, la vitesse du
fluide vB au niveau de l’orifice B. Que vaut alors le débit DS ?
I.1.3. Que vaut la vitesse vB dans la limite où  << S ?
On conservera l’hypothèse  << S pour toute la suite du problème
 dh
En déduire la valeur algébrique de h 
.
dt
I.1.4. Calculer la valeur numérique du débit Ds lorsque h = 2 m, zB = 0,1 m et  = 2 cm². Exprimer le
résultat dans les unités du système international, puis en litre par seconde ( L.s -1).
I.2. Influence du siphon :
Un siphon est une portion coudée de conduite, de section constante , dont la hauteur maximale,
représentée par le point C de la figure I.1 à droite, se trouve à une hauteur z C supérieure à la hauteur zB de
l’orifice d’entrée de la conduite. Un siphon peut se trouver dans deux états. Dans l’état amorcé, le siphon ne
contient pas d’air, et l’on peut considérer que le théorème de Bernoulli s’applique d’un bout à l’autre du
siphon. L’extrémité D située à l’opposé du réservoir se trouve alors en contact avec l’air à pression
atmosphérique P0. Dans l’état désamorcé, le siphon contient de l’air, la continuité de l’écoulement dans le
siphon est rompue, et le débit à travers la conduite est nul.
On supposera qu’une fois amorcé, le siphon reste dans cet état jusqu’à ce que de l’air pénètre par l’orifice
situé en B. Le siphon est toujours amorcé lorsque le niveau de l’eau excède z C.
1.2.1. Lorsque le siphon est amorcé, le réservoir se vide avec un débit constant D s, que l’on exprimera en
fonctionde h, g,  et de la hauteur d’eau d’un des trois points B, C ou D.
1.2.2. Former une équation différentielle du premier ordre pour l’évolution temporelle de la hauteur h(t)
de la surface libre, dans le régime ou le siphon est amorcé.
1.2.3. Trouver la solution de cette équation différentielle en partant d’une condition initiale h(0) = h 0 >
zC. En déduire la durée nécessaire t1 pour que le siphon se désamorce.
I.3. Réservoir alimenté :
Le réservoir est désormais alimenté en permanence par un filet d’eau de débit Di, arrivant par l’orifice A,
et qui ne pertube pas l’écoulement de vidange ( figure I.2. ).
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I.3.1. Comment doit-on modifier l’équation différentielle portant sur h(t) en présence du débit D i, le
siphon étant amorcé ?
I.3.2. Montrer que l’équation différentielle obtenue admet une solution stationnaire de hauteur h s
constante, que l’on exprimera en fonction de zD, Di,  et g.
Cette solution est-elle acceptable si la valeur de hS associée à un débit Di est telle que hS < zB ? Justifier.
I.3.3. Décrire l’évolution de la hauteur h(t) lorsque le siphon est désamorcé.
I.3.4. Montrer que si le débit Di est plus faible qu’une valeur critique Dc, le sytème représenté sur la
figure I.2. se comporte comme un oscillateur, dont le débit de sortie est une fonction périodique du temps.
Déterminer la valeur de Dc.
I.3.5. On suppose Di < Dc. Représenter schématiquement l’allure temporelle da la hauteur h(t) en
fonction du temps t.
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