Un ascenseur hydraulique de 1500 kg doit ètreélevé à la vitesse v

3. DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Exercice 3.1 Débit.
Un ascenseur hydraulique de 1 500 kg doit ètreélevé à la vitesse
v = 0,2 m/s. La distribution de l'eau a une pression p = 3.106Pa.
a) Quel est le volume d'eau dépensé par seconde?
b) Quelle est la vitesse de cette eau dans la conduite d'arrivée si celle-ci a
une section de 20 cm2 ? g = 10 m.s: 2.

DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
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Soit un tube de courant pour lequella vitesse (v) est la mérne en tout point de
chacune des sections droites (s). Si le fluide est incompressible, le débit D est
le rnème le long du tube de courant.
D = s v = c s t équation de continuité
a) Les forces pressantes (p S) du piston hydraulique, de section S, s'opposent
au poids (Mg) de l'ascenseur. La puissance mise en jeu, pendant l'ascension,
est le produit de la force résultante par la vitesse :
~ = p S v = p D = Mg v
Mgv
D'où le débit D =-- = 10- 3m 3 .s-1
p
b) Le débit est le mème dans tout le circuit hydraulique. La vitesse v' dans la
conduite d'arrivée, de section s', est
D
v' =- = O 5 m s" 1
I ' •
S
Exercice 3.2 Théorème de Bernoulli.
Dans une canalisation horizontale de section SI = 100 cm2circule de l'eau
àune vitesse VI = 0.4 m/s sous une pression PI = 6.104Pa. Quels sont,
dans un étranglement de section S2 = SI li O, la vitesse V2 et lapression P2
de l'eau ?
Le long du tube de courant, situé à la cote z et parcouru par un fluide incom-
pressible, de viscosité négligeable et de masse volumique p, à la vitesse v, on a
la formule de Bernoulli :
I
p+ p g z +-p v 2 = C s t
2
p est la pression statique.
1
-p v2est la pression dynamique.
2
pg z est la pression de pesanteur.
a) Calcul de la vitesse: VI SI = V2 S2 d'où V2 = lO VI = 4 m/s
b) Calcul de la pression :
I I
PI + P g ZI +- P VI 2 = P2 + P g Z2 +- P V22
2 2

30 M£CANIQUE DES FLUIDES
L'éeoulement est horizontal: Zl = Z2
soit
99
P VI 2'
2
P2 = 52 080 Pa
Dans l'étranglement, la vitesse augmente mais la pression diminue.
Exercice 3.3 Tube de Pitot.
Le tube de Pitot permet d'évaluer la vitesse relative d'écoulement d'un
fluide. Le manomètre àeau d'un tube de Pitot, installé dans un tunnel de
soufflerie, présente une dénivellation de 10 cm.
Quelle est la vitesse v de l'air ? Masse volumique de l'air "
p = 1,29 kg.m- 3 ,de l'eau : p' = 10 3 kg.m :",
h
A est un point d'arrèt (vA = O). La pression en A est la pression totale. La
pression en B est la pression statique. Le théorème de Bernoulli pennet d'é-
erire (zA~ za) : I
PA = Pa + - pv2
2
D'autre part, la différenee de pression entre A et B, c'est-a-dire la pression
dynamique, est
PA -Pa =p'gh
soil v ~f?;gh ~ 39 m.,-l
Exercice 3.4 Formule de Torricelli.
Un large vase vertical ouvert àl'air fibre repose sur un plan horizontal. Un
petit orifice (A) est pratiqué dans la paroi verticale àh = 20 cm, sous le

DYNAMIQUE DES FLU IDES PARFAITS 31
niveau libre de l'eau supposée fixe. La hauteur totale est 100 em.
a) Quelle est la vitesse d'écoulement de l'eau ?
b) A quelle distance du réservoir le jet atteindra-t-il Ie plan horizontal?
c) A quelle hauteur peut-on percer un autre orifice pour que laportée du
jet soit la méme ?
d) A quelle hauteur devrait-on percer un orifice pour que laportée du jet
soit maximale ?
a) Le liquide contenu dans le récipient s'écoule par un orifice bien plus petit
que la surface libre ; la vitesse de B est négligeable devant v A . La pression sta-
tique est la méme en A et à la surface l'eau ; elle est égale à la pression atmos-
phérique. La formule Bernoulli devient alors
I
- PYA 2 =pgh
2
On en tire la formule de Torrieelli :
x
C'est la vitesse aequise par un mobile ehutant de la mèrne hauteur. Elle est in-
dépendante de la nature du liquide.
Application numérique : VA = 1,98 rn.s" 1 •
b) Le jet suit une trajectoire parabolique dont les équations paramétriques
X =vA t
sont I
y = - - g t2+h' h' :distance sol-orifice.
2
2 h'
Il atteint le sol à l'instant t =-
g
Soit à la distance Xo = 2 Vhh' = 80 cm
c) La portée du jet est la mèrne si on permute les valeurs de h et h' ; done
h = 20 cm ou 80 cm (Al et A 2).
d) Xo = 2v'hi? = 2v'h (1 - h)
I
Xo est maximal si h ="2 = 50 cm (A3), valeur qui annule la dérivée.