Mécanique des fluides et systèmes ouverts

Colles semaine 8, sujet A
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Siphon
On s’intéresse à la vidange d’un réservoir de section Σ, contenant un liquide de masse volumique ρ, au moyen
d’un siphon formé d’un tube de section S constante. On suppose S Σ. Initialement, le liquide remplit le réservoir
jusqu’à une hauteur H.
On nomme A le point d’entrée du siphon, B le point le plus haut du siphon, C la sortie du siphon, D un point de
la surface libre dans le réservoir ; zA , zB , zC et zD les coordonnées correspondantes. La surface libre dans le réservoir
et la sortie du siphon sont à la pression atmosphérique P0 .
z
B
1 - Que peut-on dire de la vitesse vD par rapport à vC ?
2 - Déterminer la vitesse du fluide en sortie du siphon. En déduire une condition
sur C pour que le fluide s’écoule.
3 - Déterminer la pression PB dans le fluide au point B. En déduire une condition
sur B pour que le fluide s’écoule.
D
4 - À partir de la question précédente, expliquer pourquoi un siphon a besoin d’être
amorcé. Que faut-il faire pour réaliser en pratique cet amorçage ?
5 - Supposons le siphon fixe. Montrer que zD est solution de l’équation différentielle
A
dzD
Sp
=−
2g(zD − zC ) .
dt
Σ
0
C
6 - Résoudre cette équation et déterminer le temps nécessaire pour vidanger complètement le réservoir.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible et parfait (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat !)
1 Conservation du débit volumique et écoulement supposé uniforme dans une section (ou bien v interprétée comme
une vitesse débitante) : ΣvD = SvC donc
S
vD = vC vC .
Σ
2
Théorème de Bernoulli appliqué le long d’une ligne de courant qui va de D à C :
P0 + 0 + ρgzD = P0 + ρ
2
vC
+ ρgzC
2
d’où
vC =
p
2g(zD − zC )
Il faut donc avoir zD > zC , c’est-à-dire que la sortie du siphon doit se trouver sous la surface libre du réservoir.
3
Bernoulli appliqué entre B et C :
PB + ρ
2
vB
v2
+ ρgzB = P0 + ρ C + ρgzC
2
2
Conservation du débit volumique : vB = vC ce qui permet de simplifier, d’où
PB = P0 + ρg(zC − zB )
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Colles semaine 8, sujet A : Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Comme PB doit être positive, alors zB < zC +
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P0
ρg
4
Lorsque le siphon est vide PB = P0 = PC . Il faut aspirer pour faire monter le liquide dans le siphon.
5
Conservation du débit volumique, et attention car żD = −vD
6
Séparation des variables :
ˆ
dzD
S
p
= − dt
Σ
2g(zD − zC )
0
dzD
=−
S
Σ
ˆ
τvide
dt
2g(zD − zC )
0
√
On reconnaît à gauche l’intégrale d’une fonction de la forme u0 /2 u en la réécrivant sous la forme
1
g
ˆ
0
H
d’où
H
p
2g
S
p
dzD = −
Σ
2 2g(zD − zC )
ˆ
τvide
dt
0
ce qui conduit à
i0
1 hp
S
= − τvide
2g(zD − zC )
g
Σ
H
et enfin
τvide =
Σ
S
r √
2 p
H − zC − −zC
g
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Colles semaine 8, sujet B
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Alimentation en eau d’une maison depuis un château d’eau [banque PT 2015]
On s’intéresse à une alimentation domestique en eau via un château d’eau. Le château d’eau est modélisé par un
réservoir ouvert sur l’atmosphère, haut de H = 20 m et de section maximale S0 = 25 m2 , voir figure 1. Ce réservoir
débouche sur une canalisation horizontale de section s = 1,0 · 10−3 m2 . Cette canalisation alimente une installation
domestique qui comporte un robinet ouvrant sur l’air atmosphérique par une ouverture de même section s.
∆h
H
Figure 2
Figure 1
1 - Justifier que la vitesse d’écoulement de l’eau au niveau de la surface libre est négligeable devant la vitesse dans
la canalisation.
2 - Calculer numériquement le vitesse de l’eau en sortie du robinet en négligeant les pertes de charge.
3 - Calculer numériquement le débit volumique.
4 - Au niveau de la canalisation horizontale est le lieu d’une perte de charge régulière. Expliquer ce que cela signifie
et en donner les causes. Exprimer le théorème de Bernoulli en introduisant un coefficient K caractéristique de cette
perte de charge.
5 - Sur la canalisation horizontale on place deux tubes verticaux remplis d’eau séparés de 10 m. On mesure une
différence de hauteur d’eau ∆h = 2,0 cm, voir figure 2. En déduire la perte de charge linéaire due au tuyau d’alimentation.
6 - Quelle est désormais la vitesse de l’eau en sortie du robinet situé à 1,0 km du chateau d’eau ?
7 - On souhaite retrouver la vitesse déterminée au début de l’exercice. On installe pour cela une pompe. Déterminer
la puissance qu’elle doit fournir.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
Écoulement suppose incompressible donc conservation du débit volumique donc
S0 vlibre = svcan
2
vlibre
s
=
1
vcan
S0
soit
Bernoulli le long d’une ligne de courant qui va du haut du chateau d’eau jusqu’au robinet donne
P0 + 0 + ρgH = P0 + ρ
2
vsortie
+0
2
d’où
vsortie =
p
gH = 14 m · s−1
3
DV = vsortie s = 14 · 10−3 m3 · s−1 = 14 L · s−1 .
4
Dissipation d’énergie mécanique par viscosité. Le théorème de Bernoulli devient
P0 + 0 + ρgH = P0 + ρ
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2
vsortie
+0+K
2
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Colles semaine 8, sujet B : Mécanique des fluides et systèmes ouverts
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(ici K est homogène à une pression, on peut le remplacer par ρgK 0 où K 0 est une hauteur, et on peut aussi introduire
une perte de charge linéaire homogène à une pression par unité de longueur)
5 Relation de l’hydrostatique dans les prises de pression reliée à la pression dans la canalisation : Pcan = P0 + ρgh.
Conservation du débit volumique indique que la vitesse d’écoulement est la même sous les deux prises de pression.
On en déduit
v2
v2
(P0 + ρgh1 ) + ρ can + ρgzcan = (P0 + ρgh2 ) + ρ can + ρgzcan + K
2
2
d’où
ρ g ∆h
K
=
= 20 Pa · m−1
K = ρg∆h
soit
k=
L
L
6
Bernoulli avec perte de charge kL0 donne
v2
P0 + 0 + ρgH = P0 + ρ sortie + 0 + kL0
2
soit
vsortie
s kL0
= 13 m · s−1
= 2 gH −
ρ
7 kL0 est l’énergie volumique perdue par perte de charge, qu’il faut donc compenser par une pompe de puissance
P = DV kL0 .
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Colles semaine 8, sujet C
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Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Écoulement forcé
Au sein d’une installation industrielle, on doit pomper de l’eau dans une citerne posée sur le sol, pour l’éjecter
dans l’atmosphère, à une hauteur H = 5 m au dessus du sol, avec un débit volumique minimal Q = 5 L · s−1 dans
une conduite de diamètre D = 5 cm. On note hv = 0,5 m la perte de charge totale exprimée en hauteur équivalente.
1 - On envisage une première installation mettant l’eau sous pression grâce à de l’air comprimé à une pression pA .
Déterminer la valeur minimale de pA pour obtenir l’écoulement voulu.
Figure 1 – Installation avec air comprimé.
2 - On souhaite remplacer l’air comprimé par une pompe. Déterminer la puissance minimale nécessaire.
Figure 2 – Installation avec une pompe.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat !)
1
Bernoulli sur une ligne de courant allant de la surface libre jusqu’au point d’éjection :
PA + ρ
vr2
v2
+ ρgh = Patm + ρ s + ρgH + ρghv
2
2
Conservation du débit volumique et réservoir de grande section : on peut négliger vr devant vs .
PA = Patm + ρ
vs2
+ ρg(H + hv − h)
2
De plus, Q = vs D2 /4 d’où
PA = Patm +
8ρQ2
+ ρg(H + hv − h) = 1,5 · 105 Pa
D2
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Colles semaine 8, sujet C : Mécanique des fluides et systèmes ouverts
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en prenant le cas le pire, c’est-à-dire h = 0.
2 Bernoulli modifiée pour tenir compte de la présence de la pompe (attention au membre dans lequel on ajoute la
puissance de la pompe) :
v2
P
v2
Patm + ρ r + ρgh +
= Patm + ρ s + ρgH + ρghv
2
Q
2
et donc avec les mêmes hypothèses qu’avant
8ρQ2
+ ρg(H + hv − h) = 2,7 · 102 W
P=Q
D2
Exercice 2 : Mélangeur de douche
On s’intéresse à un mélangeur de douche supposé parfaitement calorifugé. L’écoulement d’eau chaude, de débit volumique D1 , provient d’un chauffe-eau à température T1 = 65 ◦C. Celui d’eau froide, de débit D2 , est à la
température T2 = 12 ◦C. La pression est identique dans les deux canalisations et vaut P = 3 bar.
Déterminer les débits d’eau chaude et d’eau froide pour que l’eau sorte du pommeau de douche à la température T = 40 ◦C et avec un débit total D = 0,20 L · s−1 .
Donnée : capacité thermique massique de l’eau liquide c = 4,2 kJ · K−1 · kg−1 .
Éléments de correction de l’exercice 2 :
Conservation du débit : D = D1 + D2 .
Premier principe des systèmes ouverts appliqué au mélangeur, en négligeant les variations d’énergie cinétique et
potentielle de l’eau, et avec Pméca = Pth = 0 donne
Dh − (D1 h1 + D2 h2 ) = 0
et comme ∆h = c∆T alors
d’où
D1
h − h2
=
D2
h1 − h
D1
T − T2
=
D2
T1 − T
et en retournant les équations
D1 =
T − T2
D = 0,11 L · s−1
T1 − T2
et
6/6
D2 =
T − T1
D = 0,09 L · s−1
T2 − T1
Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr