Mécanique des fluides et systèmes ouverts

Colles semaine 8, sujet A Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Siphon
On s’intéresse à la vidange d’un réservoir de section Σ, contenant un liquide de masse volumique ρ, au moyen
d’un siphon formé d’un tube de section Sconstante. On suppose SΣ. Initialement, le liquide remplit le réservoir
jusqu’à une hauteur H.
On nomme Ale point d’entrée du siphon, Ble point le plus haut du siphon, Cla sortie du siphon, Dun point de
la surface libre dans le réservoir ; zA,zB,zCet zDles coordonnées correspondantes. La surface libre dans le réservoir
et la sortie du siphon sont à la pression atmosphérique P0.
z
D
A
C
B
0
1 - Que peut-on dire de la vitesse vDpar rapport à vC?
2 - Déterminer la vitesse du fluide en sortie du siphon. En déduire une condition
sur Cpour que le fluide s’écoule.
3 - Déterminer la pression PBdans le fluide au point B. En déduire une condition
sur Bpour que le fluide s’écoule.
4 - À partir de la question précédente, expliquer pourquoi un siphon a besoin d’être
amorcé. Que faut-il faire pour réaliser en pratique cet amorçage ?
5 - Supposons le siphon fixe. Montrer que zDest solution de l’équation différentielle
dzD
dt=−S Σp2g(zD−zC).
6 - Résoudre cette équation et déterminer le temps nécessaire pour vidanger complè-
tement le réservoir.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible et parfait (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat !)
1Conservation du débit volumique et écoulement supposé uniforme dans une section (ou bien vinterprétée comme
une vitesse débitante) : ΣvD=SvCdonc
vD=S
ΣvCvC.
2Théorème de Bernoulli appliqué le long d’une ligne de courant qui va de DàC:
P0+0+ρgzD=P0+ρv2
C
2+ρgzCd’où vC=p2g(zD−zC)
Il faut donc avoir zD> zC, c’est-à-dire que la sortie du siphon doit se trouver sous la surface libre du réservoir.
3Bernoulli appliqué entre Bet C:
PB+ρv2
B
2+ρgzB=P0+ρv2
C
2+ρgzC
Conservation du débit volumique : vB=vCce qui permet de simplifier, d’où
PB=P0+ρg(zC−zB)
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Comme PBdoit être positive, alors zB< zC+P0
ρg
4Lorsque le siphon est vide PB=P0=PC. Il faut aspirer pour faire monter le liquide dans le siphon.
5Conservation du débit volumique, et attention car ˙zD=−vD
6Séparation des variables :
dzD
p2g(zD−zC)=−S
Σdtd’où ˆ0
H
dzD
p2g(zD−zC)=−S
Σˆτvide
0
dt
On reconnaît à gauche l’intégrale d’une fonction de la forme u0/2√uen la réécrivant sous la forme
1
gˆ0
H
2g
2p2g(zD−zC)dzD=−S
Σˆτvide
0
dt
ce qui conduit à 1
ghp2g(zD−zC)i0
H=−S
Στvide
et enfin
τvide =Σ
Sr2 gpH−zC−√−zC
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Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Alimentation en eau d’une maison depuis un château d’eau [banque PT 2015]
On s’intéresse à une alimentation domestique en eau via un château d’eau. Le château d’eau est modélisé par un
réservoir ouvert sur l’atmosphère, haut de H= 20 m et de section maximale S0= 25 m2, voir figure 1. Ce réservoir
débouche sur une canalisation horizontale de section s= 1,0·10−3m2. Cette canalisation alimente une installation
domestique qui comporte un robinet ouvrant sur l’air atmosphérique par une ouverture de même section s.
Figure 1
H
∆h
Figure 2
1 - Justifier que la vitesse d’écoulement de l’eau au niveau de la surface libre est négligeable devant la vitesse dans
la canalisation.
2 - Calculer numériquement le vitesse de l’eau en sortie du robinet en négligeant les pertes de charge.
3 - Calculer numériquement le débit volumique.
4 - Au niveau de la canalisation horizontale est le lieu d’une perte de charge régulière. Expliquer ce que cela signifie
et en donner les causes. Exprimer le théorème de Bernoulli en introduisant un coefficient Kcaractéristique de cette
perte de charge.
5 - Sur la canalisation horizontale on place deux tubes verticaux remplis d’eau séparés de 10 m. On mesure une
différence de hauteur d’eau ∆h= 2,0 cm, voir figure 2. En déduire la perte de charge linéaire due au tuyau d’alimen-
tation.
6 - Quelle est désormais la vitesse de l’eau en sortie du robinet situé à 1,0 km du chateau d’eau ?
7 - On souhaite retrouver la vitesse déterminée au début de l’exercice. On installe pour cela une pompe. Déterminer
la puissance qu’elle doit fournir.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1Écoulement suppose incompressible donc conservation du débit volumique donc
S0vlibre =svcan soit vlibre
vcan
=s
S01
2Bernoulli le long d’une ligne de courant qui va du haut du chateau d’eau jusqu’au robinet donne
P0+0+ρgH =P0+ρv2
sortie
2+ 0 d’où vsortie =pgH = 14 m ·s−1
3DV=vsorties= 14 ·10−3m3·s−1= 14 L ·s−1.
4Dissipation d’énergie mécanique par viscosité. Le théorème de Bernoulli devient
P0+0+ρgH =P0+ρv2
sortie
2+0+K
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(ici Kest homogène à une pression, on peut le remplacer par ρgK0où K0est une hauteur, et on peut aussi introduire
une perte de charge linéaire homogène à une pression par unité de longueur)
5Relation de l’hydrostatique dans les prises de pression reliée à la pression dans la canalisation : Pcan =P0+ρgh.
Conservation du débit volumique indique que la vitesse d’écoulement est la même sous les deux prises de pression.
On en déduit
(P0+ρgh1) + ρv2
can
2+ρgzcan = (P0+ρgh2) + ρv2
can
2+ρgzcan +K
d’où
K=ρg∆hsoit k=K
L=ρ g ∆h L= 20 Pa ·m−1
6Bernoulli avec perte de charge kL0donne
P0+0+ρgH =P0+ρv2
sortie
2+0+kL0soit vsortie =s2gH −kL0 ρ= 13 m ·s−1
7kL0est l’énergie volumique perdue par perte de charge, qu’il faut donc compenser par une pompe de puissance
P=DVkL0.
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Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Écoulement forcé
Au sein d’une installation industrielle, on doit pomper de l’eau dans une citerne posée sur le sol, pour l’éjecter
dans l’atmosphère, à une hauteur H= 5 m au dessus du sol, avec un débit volumique minimal Q= 5 L ·s−1dans
une conduite de diamètre D= 5 cm. On note hv= 0,5 m la perte de charge totale exprimée en hauteur équivalente.
1 - On envisage une première installation mettant l’eau sous pression grâce à de l’air comprimé à une pression pA.
Déterminer la valeur minimale de pApour obtenir l’écoulement voulu.
Figure 1 –Installation avec air comprimé.
2 - On souhaite remplacer l’air comprimé par une pompe. Déterminer la puissance minimale nécessaire.
Figure 2 –Installation avec une pompe.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat!)
1Bernoulli sur une ligne de courant allant de la surface libre jusqu’au point d’éjection :
PA+ρv2
r
2+ρgh =Patm +ρv2
s
2+ρgH +ρghv
Conservation du débit volumique et réservoir de grande section : on peut négliger vrdevant vs.
PA=Patm +ρv2
s
2+ρg(H+hv−h)
De plus, Q=vsD2/4d’où
PA=Patm +8ρQ2
D2+ρg(H+hv−h)=1,5·105Pa
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