Algèbre 5 - Université de la Nouvelle

Universit´e de la Nouvelle Cal´edonie. Licence de math´ematiques, S5. Alg`ebre 5. Ann´ee 2011. Eric Edo.
1 G´en´eralit´es sur les groupes.
1.1 Mono¨ıdes, semi-groupes, groupes.
D´efinitions. Soit Eun ensemble.
1) Une loi interne sur Eest une application fde E×Edans E.
2) Si pour tous x, y ∈E, on note f(x, y) = xy (resp. f(x, y) = x+y) on dit que la loi f(ou, par abus de
langage, que E) est not´ee multiplicativement (resp. additivement).
3) Soit fune loi interne sur E.
a) On dit que fest associative si pour tous x, y, z ∈E, on a 1:f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)). Si fest not´ee
multiplicativement on a : (xy)z=x(yz) et si fest not´ee additivement, on a : (x+y) + z=x+ (y+z).
b) On dit que fest commutative si pour tout x, y ∈Eon a : f(x, y) = f(y, x). Si fest not´ee multiplica-
tivement on a : xy =yx et si fest not´ee additivement, on a : x+y=y+x.
Remarque. La notation additive est r´eserv´ee (en g´en´eral) aux lois commutatives.
D´efinition. On appelle semi-groupe un ensemble Smuni d’une loi associative. On dit qu’un semi-groupe
est ab´elien si de plus la loi est commutative.
Propri´et´e. Soit Sun semi-groupe not´e mutiplicativement (resp. additivement). Soit n∈N r {0}et
soient x1, . . . , xn∈S. Il existe un ´el´ement unique not´e
n
i=1
xi(resp.
n
i=1
xi) tel que pour tout entier
k∈ {1, . . . , n −1}on ait :
n
i=1
xi=
k
i=1
xi
n−k
i=1
xk+i(resp.
n
i=1
xi=
k
i=1
xi+
n−k
i=1
xk+i).
Remarques.
1) On a :
1
i=1
xi=x1(resp.
1
i=1
xi=x1) et
2
i=1
xi=x1x2(resp.
2
i=1
xi=x1+x2). On note :
3
i=1
xi=x1x2x3
(resp.
3
i=1
xi=x1+x2+x3) et
4
i=1
xi=x1x2x3x4(resp.
4
i=1
xi=x1+x2+x3+x4).
2) Si la suite x1, . . . , xnest constante ´egale `a x, on note xn=
n
i=1
x(resp. nx =
n
i=1
x).
Propri´et´e. Soit Sun semi-groupe not´e multiplicativement (resp. additivement). Soient x∈Eet m, n ∈
N r {0}. Alors xmxn=xm+net (xm)n=xmn (resp. (m+n)x=mx +nx et m(nx) = (mn)x).
Propri´et´e. Soit Sun semi-groupe ab´elien not´e additivement. Soit n∈N r {0}, soient x1, . . . , xn∈Set
soit σune bijection de {1, . . . , n}dans lui mˆeme, on a :
n
i=1
xi=
n
i=1
xσ(i).
1. A propos de f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)), Artin ´ecrit dans [A] : This ugly formula illustrates the fact that functional
notation isn’t convenient for algebraic manipulation.
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D´efinition. Soit Eun ensemble muni d’une loi interne f. Soit u∈E. On dit que uest un ´el´ement neutre
si pour tout x∈E, on a f(u, x) = f(x, u) = x.
Propri´et´e. Soit Eun ensemble muni d’une loi interne. S’il existe un ´el´ement neutre, il est unique.
Remarque. Si Eest not´e multiplicativement (resp. additivement) on note l’´el´ement neutre 1 (resp. 0).
D´efinition. On appelle mono¨ıde un semi-groupe muni d’un ´el´ement neutre.
D´efinition. Soit Mun mono¨ıde de loi fet d’´el´ement neutre u. On dit qu’un ´el´ement x∈Mest
sym´etrisable s’il existe y∈Etel que f(x, y) = f(y, x) = u(on dit alors que yest un sym´etrique de x).
Propri´et´e. Soit Mun mono¨ıde. Soit x∈M. Si xest sym´etrisable alors le sym´etrique de xest unique.
Remarque. Si Mest not´e multiplicativement (resp. additivement), on dit inversible (resp. opposable) `a
la place de sym´etrisable et on note x−1(resp. −x) et on appelle inverse (resp. oppos´e) le sym´etrique de x.
Propri´et´e. Soit Mun mono¨ıde de loi f. Soient x, y ∈Mdes ´el´ements sym´etrisables. Notons x′et y′les
sym´etriques respectifs de xet y. Alors f(x, y)est sym´etrisable et son sym´etrique est f(y′, x′).
Remarque. Si Mest not´e multiplicativement. On dit que le produit de deux ´el´ements inversibles est
inversible et que l’inverse du produit est le produit des inverses pris dans l’ordre inverse. C’est `a dire que
si x−1et y−1existent alors (xy)−1existe et (xy)−1=y−1x−1. Par une r´ecurrence imm´ediate, ceci s’´etend
`a un produit d’un nombre quelconque d’´el´ements inversibles.
Exemples (de mono¨ıdes).
1) Les ensembles de nombres positifs N,Q+et R+muni de l’addition.
2) Les ensembles de nombres Z,Q,Ret Cmuni de la mutiplication.
3) Soit Kun corps et n∈N r {0}. L’ensemble Mn(K) muni de la multiplication des matrices.
4) Soit Eun ensemble. L’ensemble F(E, E) muni de la composition des applications.
D´efinition. On appelle groupe un mono¨ıde Gtel que tout ´el´ement de Gsoit sym´etrisable. On dit que G
est un groupe ab´elien si de plus la loi est commutative.
Exemples (de groupes).
1) Les ensembles de nombres Z,Q,Ret Cmuni de l’addition.
2) Les ensembles de nombres non-nuls Q∗,R∗et C∗muni de la mutiplication.
3) Soit Kest un corps et n∈N r {0}. L’ensemble Gln(K) muni de la multiplication des matrices (groupe
lin´eaire).
4) Soit Eun ensemble. L’ensemble S(E) des bijections de Edans Emuni de la composition des appli-
cations (groupe sym´etrique).
Remarque. Plus g´en´eralement, si Mest un mono¨ıde not´e multiplicativement, l’ensemble M∗de tous
les ´el´ements inversibles de Mest un groupe. Les exemples 2, 3 et 4 ci-dessus sont de ce type.
D´efinition. Soit Gun groupe. Soient x∈G. Si Gest not´e multiplicativement (resp. additivement), on
pose x0= 1 (resp. 0x= 0) et, pour tout n∈Ztel que n < 0, on pose xn= (x−n)−1(resp. nx = (−n)(−x)).
Propri´et´e. Soit Gun groupe. Soient x∈Get m, n ∈Z. Alors xmxn=xm+net (xm)n=xmn (si Eest
not´e multiplicativement) (m+n)x=mx +nx et m(nx) = (mn)x(si Eest not´e additivement).
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1.2 Sous-groupes, parties g´en´eratrices, ordre.
D´efinition. Soit Gun groupe de loi fet soit Hun sous-ensemble non vide de G. On dit que Hest un
sous-groupe de Gsi pour tout x, y ∈H,ona:f(x, y′)∈Ho`u y′est le sym´etrique de y.
Remarque. Soient Gun groupe de loi fet Hun sous-ensemble de G. Alors Hest un sous-groupe de G
si et seulement si les trois propositions suivantes sont vraies :
i) l’´el´ement neutre de Gest dans H(poss`ede l’´el´ement neutre),
ii) pour tout x, y ∈H, on a f(x, y)∈H(stable par la loi),
iii) pour tout x∈Hle sym´etrique de xest dans H(stable par sym´etrie).
Propri´et´e. Soit Gun groupe de loi f. Soit Hun sous-groupe de G. Alors Hmuni de la restriction de
f`a H×Hest un groupe.
Th´eor`eme. Soit Gun groupe. Soient Het Kdeux sous-groupes de G.
1) Dans tous les cas, l’ensemble H∩Kest un sous-groupe de G.
2) L’ensemble H∪Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si H⊂Kou K⊂H.
Exemples (de sous-groupes).
1) Soit n∈N, l’ensemble nZdes multiples de nest un sous-groupe de Zmuni de l’addition.
2) Soit n∈N, l’ensemble Cn={z∈C∗;zn= 1}est un sous-groupe de C∗muni de la mutliplication.
3) Soit Kest un corps et n∈N r {0}.
a) L’ensemble Sln(K) = {M∈Gln(K) ; d´et(M)=1}est un sous-groupe de Gln(K) muni de la multipli-
cation des matrices (groupe sp´ecial lin´eaire).
b) L’ensemble TSIn(K) des matrices triangulaires sup´erieures inversibles est un sous-groupe de Gln(K).
c) L’ensemble TSUn(K) des matrices triangulaires sup´erieures unitaires (avec des 1 sur la diagonale) est
un sous-groupe de TSIn(K)∩Sln(K).
4) Soit Eun ensemble et soit x∈E. L’ensemble {σ∈S(E) ; σ(x) = x}est sous-groupe de S(E) muni
de la composition des applications.
Dans la suite de ce chapitre tous les groupes sont not´es multiplicativement.
D´efinition. Soit Gun groupe et soit Eun sous-ensemble de G.
1) L’intersection de tous les sous-groupes de Gqui contiennent Eest un sous-groupe appel´e sous-groupe
de Gengendr´e par E, il est not´e < E >G.
2) Si le sous-groupe engendr´e par Eest Gtout entier, on dit que Eest une partie g´en´eratrice.
Propri´et´e. Soit Gun groupe et soit Eun sous-ensemble de G. Notons E−1={x−1;x∈E}Alors :
< E >G={x∈G;∃n∈N,∃x1, . . . , xn∈E∪E−1;x=
n
i=1
xi}.
Exemples. Soit Gun groupe.
1) Soit x∈G. Alors <{x}>G={xn;n∈Z}.
2) Soient x, y ∈Gtels qu’il existe k∈Ntels que yx =xky. Alors <{x, y}>G={xmyn;m, n ∈Z}.
D´efinition. Soit Gun groupe.
1) On dit que Gest un groupe monog`ene s’il existe x∈Gtel que <{x}>G=G. On dit alors (par abus
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de langage) que xest un g´en´erateur de G.
2) On dit que Gest un groupe cyclique si Gest fini et monog`ene.
Th´eor`eme. Soit Gun groupe et soit Eune partie g´en´eratrice de G. Si pour tous x, y ∈Eon a xy =yx
alors Gest ab´elien. En particulier : Si Gest monog`ene alors Gest ab´elien.
D´efinition. Soient Gun groupe et soit x∈G. On appelle ordre de xle cardinal du sous-groupe engendr´e
par x. On note ord(x) = card(<{x}>G). Par similitude, on appelle ordre de Gle cardinal de G.
Th´eor`eme. Soient Gun groupe. Soit x∈Get soit k∈Z. Alors :
1) ord(x) = min{n∈N r {0};xn= 1}. En particulier : ord(x) = 1 si et seulement si x= 1.
2) xk= 1 ⇔k∈ord(x)Z.
3) ord(xk) = ord(x)
pgcd(k, ord(x)). En particulier :
a) ord(x−1) = ord(x),
b) Si ord(x) = ab avec a, b ∈Nalors ord(xa) = bet ord(xb) = a.
Exemple. Soit n∈N r {0}. Le sous-groupe Cn={z∈C∗;zn= 1}de C∗est cyclique et d’ordre n. Les
g´en´erateurs de Cns’appellent les racines primitives n-i`emes de l’unit´e, ce sont les nombres complexes de
la forme ei2kπ
navec k∈Zpremier avec n. Le nombre de racines primitives n-i`emes de l’unit´e s’appelle
l’indicateur d’Euler de nsouvent not´e φ(n).
1.3 Classes modulo un sous-groupe, th´eor`eme de Lagrange, produit direct.
D´efinition. Soient Gun groupe, Hun sous-groupe de Get x∈G. On appelle classe `a gauche modulo
Hde x, l’ensemble xH ={xh ;h∈H}. On note [G:H] et on appelle indice de Hdans Gle nombre de
classes `a gauche modulo H.
Th´eor`eme (de Lagrange). Soient Gun groupe, Hun sous-groupe de Get x, y ∈G.
1) On a : xH =yH ou bien xH ∩yH =∅(les classes modulo Hsont confondues ou disjointes).
2) Il existe une bijection entre xH et yH (les classes modulo Hont le mˆeme cardinal).
3) On a : ord(G) = ord(H)[G:H]. En particulier, si l’ordre de Gest fini :
a) L’ordre de Hest un diviseur de l’ordre de G.
b) Pour tout x∈G,ord(x)est un diviseur de ord(G)et xord(G)= 1.
Exemples. 1) Soit Gun groupe dont l’ordre est un nombre premier alors Gest cyclique.
2) Soit Gun groupe d’ordre 15. Un ´el´ement non-neutre de Ga pour ordre 3, 5 ou 15.
3) Dans le groupe S3. On consid`ere π=123
213et ρ=123 231. Il y a trois classes `a gauche modulo < π > :
< π >,ρ < π > et ρ2< π >. Il y a deux classes `a gauche modulo < ρ > :<ρ>et π < ρ >. Remarque
(sur les classes `a droite) : < π > ρ ̸=ρ < π > mais < ρ > π =π < ρ >.
D´efinition. Soient Get Hdeux groupes. On appelle produit direct et on note G×Hle produit cart´esien
G×Hmuni de la loi interne not´e multiplicativement d´efinie par (g, h)(g′, h′) = (gg′, hh′) pour tout
g, g′∈Get h, h′∈H(produit composantes par composantes).
Th´eor`eme. Soient Get Hdeux groupes (resp. groupe ab´elien). Alors le produit direct G×Hest un groupe
(resp. groupe ab´elien) dont l’´el´ement neutre est (1,1) et dont l’ordre est le produit des ordres de Get de H.
Propri´et´e (Restes chinois). Soient Get Hdeux groupes. Soient g∈Get h∈H. Alors : ord((g, h)) =
ppcm(ord(g),ord(h)). En particulier G×Hest un groupe cyclique si et seulement si Get Hsont cycliques
4

et ont des ordres premiers entre eux.
1.4 Exercices.
Exercice 1. Inverse unilat´eral.
1) Soit Eun mono¨ıde not´e multiplicativement. Soit x∈E. On suppose qu’il existe y, y′∈Etels que
xy =y′x= 1. Montrer que y=y′. Que peut-on dire de x?
2) Soit Ele mono¨ıde des applications de Ndans lui-mˆeme pour la composition des applications. D´eterminer
τ:N→Net σ:N→Ntels que σ◦τ= Id mais τ◦σ̸= Id. Comparer avec la question 1.
Exercice 2. Semi-groupe avec ´el´ement neutre et inverses `a droite.
Soit Sun semi-groupe not´e multiplicativement. On suppose qu’il existe un ´el´ement e∈Stel que :
i) pour tout x∈Son a : xe =xet ii) pour tout x∈S, il existe y∈Stel que xy =e.
1) Soient x∈Set y∈Stels que xy =e. Montrer que yx =e.Indication : Il existe z∈Stel que yxz =e.
2) Soit x∈S. Montrer que ex =x.
3) Conclure que Sest un groupe.
Exercice 3. El´ements simplifiables.
Soit Eun mono¨ıde not´e multiplicativement. Soit x∈E. On dit que xest simplifiable si pour tous
y, z ∈E, on a : xy =xz ⇒y=zet yx =zx ⇒y=z.
1) Soit x∈E. On suppose que xest inversible. Montrer que xest simplifiable.
2) Dans le mono¨ıde multiplicatif Z, quels sont les ´el´ements simplifiables (resp. inversibles) ?
3) On suppose que Eest fini. Soit x∈E. On suppose que xest simplifiable. Montrer que xest inversible.
Indication : Consid´erer la multiplication par x.
Exercice 4. Transport de structure.
1) Soit Gun groupe not´e multiplicativement. Soit Eun ensemble (de mˆeme cardinal que G). Soit ϕune
bijection de Edans G. Sur E, on d´efinit une loi ∗par a∗b=ϕ−1(ϕ(a)ϕ(b)) pour tout a, b ∈E. Montrer
que Emuni de ∗est un groupe. A quelle condition est-il ab´elien ?
2) Soit E=R r {2}. Soit ∗la loi sur Ed´efinie par a∗b=ab −2(a+b) + 6 pour tout a, b ∈E. Montrer
que Emuni de ∗est un groupe ab´elien.
Exercice 5. Condition suffisante pour qu’un groupe soit ab´elien.
Soit Gun groupe not´e multiplicativement.
1) On suppose que pour tous x, y ∈Gon a (xy)2=x2y2, montrer que Gest ab´elien.
2) On suppose que pour tout x∈Gon a x2= 1, montrer que Gest ab´elien.
3) Soit pun nombre premier impair. Montrer que quelque soit M∈TSU3(Fp) on a : Mp= Id. Le groupe
TSU3(Fp) est-il ab´elien ?
Indication : Calculer Mnpour une matrice M∈TSU3(Z) par r´ecurrence sur n.
4) On suppose que pour tous x, y ∈Gon a (xy)−1=x−1y−1, montrer que Gest ab´elien.
Exercice 6. Sous-groupes de Q.
On note D={a
10n;a∈Z, n ∈N}. Soit p∈Pun nombre premier, on note Zp={n m;n∈Z, m ∈ZrpZ}.
1) Montrer que Det Zpsont des sous-groupes de Qmuni de l’addition.
2) D´eterminer l’ensemble des ´el´ements inversibles de Det de Zp.
Exercice 7. Sous-corps quadratique de C.
Soient α, β ∈Zet soit ζ∈CrQ tels que ζ2=αζ +β. On note Q(ζ) = {a+bζ ;a, b ∈Q}.
1) Montrer que Q(ζ) est un sous-Q-e. v. de Cdont (1, ζ) est une base.
2) Montrer que Q(ζ)r{0}est un sous-groupe de C∗muni de la multiplication.
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