Loi Binomiale - F. Laroche

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Loi Binomiale
7.3. Exercices de base
7.3.1. Graines
1. Le nombre de graines qui germent suit une loi binomiale
(
)
8 ; 0,8
B
.
a.
( )
5 3
8
5 0,8 0,2 0,147
5
X  = = ≈ P.
b.
( )
7 1 8 0
8 8
7 0,8 0,2 0,8 0,2 0,503
7 8
X    ≥ = + ≈ P.
2. a.
(
)
germe et pas détruite 0,8 0,5 0,4
= × =
P
.
b. Y, le nombre de plans bons à repiquer suit
(
)
; 0,4
n
B
où n est inconnu.
On cherche n pour que
(
)
1 0,99
Y≥ ≥
P
, soit
(
)
(
)
1 0 0,99 0 0,01 0,6 0,01
n
Y Y− = ≥ ⇔ = ≤ ⇔ ≤
P P
.
À la machine on trouve
9
n
>
, soit
10
n≥.
7.3.2. Sécu
1. a. Il y a
0,88 0,17 0,1496
× = des personnes qui ont moins de 70 ans et qui sont vaccinées ; il y a
0,12 0,75 0,09
× = des personnes qui ont plus de 70 ans et qui sont vaccinées, soit un total de 0,2396, soit
environ 24% des gens sont vaccinés.
b. Le pourcentage de moins de 70 ans parmi les vaccinés est alors de
0,1496
0,62
0,2396 =
, soit 62 %.
2. Les nombre de personnes vaccinées parmi les 10 suit une
(
)
10 ; 0,62
B
.
( )
3 7
10
3 0,62 0,38 0,033
3
X  = = ≈ P .
7.3.3.Urnes
1. Pour avoir
8
X Y
+ ≥
il faut avoir 2 et 6 ou 4 et 5 ou 4 et 6, soit
3 3 4 2 4 3 29
8 6 48
× + × + × =
×.
2. Z suit
29
10,
48
B :
( )
29
10 6
48
Z
= × ≈
E.
7.3.4.Petits exercices à déguster sereinement
1.
1
9,
2
B ; 2/3 de 9 = 6 ;
(
)
(
)
6 1 5 0,254
X X≥ = − ≤ ≈
P P
en utilisant la calculatrice (inutile de faire ces
calculs compliqués à la main…)
2. X= nombre de noires tirées ;
1
6,
3
B ;
(
)
2 0,329
X= ≈
P
.
3. X = nombre de « 6 » obtenus ;
1
5,
6
B ;
(
)
(
)
2 1 1 0,196
X X≥ = − ≤ ≈
P P
.
4. X = nombre de filles dans la famille ;
1
,
2
n B ;

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Si n est pair,
2
n m
= et on cherche
( )
2 2
2
2
1 1
2 2
1 1 1
2 2
2
m m
k m k
m
k m k m
m m
X m k k
−
= + = +
> = =
∑ ∑
P ; on peut tracer la
courbe des probas en fonction de n :
U=Séquence[(n,1-Binomiale[n,0.5,floor(n/2),True]),n,0,100]
Si n est impair c’est semblable, sauf que ça semble constant et valoir 1/2 : ce qui semble normal (réfléchissez)…
5. Avec 4 parties on a
(
)
4,
p
B
et
( ) ( ) ( )
3 4 3 4 3 4
4 4
3 1 4 1 4 3
3 4
X p p p p p p p p
≥ = − + = − + = − P ;
avec 8 parties on a
(
)
8,
p
B
et
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
5 6 7 8
3 2
5 6 7 8
3 2
5 2 3 5 2 3
8 8 8 8
5 1 1 1
5 6 7 8
56 1 28 1 8 1
56 1 28 1 8 1 56 140 120 35 .
Y p p p p p p p
p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
≥ = − + − + − + =
= − + − + − +
= − + − + − + = − + −
P
Il reste à trouver le signe de
[ ] ( )
5 2 3 3
56 140 120 35 4 3
p p p p p p f p
− + − − − =
  , ce que l’on obtient
graphiquement. On voit donc que
(
)
(
)
5 3
Y X≥ ≥ ≥
P P
pour
0,41
p≥ environ.
6.
( ) ( )
( )
( ) ( )
, ,1 1 1 , ,
n k n k
n n k k
n n
b n k n p p p p p b n p k
n k k
− −
− −
− − = − = − =
−
car
n n
n k k
=
−
: propriété de
symétrie des coefficients binomiaux.

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7.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 0 1 1 1 1
n n
R p X X X p np p
−
= > = − = + = = − − − −
P P P
, soit avec
10
n
=
:
( ) ( ) ( ) ( )
10 9
1 1 1 10 1
R p X p p p
= > = − − − −
P
.
p 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
(
)
R p
0 0,264 0,624 0,851 0,954 0,989
Il vaut mieux éviter les déchets…
7.4. Exercices intermédiaires
7.4.1.Rhésus
1. a. 0,45
b.
0,45 0,2 0,09
× = .
c.
0,4 0,18 0,1 0,19 0,05 0,17 0,45 0,2 0,1895
× + × + × + × = .
2. a. X suit
(
)
5 ; 0,09
B
.
b.
(
)
5 0,09 0,45
X= × =
E
.
7.4.2. Étude de marché
Un tableau pour résumer :
moins de 12 tonnes de 12 à 20 tonnes plus de 20 tonnes Total
Solvables
0,35 0,8 0,28
× =
0,4 0,85 0,34
× = 0,225 0,845
Insolvables 0,07 0,06 0,025 0,155
Total 0,35 0,40 0,25 1
1. a. 0,25.
b. 0,155
2. a. X suit
(
)
20 ; 0,845
B
.
(
)
20 0,845 16,9
X= × =
E
.
b.
(
)
(
)
11
4 1 3 1 1,22 10 1
X X
−
≥ = − ≤ = − × ≈
P P
.
7.4.3. Rangements
Le nombre total de possibilités de rangement est n!
1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste
(
)
−
2 !
n répartitions possibles. Comme A peut être
placé n’importe où dans la file avec B derrière lui, il y a
(
)
−
1
n places possibles pour A et donc la probabilité
(
)
−
=
1 !
1
!
n
n n
d’avoir A suivi de B ; c’est pareil pour B suivi de A, soit la probabilité finale
2
n
.
2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de
−
n r
manières, la
probabilité finale est alors
(
)
(
)
(
)
( )
− − −
=−
2 ! 2
2
! 1
n r n n r
n n n .
7.4.5. Loterie binomiale
Partie A
1.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 5 9 1 7
G B 6 N 6
10 6 10 6 30
dé dé= × < + × = = × + × =P P P P P .
2.
( ) ( )
( )
1 1
Blanc et Perdu
1 30 1
10 6
Blanc et Perdu parmi les Perdu 23
P 60 23 46
30
×
= = = × =
P
P
P.

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3. Loi binomiale :
=
4
n, =
7
30
p ; il en gagne 2 avec la probabilité       ≈
2 2
47 23
0,192
230 30 .
4. Loi binomiale : n quelconque, =
7
30
p ;
( )
23
( 1) 1 0 1
30
n
X X ≥ = − = = − P P ; on a alors à résoudre
23 23
( 1) 0,99 1 0,99 0,01
30 30
n n
X    ≥ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ P d’où
=
18
n à la machine.
Partie B
1. a. X prend les valeurs −1 et 4 ;
( ) ( )
23
1 P
30
X= − = =P P ,
( ) ( )
7
4 G
30
X= = =P P .
( )
23 7 5 1
4
30 30 30 6
X
= − + = =
E.
b. L’organisateur ne semble pas très matheux…
2. Il faut recalculer
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 5 1 5
G B 6 N 6
1 6 1 6 6 1
n n
dé dé n n n
+
= × < + × = = × + × =
+ + +
P P P P P d’où
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
6 6 5 20 4
5 5 19
1 1 4
6 1 6 1 6 1 6 1
n n n
n n n
Xn n n n
  − + − − + +
+ + − +
= − × − + × = =
+ + + +
E
qui sera positif lorsque
≤
19
n.
7.4.6. Tulipes
1. b.
( ) 0,8 0,5 0,4
F R∩ = × =
P
.
c.
( ) 0,8 0,1 0,08
F B∩ = × =
P
.
2. a. Le succès est obtenir une fleur Rouge, il y a n = 5 épreuves, il y a k succès :
( ) 0,4
p F R= ∩ =
P
.
b.
0 5 1 4
2 3 3 2
4 1
5 5
( 0) (0,4) (0,6) 0,07776, ( 1) (0,4) (0,6) 0,2592
,
0 1
5 5
( 2) (0,4) (0,6) 0,3456, ( 3) (0,4) (0,6) 0,2304,
2 3
5 5
( 4) (0,4) (0,6) 0,0768, ( 5) (0,4
4 5
X X
X X
X X
= = × = = = × =
= = × = = = × =
= = × = = =
P P
P P
P P
5 0
) (0,6) 0,01024.
× =
X = x
i
0 1 2 3 4 5
P
(X = x
i
) 0,0776 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,01024
p
i
× x
i
0 0,2592 0,6912 0,6912 0,3072 0,0512
F
F
0,8
0,2
J
B
R
0,5
0,1
0,4

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5
1
( ) 2
i i
i
X p x
=
= × =
∑
E .
3. On répète n fois l'expérience et on n'a obtenu aucune fleur blanche :
0
( 0) (0,08) (0,92) 0,92
0
n n
n
n
X  = = × = P.
4. Le contraire de « au moins une fleur blanche » est « aucune fleur blanche » : cette probabilité est donc
= − = −
1 1 0,92
n
n
p p . Il faut donc que
19 19 1
1 0,92 0,92 1 0,92
20 20 20
n n n
− ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ , soit
36
n≥ à la machine.
On doit donc planter au minimum 36 fleurs pour avoir une probabilité supérieure à 19/20 d'obtenir une fleur
Blanche.
7.4.8. Parties de ping-pong
Lucie ou Gilles gagnent si ils remportent au moins a parties.
Soient L
n
et G
n
les variables aléatoires égales au nombre de parties gagnées par Lucie et Gilles : Lucie gagne si
≥
n
L a
ou
≤
n
G a
.
La distribution de G
n
est une loi binomiale
(
)
(
)
,1 ,
n p n q
− =
B B
et
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
0 1 ... ...
0 1
n n a n a
n n n n
n n n
G a G G G a q p q p q p
a
− −
≤ = = + = + + = = + + + P P P P .
n a
(
)
n
G a
≤
P
Probabilité que Lucie gagne
1 0 p 0,6
3 1 +
3 2
3
p qp
0,648
5 2 + +
5 4 2 3
5 10
p qp q p
0,683
7 3 + + +
7 6 2 5 3 4
7 21 35
p qp q p q p
0,710
9 4 + + + +
9 8 2 7 3 6 4 5
9 36 84 126
p qp q p q p q p
0,733
11 5 + + + + +
11 10 2 9 3 8 4 7 5 6
11 55 165 330 462
p qp q p q p q p q p
0,753
13 6 … 0,771
45 22 … 0,913
On voit que plus le nombre de parties augmente plus Lucie est sûre de gagner… Par contre avec relativement
peu de parties les chances de Gilles de gagner sont loin d’être négligeables : par exemple 25% de chances sur 11
parties, c’est la « glorieuse incertitude du sport » !
7.4.10. Sécurité des transmissions
1. a. Il y a deux possibilités pour chaque chiffre, soit 2
4
=16.
b. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4. La loi de X est une loi binomiale
1
4,
2
B . Son espérance est
1
4. 2
2
np
= =
.
2.
(
)
3
E 32 10
n
−
= ×
P
.
a.
( ) ( )
33
4
0
E 1 E 1 4 32 10 0,872
n
n
−
=
= − = − × × ≈
∑
P P .
b. Si E
0
s’est produit, l’imprimante n’a marqué que des 0, il fallait donc que l’appareil envoie la séquence 0000 :
( )
0
1
C
16
=P. On en déduit
( ) ( ) ( )
0 0 0
1
C E C E 0,032 0,002
16
∩ = × = × =P E P .