Modélisation du cycle de vie

ÓFrançoisLONGIN www.longin.fr
Exer cice3ducour s Wealthmanagement:«Modélisationdu cycledevie»
Cet exercice a pour objectif d’étudier le modèle du cyclede vie. Ce modèletraite de  la
planification financièred’unindividuet s’intéresseen particulieràlaconsommation etl’épargne
de l’individu: quel niveau de sa richesse consommeratil et épargneratil à chaque période?
Dans quels type d’actifs financiers (sans risque ou risqué) investiratil son épargne? Le modèle
reposesurunemodélisation del’individuetdel’environnementfinancier.Lemodèleducyclede
viepermetaussideclasserlesindividusselonleurstyledevie,cequipeutêtreutilisépourmieux
conseiller le client pour la gestion de patrimoine. Le cas utilise le logiciel LCM («Life Cycle
Modelling») qui a été réalisé en coopération avec LéoPaul BaillyKermene, alors étudiant à
l’EcoleNationaledesPontsetChaussées.
I)Pr ésentationdulogiciel
Le logiciel LCM (« Life Cycle Modelling ») met en œuvre le modèle du cycle de vie
développéparMerton(1969).Lelogicielestorganiséen troisparties:
 La feuille « Modèle de Merton » dans laquelle l’utilisateur rentre les paramètres
définissant l’individu (âge, date de décès, richesse actuelle, coefficient d’aversion au
risque, taux de dépréciation du futur, coefficient de la fonction leg) et l’environnement
financier (taux d’intérêt sans risque, taux derentabilité et écarttypede la rentabilitéde
l’actif risqué). Cette feuille donne les résultats suivants: propension à consommer la
richesse,consommationannuelleetallocationdelarichesseenactifsansrisqueetenactif
risqué.
 Lafeuille« ScénarioUtilisateur»danslaquellel’utilisateurrentreunscénariod’évolution
dutauxderentabilitédel’actifrisqué.Cettefeuilledonnelesrésultatssuivants:évolution
delaconsommation,delarichesse,del’allocationdecetterichesseenactifsansrisqueet
enactifrisquéetdutauxdepropensionàconsommertoutaulongdelaviedel’individu.
 La feuille « Simulation Aléatoire» dans laquellequilescénario d’évolution du taux de
rentabilitédel’actifrisquéestsimuléparlelogicield’aprèsuneloinormale.Cettefeuille
donnelesmêmesrésultatsquelafeuilleprécédente.
I)Questions
A. Modèlethéorique
Question 1: donner les hypothèses du modèle du cycle de vie de Merton : les hypothèses de
modélisationsurl’individuetsurl’environnementfinancier.
Question 2: exposer le problème d’optimisation de l’individu: paramètres du modèle, variables
d’optimisation,fonctionàoptimiseretcontraintebudgétaire.
Question 3: exposer les principaux résultats du modèlede Merton :taux deconsommation dela
richesseetallocationdelarichesse.
Question4:donnerleslimitesetlesextensionspossiblesdumodèledeMerton.

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B. Etudeducycledevied’unindividu
Dans cette partie, on étudie le cycle de vie d’un individu. Pour répondreauxquestions, on
pourrautiliserlelogicielLCMdisponiblesurlesitewww.longin.fr.
Onconsidéreral’individuestcaractériséparlesélémentssuivants:
 Age t :35ans
 Agedudécès T :75ans
 Richesseactuelle W
0 :350000€
 Coefficientd’aversionaurisquerelatif γ:1
 Tauxdedépréciationdufuturρ:6%
 Coefficientdelafonctionlegε:0,5
L’environnementfinancierestcaractériséparlesélémentssuivants:
 Tauxd’intérêtdel’actifsansrisque r :3%
 Tauxderentabilitéanticipédel’actifrisqué a :8%
 Ecarttypedelarentabilitédel’actifrisquéσ:20%
Question 6: caractériser les décisions optimales de l’individu en termes de consommation et
d’allocationdelarichesseenactifsansrisqueeten actifrisqué.
Question7:étudierl’évolutiondelaconsommation,delarichesseetdel’allocationdelarichesse
enactifsansrisqueetenactifrisquéaucoursdelaviedel’individu.Onreprésenteragraphiquement
l’évolutiondecesvariablespourlesdeux scénariossuivants:
 Croissancedelavaleurdel’actifrisquéautauxanticipé(8%paran)
 Croissance de la valeur de l’actif risqué au taux de8% paranles 15premières années
suivid’unkrachboursierde50%etd’unecroissancede2%paran
 Croissancealéatoiredelavaleurdel’actifrisqué.
C. Etudedesensibilité
Danscettepartie,ons’intéresseàl’impactdesparamètresdumodèlesurlaconsommationde
l’individu,sarichesseetl’allocationdesarichesseen actifsansrisqueetenactifrisqué.Danschaque
cas,oninterprèteraéconomiquementl’effetobservé.
Question8:étudierl’impactdesparamètressuivants:
 L’âgedel’individu:35,45,55et65ans.
 Larichesseinitiale:400000€aulieude300000€.
 Lecoefficientd’aversionaurisque(relatif):0.5pourunindividumoinsaverseaurisque
et2pourunindividuplusaverseaurisque.
 Letauxdedépréciationdufutur:10%aulieude6%.
 Lecoefficientdelafonctionleg:0pourunindividunesouhaitantrienléguéet1pourun
individusouhaitantléguédavantage.
 Letauxsansrisque:5%aulieude3%.

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 Letauxderentabilitéanticipédel’actifrisqué:12%aulieude8%.
 L’écarttypedutauxderentabilitéanticipédel’actif risqué:30%aulieude20%.
D. Applicationdumodèleauconseil engestiondepatrimoine
Dans cette partie, on s’intéresse àl’applicationdu modèledu cyclede viedanslecadre du
conseil en gestion de patrimoine. Plus précisément, on étudie le rapport entre les caractéristiques
d’unindividutellesquedéfiniesdanslemodèleetsonprofildeconsommationetd’épargne.
Question 9: donner une classification des individus à partir des paramètres modélisant le
comportement de l’individu: son coefficient d’aversion au risque et son taux de dépréciation du
futur.Etudierleprofild’individustypesentermesdeconsommationetd’allocationdelarichesseen
actifsansrisqueetenactifrisqué.Quelsinvestissements(liquidités,obligations,actions,immobilier,
etc.)conviennentlemieuxpourchaquetyped’individu? Onprésenteralesrésultatsdansuntableau.
Coefficientd’aversionaurisque
Faible(0,5) Fort(2)
Faible
(2%)
Ct =
wt =
Produit:
Ct =
wt =
Produit:
Taux
de
dépréciation
dufutur Fort
(9%)
Ct =
wt =
Produit:
Ct =
wt =
Produit:
Question10:proposeruneterminologiepourlaclassificationdesindividus.Onutiliseradesnoms
d’animauxaccompagnésd’adjectifspertinents.
1
V)Références
ArrondelL.,A.MassonetD.Verger(2005) “Préférencesfaceaurisqueetàl'avenir:typed'épargnants,”
Revueéconomique ,56, 393416.
Merton R. C. (1969) “Lifetime portfolio selection under uncertainty : the continuoustime case,”  The
ReviewofEconomicsandStatistics ,51,24757.
Samuelson P. A. (1969) “Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming,” Review of
EconomicsandStatistics ,51,239246.
1 Unepublicitébancairerécenteutilisaitparexemplelesexpressions«oiseaujoueur»ou«castorprudent»
pourdécrirelesinvestisseurs.

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VI)Sitesutiles
www.insee.fr :sitedeInstitutNationaldelaStatistiqueetdesEtudesEconomiques(Insee)surlequelse
trouventdesétudessurle comportement etle patrimoinedes ménages.
www.longin.fr :lelogicielLCM« LifecycleModelling » setrouvedanslarubrique « Documents »dela
séance9ducours « Wealthmanagement» (accèsréservé).