Annexe 6.– Statique comparative de la théorie du portefeuille

Jean-Louis CAYATTE, Microéconomie de l’incertitude, De Boeck, 2009
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Annexe 6.– Statique comparative de la théorie du
portefeuille
1.- Effet de ω sur a ∗
Ecrivons la condition du premier ordre (9.4) sous la forme:
Eu ′ ω1 + i + a ∗ Y − iY − i = Ha ∗ , ω, i, FY = 0
où FY est la fonction de répartition de Y, et contient donc toutes les informations sur Y. Puisque, à
l’optimum, H = 0, on peut écrire que sa différentielle est nulle. En raisonnant toutes choses égales par
ailleurs (donc en supposant que ni i ni FY ne varient):
dH = ∂H∗ da ∗ + ∂H dω = 0
∂a
∂ω
∂H
da ∗ = − ∂ω
dω
∂H
∂a
Or H est la dérivée première de EuWa par rapport à a. Donc
par rapport à a. Donc
da ∗ = −
dω
∂H
∂a
est la dérivée seconde de EuWa
∂H
∂ω
d 2 EuWa
da 2
Le dénominateur étant négatif pour un riscophobe, nous obtenons un premier résultat:
da ∗
dω
signe de
= signe de
∂H
∂ω
Or
∂H = ∂ Eu ′ ω1 + i + a ∗ Y − iY − i =
∂ω
∂ω
= 1 + iEu ′′ W ∗ Y − i
u ′′ est négatif chez un riscophobe, mais Y − i n’a pas toujours le même signe.
Jusqu’à présent, nous avons toujours mesuré l’aversion pour le risque en un point w. Ici, nous ne
mesurons pas l’aversion, mais nous construisons la variable aléatoire
A a W = −
u ′′ W
u ′ W
a) Si l’aversion pour le risque est constante
A a w = α
∀w
alors, la variable aléatoire A a W = α est dégénérée. Alors u ′′ W ∗  = −αu ′ W ∗ . Donc
∂H = 1 + iE−αu ′ W ∗ Y − i
∂ω
= −1 + iαEu ′ W ∗ Y − i
Or la condition du premier ordre est
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Eu ′ W ∗ Y − i = 0
est nul, et donc
Au total, si l’aversion pour le risque est constante, ∂H
∂ω
da ∗
dω
aussi:
dA a = 0  da ∗ = 0
dw
dω
Si l’aversion pour le risque est constante, l’actif risqué est un bien ni supérieur ni inférieur. La quantité
optimale a ∗ d’actif risqué ne varie pas quand la richesse varie.
b) si l’aversion pour le risque est positive et décroissante avec la richesse, A a W est une variable
aléatoire dont toutes les valeurs sont positives, et d’autant plus faibles que la valeur prise par W est élevée.
Alors
∂H = −1 + iEA W ∗ u ′ W ∗ Y − i
a
∂ω
Or chaque terme de EA a W ∗ u ′ W ∗ Y − i est
– positif si la valeur réalisée de Y est supérieure à i;
– nul si la valeur réalisée de Y est égale à i;
– négatif si la valeur réalisée de Y est inférieure à i.
L’espérance Eu ′ W ∗ Y − i est nulle en vertu de la condition du premier ordre. En introduisant A a W ∗ 
dans ce produit, on modifie les pondérations de cette moyenne des produits u ′ W ∗ Y − i, en donnant un
poids élevé aux produits dans lesquels W ∗ prend une valeur faible, et un poids faible aux produits dans
lesquels W ∗ prend une valeur forte.
Or W ∗ prend une valeur faible
– si a ∗ > 0, quand Y − i est négatif
– si a ∗ < 0, quand Y − i est positif.
Donc
∗
– si a ∗ > 0, EA a Wu ′ WY − i < 0, et donc da > 0
dω∗
– si a ∗ < 0, EA a Wu ′ WY − i > 0, et donc da < 0
dω
soit
d|a ∗ |
>0
dω
Donc, si l’aversion pour le risque décroît avec la richesse, l’actif risqué est un bien supérieur:
l’augmentation de sa richesse incite le riscophobe à s’éloigner de la position sans risque.
c) si l’aversion pour le risque était positive mais croissante avec la richesse, le même raisonnement
conduirait au résultat symétrique: l’augmentation de sa richesse inciterait l’agent à se rapprocher de la
position sans risque.
2.- L’actif risqué comme bien de luxe
Calculons
∗
 ωa ∗ = ω∗ da
a dω
Nous avons vu dans l’annexe 6.1, que
∂H
1 + iEu ′′ W ∗ Y − i
∂ω
da ∗ = −
=
−
dω
d 2 EuWa
E u ′′ W ∗ Y − i 2
2
da
Réécrivons l’élasticité
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 ωa ∗ = 1 +
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−1 + iωEu ′′ W ∗ Y − i − a ∗ E u ′′ W ∗ Y − i 2
a ∗ E u ′′ W ∗ Y − i 2
et interrogeons-nous sur le signe du numérateur de la fraction:
N = E−1 + iωu ′′ W ∗ Y − i − a ∗ E u ′′ W ∗ Y − i 2
= E−W ∗ + a ∗ Y − iu ′′ W ∗ Y − i − a ∗ E u ′′ W ∗ Y − i 2
= E−W ∗ u ′′ W ∗ Y − i + E a ∗ u ′′ W ∗ Y − i 2 − a ∗ E u ′′ W ∗ Y − i 2
= E−W ∗ u ′′ W ∗ Y − i
Construisons, comme dans l’annexe 6.1, la variable aléatoire
A r W = −W
u ′′ W
u ′ W
et réécrivons
N = EA r W ∗ u ′ W ∗ Y − i
Nous retrouvons une moyenne de u ′ W ∗ Y − i repondérée par l’aversion relative. Le même
raisonnement qu’à l’annexe 6.1, permet d’établir les résultats suivants:
a) Si l’aversion relative est constante (A r w = α), alors N = αEu ′ W ∗ Y − i = 0, en vertu de la
condition du premier ordre. Donc
 ωa ∗ = 1 +
N
a ∗ E u ′′ WY − i 2
=1
Si l’aversion relative pour le risque est constante, l’actif risqué est un bien supérieur mais pas de luxe.
b) si l’aversion relative est positive et croissante avec la richesse, A r W est une variable aléatoire dont
toutes les valeurs sont positives, et d’autant plus élevées que la valeur prise par W est élevée.
Or chaque terme de EA r W ∗ u ′ W ∗ Y − i est
– positif si la valeur réalisée de Y est supérieure à i;
– nul si la valeur réalisée de Y est égale à i;
– négatif si la valeur réalisée de Y est inférieure à i.
L’espérance Eu ′ W ∗ Y − i est nulle en vertu de la condition du premier ordre. En introduisant A r W ∗ 
dans ce produit, on modifie les pondérations de cette moyenne des produits u ′ W ∗ Y − i, avec un poids
faible lorsque W ∗ prend une valeur faible, et un poids élevé aux produits dans lesquels W ∗ prend une valeur
élevé.
Or W ∗ prend une valeur faible
– si a ∗ > 0, quand Y − i est négatif
– si a ∗ < 0, quand Y − i est positif.
Donc
– si a ∗ > 0, EA r W ∗ u ′ W ∗ Y − i = N > 0, le dénominateur est négatif, et donc  ωa ∗ < 1
– si a ∗ < 0, EA r W ∗ u ′ W ∗ Y − i = N < 0, le dénominateur est positif et donc  ωa ∗ < 1
soit, dans les deux cas:
 ωa ∗ < 1
Si l’aversion relative pour le risque est positive et croissante avec la richesse, l’actif risqué est un
bien supérieur, mais pas de luxe.
c) Enfin, si l’aversion relative pour le risque était positive mais décroissante avec la richesse, le même
raisonnement conduirait à  ωa ∗ > 1. Il faut donc supposer l’aversion relative pour le risque décroissante avec
la richesse pour que l’actif risqué soit un bien de luxe.
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3.- Effet de i sur la demande d’actif risqué
Avec la même méthode que dans l’annexe 6.1, on écrit
∂H da ∗ + ∂H di = 0
∂a ∗
∂i
∂H
∂H
∂i
da ∗ = − ∂i = −
di
∂H
d 2 EuWa
∂a
da 2
D’où l’on tire
∗
sgn da
di
= sgn ∂H
∂i
Or
∂H = Eu ′′ W ∗ ω − a ∗ Y − i − u ′ W ∗ 
∂i
u ′′ W ∗ 
= E −u ′ W ∗  1 − Y − im ∗ ′ ∗
u W 
Si le terme entre crochets est positif pour toutes les valeurs de Y et de W, donc si
1 − y − im ∗
alors
∂H
∂i
u ′′ w
=z>0
u ′ w
, espérance d’une variable aléatoire qui ne peut prendre que des valeurs négatives, est négatif et donc
da ∗ < 0
di
Discutons donc le signe de z. u ′′ w est négatif pour un riscophobe, et u ′ w est positif en vertu de
l’hypothèse de non satiété. En revanche, m ∗ peut être positif ou négatif. y − i est positif quand y > i et négatif
dans le cas contraire. Voyons les différents cas possibles.
a) Si m ∗ > 0
– si y > i, et donc z est positif;
– si y < i, posons ω ′′ = −y − im ∗ > 0. Alors, z est positif si
1 + ω ′′
u ′′ w
>0
u ′ w
Pour qu’il en aille ainsi, il faut que l’aversion partielle
A p w, ω ′′  = −ω ′′
u ′′ w
u ′ w
soit inférieure à 1 pour toute valeur de ω ′′ et de w.
b) Si m ∗ = 0, z est égal à 1, et donc positif.
c) Si m ∗ < 0
– si y < i, z est positif;
– si y > i, ω ′′ = −y − im ∗ > 0. Alors,
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z = 1 − A p w, ω ′′  > 0
si l’aversion partielle est inférieure à 1 pour toute valeur de ω ′′ et de w.
Si l’aversion partielle pour le risque est partout inférieure à 1, la demande d’actif risqué diminue
lorsque le rendement de l’actif certain augmente.
La démonstration montre clairement qu’il s’agit d’une condition suffisante, et que la réciproque n’est pas
établie: ∂H
peut être négatif sans que l’aversion partielle soit partout inférieure à 1.
∂i
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