Cas du séminaire Savoir vendre les nouvelles classes d`actifs

Cas du séminaire Savoir vendre les nouvelles classes d’actifs financier s : « Etude du compor tement du pr ix des actifs financier s » Cet exercice a pour objet d’étudier le comportement du prix des actifs financiers. Il s’intéresse en particulier aux propriétés statistiques des prix. A titre d’exemple, cet exercice utilise une base de données des valeurs de l’indice CAC 40 pour mettre en évidence des faits stylisés. Des modèles statistiques couramment utilisés en finance sont ensuite utilisés pour modéliser les données empiriques. Enfin, les données et les modèles sont utilisés pour réaliser des simulations de prix. I) Etude de la base de données Cette partie étudie les propriétés statistiques des prix des actifs financiers. Des faits stylisés sont mis en évidence sans l’application d’un modèle préalable. La connaissance de ces faits stylisés permet de déterminer un modèle pertinent pour réaliser des simulations. De plus, certaines propriétés du prix des options (le smile) peuvent être expliquées par les propriétés du prix de l’actif sous­jacent (queues de distribution). Question 1 : à partir de la série des valeurs de l’indice CAC 40, calculer la série de rentabilités de l’indice. On s’interrogera sur le choix de la définition du taux de rentabilité utilisé. Représenter graphiquement l’évolution de la valeur de l’indice et de sa rentabilité au cours du temps. Question 2 : représenter graphiquement la distribution historique de la rentabilité de l’indice CAC 40. Commenter la forme de cette distribution. Question 3 : rappeler la définition des moments d’une variable aléatoire. Calculer les quatre premiers moments de la rentabilité de l’indice CAC 40 : la moyenne, la variance et l’écart­type, la skewness et la kurtosis. Commenter les résultats. Question 4 : calculer les quantiles de la distribution des rentabilités à 0,1%, 0.5%, 1%, 5% et 10% (queue gauche de la distribution) et les quantiles à 90%, 95%, 99%, 99.5% et 99.9% (queue droite de la distribution). Commenter les résultats. Question 5 : calculer l’auto­corrélation de la série des rentabilités à l’ordre 1, 2, 3, 4 et 5. Quelle théorie financière ces tests d’auto­corrélation permettent de valider ou de ne pas valider ? Question 6 : calculer la série de volatilité historique de la rentabilité. On calculera la volatilité historique avec un historique d’un mois, de trois mois et de six mois. Représenter graphiquement l’évolution de la valeur de la volatilité de l’indice au cours du temps. Commenter la forme de la courbe. II) Modélisation de la distr ibution des rentabilités Cette partie modélise le comportement statistique des prix des actifs financiers à l’aide de la distribution normale (encore appelée loi de Gauss) qui est très utilisée en finance. Elle étudie aussi les limites du modèle gaussien. Question 7 : représenter graphiquement la distribution normale des rentabilités de l’indice CAC 40. On précisera les valeurs des deux paramètres qui caractérisent la loi normale. Comparer la forme de la distribution normale et de la distribution historique. Question 8 : calculer les quantiles de la distribution normale des rentabilités à 0,1%, 0.5%, 1%, 5% et 10% (queue gauche de la distribution) et les quantiles à 90%, 95%, 99%, 99.5% et 99.9% (queue droite de la distribution). Comparer les résultats à ceux obtenus avec la distribution historique. Question 9 : quelles sont les caractéristiques de la distribution historique qui sont bien modélisées
Ó François LONGIN www.longin.fr par la distribution normale et quelles sont celles qui sont mal modélisées ? III) Modélisation du processus des rentabilités Cette partie modélise le comportement statistique des prix des actifs financiers à l’aide d’un processus (et non d’une distribution qui suppose implicitement que les observations sont indépendantes et identiquement distribuées – cas « iid »). La classe des processus utilisés est celle des processus ARCH (qui signifie auto­regressive conditional heteroskedastic). Ces processus permettent de modéliser le second moment d’une variable aléatoire. Ils sont couramment utilisés en finance pour modéliser la volatilité du prix des actifs financiers et évaluer les produits dérivés en salle de marché. Question 10 : rappeler les propriétés statistiques que les processus ARCH permettent de modéliser. Question 11 : estimer les paramètres d’un processus GARCH (1,1). On rappellera au préalable les équations du modèle. IV) Simulation des rentabilités Cette partie se propose de simuler des données de prix ou de rentabilités à partir d’un modèle donné. On utilisera la distribution normale (non conditionnelle) et le processus ARCH. De telles simulations (encore appelées scénarios) sont utilisées pour présenter les caractéristiques des produits structurés dans les documentations commerciales remises aux clients. Question 12 : simuler sur un trimestre (soixante jours ouvrés) l’évolution de la valeur de l’indice CAC 40 ainsi que celle de sa rentabilité en prenant comme modèle de simulation la loi normale précédemment estimée. Question 13 : simuler sur un trimestre (soixante jours ouvrés) l’évolution de la valeur de l’indice CAC 40 ainsi que celle de sa rentabilité en prenant comme modèle de simulation le processus GARCH(1,1) précédemment estimé. IV) Référ ences A. Litérature scientifique Engle R. F. (1982) “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation,” Econometrica , 50, 987­1008. Longin F. (1996) “The asymptotic distribution of extreme stock market returns,” Journal of Business, 63, 383­408. B. Sites utiles www.longin.fr: aller dans la rubrique « Ressources » où des modèles d’estimation sont disponibles en ligne.
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