Eléments de mathématiques financières

Programme ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire « L’investissement immobilier » Eléments de mathématiques financièr es
Ó Fr ançois Longin 1 www.longin.fr Capitalisation (1) § Un euro aujourd’hui n’a pas la même valeur qu’un euro demain car l’argent peut être prêté, le prêteur recevant des intérêts de la part de l’emprunteur. § L’opération de capitalisation permet de calculer la valeur future d’une somme d’argent présente. § Exemple : une entreprise dispose de 100 euros aujourd'hui. Quelle est la valeur de ces 100 euros dans un an sachant que l’entreprise peut les placer au taux de 10% l'an ? § A la date 0 : C0 = 100 € à A la date 1: C 1 =100×(1 + 0,10) = 110 €
Ó Fr ançois Longin 2 www.longin.fr CAPITALISATION (2) • CAPITALISATION D' UN SEUL FLUX : § La valeur à la date T d'un capital F 0 à la date 0 est donnée par : A la date 0 : F 0 à A la date T : F 0×(1+r )T • CAPITALISATION D' UNE SEQUENCE DE FLUX : § La valeur à la date T d'une séquence de flux financiers F 0 , F 1 , ..., F T est donnée par : w Aux différentes dates 0, 1, ..., T : F 0 , F 1 , ..., F T T à A la date T :
T­t (
)
å F t × 1+ r t= 0 Ó Fr ançois Longin 3 www.longin.fr CAPITALISATION (3) Remarque : l’opération de capitalisation suppose l’existence d’un placement pour chaque maturité (1, 2, …, T). De plus, le taux r du placement est supposé identique pour toutes les maturités (1, 2, …, T). Exer cice : un capital de 200 eur os placés à un taux annuel de 15% . Calculer combien il r appor te au bout de 6 mois et au bout de 6 ans? On pr éciser a la convention choisie pour tr ansfor mer le taux annuel en taux pér iode.
Ó Fr ançois Longin 4 www.longin.fr VALEUR FUTURE • DEFINITION § La valeur future (VF) d’une séquence de flux financiers F 1 , …, F T est la somme capitalisée de ces flux au taux d’actualisation r : VF ({F t }t= 1 ,T , r ) =
F 1 × (1 + r )T - 1 + F 2 × (1 + r )T - 2 + ...+ F T -1 × (1 + r )+ F T . Question : que r epr ésente la valeur futur e d’un placement ?
Ó Fr ançois Longin 5 www.longin.fr VALEUR NETTE FUTURE • DEFINITION § La valeur nette future est la valeur future de la séquence de flux nette du flux initial. § La valeur nette future (VNF) d’une séquence de flux financiers F 0 , F 1 , …, F T est la somme actualisée au taux d’actualisation r : VF ({F t }t=1 ,T , r ) = F 0 × (1 + r )T + F 1 × (1 + r )T -1 + F 2 × (1 + r )T -2 + ... + F T -1 × (1 + r ) + F T . Question : que r epr ésente la valeur nette futur e d’un placement ?
Ó Fr ançois Longin 6 www.longin.fr ACTUALISATION (1) Un euro demain n’a pas la même valeur qu’un euro aujourd’hui car l’argent peut être emprunté, l’emprunteur versant des intérêts au prêteur. § L’opération d’actualisation permet de calculer la valeur présente d’une somme d’argent future. § L’opération d'actualisation est l’opération inverse de la capitalisation. Elle est fondée sur la même idée: l’argent placé rapporte intérêt. § § Exemple : une entreprise disposera de 100 euros dans un an. Quelle est la valeur de ces 100 euros aujourd'hui sachant que l’entreprise peut emprunter cet argent au taux de 10% l'an ? § A la date 1 : C1 = 100 € à A la date 0: C0 = 100/(1+0,10) = 90,91 €
Ó Fr ançois Longin 7 www.longin.fr ACTUALISATION (2) • ACTUALISATION D' UN FLUX : § La valeur à la date 0 d'un flux d'argent F à la date T est donnée par : w A la date t : F t Ó Fr ançois Longin à A la date 0 :
8 F t (1+ r ) t www.longin.fr ACTUALISATION (3) • ACTUALISATION D' UNE SEQUENCE DE FLUX : § La valeur à la date 0 d'une séquence de flux d'argent F 0 , F 1 , ..., F T est donnée par : w Aux différentes dates 0, 1, ..., T: F 0 , F 1 , ..., F T T w
F t à A la date T : å
t (
)
1 +
r t= 0 Exer cice : déter miner le montant qu’il faut placer à 5% pour obtenir 1 000 eur os au bout de 10 ans ?
Ó Fr ançois Longin 9 www.longin.fr VALEUR PRESENTE • DEFINITION § La valeur présente (VP) d’une séquence de flux financiers F 1 , …, F T est la somme actualisée des flux au taux d’actualisation r :
F F F VP {F t } t=1 ,T , r = 1 + 2 2 + ... + T T .
1 + r (1 + r )
(1+ r ) (
Ó Fr ançois Longin )
10 www.longin.fr VALEUR NETTE PRESENTE • DEFINITION § La valeur nette présente est la valeur présente de la séquence de flux nette du flux initial. § La valeur nette présente (VNP) d’une séquence de flux financiers F 0 , F 1 , …, F T est la somme actualisée de tous les flux au taux d’actualisation r : (
)
VNP {F t }t= 0 ,T , r = F 0 +
F 1 F F + 2 2 + ... + T T .
1 + r (1 + r )
(1+ r ) Question : quelles sont les hypothèses sous­jacentes au calcul de la VNP ?
Ó Fr ançois Longin 11 www.longin.fr APPLICATIONS DE LA VALEUR NETTE PRESENTE (1) § Le concept de VNP peut être utilisé pour évaluer l’aspect financier d’un investissement. § Il peut s’agir d’un investissement financier (placement bancaire par exemple) ou d’un investissement immobilier (achat d’un appartement).
Ó Fr ançois Longin 12 www.longin.fr APPLICATIONS DE LA VALEUR NETTE PRESENTE (2) • EVALUATION D’UN INVESTISSEMENT § Un investissement est caractérisé par la séquence de flux suivante : w Un investissement initial de 1 000 € (F 0 = ­1 000 €) w Des revenus annuels perçus en fin d’année de 500 € sur 6 ans (F 1 =F 2 =F 3 =F 4 =F 5 =F 6 =+500€). w Le taux de rentabilité anticipé pour ce type d’investissement (en termes de risque) est 10% (r =0,10). Que faire? § Pour répondre à cette question, il faut calculer la VNP du placement en utilisant comme taux d’actualisation le taux de rentabilité attendu pour ce type d’investissement.
Ó Fr ançois Longin 13 www.longin.fr APPLICATIONS DE LA VALEUR NETTE PRESENTE (3) • EVALUATION D’UN INVESTISSEMENT FINANCIER (suite) -1 . 000 +
§ § 500 500 500 500 500 500 + + + + + = 1.177,63 € . 2
3 4 5 6 1 +0 , 10 ( 1 +0 , 10 ) ( 1 +0 , 10 ) ( 1 +0 , 10 ) ( 1 +0 , 10 ) ( 1 +0 , 10 ) La VNP s’interprète comme le gain financier du produit bancaire par rapport au placement sur le marché. Il s’agit d’un gain actualisé (au taux du marché). Ce gain est exprimé en euros d’aujourd’hui (date 0). En investissant dans le produit bancaire, l’investisseur va gagner 1 177,63 € de plus qu’en investissant sur le marché (montant actualisé). Ó Fr ançois Longin 14 www.longin.fr CALCUL PRATIQUE DE LA VNP • Il existe plusieur s moyens de calcul de la VNP en pr atique : § Une simple calculatrice § Les tables financières (historique!) § Les calculatrices financières § Les tableurs § Les logiciels
Ó Fr ançois Longin 15 www.longin.fr TAUX DE RENTABILITE INTERNE • DEFINITION § Le taux de rentabilité interne (TRI) d’une séquence de flux est la valeur du taux d’actualisation qui annule la VNP de la séquence de flux: (
) VNP ( F t )t = 1 , T ; TRI = 0 , soit:
Ó Fr ançois Longin F 0 +
F 1 1 + TRI + F 2 2 ( 1 + TRI ) 16 + ... + F T T ( 1 + TRI ) = 0.
www.longin.fr PROBLEMES AVEC LE TRI • NON EXISTENCE DU TRI § La valeur nette présente de certaines séquences de flux ne s’annule jamais. Le TRI n’existe alors pas. Exemple: F 0 = + 10 et F 1 = + 10. • MULTIPLICITE DE VALEURS DU TRI § La valeur nette présente de certaines séquences de flux s’annule plusieurs fois. Il existe alors plusieurs valeurs du TRI. Question : pour quel type de séquence de flux obtient­ on plusieur s valeur s du TRI ?
Ó Fr ançois Longin 17 www.longin.fr LE TRI : BONNE MESURE DE RENTABILITE ? Exer cice: considér ons les deux pr ojets A et B mutuellement exclusifs. Les flux des deux pr ojets sont donnés par : Pr ojet A : F 0 = ­100, F 1 = +60 et F 2 = +60 Pr ojet B : F 0 = ­100, F 1 = ­100 et F 2 = +230 Déter miner dans quels cas l’application des cr itèr es du TRI et de la VNP conduisent au choix du même pr ojet. Exer cice: quel est le TRI d’un cadeau?
Ó Fr ançois Longin 18 www.longin.fr