EXERCICE 1

°
STATISTIQUES
MATHEMATIQUES
2010-2011
Exercice 1
Une conserverie alimentaire fabrique des boîtes de confiture d'abricots. Pour vérifier l'état de
fonctionnement de la chaîne de remplissage, on pèse un lot de 120 boîtes de confitures.
On a obtenu les résultats suivants :
masse (en g )
nombre de boîtes
995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005
3
7
9
15
26
32
17
5
4
1
1
1°a. Donner l'étendue , la médiane me , les quartiles et le mode de cette série.
b. Calculer la masse moyenne arrondie au dixième de cette série.
c . construire le diagramme en boîte de cette série .
2°. On considère que la chaîne est en bon état lorsque les deux conditions suivantes sont remplies :
a. L'écart entre la moyenne x et la médiane me est inférieur à 0,5.
b. Le pourcentage de boîtes en dehors de l'intervalle [998 ; 1002] est inférieur à 20 %.
En justifiant tous les calculs, répondre à la question : le fonctionnement de la chaîne est-il correct ?
Exercice 2
1°. Un lycée compte 300 élèves de seconde. On organise des devoirs communs en anglais où les élèves
. .1 et anglais L.V .2 ont le même
anglais LV
. .1 Anglais L.V .2 Total
Anglais LV
sujet. Compléter le tableau suivant :
Filles
120
2°. Après correction du devoir numéro 1,
on constate :
Garçons
35
. .1 est de 12,6 et
Que la moyenne des élèves de LV
Total
215
la moyenne des élèves de L.V .2 est de 10,2.
Quelle est la moyenne générale des élèves de
seconde ?
3°. Après correction du devoir numéro 2, on constate que la moyenne des garçons est de 11,03 et la
moyenne générale des élèves de seconde est de 11,54. Quelle est la moyenne des filles ?
4°. Calculer la fréquence des filles parmi les élèves qui ont choisit l’anglais comme première langue .
Calculer la fréquence des élèves qui ont choisit l’anglais LV2 parmi les garçons .
Exercice 3
Lors d’une enquête portant sur 200 personnes, on a demandé le temps passé par jour devant la
Télévision. On a obtenu les résultats suivants :
Temps ( en heures
0 ;1 1; 2   2 ;3  3 ; 4   4 ;5 
Effectifs
34
58
86
14
8
Fréquences ( en %)
Fréquences cumulées croissantes en (%)
1°.a. Quelle est la population étudiée ? Donner également le caractère étudié et sa nature.
b. Donner l'étendue , la médiane me , les quartiles et le mode de cette série.
c. Donner une valeur approchée du temps moyen..
d . Construire le diagramme en boîte de cette série .
e. Déterminer l’écart- type de cette série, puis calculer le pourcentage de temps passé devant
la télévision de l’intervalle [ x  2 x ; x  2 ]
2°. Compléter le tableau ci-dessus.
3°. Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes et déterminer par le graphique le temps
médian .Interpréter ce résultat par une phrase.
4° Déterminer l’équation de la droite passant par le point A(2; 43) et le point B (3;89 )
En déduire la valeur exacte de médiane .
5°. Est-il vrai que 50 % des personnes interrogées regardent la télévision plus de 2 heures par jour ?
Exercice 4
Une entreprise réalise une étude sur le prix de vente en euros d'un de ses articles dans les magasins de
deux départements A et B.
1
Partie A: Dans le département A l'étude donne les résultats suivants.
Prix constaté
Effectif
Fréquence en %
Fréquence cumulées croissantes en %
[98 ;99[
[99 ;100[
[100 ;101[
[101;102[
[102 ;103[
3
8
9
10
11
[106 ;107[
[103 ;104[
[104 ;105[
[105 ;106[
[107 ;108[
Prix constaté
Effectif
7
5
4
2
1
Fréquence en %
Fréquence cumulées croissantes en %
1°.a. Quelle est la population étudiée ? Donner également le caractère étudié et sa nature.
b. Donner l'étendue , la médiane me , les quartiles et le mode de cette série.
c. Calculer le prix de vente moyen arrondi à 0,01dans le département A.
Déterminer l’écart- type de cette série
d . Construire le diagramme en boîte de cette série .
2°. Compléter le tableau en calculant les fréquences arrondies à 0,1près, puis déterminer la valeur
médiane de la série
4° Déterminer l’équation de la droite passant par le point A(103; 41) et le point B (104; 48)
En déduire la valeur exacte du 3ème quartile de la série .
5°. Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes et déterminer par le graphique le temps
médian .Interpréter ce résultat par une phrase.
Partie B Dans le département B l'étude donne les résultats suivants pour 125 magasins
Prix constaté
Effectif
Fréquence en %
[98 ;99[
[99 ;100[
[100 ;101[
[101;102[
[102 ;103[
0,8
1,6
4
12
16
[106 ;107[
[103 ;104[
[104 ;105[
[105 ;106[
[107 ;108[
Prix constaté
Effectif
Fréquence en %
24
28
8,8
3,2
1,6
6°. Compléter ce tableau en calculant les effectifs
7°.a. Donner l'étendue , la médiane me , les quartiles et le mode de cette série.
b. Calculer le prix de vente moyen arrondi à 0,01dans le département B.
c . Construire le diagramme en boîte de cette série B .
8°. Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes et déterminer par le graphique le temps
médian .Interpréter ce résultat par une phrase.
9° Déterminer l’équation de la droite passant par le point A(103;32, 4 ) et le point B (104;56, 4 )
En déduire la valeur exacte de médiane
10°. Calculer le prix moyen arrondi à 0,01 dans les deux départements réunis.
Exercice 5-La durée de vie des disques Durs :
Une entreprise leader sur le marché du disque dur informatique teste aléatoirement la durée de vie de ses
disques durs en prenant au hasard sur les chaînes de montage 1 000 disques en une semaine.
Les résultats obtenus ci-dessous indiquent le nombre de centaine d’heures d’utilisation.
Centaines d’heures
[ 0 ; 10[
[10 ; 30 [
[ 30; 50 [
[50 ; 70[
[70 ; 100 [
Effectif
250
30
50
430
240
a) Quelle est la population étudiée ? La variable ? Quelle est la nature de la variable ?
b) Indiquer l’étendue et calculer le nombre d’heures moyen de vie des disques D .
c) Quelle est la classe modale ?
d) Construire un histogramme de cette série et indiquer si elle est homogène ou hétérogène.
e) Faire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes de cette série.
2
f) Calculer la médiane ( expliquer votre choix).
g) En pourcentage, calculer le nombre de disques appartenant à l’intervalle [ D  2005 ; D  1995] .
Peut-on affirmer qu’au moins 25 % des disques sont dans cet intervalle ?
h) L’entreprise peut-elle affirmer que 75 % de ses disques dépassent 5 000 heures de vie ?
i) L’entreprise doit-elle indiquer au consommateur la moyenne ou la médiane de la série ? (commenter)
Exercice 6
On s'intéresse au nombre de sorties au cinéma par mois pour 50 garçons et 70 filles. Les résultats du groupe
des garçons sont donnés ci-dessous:
20%
Fréquences
en
pourcentage
10%
0%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nombre de sorties
1. Sur la feuille annexe, compléter le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes de
la série des garçons.
Nombre de sorties
0 1
2
3
4
5
6
7
8
Fréquences
Fréquence cumulées croissantes
2. Calculer le nombre moyen de sorties par mois des garçons.
3. Déterminer la médiane de la série des garçons en justifiant la réponse.
4. (a) Donner la définition de «mode d'une série statistique».
(b) Donner le ou les modes de la série des garçons.
5. Donner l'étendue de la série des garçons.
6. Sachant que la moyenne des 120 élèves est de 2,75 sorties par mois, déterminer le nombre moyen de
sorties par mois du groupe des filles.
7. La fréquence des salles augmente de 20 %. En supposant que l'échantillon évolue de la même manière,
quelle est la nouvelle moyenne du groupe des 120 élèves?
Exercice 7
Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels, en euros, des employés d’une entreprise :
Salaire [800 ;900[ [900 ;1000[ [1000 ;1050[ [1050 ;1150[ [1150 ;1300[
Effectif
42
49
74
19
16
1) Représenter cette série par un diagramme circulaire
2) Calculer le salaire moyen dans cette entreprise. Que penser d’un tel résultat ?
3) Dans cette entreprise, combien d’employés gagnent au plus 1050 euros ?.Construire le polygone des
effectifs cumulés croissants et lire une valeur approchée de la médiane et de Q1 et Q3
3) Calculer de manière précise la médiane et les quartiles Q1 et Q3
5) Calculer l’écart type de cette série statistique
6) Dans cette série statistiques se rajoute une sixième catégorie d’employés dont les salaires appartiennent
à la classe [1300 ;1500[.
Quel est l’effectif de cette classe sachant que le salaire moyen au sein de cette entreprise est alors de 1200
3
Exercice n°8 :
Une étude statistique portant sur les salaires
mensuels des ouvriers d’une entreprise a
permis d’établir l’histogramme ci-contre.
1. Dresser le tableau statistique correspondant.
2. Calculer le salaire moyen x (arrondi au
centième d’euro), puis l’écart-type  .
3.Construire le polygone des fréquences
cumulées croissantes. Lire sur ce graphique
une valeur approchée de la médiane.
4. Calculer la valeur de la médiane.
5. Déterminer le pourcentage d’ouvriers dont le
salaire n’appartient pas à l’intervalle
[ x  2 ; x  2 ].
Exercice 9
Un radar sur autoroute enregistre la vitesse des automobilistes qui roulent à une vitesse supérieure ou
égale à 130 km.h 1 :
Vitesses v en km.h 1 135 135 140 145 150 160 180 210
8
5
8
6
3
3
1
1
Effectifs ni
Effectifs cumulés fi
1. Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants.
2. Rappeler la définition de l'étendue d'une série statistique, puis déterminer l'étendue de la série des
vitesses.
3. Rappeler la définition de mode d'une série statistique, puis déterminer le ou les modes de la série
des vitesses.
4. Rappeler la définition de la médiane d'une série statistique, puis déterminer la vitesse médiane .
5. Calculer la vitesse moyenne.
Exercice 10
Une étude statistique a été faite auprès de 225 personnes ayant perdu des points sur leur permis de
conduire durant les six premiers mois de l’année 2007. On a obtenu les résultats suivants :
1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de points perdus xi
75 41 39 34 14 9 8 5
Effectif ni
1. Calculer la moyenne de cette série statistique.
2. Calculer la médiane de cette série statistique.
3. Une enquête similaire a été faite durant les six derniers mois de l’année 2007 auprès de 275 autres
personnes. La moyenne des points retirés est égale à 2,2 pour ce groupe.
Quelle est la moyenne des points retirés pour les deux groupes réunis sur l’année 2007 ?
Exercice 11
Une société fabrique des barres métalliques. L’appareil qui coupe les barres est calibré pour obtenir des
barres de longueur 120 cm, mais cet appareil manque de précision.
Une étude faite sur la longueur de 40 barres a donné les résultats suivants :
Intervalle
[118 ; 118,5[ [118,5 ;119[ [119 ;120[ [120 ; 121[ [121 ;121,5[ [121,5 ; 122,5[
Effectif ni
2
7
10
8
10
3
1. Construire l’histogramme représentant cette série statistique.
2. Compléter le tableau Avec la ligne des fréquences, fréquence cumulées croissantes
3. Calculer la moyenne de cette série statistique.
4. Déterminer une valeur approchée de la médiane à partir des effectifs cumulés croissants ou du polygone
des effectifs cumulés croissants puis expliquer la lecture.
4
Correction
Exercice 1
1. a. L’étendue d’une série statistique est la différence entre le plus grande et la plus petite valeur du
Caractère e  vg  vp  1005  995  10 .
Le mode est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif : le mode est 1000
b. La calculatrice donne : x  999,358 , la masse moyenne arrondie au dixième est 999,4.
La série comporte 120 valeurs donc la médiane à la demie somme de 60e et 61e valeurs de la série
ordonnée .La 60e valeur est 999 , la 61e valeur est 1000 donc la médiane est Me 
999  1000
 999,5 .
2
2. la condition a) se traduit par 999,5  999, 4  0,1 valeur inférieur à 0,5 , donc la condition a) est vérifiée.
Vérifions la condition b) : il y a 2+8+9+4+1+1=25 , donc il y a 25 valeurs en dehors de l’intervalle
[998;1002] , ce qui correspond à
25
 100  20,83% des valeurs en dehors de [998;1002] .
120
Par conséquent la condition b) n’est pas remplie. le fonctionnement de la chaîne n’est pas correct .
Exercice 2
Anglais L.V.1
Anglais L.V.2
Total
Filles
120
50
170
Garçons
95
35
130
Total
215
85
300
2. On considère la série des notes du devoir numéro1 d’anglais de moyenne x .
Il y a deux groupes distincts : Le groupe d’anglais LV1 d’effectif 215 et de moyenne 12,6
Le groupe d’anglais LV2 d’effectif 85 et de moyenne 10,2
On eut donc écrire : x 
12,6  215  10, 2  85 2709  867 3576


 11,92 .
300
300
300
La moyenne générale des élèves de la classe est 11,92.
3. On considère la série des notes du devoir n°2 d’anglais de moyenne 11,54 .
Il y a deux sous groupes distincts : Le groupe des garçons d’effectif 130 et de moyenne 11,03
Le groupe des filles d’effectif 170 et de moyenne f .
11,03  130  f  170 1433,9  170 f

et 1433,9  170 f  300 11,54  3462 .
300
300
2028,1
170 f  3462  1433,9  2028,1 et enfin f 
 11,93 . L a moyenne des filles est 11,93
170
On peut donc écrire : 11,54 
4. a. On a encore une série statistique formée par deux sous groupes :
Le groupe des hommes d’effectif 15 et de moyenne des performances 11,2 s . Le groupe des femmes
11, 2 15  12,110 168  121 289


 11,56 .
d’effectif 10 et de moyenne des performances 12,1s . x 
25
25
25
La moyenne de performance de l’ensemble des coureurs est 11,56 s.
b. soit y la moyenne de performances de 5 hommes non sélectionnés
10,9  10  y  5 109  5 y

, soit 109  5 y  15 11, 2  168 , donc 5 y  168  109  59
15
15
59
et on a : y   11,8 . La moyenne de performances des 5 hommes non sélectionnées est 11,8
5
11, 2 
Exercice 5
Centaines d’heures
[ 0 ; 10[ [ 10 ; 30 [
[ 30 ; 50 [
[ 50 ; 70 [
[ 70 ; 100 [
Effectif
250
30
50
430
240
Fréquence
0,25
0,03
0,05
0,43
0,24
Fréquence cumulée croissante
0,25
0,28
0,33
0,76
1
1°)a)Quelle est la population étudiée ? Les disques durs fabriqués sur une chaine de montage.
Quelle est la variable ( ou le caractère) étudiée ? La durée de vie de ces disques durs.
5
Quelle est la nature de cette variable ?
Quantitative continue
Compléter le tableau ci-dessus.
2°)a) Indiquer l’étendue et la classe modale de cette série statistique.
Etendue : 100 – 0 = 100
Classe modale : [50 , 70 [
Calculer le nombre moyen d’heures de vie des disques et donner la classe contenant la médiane de cette
série. 5  0,25 + 20  0,0 3 + 40  0,05 + 60  0,43 + 85  0,24 = 50,05
0,33 < 0,5 < 0,76 donc la classe médiane est [50 , 70]
3°)Peut-on affirmer qu’au moins 25% des disques ont une durée de vie en centaines d’heure comprise
entre 30 et 70 ? Justifier votre réponse
50 + 430 = 480 disques ont une durée de vie comprise entre 30 et 70 heures et
480
= 0,48 > 0,25
1000
On peut donc dire que plus de 25 % de disques ont une durée de vie comprise entre 30 et 70 heures.
Correction exercice 6
1. tableau
Nombre de sorties
0 1
2
3
4
5
6
7
8
Fréquences
8 12 18 16 4
8
18 8
8
Fréquence cumulées croissantes 8 20 38 54 58 66 84 92 100
2. Calcul du nombre moyen de sorties par mois des garçons:
xG 
x f
i i
 0  0,08  1 0,12  2  0,18  3  0,16  4  0,04  5  0,08  6  0,18  7  0,08  8  0,08
xG  3,8 . Les garçons sortent en moyenne 3,8 fois par mois.
3. D'après le tableau des fréquences cumulées on remarque qu'il y a 38% des garçons qui sortent moins de
3 fois et 54% qui sortent au moins trois fois, la médiane est donc 3.
4. (a) Les modes sont les caractères qui ont le plus grand effectif.
(b) La série des garçons a deux modes: 2 et 6.
5. L'étendue vaut 8  0  8 .
6. Appelons x F le nombre moyen de sorties par mois du groupe des filles,
n  xG  nF  x F
50  3,8  70  x F
 50  3,8  70  x F  2, 75 120
, donc 2, 75 
x G
120
N
190  70 x F  330  70 x F  330  190  140 et on a : x F  140 / 70  2
Par conséquent les filles sortent en moyenne 2 fois par mois.
7. La fréquence des salles augmente de 20%, le nombre de sorties est donc multiplié par 1,2 et par
conséquent, la moyenne est elle-même multiplié par 1,2, elle vaut donc 2, 75  1, 2  3,3 .
La nouvelle moyenne est donc de 3,3.
Exercice 7
1) Les angles des secteurs angulaires du diagramme circulaire ont des mesures proportionnelles aux
effectifs :
Effectif 200 42
49
74
19
16
Angle
360°
2) Pour calculer le salaire moyen de l’entreprise, il faut considérer le milieu de chaque classe :
6
Salaire 850
Effectif
42
950
1025
49
1100
74
1225
19
16
p
1
 ni xi  993
N i 1
Le salaire moyen dans cette entreprise est donc de 993 €. Il n’est pas forcément très représentatif de
cette entreprise, car plus de la moitié des employés y gagnent plus de 1000 euros !
3) Pour répondre à cette question, il faut dresser le tableau des effectifs cumulés croissants :
Salaire
[800 ;900[ [900 ;1000[ [1000 ;1050[ [1050 ;1150[ [1150 ;1300[
Effectifs cumulés 42
42+49=91
91+74=165
165+19 =184 184+16=200
croissants
Ainsi, 165 employés gagnent au plus 1050 euros, au sein de cette entreprise A partir de ce tableau, on
dresse le polygone des effectifs cumulés croissants. A partir de ce polygone, on cherche le salaire médian,
c’est-à-dire celui qui va partager la série statistique en deux parties d’égale amplitude.
Il s’agit donc du salaire correspondant à un effectif cumulé de 100 salariés (moitié de l’effectif). On se
place ainsi que l’axe des ordonnées à l’effectif cumulé 100, et on lit l’antécédent de 100.
Ce sera la médiane. On procède de même avec les quartiles Q1 et Q3, qui correspondent respectivement
à un effectif cumulé de 0,25x200=50 et de 0,75x200=150.. Médiane 1010 , Q1 915 et Q3 1050
Le calcul de la moyenne est donc : x 
4) Calcul précis de la moyenne et des quartiles Q1 et Q3
Pour calculer la médiane, on va réaliser une interpolation linéaire entre les points A(1000 ;91) et
B(1050 ;165). L’équation de la droite (AB) est de la forme y= m x+p avec m 
yB  y A 165  91

 1,48 .
xB  xA 1050  100
donc y  1, 48 x  p . Pour trouver la valeur de p, on utilise les coordonnées de A (ou B!) : y A  1, 48xA  p
donc yA 1, 48xA  p  p  91 1, 48 1000  1389 . L’équation de (AB) est donc y  1, 48 x  1389 .
On trouve la médiane en calculant l’antécédent de la moitié de l’effectif (c’est à dire 200/2=100) par la
fonction affine f : x->1,48x-1389, c’est-à-dire en résolvant l’équation 1,48 x  1389  100  x 
1489
 1006,08
1,48
Ainsi Médiane 1006 . Puisque le quartile Q3 semble lui aussi appartenir à l’intervalle [1000;1050[, on
utilise la même droite, et on résout l’équation 1,48 x  1389  150  x 
1539
 1039,86 . Ainsi Q3
1,48
1040
De la même manière, pour déterminer le quartiles Q1, on doit déterminer l’équation de la droite reliant les
points (900 ;42) et (1000 ;91). Cette droite a pour équation y=0,49x-399, et la résolution de l’équation
0,49 x  399  50  x 
449
 916,33 fournit Q1
0,49
916
5) Commençons par calculer la Variance qui est la moyenne des carrés des écarts à la valeur, c’est-à-dire
7
2
1 p
ni xi2  X  10519, 75 .Enfin,

N i 1
6) La moyenne de la série statistique constituée des deux sous séries (salaires inférieurs à 1300 euros,
V ( x) 
d’effectif 200 et tranche [1300 ;1500[, d’effectif n, vaut : y 
l’équation 1200 
993  200  1400  n
 1200 . on résout
200  n
993  200  1400  n
 240000  1200n  198600  1400 n  200 n  41400  n  207
n  200
Il y aura donc 207 personnes dont le revenu appartient à la tranche [1300 ;1500[).
Exercice n°8 :
1.
Salaires (€)
effectifs
Fréquences (en %)
FCC
[940 ; 1000[
12
5,45
5,45
[1000 ; 1040[
44
20
25,45
[1040 ; 1080[
52
23,64
49,09
[1080 ; 1120[
48
21,82
70,91
[1120 ; 1200[
24
10,91
81,82
[1200 ; 1300]
40
18,18
100
220
100
12  970  44  1020  ... 242280

 1101,27 . Le salaire moyen est d’environ 1101,27 €.
2. x 
220
220
12  970 2  44  1020 2  ...
268370000
V
 1101,27 2 
 1212795 ,613  7068 ,0233
220
220
Et   V  84,07 . L’écart-type vaut environ 84,07 €.
3.
4. La médiane est dans l’intervalle [1080 ; 1120[.
Soient A(1080;49,09) et B(1120;70,91), le
coefficient directeur de la droite (AB) est
70,91  49,09
m
 0,5455 et, comme A est sur
1120  1080
cette droite, l’ordonnée à l’origine p est telle que
49,09 = 0,5455×1080+p, soit p = –540,05.
(AB) a donc pour équation y = 0,5455x–540,05.
La médiane Me est l’abscisse du point de cette
droite ayant pour ordonnée 50, donc est telle que
50 = 0,5455Me–540,05. On obtient
50  540 ,05
 1081,67 €.
Me =
0,5455
5. x  2 = 1101,27–2×84,07 = 933,13 et
x  2 = 1101,27+2×84,07 = 1269,41.
Aucun ouvrier ne gagne moins de 933,17 €.
Pour déterminer le nombre d’ouvriers gagnant plus de 1269,41 €, on utilise un produit en croix :
n 30,59
40  30,59

 12 .
soit n ce nombre d’ouvriers. 1300–1269,41 = 30,59 donc n est tel que
et n 
40 100
100
12
 0,0545  5,45% , donc 5,45% d’ouvriers ont un salaire n’appartenant pas à l’intervalle
220
[ x  2 ; x  2 ]. Le reste, soit 94,55%, ont un salaire dans cet intervalle.
8
9