mathématiques

M ATHÉMATIQUES
T ERMINALE ES
A. YALLOUZ
Ce polycopié regroupe les documents distribués aux élèves en cours d’année.
Il ne s’agit pas d’un manuel, certains chapitres du programme n’étant pas rédigés.
Année 2010-2011
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
A. YALLOUZ (MATH@ES)
Tle ES 1
2
TABLE DES MATIÈRES
I
7
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
1 DÉRIVATION
I
II
8
NOMBRE DÉRIVÉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITION
2
TANGENTE À UNE COURBE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FONCTION DÉRIVÉE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
3
DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS
4
DÉRIVÉE D ’ UNE FONCTION COMPOSÉE
5
DÉRIVÉE ET VARIATIONS D ’ UNE FONCTION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS
I
II
CONTINUITÉ D ’ UNE FONCTION
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
THÉORÈME
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RÉSOLUTIONS D ’ ÉQUATIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 LIMITES
I
II
III
9
9
9
10
10
10
11
12
12
14
22
22
22
23
23
23
25
29
NOTION DE LIMITE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
LIMITE FINIE D ’ UNE FONCTION EN UN RÉEL
2
LIMITE INFINIE D ’ UNE FONCTION EN UN RÉEL
3
LIMITE FINIE D ’ UNE FONCTION EN L’ INFINI
4
LIMITE INFINIE D ’ UNE FONCTION EN L’ INFINI
RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
LIMITE D ’ UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
LIMITE D ’ UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
LIMITE D ’ UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
FORMES INDÉTERMINÉES
5
LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS
LIMITE PAR COMPARAISON
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T HÉORÈME 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T HÉORÈME 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T HÉORÈME 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
30
30
30
30
31
32
32
32
32
33
33
34
34
34
34
35
3
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
TABLE DES MATIÈRES
4 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
ACTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AJUSTEMENT AFFINE D ’ UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES . . . .
1
NUAGE DE POINTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
ACTIVITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
PRIMITIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ENSEMBLE DES PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
3
PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION . . .
II
CALCULS DE PRIMITIVES . . . . . . . . . . . . .
1
PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES . .
2
PRIMITIVES DES FORMES USUELLES . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 FONCTION LOGARITHME
ACTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . .
I
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN .
1
DÉFINITION . . . . . . . . .
2
CONSÉQUENCES . . . . . . .
II
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES . . . . .
1
PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE .
2
AUTRES RÈGLES DE CALCUL .
III ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME
1
VARIATION . . . . . . . . . .
2
LIMITES . . . . . . . . . . .
3
LE NOMBRE e . . . . . . . .
4
COURBE REPRÉSENTATIVE . .
5
LIMITES IMPORTANTES . . . .
IV ÉTUDE D ’ UNE FONCTION ln(u) . . .
1
DÉFINITION . . . . . . . . .
2
LIMITES . . . . . . . . . . .
3
VARIATIONS . . . . . . . . .
4
DÉRIVÉE . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . .
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7 PROBABILITÉS
I
MODÉLISER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE . . . . . . . . . .
1
VOCABULAIRE ET NOTATIONS . . . . . . . . . . . . .
2
PROBABILITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES . . . . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES . . . . . . . .
3
REPRÉSENTATION SOUS FORME D ’ UN ARBRE PONDÉRÉ
4
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS . . . . . . . . . . . .
III LOI NUMÉRIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
LOI DE PROBABILITÉ D ’ UNE VARIABLE ALÉATOIRE . . .
2
ESPÉRANCE , VARIANCE ET ÉCART- TYPE . . . . . . .
IV LOI BINOMIALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
ÉPREUVE DE B ERNOULLI . . . . . . . . . . . . . .
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A. YALLOUZ (MATH@ES)
39
40
42
42
42
45
54
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56
56
56
56
57
57
57
58
60
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NÉPÉRIEN
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63
63
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65
65
65
66
67
67
67
67
67
68
82
83
83
83
86
87
87
88
89
89
89
90
91
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4
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
TABLE DES MATIÈRES
2
LOI BINOMIALE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 CALCUL INTÉGRAL
I NTRODUCTION . . . . . . . . . . . . .
I
INTÉGRALE D ’ UNE FONCTION . . . .
1
DÉFINITION . . . . . . . . .
2
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
3
PROPRIÉTÉS . . . . . . . .
II
PROPRIÉTÉS DE L’ INTÉGRALE . . . .
1
LINÉARITÉ . . . . . . . . . .
2
RELATION DE C HASLES . . .
3
ORDRE . . . . . . . . . . .
III INTÉGRALE ET MOYENNE . . . . . .
1
INÉGALITÉS DE LA MOYENNE .
2
VALEUR MOYENNE . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . .
91
93
109
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9 LA FONCTION EXPONENTIELLE
I
DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS . . . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
II
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE . .
1
EXPONENTIELLE D ’ UNE SOMME . . . . . . . . . . . . .
2
AUTRES PROPRIÉTÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE . . . . . . . . . . . .
1
DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION . . . . . . . . . . . . .
2
LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
COURBE REPRÉSENTATIVE . . . . . . . . . . . . . . . .
4
CROISSANCES COMPARÉES . . . . . . . . . . . . . . .
IV EXPONENTIELLE D ’ UNE FONCTION : exp(u) . . . . . . . . . . .
1
VARIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
DÉRIVÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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128
128
128
129
10 CROISSANCES COMPARÉES
140
II
141
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
11 GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
I
VECTEUR DE L’ ESPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
VECTEURS COLINÉAIRES . . . . . . . . . . . . . . .
2
VECTEURS COPLANAIRES . . . . . . . . . . . . . .
II
REPÉRAGE DANS L’ ESPACE . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
COORDONNÉES D ’ UN POINT . . . . . . . . . . . . .
2
CALCULS AVEC LES COORDONNÉES . . . . . . . . .
III ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DE L’ ESPACE . . . . . . . . . .
1
ÉQUATION D ’ UN PLAN . . . . . . . . . . . . . . . .
2
VECTEUR ORTHOGONAL À UN PLAN . . . . . . . . .
3
PLANS PARALLÈLES . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
SYSTÈME D ’ ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D ’ UNE DROITE
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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145
145
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5
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
12 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
I
FONCTION DE DEUX VARIABLES . . .
1
DÉFINITION . . . . . . . . .
2
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
II
SECTIONS DE SURFACE . . . . . . .
1
COURBES DE NIVEAU . . . .
2
COUPES VERTICALES . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . .
152
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13 THÉORIE DES GRAPHES
ACTIVITÉS : I NTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . .
I
GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS . . . . . . . . .
1
DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
DEGRÉ D ’ UN SOMMET . . . . . . . . . . . .
3
REPRÉSENTATION MATRICIELLE D ’ UN GRAPHE
4
GRAPHES ISOMORPHES . . . . . . . . . . .
ACTIVITÉS : C HAÎNE EULÉRIENNE . . . . . . . . . . . .
II
CHAÎNES , CYCLES ; CONNEXITÉ . . . . . . . . . . .
1
DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE
. . . . . .
3
CONNEXITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
CYCLE EULÉRIEN . . . . . . . . . . . . . .
III COLORATION DES SOMMETS D ’ UN GRAPHE . . . . .
1
NOMBRE CHROMATIQUE . . . . . . . . . . .
2
ENCADREMENT DU NOMBRE CHROMATIQUE . .
3
C OLORATION GLOUTONNE . . . . . . . . . .
IV PLUS COURT CHEMIN . . . . . . . . . . . . . . . .
1
GRAPHE PONDÉRÉ . . . . . . . . . . . . . .
2
LONGUEUR D ’ UN CHEMIN . . . . . . . . . .
3
ALGORITHME DE DIJKSTRA . . . . . . . . . .
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 SUITES
Tle ES 1
TABLE DES MATIÈRES
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197
15 GRAPHES PROBABILISTES
198
E XERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A. YALLOUZ (MATH@ES)
6
P REMIÈRE PARTIE
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
A. YALLOUZ (MATH@ES)
7
Chapitre 1
DÉRIVATION
Sommaire
I
nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . .
2
tangente à une courbe . . . . . . . .
II
fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . .
2
dérivées des fonctions de référence
3
dérivées et opérations . . . . . . . .
4
dérivée d’une fonction composée .
5
dérivée et variations d’une fonction
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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8
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
I
Tle ES 1
DÉRIVATION
NOMBRE DÉRIVÉ
1
DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.
f (x) − f (a)
Lorsque le rapport
admet une limite réelle quand x tend vers a en restant dans I, on dit que la
x−a
fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f ′ (a), est appelée le nombre dérivé de f en a.
On note alors :
f (x) − f (a)
f ′ (a) = lim
x→a
x−a
2
TANGENTE À UNE COURBE
y
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en
a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans
un repère du plan.
La droite passant par le point A (a; f (a)) de la courbe C f
et de coefficient directeur f ′ (a) est appelée la tangente à la
courbe C f au point d’abscisse a.
f (a)
b
A
~j
0
x
a
~i
PROPRIÉTÉ
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative
dans un repère du plan.
L’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a est :
y = f ′ (a) × (x − a) + f (a)
EXEMPLE
La courbe C f tracée ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction f définie sur R.
y
5
4
3
b
2
1
b
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
b
Par lecture graphique, déterminer f ′ (0), f ′ (2) et f ′ (3).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
9
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
DÉRIVATION
1. Le nombre dérivé f ′ (0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0.
Or cette droite passe par les points de coordonnées (0; 3) et (1; 1). Son coefficient directeur a est :
a=
3−1
= −2
0−1
Ainsi, f ′ (0) = −2
2. La tangente à la courbe C f au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses. Donc f ′ (2) = 0
3. La droite tangente à la courbe C f au point d’abscisse 3 passe par les points de coordonnées (3; 0) et (5; 3).
Son coefficient directeur a est
3−0 3
=
a=
5−3 2
Le nombre dérivé f ′ (3) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 3.
3
Donc f ′ (3) =
2
REMARQUE
La courbe représentative d’une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit
dérivable en a.
La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à
y
la droite d’équation x = 0 en 0.
Or la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 en effet :
√
√
√
x− 0
x
1
= lim
= lim √ = +∞
lim
~j
x→0 x
x→0 x
x→0 x − 0
0
ce n’est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n’est pas
dérivable en 0.
II
FONCTION DÉRIVÉE
1
DÉFINITION
x
~i
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
Lorsque pour tout réel x appartenant à I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I.
La fonction qui associe à tout réel x appartenant à I son nombre dérivé f ′ (x) est appelée la fonction dérivée de
f sur l’intervalle I. Elle est notée f ′ .
2
DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
f définie sur . . .
f (x)
f ′ (x)
f dérivable sur . . .
R
k
0
R
R
ax + b
a
R
R
xn
1
x
1
xn
√
x
nxn−1
1
− 2
x
n
− n+1
x
1
√
2 x
R pour n entier n > 2
R∗
R∗
[0; +∞[
A. YALLOUZ (MATH@ES)
R∗
R∗ pour n entier n > 2
]0; +∞[
10
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3
Tle ES 1
DÉRIVATION
DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors il en est de même pour u + v, ku (k constante réelle), u × v
u
et (si v(x) 6= 0 sur I)
v
RÈGLES
•
(u + v)′ = u′ + v′
•
(ku)′ = k × u′
•
(uv)′ = u′ v + uv′
•
u ′
v
=
u′ v − uv′
v2
EXEMPLES
x2
2
1. Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 2 +
1−
. Calculer f ′ (x).
3
x
Sur ]0; +∞[ f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
f = uv d’où f ′ = u′ v + uv′ . Avec pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0; +∞[,
x2
3
2
v(x) = 1 −
x
u(x) = 2 +
d’où
d’où
2x
3
2
v′ (x) = 2
x
u′ (x) =
Soit pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0; +∞[,
2
2
x2
2x
′
+ 2 × 2+
× 1−
f (x) =
3
x
x
3
2x 4 4 2
=
− + +
3 3 x2 3
2x3 − 2x2 + 6
=
3x2
Ainsi, f ′ est la fonction définie sur ]0; +∞[ par f ′ (x) =
2x3 − 2x2 + 6
3x2
4x − 3
. Calculer f ′ (x).
x2 + 1
Sur R f est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables.
u
u′ v − uv′
f = 1 − d’où f ′ = −
. Avec pour tout réel x,
v
v2
2. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1 −
u(x) = 4x − 3
v(x) = x2 + 1
d’où
d’où
u′ (x) = 4
v′ (x) = 2x
Soit pour tout réel x,
4(x2 + 1) − 2x(4x − 3)
(x2 + 1)2
4x2 + 4 − 8x2 + 6x
=−
(x2 + 1)2
2
4x − 6x − 4
=
(x2 + 1)2
f ′ (x) = −
Ainsi, f ′ est la fonction définie sur R par f ′ (x) =
A. YALLOUZ (MATH@ES)
4x2 − 6x − 4
(x2 + 1)2
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4
DÉRIVATION
Tle ES 1
DÉRIVÉE D ’ UNE FONCTION COMPOSÉE
(admis)
THÉORÈME
Soit u et g deux fonctions telle que la composée f = g ◦ u est définie sur un intervalle I.
Si u est dérivable sur I et g est dérivable en u(x), alors la composée f = g ◦ u est dérivable sur I et
f ′ (x) = u′ (x) × g′ [u(x)]
EXEMPLE
√
Soit f la fonction définie sur I = [−1; 1] par f (x) = 1 − x2 .
√
f = u avec u(x) = 1 − x2 .
√
La fonction u est dérivable sur I et la fonction racine carrée g(X) = X est dérivable sur ]0; +∞[ donc f est
dérivable pour tout réel x de l’intervalle I tel que u(x) > 0. Soit f est dérivable sur l’intervalle ] − 1; 1[.
1
1
La dérivée de la fonction racine carrée est g′ (X) = √ . D’où f ′ = u′ × √ .
2 u
2 X
On a u′ (x) = −2x. D’où pour tout réel x de l’intervalle ] − 1; 1[,
1
x
f ′ (x) = −2x × √
= −√
2 1 − x2
1 − x2
x
Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f ′ définie sur ] − 1; 1[ par f ′ (x) = − √
1 − x2
NOUVELLES FORMULES DE DÉRIVÉES
Par application du théorème sur la dérivée d’une fonction composée on obtient les formules suivantes :
– Si u est dérivable sur un intervalle I de R, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = un est
dérivable sur I et f ′ = u′ × nun−1 = nu′ un−1 .
– Si u est dérivable sur un intervalle I de R et ne s’annule pas sur I, alors pour tout entier natuel n non nul, la
1
−n
nu′
fonction f = n est dérivable sur I et f ′ = u′ × n+1 = − n+1 .
u
u
u
√
– Si u est dérivable sur un intervalle I de R et strictement positive sur I, alors la fonction f = u est dérivable
1
u′
sur I et f ′ = u′ × √ = √ .
2 u 2 u
EXERCICE
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes
sur R :
définies etdérivables
2
2
x+2
x
+
2
(5x
+
2)
• f (x) = 1 − 2
• f (x) = (x2 − 2x + 3)3
• f (x) =
• f (x) =
2
2
(x − x + 1)2
x +x+1
x +1
5
DÉRIVÉE ET VARIATIONS D ’ UNE FONCTION
THÉORÈME
1
Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R.
– Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f ′ (x) = 0.
– Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f ′ (x) > 0.
– Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f ′ (x) 6 0.
Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa
dérivée.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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THÉORÈME
Tle ES 1
DÉRIVATION
2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f ′ la dérivée de f sur I.
– Si f ′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
– Si f ′ est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f
est strictement croissante sur I.
– Si f ′ est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f
est strictement décroissante sur I.
THÉORÈME
3
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et x0 un réel appartenant à I.
1. Si f admet un extremum local en x0 , alors f ′ (x0 ) = 0.
2. Si la dérivée f ′ s’annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0 .
x
x0
a
f ′ (x)
−
|
0
|
f (x)
b
+
x
f ′ (x)
x0
a
+
|
0
|
b
−
maximum
f (x)
minimum
REMARQUES
1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l’hypothèse en changeant de signe est importante.
y
Considérons la fonction cube définie sur R par f (x) = x3 qui a pour dérivée la fonction
f ′ définie sur R par f ′ (x) = 3x2 .
f ′ (0) = 0 et pour tout réel x non nul, f ′ (x) > 0.
La fonction cube est strictement croissante sur R et n’admet pas d’extremum en 0.
x
0
2. Une fonction peut admettre un extremum local en x0 sans être nécessairement dérivable.
y
Considérons la fonction f définie sur R par f (x) = |x − 1| + 1 .
f est une fonction affine par morceaux, f admet un minimum f (1) = 1 or f n’est pas
dérivable en 1.
b
0
x
MÉTHODE
En pratique, pour étudier les variations d’une fonction f dérivable sur son ensemble de définition D f :
– on détermine la dérivée f ′ de f ;
– on étudie le signe de f ′ sur D f ;
– on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles de D f où le signe de f ′ est constant ;
– on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s’il y a lieu et éventuellement les limites aux
bornes de son ensemble de définition.
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Tle ES 1
DÉRIVATION
EXERCICE 1
La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ′ la fonction dérivée de
la fonction f . On sait que :
– la courbe coupe l’axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de
coordonnées (−2; 0) ;
– la courbe admet au point B d’abscisse 1 une tangente parallèle à l’axe des abscisses ;
– l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C f .
y
3
2
B
A
1
Cf
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-1
-2
-3
-4
1. À partir du graphique et des renseignements fournis :
a) Déterminer lim f (x) et lim f (x).
b) Déterminer
x→−∞
f ′ (0) et
x→+∞
′
f (1).
2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f ′ . Déterminer laquelle.
-1
4
4
3
3
-1
2
2
-2
1
1
-3
0
1
2
3
4
5
6
-2
-1
-1
0
-2
1
2
3
4
5
-1
6
1
2
3
4
5
6
-4
-5
-1
courbe C1
0
courbe C2
courbe C3
EXERCICE 2
x2 − 8x + 7
. On note f ′ la dérivée de la fonction f .
x+1
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée C f , est donnée en annexe ci-dessous à titre
indicatif.
Soit f la fonction définie sur ]−1; +∞[ par f (x) =
1. Calculer f ′ (x).
2. Étudier le signe de f ′ (x).
3. Donner le tableau des variations de f .
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1.
Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T .
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Tle ES 1
DÉRIVATION
ANNEXE
y
(C f )
1
0
x
1
EXERCICE 3
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) =
d’un repère.
5 − 8x
. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni
x2 − x + 1
1. Calculer la dérivée de la fonction f .
2. Étudier les variations de f .
3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse −2.
EXERCICE 4
Soit C la fonction définie pour tout x élément de l’intervalle ]0; 16] par C(x) = 0,5x3 − 12x2 + 114x + 100.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en euro, de x centaines d’articles fabriqués par jour.
Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée CT , est donnée en annexe.
1. La recette totale en euros pour x centaines d’articles est donnée, en admettant que toute la production soit
vendue, par R(x) = 100x − 3x2 .
a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe Γ représentative de la fonction R.
b) Par lecture graphique, déterminer :
– l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice ;
– la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l’intervalle ]0; 16] par B(x) = R(x) −C(x).
a) Calculer B′ (x).
b) Étudier les variations de la fonction B.
c) En déduire la production x0 (arrondie à l’article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le
montant arrondi à l’euro près, de ce bénéfice maximal ?
ANNEXE
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Tle ES 1
DÉRIVATION
CT
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
EXERCICE 5
PARTIE A
1. Vérifier que pour tout réel x, x3 + 3x2 − 54 = (x − 3)(x2 + 6x + 18).
2. En déduire le signe du polynôme P(x) = x3 + 3x2 − 54.
PARTIE B
Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de ]0; 5]. Le prix de revient d’une pièce,
exprimé en euros, dépend de q et est donné par l’expression :
f (q) =
q3 + 6q2 + 12q + 108
12q
1. Combien coûte, en moyenne, à l’euro près, la production de 4200 pièces ?
2. On désigne par f ′ la dérivée de la fonction f .
a) Calculer f ′ (q).
b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f .
c) En déduire le nombre d’unités à fabriquer pour que le prix de revient d’une pièce soit minimal. Quel est
alors le montant en euros du coût total de production ?
EXERCICE 6
Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d’une fonction f dérivable sur R. On
désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
On sait que :
– la droite D d’équation y = 2x − 8 est asymptote à la courbe C f en +∞ ;
– la courbe C f admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point A(3; 2).
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Tle ES 1
DÉRIVATION
y
Cf
D
A
2
0
b
x
1
À partir du graphique et des renseignements fournis :
1. Déterminer lim f (x).
x→+∞
2. Déterminer f (3) et f ′ (3).
3. Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle.
a. f ′ (2) × f ′ (4) < 0
c. f ′ (2) × f ′ (4) > 0
b. f ′ (2) × f ′ (4) = 0
4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f ′ ?
y
y
y
2
0,5
0
0
x
1
2
x
1
0
Courbe C1
Courbe C2
x
1
Courbe C3
5. On considère la fonction h inverse de la fonction f . C’est-à-dire la fonction h définie sur R par h(x) =
1
.
f (x)
a) Calculer h′ (3)
b) Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h ?
EXERCICE 7
2
x
. On note C f sa courbe représentative
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1; +∞[ par f (x) = 1− −
2 x+1
dans le plan muni d’un repère orthonormal. On note f ′ la dérivée de la fonction f .
1. Calculer f ′ (x).
2. Étudier le signe de f ′ (x).
3. Donner le tableau des variations de f .
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Tle ES 1
DÉRIVATION
EXERCICE 8
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.
Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d’une fonction f dérivable sur R.
On sait que :
– la droite D est tangente à la courbe C f au point A(−2; 1) ;
– la courbe C f admet deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses aux points d’abscisse −1 et 3.
y
4
D
3
2
1
b
A
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
8
-1
-2
Cf
-3
1. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f alors :
• f ′ (−2) = 1
• f ′ (−2) = −3
2. L’équation f ′ (x) = 0 admet :
• une solution
3. f ′ est définie sur R par :
3(x − 3)(x2 + 1)
• f ′ (x) =
x2 − x + 19
•
•
deux solutions
f ′ (x) =
f ′ (−2) > f ′ (0)
•
3(x − 3)2 (x + 1)
x+7
•
•
tois solutions
f ′ (x) =
3(3 − x)(x + 1)
x2 + 4x + 9
4. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = [ f (x)]2 . Au point d’abscisse −2, la tangente à la courbe représentative
de la fonction g a pour équation :
• y = 9x + 19
• y = −6x + 13
• y = −6x − 11
EXERCICE 9
1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1; +∞[ par f (x) =
dans un repère du plan.
2x − 1
. On note C f sa courbe représentative
x+1
a) À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du réel x.
b) On note f ′ la dérivée de la fonction f . Calculer f ′ (x).
c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0.
2. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l’intervalle
]−1; +∞[ par g(x) = [ f (x)]2 . On note Cg sa courbe représentative dans un repère du plan.
On note g′ la dérivée de la fonction g. Calculer g′ (x).
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Tle ES 1
DÉRIVATION
EXERCICE 10
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
1. Calculer f ′ (x).
3
2
−1
x
2. Étudier les variations de la fonction f .
EXERCICE 11
Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d’une fonction f dérivable sur ]0; +∞[. On
désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f . On sait que :
– La courbe C f admet pour asymptotes les axes du repère ;
– la courbe C f admet une tangente parallèle
àl’axe des abscisses au point A d’abscisse 1 ;
3
passe par le point de coordonnées (4; 0)
– la tangente à la courbe C f au point B 2;
2
y
A
B
1
(C f )
0
x
1
1. À partir du graphique et des renseignements fournis :
a) Déterminer lim f (x) et lim f (x).
x→0
x→+∞
b) Déterminer f (1), f (2), f ′ (1) et f ′ (2).
2. On considère la fonction g définie sur ]0; +∞[ par g(x) =
1
. g est la fonction inverse de la fonction f .
f (x)
a) Quel est le sens de variation de la fonction g sur ]0; +∞[ ?
b) Déterminer les valeurs de g′ (1) et g′ (2).
c) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 2.
EXERCICE 12
La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ′ la dérivée de la
fonction f . On sait que :
– la courbe (C) coupe l’axe des ordonnées au point A(0; 2) ;
– la courbe (C) admet pour asymptote l’axe des abscisses ;
– la tangente en A à la courbe (C) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 4.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
19
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Tle ES 1
DÉRIVATION
y
1
(C)
0
1
x
1. À partir du graphique et des renseignements fournis :
a) Déterminer lim f (x) et lim f (x).
x→−∞
x→+∞
b) Déterminer f (0) et f ′ (0).
1
.
f (x)
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 0.
2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) =
EXERCICE 13
Soient u la fonction définie pour tout réel x par u(x) = x2 −1 et g une fonction définie et dérivable sur l’intervalle
]−1; +∞[ . On note g′ la dérivée de la fonction g.
1
1. On sait que g(3) = 0 et pour tout réel x > −1, g′ (x) =
x+1
a) Donner le tableau des variations de la fonction g.
b) Étudier le signe de g(x).
2. On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = g [u(x)] .
a) Calculer f (2).
b) On admet que f est dérivable sur ]0; +∞[ et on note f ′ la dérivée de la fonction f . Calculer f ′ (x).
c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.
y
Cf
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
-2
-3
-4
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 2.
La tracer sur le graphique précédent.
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20
Chapitre 2
CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS
Sommaire
I
continuité d’une fonction . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . .
2
théorème . . . . . . . . . . . . . .
II
résolutions d’équations . . . . . . . . . .
1
théorème des valeurs intermédiaires
2
théorème de la valeur intermédiaire
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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22
22
22
23
23
23
25
21
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
I
Tle ES 1
CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS
CONTINUITÉ D ’ UNE FONCTION
1
DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.
1. Dire que f est continue en a signifie que lim f (x) = f (a)
x→a
2. Dire que f est continue sur l’intervalle I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I.
Graphiquement, une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau
(la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).
y
y
y
1
1
1
b
0
x
1
0
3
x
La fonction f n’est définie sur [1; 3]
f n’est pas continue sur R
La fonction f est défine et continue sur R
2
1
0
1
x
3
La fonction f est défine sur R
mais f n’est pas continue en 3
THÉORÈME
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.
Si f est dérivable en a alors, f est continue en a.
Démonstration
Pour tout réel x appartenant à I, x 6= a
f (x) − f (a) = (x − a) ×
Par conséquent,
f (x) − f (a)
x−a
f (x) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim (x − a) × lim
lim f (x) − f (a) = lim (x − a) ×
x→a
x→a
x→a
x→a
x−a
x−a
Or si f est dérivable en a alors, lim
x→a
donc si f est dérivable en a alors,
f (x) − f (a)
= f ′ (a)
x−a
lim f (x) − f (a) = lim (x − a) × f ′ (a) = 0
x→a
x→a
d’où lim f (x) = f (a), ce qui prouve que f est continue en a.
x→a
CONSÉQUENCES
On admettra les deux propriétés suivantes qui se déduisent du théorème précédent :
1. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
2. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de
fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie.
REMARQUE
La réciproque du théorème est fausse :
Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel.
Par exemple la fonction f définie sur R par f (x) = |x| est contine en 0 mais n’est pas
dérivable en 0.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
y
x
0
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CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS
II
RÉSOLUTIONS D ’ ÉQUATIONS
1
THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES
y
y
f (a)
f (b)
k
k
~j
a
0
~j
~i
f (a)
b x
f est continue sur [a; b]
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k
admet une ou plusieurs solutions.
THÉORÈME
a
0
f (b)
~i
b x
f est définie sur [a; b] mais f n’est pas continue sur [a; b]
Il existe des réels k compris entre f (a) et f (b) tels que
l’équation f (x) = k n’admet pas de solution.
(admis)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a < b.
Si f est continue sur [a; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c
appartenant à [a; b] tel que f (c) = k.
Autrement dit :
Si f est une fonction continue sur [a; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k
admet au moins une solution c appartenant à [a; b].
2
THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE
THÉORÈME
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a < b.
Si f est continue et strictement monotone sur [a; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation
f (x) = k admet une solution unique c appartenant à [a; b].
Démonstration
Soit k un réel compris entre f (a) et f (b)
1. Existence
Par hypothèse, f est continue sur [a; b] alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
f (x) = k admet au moins une solution c appartenant à [a; b].
2. Unicité
Supposons que l’équation f (x) = k admette deux solutions distinctes c1 et c2 appartenant à [a; b]
Par hypothèse, f est strictement monotone sur [a; b] alors c1 6= c2 ⇒ f (c1 ) 6= f (c2 )
Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c1 ) = f (c2 ) = k
Donc c1 = c2 , ce qui prouve que l’équation f (x) = k admet une solution unique dans [a; b]
REMARQUES
1. Si f est continue et strictement monotone sur [a; b] et f (a) × f (b) < 0, alors l’équation f (x) = 0 admet une
solution unique dans [a; b]
2. Le théorème s’applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme
[a; b[, ]a; b], ]a; b[ , [a; +∞[, ]a; +∞[ , ] − ∞; b] ou ] − ∞; b[ :
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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si une borne a ou b de l’intervalle est ouverte, alors on remplace l’image f (a) ou f (b) par la limite de f
en cette borne ; si une borne de l’intervalle est −∞ (ou +∞) alors on considère la limite de f en −∞ (ou
+∞).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS
EXERCICE 1
Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la
fonction f est donné ci-dessous :
x
−3
+∞
5
1
+∞
2
f (x)
−∞
−1
1
1. a) La fonction f est-elle continue sur ] − 3; +∞[ ?
b) Donner deux intervalles où f est continue mais pas monotone.
c) Donner deux intervalles où f est continue et strictement monotone.
2. a) Déterminer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.
b) L’équation f (x) = 1 admet-elle une solution unique ?
3. Parmi les cinq propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
a)
lim f (x) = −3 b) lim f (x) = −∞ c) lim+ f (x) = +∞ d)
x→−∞
x→−3
x→5
lim f (x) = −1 e) lim f (x) = 5
x→+∞
x→1
4. On note f ′ la dérivée de la fonction f . Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si
elle est fausse.
a) L’équation f ′ (x) = 0 n’a pas de solution sur ]5; +∞[
b) f ′ (−2) × f ′ (0) 6 0
c) f ′ (−2) × f ′ (3) 6 0
EXERCICE 2
Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f
définie sur l’intervalle [−2; 3] et vérifiant les informations données
1. f est continue et décroissante sur [−2; 3], et l’équation f (x) = 1 admet une infinité de solutions dans [−2; 3].
2. f est continue sur [−2; 3] n’est pas monotone sur [−2; 3], et l’équation f (x) = 0 admet une solution unique
dans [−2; 3].
3. f est continue sur [−2; 3] avec f (−2) = 3, f (3) = −1 et l’équation f (x) = 0 admet deux solutions dans
[−2; 3].
4. f n’est pas continue sur [−2; 3] et pour tout réel k compris entre f (−2) et f (3) l’équation f (x) = k admet
une solution unique dans [−2; 3].
EXERCICE 3
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x3 − 2x2 + 4x + 2.
1. On note f ′ la dérivée de la fonction f .
a) Calculer f ′ (x).
b) Étudier le signe de f ′ (x).
c) Donner le tableau des variations de f .
2. Montrer que l’équation f (x) = 7, admet une solution unique α dans l’intervalle [−4; −3].
Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au dixième près.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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EXERCICE 4
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte, déterminer laquelle.
1. Si f est une fonction strictement croissante sur R alors, l’équation f (x) = 0 admet :
a) Exactement une solution.
b) Au plus une solution.
c) Au moins une solution.
2. Si f est une fonction continue sur [a; b] et si f (a) et f (b) sont de signes contraires, alors l’équation f (x) = 0
admet :
a) Exactement une solution.
b) Au plus une solution.
c) Au moins une solution.
3. Soit f une fonction dérivable sur [a; b] et telle que l’équation f (x) = 0 admette une solution unique c dans
[a; b] alors :
a) f (a) et f (b) sont de signes contraires.
b) Si f (a) et f (b) sont de signes contraires, alors f est strictement monotone.
c) Si la dérivée est de signe constant, alors f (a) × f (b) < 0.
4. Soit f une fonction continue sur I = [−2; 3] et ne s’annulant pas sur I.
a) Pour tout réel a appartenant à I, f (−2) × f (a) > 0 .
b) On peut avoir f (−2) + f (3) = 0 .
c) f est dérivable sur I.
5. Soit f une fonction dérivable sur I = [−2; 2] et telle que f (−2) = 0, f (−1) = 1 et f (2) = 0.
1
a) Il existe un unique réel a appartennant à [−1; 2] tel que f (a) = .
2
1
b) L’équation f (x) = admet exactement deux solutions dans [−2; 2].
2
1
c) L’équation f (x) = admet au moins deux solutions dans [−2; 2].
2
6. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 100x3 − 300x2 + 299x − 99. Sur l’intervalle [−1; 2], l’équation
f (x) = 0 admet :
a) Exactement une solution.
b) Exactement deux solutions.
c) Exactement trois solutions.
EXERCICE 5
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par : f (x) =
x3 − x + 2
.
x2 + 1
1. On note f ′ la dérivée de la fonction f , calculer f ′ (x).
2. On admet que f ′ (x) > 0 équivaut à x ∈ [1; +∞[
a) Donner le tableau des variations de la fonction f .
b) Montrer que l’équation f (x) = 3, admet une solution unique x0 .
Donner un encadrement de x0 à 10−2 près.
EXERCICE 6
PARTIE A
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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1. Soit f la fonction définie sur [0; 20] par f (x) = −x3 + 9,5x2 + 22x − 6,5.
2. On désigne par f ′ la dérivée de la fonction f .
a) Calculer f ′ (x).
b) Étudier les variations de la fonction f .
3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet deux solutions a et b dans [0; 20]
4. Étudier le signe de f sur [0; 20]
PARTIE B
Une entreprise produit x milliers de pièces, x étant un réel de [0; 20]. Le coût total de production C, exprimé en
milliers d’euros, dépend de x et est donné par l’expression :
C(x) =
0,5x3 − 2,5x2 + 25x + 10
x+1
La courbe représentative de la fonction C, notée CT , est donnée en annexe.
1. Le prix de vente d’un article est de 8,50 C. En admettant que toute la production soit vendue, la recette totale
exprimée en milliers d’euros est donnée par R(x) = 8,5x.
a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe Γ représentative de la fonction R.
b) Par lecture graphique, déterminer la production x0 (arrondie au millier d’articles près) pour laquelle le
bénéfice est maximal.
2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l’intervalle ]0; 20] par B(x) = R(x) −C(x).
a) Calculer B′ (x).
b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction B.
c) En déduire la production x0 (arrondie à l’article près) pour laquelle le bénéfice est maximal.
Quel est le montant arrondi à l’euro près, de ce bénéfice maximal ?
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe CT au point d’abscisse x0 . La tracer sur le graphique.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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ANNEXE
CT
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
A. YALLOUZ (MATH@ES)
4
6
8
10
12
14
16
18
20
28
Chapitre 3
LIMITES
Sommaire
I
notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
limite finie d’une fonction en un réel . .
2
limite infinie d’une fonction en un réel .
3
limite finie d’une fonction en l’infini . .
4
limite infinie d’une fonction en l’infini .
II
règles opératoires sur les limites . . . . . . .
1
limite d’une somme de deux fonctions .
2
limite d’un produit de deux fonctions .
3
limite d’un quotient de deux fonctions .
4
formes indéterminées . . . . . . . . . .
5
limite de la composée de deux fonctions
III limite par comparaison . . . . . . . . . . . .
Théorème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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30
30
30
30
31
32
32
32
32
33
33
34
34
34
34
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Tle ES 1
LIMITES
En terminale ES, la notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d’une fonction
dans les cas suivants :
– Que se passe-t-il lorsque la variable x est proche d’une valeur a, sans pour cela l’atteindre ?
– Que se passe-t-il lorsque la variable x s’éloigne infiniment de 0 (limites en +∞ ou en −∞) ?
I
NOTION DE LIMITE
1
LIMITE FINIE D ’ UNE FONCTION EN UN RÉEL
Soit f une fonction définie au « voisinage » d’un réel a.
Dire que la fonction f a pour limite le réel ℓ en a signifie que tout intervalle ouvert
contenant ℓ contient toutes les valeurs de f (x) pour x suffisament proche de a.
On note : lim f (x) = ℓ
x→a
2
y
ℓ
bC
x
a
O
LIMITE INFINIE D ’ UNE FONCTION EN UN RÉEL
Soit f une fonction définie au « voisinage » d’un réel a à droite de a (resp. à gauche de a).
Dire que la fonction f tend vers +∞ quand x tend vers a avec x > a (resp. avec x < a) signifie que tout
intervalle ]M; +∞[, où M est un réel, contient toutes les valeurs de f (x) pour x suffisament proche de a de a
(resp. à gauche de a).
On note : lim f (x) = +∞ ou lim+ f (x) = +∞ (resp. lim f (x) = +∞ ou lim− f (x) = +∞)
x→a
x→a
x→a
x>a
x→a
x<a
On a des définitions analogues lorsque la limite de f en a est −∞
y
y
M
M
y
a
x
O
x
a
a
a−h
x
O
M
M
a−h
a+h
O
y
a+h
O
lim f (x) = +∞
a x
lim f (x) = +∞
x→a
x→a
x>a
x<a
lim f (x) = −∞
lim f (x) = −∞
x→a
x→a
x>a
x<a
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
Si lim+ f (x) = +∞ ou lim− f (x) = +∞ ou lim+ f (x) = −∞ ou lim− f (x) = −∞, on dit alors, que la droite
x→a
x→a
x→a
x→a
d’équation x = a est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction f .
3
LIMITE FINIE D ’ UNE FONCTION EN L’ INFINI
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A; +∞[, où A est un réel.
Dire que la fonction f a pour limite le réel ℓ en +∞ signifie que tout intervalle
ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f (x) pour x suffisament grand.
On note : lim f (x) = ℓ
x→+∞
y
ℓ
m
O
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] − ∞; A], où A est un réel.
Dire que la fonction f a pour limite le réel ℓ en −∞ signifie que tout intervalle
ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f (x) pour x < 0 suffisament
éloigné de 0.
On note : lim f (x) = ℓ
x→−∞
x
y
ℓ
m
O
x
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
Si lim f (x) = ℓ (resp. lim f (x) = ℓ), on dit alors, que la droite d’équation y = ℓ est une asymptote
x→+∞
x→−∞
horizontale de la courbe représentative de la fonction f en +∞ (resp. en −∞).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
30
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Tle ES 1
LIMITES
REMARQUE
Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asymptote D
d’équation y = ℓ, il suffit d’étudier le signe de f (x) − ℓ
4
LIMITE INFINIE D ’ UNE FONCTION EN L’ INFINI
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A; +∞[, où A est un réel.
1. Dire que la fonction f a pour limite +∞ en +∞ signifie que tout intervalle
ouvert de la forme ]M; +∞[ contient toutes les valeurs de f (x) pour x
suffisament grand.
On note : lim f (x) = +∞
x→+∞
2. Dire que la fonction f a pour limite −∞ en +∞ signifie que tout intervalle
ouvert de la forme ] − ∞; M[ contient toutes les valeurs de f (x) pour x
suffisament grand.
On note : lim f (x) = −∞
y
M
O
y
m
x
O
m
x
M
x→+∞
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] − ∞; A], où A est un réel.
y
1. Dire que la fonction f a pour limite +∞ en −∞ signifie que tout intervalle
ouvert de la forme ]M; +∞[ contient toutes les valeurs de f (x) pour x < 0
suffisament éloigné de 0.
On note : lim f (x) = +∞
x→−∞
2. Dire que la fonction f a pour limite −∞ en −∞ signifie que tout intervalle
ouvert de la forme ] − ∞; M[ contient toutes les valeurs de f (x) pour x < 0
suffisament éloigné de 0.
On note : lim f (x) = −∞
M
m
O
y
x
m
O
x
M
x→−∞
ASYMPTOTE OBLIQUE
Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne +∞ ou −∞, et D une droite d’équation y = ax + b.
Si lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 (ou lim [ f (x) − (ax + b)] = 0), on dit alors que la droite d’équation y = ax + b
x→+∞
x→−∞
est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en +∞ (ou en −∞).
y
y
y
y=
+
ax
b
O
O
x
y
x
y=
ax
+
O
y=
b
ax +
b
y=
O
ax +
x
b
x
REMARQUE
Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asymptote D
d’équation y = ax + b, il suffit d’étudier le signe de la différence f (x) − (ax + b)
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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II
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LIMITES
RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES
Dans tout ce paragraphe, u et v désignent deux fonctions, ℓ et ℓ′ désignent deux nombres réels, et α désigne
+∞ ou −∞ ou un nombre réel.
1
LIMITE D ’ UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS
Si lim u(x) =
ℓ
ℓ
ℓ
+∞
et lim v(x) =
ℓ′
+∞
−∞
+∞
ℓ + ℓ′
+∞
−∞
+∞
x→α
x→α
alors par somme
lim (u + v)(x) =
x→α
−∞
+∞
−∞
−∞
−∞
À ÉTUDIER
EXEMPLE
1
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x2 − 1 + .
x
Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
1
– lim x2 − 1 = −1 et lim = +∞ donc, par somme, lim f (x) = +∞. La courbe représentative de la fonction
x→0 x
x→0
x→0
x>0
x>0
x>0
f a pour asymtote l’axe des ordonnées.
1
– lim x2 − 1 = +∞ et lim
= 0 donc, par somme, lim f (x) = +∞
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞
2
LIMITE D ’ UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS
Si lim u(x) =
ℓ
et lim v(x) =
x→α
x→α
alors par produit
lim (u × v)(x) =
x→α
0
ℓ′
ℓ 6= 0
+∞ ou −∞
+∞ ou −∞
+∞ ou −∞
+∞ ou −∞
ℓ × ℓ′
±∞*
À ÉTUDIER
±∞*
(*) Lorsque la limite du produit est infinie, c’est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat +∞ ou −∞.
EXEMPLE
1
−1 .
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
x
Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
1
– lim x2 = 0 et lim − 1 = +∞. Nous sommes en présence de la forme indéterminée « 0 × ∞ ».
x→0 x
x→0
x>0
x>0
1
2
Or pour tout réel x non nul, x ×
− 1 = x − x2 et lim x − x2 = 0. Donc, lim f (x) = 0
x→0
x→0
x
x>0
x>0
1
– lim x2 = +∞ et lim
− 1 = −1 donc, par produit, lim f (x) = −∞
x→+∞
x→+∞ x
x→0
x>0
x2 ×
3
LIMITE D ’ UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS
Si lim u(x) =
ℓ
ℓ 6= 0
ℓ
et lim v(x) =
ℓ′ 6= 0
0
+∞ ou
−∞
ℓ
ℓ′
±∞*
0
x→α
x→α
alors par quotient
u
lim
(x) =
x→α v
+∞ ou
−∞
0
ℓ′
0
±∞*
À ÉTUDIER
+∞ ou
−∞
+∞ ou
−∞
À ÉTUDIER
(*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c’est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat +∞ ou −∞.
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LIMITES
EXEMPLE
x−1
.
x2 − 1
Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par f (x) =
– lim x − 1 = 0 et lim x2 − 1 = 0. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «
x→1
x→1
x>1
x>1
Or pour tout réel x 6= 1,
0
».
0
x−1
x−1
1
=
=
2
x − 1 (x + 1)(x − 1) x + 1
1
1
1
= , nous pouvons conclure que, lim f (x) =
x→1
x→1 x + 1
2
2
x>1
x>1
Comme lim
–
lim x − 1 = +∞ et lim x2 − 1 = +∞. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «
x→+∞
x→+∞
∞
».
∞
1
1
x−1
=
et que lim
= 0, il s’ensuit que lim f (x) = 0.
2
x→+∞ x + 1
x→1
x −1 x+1
x>1
La courbe représentative de la fonction f a pour asymtote l’axe des abscisses en +∞.
Comme pour pour tout réel x 6= 1,
4
FORMES INDÉTERMINÉES
0
∞
Il y quatre formes indéterminées du type « ∞ − ∞ » ; « ∞ × 0 » ; « » ; «
».
0
∞
Lorsqu’on rencontre une forme indéterminée, on essaie de trouver la limite demandée en étudiant la situation.
On dispose cependant de deux règles, permettant de déterminer la limite d’une fonction polynôme et la limite
d’une fonction rationnelle en l’infini.
RÈGLE
1
En +∞ ou en −∞, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
EXEMPLE
lim −3x3 − 2x2 + x − 5 = lim −3x3 = −∞
x→+∞
RÈGLE
x→+∞
2
En +∞ ou en −∞, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du terme de plus haut
degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.
EXEMPLE
−2x3 −2
5x2 − 2x3
=
lim
=
=0
x→+∞ 3x4
x→+∞ 3x4 + 1
3x
lim
5
LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et v une fonction définie sur un intervalle J de R telles que
pour tout réel x appartenant à I, u(x) appartient à J.
a, b et c désignent des réels ou +∞ ou −∞. f est la fonction v ◦ u, composée de u suivie de v.
Si lim u(x) = b et lim v(X) = c, alors lim f (x) = c
x→a
X→b
x→a
EXEMPLE
Déterminer lim
x→1
x>1
2
1−x
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2
.
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LIMITES
2
2
2
2
= −∞ et lim X = +∞, donc lim
= +∞
lim
X→−∞
x→1 1 − x
x→1 1 − x
x>1
x>1
III
LIMITE PAR COMPARAISON
Les théorèmes suivants sont admis
THÉORÈME
1
α désigne un réel ou +∞ ou −∞. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R.
Si pour tout x appartenant à I, f (x) > g(x) et lim g(x) = +∞, alors lim f (x) = +∞.
x→α
x→α
EXEMPLE
Déterminer lim
p
9x2 + 1 − x + 1.
x→∞
√
Pour tout réel x positif, 9x2 + 1p
> 9x2 d’où pour tout réel x positif, 9x2 + 1 > 3x.
p
Ainsi sur l’intervalle [0; +∞[, 9x2 + 1 − x + 1 > 2x + 1 et lim 2x + 1 = +∞ donc lim 9x2 + 1 − x + 1 =
|
{z
} | {z } x→∞
x→∞
g(x)
f (x)
+∞
THÉORÈME
2
α désigne un réel ou +∞ ou −∞. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R.
Si pour tout x appartenant à I, f (x) 6 g(x) et lim g(x) = −∞, alors lim f (x) = −∞.
x→α
x→α
EXEMPLE
Déterminer lim
p
x2 − 1 − 2x + 1.
x→∞
√
2 d’où pour tout réel x > 1, x2 − 1 6 x.
Pour tout réel x > 1, x2 − 1 6 xp
p
Ainsi sur l’intervalle [1; +∞[, x2 − 1 − 2x + 1 6 −x + 1 et lim −x + 1 = −∞ donc lim x2 − 1 − 2x + 1 =
|
{z
} | {z } x→∞
x→∞
f (x)
g(x)
−∞
THÉORÈME
(Théorème des gendarmes)
3
y
α désigne un réel ou +∞ ou −∞. Soit f , g et h trois fonctions définies sur un
intervalle I de R et ℓ un réel.
Si pour tout x appartenant à I, f (x) 6 h(x) 6 g(x) et lim f (x) = lim g(x) = ℓ,
alors lim h(x) = ℓ.
x→α
ℓ
x→α
x→α
O
m
x
EXEMPLE
1
3x2 + x + 1
6 f (x) 6
.
x
x2
Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
1
1
– Pour tout réel x ≥ 0, f (x) > 3 + et lim 3 + = +∞, donc lim f (x) = +∞.
x→0
x x→0
x
x>0
x>0
Soit f une fonction définie sur ]0; +∞[ et telle que pour tout réel x ≥ 0, 3 +
– Pour tout réel x ≥ 0, 3 +
donc lim f (x) = 3.
3x2 + x + 1
1
3x2 + x + 1
3x2
1
6 f (x) 6
or
lim
3
+
=
3
et
lim
=
lim
= 3,
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x2
x
x2
x
x2
x→+∞
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LIMITES
EXERCICE 1
La courbe C f ci-dessous, représente une fonction f définie sur R. Les droites D et ∆ sont les asymptotes à la
courbe respectivement en −∞ et +∞.
y
∆
D
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
4
-1
-2
1. Déterminer lim f (x) et lim f (x).
x→−∞
x→+∞
2. Quelle est la limite en +∞ de f (x) +
3x − 9
?
4
EXERCICE 2
Déterminer les limites suivantes :
√
√
12
lim x 1 −
lim x (1 − 2x)
x→+∞
x→+∞
x
2
2−x
lim x3 1 −
lim
x→+∞
x→+∞
x
4 − x2
2
2
1
x − 3x + 1
lim
lim
x→−∞ x3 + x2 − 2x + 1
x→+∞
1 − x2
x2 − 3x + 1
x→−∞ 2x3 − x2
2+x
lim
x→2 4 − x2
x>2
2
2
x − 3x + 1
lim
x→1
1 − x2
x>1
lim
1 − x3
x→+∞ x2 + x + 1
2−x
lim
x→2 4 − x2
x>2
√
x− x
lim
x→0
2x
x>0
lim
EXERCICE 3
1. Soit P(x) = x2 + x − 6 et Q(x) = 2x2 − 3x − 2 deux polynômes.
a) Résoudre P(x) = 0 et Q(x) = 0.
b) En déduire une factorisation de P(x) et Q(x).
2. Soit f la fonction définie sur ]2; +∞[ par f (x) =
P(x)
.
Q(x)
a) Déterminer lim f (x) et lim f (x).
x→2
x→+∞
x>2
b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asymptotes ?
EXERCICE 4
La courbe Cu ci-dessous représente une fonction u définie et dérivable sur R. On note f ′ la fonction dérivée de
la fonction f . On sait que :
– la courbe coupe l’axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de
coordonnées (−2; 0) ;
– la courbe admet au point B d’abscisse 1 une tangente parallèle à l’axe des abscisses ;
– l’axe des abscisses est asymptote à la courbe Cu .
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LIMITES
y
3
2
B
A
1
Cu
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-1
-2
-3
-4
1. À partir du graphique et des renseignements fournis :
a) Déterminer lim u(x) et lim u(x).
x→−∞
x→+∞
b) Déterminer u′ (0) et u′ (1).
2. On considère la fonction f définie sur ] − 1; +∞[ par f (x) =
1
.
u(x)
a) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative
de la fonction f admet-elle des asymptotes ?
b) Déterminer f ′ (0) et f ′ (1).
3. On considère la fonction g définie sur R par g(x) = [u(x)]2 .
a) Étudier les limites de la fonction g en −∞ et en +∞. La courbe représentative de la fonction g admet-elle
des asymptotes ?
b) Déterminer g′ (0) et g′ (1).
EXERCICE 5
√
1
Soit f une fonction définie sur l’intervalle I = ; +∞ et telle que pour tout réel x > 1, f (x) 6 x.
2
y
3
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
-1
-2
-3
Cf
f (x)
On considère la fonction g définie sur I par g(x) =
.
x
1
Montrer que si x > 1, 0 6 g(x) 6 √ . Que peut-on en déduire sur la limite de g en +∞ ?
x
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LIMITES
EXERCICE 6
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
2
x−1
−1
x2
1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation
graphique.
2. Calculer f ′ (x).
3. Étudier les variations de la fonction f .
EXERCICE 7
1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1; +∞[ par f (x) =
dans un repère du plan.
2x − 1
. On note C f sa courbe représentative
x+1
a) À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du réel x.
b) Déterminer, en justifiant avec soin, lim + f (x) et lim f (x).
x→−1
x→+∞
c) On note f ′ la dérivée de la fonction f . Calculer f ′ (x).
d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0.
2. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l’intervalle
]−1; +∞[ par g(x) = [ f (x)]2 . On note Cg sa courbe représentative dans un repère du plan.
a) Déterminer lim + g(x) et lim g(x). En déduire l’existence d’asymptotes à la courbe Cg .
x→+∞
x→−1
b) On note g′ la dérivée de la fonction g. Calculer g′ (x).
c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse 0.
EXERCICE 8
2x2 − 13x + 7
1
; +∞ par : f (x) =
.
2
4x − 2
On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
Soit f la fonction définie sur
1. Déterminer lim+ f (x), qu’en déduit-on pour la courbe C f ?
x→ 12
2. Déterminer lim f (x).
x→+∞
a) Déterminer les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b +
c
.
4x − 2
b) En déduire que la courbe C f admet pour asymptote la droite ∆ d’équation y =
x
− 3.
2
c) Étudier les positions relatives de la courbe C f et de la droite ∆
1
6 0,001.
4x − 2
e) Calculer mentalement, une valeur approchée au millième près de l’image par f de 500.
d) Résoudre l’inéquation
3. Calculer la dérivée de la fonction f .
4. Étudier les variations de f .
5. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
LIMITES
EXERCICE 9
x3 − x2 + 9x − 1
.
x2 + 1
On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par : f (x) =
y
Cf
10
8
6
4
2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
-2
PARTIE A
1. Étudier la limite de la fonction f en +∞.
2. Montrer que la droite ∆ d’équation y = x − 1 est asymptote à la courbe C f en +∞.
Tracer la droite ∆
8x
6 0,01.
3. Résoudre l’inéquation 2
x +1
PARTIE B
On note f ′ la dérivée de la fonction f .
1. Calculer f ′ (x).
2. Étudier les variations de la fonction f .
3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1.
Représenter la tangente T sur le graphique.
PARTIE C
1. Montrer que pour tout réel k positif, l’équation f (x) = k admet une solution unique.
2. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième près du réel x0 , solution de
l’équation f (x) = 1000.
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38
Chapitre 4
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
Sommaire
Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ajustement affine d’une série statistique à deux variables . . .
1
nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ajustement affine par la méthode des moindres carrés
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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40
42
42
42
45
39
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
MODÉLISATION PAR UNE FONCTION AFFINE
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de milliers d’emploi en France dans deux secteurs d’activités
« Industrie pharmaceutique » et « Activités financières et d’assurance ».
Trimestres
2008 T1
2008 T2
2008 T3
2008 T4
2009 T1
2009 T2
2009 T3
2009 T4
1
2
3
4
5
6
7
8
Industrie pharmaceutique
89,1
89,6
89
88,5
88,1
87,4
87,1
86,8
Activités financières et d’assurance
819,6
818,5
820,7
821
824,7
826,5
825,1
826,8
Rang i du trimestre
On cherche à étudier de manière conjointe, l’évolution de l’emploi dans ces deux secteurs.
On désigne par :
– xi le nombre de milliers d’emploi dans l’industrie pharmaceutique, le trimestre de rang i.
– yi le nombre de milliers d’emploi du secteur « Activités financières et d’assurance », le trimestre de rang i.
1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, représenter le nuage de points Mi de coordonnées (xi ; yi ).
y
826
824
822
820
818
86,5
87
88
87,5
89
88,5
x
89,5
2. Le point moyen du nuage est le point G (x; y) où x est la moyenne des xi et y est la moyenne des yi .
Calculer les coordonnées du point G, le placer dans le repère précédent.
PARTIE A
: Ajustement affine du nuage des points par la droite de Mayer
Les points Mi du nuage sont rangés dans l’ordre croissant des abscisses :
xi
86,8
87,1
87,4
88,1
88,5
89
89,1
89,6
yi
826,8
825,1
826,5
824,7
821
820,7
819,6
818,5
N1 désigne le nuage correspondant aux quatre premiers points et N2 le nuage correspondant aux quatre derniers
points.
1. Calculer les coordonnées du point moyen G1 du nuage N1 et celles du point moyen G2 du nuage N2 .
2. Donner une équation de la droite (G1 G2 ) (arrondir les coefficients à 10−2 près), et la tracer dans le repère
précédent.
3. Vérifier que la droite (G1 G2 ) passe par le point moyen G du nuage de points.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
40
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PARTIE B
Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
: Un deuxième ajustement affine du nuage des points.
L’objet de cette partie est d’effectuer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés.
Soit ∆ la droite d’ajustement d’équation y = ax + b.
On note δi l’écart entre le point Mi du nuage et le point M de même abscisse xi
yi
appartenant à la droite ∆ :
δi = yi − y = yi − (axi + b)
Mi
y = ax + b
δi
axi + b
M
On cherche à déterminer une équation de la droite ∆ telle que la somme des
8
résidus S = ∑ [yi − (axi + b)]2 soit minimale.
xi
O
i=1
1. a) Dans un premier temps, on suppose connu le coefficient directeur a de la droite ∆, on développe chaque
terme de la somme S sous la forme d’un trinôme du second degré en b :
xi
yi
89,1
819,6
89,6
818,5
89
820,7
88,5
821
88,1
824,7
87,4
826,5
87,1
825,1
86,8
826,8
8
S = ∑ [yi − (axi + b)]2
i=1
[yi − (axi + b)]2 = [(yi − axi ) − b]2 = (yi − axi )2 − 2 × b × (yi − axi ) + b2
(819,6 − 89,1a)2 − 2 × b × (819,6 − 89,1a) + b2
8
S = ∑ (yi − axi )2 − 2 × b × (
i=1
) + 8b2
−
b) Montrer que la somme S est minimale pour b = 822,8625 − 88,2a. En déduire que le point moyen G
appartient à la droite ∆.
2. a) En remplaçant b par 822,8625 − 88,2a, développer chaque terme de la somme S sous la forme d’un
trinôme du second degré en a.
xi
yi
89,1
819,6
89,6
818,5
89
820,7
88,5
821
88,1
824,7
87,4
826,5
87,1
825,1
86,8
[yi − (axi + b)]2 =
(yi − 822,8625) − 2 × (xi − 88,2) × (yi − 822,8625) × a + a2 × (xi − 88,2)2
2
(−3,2625)2 − 2 × (−2,93625) × a + 0,92 × a2
826,8
8
S = ∑ [yi − (axi + b)]2
i=1
8
S = ∑ (yi − 822,8625)2 − 2 × a × (
) + 7,32a2
i=1
b) Montrer que la somme S est minimale pour a ≈ −3,06 (valeur arrondie au centième près) .
c) Donner une équation de la droite δ , la tracer dans le repère précédent.
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
AJUSTEMENT AFFINE D ’ UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES
1
NUAGE DE POINTS
On s’intéresse à deux variables quantitatives discrètes sur une population. À chaque individu de cette population,
on associe un couple (xi ; yi ), où xi est la valeur de la première variable et yi la valeur de la seconde.
L’ensemble des couples (xi ; yi ) forme une série statistique à deux variables.
Soit (xi ; yi ) une série statistique à deux variables.
– Dans le plan muni d’un repère, l’ensemble des points Mi (xi ; yi ) est appelé le nuage de points de la série
statistique.
– Le point moyen du nuage est le point G (x; y) où x est la moyenne des xi et y est la moyenne des yi .
EXEMPLE
Le graphique ci-dessous, présente le nombre de milliers d’emploi dans le secteur « hébergement et restauration »
(série xi ) et dans la « construction » (série yi ) en France entre le 1er trimestre 2009 et le 2e trimestre 2010.
Le point G(868,7; 1350,4) est le point moyen du nuage.
y
1500
1400
G
y
1300
×
1200
×
1100
750
2
×
×
×
b
×
××
×
××
××
800
×
× ×× ××
× ×
850
×
×
×
×
×
××
× ××× ×
×
×
× × × ×
×
900
x
950
x
AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS
Lorsque les points Mi (xi ; yi ) sont approximativement alignés, on peut penser qu’une relation du type y = ax + b
« résume » correctement une corrélation entre les deux variables x et y.
y
1500
1400
G
y
b
δi
1300
1200
1100
750
δ1
×
×
×
××
800
×
××
××
×
××
× ×× ××
850
x
×
×
×
×
×
×
×
×
900
××
× ××× ×
×
×× × ×
×
y = ax + b
×
δn
950
x
Or pour chaque valeur xi observée, la valeur calculée correspondante y = axi + b diffère de la valeur observée yi
d’un écart résiduel δi qui peut être positif ou négatif. On a donc pour chaque couple d’observation i, la relation
suivante :
δi = yi − (axi + b)
A. YALLOUZ (MATH@ES)
42
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés, consiste à déterminer la fonction affine f : x 7−→ ax+b
n
telle que la somme S = ∑ [yi − (axi + b)]2 soit minimale.
i=1
ÉTAPE
1
n
On considère la somme S = ∑ [yi − (axi + b)]2 comme un polynôme du second degré en b.
i=1
En effet,
[yi − (axi + b)]2 = [(yi − axi ) − b]2 = (yi − axi )2 − 2b (yi − axi ) + b2
donc
n
n
h
i
2
2
∑ [yi − (axi + b)] = ∑ (yi − axi ) − 2b (yi − axi ) + b
2
i=1
n
i=1
n
n
= ∑ (yi − axi )2 − ∑ 2b (yi − axi ) + ∑ b2
i=1
i=1
i=1
n
n
= ∑ (yi − axi )2 − 2b ∑ (yi − axi ) + nb2
i=1
i=1
n
S est un polynôme du second degré en b de la forme S = A × b2 + B × b +C avec A = n, B = − 2 ∑ ( yi − axi )
i=1
n
B
et C = ∑ (yi − axi )2 . Comme n > 0, la somme S est minimale pour b = − . Soit
2A
i=1
n
b=
2 ∑ (yi − axi )
i=1
2n
n
Or
=
1
∑ (yi − axi )
n i=1
=
1 n
1 n
yi − ∑ axi
∑
n i=1
n i=1
=
1 n
1 n
yi − a × ∑ xi
∑
n i=1
n i=1
1 n
1 n
yi = y et ∑ xi = x. Donc la somme S est minimale pour b = y − ax
∑
n i=1
n i=1
REMARQUE
b = y − ax ⇔ y = ax + b. D’où la propriété suivante :
PROPRIÉTÉ
La droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen du nuage.
ÉTAPE
2
Pour déterminer a remplaçons b par son expression, ce qui donne
n
n
i=1
i=1
S = ∑ [yi − (axi + y − ax)]2 = ∑ [(yi − y) − a (xi − x)]2
Développons la somme S de manière à obtenir un polynôme du second degré en a :
i
n h
n
∑ [(yi − y) − a (xi − x)]2 = ∑ (yi − y)2 − 2a (yi − y) (xi − x) + a2 (xi − x)2
i=1
i=1
n
n
n
= ∑ (yi − y)2 − ∑ 2a (yi − y) (xi − x) + ∑ a2 (xi − x)2
i=1
n
i=1
i=1
n
n
i=1
i=1
= ∑ (yi − y)2 − 2a ∑ (yi − y) (xi − x) + a2 ∑ (xi − x)2
i=1
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
n
S est un polynôme du second degré en a de la forme S = A × a2 + B × a + C avec A =
n
n
i=1
i=1
∑ (xi − x)2 = nV (x),
i=1
B = − 2 ∑ (yi − y) (xi − x) et C = ∑ (yi − y) = nV (y) où V (x) est la variance de la première série statistique
2
et V (y) la variance de la deuxième série statistique.
Comme V (x) > 0, la somme S est minimale pour a = −
B
. Soit
2A
n
a=
2 ∑ (yi − y) (xi − x)
i=1
2nV (x)
=
1 n
∑ (yi − y) (xi − x)
n i=1
V (x)
DÉFINITION
Le nombre
1 n
∑ (yi − y) (xi − x) est appelé covariance de x et y. On note
n i=1
cov(x; y) =
Donc la somme S est minimale pour a =
1 n
∑ (yi − y) (xi − x)
n i=1
cov(x; y)
V (x)
DROITE D ’ AJUSTEMENT AFFINE
La droite d’ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés d’une série statistique à deux
cov(x; y)
variables est la droite d’équation y = ax + b avec a =
et b = y − ax.
V (x)
1 n
1 n
Avec V (x) = ∑ (xi − x)2 et cov(x; y) = ∑ (yi − y) (xi − x)
n i=1
n i=1
Cette droite passe par le point moyen G (x; y) du nuage de points.
REMARQUES
– La droite d’ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés est aussi appelée droite de
régression de y en x par la méthode des moindres carrés.
– Le lien mis en évidence entre deux variables quantitatives x et y par la droite d’ajustement affine ne signifie
pas nécessairement que l’une soit la cause de l’autre, mais simplement qu’il existe une corrélation dans
l’évolution des deux variables.
– La covariance est un indicateur du sens de la variation simultanée des séries quantitatives x et y.
Si les données x et les données y croissent globalement en même temps, alors cov(x; y) > 0, tandis que si la
tendance des données y est décroissante lorsque les données x croissent alors cov(x; y) 6 0.
covariance positive
y
300
250
200
150
100
×
50
0
0
×
××
×
×
×
×
×
×××
×
×
× ×× × ×××××
× ××
×
×
10
A. YALLOUZ (MATH@ES)
20
30
××
××
×
× × ×
×
×××
×
covariance négative
y
300
250
×
× × ×
××× ×
×
× × ×
×
200
××
×
150
100
50
40
x
0
0
10
20
×
×
× ×
× ×
× ××
×××
××××
××
×
×
××
×
30
40
x
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
EXERCICE 1
PARTIE A
Le tableau suivant, donne le nombre de milliers d’emploi en France dans le commerce et dans l’ensemble des
secteurs d’activité (hors agriculture, emploi public des secteurs non marchands et activités extra-territoriales)
au premier trimestre de chaque année.
On désigne par :
– xi le nombre de milliers d’emploi dans le commerce l’année de rang i.
– yi le nombre de milliers d’emploi de l’ensemble des secteurs, l’année de rang i.
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Rang i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
2767
2853
2926
2940
2958
2964
2974
3007
3028
2996
2970
yi
16656
17259
17472
17473
17448
17552
17667
18011
18229
17853
17767
1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, représenter le nuage de points Mi de coordonnées (xi ; yi ).
y
18000
17500
17000
16500
2750
2800
2850
2900
2950
3000
x
2. Calculer les coordonnées du point moyen G1 , le placer dans le repère précédent.
3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Le nuage de points montre qu’un ajustement affine est justifié.
a) Donner une équation de la droite de régression D1 de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.
b) Représenter la droite D1 dans le repère précédent.
PARTIE B
On étudie dans cette partie l’évolution du nombre de milliers d’emploi intérimaires.
xi désigne le nombre de milliers d’emploi dans l’itérim l’année de rang i et yi le nombre de milliers d’emploi
de l’ensemble des secteurs, l’année de rang i.
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Rang i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
589
636
579
553
562
590
600
677
673
437
522
yi
16656
17259
17472
17473
17448
17552
17667
18011
18229
17853
17767
1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, représenter le nuage de points Mi de coordonnées (xi ; yi ).
y
18000
17500
17000
16500
450
500
550
600
x
650
2. Un ajustement affine est-il justifié ?
PARTIE C
L’objet de cette partie, est d’étudier la contribution des deux secteurs précédents à la variabilité de l’emploi
total.
On note Ei la variation de l’emploi total entre les années de rang i et i − 1, Ci la variation de l’emploi dans le
commerce entre les années de rang i et i − 1 et Ti la variation de l’emploi dans l’intérim entre les années de rang
i et i − 1.
Par exemple E1 = 17259 − 16656 = 603, C1 = 2853 − 2767 = 86 et T1 = 636 − 589 = 47.
1. Recopier et compléter le tableau suivant.
Année
2001
Ci
86
Ti
47
Ei
603
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2. Calculer les écart-type des séries C et T . Dans quel secteur d’activité observe-t-on la plus grande fluctuation
de variation de l’emploi.
3. La contribution d’un secteur à la variabilité de l’emploi total mesure la part des variations de l’emploi total
qui peut être attribuée à ce secteur.
La contribution d’un secteur d’activité à la variabilité de l’emploi est d’autant plus importante que son
effectif représente une grande proportion de l’emploi total ou qu’il varie beaucoup et en même temps que
les autres secteurs d’activité.
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STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
cov(X; E)
où cov(X; E)
V (E)
est la covariance des séries statistiques des variations de l’emploi d’un secteur X et de l’emploi total E et
V (E) la variance des variations de l’emploi total.
Un critère pour mesurer la contribution d’un secteur à la variabilité de l’emploi est
a) Calculer les contributions du commerce et de l’intérim à la variabilité de l’emploi.
b) Interpréter les résultats.
EXERCICE 2
Le tableau suivant, donne l’évolution de l’indice des prix de la viande et de l’ensemble de la consommation en
France pour les années 2000 à 2009 :
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Rang i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Viande xi
102,3
110,7
112,4
113,6
116,1
117,8
120,22 122,77 128,22 129,97
Consommation yi
90,46
92,07
93,86
95,89
98,14
100
101,91 103,55 106,82 106,93
1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, représenter le nuage de points Mi de coordonnées (xi ; yi ).
y
105
100
95
90
100
105
110
115
120
125
130
x
2. Calculer les coordonnées du point moyen G, le placer dans le repère précédent.
3. Donner une équation de la droite de régression D de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés
(coefficients arrondis à 10−3 près)
Représenter la droite D dans le repère précédent.
4. En septembre 2010, l’indice des prix à la consommation était de 108,91. Selon cet ajustement, donner une
estimation l’indice des prix de la viande.
EXERCICE 3
Le tableau ci-dessous indique l’évolution de la dette publique de l’État français, en milliards d’euros, entre les
années 1999 et 2009 :
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
Année
Rang de l’année
xi
Dette
yi
en
milliards d’euros
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
634,7
655,4
683,1
743,3
806,8
847
894,5
892,5
928,7
1036,2 1162,6
1. a) Dans le plan muni d’un repère orthogonal, représenter le nuage de points Mi de coordonnées (xi ; yi ).
y
1100
1000
900
800
700
600
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
b) Calculer les coordonnées du point moyen G, le placer dans le repère précédent.
2. Donner une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres
carrés (coefficients arrondis à 10−2 près)
Représenter la droite D dans le repère précédent.
3. a) Calculer les pourcentages d’évolution annuel de la dette publique de l’État français pour les années 2000
à 2009.
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Année
% d’évolution
3,26
4,23
8,81
8,54
b) Calculer le taux global d’évolution de la dette publique de l’État français entre 2007 et 2009.
En déduire le taux moyen d’évolution, arrondi au centième près, de la dette publique de l’État français
entre 2007 et 2009.
4. a) Selon l’ajustement affine de la deuxième question, donner une estimation du montant, en milliards
d’euros, de la dette publique de l’État français en 2010.
b) En admettant que la tendance observée entre 2007 et 2009 se maintienne, quel serait l’estimation du
montant, en milliards d’euros, de la dette publique de l’État français en 2010 ?
c) Au 30 juin 2010, le montant de la dette publique de l’État français est de 1249,6 milliards d’euros. Des
deux estimations précédentes, quelle est celle qui semble la plus pertinente ?
EXERCICE 4
Le tableau suivant, donne le montant de la dépense des ménages entre les années 2000 et 2009 :
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Rang i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xi
10
11,2
13
15,5
18,5
22,3
26,4
30,9
34,3
36,6
yi
35,7
35,8
37,1
38,6
39,2
39,6
40,4
41,2
40,7
39,5
On désigne par :
– xi le montant en milliards d’euros, de la dépense dans le secteur « Industries des équipements électriques et
électroniques » l’année de rang i.
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STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
– yi le montant en milliards d’euros, de la dépense dans le secteur « Habillement, cuir » l’année de rang i.
Le nuage de points Mi (xi ; yi ) est représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthogonal.
y
42
+
41
+
+
40
+
+
39
+
+
38
+
37
36
+ +
35
10
15
20
25
30
x
35
1. Donner une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres
carrés (coefficients arrondis à 10−3 près)
Représenter la droite D dans le repère précédent.
2. On envisage un ajustement du nuage de points à l’aide d’une parabole. On pose zi = (xi − 29,5)2
a) Compléter le tableau suivant :
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Rang i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
35,8
37,1
38,6
39,2
39,6
40,4
41,2
40,7
39,5
zi
380,25
yi
35,7
b) Donner une équation de la droite ∆ d’ajustement affine de y en z, obtenue par la méthode des moindres
carrés (coefficients arrondis à 10−3 près)
c) En déduire une relation de y en fonction de x sous la forme y = ax2 + bx + c.
d) Tracer la courbe C f représentative de la fonction f définie par f (x) = −0,014x2 + 0,826x + 28,55 dans
le repère précédent.
3. Comparaison des deux ajustements.
Pour tout entier i tel que 0 6 i 6 9, on note :
– di l’écart entre le point Mi du nuage et le point M de même abscisse xi appartenant à la droite D.
9
9
i=0
i=0
di = yi − (0,171xi + 35,038) et S1 la somme résiduelle S1 = ∑ di2 = ∑ [yi − (0,171xi + 35,038)]2 .
– ei l’écart entre le point Mi du nuage et le point M de même abscisse xi appartenant à la courbe C f .
9
9
ei = yi − f (xi ) et S2 la somme résiduelle S2 = ∑ e2i = ∑ [yi − f (xi )]2 .
i=0
a) Compléter le tableau suivant (valeurs arrondies à
Rang i
0
1
2
di2
1,098
1,33
0,026
e2i
0,084
0,06
0,032
A. YALLOUZ (MATH@ES)
3
i=0
10−3
4
près) :
5
6
7
8
9
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
b) Comparer les sommes S1 et S2 .
(D’après sujet bac Antilles Septembre 2008)
EXERCICE 5
Le tableau ci-dessous indique le nombre y d’exploitations agricoles en France entre 1955 et 2005.
On appelle x le rang de l’année.
Année
1955
1970
1988
2000
2005
Rang xi
0
15
33
45
50
2 280
1 588
1 017
664
545
Nombre d’exploitations yi (en milliers)
(Source INSEE)
PARTIE A
: Un ajustement affine
1. a) Tracer le nuage
de points Mi (xi ; yi ) associé à cette série statistique dans le plan muni d’un repère
orthogonal O;~i,~j d’unités graphiques : 1 cm pour 5 années sur l’axe des abscisses et 1 cm pour
200 milliers d’exploitations sur l’axe des ordonnées ; (on placera l’origine du repère en bas à gauche de
la feuille).
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le
graphique.
2. a) À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement D de y en x obtenue par la
méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l’unité).
b) Tracer la droite D sur le graphique.
3. Calculer le nombre d’exploitations agricoles que l’on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (le
résultat sera arrondi au millier).
PARTIE B
: Une autre estimation
1. Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d’exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (le résultat
sera arrondi au dixième).
2. On suppose qu’entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d’exploitations agricoles
est constant.
Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87 %.
3. On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87 % entre 2005 et 2008.
Quel est le nombre d’exploitations agricoles que l’on peut prévoir en 2008 (le résultat sera arrondi au
millier) ?
(D’après sujet bac Nouvelle Calédonie 2010)
EXERCICE 6
Le tableau ci-dessous donne la répartition des contributions au financement des soins et des biens médicaux sur
la période 2004-2008. Les valeurs sont données en pourcentage.
Année
2004
2005
2006
2007
2008
0
1
2
3
4
Sécurité sociale et autres financements
91,7
91,6
91,1
91
90,6
Ménages yi
8,3
8,4
8,9
9,0
9,4
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
Rang de l’année xi
Total
Source : DREES, Comptes de la santé. ÉTUDES et RÉSULTATS no 701 - septembre 2009
Par exemple en 2004, la contribution de la sécurité sociale et des autres organismes financeurs s’est élevée à
91,7 % du financement des soins et des biens médicaux et les ménages ont financé 8,3 % de ces soins et biens
médicaux.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
50
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
PARTIE A
Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
: Étude en pourcentages
yi désigne la part en pourcentage financée par les ménages lors de l’année de rang xi ·
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ) pour i entier variant de 0 à 4.
On placera l’origine du repère à 0 en abscisse et 8 en ordonnée. On prendra pour unités : 2 cm pour 1 rang
en abscisses et 5 cm pour 1 % en ordonnées.
2. La forme du nuage de points permet de considérer qu’un ajustement affine est justifié.
a) À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x, obtenue
par la méthode des moindres carrés.
b) Représenter la droite D dans le repère précédent.
3. On suppose que l’évolution constatée sur la période 2004-2008 se poursuit en 2009 et en 2010. Justifier par
un calcul qu’avec cet ajustement affine, on peut prévoir une part des ménages dans le financement des soins
et des biens médicaux de 9,92 % en 2010.
PARTIE B
: Étude en valeurs
1. La dépense de soins et de biens médicaux était de 140 milliards d’euros en 2004.
Calculer la somme versée par les ménages pour financer les soins et les biens médicaux en 2004.
2. La dépense de soins et de biens médicaux était de 170,5 milliards d’euros en 2008. On fait l’hypothèse d’une
croissance de la dépense de soins et de biens médicaux de 3 % en 2009 et à nouveau de 3 % en 2010.
a) Déterminer la dépense de soins et de biens médicaux en 2010. (On arrondira le résultat au milliard
d’euros.)
b) Quelle somme versée par les ménages pour le financement des soins et des biens médicaux peut-on
prévoir pour l’année 2010 ? (On arrondira le résultat au milliard d’euros. )
(D’après sujet bac Pondichéry 2008)
EXERCICE 7
Un centre d’appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre
d’employés en fonction du rang de l’année.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Rang de l’année xi
1
2
3
4
5
6
7
Nombre d’employés yi
66
104
130
207
290
345
428
On cherche à étudier l’évolution du nombre y d’employés en fonction du rang x de l’année.
Une étude graphique montre qu’un ajustement affine ne convient pas.
√
On pose alors z = y − 3.
1. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième).
Rang de l’année xi
zi
1
2
3
4
5
6
7
5,12
2. Représenter le nuage de points Mi (xi ; zi ) associé à cette série statistique, dans le plan muni d’un repère
orthonormal d’unité graphique 1 cm.
Un ajustement affine vous paraît-il approprié ? Justifier la réponse.
3. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode
des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième).
Tracer cette droite sur le graphique précédent.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
51
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Année 2010-2011
Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l’effectif de ce centre d’appel
dépassera 900 employés ?
(D’après sujet bac Antilles-Guyanne 2007)
EXERCICE 8
Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions
d’euros, de 1998 à 2004.
Année
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Rang de l’année xi
0
1
2
3
4
5
6
Montant en millions d’euros yi
75
260
820
1650
2300
4000
5300
1. Calculer l’augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant des achats.
2. Représenter par un nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ) dans le plan rapporté à un repère
orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses, 2 cm pour 1000 millions d’euros
sur l’axe des ordonnées).
3. Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l’unité.
Donner une équation des la droite d’ajustement affine D de y en x, obtenue par la méthode des moindres
carrés.
Représenter cette droite dans le repère précédent.
4. On propose un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction f définie, pour tout réel positif
x, par : f (x) = 130x2 + 100x + 68.
Recopier et compléter le tableau suivant :
x
0
1
2
3
4
5
6
f (x)
Construire la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.
5. Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7 700 millions d’euros. Lequel de ces deux ajustements
vous paraît-il le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.
(D’après sujet bac France Métropolitaine septembre 2009)
EXERCICE 9
Pour établir le prix unitaire le plus adapté d’un produit, une société effectue une étude statistique.
Le tableau suivant indique le nombre d’acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné,
exprimé en euros :
Prix en euros : xi
Nombre d’acheteurs en milliers : yi
4
5
6
7
8
9
10
11
125
120
100
80
70
50
40
25
1. Représenter le nuage de points Mi (xi ; yi ) dans le plan (P) muni d’un repère orthonormal d’unités 1 cm
pour un euro sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers d’acheteurs sur l’axe des ordonnées.
2. a) Déterminer l’équation y = ax + b de la droite (D) d’ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode
des moindres carrés. Les coefficients a et b seront arrondis à l’unité.
b) Tracer la droite (D) dans le plan (P).
c) En utilisant l’ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l’euro près, le prix unitaire maximum
que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.
3. a) En utilisant l’ajustement affine précédent, justifier que la recette R(x), exprimée en milliers d’euros, en
fonction du prix unitaire x d’un objet, exprimé en euros, vérifie :
R(x) = −15x2 + 189x.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
52
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Tle ES 1
STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
b) Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = −15x2 + 189x.
c) Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.
(D’après sujet bac Antilles-Guyane septembre 2010)
EXERCICE 10
Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions
d’euros.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Rang de l’année : xi (1 6 i 6 8)
1
2
3
4
5
6
7
8
Chiffre d’affaires du commerce
équitable en millions d’euros :
yi (1 6 i 6 8)
12
21
37
70
120
166
210
256
(Source : M. H. leader du commerce équitable mondial)
1. a) En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d’affaires de 447 milliards d’euros.
(Source : INSEE). En 2007, quelle est la part du chiffre d’affaires du commerce équitable par rapport à
celui du commerce de détail ? (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,001 %).
b) Calculer le pourcentage d’augmentation du chiffre d’affaires du commerce équitable en France entre
2005 et 2008 (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1 %).
Dans la suite de l’exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d’affaires du commerce équitable
en France dépassera le double de celui de 2007.
2. Ajustement affine
a) Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ) (1 6 i 6 8) dans un repère orthogonal
du plan (on prendra 1 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 20 millions d’euros en ordonnée ;
l’origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré).
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite D
d’ajustement de y en x. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite D dans le repère
précédent.
c) En utilisant cet ajustement affine, à partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d’affaires du
commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?
3. Ajustement parabolique
Dans cette question toute trace de recherche. même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
L’allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique.
On propose d’ajuster le nuage par la parabole P d’équation y = 3x2 +7x −4, x étant un nombre réel supérieur
ou égal à 1.
En utilisant cet ajustement, en quelle année peut-on prévoir que le chiffre d’affaires du commerce équitable
en France dépassera le double de celui de 2007 ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
53
Chapitre 5
PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
Sommaire
Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ensemble des primitives d’une fonction
3
primitive vérifiant une condition . . . .
II
calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . .
1
primitives des fonctions usuelles . . . .
2
primitives des formes usuelles . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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56
56
56
56
57
57
57
58
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Tle ES 1
PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
Dans ce chapitre, nous étudirons le problème suivant :
Étant donné la fonction f , trouver une fonction F telle que F ′ = f .
ACTIVITÉS
1. Soit f et g les fonctions définies sur R par f (x) = −x2 + 3x − 1 et g(x) = −2x + 3.
Vérifier que g est la dérivée de f . Trouver d’autres fonctions ayant g pour dérivée.
2. À l’aide du tableau des dérivées, trouver une fonction F ayant pour dérivée la fonction f donnée dans chacun
des cas suivants :
1
2
a)
f (x) =
d)
f (x) = 2x2 + x − 1
b)
f (x) = x3
c)
f (x) = 3x − 2
e)
f (x) =
3
x2
f)
f (x) = (2x − 1)2
3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur R
y
2
1
b
-6
-5
-4
-3
-2
b
0
-1
1
2
3
4
x
5
-1
-2
Parmi les cinq courbes suivantes, quelles sont celles susceptibles de représenter une fonction F ayant pour
dérivée la fonction f ?
y
y
y
2
2
2
0
-2
2
4
6
8
x
0
-2
-2
-2
4
x
0
-2
-2
Courbe C1
-4
2
2
2
4
-2
8
x
8
x
-4
-2
0
2
4
6
8
x
-2
Courbe C4
A. YALLOUZ (MATH@ES)
6
6
Courbe C3
Courbe C2
y
2
4
-2
y
0
2
Courbe C5
55
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I
Tle ES 1
PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
PRIMITIVES
1
DÉFINITION
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I, F ′ (x) = f (x).
EXEMPLE
f est la fonction définie sur R par f (x) = 5 − 3x
√
3
3
Les fonctions F et G définies sur R par F(x) = − x2 + 5x et G(x) = − x2 + 5x − 2 sont des primitives de f
2
2
sur R.
3
De façon générale, toute fonction G définie sur R par G(x) = − x2 + 5x + c , où c est un réel, est une primitive
2
de f sur R.
2
ENSEMBLE DES PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G définies pour
tout réel x de I par G(x) = F(x) + k où k est un réel.
Démonstration
– Soit F une primitive de la fonction f sur I et G une fonction définie pour tout réel x de I par G(x) = F(x) + k
où k est un réel.
Alors, G′ (x) = F ′ (x) + 0 = f (x) donc G est aussi une primitive de f sur I.
– Soient G et F deux primitives de f sur I montrons qu’il existe un réel k tel que pour tout réel x de I,
G(x) = F(x) + k.
On considère la fonction H définie sur I par H(x) = G(x) − F(x) alors,
H ′ (x) = G′ (x) − F ′ (x) = f (x) − f (x) = 0
H ′ est la fonction nulle sur I ce qui signifie que H est une fonction constante sur I.
Ainsi, pour tout réel x de I, H(x) = k où k est un réel. Soit G(x) − F(x) = k donc G(x) = F(x) + k.
3
PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit x0 un réel de l’intervalle I et y0 un réel
quelconque.
Il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x0 ) = y0 .
Démonstration
Si G est une primitive de f sur I, alors toute primitive F de f sur I est définie par F(x) = G(x) + k avec k réel.
La condition F(x0 ) = y0 s’écrit G(x0 ) + k = y0 d’où k = y0 − G(x0 ).
Il existe donc une seule primtive F de f sur I telle que F(x0 ) = y0 , définie par F(x) = G(x) + y0 − G(x0 ).
Interprétation graphique
y
Si on connaît la courbe C représentative d’une primitive de f sur I,
alors les courbes des primitives de f sur I se déduisent de C par une
translation de vecteur k~j où k est un réel.
Un point M(x0 ; y0 ) étant donné, il n’existe qu’une seule courbe CF
de la famille passant par ce point.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
y0
M
CF
~j
O ~i
x
x0
56
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II
Tle ES 1
PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
CALCULS DE PRIMITIVES
Nous admettons la propriété suivante :
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d’une primitive conduisent aux résultats suivants :
– Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors F + G est une primitive de f + g
sur I.
– Si F est une primitives de la fonction f sur un intervalle I et k un réel, alors kF est une primitive de k f sur I.
1
PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES
f est définie sur I par . . .
f (x) = a (a est un réel)
f (x) = xn (n est un entier naturel)
1
x
1
f (x) = 2
x
1
f (x) = n (n entier, n > 1)
x
1
f (x) = √
x
f (x) =
2
une primitive F est donnée par
F(x) = ax
xn+1
F(x) =
n+1
validité
sur R
prochain cours
sur ]0; +∞[
1
x
1
F(x) = −
(n − 1)xn−1
√
F(x) = 2 x
F(x) = −
sur R
sur ] − ∞; 0[ ou sur ]0; +∞[
sur ] − ∞; 0[ ou sur ]0; +∞[
sur ]0; +∞[
PRIMITIVES DES FORMES USUELLES
u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
On obtient le tableau suivant à partir de la dérivation d’une fonction composée.
conditions
fonction f
n entier, n > 0
f = u′ un
u ne s’annule pas sur I
u ne s’annule pas sur I
n entier, n > 1
u strictement positive sur I
une primitive F est donnée par
un+1
F=
n+1
1
F =−
u
1
F =−
(n − 1)un−1
√
F =2 u
u′
u2
u′
f= n
u
u′
f=√
u
f=
EXEMPLE
Déterminer la primitive F de la fonction f définie sur R par f (x) =
Le carré au dénominateur incite à mettre en évidence la forme
u′
.
u2
4x + 2
telle que F(−1) = 0.
(x2 + x + 1)2
2x + 1
u′
soit
f
=
2
×
avec pour tout réel x, u(x) = x2 + x + 1 et u′ (x) = 2x + 1.
(x2 + x + 1)2
u2
1
−2
Une primitive de f sur R est F = −2 × + c. Soit pour tout réel x, F(x) = 2
+ c où c est un réel à
u
x +x+1
déterminer.
Or F(−1) = 0 ⇔ −2 + c = 0 ⇔ c = 2. Ainsi, la primitive F de la fonction f sur R est la fonction définie par :
f (x) = 2 ×
F(x) =
A. YALLOUZ (MATH@ES)
−2
x2 + x + 1
+2
57
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Tle ES 1
PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
EXERCICE 1
1. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f
√
1
b) f (x) = x3 − 4x + 2
a) f (x) = 3x2 +
c)
2
2. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f
3
x3 − 2x2 + 1
c)
a) f (x) = 3x + 2
b) f (x) =
x
x2
3. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f
3
1
a) f est définie sur ; +∞ par f (x) =
2
(2x − 1)3
définie sur R
x2 x
f (x) = − + 1
2 3
définie sur ]0; +∞[
√
x−2
f (x) = √
x
b) f est définie sur R par f (x) = (x + 1)(x2 + 2x − 3)3
x
c) f est définie sur ]1; +∞[ par f (x) = 2
(x − 1)2
EXERCICE 2
Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.
1
1
2
= .
1. f est définie sur R par f (x) = x − 5x − 1 et F −
2
2
1
2. f est définie sur R par f (x) = x2 − 3x + et F(1) = 0.
2
2
1
3
3. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x + 2 et F(1) = − .
x
4
3
4
1
1
et F
=− .
4. f est définie sur ; +∞ par f (x) =
2
(1 − 2x)2
2
2
1
5. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 2x3 − 1 − 2 et F(1) = 1.
x
EXERCICE 3
x2 + x + 1
1
et G(x) = x − 2 +
x+1
x+1
Montrer que F et G sont deux primitives sur ] − 1; +∞[ d’une même fonction f que l’on précisera.
Soit F et G les fonctions définies sur ] − 1; +∞[ par : F(x) =
EXERCICE 4
1
2x2 − 4x
Soit f la fonction définie sur ; +∞ par f (x) =
2
(2x2 + x − 1)2
2x2
1
1. Montrer que la fonction G définie sur ; +∞ par G(x) = 2
est une primitive de la fonction f .
2
2x + x − 1
1
2. a) Déterminer la primitive F de f sur ; +∞ telle que F(1) = 0
2
b) Étudier les limites de F aux bornes de son intervalle de définition. Interpréter graphiquement ces résultats.
c) Étudier les variations de la fonction F.
d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d’abscisse 1.
EXERCICE 5
On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les courbes C f et Cg représentatives de deux
fonctions f et g définies et dérivables sur R.
La droite D est tangente à la courbe C f au point A(−1; 0) et passe par le point de coordonnées (−3; 1) .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
58
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
y
D
Cf
F
1
2
b
-5
Tle ES 1
PRIMITIVES D ’ UNE FONCTION
-4
-3
-2
A
B
0
-1
Cg
b
1
2
3
x
4
C
E
1. Par lecture graphique :
a) Déterminer g′ (−1) et f ′ (−1).
b) Une des deux fonctions est la dérivée de l’autre, déterminez laquelle en justifiant votre choix.
8x
2. g est la fonction définie sur R par g(x) =
(x2 + 3)2
a) Déterminer une primitive de la fonction g.
.
b) En déduire que f est la fonction définie sur R par f (x) = 1 −
4
x2 + 3
.
3. Calculer la limite de f en −∞ et en +∞. Interpréter graphiquement ces résultats.
4. Étudier les variations de la fonction f .
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point B. La tracer sur le graphique précédent.
EXERCICE 6
La courbe CF suivante, est la courbe représentative d’une primitive F sur R d’une fonction f .
y
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
5
-1
CF
1. Une des trois courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f . Déterminer laquelle.
-3
-2
y
y
y
1
1
1
0
-1
1
2
x
-1
Courbe C1
-2
-1
0
1
-1
2
3
x
-1
0
1
2
3
4
x
-1
Courbe C2
2
2. La fonction G définie sur R par G(x) = 2
est une primitive de la fonction f .
x − 2x + 2
Courbe C3
a) Donner l’expression de F(x).
b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe CF au point A d’abscisse 2. La tracer sur le graphique
précédent.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
59
Chapitre 6
FONCTION LOGARITHME
Sommaire
Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
fonction logarithme népérien . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . .
2
conséquences . . . . . . . . . . . .
II
propriétés algébriques . . . . . . . . . . .
1
propriété fondamentale . . . . . . .
2
autres règles de calcul . . . . . . .
III étude de la fonction logarithme népérien
1
variation . . . . . . . . . . . . . .
2
limites . . . . . . . . . . . . . . . .
3
le nombre e . . . . . . . . . . . . .
4
courbe représentative . . . . . . . .
5
limites importantes . . . . . . . . .
IV étude d’une fonction ln(u) . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . .
2
limites . . . . . . . . . . . . . . . .
3
variations . . . . . . . . . . . . . .
4
dérivée . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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63
63
63
63
63
63
64
64
65
65
65
66
67
67
67
67
67
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60
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
TRANSFORMER LES PRODUITS EN SOMME
PARTIE A
g et h sont deux fonctions définies et dérivables sur l’intervalle ]0; +∞[. Les courbes Cg et Ch représentatives
de ces deux fonctions sont tracées ci-dessous dans le plan muni d’un repère orthonormé.
y
Cg
1
bC
0
x
1
Ch
1. Par lecture graphique, compléter le tableau des valeurs suivant :
x
g(x)
h(x)
0,25
0,5
1
2
4
8
2. Vérifier pour différentes valeurs de a et b, que les fonctions g et h ont la propriété (P) suivante :
(P) « L’image du produit de deux nombres positifs a et b est égale à la somme des images de ces deux
nombres »
3. En admettant que les fonctions g et h ont la propriété (P), calculer g(0,125) et h(64)
4. Vérifier qu’il existe un réel k tel que g = k f .
PARTIE B
Étudions les caractéristiques des fonctions ayant la propriété (P). C’est-à-dire, des fonctions f telles que pour
tout couple de réels a et b, on ait f (ab) = f (a) + f (b).
1. Démontrer les deux propositions suivantes :
a) Si f est une fonction ayant la propriété (P) alors, pour tout réel k 6= 0, la fonction k f a aussi la propriété
(P).
b) Si f est une fonction non nulle ayant la propriété (P) alors, f n’est pas définie en 0.
2. Supposons qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur ]0; +∞[ telle que pour tout couple de réels
strictement postifs a et b, on ait f (ab) = f (a) + f (b).
a) Quelle égalité obtient-on lorsque a = b = 1 ? En déduire la valeur de f (1).
f ′ (y)
.
a
En posant k = f ′ (1), déduire que f est la primive qui s’annule pour x = 1 de la fonction g définie sur
k
]0; +∞[ par g(x) = .
x
k
3. Réciproquement, soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ par g(x) = avec k un réel fixé.
x
b) Soit a un réel strictement positif. Montrer que pour tout réel y > 0, f ′ (ay) =
a) Justifier que la fonction g admet des primitives sur ]0; +∞[.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
61
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
FONCTION LOGARITHME
Tle ES 1
b) Soit f la primive qui s’annule pour x = 1 de la fonction g sur ]0; +∞[.
Montrer que les fonctions x 7−→ f (x) et x 7−→ f (ax) ont des dérivées égales.
En déduire alors, que pour tout réel a > 0, f (ax) = f (a) + f (x).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
62
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
I
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
1
La fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par f (x) = est dérivable donc continue. Elle admet donc des
x
primitives sur cet intervalle
1
DÉFINITION
1
La fonction logarithme népérien est la primitive sur ]0; +∞[ de la fonction x 7−→ qui s’annule pour x = 1.
x
Pour tout réel x strictement positif ln x est le logarithme népérien de x.
2
CONSÉQUENCES
1. La fonction ln est définie sur l’intervalle ]0; +∞[
2. ln 1 = 0
3. La fonction ln est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[ et pour tout réel x > 0, ln′ (x) =
II
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
1
PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE
1
x
Pour tous réels a et b strictement positifs :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
Démonstration
a étant un réel strictement positif, on considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ln(ax) − ln x
f est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel x > 0,
1 1 1 1
f ′ (x) = a × − = − = 0
ax x x x
La dérivée de la fonction f est toujours nulle, donc f est une fonction constante sur ]0; +∞[.
En particulier f (1) = ln a − ln 1 = ln a, donc pour tout réel x > 0, f (x) = ln a.
Ainsi, pour tout réel x > 0, ln(ax) − ln x = ln a.
Soit finalement pour tout réel x > 0, ln(ax) = ln a + ln x
2
AUTRES RÈGLES DE CALCUL
Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif :
1
1. ln
= − ln a
a
a
= ln a − ln b
2. ln
b
3. ln (an ) = n ln a
√
1
4. ln ( a) = ln a
2
Démonstrations
1. Soit a > 0 alors
A. YALLOUZ (MATH@ES)
1
1
> 0. Or a × = 1 donc
a
a
1
1
1
= ln 1 ⇔ ln a + ln = 0 ⇔ ln = − ln a
ln a ×
a
a
a
63
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
2. Soit a > 0 et b > 0
FONCTION LOGARITHME
Tle ES 1
1
1
= ln a ×
= ln a + ln = ln a − ln b
ln
b
b
b
3. Si n = 0, l’égalité est évidente :
a
ln a0 = ln 1 = 0 = 0 × ln a
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ln (xn ) − n ln x avec n entier relatif non nul.
f est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel x > 0,
f ′ (x) =
1
n n n
× n × xn−1 − = − = 0
n
x
x x x
La dérivée de la fonction f est toujours nulle, donc f est une fonction constante sur ]0; +∞[.
En particulier f (1) = ln 1n − n ln 1 = 0, donc pour tout réel x > 0, f (x) = 0. Soit ln (xn ) − n ln x = 0.
Ainsi, pour tout réel x > 0 et pour tout entier n, ln (xn ) = n ln x.
√ 2
4. Soit a > 0 alors ( a) = a donc
√
√ 2
ln a = ln a = 2 ln a
III
1
ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
VARIATION
La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ .
Démonstration
La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ donc continue sur cet intervalle.
1
1
La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0; +∞[ par ln′ (x) = . Or si x > 0 alors, > 0.
x
x
La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
PROPRIÉTÉS
On déduit de ce théorème les propriétés suivantes :
Pour tous réels a et b strictement positifs :
ln a = ln b si, et seulement si, a = b
ln a > ln b si, et seulement si, a > b
Puisque ln 1 = 0 :
Pour tout réel x strictement positif :
ln x = 0 si, et seulement si, x = 1
ln x > 0 si, et seulement si, x > 1
ln x < 0 si, et seulement si, 0 < x < 1
EXEMPLE
Résoudre dans R l’équation ln(5 − x2 ) = 0
i √ √ h
L’équation est définie pour 5 − x2 > 0. Soit pour x ∈ − 5; 5
i √ √ h
Pour tout réel x de l’intervalle − 5; 5 ,
ln(5 − x2 ) = 0 ⇔ 5 − x2 = 1 ⇔ x2 = 4
i √ √ h
L’équation x2 = 4 admet deux solutions −2 et 2. Or ces deux solutions sont dans l’intervalle − 5; 5 .
L’ensemble des solutions de l’équation ln(5 − x2 ) = 0 est S = {−2; 2}
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Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
2
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
LIMITES
1. Étude de la limite en +∞
Soit A un réel strictement positif.
A
. Soit
ln 2
n ln 2 > A ⇔ ln 2n > A
Comme ln 2 > 0, nous pouvons choisir un entier n tel que n >
Puisque la fonction ln est strictement croissante, pour tout réel x de l’intervalle [2n ; +∞[ :
ln x > ln 2n > A
Ainsi, ln x peut être rendu aussi grand que l’on veut à condition de choisir x suffisamment grand. D’où
La fonction ln a pour limite +∞ en +∞ : lim ln x = +∞.
x→+∞
2. Étude de la limite en 0
1
Pour tout réel x > 0, ln x = − ln
.
x
1
1
= −∞. D’où
Or lim+ = +∞ et lim ln X = +∞ donc par composition des limites lim+ − ln
X→+∞
x
x→0
x→0 x
La fonction ln a pour limite −∞ en 0 : lim ln x = −∞.
x→0
L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe d’équation y = ln x
3
LE NOMBRE
e
La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ et pour tout réel x > 1, ln x ∈]0; +∞[.
D’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation ln x = 1 admet une solution unique notée e.
DÉFINITION
Le nombre e est le nombre dont le logarithme népérien est égal à 1 : ln e = 1.
APPLICATION
Pour tout entier relatif n,
ln en = n ln e = n
Pour tout entier relatif n, en est le réel solution de l’équation ln x = n.
4
COURBE REPRÉSENTATIVE
y
y = ln x
Tangentes remarquables :
La tangente à la courbe représentative de la fonction ln
au point (1; 0) a pour équation :
1
y = x−1
O
1
2
e 3
4
x
La tangente à la courbe représentative de la fonction ln
au point (e; 1) a pour équation :
-1
1
1
y = (x − e) + 1 ⇔ y = x
e
e
-2
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
5
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
LIMITES IMPORTANTES
lim
x→+∞
ln x
= 0 et lim x ln x = 0.
x→0
x
Démonstration
1. Un résultat préliminaire : Montrons que pour tout réel x > 1, ln x 6 x
Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par f (x) = ln x − x. f est dérivable et pour tout réel x > 1,
f ′ (x) =
1−x
1
− 1 ⇔ f ′ (x) =
x
x
1−x
6 0, donc f est décroissante.
x
D’autre part, f (1) = −1, donc pour tout réel x > 1, f (x) 6 f (1) 6 0.
Or, pour tout réel x > 1,
Ainsi, pour tout réel x > 1, ln x 6 x.
Remarque : lorsque 0 < x < 1, ln x < 0 donc ln x < x
Pour tout réel x > 0, ln x 6 x.
Graphiquement, la courbe représentative de la fonction ln est au dessous de la droite d’équation y = x
ln x
x
Nous avons établi que pour tout réel X > 1, ln X 6 X.
√
√
Pour tout réel x > 1, x > 1 et ln x > 0. Donc pour tout réel x > 1,
2. Limite en +∞ de
√
√
√
√
√
1
ln x 2 x
0 6 ln x 6 x ⇔ 0 6 ln x 6 x ⇔ 0 6 ln x 6 2 x ⇔ 0 6
6
2
x
x
√
ln x
2 x
= 0 donc d’après le théorème des gendarmes , lim
=0
Or lim
x→+∞ x
x→+∞ x
Conséquence :
ln x ln x
1
Pour tout réel x > 0 et pour tout entier n > 2, n =
× n−1
x
x
x
ln x
1
ln x
Or, lim
= 0 et lim n−1 = 0 donc par produit des limites lim n = 0
x→+∞ x
x→+∞ x
x→+∞ x
3. Limite en 0 de x ln x
Le théorème sur la limite d’un produit de permet pas de calculer lim x ln x.
x→0
Pour tout réel x > 0, nous avons :
− ln 1
1
1
x
x ln x = × − ln
=
1
1
x
x
x
Or lim+
x→0
1
− ln X
= +∞ et lim
= 0 donc par composition des limites lim x ln x = 0
X→+∞
x→0
x
X
A. YALLOUZ (MATH@ES)
66
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
IV
1
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
ÉTUDE D ’ UNE FONCTION
ln(u)
DÉFINITION
Soit u une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I.
La composée de la fonction u suivie de la fonction ln est notée ln(u).
EXEMPLE
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1; +∞[ par f (x) = ln x2 − 1 .
f est la composée de la fonction u définie sur l’intervalle ]1; +∞[ par u(x) = x2 − 1 suivie de la fonction ln.
2
LIMITES
Pour étudier une limite d’une fonction ln(u), on utilise le théorème sur la limite d’une fonction composée.
EXEMPLE
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1; +∞[ par f (x) = ln x2 − 1 .
1. lim+ x2 − 1 = 0 et lim ln X = −∞ donc par composition des limites lim ln x2 − 1 = −∞
x→1
2.
3
X→0
x→1
lim x2 − 1 = +∞ et lim ln X = +∞ donc par composition des limites
x→+∞
X→+∞
lim ln x2 − 1 = +∞
x→+∞
VARIATIONS
Soit u une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I.
Les fonctions u et ln(u) ont les mêmes variations sur I.
Démonstration
Pour tout réel x ∈ I, u(x) > 0. Or la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
D’après le théorème sur les variations des fonctions composées, u et ln(u) ont les mêmes variations sur I.
4
DÉRIVÉE
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
u′
La fonction ln(u) est dérivable sur I et (ln u)′ = .
u
Démonstration
La fonction u est dérivable sur I et pour tout réel x ∈ I, u(x) > 0. Or la fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[.
Donc la fonction composée f = ln u est dérivable sur I.
D’après la formule de dérivation d’une fonction composée
f ′ = ln′ (u) × u′
soit
f′ =
1
u′
× u′ =
u
u
EXEMPLE
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1; +∞[ par f (x) = ln x2 − 1 .
La fonction u définie sur ]1; +∞[ par u(x) = x2 − 1 est dérivable et strictement positive sur ]1; +∞[ ; u′ (x) = 2x.
2x
f est dérivable sur ]1; +∞[ et pour tout réel x > 1, f ′ (x) = 2
x −1
PRIMITIVES
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
u′
Une primitive de sur I est ln u.
u
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Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
EXERCICE 1
Simplifier l’écriture des nombres suivants :
1
A = ln(16) − 7 ln(2) + 4 ln(32) + 3 ln
8
√ √
C = 8 ln( 3) + 5 ln(9) − ln 9 3
√
√
ln 3 − 1 + ln 3 + 1
E=
2
G=
ln 5 − ln 10
√ 2 ln
2
1
B = 3 ln(125) − 2 ln(25) + 6 ln
5
√
1
1
ln 9 − 4 ln 3 − ln
3
D= 3
ln 3
ln 36
F=
ln 3 + ln 2
H=
ln(12) − ln(9)
!
1
ln
+ ln(64)
27
EXERCICE 2
Démontrer les propriétés suivantes :
1. Pour tout réel x > 1, ln x2 + x − 2 = ln (x + 2) + ln (x − 1)
1
2. Pour tout réel x strictement positif, ln (x + 1) = ln x + ln 1 +
x
√
√
1
3. Pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] − 2; 2[, ln 2 − x + ln 2 + x = ln 4 − x2
2
EXERCICE 3
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Soit a un réel tel que 0 < a < 1. Comparer ln a et − ln a.
a+1
2. Soit a et b deux réels strictement positifs, tels que a < b. Comparer ln
a
√
a+b
> ln ab.
3. Soit a et b deux réels strictement positifs, montrer que ln
2
b+1
et ln
.
b
EXERCICE 4
Résoudre les équations suivantes après avoir précisé l’ensemble des valeurs du réel x pour lesquelles l’équation
est définie.
1. ln (1 − 2x) = ln (x + 2) + ln 3
2. ln 1 − x2 = ln (2x − 1)
3. ln (x − 2) + ln (x + 3) = ln (3x + 2)
√
1
4. ln 2x − 2 = ln (4 − x) − ln x
2
EXERCICE 5
Résoudre les inéquations suivantes :
1. ln (2 − x) 6 ln (2x + 1) − ln(3)
1
2
2. ln (3x + 2) > ln x +
4
2
3. ln 1 +
6 ln x
x
A. YALLOUZ (MATH@ES)
68
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
EXERCICE 6
Simplifier l’écriture des nombres suivants :
A = ln e3 + e2 ;
1
ln e
− ln
;
B=
2
ln (e )
e
EXERCICE 7
2
C = ln 4e2 + ln √
e
;
1
ln 3
e
D=
ln 3
×
ln 9
e2
Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entiern solution
de l’inéquation :
3 n
9 n
n
n
a) 1,05 > 1,5 ;
b) 0,92 6 0,75 ;
c) 1 +
> 2;
d) 0,2 > 1 −
100
100
EXERCICE 8
1. Actuellement, le taux du livret A d’épargne est égal à 1,75%.
En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d’années, un capital placé
sur le livret A aura-t-il plus que doublé ?
2. Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 4%. Au bout de combien d’années, ce capital
aura-t-il augmenté d’au moins 80% ?
3. Le gouvernement d’un pays envisage de baisser l’impôt de 2% par an. Au bout de combien d’années, l’impôt
aura-t-il baissé de 20% ?
4. D’une année sur l’autre, un produit perd 5% de sa valeur. Au bout de combien d’années ce produit aura-t-il
a perdu plus de 40% de sa valeur initiale ?
EXERCICE 9
1. Résoudre les équations suivantes :
x−1
x+2
b) ln
= −1 ;
= 1;
a) ln
2x + 1
x
2. Résoudre les inéquations suivantes :
x
6 −1 ;
a) ln
b) ln (2x + 1) − ln (x − 1) 6 1 ;
x+1
c) 2 (ln x)2 + 3 ln x = 2
c) (ln x)2 − ln x 6 6
EXERCICE 10
1. Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée f ′ de la fonction f définie sur ]0; +∞[ :
√
1
d) f (x) = (ln x)2 ;
;
c) f (x) = ln x ;
a) f (x) = x ln x − x ;
b) f (x) = ln
x
1
2. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ]1; +∞[ par f (x) =
;
ln x
e) ln x2
EXERCICE 11
Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction f définie sur ]0; +∞[ par :
2x + ln x
2 ln x − 1
1
a) f (x) = 3x + 2 − ln x ;
b) f (x) =
;
c) f (x) =
;
d) f (x) = − ln x
x
x
x
EXERCICE 12
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
1
+ ln x
x
1. Étudier les limites de f en 0 et en +∞.
2. On note f ′ la dérivée de la fonction f . Calculer f ′ (x).
3. Étudier les variations de f .
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FONCTION LOGARITHME
EXERCICE 13
√
√
Existe-t-il un entier M tel que pour tout réel x > M, ln x2 > x ? (Suggestion : Calculer lim ln x2 − x.)
x→+∞
EXERCICE 14
PARTIE A
Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ par g(x) = 1 − x2 − ln(x).
1. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g.
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0; +∞[.
PARTIE B
ln(x) x
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
− + 1. On note C f sa courbe représentative dans un
2x
2
repère du plan.
1. a) Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
b) Calculer la limite de f en +∞.
x
c) Montrer que la droite D d’équation y = − + 1 est asymptote à la courbe C f en +∞.
2
d) Calculer les coordonnées du point A, intersection de la droite D et de la courbe C f .
g(x)
2. a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0; +∞[, f ′ (x) = 2 .
2x
b) En déduire le signe de f ′ (x) puis les variations de la fonction f .
3. Tracer la droite D et la courbe C f dans le repère ci-dessous.
y
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
-2
-3
-4
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FONCTION LOGARITHME
EXERCICE 15
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ telle que pour tout réel x de cet intervalle
f (x) = (1 + ln x)(2 − ln x) et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous.
y
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
-1
-2
-3
-4
1. a) Résoudre l’équation f (x) = 0. Les valeurs exactes sont demandées.
b) Montrer que le signe de f (x) est donné pour tout réel de l’intervalle ]0 ; +∞[ par le tableau suivant :
x
Signe de f (x)
1
e
0
−
0
+∞
e2
+
0
−
2. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
3. a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f ′ (x) et vérifier que f ′ (x) =
réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[.
1 − 2 ln x
pour tout
x
b) Étudier les variations de f . On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour
laquelle il est atteint.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1 et la tracer sur le graphique.
5. a) Donner le nombre de solutions de l’équation f (x) = 2.
b) Résoudre dans R l’équation (1 + X) (2 − X) = 2.
c) En déduire les solutions de l’équation f (x) = 2.
EXERCICE 16
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
ln x
. On note C f sa courbe représentative.
x2
1. a) Étudier la limite de f en 0.
b) Étudier la limite de f en +∞.
c) La courbe C f admet-elle des asymptotes ?
1 − 2 ln x
2. a) Montrer que f ′ (x) =
x3
b) Étudier les variations de la fonction f .
3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1.
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EXERCICE 17
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C f d’une fonction f dérivable sur R.
– Les points E(1; 0), A(−1; e) et B(−2; 2) sont des points de C f .
– La tangente à C f en A est parallèle à l’axe des abscisses.
– La tangente à C f en B passe par C(−4; 0).
– La droite d’équation y = 1 est asymptote à C f en −∞.
– La fonction f est strictement croissante sur ]−∞; −1] et strictement décroissante sur [−1; −∞[.
A
B
Cf
C
~j
E
O
~i
1. a) Donner les valeurs de f (−2), f (−1), f (1) ainsi que la limite de f en −∞.
b) Donner, en justifiant vos réponses, les nombres f ′ (−1) et f ′ (−2)
2. Soit g la fonction définie par g (x) = ln [ f (x)] et Γ sa représentation graphique.
a) Déterminer l’intervalle I de définition de g . Calculer les limites de g en −∞ et en 1.
En déduire les asymptotes à la courbe C f en précisant une équation pour chacune d’elles.
b) Exprimer g′ (x) à l’aide de f (x) et f ′ (x). En déduire le tableau de variations de g.
c) Déterminer g(−2) et g′ (−2), puis une équation de la tangente à C f au point B′ d’abscisse −2.
EXERCICE 18
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1; +∞[ par f (x) =
x−1
x+1
1. Déterminer la limite de f en +∞.
2. On note f ′ la dérivée de la fonction f . Calculer f ′ (x).
3. Étudier le signe de f sur l’intervalle ]−1; +∞[.
PARTIE B
Soit g la fonction définie par g(x) = ln [ f (x)] et Cg sa représentation graphique.
1. Déterminer l’intervalle I de définition de g.
2. Calculer les limites de g en +∞ et en 1.
En déduire les asymptotes à la courbe Cg en précisant une équation pour chacune d’elles.
3. Exprimer g′ (x). En déduire le tableau de variations de g.
4. Donner une équation de la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse 2.
5. Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la
courbe Cg dans le même repère.
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FONCTION LOGARITHME
y
Cf
1
0
x
1
(D’après sujet bac La Réunion 2009)
EXERCICE 19
La ville de Sirap étudie les flux de sa population et enregistre, chaque année, y centaines de nouveaux résidants
et z centaines de résidants quittant la ville.
Le tableau ci-dessous indique les flux pour cinq années :
2000
2002
2004
2006
2007
0
2
4
6
7
Nouveaux résidants (en centaines) : yi
9,71
10,95
10,83
11,95
11,99
Départs de résidants (en centaines) : zi
9,6
11,79
12,63
12,9
13,18
Année
Rang de l’année : xi
PARTIE A
Pour la série statistique (xi ; yi ) donner une équation de la droite d’ajustement D de y en x, obtenue par la
méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième).
PARTIE B
Dans toute la suite de l’exercice, on admettra le modèle d’ajustement y = f (x) et y = g(x) avec :
f (x) = 0,3x + 10 pour la série (xi ; yi )
et g(x) = ln(3x + 1) + 10 pour la série (xi ; zi ) .
Les nuages de points et les courbes représentatives de f et g sont donnés dans la figure ci-dessous :
y
y = 0,3x + 10
16
15
14
13
12
10
b
rS
11
b
y = ln(3x + 1) + 10
rS
rS
rS
b
b
rS
b
b
9
rS
8
7
0
1
2
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Série (x; y)
Série (x; z)
18
19
20
x
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1. En utilisant ces ajustements :
a) Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveaux résidants dépasserait 1400.
b) Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait 1400.
On considère la fonction d définie sur [0; 20] par
d(x) = g(x) − f (x) = ln(3x + 1) − 0,3x.
On note d ′ la dérivée de d.
2. Calculer d ′ (x) et en donner une écriture sous forme d’un quotient. Étudier son signe et construire le tableau
de variations de la fonction d.
3. Montrer que l’équation d(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [3; 20].
À l’aide d’une calculatrice, donner un encadrement de α par deux entiers consécutifs.
4. En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants :
a) En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population ?
Estimer alors cette baisse.
b) À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population ?
(D’après sujet bac Liban 2010)
EXERCICE 20
PARTIE A
On considère la fonction f , définie sur l’intervalle ]0 ; 20] par f (x) = 3e2 − x ln x + 10.
1. a) Déterminer la limite de f en 0.
b) Calculer la valeur exacte de f e2 , puis une valeur approchée à 0,01 près.
3e2
− 1 où f ′ désigne la dérivée de la fonction f .
x
3. On admet que la fonction dérivée f ′ est strictement décroissante sur ]0 ; 20] et que son tableau de variations
est le suivant :
2. Montrer que, pour tout x de ]0 ; 20], f ′ (x) = − ln x +
x
f ′ (x)
0
+∞
e2
20
0
f ′ (20)
a) À l’aide du tableau de variations, donner le signe de f ′ (x) pour x appartenant à l’intervalle ]0 ; 20].
b) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 20] et dresser son tableau de variations
sur cet intervalle.
4. a) Montrer que, sur l’intervalle [0,6 ; 0,7], l’équation f (x) = 0 possède une unique solution notée α . À la
calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,001 près par excès.
b) Démontrer que f (x) est négatif pour tout x ∈]0 ; α [ et que f (x) est positif pour tout x ∈]α ; 20].
PARTIE B
Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à ]0 ; 20].
Le bénéfice réalisé est égal à f (x) milliers d’euros où f est la fonction étudiée dans la partie A.
En utilisant les resultats de la partie A :
1. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;
2. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros
près, de ce bénéfice maximal.
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(D’après sujet bac Nouvelle Calédonie 2010)
EXERCICE 21
PARTIE A
1
On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[ par g(x) = ln x − .
2
1. Étudier les variations de g sur [1 ; +∞[.
2. Résoudre l’équation g(x) = 0 dans [1 ; +∞[.
3. En déduire que g(x) > 0 si et seulement si x >
√
e.
PARTIE B
On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = 2x2 (ln x − 1) + 2.
1. Déterminer la limite de f en +∞.
2. On appelle f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.
a) Montrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ; +∞[, f ′ (x) = 4xg(x).
b) Étudier le signe de f ′ (x) sur [1 ; +∞[ et en déduire le tableau de variations de f sur [1 ; +∞[.
3. a) Montrer que, dans l’intervalle [2 ; 3], l’équation f (x) = 0 admet une solution unique notée α .
b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α .
(D’après sujet bac Amérique du Nord 2007)
EXERCICE 22
PREMIÈRE PARTIE
1
On considère une fonction g définie sur l’intervalle − ; +∞ par :
2
g(x) = −x2 + ax − ln(2x + b), où a et b sont deux réels.
Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d’un repère O;~i,~j passe par l’origine
1
du repère et admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse .
2
DEUXIÈME PARTIE
1
Soit f la fonction définie sur l’intervalle − ; +∞ par f (x) = −x2 + 2x − ln(2x + 1).
2
On admet que f est dérivable et on note f ′ sa dérivée.
Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :
x
− 21
signe de f ′ (x)
0
−
0
+
variations de f
−
0
3
4
+∞
+∞
1
+ ln
1
2
−∞
0
1. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
1
2. a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle
;1 .
2
b) Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2 .
1
3. Déterminer le signe de f (x) sur l’intervalle − ; +∞ .
2
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(D’après sujet bac Antilles-Guyanne 2007)
EXERCICE 23
La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle I =]0; +∞[. On note f ′
la fonction dérivée de f sur l’intervalle I.
Les axes (Ox) et (Oy) sont asymptotes à C .
1
La courbe C passe par les points A(1 ; −1) et B
; 0 et admet une tangente parallèle à (Ox) au point A.
e
y
5
4
3
2
1
B
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 x
10
C
A
-2
1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
a) f (1) et f ′ (1).
b) lim f (x) et lim f (x).
x→0
x→+∞
c) les solutions de l’inéquation f (x) > 0 et les solutions de l’inéquation f ′ (x) > 0.
a + b ln x
où a et b sont deux nombres réels.
2. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle I, f (x) =
x
a) Exprimer f ′ (x) en fonction des réels a et b.
b) Utiliser les résultats de la question 1a. pour montrer que a = −1 et b = −1.
c) Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.
(D’après sujet bac Nouvelle Calédonie 2009)
EXERCICE 24
PARTIE I
: ÉTUDE D ’ UNE FONCTION
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ telle que pour tout réel x de cet intervalle
f (x) = 5(1 − ln x)(ln x − 2) et dont la représentation graphique est donnée en annexe.
1. Résoudre l’équation f (x) = 0. Les valeurs exactes sont demandées.
2. a) Déterminer le signe de l’expression 5(1 − X)(X − 2) suivant les valeurs du réel X.
b) En déduire que le signe de f (x) est donné pour tout réel de l’intervalle ]0 ; +∞[ par le tableau suivant :
x
Signe de f (x)
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e
0
−
0
+∞
e2
+
0
−
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FONCTION LOGARITHME
3. a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
5(3 − 2 ln x)
pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[.
Calculer f ′ (x) et montrer que f ′ (x) =
x
b) En déduire les variations de f . On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x
pour laquelle il est atteint.
4. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
5. Donner le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1 puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01
près de ces solutions.
PARTIE II
: APPLICATION
Une entreprise fabrique et revend des jouets.
f (x) représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d’euros qu’elle réalise lorsqu’elle fabrique x centaines
de jouets, pour x compris entre 1 et 10, f désignant la fonction étudiée dans la partie I.
1. Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte.
Interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique ?
2. Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1000 euros.
Combien de jouets doit-elle fabriquer ? Justifier la réponse.
y
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
EXERCICE 25
Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.
1
1. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 1 − 2 et F(1) = 2.
x
1
2. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 1 − et F(1) = 2.
x
2
3. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 3x2 − et F(1) = −1 .
x
2 ln(x)
et F(e) = 0 .
4. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
x
x2 + x − 2
5. f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
et F(1) = 2.
x2
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EXERCICE 26
−x2 + 2x + 1
.
x−1
c
.
1. Déterminer les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b +
x−1
2. Déterminer la primitive F de la fonction f telle que F(2) = 1.
Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par : f (x) =
EXERCICE 27
Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.
1
x
et F(0) = .
1. f est définie sur R par f (x) = 2
x +e
2
2
1
2
2. f est définie sur ; +∞ par f (x) = −
et F(1) = .
3
3x − 2
3
x−1
et F(0) = ln 2.
3. f est définie sur R par f (x) = 2
x − 2x + 2
x+3
et F(1) = ln 4.
4. f est définie sur ]−1; +∞[ par f (x) =
x+1
EXERCICE 28
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ] −
Sa courbe représentative notée C f est donnée ci-dessous.
x
1
; +∞[ par f (x) = ln(2x + 1) +
.
2
2x + 1
y
4
Cf
3
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
-1
-2
-3
1. a) Calculer lim f (x). Interpréter graphiquement ce résultat.
x→− 21
b) Calculer la limite de la fonction f en +∞.
2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
a) Calculer f ′ (x)
b) Étudier le signe de f ′ (x) suivant les valeurs du réel x.
c) En déduire les variations de f .
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 0 et la tracer sur le graphique.
1
4. Soit F la primitive de la fonction f définie sur l’intervalle ] − ; +∞[ telle que F(0) = 0 .
2
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FONCTION LOGARITHME
a) Étudier les variations de la fonction F.
b) En déduire le signe de F.
EXERCICE 29
PARTIE A
La courbe C f tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d’une fonction f définie
sur l’intervalle ] − 1; +∞[ . On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur ] − 1; +∞[ .
Cf y
1
0
x
1
1. La tangente à la courbe C f au point A(1; 0) passe par le point B(0; 1,5) . En déduire f (1) et f ′ (1).
2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d’une primitive F de la fonction f .
Déterminer la courbe associée à la fonction F. (Justifier)
COURBE
1
COURBE
2
COURBE
y
y
y
1
0
3
1
1
x
1
0
0
1
1
x
x
PARTIE B
3 − 3x
.
x3 + 1
1. Déterminer les limites de la fonction f en −1 et en +∞. Interpréter graphiquement les résultats.
2
ax + b
2. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de l’intervalle ] − 1; +∞[ , f (x) =
−
.
x + 1 x2 − x + 1
3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F(1) = 2 ln 2.
Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur ] − 1; +∞[ par f (x) =
a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d’abscisse 1.
b) Calculer F(x).
c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d’abscisse 0.
EXERCICE 30
1
3
Soit f la fonction définie sur sur R par f (x) = x − ln x2 + 1 + . On note C f sa courbe représentative dans
5
2
un repère orthogonal.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
79
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
y
1
-2
-1
Cf
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
1. À partir du graphique, quel semble être :
a) le tableau des variations de la fonction f ;
b) le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 ?
2. Étude de la fonction f .
a) Calculer la limite de f en −∞ ; on admettra que la limite de f en +∞ est +∞.
3x2 − 10x + 3
b) Démontrer que pour tout réel x, f ′ (x) =
5x2 + 5
c) Donner le tableau des variations de la fonction f .
On calculera les valeurs exactes du minimum et du maximum relatifs de f , puis on indiquera dans le
tableau leurs valeurs arrondies à 10−3 près.
3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0. Donner les valeurs arrondies à 10−1 près de ces
solutions.
4. Comparer vos réponses aux questions 1. b) et 3. Expliquer.
EXERCICE 31
(D’après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007)
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire,
exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.
PARTIE I
: ÉTUDE DES COÛTS HEBDOMADAIRES DE PRODUCTION
1. Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que,
pour cette entreprise, l’évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction Cm définie
16
pour les nombres réels x de l’intervalle [0; 10] par Cm (x) = x +
. (Cm (x) est exprimé en centaines
x+1
d’euros, x en kilogrammes).
Étudier les variations de la fonction Cm , puis dresser le tableau de variations de la fonction Cm sur l’intervalle
[0; 10].
2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le
coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction Cm .
Déterminer la fonction C, primitive de la fonction Cm sur l’intervalle [0; 10] qui modélise ce coût total, pour
une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que C(0) = 0.
PARTIE II
: ÉTUDE DU BÉNÉFICE HEBDOMADAIRE .
On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d’au moins 1 kg et que tout ce qui est produit
est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d’euros) dépend de la masse x (exprimée en
kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l’intervalle [1; 10]
par B(x) = 9x − 0,5x2 − 16 ln(x + 1).
La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d’un repère orthogonal est la courbe (Γ) donnée
ci-dessous.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
80
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
FONCTION LOGARITHME
y
5
4
3
(Γ)
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-1
-2
-3
1. a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l’intervalle [1; 7] et strictement décroissante sur
l’intervalle [7; 10].
En déduire la quantité de médicaments que l’entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice
hebdomadaire (en centaines d’euros) soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d’euros (arrondir à l’euro).
2. a) Utiliser la courbe (Γ) pour déterminer un encadrement d’amplitude 0,5 de la plus petite quantité x0 de
médicaments que l’entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d’argent.
b) Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de x0 approchée au centième.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
81
Chapitre 7
PROBABILITÉS
Sommaire
I
modéliser une expérience aléatoire . . . . . . . . .
1
vocabulaire et notations . . . . . . . . . . .
2
probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
formule des probabilités totales . . . . . . .
3
représentation sous forme d’un arbre pondéré
4
évènements indépendants . . . . . . . . . . .
III loi numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
loi de probabilité d’une variable aléatoire . .
2
espérance, variance et écart-type . . . . . . .
IV loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
épreuve de Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
2
loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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83
83
83
86
87
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88
89
89
89
90
91
91
91
93
82
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
I
PROBABILITÉS
Tle ES 1
MODÉLISER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard.
1
VOCABULAIRE ET NOTATIONS
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est l’univers associé à cette expérience
aléatoire. On le note Ω.
Chacun des résultats de cette expérience aléatoire est une éventualité ou un évènement élémentaire.
Remarques :
1. Le résultat d’une expérience aléatoire est défini par l’expérimentateur.
On lance un dé cubique :
– Si on s’intéresse au chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera l’un des des
chiffres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. L’univers associé à cette expérience est Ω = {1,2,3,4,5,6}
– Par contre, si on s’intéresse à la parité du chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire
sera « pair » ou « impair ». L’univers associé à cette expérience est Ω = {pair,impair}
2. L’univers Ω n’est pas toujours un ensemble fini .
On lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir « face » un résultat est un mot de longueur finie ou infinie
formé avec les deux lettres P pour « pile » et F pour « face ». Par exemple, le résultat PPPF signifie qu’on a
lancé quatre fois la pièce, les trois premiers lancers ont donné « pile » et le quatrième « face ».
Ω est l’ensemble des mots de la forme P
· · P} F, k ∈ N et du mot de longueur infinie formé avec la lettre P.
| ·{z
k fois
Un évènement associé à une expérience aléatoire est une partie de l’univers Ω consituée de l’ensemble des
évènements élémentaires de Ω pour lesquels on sait si une propriété est vérifiée ou non à l’issue de l’expérience
aléatoire.
EXEMPLE
Dans le cas d’un lancer de dé cubique, les phrases « le résultat est un multiple de 3 », « le résultat est 6 » et « le
résultat est 7 » définissent trois évènements
Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements
– L’évènement certain est noté Ω.
– L’évènement impossible est noté ∅.
– L’évènement « A ne s’est pas réalisé » est l’évènement contraire de A noté A.
– L’évènement « au moins un des évènements A ou B s’est réalisé » est l’évènement « A ou B » noté A ∪ B.
– L’évènement « les évènements A et B se sont réalisés » est l’évènement « A et B » noté A ∩ B.
– Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors A ∩ B = ∅.
Les évènements A et A sont incompatibles.
2
PROBABILITÉ
LOI DE PROBABILITÉ
Ω désigne un univers de n éventualités {e1 ,e2 , . . . ,en }.
Définir une loi de probabilité p sur Ω, c’est associer, à chaque évènement élémentaire ei un nombre réel
p (ei ) = pi de l’intervalle [0; 1], tel que :
n
∑ p (ei ) = p1 + p2 + · · · + pn = 1
i=1
A. YALLOUZ (MATH@ES)
83
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
PROBABILITÉS
PROBABILITÉ D ’ UN ÈVÈNEMENT
Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.
La probabilité d’un évènement A, est le réel noté p(A) tel que :
– p(A) ∈ [0; 1]
– p(A) est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.
PROPRIÉTÉS
Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.
1. La probabilité de l’évènement certain est égale à 1. p (Ω) = 1.
2. Si A et B sont deux évènements incompatibles alors p (A ∪ B) = p(A) + p(B)
3. Pour tout évènement A, p(A) = 1 − p(A).
4. p(∅) = 0.
5. Si A et B sont deux évènements p (A ∪ B) = p(A) + p(B) − p (A ∩ B)
ÉQUIPROBABILITÉ
Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c’est à
1
dire, si p(e1 ) = p(e2 ) = · · · = p(en ) = , alors l’univers est dit équiprobable.
n
On a alors pour tout évènement A,
p(A) =
nombre de cas favorables
card(A)
=
nombre de cas possibles
card(Ω)
Notation :
Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté card(E) est le nombre d’éléments de l’ensemble E.
EXEMPLES
1. On lance deux dés équilibrés. Quel est l’évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est
égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 » ?
Si on s’intéresse à la somme des deux dés, l’univers est Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mais il n’y a pas
équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n’a pas la même probabilité.
2 = 1 + 1 alors que 5 = 1 + 4 ou 5 = 2 + 3
On se place dans une situation d’équiprobablité en représentant une issue à l’aide d’un couple (a,b) où a est
le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L’univers Ω associé à cette expérience est l’ensemble
des couples formés avec les éléments de {1,2,3,4,5,6}.
Les dés étant équilibrés, il y a 62 = 36 résultats équiprobables.
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
L’évènement A est l’ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D’où p(A) =
A. YALLOUZ (MATH@ES)
1
6
=
36 6
84
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
PROBABILITÉS
Tle ES 1
L’évènement B est l’ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D’où p(B) =
5
36
L’évènement le plus probable est A.
2. Quel est le plus petit nombre n de lancers de deux dés pour que la probabilité de l’évènement B « obtenir au
moins un double six en lançant n fois deux dés » soit supérieure à la probabilité de l’évènement A « obtenir
au moins une fois un six en lançant deux fois un dé » ?
a) Probabilité de l’évènement A
Lorsqu’on lance deux fois un dé il y a 62 = 36 résultats équiprobables.
L’évènement A « obtenir au moins un six » est l’évènement contraire de l’évènement « n’obtenir aucun
six au cours des deux lancers ».
Or l’évènement A est l’ensemble des couples formés avec les éléments de {1,2,3,4,5}.
52
Le nombre d’éléments de A est 52 = 25 d’où p A = 2 et
6
52 11
p(A) = 1 − p A = 1 − 2 =
6
36
b) Probabilité de l’évènement B
Lorsqu’on lance une fois deux dés, il y a 36 couples de résultats équiprobables. La probabilité de
35
l’évènement « ne pas obtenir de double six » vaut .
36
Lorsqu’on
n lance n fois deux dés, la probabilité de l’évènement B « ne pas obtenir de double six » vaut
35
d’où
36
n
35
p(B) = 1 − p B = 1 −
36
Ainsi, n est le plus petit entier tel que
35
1−
36
n
35 n 25
<
36
36
n
35
25
⇔ ln
< ln
36
36
35
25
⇔ n ln
< ln
36
36
25
ln
36
⇔ n > ≈ 12,9
35
ln
36
11
⇔
>
36
25
25
ln
ln
36
36
≈ 12,9 donc est le plus petit entier n > est n = 13
35
35
ln
ln
36
36
La probabilité de l’évènement B « obtenir au moins un double six en lançant 13 fois deux dés » est supérieure
à la probabilité de l’évènement A « obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé »
A. YALLOUZ (MATH@ES)
85
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
II
Tle ES 1
PROBABILITÉS
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d’une expérience aléatoire,
une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d’un évènement.
ACTIVITÉ
La tableau ci-dessous, répertorie les 50 plus grandes entreprises mondiales (en termes de chiffre d’affaires de
2010) selon le classement Fortune Global 500.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ENTREPRISE
PAYS
BRANCHE
Wal-Mart Stores
Royal Dutch Shell
Exxon Mobil
BP
Toyota Motor
Japan Post Holdings
Sinopec
State Grid
AXA
China National Petroleum
Chevron
ING Group
General Electric
Total
Bank of America Corp.
Volkswagen
ConocoPhillips
BNP Paribas
Assicurazioni Generali
Allianz
AT&T
Carrefour
Ford Motor
ENI
J.P. Morgan Chase & Co.
États-Unis
Pays-Bas
États-Unis
Royaume-Uni
Japon
Japon
Chine
Chine
France
Chine
États-Unis
Pays-Bas
États-Unis
France
États-Unis
Allemagne
États-Unis
France
Italie
Allemagne
États-Unis
France
États-Unis
Italie
États-Unis
Commerce de détail
Pétrole
Pétrole
Pétrole
Automobile
Services
Pétrole
Electricité
Assurances
Pétrole
Pétrole
Banque/Assurances
Société mixte
Pétrole
Banque
Automobile
Pétrole
Banque
Assurances
Assurances
Télécommunications
Commerce de détail
Automobile
Pétrole
Banque
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
ENTREPRISE
PAYS
BRANCHE
Hewlett-Packard
E.ON
Berkshire Hathaway
GDF Suez
Daimler
NTT
Samsung
Citigroup
McKesson
Verizon Communications
Crédit Agricole
Banco Santander
General Motors
HSBC Holdings
Siemens
American International Group
Lloyds Banking Group
Cardinal Health
Nestlé
CVS Caremark
Wells Fargo
Hitachi
I.B.M
Dexia
Gazprom
États-Unis
Allemagne
États-Unis
France
Allemagne
Japon
Corée
États-Unis
États-Unis
États-Unis
France
Espagne
États-Unis
Royaume-Uni
Allemagne
États-Unis
Royaume-Uni
États-Unis
Suisse*
États-Unis
États-Unis
Japon
États-Unis
Belgique
Russie
Informatique
Énergie
Assurances
Énergie
Automobile
Télécommunications
Technologie
Banque
Santé
Télécommunications
Banque
Banque
Automobile
Banque
Technologie
Assurances
Banque
Santé
Agroalimentaire
Santé
Banque
Technologie
Informatique
Banque
Pétrole
1. Un étudiant qui souhaite faire un stage, choisi au hasard une de ces cinquante entreprises :
a) Quelle est la probabilité de l’évènement F « la branche d’activité de cette entreprise est un secteur
financier (banque ou assurances) » ?
b) Quelle est la probabilité de l’évènement E « l’entreprise a son siège dans un pays de l’Union Européenne » ?
c) Quelle est la probabilité que la branche d’activité de cette entreprise soit un secteur financier et que cette
entreprise ait son siège dans un pays de l’Union Européenne ?
2. Cet étudiant choisi une entreprise dont l’activité principale est dans un secteur financier. (banque ou assurances)
a) Quelle est la probabilité que cette entreprise ait son siège dans un pays de l’Union Européenne ?
p(E ∩ F)
On note pF (E) cette probabilité, vérifier que pF (E) =
p(F)
b) Quelle est la probabilité que cette entreprise ait son siège aux États-Unis ?
3. Cet étudiant choisi une entreprise dont le siège est dans un pays de l’Union Européenne. Quelle est la
probabilité que la branche d’activité de cette entreprise soit un secteur financier (banque ou assurances) ?
Comparer avec la probabilité calculée dans la question 2 a
4. Cet étudiant choisi une entreprise dont le siège est aux États-Unis. Quelle est la probabilité que la branche
d’activité de cette entreprise soit un secteur financier (banque ou assurances) ?
Comparer avec la probabilité calculée dans la question 2 b
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
1
Tle ES 1
PROBABILITÉS
DÉFINITION
Soient A et B deux évènements d’un même univers tel que p(A) 6= 0.
La probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé se note pA (B) et on a :
pA (B) =
p (A ∩ B)
p(A)
Remarque :
On note aussi p(B|A) la probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé.
FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES
La relation définissant la probabilité conditionnelle peut s’écrire de la manière suivante
p (A ∩ B) = pA (B) × p(A)
Cette écriture s’appelle la formule des probabilités composées
Soient A et B deux évènements d’un même univers tels que p(A) 6= 0 et p(B) 6= 0. Alors :
p (A ∩ B) = pA (B) × p(A) = pB (A) × p(B)
2
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
CAS DE DEUX ÉVÈNEMENTS
Si A est un évènement de Ω tel que p(A) 6= 0 et p(A) 6= 1, alors pour tout évènement B de Ω
p(B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = pA (B) × p(A) + pA (B) × p(A)
Preuve :
Les évènements A ∩ B et A ∩ B sont incompatibles et B = (A ∩ B) ∪ A ∩ B d’où
p(B) = p (A ∩ B) + p(A ∩ B)
D’après la formule des probabilités composées
A
B∩A
B∩A
p(B) = pA (B) × p(A) + pA (B) × p(A)
A
PARTITION
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et {A1 , A2 , . . . , An } un ensemble d’évènements de probabilités non nulles
d’un même univers Ω.
A1 , A2 , . . . , An forment une partition de l’univers Ω si, et seulement si, tout évènement élémentaire de Ω
appartient à l’un des évènements Ai et à un seul. C’est à dire si, et seulement si,
1. Pour tous entiers i et j tels que 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n et i 6= j, Ai ∩ A j = ∅.
2. A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω.
Remarques :
– Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω.
– Si les évènements A1 , A2 , · · · , An forment une partition de Ω alors
n
∑ p(Ai ) = p (A1 ) + p (A2 ) + · · · + p (An ) = 1
i=1
A. YALLOUZ (MATH@ES)
87
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
PROBABILITÉS
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 si {A1 , A2 , . . . , An } est une partition de Ω alors pour tout évènement B de
Ω,
p(B) = p(A1 ∩ B) + p(A2 ∩ B) + · · · + p(An ∩ B)
Preuve :
Les évènements A1 , A2 , . . . , An forment une partition de l’univers Ω donc :
– A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω, d’où
B = Ω ∩ B = (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) ∩ B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ · · · ∪ (An ∩ B)
– De plus les évènements A1 , A2 , . . . , An sont deux à deux incompatibles, c’est à dire pour tous entiers i et j
tels que 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n et i 6= j, Ai ∩ A j = ∅.
D’où pour tous entiers i et j tels que 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n et i 6= j, (Ai ∩ B) ∩ (A j ∩ B) = ∅.
On en déquit que
p(B) = p ((A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ · · · ∪ (An ∩ B)) = p(A1 ∩ B) + p(A2 ∩ B) + · · · + p(An ∩ B)
3
REPRÉSENTATION SOUS FORME D ’ UN ARBRE PONDÉRÉ
Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d’un poids
qui est une probabilité.
p A ( R)
R
pA (R)
R
p B (S )
S
pB (S)
S
pC (T )
T
pC (T )
T
A
)
p(A
p(B)
B
p(C
)
C
– La racine de l’arbre est l’univers Ω
– Les évènements qui se trouvent aux extremités des branches issues d’un même nœud forment une partition
de l’évènement situé à ce nœud.
Par exemple, {A,B,C} est une partition de l’univers Ω et {S,S} est une partition de l’évènement B.
– Un chemin complet qui conduit à un sommet final, représente l’intersection des évènements qui le composent.
Par exemple, le chemin dont l’extrémité est R représente l’évènement A ∩ R.
– Le poids d’une branche primaire est la probabilité de l’évènement qui se trouve à son extrémité.
Le poids d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qui se trouve à son
extrémité sachant que l’évènement qui se trouve à son origine est réalisé.
RÈGLES
– La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.
– La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches.
– La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à un sommet où
apparaît cet évènement.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
p(A
)
=1
pA (B
)=1
−p
A (B)
B p A ∩ B = pA (B) × p(A)
B
A
pA (B
)=1
4
PROBABILITÉS TOTALES
A
)
p A(B
−p
(A)
PROBABILITÉS COMPOSÉES
B p (A ∩ B) = pA (B) × p(A)
)
p A (B
)
p(A
Tle ES 1
PROBABILITÉS
−p
A (B)
p A ∩ B = pA (B) × p(A)
p(B) = p (A ∩ B) + p A ∩ B
p(B) = p A ∩ B + p A ∩ B
B p A ∩ B = pA (B) × p(A)
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
Dire que deux évènements sont indépendants signifie que la réalisation de l’évènement B ne modifie pas la
réalisation de l’évènement A.
Les évènements A et B sont indépendants si p (A ∩ B) = p(A) × p(B)
Si p(A) 6= 0 et p(B) 6= 0 on a les équivalences :
A et B indépendants ⇔ pB (A) = p(A) ⇔ pA (B) = p(B)
III
LOI NUMÉRIQUE
Il arrive souvent qu’à chaque résultat d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une
fonction de l’univers Ω dans R.
Par exemple le gain obtenu à l’occasion d’un jeu de hasard ou encore le temps d’attente d’un bus.
En terminale ES, on ne considère que le cas où Ω est un univers fini.
Une variable aléatoire X sur un univers fini Ω est une fonction de l’univers Ω dans R qui prend un nombre fini
de valeurs.
1
LOI DE PROBABILITÉ D ’ UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x1 , x2 , . . . , xk ; on note (X = xi ) l’évènement
de Ω constitué des issues qui ont pour image le réel xi par X.
Lorsque, à chaque valeur xi , on associe la probabilité de l’évènement (X = xi ), notée p(X = xi ), on définit une
loi de probabilité sur l’ensemble {x1 ,x2 , . . . ,xk }, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
EXEMPLE
Un joueur lance deux dés cubiques équilibrés ; si il obtient un double six alors le joueur gagne 10 C, si la
somme des chiffres est un nombre impair, le joueur gagne 3 C et sinon le joueur perd 5 C.
– On considère l’expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des
chiffres obtenus.
L’univers de cette expérience est Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. La loi de probabilité définie sur Ω est :
Issue
Probabilité
A. YALLOUZ (MATH@ES)
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
89
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Tle ES 1
PROBABILITÉS
1
.
36
4
6
4
2
1
2
+ + + +
= .
L’évènement (X = 3) est constitué des issues {3,5,7,9,11} d’où p(X = 3) =
36 36 36 36 36 2
Or p(X = −5) + p(X = 3) + p(X = 10) = 1 ; donc
– L’évènement (X = 10) est constitué de l’issue {12} donc p(X = 10) =
1
1
17
p(X = −5) = 1 − p(X = 3) − p(X = 10) = 1 − −
=
2 36 36
D’où la loi de probabilité de X :
−5
17
36
xi
p(X = xi )
2
3
1
2
10
1
36
ESPÉRANCE , VARIANCE ET ÉCART- TYPE
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x1 , x2 , . . . , xk
X
x1
x2
p(X = xi )
p1
p2
···
xk
···
pk
1. On appelle espérance mathématique de X notée E(X), le réel :
k
E(X) = ∑ xi p(X = xi ) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xk pk
i=1
2. On appelle variance de X notée V(X), le réel :
k
V(X) = ∑ (xi − E(X))2 pi = (x1 − E(X))2 × p1 + (x2 − E(X))2 × p2 + · · · + (xk − E(X))2 × pk
i=1
3. On appelle écart-type de X noté σ (X), le réel :
σ (X) =
p
V(X)
AUTRE FORMULE DE LA VARIANCE
k
V(X) = ∑ (xi − E(X))2 pi = E X 2 − E2 (X)
i=1
En effet :
k
V(X) = ∑ (xi − E(X))2 pi
i=1
k
= ∑ pi xi2 − 2pi xi E(X) + pi E2 (X)
i=1
k
=
∑
pi xi2
i=1
2
=E X
=E X
A. YALLOUZ (MATH@ES)
2
!
k
k
− 2E(X) ∑ pi xi + E2 (X) ∑ pi
i=1
i=1
2
− 2E(X) × E(X) + E (X) × 1
− E2 (X)
90
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Tle ES 1
PROBABILITÉS
Remarques :
– L’espérance E(X) apparaît comme la moyenne pondérée (au sens statistique du terme) des valeurs xi affectées
des poids pi .
– Dans le cas particulier d’un jeu, l’espérance E(X) est le gain moyen par partie qu’un joueur peut espérer
obtenir s’il joue un grand nombre de fois.
Le signe de E(X) permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre.
Si E(X) = 0, on dit que le jeu est équitable.
L’écart-type de X permet, lui, d’évaluer le « risque » du jeu : plus l’écart-type est grand plus le risque de
perdre ou de gagner est important.
EXEMPLE
Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité de X est :
−5
17
36
xi
p(X = xi )
3
1
2
10
1
36
– L’espérance mathématique de X est :
E(X) = −5 ×
17
1
1
7
+ 3 × + 10 ×
=−
36
2
36
12
L’espérance mathématique E(X) < 0 donc le jeu est défavorable au joueur.
Supposons que le joueur joue 60 parties,
7
60 × −
= −35
12
Le joueur risque donc de perdre 35 C.
– La variance de X est :
1
1
7 2 2699
17
2
2
=
V (X) = (−5) × + 3 × + 10 × − −
36
2
36
12
144
2
– L’écart-type de X est :
σ (X) =
IV
1
r
2699
≈ 4,329
144
LOI BINOMIALE
ÉPREUVE DE
B ERNOULLI
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l’une appelée « succès » de probabilité
p et l’autre appelée « échec » de probabilité q = 1 − p.
2
LOI BINOMIALE
L’expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante
est appellée un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité associée au nombre de succés obtenus au cours de n épreuves de ce schéma de Bernoulli
est appellée la loi binomiale de paramètes n et p.
UN EXEMPLE
:
On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante.
La probabilité du succès est p(S) = p, la probabilité de l’echec est p(S) = 1 − p = q.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
91
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Tle ES 1
PROBABILITÉS
L’expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l’aide d’un mot de trois
lettres :
{S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S}
Pour obtenir la loi de probabilité du nombre de succès, on dresse un arbre et compte le nombre d’issues
contennant k succès.
ISSUES
p
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
S
S
p
q
p
q
S
S
S
q
S
La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres 3 et p est
nombre de succès k
0
1
2
3
probabilité pi
q3
3 × p × q2
3 × p2 × q
p3
Remarque :
L’évènement A « obtenir au moins un succès » est l’évènement contraire de l’évènement F « obtenir trois échecs
consécutifs » d’où
p(A) = 1 − q3
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS
Tle ES 1
EXERCICE 1
Un couple a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ?
EXERCICE 2
Une urne contient quatre boules noires et cinq boules blanches. On tire successivement et sans remise trois
boules dans l’urne.
Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit blanche et les deux dernières noires ?
EXERCICE 3
Un enfant joue avec cinq dés cubiques : trois sont équlibrés et deux sont pipés, il y a une chance sur quatre
d’obtenir un six. L’enfant choisit au hasard un dé et le lance.
1. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un 6 ?
2. Sachant qu’il a obtenu un 6, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un dé équilibré ?
EXERCICE 4
Une maladie M affecte les bovins d’un pays. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime
que :
– 12 % des bovins ont la maladie M ;
– Quand un bovin est malade, le test est positif dans 95 % des cas ;
– 98 % des bêtes saines ne réagissent pas au test.
On prend un animal de ce troupeau au hasard.
1. Quelle est la probabilité pour un animal d’être malade et de réagir au test ?
2. On prend un animal au hasard et on lui fait passer le test quelle est la probabilité pour que le test soit positif ?
3. On veut déterminer la fiabilité de ce test. Calculer la probabilité :
a) pour un animal d’être malade si il réagit au test ;
b) pour un animal d’être sain si il ne réagit pas au test.
EXERCICE 5
Une maladie M affecte les bovins d’un pays. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime
que :
– 13,5 % des bovins d’un troupeau sont malades et ont réagi au test ;
– 1,5 % des bovins du troupeau sont malades et n’ont pas réagi au test ;
– 84,8 % des bêtes n’ont pas réagi au test.
On prend un animal de ce troupeau au hasard.
1. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l’animal n’est pas malade.
2. Calculer la probabilité que l’animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif.
EXERCICE 6
Une maladie M affecte les bovins d’un pays. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime
que :
– 20 % des bovins d’un troupeau sont malades ;
– 20,6 % des bovins du troupeau ont eu un test positif ;
– 1 % des bovins du troupeau sont malades et n’ont pas réagi au test.
On prend un animal de ce troupeau au hasard.
1. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l’animal n’est pas malade.
2. Calculer la probabilité que l’animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
93
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PROBABILITÉS
Tle ES 1
EXERCICE 7
D’après une étude de la direction du tourisme concernant l’ensemble des résidents Français :
Est défini comme "voyage" , tout départ du domicile, retour à celui-ci avec au moins une nuit passée en dehors.
Ces voyages se décomposent en "séjours" de deux sortes :
• Séjours courts définis par le fait d’avoir passé entre une nuit et trois nuits en lieu fixe ;
• Séjours longs définis par le fait d’avoir passé au moins quatre nuits en lieu fixe.
Le mode d’hébergement d’un séjour peut être marchand (hôtel, camping, gîte etc . . .) ou non marchand.
On considère que sur l’ensemble des résidents Français qui ont effectué au moins un voyage :
– Les séjours courts représentent 55% de l’ensemble des séjours ;
– 43% des séjours longs se font en hébergement marchand ;
– 36,4% de l’ensemble des séjours se font en hébergement marchand.
On interroge au hasard, un résident Français ayant effectué un voyage et on note :
– L : « l’évènement la personne a fait un séjour long » ;
– M : l’évènement « le mode d’hébergement du séjour est marchand » ;
– A l’évènement contraire de A.
Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.
1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long.
2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
3. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long en hébergement marchand.
b) En déduire la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour court en hébergement marchand.
4. Un résident Français effectue un séjour court, quelle est la probabilité qu’il choisisse un hébergement
marchand ?
5. On interroge au hasard, un résident Français ayant choisi un hébergement non marchand au cours de son
séjour. Quelle est la probabilité que le séjour de cette personne soit un séjour long ?
EXERCICE 8
Une entreprise fabrique un article dans deux unités de production notées A et B. L’unité A, assure 60% de la
production.
On a constaté que :
– 3% des pièces provenant de l’unité A présentent un défaut de fabrication ;
– 8% des pièces provenant de l’unité B présentent un défaut de fabrication.
1. On prélève un article au hasard, et on note :
– A l’évènement « la pièce provient de l’unité A » ;
– B l’évènement « la pièce provient de l’unité B » ;
– D l’évènement « la pièce présente un défaut », D l’évènement contraire.
a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
b) Calculer la probabilité qu’un article présente un défaut et provienne de l’unité A.
c) Montrer que la probabilité qu’un article présente un défaut est égale à 0 ,05.
2. L’entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce
contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non
défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.
On prend au hasard un article fabriqué et on note V l’évènement « l’article est mis en vente ».
a) Calculer p (V ∩ D) et p V ∩ D . En déduire que la probabilité qu’un article fabriqué soit mis en vente
après contrôle est 0,921.
b) L’entreprise souhaite qu’il y ait moins de 1% des articles vendus défectueux. Ce contrôle permet-il
d’atteindre cet objectif ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
94
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EXERCICE 9
Tle ES 1
PROBABILITÉS
(D’après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007)
Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s’entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moyen et 30 % de
niveau difficile.
Pierre sait qu’il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95 % des cas, les grilles de sudoku de niveau
moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les évènements suivants :
F : « la grille est de niveau facile »
M : « la grille est de niveau moyen »
D : « la grille est de niveau difficile »
R : « Pierre réussit la grille » et R son évènement contraire.
1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. a) Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
b) Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
c) Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
3. Sachant que Pierre n’a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau
moyen ?
4. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ».
Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l’aide d’un calcul.
EXERCICE 10
(D’après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2010)
On s’intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d’un certain pays en 2006.
Dans cette population :
– 58 % sont des femmes ;
– 5 % des personnes sont atteintes d’une maladie incurable appelée maladie A et parmi celles-ci les deux tiers
sont des femmes.
On choisit au hasard une personne dans cette population. On note :
– F l’évènement : « la personne choisie est une femme » ;
– H l’évènement : « la personne choisie est un homme » ;
– A l’évènement : « la personne choisie est atteinte de la maladie A » ;
– A l’évènement : « la personne choisie n’est pas atteinte de la maladie A ».
Les résultats seront arrondis au millième.
1. a) Donner la probabilité de l’évènement F et celle de l’évènement A.
Donner la probabilité de l’évènement F sachant que l’évènement A est réalisé, notée pA (F).
b) Définir par une phrase l’évènement A ∩ F puis calculer sa probabilité.
c) Montrer que la probabilité de l’évènement A sachant que F est réalisé est égale à 0,057 à 10−3 près.
2. La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie
A est égale à 0,040 à 10−3 près.
3. Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une
femme risquait davantage de développer la maladie A qu’un homme ? Justifier.
EXERCICE 11
(D’après sujet bac Polynésie Septembre 2010)
« Un geste qui sauve : en France, chaque année, 55 000 personnes sont victimes d’un accident cardio-vasculaire.
Sept fois sur dix, ces accidents surviennent devant témoin. » (Source : TNS / Fédération Française de Cardiologie, 2009).
En 2009, environ 36 % de la population française a appris à accomplir les gestes qui sauvent.
PARTIE
1
A. YALLOUZ (MATH@ES)
95
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
PROBABILITÉS
Lors d’un accident cardio-vasculaire devant témoins, on admet que la proportion de témoins formés aux gestes
qui sauvent suit la proportion nationale.
La probabilité qu’un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est
de 0,25.
Lorsque l’accident cardio-vasculaire s’est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent, la probabilité
que le malade survive est 0,1.
Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007.
On appelle T l’évènement : « L’arrêt cardiaque s’est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent ».
On appelle S l’évènement : « Le malade survit à l’arrêt cardiaque ».
On appelle T et S les évènements contraires à T et à S.
On pourra s’aider d’un arbre pondéré. Les résultats seront arrondis au centième.
1. Déterminer, d’après l’énoncé, p(T ), pT (S) et pT (S).
2. En déduire p(T ∩ S).
3. Vérifier que la valeur arrondie au centième de p(S) est 0,03.
4. Interpréter ces deux derniers résultats.
5. Justifier que le nombre de victimes d’accidents cardiaques survivant à cet accident peut s’estimer à environ
1650.
PARTIE
2
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
En 2015 tous les lieux publics (stades, centres commerciaux, ... ) seront équipés en défibrillateurs. Par ailleurs,
un sondage montre qu’environ 71 % de la population souhaite se former à accomplir les gestes qui sauvent.
Si ce taux de formation est atteint :
– la probabilité que l’accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent serait de
0,5 ;
– la probabilité de survie en cas d’intervention d’un témoin formé aux gestes qui sauvent serait augmentée à
0,25, et 0,046 sinon.
Déterminer combien de vies supplémentaires pourraient être sauvées si ces conditions étaient satisfaites.
EXERCICE 12
(D’après sujet bac Antilles Septembre 2005)
Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de l’évènement A, P(A) la
probabilité de A et PB (A) la probabilité de A sachant que B est réalisé.
Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 10 %
des appareils fabriqués sont défectueux.
L’entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle
détecte et élimine 80 % des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 10 % des appareils non
défectueux. Les appareils non éliminés sont alors mis en vente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement « l’appareil est défectueux » et V l’évènement
« l’appareil est mis en vente ».
1. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.
2. a) Calculer P(V ∩ D) et P V ∩ D .
En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83.
b) Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux.
c) Vérifier que PV (D) ≈ 0,24 × P(D).
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’acquérir un appareil défectueux suivant
que l’entreprise applique ou non le test de contrôle.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
96
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
PROBABILITÉS
3. Une entreprise décide d’appliquer le contrôle, tout en continuant à fabriquer le même nombre d’appareils.
Elle fabriquait et vendait une quantité q0 d’appareils au prix p0 .
Les pourcentages demandés seront arrondis à l’unité.
a) Quelle est, en fonction de q0 la nouvelle quantité q1 d’appareils mis en vente après contrôle ?
b) De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué ?
c) Quel doit être le nouveau prix p1 (en fonction de p0 pour que l’entreprise maintienne son chiffre d’affaires ?
Quel est alors le pourcentage d’augmentation du prix de vente ?
EXERCICE 13
Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à 9 C pour visiter uniquement les collections
permanentes ; un billet à 11 C pour visiter uniquement l’exposition temporaire ou un billet à 13 C pour visiter
les collections permanentes et l’exposition temporaire. On sait que :
– 60% des visiteurs visitent l’exposition temporaire.
– 45% des visiteurs achètent un billet à 11 C.
1. Établir la loi de probabilité associée au prix d’un billet.
2. Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moyenne
de 20 000 ?
EXERCICE 14
Un casino organise un jeu de dés. La mise du joueur pour participer à ce jeu est de n euros, ensuite, le joueur
lance deux dés et gagne en euros, le double de la somme des deux dés.
En supposant que ce jeu ait du succès, quel doit être le montant minimal de la mise du joueur pour que le casino
ne perde pas d’argent ?
(D’après sujet bac Antilles Septembre 2010)
EXERCICE 15
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Le comité d’entreprise d’une société parisienne souhaite organiser un week-end en province.
Une enquête est faite auprès des 1200 employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de
moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l’avion ou l’autocar).
PARTIE A
Les résultats de l’enquête auprès des employés de l’entreprise sont répertoriés dans le tableau suivant :
Train
Avion
Autocar
Total
Femme
468
196
56
720
Homme
150
266
64
480
Total
618
462
120
1200
On interroge au hasard un employé de cette entreprise (on suppose que tous les employés ont la même chance
d’être interrogés).
On note :
– F l’évènement : « l’employé est une femme » ;
– T l’évènement : « l’employé choisit le train ».
1. Calculer les probabilités p(F), p(T ) puis déterminer la probabilité que l’employé ne choisisse pas le train
(on donnera les résultats sous forme décimale).
2. Expliquer ce que représente l’évènement F ∩ T , puis calculer sa probabilité.
Les évènements T et F sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS
3. L’employé interrogé au hasard ne choisit pas le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme
(on donnera le résultat arrondi au millième).
PARTIE B
Après l’étude des résultats de l’enquête, le comité d’entreprise choisit le train comme moyen de transport. Pour
les employés inscrits à ce voyage, deux formules sont proposées :
– la formule no 1 : voyage en 1e classe plus hôtel pour un coût de 150 C ;
– la formule no 2 : voyage en 2e classe plus hôtel pour un coût de 100 C.
40 % des employés inscrits choisissent la formule no 1.
Le comité d’entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30 C.
Indépendamment de la formule choisie, 80 % des employés inscrits choisissent l’excursion facultative.
On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note :
– U l’évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 1 » ;
– D l’ évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 2 » ;
– E l’ évènement : « l’employé inscrit choisit l’excursion facultative ».
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
2. Montrer que la probabilité que l’employé inscrit choisisse la formule no 2 et l’excursion facultative est égale
à 0,48.
3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise).
a) Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C.
b) Déterminer la loi de probabilité de C.
c) Calculer l’espérance de cette loi. Interpréter le résultat.
(D’après sujet bac Centres Étrangers 2010)
EXERCICE 16
Pour une marque de téléphone portable donnée, on s’intéresse à deux options de dernière technologie proposées,
le GPS et le Wifi. Sur l’ensemble des téléphones portables, 40 % possèdent l’option GPS. Parmi les téléphones
avec l’option GPS, 60 % ont l’option Wifi.
On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même
probabilité d’être choisis.
On considère les évènements suivants :
G : « le téléphone possède l’option GPS ».
W : « le téléphone possède l’option Wifi ».
Dans tout l’exercice, le candidat donnera des valeurs exactes.
1. Traduire les données chiffrées de l’énoncé en termes de probabilité.
2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l’exercice.
On suppose que la probabilité de W est : p(W) =
7
.
10
3. Déterminer la probabilité de l’évènement « le téléphone possède les deux options ».
23
4. Démontrer que pG (W) = . Compléter l’arbre du 2.
30
5. On choisit un téléphone avec l’option Wifi. Quelle est la probabilité qu’il ne possède pas l’option GPS ?
Le coût de revient par téléphone d’une option, pour le fabricant de téléphones, est de 12 euros pour l’option
GPS et de 6 euros pour l’option Wifi.
6. Déterminer la loi de probabilité du coût de revient de ces deux options.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS
7. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat.
(D’après sujet bac Asie 2009)
EXERCICE 17
Une association propose à ses adhérents une sortie payante, Les adhérents peuvent choisir d’emporter leur
pique-nique ou de payer à l’association un supplément pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les différents
tarifs suivant l’âge des adhérents.
catégorie
A : adultes (plus de 18 ans)
B : jeunes de 10 à 18 ans
C : enfants de moins de 10 ans
prix de la sortie
20 C
15 C
8C
prix du repas
6C
5C
3C
L’association a inscrit 87 participants pour cette sortie, dont 58 adultes et 12 enfants de moins de 10 ans. La
moitié des adultes, un quart des enfants de moins de 10 ans et 10 jeunes de 10 à 18 ans ont emmené leur
pique-nique.
On choisit un participant au hasard, et on note :
– A l’évènement « le participant fait partie de la catégorie A » ;
– B l’évènement « le participant fait partie de la catégorie B » ;
– C l’évènement « le participant fait partie de la catégorie C » ;
– R l’évènement « le participant choisit le repas proposé par l’association ».
1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré, qui sera complété au cours de la résolution de l’exercice.
2. a) Calculer la probabilité de l’évènement B.
b) Calculer la probabilité de l’évènement R ∩ A.
15
.
29
d) Sachant que le participant choisi a pris le repas proposé par l’association, quelle est la probabilité que ce
participant soit un adulte ?
c) Montrer que la probabilité de l’évènement R est égale à
3. On note X le prix payé à l’association par un participant,
a) Déterminer les différentes valeurs que peut prendre le prix X.
b) Établir la loi de probabilité du prix X.
EXERCICE 18
(D’après sujet bac Amérique du Sud 2007)
Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique
consultable via internet. Il est possible de s’abonner à une seule des deux éditions ou de s’abonner à l’édition
papier et à l’édition électronique.
L’ éditeur de la revue a chargé un centre d’appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs
potentiels.
On admet que lorsqu’un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d’appel, la probabilité qu’il
s’abonne à l’édition papier est égale à 0,2 ; s’il s’abonne à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne aussi
à l’édition électronique est égale à 0,4 ; s’il ne s’abonne pas à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne à
l’édition électronique est égale à 0,1.
PARTIE I
Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d’appel.
On note :
• A l’évènement « la personne s’abonne à l’édition papier »,
• B l’évènement « la personne s’abonne à l’édition électronique »,
• A l’évènement contraire de A, B l’évènement contraire de B.
1. a) Reproduire et compléter l’arbre suivant :
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS
0,2 A
A
B
B
B
B
b) Donner la probabilité de B sachant A et la probabilité de B sachant A.
2. a) Calculer la probabilité que la personne contactée s’abonne à l’édition papier et à l’édition électronique.
b) Justifier que la probabilité de l’évènement B est égale à 0,16.
c) Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
3. On suppose que la personne contactée s’est abonnée à l’édition électronique. Quelle est alors la probabilité
qu’elle soit aussi abonnée à l’édition papier ?
PARTIE II
Pour chacune des personnes contactée, le centre d’appel reçoit de l’éditeur de la revue
– 2 C si la personne ne s’abonne à aucune des deux éditions ;
– 10 C si la personne s’abonne uniquement à l’édition électronique ;
– 15 C si la personne s’abonne uniquement à l’édition papier ;
– 20 C si la personne s’abonne aux deux éditions.
1. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de
la somme reçue par le centre d’appel pour une personne contactée.
Somme reçue en C
2
10
15
20
Probabilité
2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d’appel recevra de
l’éditeur s’il parvient à contacter 5000 lecteurs potentiels.
EXERCICE 19
À l’occasion de la fête du cinéma, le service de publicité d’un quotidien propose chaque jour la possibilité de
gagner une place de cinéma sous forme de cartes à gratter.
Dans 13% des journaux mis en vente on trouve une carte gagnante.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’un client qui a acheté pendant cinq jours ce quotidien gagne
au moins une place de cinéma ?
EXERCICE 20
Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et
le défaut B, à l’exclusion de tout autre défaut.
On a constaté que, parmi les pièces produites, 28 % ont le défaut A, 27 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux
défauts.
1. On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?
2. On admet que 80 % des pièces qui n’ont qu’un seul des deux défauts sont réparables, et que 40 % des pièces
qui ont les deux défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note :
– D1 l’évènement : " La pièce a un seul défaut " ;
– D2 l’évènement : " La pièce a deux défauts" ;
– R l’évènement : " La pièce est réparable ".
a) Montrer que la probabilité de l’évènement : " La pièce choisie est réparable " est p(R) = 0,32.
b) Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu’elle n’ait qu’un seul défaut.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS
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c) On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment
important pour que ces tirages s’effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins une pièce soit réparable.
EXERCICE 21
Un organisme a chargé un centre d’appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté que 15% des clients
contactés donnent suite à la demande et acceptent un rendez-vous.
On contacte n clients de cet organisme d’une façon indépendante et on note pn la probabilité qu’au moins un
des clients contactés accepte un rendez-vous.
1. Dans le cas où n = 3, calculer la probabilité qu’aucun des trois clients contactés n’accepte un rendez-vous,
puis en déduire p3 .
2. Quel est le nombre minimal de clients à démarcher pour que la probabilité qu’au moins un des clients
contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99 ?
EXERCICE 22
D’après une étude réalisée par le CNC (centre national de la cinématographie) :
– les films récents sortis dans l’année représentent 92,5% des entrées de l’ensemble des films exploités ;
– les films recommandés « Art et Essai » totalisent 21,3% des entrées ;
– 80,7% des entrées des films « Art et Essai » sont des films sortis dans l’année.
On choisit au hasard un spectateur à la sortie d’un cinéma et on note :
A : l’évènement « le spectateur a vu un film Art et Essai » ;
R : l’évènement « le spectateur a vu un film récent sorti dans l’année ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.
1. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi a vu un film « Art et Essai » sorti dans l’année est égale
à 0 ,172.
2. Le spectateur choisi n’a pas vu un film « Art et Essai », quelle est la probabilité que ce soit un film récent
sorti dans l’année ?
3. Le spectateur choisi a vu un film récent sorti dans l’année, quelle est la probabilité que ce soit un film
recommandé « Art et Essai » ?
4. On interroge au hasard et de façon indépendante n spectateurs à la sortie de différentes salles de cinéma.
Calculer le nombre minimal de spectateurs qu’il faut interroger pour que la probabilité qu’au moins un
d’entre n’a pas vu un film récent sorti dans l’année soit supérieure à 0,5.
EXERCICE 23
Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 10−3 près.
Une étude sur la fréquentation d’une salle de spectacle a permis d’établir les résultats suivants :
– 60 % des spectateurs possèdent un abonnement ;
– parmi les spectateurs ne possédant pas d’abonnement, 75 % ont été influencé par une critique ;
– 24 % des spectateurs, possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique.
À la sortie d’un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note :
– A l’évènement : « le spectateur possède un abonnement » ;
– C l’évènement : « le spectateur a été influencé par une critique ».
1. a) Grâce aux données de l’énoncé, donner les probabilités suivantes p(A), p (A ∩C) et pA (C).
b) Calculer pA (C).
2. Démontrer que la probabilité de l’évènement C est 0,54.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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3. Le spectateur choisi n’a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur
possédant un abonnement ?
4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs.
Quelle est la probabilité qu’il y en ait au plus deux ayant un abonnement ?
EXERCICE 24
Une entreprise fabrique un composant pour ordinateur en grande quantité. Une étude statistique a permis de
constater que 5 composants sur mille sortant de son usine sont défectueux.
L’entreprise décide de mettre en place un test de fiabilité de ces articles avant leur mise en vente.
Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test et parmi ceux défectueux, seulement 2% réussissent
le test.
On choisit un composant au hasard et on considère les événements suivants :
D « le composant est défectueux » ;
T « le composant passe le test avec succès » ;
Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 10−4 près.
1. Quelle est la probabilité qu’un composant soit défectueux et qu’il ne réussisse pas le test ?
2. Montrer que la probabilité qu’un composant ne réussisse pas le test est égale à 0,0646.
3. Quelle est la probabilité qu’un composant n’ayant pas passé le test avec succès soit défectueux ?
4. On prélève au hasard trois composants qui n’ont pas passé le test avec succès, on suppose que le nombre de
composants est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.
Quelle est la probabilité qu’un composant au moins ne soit pas défectueux ?
EXERCICE 25
Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.
Une étude statistique a permis de constater que 10% des articles fabriqués sont défectueux.
Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième.
PREMIÈRE PARTIE
On prélève au hasard trois articles et on considère ces trois prélèvements comme étant indépendants.
1. Calculer la probabilité qu’un seul des trois articles soit sans défaut.
2. Calculer la probabilité qu’au moins un des trois articles soit sans défaut.
DEUXIÈME PARTIE
Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b. On note :
A l’évènement : « Un article prélevé au hasard présente le défaut a » ;
B l’évènement : « Un article prélevé au hasard présente le défaut b » ;
A et B les évènements contraires respectifs de A et B.
On donne les probabilités suivantes : p(A) = 0,05 ; p(B) = 0,06.
1. Quelle est la probabilité de l’évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » ?
2. Calculer la probabilité de l’évènement « un article prélevé au hasard présente les deux défauts ».
3. On prélève au hasard un article parmi ceux qui présentent le défaut a. Calculer la probabilité que cet article
présente également le défaut b.
4. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
5. Un article sans défaut est vendu à 150 C. Un article qui présente seulement le défaut a est vendu avec une
remise de 30%, un article qui présente seulement le défaut b est vendu avec une remise de 40% et un article
qui a les deux défauts n’est pas vendu.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PROBABILITÉS
a) Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d’un article.
b) Quel chiffre d’affaires l’entreprise peut-elle espérer réaliser sur la vente de 1000 articles ?
EXERCICE 26
Un énoncé contient 3 coquilles. À chaque relecture la probabilité de détection d’une erreur ayant subsisté est
de 0,8.
1. Établir la loi de probabilité du nombre de coquilles qui subsistent après la première relecture.
2. Après une deuxième relecture, quelle est la probabilité qu’il subsiste encore au moins une erreur ?
EXERCICE 27
À l’occasion d’une kermesse, l’organisateur d’une loterie, dispose d’une part d’un sac contenant un jeton rouge
et neuf jetons blancs indiscernables au toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont
numérotées de 1 à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie.
Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
– si le jeton est rouge, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne un nombre pair ;
– si le jeton est blanc, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6.
À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
On note R l’évènement « le jeton tiré est rouge » et G l’évènement « le joueur gagne la partie ».
PARTIE A
1. Recopier et compléter l’arbre probabiliste modélisant la situation :
G
R
G
G
R
G
2. Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie.
3. Montrer que la probabilité de gagner une partie à cette loterie, est égale à 0,2.
4. Un joueur perd la partie, quelle est la probabilité qu’il ait tiré le jeton rouge ?
5. Un joueur fait trois parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu’il gagne une seule partie.
6. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie
soit supérieure à 0,95 ?
PARTIE B
Chaque joueur paie 1,20 C par partie. Si le joueur gagne la partie, il reçoit un bon d’achat d’une valeur de 5 C,
s’il perd la partie, il ne reçoit rien.
1. On note X le gain algébrique (positif ou négatif ) de l’organisateur de la loterie à l’issue d’une partie.
Quelles valeurs peut prendre X ?
2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation du montant en euros, du bénéfice que peut espérer
obtenir l’organisateur si 300 parties ont été jouées.
EXERCICE 28
(D’après sujet bac Nouvelle Calédonie 2010)
Une université fait passer un test à ses étudiants. A l’issue du test chaque étudiant est classé dans l’un des trois
profils A, B et C définis ci-dessous.
50 % des étudiants ont le profil A : ils mémorisent mieux une information qu’ils voient (image, diagramme,
courbe, film ... ).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
103
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Tle ES 1
PROBABILITÉS
20 % des étudiants ont le profil B : ils mémorisent mieux une information qu’ils entendent.
30 % des étudiants ont le profil C : ils mémorisent aussi bien l’information dans les deux situations.
À la fin de la session d’examen de janvier on constate que :
70 % des étudiants ayant le profil A ont une note supérieure ou égale à 10 ;
75 % des étudiants ayant le profil B ont une note supérieure ou égale à 10 ;
85 % des étudiants ayant le profil C ont une note supérieure ou égale à 10.
On choisit de manière aléatoire un étudiant de cette université. On note :
A l’évènement « l’étudiant a le profil A » ;
B l’évènement « l’étudiant a le profil B » ;
C l’évènement « l’étudiant a le profil C » ;
M l’évènement « l’étudiant a une note supérieure ou égale à 10 » et M l’évènement contraire.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant pour qu’il traduise les données de l’expérience aléatoire
décrite dans l’énoncé :
M
A
M
M
B
M
M
C
M
Dans la suite de l’exercice les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondie au millième.
2. Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit de profil C et qu’il ait obtenu une note supérieure ou égale
à 10.
3. Démontrer P(M) = 0,755.
4. Calculer la probabilité que l’étudiant soit de profil B sachant qu’il a obtenu une note strictement inférieure
à 10.
5. On choisit quatre étudiants au hasard. On admet que le nombre d’étudiants est suffisamment grand pour que
ce choix soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise.
Calculer la probabilité qu’exactement trois de ces étudiants soient du profil C.
EXERCICE 29
(D’après sujet bac Polynésie 2008)
Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la
durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l’objet est obligatoire
à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.
Sur ce site, une étude statistique a montré que :
3
– des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans ce cas, 75% des vendeurs
5
sont satisfaits du prix de vente final ;
1
– des annonces reçoivent une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57% des vendeurs sont
3
satisfaits du prix de vente final de leur objet ;
– Les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente.
On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :
L : l’évènement « l’annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution » ;
T : l’évènement « l’annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours » ;
A : l’évènement « l’annonce ne reçoit aucune enchère » ;
S : l’évènement « le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet » et S son évènement contraire.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
PROBABILITÉS
1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.
2. Calculer la probabilité que l’annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le
vendeur soit satisfait du prix de vente final.
3. Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.
4. Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une
première enchère dès le lendemain de la parution de l’annonce (le résultat sera donné sous forme décimale,
arrondi au centième) ?
5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements
de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu’à la fin des enchères, Marc
soit satisfait du prix de vente final d’au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme
décimale, arrondi au centième).
(D’après sujet bac Polynésie Septembre 2009)
EXERCICE 30
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
PARTIE A
On réalise une expérience aléatoire. A désigne un évènement et A son évènement contraire.
On pose p(A) = x.
1. Exprimer p A en fonction de x.
2. Déterminer les valeurs possibles de x sachant que : p(A) × p A = 0,24.
PARTIE B
La « Revue Spéciale d’Économie » et le « Guide des Placements en Bourse » sont deux magazines mensuels
offrant à leurs lecteurs la possibilité d’abonnement communs.
On s’intéresse à l’ensemble des lecteurs de l’une ou l’autre de ces deux revues.
Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l’un des deux abonnements, soit les
deux abonnements simultanément.
Une étude a permis de constater que :
– 60 % de l’ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la « Revue Spéciale d’Économie », et parmi
3
eux ont aussi choisi l’abonnement au « Guide des Placements en Bourse » ;
5
– 10 % des lecteurs n’ayant pas choisi l’abonnement à la « Revue Spéciale d’Économie », ont souscrit l’abonnement
au « Guide des Placements en Bourse ».
On note :
A l’évènement : « le lecteur a choisi l’abonnement à la "Revue Spéciale d’Économie" » ;
B l’évènement : « le lecteur a choisi l’abonnement au "Guide des Placements en Bourse" ».
On interroge un lecteur au hasard.
1. Déduire de l’énoncé les probabi1ités p(A), p A et pA (B).
Reproduire et compléter l’arbre suivant :
B
A
B
B
A
B
2. a) Traduire par une phrase l’évènement A ∩ B. Donner sa probabilité.
b) Traduire par une phrase l’évènement A ∩ B. Donner sa probabilité.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
PROBABILITÉS
3. Calculer p(B). En déduire la probabilité qu’un lecteur soit abonné à la « Revue Spéciale d’Économie »
sachant qu’il est abonné au « Guide des Placements en Bourse ».
4. On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu’au
moins l’un d’eux ait choisi l’abonnement au « Guide des Placements en Bourse ».
EXERCICE 31
(D’après sujet bac Centres étrangers 2009)
Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts
notés a et b. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection.
On note A l’évènement : « Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut a ».
On note B l’évènement : « Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut b ».
On note A et B les évènements contraires respectifs de A et B.
On donne les probabilités suivantes : p(A) = 0,2 ; p(B) = 0,1 et p(A ∪ B) = 0,25.
Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.
PREMIÈRE PARTIE
1. Démontrer que la probabilité de l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les
deux défauts » est égale à 0,05.
2. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
3. Démontrer que la probabilité de l’évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente
aucun des deux défauts » est égale à 0,75.
4. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut b. Calculer la probabilité
que cette pièce présente également le défaut a.
5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut b. Calculer la
probabilité que cette pièce présente le défaut a.
DEUXIÈME PARTIE
On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est
suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.
1. Calculer la probabilité qu’une seule des trois pièces soit sans défaut.
2. Calculer la probabilité qu’au moins une des trois pièces soit sans défaut.
EXERCICE 32
(D’après sujet bac Amérique du Sud 2009)
Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10−3 près.
Une étude sur le taux d’équipement en téléphonie des ménages d’une ville a permis d’établir les résultats
suivants :
– 90 % des ménages possèdent un téléphone fixe ;
– parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable ;
– 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable.
Notations :
Si A et B sont des évènements, A désigne l’évènement contraire de A et PB (A) la probabilité que l’évènement A
soit réalisé sachant que l’évènement B l’est.
On choisit un ménage au hasard et on note :
– F l’évènement : « le ménage possède un téléphone fixe » ;
– T l’évènement : « le ménage possède un téléphone portable ».
1. a) Grâce aux données de l’énoncé, donner P (F ∩ T), P (F) et PF (T).
b) Calculer PF (T).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
106
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
PROBABILITÉS
2. Démontrer que la probabilité de l’évènement T est 0,887.
3. Sachant que le ménage choisi n’a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage
possédant un téléphone fixe ?
4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages.
Quelle est la probabilité qu’il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable ?
(D’après sujet bac Amérique du Nord 2010)
EXERCICE 33
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d’appareil photo
numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.
Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :
– 20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion.
– 70 % des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.
– 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en
promotion.
Un client entre dans le magasin.
On note A l’évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».
On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».
1. a) Donner les probabilités p A et p A ∩ C .
b) Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non plus
la carte mémoire en promotion.
2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
3. Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
4. Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l’appareil
photo en promotion.
5. Le commerçant fait un bénéfice de 30 C sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 C sur
chaque carte mémoire en promotion.
a) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune
justification n’est demandée.
Bénéfice par client en euros
0
Probabilité d’atteindre le bénéfice
0,6
b) Pour 1000 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa
promotion ?
6. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d’achat sont indépendants.
Déterminer la probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion.
EXERCICE 34
(D’après sujet bac La Réunion 2010)
Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu’un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7.
Le chalutier est équipé d’un sonar pour détecter la présence d’un banc de poissons. Si un banc est présent, le
sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas. S’il n’y pas de banc de poissons dans la zone de pêche,
le sonar indique néanmoins la présence d’un banc dans 5 % des cas.
On note :
B l’évènement : « il y a un banc de poissons sur zone » et B l’évènement contraire de B,
S l’évènement : « le sonar indique l’existence d’un banc de poissons » et S l’évènement contraire de S.
1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant. Le détail des calculs n’est pas demandé.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
107
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
PROBABILITÉS
S
0,7
B
S
S
B
S
2. Déterminer la probabilité p(B ∩ S) qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte.
3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
4. Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes :
Situation 1 : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche
est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne 2000 euros.
Situation 2 : il n’y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour
rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500 euros.
Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu’il y en ait ou pas). Le filet n’est pas lancé et le
bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros.
a) Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du « gain » (positif ou négatif)
réalisé.
Gain : xi
Probabilité : pi
2000
−500
−300
b) Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
5. Le pêcheur prévoit d’effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche. Déterminer la probabilité que,
pour les trois sorties, le sonar reste muet, c’est-à-dire n’indique pas la présence d’un banc de poissons.
On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
108
Chapitre 8
CALCUL INTÉGRAL
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . .
I
intégrale d’une fonction . . . .
1
définition . . . . . . . .
2
interprétation graphique
3
propriétés . . . . . . . .
II
propriétés de l’intégrale . . . .
1
linéarité . . . . . . . . .
2
relation de Chasles . . .
3
ordre . . . . . . . . . .
III intégrale et moyenne . . . . . .
1
inégalités de la moyenne
2
valeur moyenne . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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112
112
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115
115
115
116
117
117
117
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109
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
AIRE ET PRIMITIVE
Le plan est muni d’un repère orthonormé O;~i,~j d’unité graphique 1 cm. a et b sont deux réels tels que a < b.
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive surl’intervalle
[a; b].
C f désigne la courbe représentative de la fonction f dans le repère O;~i,~j et D f le domaine compris entre la
courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
1. Fonction constante
Soit c un réel positif. f est la fonction définie sur R par f (x) = c.
a) Déterminer un fonction de a et de b l’aire en cm2 du domaine D f .
y
c
b) Déterminer une primitive F de f sur [a; b].
~j
c) Calculer F(b) − F(a). Que constate-t-on ?
0
2. Fonction affine
f est une fonction affine définie sur R par f (x) = mx + p où m et p
sont des réels fixés avec m non nul. f est supposée positive sur [a; b].
Cf
Df
~i
a
x
b
y
Cf
a) Déterminer un fonction de a et de b l’aire en cm2 du domaine D f .
b) Déterminer une primitive F de f sur [a; b].
~j
c) Calculer F(b) − F(a). Que constate-t-on ?
0
Df
~i
a
b
x
ÉTUDE D ’ UNE FONCTION EN ESCALIER
Supposons que le salaire net mensuel d’un individu évolue au cours d’une année de la façon suivante :
Au 1er janvier son salaire initial est de 2000 C, au 1er juillet, suite à un changement de statut, il bénéficie d’une
augmentation de 30 % puis à partir du 16 septembre d’une augmentation de 400 C.
Le salaire perçu à la fin de chaque mois tient compte du nombre d’heures travaillées. L’évolution du revenu,
exprimé en milliers d’euros, peut être modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0; 12] par :
– si t ∈ [0; 6], f (t) = 2
– si t ∈]6; 8,5], f (t) = 2 × 1,3 = 2,6
– si t ∈]8,5; 12], f (t) = 2,6 + 0,4 = 3
1. On dit que f est une fonction en escalier. La représentation graphique C f de la fonction f est :
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. Notons R le montant en milliers d’euros du revenu annuel.
a) Le revenu de cet individu est de 2000 C pendant 6 mois puis de 2600 C pendant 2,5 mois et de 3000 C
pendant 3,5 mois. Soit exprimé en milliers d’euros
R = 2 × 6 + 2,6 × 2,5 + 3 × 3,5 = 29
b) Le nombre A qui mesure le montant en milliers d’euros du revenu annuel peut être obtenu à partir de la
définition de la fonction f
A = 2 × (6 − 0) + 2,6 × (8,5 − 6) + 3 × (12 − 8,5) = 29
A. YALLOUZ (MATH@ES)
110
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
On dit que A est l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle [0; 12] et on note
A=
Z 12
f (t)dt
0
3. Interprétation graphique :
Si on prend comme unité d’aire l’aire du carré formé par les unités des deux axes, l’aire du domaine D défini
par la courbe C f représentative de la fonction f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 12
est égale à la somme des aires des trois rectangles D1 , D2 et D3
3
2
D3
D2
D1
1
u.a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Aire (D1 ) = 6 × 2 = 12, Aire (D2 ) = 2,5 × 2,6 = 6,5 et Aire (D3 ) = 3,5 × 3 = 10,5.
Aire (D) =
Z 12
f (t)dt = 29
0
L’aire du domaine D est indépendante de la subdivision choisie.
On obtiendrait le même résultat avec un découpage de D en 24 rectangles de largeur 0,5.
4. Propriétés de l’intégrale
a) Si le revenu d’un individu modélisé par la fonction f est multiplié par un nombre k, il serait modélisé par
la fonction k f et le nombre qui mesure son revenu annuel serait aussi multiplié par k :
Z 12
0
α f (t)dt = α
Z 12
f (t)dt
0
b) Supposons que dans un couple, les fonctions f1 et f2 modélisent le revenu de chacune des deux personnes.
Le revenu de ce couple est modélisé par la fonction somme f1 + f2 et le revenu annuel de ce couple est
égal à la somme des deux revenus annuels :
Z 12
( f1 + f2 ) (t)dt =
0
Z 12
0
f1 (t)dt +
Z 12
0
f2 (t)dt
c) Découper l’année en deux périodes consécutives revient à partager l’intervalle [0; 12] en deux intervalles
adjacents par exemple [0; 6] et [6; 12]. Le revenu annuel est égal à la somme des revenus de chacune des
deux périodes :
Z 12
f (x)dx =
Z 12
f (x)dx =
Z 0
6
f (x)dx = −
Z 6
f (x)dx
Z 6
f (x)dx
(8.1)
f (x)dx −
0
f (x)dx, on retrouve la propriété précédente (1)
0
Z 12
6
A. YALLOUZ (MATH@ES)
Z 12
6
Z 12
0
6
Soit en posant
f (x)dx +
0
0
D’où
Z 6
f (x)dx =
Z 0
6
f (x)dx +
Z 12
f (x)dx
0
111
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
I
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
INTÉGRALE D ’ UNE FONCTION
1
DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, admettant des primitives sur cet intervalle.
a et b deux réels appartenant à I, et F une primitive de f sur I.
On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel, noté
Z b
a
Z b
a
f (x)dx, égal à F(b) − F(a). Ainsi :
f (x)dx = F(b) − F(a)
REMARQUES
h
ib
– On dit que a et b sont les bornes de l’intégrale.= F(x)
a
Z b
f (x)dx se lit aussi « somme de a à b de f (x)dx ».
h
ib
– La différence F(b) − F(a) se note F(x) . Ainsi,
–
a
a
Z b
a
h
ib
f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
a
– La variable peut être indifférement t, x, y... On dit que c’est une variable muette.
Z b
f (x)dx =
a
Z b
f (t)dt =
a
Z b
a
f (u)du = F(b) − F(a)
– Le choix de la primitive F n’influe pas sur la valeur de l’intégrale.
En effet, si G est une autre primitive de f sur I, il existe un réel c tel que G(x) = F(x) + c d’où
G(b) − G(a) = (F(b) + c) − (F(a) + c) = F(b) − F(a)
EXEMPLE
Soit à calculer
Z e
1
1 e
x− + 2
x x
dx
Une primitive de la fonction f définie sur l’intervalle [1; e] par f (x) = x −
l’intervalle [1; e] par F(x) =
x2
e
− ln(x) − D’où
2
x
Z e
1
REMARQUE
1 e
x− + 2
x x
1 e
+ est la fonction F définie sur
x x2
e
e
x2
− ln(x) −
dx =
2
x 1
2
2
e
e
e
1
=
− ln(e) − −
− ln(1) −
2
e
2
1
2
1
e
= −1−1− +e
2
2
e2
5
= +e−
2
2
:
On a admis que si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I.
Dans le cadre du programme de terminale ES, on étudiera l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
112
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
2
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
Soit O;~i,~j un repère orthogonal du plan.
L’unité d’aire (u.a) est l’aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0; 1), J(0; 1) et K(1; 1).
y
J
a
K
~j
1 u.a
0
~i
I
x
b
Cf
Si f est une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a; b] alors l’intégrale
Z b
f (x)dx est égale
a
à l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine compris entre la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = a et x = b.
EXEMPLE
7x
Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f (x) =
+ 1 et C f sa courbe représentative dans le
2 + 3)2
(x
repère orthogonal du plan O;~i,~j donné ci-dessous.
On admet que f est positive sur R (À démontrer en exercice)
Calculer l’aire en cm2 du domaine compris entre la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation
x = −1 et x = 2.
y
Cf
1
~j
-1
0
~i
1
2
x
La fonction f est dérivable sur l’intervalle R donc continue et pour tout réel x, f (x) > 0.
Par conséquent, l’aire exprimée en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C f , l’axe des abscisses et
les droites d’équation x = −1 et x = 2 est égale à :
2
Z 2
7x
7
+ 1 dx = x −
2
2 (x2 + 3) −1
−1 (x2 + 3)
7
7
− −1 −
= 2−
14
8
27
=
8
Or l’unité d’aire est l’aire d’un rectangle de côtés 4cm et 2cm. Soit 1 u.a = 8 cm2
Donc, l’aire en cm2 du domaine compris entre la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = −1
27
et x = 2 est égale à
× 8 = 27 cm2 .
8
A. YALLOUZ (MATH@ES)
113
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
3
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
PROPRIÉTÉS
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tout réel a appartenant à I.
Z a
f (t)dt = 0
a
Preuve :
Soit F une primitive de f sur I.
Z a
a
f (t)dt = F(a) − F(a) = 0
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I.
Z b
a
f (t)dt = −
Z a
f (t)dt
b
Preuve :
Soit F une primitive de f sur I.
Z b
a
f (t)dt = F(b) − F(a)
et
Z a
b
f (t)dt = F(a) − F(b)
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I.
Si a 6 b et f > 0 sur l’intervalle [a; b], alors
Z b
f (t)dt > 0.
a
Preuve :
Soit F une primitive de f sur I.
Si a 6 b et f > 0 sur l’intervalle [a; b], alors F est croissante sur [a; b] donc
F(a) 6 F(b) ⇔ F(b) − F(a) > 0 ⇔
Z b
f (t)dt > 0
a
Attention la réciproque est fausse :
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x − x2
2
x3
2x − x dx = x −
3 −1
−1
1
8
− 1+
= 4−
3
3
=0
Z 2
Ainsi
Z 2
−1
2
2
f (x)dx = 0 mais f (−1) = −3
On démontre de manière analogue la propriété suivante :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I.
Si a 6 b et f 6 0 sur l’intervalle [a; b], alors
Z b
f (t)dt 6 0.
a
A. YALLOUZ (MATH@ES)
114
Lycée Camille SEE
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Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
II
PROPRIÉTÉS DE L’ INTÉGRALE
1
LINÉARITÉ
Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de R. Pour tous réels a et b appartenant à I,
et pour tout réel k
Z b
( f (t) + g(t)) dt =
Z b
f (t)dt +
g(t)dt
Z b
et
k f (t)dt = k
Z b
f (t)dt
a
a
a
a
a
Z b
Preuve :
1. Soit F et G deux primitives respectives des fonctions f et g sur I.
F + G est une primitive sur I de la fonction f + g.
Z b
Z b
( f + g) (t)dt
h
ib
= (F + G)(t)
( f (t) + g(t)) dt =
a
a
a
= (F + G) (b) − (F + G) (a)
= (F(b) + G(b)) − (F(a) + G(a))
= (F(b) − F(a)) + (G(b) − G(a))
=
Z b
f (t)dt +
Z b
g(t)dt
a
a
2. Soit F une primitive de f sur I et k un réel.
Z b
a
h
ib
k f (t)dt = (kF)(t)
a
= (kF) (b) − (kF) (a)
= kF(b) − kF(a)
= k (F(b) − F(a))
=k
Z b
f (t)dt
a
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
:
Dans le cas où f et g sont continues et positives sur [a; b]
y
C f +g
y
A2
Cg
Cf
Cf
A2
A1
~j
a
2
y
0
A1
~j
~i
RELATION DE
a
bx
0
~j
~i
bx
a
0
~i
bx
C HASLES
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tous réels a, b et c appartenant à I
Z b
a
A. YALLOUZ (MATH@ES)
f (t)dt =
Z c
a
f (t)dt +
Z b
f (t)dt
c
115
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
Preuve :
Soit F une primitive de f sur I Pour tous réels a, b et c appartenant à I
Z c
f (t)dt +
Z b
c
a
f (t)dt = (F(c) − F(a)) + (F(b) − F(c))
= F(b) − F(a)
=
Z b
f (t)dt
a
3
ORDRE
Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I tels
que a 6 b. Si pour tout réel x appartenant à [a; b], f (x) 6 g(x), alors
Z b
Z b
f (x)dx 6
g(x)dx
a
a
Preuve :
Si pour tout réel x appartenant à [a; b], f (x) 6 g(x), alors f (x) − g(x) 6 0. Comme f et g sont deux fonctions
définies et continues sur [a; b], la fonction f − g est définie et continue sur [a; b].
Par conséquent, si a 6 b et f − g 6 0 alors
Z b
a
( f − g)(x)dx 6 0 ⇔
Z b
a
f (x)dx −
Z b
g(x)dx 6 0
a
Attention la réciproque est fausse :
Considérons les fonctions f et g définies sur R par f (x) = x2 − x − 1 et g(x) =
3x + 1
.
4
3
x3 x2
x − x − 1dx =
− −x
3
2
−1
−1
9
−1 1
= 9− −3 −
− +1
2
3
2
4
=
3
et
3
2
Z 3
x
3x
3x 1
+ dx =
+
4
8
4 −1
−1 4
1 1
27 3
+
−
−
=
8
4
8 4
=4
Z 3
Ainsi,
Z 3
−1
f (x)dx 6
Z 3
−1
2
g(x)dx mais nous ne pouvons pas conclure que sur l’intervalle [−1; 3], f (x) 6 g(x)
comme on peut le constater sur le graphique ci-dessous.
Cf
y
6
4
Cg
2
~j
-2
A. YALLOUZ (MATH@ES)
-1
0
~i 1
2
3
x
116
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
III
1
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
INTÉGRALE ET MOYENNE
INÉGALITÉS DE LA MOYENNE
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a; b] de R (a < b ). Soit m et M deux réels.
Si pour tout réel x appartennant à l’intervalle [a; b], m 6 f (x) 6 M, alors :
m × (b − a) 6
Z b
a
f (x)dx 6 M × (b − a)
Preuve :
Les fonctions définies sur [a; b] par x 7−→ m et x 7−→ M sont constantes donc continues.
Si pour tout réel x appartenant à [a; b] (a < b ), m 6 f (x) 6 M, alors d’après la propriété de l’intégration d’une
inégalité :
Z b
m dx 6
Z b
a
a
f (x)dx 6
Z b
a
M dx ⇔ m
Z b
dx 6
a
Z b
Z b
dx
a
a
⇔ m × (b − a) 6
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
f (x)dx 6 M
Z b
a
f (x)dx 6 M × (b − a)
:
y
Cf
Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur [a; b]
L’aire du domaine compris entre la courbe C f , l’axe des abscisses
et les droites d’équation x = a et x = b est comprise entre les aires
des rectangles R1 et R2 .
R1 de côtés m et b − a
R2 de côtés M et b − a
2
M
R2
m
R1
~j
a
~i
0
b
x
VALEUR MOYENNE
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a; b] de R (a < b ).
Z b
1
f (x)dx
On appelle valeur moyenne de f sur [a; b] le réel µ =
b−a a
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
:
y
Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur [a; b]
L’aire du domaine compris entre la courbe C f , l’axe des abscisses
et les droites d’équation x = a et x = b est égale à l’aire du
rectangle de côtés µ et b − a
µ
~j
a
0
×
~i
b
x
Cf
A. YALLOUZ (MATH@ES)
117
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Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
EXERCICE 1
Calculer les intégrales suivantes :
Z 1
1
x3 − 5x + dx
a)
2
Z−2
3
4
d)
dt
(1 − 2t)2
Z1 1 2
x +x−2
dx
h)
x2
2
Z e
2
3x − dx
b)
x
Z 1e
2 ln(t)
dt
e)
Z 1−2 t
2
i)
dx
2
−
3x
−4
2
c)
f)
j)
Z −1
Z −2
2
Z −2
7
4
x3 +
t
t2 + 2
2
dx
x2
dt
x−1
dx
x2 − 2x + 2
EXERCICE 2
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 9] par f (x) = 8x − x2 et C f sa courbe représentative dans le plan
muni d’un repère orthogonal.
y
16
12
M
8
4
Cf
0
0
1
2
3
4
5
6 a
7
8
x
L’objet de cet exercice est de déterminer l’abscisse a du point M de la parabole C f telle que l’aire de la partie
hachurée soit égale à k fois l’aire du domaine délimité par la courbe C f et l’axe des abscisses où k est un réel
donné.
1. Exprimer l’aire A du domaine délimité par la courbe C f et l’axe des abscisses.
2. Quelle est l’ordonnée du point M de la parabole C f d’abscisse a ? En déduire l’aire T en fonction de a de la
partie hachurée.
3. Déterminer a pour que T = 0,488 × A.
EXERCICE 3
La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [0; +∞[.
y
B
1,0
Cf
A
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
1. Déterminer graphiquement une valeur approchée au dixième près de
3
Z 2
x
f (x)dx.
1
A. YALLOUZ (MATH@ES)
118
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Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
2. La fonction f est définie sur [0; +∞[ par f (x) =
4x
x2 + 4
Calculer l’aire, en cm2 , du domaine délimité par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation
x = 1 et x = 2.
EXERCICE 4
La courbe tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur ]−1; +∞[. On désigne
par f ′ la fonction dérivée de f sur ]−1; +∞[ et par F une primitive de f sur ]−1; +∞[.
y
1
b
e−1
0
-1
1
e − 12
3
x
4
-1
-2
Figure 1
1. Déterminer f ′ (e − 1).
2. Indiquer les variations de F sur l’intervalle ]−1; +∞[.
3. Une des trois courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction F.
Courbe 3
Courbe 2
Courbe 1
y
y
y
16 − 4e
5 ln 5 − 5
2,36
b
1
1
1
b
0
1
4
x
b
0
1
4
x
0
1
4
x
a) Ces trois courbes admettent au point d’abscisse (e − 1) une tangente ayant le même coefficient directeur
m. Quelle est la valeur de m ?
b) Laquelle de ces trois courbes peut convenir ?
4. Déterminer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine hachuré sur la figure 1.
5. Quelle est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [0; 4] ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
119
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Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
(D’après sujet bac Amérique du Nord 2010)
EXERCICE 5
PARTIE A
- Étude préliminaire
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g(x) = 1 − 2 ln(x).
~
~
On donne ci-dessous sa courbe représentative Cg dans un repère orthonormé O; i, j . Cette courbe Cg coupe
l’axe des abscisses au point d’abscisse α .
y
4
3
2
1
α
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
-1
-2
-3
Cg
-4
1. Déterminer la valeur exacte de α .
2. On admet que la fonction g est strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Donner, en justifiant, le signe de g(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
PARTIE B
- Étude d’une fonction
2 ln(x) + 1
.
x
ln(x)
1. Déterminer la limite de f en +∞ (on rappelle que lim
= 0).
x→+∞ x
On admettra que lim f (x) = −∞.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) =
x→0
g(x)
.
x2
b) Étudier le signe de f ′ (x) et en déduire le tableau de variations de la fonction f .
2. a) Calculer f ′ (x) et montrer que f ′ (x) =
3. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
1
1
On pourra remarquer que f (x) = 2 × × ln(x) + .
x
x
Z 5
1
f (x) dx. Déterminer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième
b) Soit I =
4 1
près.
PARTIE C
- Application économique
Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.
Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l’industrie automobile. Sa production pour ce type de
pièces varie entre 1000 et 5000 pièces par semaine, selon la demande.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
120
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction
f définie dans la partie B, avec x exprimé en milliers de pièces et f (x) exprimé en euros.
1. Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire
comprise entre 1000 et 5000 pièces.
2. Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou
d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l’unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05 C ?
(D’après sujet bac Pondichery 2007)
EXERCICE 6
ln x
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 5
+ 3.
x
On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1. a) Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique.
b) Déterminer la limite de f en +∞ ; en donner une interprétation graphique.
2. a) Calculer f ′ (x) où f ′ est la fonction dérivée de f , puis étudier son signe.
b) En déduire le tableau de variation de la fonction f . On y indiquera les limites aux bornes de l’intervalle
de définition de f ainsi que la valeur exacte de f (e).
3. a) Déterminer une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
On pourra remarquer que f (x) = 5u′ (x) × u(x) + 3 avec u(x) à préciser.
b) En déduire la valeur exacte de I =
Z 4
f (t)dt sous la forme a(ln 2)2 +b avec a et b deux réels à déterminer.
2
4. a) Préciser le signe de f sur l’intervalle [2; 4].
b) Donner une interprétation graphique de I.
5. On admet que le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique x milliers de
pièces est égal à f (x).
En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie
entre 2000 et 4000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.
(D’après sujet bac Polynésie Septembre 2010)
EXERCICE 7
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] par :
f (x) = −x2 − x + 4 + ln(x + 1)
On note C sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 4].
1. Calculer f ′ (x).
2. Justifier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4].
3. Montrer que sur l’intervalle [0 ; 4], l’équation f (x) = 0 possède une unique solution α .
Donner un encadrement de α d’amplitude 0,01. En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle [0 ; 4].
4. On définit la fonction F dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] par :
1
1
F(x) = − x3 − x2 + 3x + (x + 1) ln(x + 1).
3
2
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4].
5. Soit A l’ aire, en unités d’aire, du domaine D délimité par la courbe C , l’axe des abscisses, et les droites
d’équation x = 0 et x = 1.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
121
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Tle ES 1
CALCUL INTÉGRAL
a) Hachurer le domaine D sur la figure fournie en annexe.
b) Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de A .
c) Calculer la valeur exacte en unités d’aire de A . Vérifier la cohérence de vos résultats.
ANNEXE
y
4
3
2
1
0
1
2
3
x
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
A. YALLOUZ (MATH@ES)
C
122
Chapitre 9
LA FONCTION EXPONENTIELLE
Sommaire
I
définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . .
1
définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
premières propriétés de la fonction exponentielle
II
propriétés algébriques de la fonction exponentielle . .
1
exponentielle d’une somme . . . . . . . . . . .
2
autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .
III étude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . .
1
dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . .
2
limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . .
4
croissances comparées . . . . . . . . . . . . . .
IV exponentielle d’une fonction : exp(u) . . . . . . . . . .
1
variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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124
124
124
124
124
125
125
125
126
126
127
128
128
128
128
129
123
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
I
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
De la continuité de la fonction ln et par application du théorème de la valeur intermédiaire, on en déduit que
pour tout réel b l’équation ln(x) = b admet une solution unique a dans l’intervalle ]0; +∞[
y
b
~j
a1
0
x
a
~i
b1
Soit pour tout réel x, il existe un unique réel y > 0 tel que x = ln(y)
Cette propriété, permet de définir une nouvelle fonction « réciproque » de la fonction logarithme népérien.
1
DÉFINITION
La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur l’ensemble des réels.
Pour tout réel x, on associe le réel y strictement positif tel que :
y = exp(x) ⇔ x = ln(y)
NOTATION
Pour tout entier relatif n, ln (en ) = n. Ainsi, pour tout entier relatif n, exp(n) = en . On convient d’étendre cette
écriture à tout réel x.
C’est à dire que pour tout réel x, on écrit exp(x) = ex . ex se lit donc « exponentielle de x ».
2
PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
Les propriétés suivantes se déduisent de la définition :
–
–
–
–
Pour tout réel x, ex > 0.
Pour tout réel x et pour tout réel y > 0, y = ex ⇔ x = ln(y).
Pour tout réel x, ln (ex ) = x.
Pour tout réel x > 0, eln(x) = x.
EXEMPLES
ln(1) = 0 ⇔ e0 = 1 ;
ex = 3 ⇔ x = ln 3 ;
II
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
1
EXPONENTIELLE D ’ UNE SOMME
L’équation ex = 0 n’a pas de solution.
Pour tout réel a et pour tout réel b
ea+b = ea × eb
Démonstration
Pour tout réel a et pour tout réel b, ea+b , ea et eb sont des réels strictement positifs.
Nous avons, d’une part,ln ea+b = a + b. D’autre part, ln
ea × eb = ln
(ea ) + ln eb = a + b
Donc ln ea+b = ln ea × eb ⇔ ea+b = ea × eb
A. YALLOUZ (MATH@ES)
124
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
2
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
AUTRES PROPRIÉTÉS
1. Pour tout réel a, e−a =
1
ea
ea
eb
3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, ena = (ea )n
2. Pour tout réel a et pour tout réel b, ea−b =
Démonstrations
1. Pour tout réel a, ea × e−a = e0 = 1 donc e−a =
1
ea
ea
1
=
eb eb
3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, ln (ena ) = na et ln (ea )n = n ln (ea ) = na
2. Pour tout réel a et pour tout réel b, ea−b = ea × e−b = ea ×
Donc ln (ena ) = ln (ea )n ⇔ ena = (ea )n
EXEMPLES
e2+ln 3 = e2 × eln 3 = 3e2 ;
III
1
1
ex−2
e2x+1
= e2x+1−x = ex+1 ;
ex
= e−(x−2) = e2−x ;
e2x × e2 = ex+1
2
ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION
DÉRIVÉE
La fonction exponentielle est dérivable sur R et exp′ (x) = exp(x)
Preuve :
On admet que la fonction exponentielle est dérivable sur R.
ex étant strictement positif, la fonction composée définie sur R par f (x) = ln (exp(x)) est dérivable et pour tout
exp′ (x)
réel x, f ′ (x) =
.
exp(x)
Or f (x) = ln (ex ) = x, donc f ′ (x) = 1.
exp′ (x)
= 1 donc exp′ (x) = exp(x) = ex .
Ainsi, pour tout réel x,
exp(x)
VARIATION
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
Démonstration
La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée.
Or pour tout réel x, ex > 0. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
CONSÉQUENCES
Pour tout réel x et pour tout réel y,
ex = ey ⇔ x = y
A. YALLOUZ (MATH@ES)
et
ex < ey ⇔ x < y
125
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
2
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
LIMITES
lim ex = +∞
lim ex = 0
et
x→+∞
x→−∞
Démonstrations
1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ex − x.
La fonction f est dérivable sur R, et pour tout réel x, f ′ (x) = ex − 1.
Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et e0 = 1. Donc si x > 0, alors ex > 1.
On en déduit le signe de f ′ ainsi que le tableau des variations de la fonction f
−∞
x
+∞
0
f ′ (x)
−
+
0
f (x)
1
Le minimum de la fonction f est égal à 1. Donc pour tout réel x, f (x) > 0. C’est à dire pour tout réel x,
ex − x > 0 ⇔ ex > x.
Or lim x = +∞ donc d’après les théorèmes de comparaison, lim ex = +∞
x→+∞
x→+∞
2. La limite de la fonction exponentielle en −∞ se déduit de sa limite en +∞
Si x tend vers +∞, alors −x tend vers −∞. Par conséquent
1
x→+∞ ex
lim ex = lim e−x = lim
x→−∞
Or lim ex = +∞ donc lim
x→+∞
1
x→+∞ ex
x→+∞
= 0. Soit lim ex = 0
x→−∞
3
COURBE REPRÉSENTATIVE
–
lim ex = 0 donc l’axe des abscisses est
y = ex
y
x→−∞
asymptote à la courbe représentative de la
fonction exponentielle en −∞.
– e0 = 1 et la tangente à la courbe représentative de
la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 a
pour équation y = x + 1.
– La tangente à la courbe représentative de la
fonction exponentielle au point d’abscisse 1 a
pour équation y = ex.
– La fonction exponentielle est la fonction
réciproque de la fonction logarithme népérien.
Dans un repère orthonormé, leurs courbes
représentatives sont symétriques par rapport à la
droite D d’équation y = x.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
e
y = ln x
~j
−1
0
~i
e
x
126
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4
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
CROISSANCES COMPARÉES
ex
= +∞
x→+∞ x
ex
Pour tout entier naturel n non nul, lim n = +∞
x→+∞ x
lim
et
et
lim xex = 0
x→−∞
lim xn ex = 0.
x→−∞
Démonstrations
ex
ex
x 1− ln(x)
x
= ln(x) = ex−ln(x) = e
1. Pour tout réel x strictement positif,
x
e
ln(x)
ln(x)
Or lim
= 0 donc lim x 1 −
= +∞
x→+∞ x
x→+∞
x
ln(x)
x 1− ln(x)
X
x
= +∞ et lim e = +∞, donc par composition, lim e
= +∞. Soit
Ainsi, lim x 1 −
x→+∞
x→+∞
X→+∞
x
ex
= +∞.
lim
x→+∞ x
ex
x
= +∞, on en déduit par passage à l’inverse que lim x = 0. C’est à dire lim xe−x = 0
x→+∞ x
x→+∞ e
x→+∞
donc lim xex = 0.
2. Comme lim
x→−∞
3. Soit n un entier naturel non nul quelconque.
x n
Pour tout réel x, ex = e n
 n
x n
x n
x
x
en
en
1
1 en 
e
Donc pour tout réel x non nul, n = x n = nn × x n = nn × x
x
n×
n
n
n
x
X
e
en
x
= +∞ et lim
= +∞, donc par composition, lim x = +∞
lim
x→+∞
x→+∞ n
X→+∞ X
 n n
 n
x
x
en 
1 en 
n

En outre lim X = +∞ donc par composition, lim
= +∞ d’où, lim n × x
= +∞.
x
x→+∞
x→+∞ n
X→+∞
n
n
ex
C’est à dire lim n = +∞.
x→+∞ x
Ce résultat est vrai pour un entier naturel n non nul quelconque, ce qui signifie qu’il est vrai pour tout entier
naturel n non nul.
REMARQUE
:
On peut résumer cette propriété à l’aide de la règle opératoire :
En +∞, l’exponentielle de x l’emporte sur toutes les puissances de x
y = ex
y
y = x3
y = x2
50
0
A. YALLOUZ (MATH@ES)
1
x
127
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IV
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
EXPONENTIELLE D ’ UNE FONCTION
: exp(u)
On considère une fonction u définie sur un intervalle I.
f = exp ◦u est la composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle notée également f = eu .
1
VARIATION
Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur l’intervalle I.
Démonstration
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R, par composée :
– si la fonction u est croissante sur I, alors la fonction eu est croissante sur I ;
– si la fonction u est décroissante sur I, alors la fonction eu est décroissante sur I.
EXEMPLE
Soit f la fonction définie sur l’intervalle R par f (x) = e1−2x .
f est la composée de la fonction affine u définie sur R par u(x) = 1 − 2x suivie de la fonction exp.
Or la fonction u est décroissante sur R donc la fonction f est décroissante sur R.
2
LIMITES
Pour étudier une limite d’une fonction eu , on utilise le théorème sur la limite d’une fonction composée.
EXEMPLE
1
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1; +∞[ par f (x) = ex− x−1 .
1
1. lim+ x − 1 = 0+ d’où lim+ x −
= −∞ et comme lim eX = 0 donc par composition des limites
X→−∞
x−1
x→1
x→1
1
lim ex− x−1 = 0
x→1
2.
3
lim x −
x→+∞
1
= +∞ et lim eX = +∞ donc par composition des limites
X→+∞
x−1
1
lim ex− x−1 = +∞
x→+∞
DÉRIVÉE
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction eu est dérivable sur I et (eu )′ = eu × u′ .
Démonstration
La fonction u est dérivable sur I et la fonction exp est dérivable sur R, on peut appliquer le théorème de
dérivation d’une fonction composée.
Pour tout réel x de l’intervalle I
(exp ◦u)′ (x) = exp′ [u(x)] × u′ (x) = exp[u(x)] × u′ (x) = eu(x) × u′ (x)
EXEMPLE
2
Soit f la fonction définie sur l’intervalle R par f (x) = ex −1 .
La fonction u définie sur R par u(x) = x2 − 1 est dérivable sur R et u′ (x) = 2x.
f est dérivable sur R et pour tout réel x, f ′ (x) = 2xex
2 −1
PRIMITIVES
Soit u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par f (x) = u′ (x)eu(x) admet
des primitives sur I.
L’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble des fonctions F définies par F(x) = eu(x) + k .
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Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
EXERCICE 1
Simplifier les écritures suivantes :
1
B = ln e2x+1 × e2−x ;
A = (ex )2 − −2x ;
e
2
ex+2
e2x+1
E = 1−x ;
F = 2x−1 ;
e
e
2
2
C = (ex + e−x ) − (ex − e−x ) ;
G=
e2x+ln 2
;
e−x
D = e−x e2x − 1 ;
H=
ex+ln 8
.
ex−ln 2
EXERCICE 2
Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. ex
2 +x−1
=1
4. ln ex+1 = ex+1 + x
7. 2e2x + 3ex − 2 = 0
1
10. e x > e
2.
e3x+5
2
= e2x −1
e3−2x
1
2
2
5. eln(x +1) − ln e1−x =
2
8. 2ex + 3 = 2e−x
3. ln (e−x ) + e− ln x = 0
3
6. e2x + ex − = 0
4
2
9. e2x ex < 1
11. e2x 6 ex
12. 2e2x > 1 − ex
EXERCICE 3
On cherche à déterminer lim ex . Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par f (x) = ex − x.
x→+∞
1. Déterminer
f ′ (x).
2. Étudier les variations de f , en déduire que f admet un minimum.
3. Justifier que pour tout réel x on a : ex > x. En déduire la limite de la fonction exponentielle en +∞.
(D’après sujet bac Antilles Septembre 2009)
EXERCICE 4
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−2 ; 3] par f (x) = aex + bx + c où a, b et c sont des réels
fixés.
Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous :
y
B
3
b
D
b
2
1
-3
-2
-1
0
b
A
1
2
x
-1
-2
C
-3
On dispose des renseignements suivants :
– C passe par A(0 ; 1).
– B est le point de coordonnées (1 ; 3) ; la droite (AB) est tangente à C au point A.
– C admet une tangente horizontale au point D d’abscisse ln 3.
1. On désigne par f ′ la dérivée de la fonction f .
Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisant f ou f ′ .
2. En résolvant un système, déterminer a, b et c.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
3. On admet à partir de maintenant que f (x) = −ex + 3x + 2.
a) Étudier les variations de f sur l’intervalle [−2 ; 3].
b) Montrer que f s’annule exactement une fois sur [−2 ; ln 3] en un réel α .
Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α .
c) Pour la suite, on admet que f s’annule exactement une fois sur [ln 3 ; 3] en un réel β .
Déterminer le signe de f sur l’intervalle [−2 ; 3].
4. a) Déterminer une primitive de f sur l’intervalle [−2 ; 3].
b) On considère la surface S délimitée par l’axe des ordonnées, l’axe des abscisses, la courbe C et la droite
d’équation x = ln 3.
Hachurer S sur la figure en annexe.
c) Déterminer, en justifiant avec soin, l’aire de S , en unités d’aire. On donnera la valeur exacte et la valeur
décimale arrondie au centième.
(D’après sujet bac Antilles-Guyanne 2007)
EXERCICE 5
Soit la fonction g définie sur R par g(x) = xex − 1.
Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g.
x
−∞
signe de g′ (x)
+∞
−1
−
0
+
+∞
−1
variations de g
−
1
e−1
1. On admet que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a strictement positive. En déduire le signe de
g(x) suivant les valeurs de x.
2. On note f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ex − ln x.
a) Étudier la limite de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.
g(x)
où f ′ est la fonction dérivée de f .
b) Vérifier que, pour tout x > 0, f ′ (x) =
x
c) Étudier les variations de f puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de f en +∞
est +∞.
3. Soit C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal.
Tracer la courbe C en prenant 0,57 comme valeur approchée de a.
(Prendre 4 cm pour unité sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées).
4. On note D l’ensemble des points M(x; y) du plan muni du repère ci-dessus tels que :
16x62
et
0 6 y 6 f (x).
a) Hachurer le domaine D.
b) Vérifier que la fonction H définie sur ]0; +∞[ par H(x) = x ln x − x est une primitive de la fonction h
définie sur ]0; +∞[ par h(x) = ln x.
c) En déduire une primitive F de f sur ]0 ; +∞[.
d) Calculer l’aire du domaine D, en unités d’aire, puis donner une valeur en cm2, arrondie au dixième.
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Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
(D’après sujet bac Centres étrangers 2009)
EXERCICE 6
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
5ex
ex + 1
On désigne par f ′ la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur R qui vérifie F(0) = 0.
Dans le repère orthonormal d’unité2 cm de l’annexe, la courbe C f tracée représente la fonction f et la droite
5
.
D est sa tangente au point A 0 ;
2
PREMIÈRE PARTIE
1. La courbe C f admet pour asymptotes en −∞ la droite d’équation y = 0 et en +∞ la droite d’équation y = 5.
En déduire lim f (x) et lim f (x).
x→−∞
x→+∞
2. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f ′ (x) =
5ex
.
(ex + 1)2
3. Etudier le signe de f ′ (x) suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur R.
4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite D.
DEUXIÈME PARTIE
1. Pour tout réel x, exprimer F(x) en fonction de x.
e+1
2. Vérifier que F(1) = 5 ln
.
2
3. Sur l’annexe, le domaine grisé est délimité par la courbe C f , les axes de coordonnées et la droite d’équation
x = 1.
Calculer l’aire, en unités d’aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.
ANNEXE
y
Cf
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
D
-1
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LA FONCTION EXPONENTIELLE
EXERCICE 7
PARTIE A
1. Étudier le signe du polynôme P (X) = −8X 2 + 2X + 1 où X est un réel.
2. Soit g la fonction définie sur R par : g (x) = −8ex + e−x + 2
−8e2x + 2ex + 1
ex
2x
x
b) Résoudre dans R l’équation : −8e + 2e + 1 = 0, en déduire les solutions de l’équation g (x) = 0.
a) Montrer que pour tout réel x, g (x) =
c) Étudier le signe de la fonction g sur R.
PARTIE B
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) =
8 − e−x
. Sa courbe représentative C f est donnée ci-dessous.
ex + 1
y
4
B
3
2
1
A
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
Cf
-4
1. Calculer les coordonnées des points A et B intersection de la courbe C f avec les axes du repère.
2. Étudier les limites de la fonction f en −∞ et en +∞. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe C f .
3. Calculer f ′ (x) , où f ′ est la dérivée de f .
4. Étudier les variations de f sur R.
5. Donner les équations des tangentes à la courbe C f aux points d’abscisses −3 ln 2 et 0.
EXERCICE 8
PARTIE A
La courbe (C ) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d’une fonction f définie
sur R. On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur R.
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Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
y
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
b
A
1
2
3
4
x
-1
1. Au point A(0; 1), la courbe (C ) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses. En déduire f (0) et f ′ (0).
2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d’une primitive F de la fonction f .
Déterminer la courbe associée à la fonction F.
Courbe 2
Courbe 1
1
1
0
b
1
Courbe 4
Courbe 3
0
b
1
1
0
b
1
0
1
b
1
PARTIE B
Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur R par : f (x) = x + e−x .
xex + 1
1. a) Vérifier que pour tout réel x, f (x) =
et déterminer la limite de la fonction f en −∞.
ex
b) Montrer que la courbe (C ) admet pour asymptote la droite d’équation y = x en +∞.
2. a) Calculer f ′ (x).
b) Étudier le signe de f ′ (x) sur R puis dresser le tableau de variation complet de f .
3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F(0) = −1. On note (Γ) sa courbe représentative.
a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d’abscisse 0.
b) Calculer F(x).
4. On considère la surface S délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et les droites d’équation x = −2
et x = 3.
a) Hachurer S sur la figure en annexe.
b) Déterminer, en justifiant avec soin, l’aire de S , en unités d’aire.
On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.
(D’après sujet bac Asie 2008)
EXERCICE 9
On considère la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par u(x) =
10 − x
x
1. Calculer les limites de u en 0 et en +∞.
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Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
2. Étudier les variations de u.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = eu(x) .
3. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ?
4. Établir, en justifiant, le tableau de variations de f .
5. Résoudre algébriquement l’équation f (x) = 1.
6. L’équation f (x) = −x admet-elle une solution ? Pourquoi ?
EXERCICE 10
La production mensuelle d’une certaine catégorie d’articles par une entreprise est comprise entre 0 et 8000.
Si x désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués, le coût total de production, exprimé en milliers d’euros,
est modélisé par la fonction CT définie sur l’intervalle [0; 8].
Chaque millier d’articles est vendue 3500 C. La recette totale pour x milliers d’articles est donnée, en admettant
que toute la production soit vendue, par R(x) = 3,5x en milliers d’euros.
Les courbes représentatives des fonctions CT et R sont tracées ci-dessous.
y
CT
30
R
25
20
15
10
5
0
0
1
A. YALLOUZ (MATH@ES)
2
3
4
5
6
7
8
x
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LA FONCTION EXPONENTIELLE
PARTIE A
Par lecture graphique déterminer :
1. l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice positif de l’entreprise ;
2. la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal ;
3. le coût moyen minimal.
PARTIE B
La fonction coût total CT est définie sur l’intervalle [0; 8] par CT (x) =
x2
+ xe2−x . La fonction coût moyen,
2
CT (x)
.
x
1. Déterminer C′ (x) où C′ désigne la fonction dérivée de la fonction coût moyen C.
2. Étudier les variations de la fonction coût moyen C sur ]0 ; 8].
3. Pour quelle production l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
notée C est la fonction définie sur ]0; 8] par C(x) =
EXERCICE 11
x
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = e1−x + . On note C f sa courbe représentative dans un
2
repère orthogonal du plan d’origine O. (Unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées).
La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe C f , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et les droites
d’équation x = −1 et x = 1.
y
14
12
10
8
6
4
Cf
2
-2
-1
0
1. Montrer que la droite d’équation y =
2. a) Calculer f ′ (x).
1
2
3
4
5
x
x
est asymptote à la courbe C f en +∞.
2
1
− e1−x > 0.
2
c) Établir le tableau des variations de la fonction f . En déduire le signe de f .
3. Calculer, en cm2 , l’aire A de la partie hachurée.
b) Résoudre dans R l’inéquation
EXERCICE 12
On désigne par f la fonction définie sur R par f (x) = xe1−0,5x . On note C f sa courbe représentative dans le
plan muni d’un repère orthonormal.
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LA FONCTION EXPONENTIELLE
1. Étudier le signe de f .
2. a) Calculer la limite de la fonction f en −∞.
b) Vérifier que, pour tout nombre réel x, f (x) = (2 − 2X)eX avec X = 1 − 0,5x. En déduire la limite de la
fonction f en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
3. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
a) Démontrer que pour tout nombre réel x, f ′ (x) = (1 − 0,5x)e1−0,5x
b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction f .
4. On admet qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, la fonction F définie sur R par
F(x) = (ax + b)e1−0,5x est une primitive de la fonction f sur R.
a) Déterminer les valeurs exactes des réels a et b.
b) Déterminer la valeur, en unités d’aire, de l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe C f , l’axe des
abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 2.
EXERCICE 13
PARTIE A
Soit X un réel appartenant à l’intervalle ]0; +∞[.
1. Résoudre l’équation X + 1 =
2
X
2. Résoudre l’inéquation X + 1 ≤
2
X
PARTIE B
f et g sont deux fonctions définies sur l’intervalle ]0; +∞[ par f (x) = e0,2x−1 + 1 et g(x) = 2e1−0,2x .
Leurs courbes représentatives C f et Cg sont données ci-dessous.
y
5
4
Cf
3
A
2
bC
1
0
Cg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
1. Étudier les limites en +∞ des fonctions f et g. Préciser les asymptotes éventuelles aux courbes.
2. Étudier les de variations des fonctions f et g.
3. En utilisant les résultats de la partie A, calculer les coordonnées du point d’intersection des courbes C f et
Cg et montrer que f (x) ≤ g(x) sur l’intervalle [0; 5].
4. Calculer la valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré compris entre les courbes C f ,
Cg , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 5.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
136
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Année 2010-2011
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
EXERCICE 14
Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires (CA), en millions d’euros, sur la période 2001-2008
d’une entreprise.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
1
2
3
4
5
6
7
8
146
162
178
200
229
258
293
338
Rang xi du l’année
CA yi
Le nuage de points Mi (xi ; yi ) associé à cette série statistique est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
360
×
320
×
280
×
240
×
×
200
160
120
×
×
0
1
2
×
3
4
5
6
7
8
9
10
1. a) Déterminer une équation de la droite D d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres
carrés. Tracer la droite D dans le repère précédent
b) À l’aide de cet ajustement, déterminer le chiffre d’affaire que cette entreprise peut prévoir en 2010.
2. a) Calculer le pourcentage d’évolution annuel moyen du chiffre d’affaires entre les années 2001 et 2008.
b) Avec une augmentation annuelle de 11 % du chiffre d’affaires, quel chiffre d’affaire cette entreprise
peut-elle prévoir en 2010 ?
3. Pour effectuer un ajustement exponentiel du nuage, on pose zi = ln (yi ).
a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième.
xi
1
zi
4,984
2
3
4
5
6
7
8
b) Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
(coefficients arrondis au centième).
c) En déduire une relation entre y et x de la forme y = AeBx , A et B étant arrondis au centième.
4. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes :
a) Donner une estimation du chiffre d’affaire de l’entreprise en 2010.
b) À partir de quelle année, le chiffre d’affaire de cette entreprise dépassera-il 500 millions d’euros ?
EXERCICE 15
(D’après sujet bac Polynésie Septembre 2010)
Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en « .fr » gérés par l’AFNIC, organisme qui
centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années 2001 à 2008 :
A. YALLOUZ (MATH@ES)
137
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
Année
Rang xi de l’année 1 6 i 6 8
Nombre yi des domaines en
« .fr », en milliers, 1 6 i 6 8
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
1
2
3
4
5
6
7
8
105,045
128,927
143,741
224,452
344,465
463,729
811,674
1125,161
(Source : AFNIC, 2009)
Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous.
nombre de domaines en .fr en milliers
×
1100
1000
900
×
800
700
600
500
×
400
×
300
×
200
×
100
×
×
rang de l’année
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Calculer, en pourcentage, l’augmentation du nombre de domaines en « .fr » entre juin 2001 et juin 2002,
arrondi à 1 %.
2. a) Expliquer pourquoi un ajustement affine de y en x ne semble pas justifié.
b) On cherche alors un ajustement exponentiel. Pour tout 1 6 i 6 8, on pose zi = ln yi .
Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de zi arrondies au centième :
Rang de l’année xi
16i68
1
2
3
4
5
6
7
8
zi = ln yi 1 6 i 6 8
c) À l’aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la
droite d’ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés sous la forme z = ax + b (les coefficients
seront arrondis au centième).
d) En déduire que y = 60,34e0,35x où les coefficients sont arrondis au centième, est un ajustement exponentiel
possible.
3. a) En utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., quel est le nombre estimé de domaines en « .fr » en juin
2009 ? (le résultat sera arrondi au millier).
A. YALLOUZ (MATH@ES)
138
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
LA FONCTION EXPONENTIELLE
Tle ES 1
b) Si l’erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à 1 %, on considère que le modèle est
pertinent.
En réalité, le relevé de juin 2009 de l’AFNIC indiquait 1 412 652 domaines en « .fr ». Le modèle proposé
est-il pertinent ?
4. a) Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’inéquation 60,34e0,35x > 10000 (le résultat sera arrondi au dixième).
b) En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., à partir du mois de juin de quelle année le
nombre de « domaines en .fr » dépassera 10 millions.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
139
Chapitre 10
CROISSANCES COMPARÉES
En cours de rédaction
A. YALLOUZ (MATH@ES)
140
D EUXIÈME PARTIE
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
A. YALLOUZ (MATH@ES)
141
Chapitre 11
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
Sommaire
I
vecteur de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
vecteurs colinéaires . . . . . . . . . . . . . .
2
vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . .
II
repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . .
1
coordonnées d’un point . . . . . . . . . . . .
2
calculs avec les coordonnées . . . . . . . . .
III équations cartésiennes de l’espace . . . . . . . . .
1
équation d’un plan . . . . . . . . . . . . . .
2
vecteur orthogonal à un plan . . . . . . . . .
3
plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . . .
4
système d’équations cartésiennes d’une droite
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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143
143
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143
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144
144
145
145
145
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142
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Année 2010-2011
I
Tle ES 1
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
VECTEUR DE L’ ESPACE
Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l’espace
1
VECTEURS COLINÉAIRES
Dire que deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires signifie, qu’ils ont la même direction, c’est-à-dire qu’il
existe un réel k tel que ~u = k~v.
Par convention, le vecteur nul ~0 est colinéaire à tout vecteur.
−
→ −
→
– Trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
−
→ −→
– Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
2
VECTEURS COPLANAIRES
~u, ~v et ~w sont trois vecteurs de l’espace tels que ~u et ~v ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs ~u, ~v et ~w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que :
~w = α~u + β~v
CONSÉQUENCE
:
Pour démontrer qu’un point D appartient à un plan P défini par trois points non alignés A, B et C on montre
−
→ −
→ −→
que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires.
II
REPÉRAGE DANS L’ ESPACE
1
COORDONNÉES D ’ UN POINT
~
~
~
Dans un repère O; i, j,k , pour tout point M, il existe un unique triplet
(x; y; z) de réels tels que
z
M
−−→ ~ ~ ~
OM = xi + y j + zk
b
−−→
(x; y; z) est le triplet de coordonnées du point M (ou du vecteur OM).
x est l’abscisse, y est l’ordonnée, z est la cote.
2
~k
~j
~i
x
O
y
CALCULS AVEC LES COORDONNÉES
Dans un repère O;~i,~j,~k , on considère les vecteurs ~u (x; y; z) et ~v (x′ ; y′ ; z′ ).
– ~u =~v si, et seulement si, x = x′ , y = y′ et z = z′ .
– Le vecteur somme ~u +~v a pour coordonnées ~u +~v (x + x′ ; y + y′ ; z + z′ ).
– Pour tout réel k, k~u (kx; ky; kz).
Soit A(xA ; yA ; zA ) et B (xB ; yB ; zB ) deux points de l’espace :
−
→
−
→
– le vecteur AB a pour coordonnées AB (xB − xA ; yB −
yA ; zB − zA ).
xA + xB yA + yB zA + zB
;
;
.
– le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I
2
2
2
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Année 2010-2011
Tle ES 1
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
Dans un repère orthonormal O;~i,~j,~k ,
– La distance entre les points A(xA ; yA ; zA ) et B (xB ; yB ; zB ) est donnée par
q
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
– Deux vecteurs ~u (x; y; z) et ~v (x′ ; y′ ; z′ ) sont orthogonaux si, et seulement si, xx′ + yy′ + zz′ = 0.
III
ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DE L’ ESPACE
1
ÉQUATION D ’ UN PLAN
Un plan de l’espace a une équation de la forme ax + by + cz = d avec a, b et c non tous nuls.
PLANS PARTICULIERS
:
Un plan admettant une équation « incomplète », c’est à dire dans laquelle ne figure qu’une ou deux des trois
variables x, y et z, est parallèle à un plan de coordonnées ou à un axe de coordonnées.
Plan P d’équation x = k
Plan P d’équation z = k
z
Plan P d’équation y = k
z
z
~k
~j
~i
O
x
~k
~k
~j
~i
O
x
y
~j
~i
y
O
x
y
P//(yOz)
P//(xOz)
P//(xOy)
Plan P d’équation ax + by = d
Plan P d’équation ax + cz = d
Plan P d’équation by + cz = d
z
z
z
~k
~j
~i
x
~k
x
y
~k
~j
~i
O
O
P//(Oz)
A. YALLOUZ (MATH@ES)
~j
~i
y
x
O
P//(Oy)
y
P//(Ox)
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2
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
Tle ES 1
VECTEUR ORTHOGONAL À UN PLAN
On dit qu’un vecteur ~n est orthogonal (ou normal) à un plan P si la direction de ~n est une droite orthogonale
au plan P. C’est à dire une droite orthogonale à toutes les droites du plan P.
Dans un repère othonormal, le vecteur ~n (a; b; c) est orthogonal au plan P d’équation ax + by + cz = d.
3
PLANS PARALLÈLES
Deux plans P et P ′ d’équations respectives ax + by + cz = d et a′ x + b′ y + c′ z = d ′ sont parallèles si, et
seulement si, les coefficients a, b, c et a′ , b′ , c′ sont proportionnels.
4
SYSTÈME D ’ ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D ’ UNE DROITE
L’espace est muni d’un repère O;~i,~j,~k . Un point M (x; y; z) appartient à une droite D de l’espace si, et
seulement si, ses coordonnées vérifient un système d’équations de la forme
(
ax + by + cz
= d
où a, b, c et a′ , b′ , c′ ne sont pas proportionnels.
′
′
′
′
a x+b y+c z = d
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Tle ES 1
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
EXERCICE 1
Dans l’espace muni d’un repère O;~i,~j,~k , on considère les points A(5; 0; 0), B(5; 9; 0), C(0; 9; 0) et S(0; 9; 9).
z
S
F
G
+
~k
~i
+
~j
C
O
A
y
B
x
1. Placer le point E de coordonnées (6; 4; 7) dans le repère précédent.
2. L’abscisse du point F est égale à 2, lire les coordonnées du point F.
3. G est un point du plan (SBC), lire les coordonnées du point G.
4. Les points E, F et G sont-ils alignés ?
EXERCICE 2
Dans l’espace muni d’un repère O;~i,~j,~k , on considère les points A(2; −1; 3), B(3; 2; 1), C(−2; 3; 1) et D(6; 3; 0).
1. Les points A, B et C déterminent-ils un plan ?
2. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [BC].
3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
EXERCICE 3
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
C(−2; 0; 4), D(9; −5; 8) et E(x; y; 6).
O;~i,~j,~k . On considère les points A(2; −1; 3), B(−2; 3; 1),
1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
2. Le point E appartient à la droite (AB). Déterminer son abscisse et son ordonnée.
→
−→ −
3. Montrer que les vecteurs ED et AB sont orthogonaux.
4. Montrer que la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC).
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Tle ES 1
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
EXERCICE 4
Dans l’espace muni d’un repère O;~i,~j,~k , on considère les points A(−2; 3; −1) et B(1; 3; 2).
1. Déterminer les coordonnées du point C intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy).
2. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (yOz).
3. La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (xOz) ?
(D’après Sujet Bac Polynésie 2005)
EXERCICE 5
L’espace est muni d’un repère orthonormal O;~i,~j,~k .
La figure ci-dessous, représente un pavé droit ; le point O est le milieu de [AD].
Soit P le milieu du segment [EF].
H
G
z
2
F
E
D
C
~k
~j
~i
A
y
O
B
x
1. a) Quel ensemble de points de l’espace a pour équation z = 2 ?
b) Déterminer une équation du plan (ABF).
c) En déduire un système d’équations qui caractérise la droite (EF).
2. a) Quelles sont les coordonnées des points A, G et P ?
b) Placer sur la figure le point Q de coordonnées (0; 0,5; 0).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ).
3. a) Construire sur la figure les segments [PQ] et [AG].
b) Le point G appartient-il au plan (APQ) ? Justifier.
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GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
Tle ES 1
4. On construit la figure précédente à l’aide d’un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de
représenter le point d’intersection des droites (AG) et (PQ). Quelle pourrait être la réponse de l’ordinateur ?
(D’après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2009)
EXERCICE 6
L’espace est muni d’un repère orthonormal O;~i,~j,~k .
Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points A(0 ; 2 ; 0), B(0 ; 0 ; 6), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0) et
E(0 ; 0 ; 4).
Soit (P) le plan d’équation 3y + z = 6.
Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.
1. a) Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l’on notera (CDE).
b) Vérifier que le plan (CDE) a pour équation x + y + z = 4.
2. a) Justifier que les plans (P) et (CDE) sont sécants. On note (∆) leur intersection.
b) Sans justifier, représenter (∆) en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.
3. On considère les points F(2 ; 0 ; 0) et G(0 ; 3 ; 0).
On note (Q) le plan parallèle à l’axe O; ~k et contenant les points F et G.
a) Placer sur la figure en annexe les points F et G.
Sans justifier, représenter le plan (Q) par ses traces sur les plans de base, d’une autre couleur (ou à défaut
en larges pointillés), sur la figure en annexe.
b) Déterminer les réels a et b tels que ax + by = 6 soit une équation du plan (Q).
4. L’intersection des plans (CDE) et (Q) est la droite (∆′ ).
Sans justifier, représenter la droite (∆′ ), d’une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la
figure en annexe.
5. On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant :



3y + z = 6
x+y+z = 4


3x + 2y = 6
a) Résoudre ce système.
b) Que peut-on alors en déduire pour les droites (∆) et (∆′ ) ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
ANNEXE
z
×
B
E×
~k
O
~j
×
A
×
D
y
~i
×
C
x
EXERCICE 7
L’espace est muni d’un repère O;~i,~j,~k orthonormal représenté en annexe ci-dessous.
1. Tracer les droites
d’intersection du plan (P) d’équation 5x + 5y + 6z = 15 avec les plans de coordonnées du
~
~
~
repère O; i, j,k .
2. On considère le plan (Q) d’équation 3x + 4y = 6.
a) Préciser la nature de l’ensemble ∆ des points M de l’espace dont les coordonnées vérifient :
(
5x + 5y + 6z = 15
3x + 4y = 6
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
Tle ES 1
b) Représenter l’ensemble ∆ dans le repère O;~i,~j,~k .
3. On donne les points D (1; 0; 0), E (0; −3; 0), F (−1; −3; 4) et G (0; 0; 4).
a) Montrer que les points D, E et F déterminent un plan.
b) Les points D, E, F et G sont-ils coplanaires ?
c) Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F.
d) Représenter l’intersection des trois plans (P), (Q) et (R) dans le repère O;~i,~j,~k
4. Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique.


 12x − 4y + 3z = 12
5x + 5y + 6z = 15


3x + 4y = 6
z
~k
~j
y
~i
O
x
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
EXERCICE 8
Dans l’espace muni d’un repère O;~i,~j,~k , on considère les points A(−1; 6; 7,5) et B(−2; 8; 9).
1. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l’axe (Oz) et passant par les points A et B.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l’axe (Oy) et passant par les points A et B.
3. Soit d la droite caractérisée par le système :
(
2x + y = 4
3x + 2z = 12
Les points A et B sont-ils sur la droite d ?
4. Dans le repère O;~i,~j,~k ci-dessous, représenter les plans P et Q par leurs traces avec les plans de base ainsi
que la droite (AB).
z
~k
~i
~j
O
x
A. YALLOUZ (MATH@ES)
y
151
Chapitre 12
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Sommaire
I
fonction de deux variables . . .
1
définition . . . . . . . .
2
représentation graphique
II
sections de surface . . . . . . .
1
courbes de niveau . . . .
2
coupes verticales . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Tle ES 1
Dans de nombreux contextes, l’utilisation de fonctions comportant une seule variable n’est pas vraiment réaliste.
Par exemple, on peut étudier un coût de production avec deux facteurs : le facteur travail et le facteur capital.
Si x représente le coût du facteur travail et y celui du facteur capital, le coût total de production est donné par la
fonction f (x; y).
I
FONCTION DE DEUX VARIABLES
1
DÉFINITION
Soit I et J deux intervalles.
Définir une fonction f de deux variables c’est associer à chaque couple (x; y), x ∈ I et y ∈ J, un réel et un seul,
noté f (x; y).
2
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
~
~
~
L’espace est muni d’un repère O; i, j,k . La représentation graphique d’une fonction f de deux variables, x ∈ I
et y ∈ J, est la surface S d’équation z = f (x; y).
EXEMPLE
On a représenté ci-dessous, la surface S d’équation z = x2 + xy pour x ∈ [0; 10] et y ∈ [0; 10].
200
160
120
A
bC
z
80
40
0
10
0 1
8 9
7
2 3
6
4 5
4 5
6 7
3
x
8 9
y
1 2
10
A(7; 6; zA ) est un point de la surface S , ses coordonnées vérifient l’équation de la surface S . Sa cote est :
zA = 72 + 7 × 6 = 91
Ainsi, le point A a pour coordonnées A(7; 6; 91)
II
SECTIONS DE SURFACE
On considère une fonction f de deux variables, représentée dans l’espace par une surface d’équation z = f (x; y).
Pour faciliter la perception de la surface, on se sert des intersections de la surface avec des plans parallèles aux
plans de base
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1
Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
COURBES DE NIVEAU
Les courbes de niveau k d’une fonction f de deux variables sont les intersections de la surface d’équation
z = f (x; y) avec les plans parallèles au plan (xOy) d’équation z = k.
(
z = f (x; y)
C’est l’ensemble des points M(x; y; z) dont les coordonnées vérifient le système
z = k
EXEMPLE
On a représenté ci-dessous, la surface S d’équation z = x2 + xy pour x ∈]0; 10] et y ∈ [0; 10].
200
160
120
courbe de niveau z = 80
z
80
courbe de niveau z = 40
40
0
9 10
0 1
7 8
2 3
6
5
4 5
6 7
3 4 x
2
8
y
9 10 1
Les points de la surface S situés entre les courbes de niveau z = 40 et z = 80 ont une cote 40 6 z 6 80.
Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d’équation z = 40 on résout le système

(
40 − x2

2
z = x + xy
y =
x 6= 0
⇔
x

z = 40
z = 40
Dans le plan d’équation z = 40, la courbe de niveau z = 40 est la courbe d’équation y =
REMARQUE
40 − x2
avec x 6= 0
x
La projection de la surface S sur le plan (xOy) donne les courbes de niveau z = k
10
9
8
7
160-200
6
120-160
y 5
80-120
4
40-80
3
0-40
2
1
0
A. YALLOUZ (MATH@ES)
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
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2
Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
COUPES VERTICALES
– Sections de la surface S par des plans d’équation x = k parallèles au plan (yOz)(
C’est l’ensemble des points M(x; y; z) dont les coordonnées vérifient le système
z = f (x; y)
x = k
200
160
120
z
80
40
0
9 10
0 1
7 8
2 3
6
5
4 5
6 7
3 4 x
2
8
y
9 10 1
Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d’équation x = 7 on résout le système
(
(
z = x2 + xy
z = 7y + 49
⇔
x = 7
x = 7
Dans le plan d’équation x = 7, la section de la surface S est la droite d’équation z = 7y + 49
– Sections de la surface S par des plans d’équation y = k parallèles au plan (xOz)(
C’est l’ensemble des points M(x; y; z) dont les coordonnées vérifient le système
z = f (x; y)
y = k
200
160
120
z
80
40
0
9 10
0 1
7 8
2 3
6
5
4 5
6 7
3 4 x
2
8
y
9 10 1
Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d’équation y = 6 on résout le système
(
(
z = x2 + 6x
z = x2 + xy
⇔
y = 6
y = 6
Dans le plan d’équation y = 6, la section de la surface S est la parabole d’équation z = x2 + 6x
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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
EXERCICE 1
PARTIE A
La figure 1 ci-dessous représente la surface S d’équation z = −2x2 + 27x − xy + 12y − y2 avec x ∈ [0; 10] et
y ∈ [0; 10].
Figure 1
100
80-100
80
60-80
40-60
60
20-40
z
0-20
40
20
0
10
9
8
7
6
5
x
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
y
1. a) Le point A(2; 6; 70) appartient-il à la surface S ?
b) Placer, sur la figure ci-dessus, le point B d’abscisse 2 et d’ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la
cote du point B ?
2. a) Soit y = 2. Exprimer alors z sous 1a forme z = f (x) puis donner la nature de la section de la surface S
par le plan d’équation y = 2.
b) Sur la figure 2, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan (xOz) d’une courbe de
niveau d’ordonnée constante k. Déterminer la valeur de k.
Figure 2
100
b
80
b
60
z
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
PARTIE B
La fabrication d’un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B. On note :
– x la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d’heures ;
– y la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d’heures ;
La quantité produite exprimée en tonnes est donnée par la relation :
f (x; y) = −2x2 + 27x − xy + 12y − y2 avec 0 < x ≤ 10 et 0 < y ≤ 10
Les contraintes liées aux horaires de travail font que la somme des durées fonctionnement des deux machines
A et B est de neuf centaines d’heures.
1. On cherche à maximiser la production sous cette contrainte.
a) Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée
par la fonction g définie sur l’intervalle ]0; 10] par g(x) = −2x2 + 24x + 27.
b) En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d’obtenir une production
maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes.
2. La direction de l’entreprise envisage d’augmenter d’une centaine d’heures la somme des durées de fonctionnement
des deux machines.
La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le
plan (xOy) d’une partie de la surface S d’équation z = −2x2 + 27x − xy + 12y − y2 .
Figure 3
6
5
98-99
4
97-98
96-97
y
3
95-96
bC
94-95
93-94
2
92-93
91-92
1
0
3
4
5
6
7
8
9
x
a) Représenter sur la figure 3 les contraintes x + y = 10 et x + y = 9.
b) Quelle sera la conclusion de la direction de l’entreprise ?
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Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
EXERCICE 2
Une entreprise réalise une campagne publicitaire dans les journaux et par affichage. Les profits exprimés en
milliers d’euros générés par cette campagne sont estimés par la fonction suivante :
P(x,y) = −0,001x2 − 0,001y2 + 0,5x + y + 400
où x est le montant investi dans la publicité dans les journaux (en milliers d’euros) et y est le montant investi
dans la publicité par affichage (en milliers d’euros).
Le budget alloué à la publicité est de 500 000 C.
1. En considérant que le budget est totalement dépensé, calculer le montant du profit dans le cas où le montant
investi dans la publicité dans les journaux est de 100 milliers d’euros.
2. Sous la contrainte de budget x + y = 500.
a) Montrer que le montant (exprimé en milliers d’euros) du profit en fonction de x est donné par
f (x) = −0,002x2 + 0,5x + 650.
b) Étudier les variations de la fonction f . En déduire le montant investi dans la publicité dans les journaux
qui assure un profit maximum.
c) Donner la répartition du budget permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du profit
maximal.
3. Le patron de l’entreprise étudie la rentabilité d’une augmentation du budget.
Avec une augmentation du budget de 1 000 C :
a) Donner la répartition du budget permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du profit
maximal.
b) Conclure.
EXERCICE 3
(D’après sujet bac Polynésie 2007)
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives x et y exprimées en tonnes.
Le coût total de production z, exprimé en milliers d’euros, est donné par la relation z = 2x2 − 8x + y2 − 6y + 18
avec x ∈ [0 ; 6] et y ∈ [0 ; 8].
1. La surface S représentant le coût en fonction de x et y dans un repère orthogonal O;~i,~j,~k est donnée sur
la feuille annexe 1, figure 1.
a) Le point A(3; 2; 3) appartient-il à la surface S ? Justifier.
b) Placer sur la figure 1 le point B d’abscisse 5 et d’ordonnée 2 qui appartient à S .
c) Soit y = 2. Exprimer alors z sous la forme z = f (x) puis donner la nature de la section de la surface S
par le plan d’équation y = 2 en justifiant.
2. La fabrication de x tonnes de savons et de y tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte x + y = 5.
a) Quelle est la nature de l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient x + y = 5 ?
b) Vérifier que, sous la contrainte x+y = 5, z peut s’écrire sous la forme z = g (x) avec g(x) = 3x2 −12x+13.
c) Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de y et le coût de production
z qui correspondent. On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum.
d) On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2, la projection orthogonale de la surface S sur le plan (xOy)
(« vue de dessus de la surface S »).
Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan (xOy) des points dont les coordonnées
vérifient x + y = 5.
Placer sur cette figure 2 le point C1 , projeté orthogonal du point C sur le plan (xOy).
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Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
FIGURE
1
60
50 - 60
40 - 50
50
30 - 40
40
20 - 30
z
30
10 - 20
20
0 - 10
6
10
5
4
0
0
3
1
2
3
x
2
4
5
1
6
y
FIGURE
7
80
2
6
5
50 - 60
4
40 - 50
3
x
30 - 40
20 - 30
2
10 - 20
0 - 10
1
0
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1
2
3
4
y
5
6
7
8
0
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Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
EXERCICE 4
(D’après sujet bac Liban 2009)
Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l’entretien de jardins. Pour ce service,
cette entreprise a recours à des employés à temps partiel pour une durée globale de x heures, et elle loue le
matériel nécessaire pour une durée globale de y heures. La surface de jardin traitée en une semaine, exprimée
√
en centaines de m2 , est donnée par la fonction f (x ; y) = 2xy où x et y sont exprimées en heures.
Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes
matérielles imposent que 0 ≤ x ≤ 120 et 0 ≤ y ≤ 100.
La figure 1 donnée en annexe représente la surface S d’équation z = f (x ; y).
La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface S sur le plan (xOy), les courbes
de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 10 en 10.
1. a) Les points A (20 ; 40 ; zA ) et B (60 ; yB ; 60) sont des points de la surface S .
Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.
b) Lire sur la figure 1 les coordonnées du point C et en donner une interprétation concrète.
c) Placer sur la figure 1 le point D de coordonnées (10 ; 80 ; 40).
d) Donner la nature de la courbe de niveau z = 50.
2. Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à 2400 euros.
1
a) Démontrer que x et y sont liés par la relation y = − x + 80.
2
b) Quelle est la nature de l’ensemble (E ) des points M(x ; y ; z) de l’espace dont les coordonnées vérifient
1
y = − x + 80 ?
2
c) Représenter l’ensemble (E ) sur la figure 2 de l’annexe.
d) En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu’on peut traiter avec un coût hebdomadaire
de 2400 euros.
1
3. a) Vérifier que, sous la contrainte y = − x + 80, z peut s’écrire sous la forme z = g(x), g étant la fonction
2
√
définie sur [0 ; 120] par g(x) = 160x − x2 .
80 − x
, g′ désignant la fonction dérivée de g, puis démontrer
b) Démontrer que sur ]0 ; 120], g′ (x) = √
160x − x2
que la fonction g admet un maximum sur l’intervalle [0 ; 120].
c) En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface
maximum.
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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
FIGURE
1
160
150
140
130
120
110
100
90
z
80
70
C
bC
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
y
50
40
30
20
10
00
FIGURE
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
x
2
100
90
80
70
60
y 50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
x
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Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
(D’après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007)
EXERCICE 5
La production journalière d’une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d’œuvre et l’utilisation
des machines. On désigne :
– par x la durée journalière de travail de la main d’œuvre, exprimée en heure ; x appartient à l’intervalle ]0 ; 10]
– par y la durée journalière d’utilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à l’intervalle ]0 ; 12].
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :
f (x; y) =
3xy
avec 0 < x 6 10 et 0 < y 6 12.
x+y
La figure ci-dessous représente la surface (S ) d’équation : z = f (x; y) pour 0 < x 6 10 et 0 < y 6 12.
surface (S ) d’équation z =
3xy
x+y
16 6 z 6 18
14 6 z 6 16
12 6 z 6 14
10 6 z 6 12
8 6 z 6 10
66z68
46z66
26z64
06z62
18
z : quantité journalière produite
16
14
12
10
8
6
×
A
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x : durée journalière de travail de la main d’œuvre
12
11
10
9
8 y : durée journalière
67
5
4 d’utilisation des machines
23
1001
PARTIE 1 : Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S ).
1. Déterminer graphiquement l’abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
2. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l’entreprise.
PARTIE 2 : Pour chaque heure, le coût total du travail s’élève à 4 milliers d’euros, et le coût d’utilisation des
machines s’élève à 1 millier d’euros.
L’entreprise décide de dépenser 36 milliers d’euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière
sous cette contrainte. On a alors 4x + y = 36.
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la
4x2 − 36x
.
fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; 10] par g(x) =
x − 12
1. On note g′ la fonction dérivée de g sur l’intervalle ]0 ; 10].
4 (x − 6) (x − 18)
.
a) Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; 10], calculer g′ (x) et montrer que g′ (x) =
(x − 12)2
b) étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; 10].
2. a) En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d’utilisation des machines permettant
d’obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d’euros.
b) Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.
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EXERCICE 6
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Tle ES 1
(D’après sujet bac France Métropolitaine Juin 2010)
Un équipementier fabrique pour une usine de l’industrie automobile deux types de sièges : un modèle "luxe" et
un modèle "confort".
Soit x le nombre, exprimé en centaines, de sièges "luxe" et y le nombre, exprimé en centaines, de sièges
"confort" produits chaque mois.
La fonction coût mensuel de production est la fonction F définie pour x et y appartenant à l’intervalle [0 ; 3]
par :
F(x, y) = x2 − 2x + y2 − 4y + 6.
F(x, y) désigne le coût mensuel de production, exprimé en dizaines de milliers d’euros, pour x centaines de
sièges "luxe" et pour y centaines de sièges "confort".
1. Au mois de janvier 2010, l’équipementier a produit 120 sièges "luxe" et 160 sièges "confort". Justifier que
le coût de production mensuel a été 12 000 euros.
2. Vérifier que, x et y étant deux nombres réels, x2 − 2x + y2 − 4y + 6 = (x − 1)2 + (y − 2)2 + 1.
En déduire que le coût de production mensuel minimal est 10 000 euros.
Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" produites ce coût de
production est obtenu.
3. À partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prévue de sièges est exactement 250.
a) Justifier que y = 2,5 − x.
Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers
d’euros, est égal à 2x2 − 3x + 2,25.
b) On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2,5] par f (x) = 2x2 − 3x + 2,25.
Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2,5].
c) En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" que l’équipementier doit
produire à partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût
minimal.
EXERCICE 7
(D’après sujet bac Antilles Septembre 2007)
Une entreprise désire construire dans son hall d’entrée un aquarium ayant la forme d’un pavé droit de hauteur
5 dm (décimètres).
Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels x et y tels que x ∈]0 ; 20[ et y ∈]0 ; 20[.
La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant
des réglettes d’aluminium dont le prix de revient est de 0,8 euro le dm.
Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.
PARTIE A
On décide d’investir exactement 80 euros pour la construction du bâti métallique.
1. Montrer que, pour cet investissement, les dimensions x et y sont liées par la contrainte x + y = 20.
2. a) Déterminer en fonction de x et y le volume V , exprimé en dm3 , de cet aquarium.
b) En déduire le volume V en fonction de x sous la contrainte précédente.
3. On définit la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 20[ par f (x) = V .
a) Montrer que la fonction f admet un maximum sur ]0 ; 20[.
b) En déduire les dimensions de l’aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce
volume maximal.
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Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
PARTIE B
Soit g la fonction définie pour tout x ∈]0 ; 20[ et tout y ∈]0 ; 20[ par g(x, y) = xy + 10(x + y).
On donne en annexe la représentation graphique de la surface d’équation z = g(x, y) dans un repère orthonormé
O;~i,~j,~k .
1. Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d’équation x = 12, parallèle au plan O ; ~j, ~k ?
Justifier la réponse.
2. Montrer que g(x, y) représente en fonction des dimensions x et y l’aire S, exprimée en dm2 , de la surface
vitrée de l’aquarium.
3. On suppose pour cette question que x = 12.
a) Calculer l’aire de la surface vitrée de l’aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
b) Déterminer, à l’aide du graphique, les valeurs de y pour lesquelles l’aire est comprise entre 400 et
500 dm2 .
c) Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
800
700
700-800
600-700
500-600
400-500
300-400
200-300
100-200
0-100
600
500
z 400
300
200
20
16
100
12
8
0
0
2
4
6
8
10
y
A. YALLOUZ (MATH@ES)
x
4
12
14
16
18
20
0
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Tle ES 1
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
(D’après sujet bac La Réunion 2009)
EXERCICE 8
Une usine produit deux types E et F de moteurs.
Le bénéfice B, exprimé en milliers d’euros, pour une production journalière de x moteurs E et y moteurs F est :
B(x ; y) = −0,05x2 − 0,08y2 + 0,6x + 0,7y.
On admet que la production totale est vendue et que 0 6 x 6 10 ; 0 6 y 6 8.
1. Calculer le bénéfice réalisé avec :
a) Une production de 7 moteurs E et de 5 moteurs F.
b) Une production de 10 moteurs E et aucun moteur F.
2. La fonction B est représentée par la surface S (figure ci-dessous).
L’usine veut obtenir un bénéfice dépassant 3000 C. Par lecture graphique de B :
a) Si l’usine fabrique 6 moteurs F, indiquer le nombre de moteurs E qu’il faut produire pour atteindre cet
objectif. Préciser les différentes possibilités.
b) Si l’usine fabrique 8 moteurs E, indiquer le nombre de moteurs F qu’il faut produire pour atteindre cet
objectif. Préciser les différentes possibilités.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DU BÉNÉFICE
B
z : bénéfice (en milliers d’euros)
4
3
2
3-4
2-3
1-2
0-1
1
0
0
1
2
3 4
5
x : no
mbre
de
6 7
moteu
rs E
8
9
10 8
7
6
y:
4
3
2
urs
mote
e
d
bre
nom
5
1
0
F
3. La demande contraint l’usine à fabriquer autant de moteurs E que de moteurs F. Dans ce cas :
a) Exprimer, en fonction de x, le bénéfice B réalisé, lorsque x varie de 0 à 8.
b) Déterminer la production permettant de réaliser le bénéfice maximal.
Calculer ce bénéfice maximal exprimé en euros.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
165
Chapitre 13
THÉORIE DES GRAPHES
Sommaire
Activités : Introduction . . . . . . . . . . . . . .
I
graphes premières définitions . . . . . . . .
1
définitions . . . . . . . . . . . . . . .
2
degré d’un sommet . . . . . . . . . .
3
représentation matricielle d’un graphe
4
graphes isomorphes . . . . . . . . . .
Activités : Chaîne eulérienne . . . . . . . . . . .
II
chaînes, cycles ; connexité . . . . . . . . . .
1
définitions . . . . . . . . . . . . . . .
2
chaînes de longueur donnée . . . . .
3
connexité . . . . . . . . . . . . . . .
4
cycle eulérien . . . . . . . . . . . . .
III coloration des sommets d’un graphe . . . .
1
nombre chromatique . . . . . . . . .
2
encadrement du nombre chromatique
3
Coloration gloutonne . . . . . . . . .
IV plus court chemin . . . . . . . . . . . . . .
1
graphe pondéré . . . . . . . . . . . .
2
longueur d’un chemin . . . . . . . .
3
algorithme de dijkstra . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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167
167
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170
171
172
173
173
173
174
175
177
177
177
178
179
179
179
180
182
166
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
ACTIVITÉ
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
1
Mr et Mme X assistent à une réunion. Il y a trois autres couples dans l’assistance et plusieurs poignées de mains
ont été échangées.
Personne ne serre sa propre main et les époux ne se serrent pas la main.
Deux personnes quelconques de l’assemblée se serrent la main au plus une fois.
Mr X constate que les autres personnes ont échangé des poignées de mains en nombres tous distincts.
Combien de poignées de mains Mr et Mme X ont-ils échangé avec les autres membres de la réunion ?
ACTIVITÉ
2
On a un groupe de 20 personnes. Si deux personnes se connaissent, elles se serrent la main. Si deux personnes
ne se connaissent pas, elles ne se serrent pas la main.
Que pensez vous de la conjecture suivante : « on peut trouver dans le groupe deux personnes qui serrent le
même nombre de mains » ?
ACTIVITÉ
3
Comment tracer cinq segments sur une feuille, de telle manière que chaque segment en coupe exactement trois
autres ?
I
GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS
De manière générale, un graphe est un ensemble de sommets et d’arêtes (ou arcs) reliant ces sommets.
Il existe différents types de graphes, orientés ou non, ou autorisant plusieurs arcs entre deux sommets.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Graphe G1
1
b
b
b
b
b
Graphe G2
Graphe G3
Graphe G4
DÉFINITIONS
Un graphe non orienté G = (S,A) est déterminé par la donnée de deux ensembles :
– un ensemble fini non vide S dont les éléments sont appelés sommets
– un ensemble A de paires de sommets appelées arêtes.
Si S = {x1 ,x2 , · · · ,xn } est l’ensemble des sommets d’un graphe G, une arête a de l’ensemble A s’écrit a = {xi ,x j }
où xi et x j sont les extrémités de a.
Les sommets xi et x j sont alors adjacents dans le graphe G et on dit qu’ils sont incidents avec l’arête a.
Lorsque les deux extrémités sont confondues (xi = x j ) l’arête s’appelle une boucle.
Deux arêtes sont dites parallèles lorsqu’elles ont mêmes extrémités.
ORDRE D ’ UN GRAPHE
On appelle ordre d’un graphe le nombre (n) de sommets de ce graphe.
Par exemple :
les graphes G1 et G2 sont d’ordre 4 ; le graphe G3 est d’ordre 5 et le graphe G4 est d’ordre 7.
GRAPHE SIMPLE
Un graphe est dit simple si deux sommets distincts sont joints par au plus une arête et s’il est sans boucle.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
167
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
GRAPHE ORIENTÉ
Un graphe peut être orienté une arête est alors appelée un arc. Un arc est défini par un couple ordonné (xi ,x j )
de sommets.
REMARQUE
À tout graphe orienté, on peut associer un graphe simple.
Par exemple sur un plan de ville où sont indiquées les rues en sens uniques, un piéton ne tiendra pas compte de
l’orientation pour se déplacer.
b
b
b
b
b
b
on associe le graphe
simple
Au graphe orienté
b
b
b
b
SOUS GRAPHE
Il arrive que dans certains problèmes on ait besoin de considérer une partie d’un graphe :
G′ = (S′ ,A′ ) est un sous-graphe de G = (S,A) si S′ est un sous ensemble de S et A′ un sous ensemble de A tel
que les extrémités des arêtes de A′ sont des sommets de S′ .
Si A′ est constitué de toutes les arêtes de A ayant pour extrémités les sommets de S′ alors on dit que G′ = (S′ ,A′ )
est le sous-graphe engendré par S′ .
EXEMPLE
s1
b
b
s5
s4
s6
s2
s5
s6
b
s4
b
b
s6
b
s5
b
b
b
s7
b
b
s7
s3
s4
b
b
b
b
s7
b
s3
b
s3
Graphe G
G2 est le sous graphe de G
engendré par {S3 ,S4 ,S5 ,S6 ,S7 }
G1 est un sous graphe de G
GRAPHE COMPLET
Un graphe complet Kn est un graphe simple d’ordre n > 1 dont tous les sommets sont deux à deux adjacents.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
K3
A. YALLOUZ (MATH@ES)
b
b
b
Deux représentations du K4
b
b
b
K5
168
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
2
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
DEGRÉ D ’ UN SOMMET
On appelle degré d’un sommet le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité (les boucles étant comptées
deux fois). Ce degré vaut 0 si le sommet est isolé.
EXEMPLE
Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont :
d (s1 ) = 2
d (s2 ) = 4
d (s3 ) = 2
d (s4 ) = 3
d (s5 ) = 2
d (s6 ) = 1
d (s7 ) = 0
b
s1
s2
b
s5
s6
b
b
b
b
s4
s7
b
s3
DEGRÉ D ’ UN SOMMET DANS UN GRAPHE ORIENTÉ
Soit s un sommet d’un graphe orienté G.
– On note d + (s) le degré extérieur du sommet s, c’est-à-dire le nombre d’arcs ayant s comme extrémité initiale.
– On note d − (s) le degré intérieur du sommet s, c’est-à-dire le nombre d’arcs ayant s comme extrémité finale.
Le degré du sommet s est :
d(s) = d + (s) + d − (s)
EXEMPLE
Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont :
d + (s1 ) = 2 et d − (s1 ) = 1 d’où d (s1 ) = 3
d + (s2 ) = 2 et d − (s2 ) = 3 d’où d (s2 ) = 5
d + (s3 ) = 1 et d − (s3 ) = 4 d’où d (s3 ) = 5
d + (s4 ) = 2 et d − (s4 ) = 1 d’où d (s4 ) = 3
d + (s5 ) = 2 et d − (s5 ) = 1 d’où d (s5 ) = 3
d + (s6 ) = 1 et d − (s6 ) = 0 d’où d (s6 ) = 1
s1
b
b
s6
s2
b
b
s4
b
b
s5
s3
REMARQUE
Dans un graphe orienté, la somme des degrés extérieurs et la somme des degrés intérieurs sont égales au nombre
d’arcs.
Si on note a le nombre d’arcs d’un graphe orienté alors ∑ d + (s) = ∑ d − (s) = a.
Par exemple si dans une réunion on échange des cadeaux, le nombre de cadeaux offerts est égal au nombre de
cadeaux reçus, c’est le nombre de cadeaux échangés.
THÉORÈME
La somme des degrés de tous les sommets d’un graphe est égale à deux fois le nombre d’arêtes de ce graphe ;
c’est donc un nombre pair.
Démonstration
Lorsqu’on additionne les degrés des sommets, une arête est comptée deux fois, une fois pour chaque extrémité.
COROLLAIRE
Dans un graphe, le nombre de sommets impairs est un entier pair.
Démonstration
A. YALLOUZ (MATH@ES)
169
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
Soit p la somme des degrés des sommets pairs et m la somme des degrés des sommets impairs.
m + p est égal à la somme des degrés des sommets c’est donc un nombre pair donc m est un nombre pair.
Or une somme d’entiers impairs est paire si, et seulement si, il y a un nombre pair de termes.
On en déduit que le nombre de sommets impairs est un entier pair.
PROPOSITION
Dans un graphe simple d’ordre n > 1, il existe deux sommets distincts si et s j ayant le même degré.
Démonstration
Soit G un graphe simple d’ordre n > 1. Le degré d’un sommet s quelconque du graphe G est un entier d(s) tel
que : 0 6 d(s) 6 n − 1.
Supposons que les degrés des sommets soient différents.
Les degrés des n sommets sont les entiers {0,1, · · · ,n − 1} et il existe un sommet si de degré 0 et un sommet s j
de degré n − 1.
Or si d (s j ) = n − 1 cela signifie qu’il est adjacent à tous les sommets du graphe et en particulier au sommet si
donc d (si ) > 1
Ce qui est en contradiction avec d (si ) > 0.
3
REPRÉSENTATION MATRICIELLE D ’ UN GRAPHE
Soit G = (S,A) un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n.
La matrice d’adjacence de G est égale à la matrice carrée M = (mi j ) de dimension n × n où mi j est égal au
nombre d’arêtes d’extrémités les sommets si et s j .
Dans le cas d’un graphe orienté, mi j est égal au nombre d’arcs ayant pour origine le sommet si et pour extrémité
finale le sommet s j .
EXEMPLES
1.
b
s1
b
s2
G1
b
s4
b
s3
2.

1

1
La matrice d’adjacence du graphe orienté G1 est M (G1 ) = 
1

0
1
0
1
0
0
0
0
1

0

0

0

0
1
0
1
0
1
1
0
1

0

0

1

0
s1
b
b
s2
G2
b
b
s3
REMARQUES
s4

0

1
La matrice d’adjacence du graphe simple G2 est M (G2 ) = 
1

0
1. La matrice d’adjacence d’un graphe non orienté est symétrique.
2. La diagonale de la matrice d’adjacence d’un graphe simple ne comporte que des 0.
3. La demi somme de tous les coefficients de la matrice d’adjacence d’un graphe non orienté est égale au
nombre d’arêtes de ce graphe.
4. La somme de tous les coefficients de la matrice d’adjacence d’un graphe orienté est égale au nombre d’arcs
de ce graphe.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
170
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
– La somme des coefficients de la ligne i est égale au nombre de successeurs du sommet si .
– La somme des coefficients de la colonne i est égale au nombre de prédécesseurs du sommet si .
4
GRAPHES ISOMORPHES
Deux graphes isomorphes ont la même structure : peu importe la façon dont ils sont dessinés, il est possible de
déplacer les sommets pour que l’un soit la copie conforme de l’autre.
EXEMPLE
Considérons les trois graphes ci-dessous :
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
A
b
b
C
b
b
b
Les trois graphes ont le même ordre (6), le même nombre d’arêtes (9) et les sommets des trois graphes sont
tous de degré 3.
Or dans B il y a deux sous graphes complets d’ordre 3 ce qui n’est pas le cas pour les graphes A et C. Donc B
n’est pas isomorphe à A et C.
Montrons que les graphes A et C sont isomorphes.
a3
a2
b
a4
c1
b
b
b
b
A
c3
b
c5
b
a1
C
b
a5
b
a6
b
b
b
c2
c4
c6
Les sommets étant numérotés comme indiqué ci-dessus les deux graphes ont la même matrice d’adjacence :


0 1 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0


0 1 0 1 0 1


MA = MC = 

1 0 1 0 1 0


0 1 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0
Donc A et C sont isomorphes.
REMARQUES
– Le graphe B est planaire : on peut le dessiner sans que ses arêtes se croisent.
– Le graphe C (ou A) est un graphe biparti : il existe une partition de son ensemble S de sommets en deux
sous-ensembles X et Y telle que chaque arête du graphe a une extrémité dans X et l’autre dans Y .
Ce n’est pas un graphe planaire, il est impossible de le dessiner sans que ses arêtes se croisent.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
171
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
ACTIVITÉ
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
1
Voici le plan de trois étages d’un musée. À chaque étage, un visiteur se rend compte qu’il peut choisir un
itinéraire passant une seule fois par chaque pièce.
Pour chacun des étages :
Est-il possible de faire le tour de l’étage en passant exactement une seule fois par chacune des portes ?
Dans ce cas, où faut-il placer les portes d’entrée et de sortie de l’étage pour que ce parcours reste possible ?
1er étage
2e étage
3e étage
ACTIVITÉ
2
Voici un plan de la ville de Königsberg :
e
d
C
c
A
B
g
b
D
f
a
Est-il possible de se promener en ne passant qu’une seule fois sur chacun des sept ponts ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
172
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
II
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
CHAÎNES , CYCLES ; CONNEXITÉ
Les graphes sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes associés à des parcours ou à des successions
d’actions. Pour cela, on introduit la notion de chaîne.
1
DÉFINITIONS
Soit G = (S,A) un graphe non orienté. Une chaîne est une liste finie et alternée de sommets et d’arêtes, débutant
et finissant par des sommets, telle que chaque arête est incidente avec les sommets qui l’encadrent dans la liste.
Le premier et le dernier élément de la liste sont les extrémités initiale et finale de la chaîne.
Si le graphe est simple, on peut définir une chaîne par la liste de ses sommets ou de ses arêtes.
1. La longueur d’une chaîne est égale au nombre d’arêtes qui la composent.
2. Une chaîne dont toutes les arêtes sont distinctes est une chaîne simple.
3. Une chaîne dont tous les sommets (sauf peut-être les extrémités) sont distincts est une chaîne élémentaire.
4. Une chaîne est fermée si l’origne et l’extrémité finale de la chaîne sont confondues.
5. Une chaîne fermée est un cycle si elle est composées d’arêtes toutes distinctes.
REMARQUE
Les défnitions précédentes, peuvent être transposées au cas des graphes orientés.
On parlera de chaîne orientée ou chemin et de cycle orienté ou circuit.
s2
EXEMPLE
Dans le graphe ci-contre :
– La chaîne {s0 ; s1 ; s0 ; s2 ; s0 ; s3 ; s0 ; s4 ; s0 ; s5 ; s0 } est une chaîne fermée de
longueur 10.
– La chaîne {s1 ; s2 ; s3 ; s0 ; s4 ; s5 } est une chaîne élémentaire de longueur 5.
– La chaîne {s1 ; s2 ; s0 ; s3 ; s4 ; s0 ; s5 ; s1 } est un cycle de longueur 7.
2
b
s3
b
b
s1
b
s0
b
s4
b
s5
CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE
NOMBRE DE CHAÎNES
Soit G un graphe et M sa matrice d’adjacence.
Le nombre de chaînes de longueur n joignant le sommet i au sommet j est donné par le terme d’indice i, j de la
matrice M n .
DISTANCE
Soit G un graphe ; si x et y sont deux sommets de G, la distance de x à y notée d(x,y), est la longueur d’une plus
courte chaîne de G reliant x à y.
REMARQUES
– La distance d’un sommet à lui même est nulle.
– S’il n’existe pas de chaînes joignant deux sommets x et y, la distance de x à y est infinie.
DIAMÈTRE
On appelle diamètre d’un graphe la plus grande des distances entre deux sommets du graphe.
EXEMPLE
A. YALLOUZ (MATH@ES)
173
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
s2


0 1 0 0 0 0


1 0 1 0 0 0
s6
s3


0 1 0 1 1 0
s
1


Soit M = 
 la matrice d’adjacence du graphe G ci-contre
0 0 1 0 1 1


0 0 1 1 0 1


s5
s4
0 0 0 1 1 0
On obtient les nombres de chaînes de longueurs données en calculant les matrices suivantes :






2 0 4 1 1 2
0 2 0 1 1 0
1 0 1 0 0 0






0 6 2 7 7 2
2 0 4 1 1 2
0 2 0 1 1 0






4 2 16 10 10 12
0 4 2 6 6 2
1 0 3 1 1 2






M4 = 
M3 = 
M2 = 



1 7 10 16 15 9
1 1 6 4 5 5
0 1 1 3 2 1






1 7 10 15 16 9
1 1 6 5 4 5
0 1 1 2 3 1






2 2 12 9 9 10
0 2 2 5 5 2
0 0 2 1 1 2
Il y a 3 chaînes fermées de longueur 2 d’origine le sommet s3 , 5 chaînes de longueur 3 entre les sommets s4 et
s6 et 2 chaînes de longueur 4 entre les sommets s1 et s6 .


0 1 2 3 3 4


1 0 1 2 2 3


2 1 0 1 1 2


La matrice des distances entre les différents sommets est D = 
.
3 2 1 0 1 1


3 2 1 1 0 1


4 3 2 1 1 0
Le diamètre du graphe est 4.
b
b
b
b
3
b
b
CONNEXITÉ
Un graphe G est connexe s’il existe au moins une chaîne entre deux sommets quelconques G.
Autrement dit : Un graphe est connexe si on peut atteindre n’importe quel sommet à partir d’un sommet
quelconque en parcourant différentes arêtes
ALGORITHME
L’algorithme suivant permet de déterminer tous les sommets qui peuvent être atteints à partir d’un sommet.
Soit G un graphe et x un sommet de G :
Marquer provisoirement (au crayon) le sommet x ;
TANT _ QUE des sommets sont provisoirement marqués FAIRE
choisir un sommet y provisoirement marqué;
marquer provisoirement les sommets adjacents non marqués;
marquer définitivement (à l’encre) y;
FIN TANT _ QUE
Si tous les sommets sont définitivement marqués alors le graphe est connexe, sinon on a obtenu la classe de
connexité du sommet x.
La figure suivante illustre cet algorithme sur un graphe
A. YALLOUZ (MATH@ES)
174
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
s1
s2
s3
s1
bC
bC
bC
s9
s2
bC
s4
bC
bC
bC
bbC
bC
s5
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
s6
s8
s7
s3
s1
bC
bC
bC
s9
bC
s2
s4
bC
bC
bC
bC
s5
bC
s6
s8
s7
s3
s1
bC
bC
bC
s9
bC
s2
s4
bbC
bC
bC
bC
s5
bC
s6
s8
s7
s3
bC
bC
bC
s9
bC
s4
bC
bC
bC
bC
s5
bC
s6
Le graphe n’est pas connexe, il n’existe pas de chaîne entre les sommets s1 et s2 .
4
CYCLE EULÉRIEN
DÉFINITION
Un cycle eulérien (respectivement une chaîne eulérienne) dans un graphe G est un cycle (respectivement une
chaîne) contenant chaque arête de G une et une seule fois.
THÉORÈME
1
Un graphe connexe admet un cycle eulérien si, et seulement si, tous ses sommets ont un degré pair.
Démonstration
Si le graphe possède 0 ou 1 sommet, la preuve est triviale, nous supposerons donc que l’ordre du graphe est
supérieur ou égal à 2.
Si le graphe connexe admet un cycle eulérien alors en chaque sommet le cycle eulérien « entrant » dans le
sommet doit « ressortir » et comme les arêtes du cycle ne peuvent être utilisées qu’une fois, chaque sommet est
de degré pair.
Réciproquement :
Soit G un graphe connexe dont tous les sommets sont de degré pair.
Comme G possède au moins deux sommets, tous les sommets de G sont de degré supérieur ou égal à 2. Ceci
implique qu’il existe au moins un cycle dans G.
Formons un cycle C1 dans G ( chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes ).
– Si C1 contient toutes les arêtes du graphe alors G admet un cycle eulérien et le théorème est démontré.
– Dans le cas contraire, le sous graphe H de G défini par les arêtes non utilisées par C1 a tous ses sommets de
degré pair, le cycle contenant un nombre pair d’arêtes incidentes pour chaque sommet.
Comme G est connexe, H possède au moins un sommet commun avec le cycle C1 . Soit xi un tel sommet.
Construisons alors, de la même manière que précédemment, un cycle C2 dans H à partir de xi .
En insérant dans le cycle C1 à partir du sommet xi le cycle C2 ,on obtient un cycle C1′ . Si ce cycle contient
toutes les arêtes de G, C1′ est le cycle eulérien cherché.
Sinon, on continue ce processus, qui se terminera car les sommets du graphe G sont en nombre fini.
THÉORÈME
2
Un graphe connexe possède une chaîne eulérienne si, et seulement si, le nombre de sommets de degré impair
est égal à 0 ou 2.
Si le nombre de sommets de degré impair est égal à 2, alors les deux sommets de degré impair sont les extrémités
de la chaîne eulérienne
Démonstration
Soit G un graphe connexe. Si le nombre de sommets de degré impair est nul, alors le graphe G admet un cycle
eulérien.
Si le nombre de sommets de degré impair est égal à 2. Soit si et s j les deux sommets de degré impair.
Le graphe G′ obtenu en ajoutant l’arête si s j au graphe G est connexe et tous ses sommets sont de degré pair. G′
admet un cycle eulérien dont l’origine est le sommet si .
Par conséquent G contient une chaîne eulérienne qui commence en si et se termine en s j .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
175
s8
s7
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Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
ALGORITHME
Les démonstrations précédentes permettent de construire une chaîne eulérienne dans un graphe connexe dont
le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.
SI
deux sommets sont de degré impair ALORS
construire une chaîne simple C ayant pour extrémités ces deux sommets ;
FIN SI
SI
tous les sommets sont de degré pair ALORS
construire un cycle C à partir d’un sommet quelconque ;
FIN SI
marquer les arêtes de C;
TANT _ QUE il reste des arêtes non marquées FAIRE
choisir un sommet x de C;
SI il existe un cycle d’origine x ne contenant aucune des arêtes marquées ALORS
marquer les arêtes du cycle d’origine x;
remplacer dans C le sommet x par le cycle d’origine x;
FIN SI
FIN TANT _ QUE
EXEMPLE
Le cycle {s1 ; s6 ; s5 ; s7 ; s3 ; s4 ; s2 ; s1 } contient tous les sommets du graphe
G ci-contre.
Donc G est connexe.
Il n’y a que deux sommets de degré impair s1 et s5 .
Il existe une chaîne eulérienne commençant d’extrémités s1 et s5 .
s6
s1
bC
s5
bC
bC
s4
bC
s7
bC
s4
bC
s7
bC
s4
bC
s7
bC
s4
bC
s7
bC
s3
s2
ÉTAPE
bC
bC
s6
1
bC
s5
bC
Les deux sommets sont de degré impair sont s1 et s5
On construit une chaîne simple joignant ces deux sommets ;
s1
bC
C = {s1 ; s2 ; s6 ; s3 ; s4 ; s5 }
bC
bC
s3
s2
ÉTAPE
2
Le cycle simple c1 = {s2 ; s4 ; s1 ; s6 ; s5 ; s2 } ne contient aucune des arêtes
de la chaîne C.
On fusionne la chaîne C avec le cycle c1 en remplaçant le sommet s2 dans
la chaîne C par le cycle c1 .
s6
s1
bC
s5
bC
C = {s1 ; s2 ; s4 ; s1 ; s6 ; s5 ; s2 ; s6 ; s3 ; s4 ; s5 }
bC
bC
Il reste encore des arêtes non marquées, on recommence l’étape 2
s2
Le cycle c2 = {s3 ; s7 ; s5 ; s3 } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C.
On fusionne la chaîne C avec le cycle c2 en remplaçant le sommet s3 dans
la chaîne C par le cycle c2 .
s6
s1
bC
s3
bC
s5
bC
bC
C = {s1 ; s2 ; s4 ; s1 ; s6 ; s5 ; s2 ; s6 ; s3 ; s7 ; s5 ; s3 ; s4 ; s5 }
Toutes les arêtes sont marquées C est une chaîne eulérienne.
bC
s2
A. YALLOUZ (MATH@ES)
bC
s3
176
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Année 2010-2011
III
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
COLORATION DES SOMMETS D ’ UN GRAPHE
La coloration des sommets d’un graphe est une fonction qui attribue une couleur à chaque sommet de telle sorte
que deux sommets adjacents n’ont pas la même couleur.
Une k-coloration d’un graphe G est une coloration des sommets de G utilisant k couleurs.
REMARQUE
Un sous-graphe est stable si ses sommets ne sont reliés par aucune arête.
Une coloration avec k couleurs est donc une partition de l’ensemble des sommets en k sous graphes stables.
1
NOMBRE CHROMATIQUE
Le nombre chromatique noté χ (G) d’un graphe est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier
les sommets, de sorte que deux sommets adjacents distincts ne soient pas de la même couleur.
EXEMPLE
Soit E un ensemble de candidats à un examen et X l’ensemble de toutes les épreuves possibles. Tous les
candidats devant passer une épreuve xi la passe ensemble.
Chaque candidat ne passe qu’une épreuve par jour. Quel est le nombre minimum de jours nécessaires pour tous
les candidats passent leurs examens ?
En prenant X comme ensemble de sommets et en traçant une arête entre les sommets xi et x j lorsqu’un candidat
au moins est inscrit aux deux épreuves xi et x j , le problème revient à chercher le nombre chromatique du graphe.
CAS PARTICULIERS
1. Pour le graphe complet Kn , le nombre chromatique est n.
Démonstration
Comme un sommet donné est adjacent aux n − 1 autres sommets, il faut au moins n couleurs pour obtenir
une coloration valide de Kn.
Avec n couleurs (une pour chaque sommet), on obtient une coloration de Kn et χ (Kn ) = n.
2. Le nombre chromatique d’un cycle est 2 si la longueur de ce cycle est paire, 3 si la longueur de ce cycle est
impaire.
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
⊗
bC
bC
bC
bC
bC
Cycle pair
2
bC
bC
bC
bC
Cycle impair
ENCADREMENT DU NOMBRE CHROMATIQUE
On ne connaît pas de formule permettant de déterminer le nombre chromatique d’un graphe quelconque. La
plupart du temps, il faut se contenter d’un encadrement du nombre chromatique.
Soit G est un graphe, on note d(G) le plus grand des degrés des sommets alors : χ (G) 6 d(G) + 1.
Pour tout sous graphe H de G : χ (H) 6 χ (G).
Démonstration
– Soit d(G) le degré maximum des sommets d’un graphe G. Considérons une liste de (d(G) + 1) couleurs.
Chaque sommet x du graphe est adjacent à d(G) sommets au plus, ses voisins utilisent au maximum d(G)
couleurs, le nombre de couleurs déjà utilisées pour colorer ces sommets est donc inférieur ou égal à d(G).
Il reste donc au moins une couleur non utilisée dans la liste de couleurs, avec laquelle nous pouvons colorer
le sommet x. Ainsi, χ (G) 6 d(G) + 1.
– Soit H un sous graphe de G. Si une coloration de H nécessite k couleurs, il en va au moins de même pour le
graphe G et χ (G) > k.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
177
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Année 2010-2011
3
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
C OLORATION GLOUTONNE
Colorier de façon gloutonne un graphe G revient à colorer les sommets de G les uns après les autres avec la
plus petite couleur disponible qui ne soit pas déjà celle d’un sommet adjacent.
ALGORITHME DE WELSH ET POWELL
Soit G un graphe d’ordre n, l’algorithme de Welsh & Powell consiste à colorer le graphe en visitant les sommets
par ordre de degré décroissant.
X est la liste des n sommets triés par ordre de degré décroissant, C est la liste des couleurs utilisées ;
POUR _ CHAQUE sommet x ∈ X FAIRE
POUR _ CHAQUE couleur c de la liste C dans l’ordre de création FAIRE
SI le sommet x n’est adjacent à aucun sommet colorié par c ALORS x est colorié avec la couleur c;
FIN POUR _ CHAQUE
SI
le sommet x n’est pas colorié ALORS
on ajoute une nouvelle couleur c′ à la liste C des couleurs;
le sommet x est colorié avec la couleur c′ ;
FIN SI
FIN POUR _ CHAQUE
EXEMPLE
On dresse la liste X des sommets rangés par ordre de degré décroissant
X = {s1 ; s4 ; s2 ; s3 ; s5 ; s6 ; s7 ; s8 }
La liste C des couleurs utilisées est vide C = {∅}
ÉTAPE
1
3
Le sommet s2 est adjacent au sommet s1 , il ne reçoit pas la couleur c1
On ajoute la couleur c2 à la liste des couleurs C = {c1 ; c2 }
On attibue la couleur c2 au sommet s2
ÉTAPE
bC
bC
bC
bC
s1
s2
s3
s4
s8 bC
bC s5
bC s6
bC
bC
bC
bC
s1
s2
s3
s4
s8 bC
bC s5
s7 bC
bC s6
2
Le sommet s4 n’est pas adjacent au sommet s1 , il reçoit la couleur c1
ÉTAPE
bC s6
s7 bC
Le sommet s1 n’est pas colorié.
On ajoute la couleur c1 à la liste des couleurs C = {c1 }
On attibue la couleur c1 au sommet s1
ÉTAPE
s7 bC
4
Le sommet s3 est adjacent aux sommets s4 et s2 , il ne peut recevoir les
couleurs c1 ou c2
On ajoute la couleur c3 à la liste des couleurs C = {c1 ; c2 ; c3 }
On attibue la couleur c3 au sommet s3
ÉTAPES
bC
bC
bC
bC
s1
s2
s3
s4
s8 bC
bC s5
s7 bC
bC s6
bC
bC
bC
bC
s1
s2
s3
s4
s8 bC
bC s5
s7 bC
bC s6
bC
bC
s1
s2
⊗
s
3
bC
s4
s8 bC
bC s5
s7 bC
bC s6
5-6-7-8
À chaque passage, les sommets s5 , s6 , s7 , s8 peuvent recevoir la couleur c2
bC
bC
s1
s2
⊗
s
3
bC
s4
s8 bC
bC s5
L’algorithme donne une coloration avec 3 couleurs alors que deux couleurs suffisent
A. YALLOUZ (MATH@ES)
178
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
s7 bC
bC s6
bC
bC
bC
bC
s1
s2
s3
s4
s8 bC
IV
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
bC s5
PLUS COURT CHEMIN
La recherche du meilleur itinéraire que ce soit en distance, en temps ou en coût d’un point à un autre peut être
modélisée par la recherche du plus court chemin dans un graphe.
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à la recherche d’un plus court chemin dans un graphe entre deux sommets
donnés.
1
GRAPHE PONDÉRÉ
On appelle graphe pondéré, un graphe (orienté ou non) dont les arêtes ont été affectées d’un nombre appelé
poids (ou coût).
Par analogie avec la matrice d’adjacence, on peut définir la matrice des poids P (ai, j ) du graphe, dont les
coefficients ai, j correspondent aux poids des arêtes (ou des arcs dans le cas d’un graphe orienté) :


0
ai, j = ∞


pi j
si i = j
s’il n’existe pas d’arêtes ( ou d’arc) entre les sommets xi et x j
où pi j est le poids de l’arête ( ou de l’arc) entre les sommets xi et x j
On utilise le symbole ∞ pour indiquer qu’il n’y a pas d’arêtes entre deux sommets.
EXEMPLE
8
A
B
b
b
3
7
E
11
b
4
b
10
F
6
2
11
12
1
3
b
D
2
b
3
C
Les sommets du graphe étant rangés dans l’ordre
alphabétique :


0 8 ∞ ∞ 3 ∞


 7 0 2 ∞ ∞ 10


∞ 6 0 3 ∞ ∞ 


P=

11 ∞ ∞ 0 ∞ 3 


∞ 4 ∞ 12 0 ∞


∞ ∞ 1 ∞ 11 0
LONGUEUR D ’ UN CHEMIN
Soit C(x,y) un chemin (ou une chaîne) dans un graphe pondéré G du sommet x vers le sommet y. La longueur
de ce chemin est égale à la somme des poids de chacun arcs ( ou de chacune des arêtes) qui le constituent.
REMARQUE
Cette définition généralise la définition de la longueur d’une chaîne dans un graphe non pondéré, il suffit
d’attribuer un poids égal à 1 à chaque arête du graphe.
Dans l’exemple précédent, la longueur du chemin AEBF est 17.
Si on souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F, on peut essayer d’énumérer tous
les chemins ABF, AEBF, AEDF, ABCDF, AEBCDF et calculer leurs longueurs. Mais avec un graphe de taille
plus importante, ceci risque de devenir rapidement impossible.
Pour résoudre ce problème, on fait appel à des algorithmes.
En terminale ES, on n’étudie que le cas particulier où les poids de tous les arcs sont des réels positifs.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
179
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Année 2010-2011
3
THÉORIE DES GRAPHES
Tle ES 1
ALGORITHME DE DIJKSTRA
E. W. Dijkstra (1930-2002) a proposé en 1959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre
un sommet particulier et tous les autres dans un graphe pondéré dont tous les poids sont positifs.
L’algorithme comporte une phase d’initialisation. À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le
sommet de départ et infini pour les autres sommets.
Le traitement de l’algorithme consiste à examiner les sommets les uns après les autres et à sélectionner le
sommet x auquel on a affecté la plus petite distance du sommet de départ jusqu’à x.
On recommence tant qu’il reste des sommets à sélectionner.
Soit G un graphe connexe dont les arêtes sont pondérées par des nombres positifs.
Notations :
– S la liste des sommets du graphe et s le sommet du graphe à partir duquel on veut déterminer les plus courts
chemins aux autres sommets.
– l(x,y) le poids de l’arête entre deux sommets x et y
– δs (x) la longueur d’un chemin du sommets s au sommet x
– V + (x) la liste des successeurs du sommet x
– p(x) le prédécesseur du sommet x
– X liste des sommets restant à traiter.
– E liste des sommets déjà traités.
I NITIALISATION :
x∈S
Poser δs (s) = 0;
X = S;
E = ∅;
POUR _ CHAQUE
FAIRE
δs (x) = ∞;
T RAITEMENT :
X 6= ∅ FAIRE
Choisir dans X le sommet x avec δs (x) minimum;
Retirer x dans X et l’ajouter à E;
+
POUR _ CHAQUE y ∈ V (x) ∩ X FAIRE
// on examine tous les successeurs de x qui ne sont pas traités
SI δs (y) > δs (x) + l(x,y) ALORS
poser δs (y) = δs (x) + l(x,y);
p(y) = x ;
TANT _ QUE
FIN SI
FIN POUR _ CHAQUE
FIN TANT _ QUE
A. YALLOUZ (MATH@ES)
180
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Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
EXEMPLE
Considérons le graphe suivant :
8
Ab
Bb
3
7
E
11
b
4
b
10
F
6
2
11
12
1
3
b
b
D
C
3
On souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F.
A
B
C
D
E
F
0
∞
∞
∞
∞
∞
8(A)
7(E)
∞
∞
9(B)
∞
15(E)
2(A)
∞
∞
Sommets
sélectionnés
A(0)
Initialisation ;
δ (A) = 0 A est sélectionné.
E(3)
B et E sont les successeurs de A qui ne sont pas traités ;
0 + 8 < ∞ donc δ (B) = 8 et p(B) = A ;
0 + 3 < ∞ donc δ (E) = 3 et p(E) = A ;
δmin = 3, Le sommet E est sélectionné.
B(7)
B et D sont les successeurs de E qui ne sont pas
traités ;
3 + 4 < 8 donc δ (B) = 7 et p(B) = E ;
3 + 12 < ∞ donc δ (D) = 15 et p(D) = E ;
δmin = 7, Le sommet B est sélectionné.
15(E)
17(B)
C(9)
C et F sont les successeurs de B qui ne sont pas traités ;
9 + 2 < ∞ donc δ (C) = 9 et p(C) = B ;
9 + 10 < ∞ donc δ (F) = 10 et p(F) = B ;
δmin = 9, Le sommet C est sélectionné.
12(C)
17(B)
D(12)
D est le successeur de C qui n’est pas traité ;
9 + 3 < 15 donc δ (D) = 12 et p(D) = C ;
δmin = 12, Le sommet D est sélectionné.
15(D)
F(15)
F est le successeur de D qui n’est pas traité ;
12 + 3 < 17 donc δ (F) = 15 et p(F) = D ;
Le sommet F est le dernier sommet traité.
– L’algorithme de Dijkstra fournit les longueurs des plus courts chemins du sommet origine aux différents
sommets.
– Pour déterminer le plus court chemin du sommet origine à un sommet x, il suffit de remonter la liste des
prédécesseurs en partant de x.
Ainsi, le plus court chemin de A à F est un chemin de longueur 15.
Comme F ←− D ←− C ←− B ←− E ←− A on obtient que le plus court chemin de A à F est A E B C D F.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
181
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
EXERCICE 1
Pour chacune des listes suivantes, déterminer s’il existe un graphe simple admettant cette liste pour liste des
degrés des sommets. S’il existe un tel graphe, le dessiner, sinon expliquer pourquoi.
1. (2,3,3,4,4,5)
2. (1,1,1,3)
3. (1,1,2,4,4)
4. (2,3,3,4,5,6,7)
EXERCICE 2
Quel est le nombre d’arêtes du graphe simple G si la liste des degrés des sommets est (2,2,3,3,4) ?
EXERCICE 3
Dans un graphe simple d’ordre n, quel est le nombre maximal d’arêtes ?
EXERCICE 4
Que penser des deux propositions suivantes ?
1. « Dans une réunion il y a toujours deux personnes qui connaissent le même nombre de personnes présentes
à cette réunion » ?
2. « Dans une réunion il y a toujours deux personnes qui saluent le même nombre de personnes présentes à
cette réunion » ?
EXERCICE 5
Un graphe est « planaire » si on peut le dessiner dans le plan sans que deux arêtes se croisent.
Les graphes suivants sont-ils planaires ?
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
G1
b
b
b
b
G2
G3
b
G4
EXERCICE 6
Trouver deux graphes d’ordre 5 qui ne sont pas isomorphes et dont les degrés des sommets sont donnés par la
liste (1,2,2,2,3).
EXERCICE 7
Les graphes simples suivants sont-ils isomorphes ?
b
b
b
b
b
b
b
b
et
1.
A
b
b
A. YALLOUZ (MATH@ES)
b
b
b
B
b
b
b
182
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b
b
b
b
2.
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
b
b
b
et
b
b
b
D
C
b
b
b
b
b
b
b
3.
b
b
b
b
b
b
b
et
b
E
b
b
b
b
b
F
b
b
b
b
EXERCICE 8
Le calendrier d’un tournoi opposant 20 équipes doit être aménagé.
Les rencontres qui doivent encore être jouées sont représentées par le graphe ci-dessous.
Une arête entre les sommets Ei et E j signifie que les deux équipes Ei et E j doivent jouer un match.
Plusieurs matchs peuvent avoir lieu le même jour.
Combien de journées au minimum faut-il pour terminer le tournoi ? Proposer un calendrier des différentes
rencontres.
E6
bC
E17
E12
bC
E1
bC
bC
bC
E13
E14
bC
E3
E11
bC
bC
bC
E19
bC
bC
bC
E5
E4
bC
bC
E7
bC
E16
E8
E20
bC
bC
bC
E15
E18
E2
bC
E10
bC
E9
a
EXERCICE 9
b
On considère le graphe ci-contre :
1. Combien de chaînes fermées de longueur 5 possède-t-il ?
b
2. Combien de cycles possède-t-il ?
3. Dénombrer toutes les chaînes élémentaires ayant pour extrémités a et b.
b
b
A. YALLOUZ (MATH@ES)
b
b
b
183
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Année 2010-2011
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
EXERCICE 10
On considère des dominos dont les faces sont numérotées 0, 1, 2, 3 ou 4.
1. a) En excluant les dominos doubles, de combien de dominos dispose-t-on ?
b) Montrez que l’on peut arranger ces dominos de façon à former une boucle fermée (en utilisant la règle
habituelle de contact entre les dominos).
c) Pourquoi n’est-il pas nécessaire de considérer les dominos doubles ?
2. Avec des dominos dont les faces sont numérotées de 0 à n, est-il toujours possible de les arranger de façon
à former une boucle fermée ?
EXERCICE 11
Pour chacun des graphes suivants, existe-t-il un cycle eulérien ? une chaîne eulérienne ?
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
Graphe H
Graphe G
Graphe I
EXERCICE 12
Dans un graphe connexe G, une chaîne hamiltonienne est une chaîne qui passe par chaque sommet de G
exactement une fois. Si cette chaîne est un cycle on dira que c’est un cycle hamiltonien.
La recherche d’une chaîne hamiltonienne est la modélisation du problème du voyageur de commerce (trouver
un chemin incluant chaque ville de sa tournée une et une seule fois)
1. Vérifier que le graphe ci-dessous possède au moins un cycle hamiltonien.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2. Dans chacun des cas suivants, dessiner un graphe G connexe d’ordre au moins 5 tel que :
a) G possède à la fois un cycle hamiltonien et un cycle eulérien.
b) G possède un cycle hamiltonien et pas de cycle eulérien.
c) G possède un cycle eulérien et pas de chaîne hamiltonienne.
d) G n’admet ni chaîne eulérienne ni chaîne hamiltonienne
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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EXERCICE 13
Est-il possible d’avoir un graphe qui possède un cycle eulérien si la liste des degrés des sommets est (6,6,4,2,2,2,2) ?
EXERCICE 14
Un graphe G est biparti s’il existe une partition de son ensemble S de sommets en deux sous-ensembles X et Y
telle que chaque arête de G a une extrémité dans X et l’autre dans Y .
Parmi les graphes suivants lesquels sont bipartis ?
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
bC
Graphe H
Graphe G
Graphe I
bC
bC
Graphe J
EXERCICE 15
On considère le graphe G ci-dessous. On note γ son nombre chromatique.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1. Donner un encadrement du nombre chromatique.
2. Donner une coloration de ce graphe.
3. En déduire la valeur du nombre chromatique de G .
EXERCICE 16
On considère le graphe G ci-dessous. On note χ son nombre chromatique.
s3
s4
bC
bC
bC s2
s5 bC
bC
s6 bC
bC
s7
s1
bC
s8
1. Donner un encadrement du nombre chromatique.
2. En utilisant l’algorithme de Welsh & Powell, donner une coloration de ce graphe.
3. Peut-on en déduire la valeur du nombre chromatique de G ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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EXERCICE 17
Un examen comporte outre les matières communes, huit matières optionnelles.
Les options suivies par les 22 groupes d’étudiants sont données dans le tableau suivant (une croix indique que
le groupe d’étudiants Gx suit l’option Oy ).
O1
G1
G2
G3
x
x
x
O2
O3
O4
G5
G6
G7
x
x
x
x
G8
G9
G10 G11 G12 G13 G14 G15 G16 G17 G18 G19 G20 G21 G22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
O7
x
x
x
x
O8
x
x
x
O5
O6
G4
x
x
x
x
x
x
x
x
Une épreuve occupe une demi-journée. Comment organiser les épreuves des matières optionnelles de façon
qu’aucun étudiant n’ait à passer deux épreuves en même temps et cela sur une durée miminale ?
EXERCICE 18
1. Comment colorier cette carte de telle manière que deux régions frontalières aient des couleurs différentes.
Combien de couleurs au minimum faut-il prévoir ?
D
C
E
B
A
H
G
F
2. On s’intéresse aux frontières séparant ces régions.
Peut-on visiter toutes ces régions en franchissant une et une seule fois chacune des frontières ? Si oui,
proposer un parcours possible.
EXERCICE 19
(D’après sujet bac Polynésie 2006)
Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela
conduit au graphe G suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes :
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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D
C
E
B
F
A
G
1. Le graphe G est-il complet ? Quel est l’ordre de G ?
2. a) Sur les cartes d’embarquement, la compagnie attribue à chaque aéroport une couleur, de sorte que deux
aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes.
Proposer un coloriage adapté à cette condition.
b) Que peut-on en déduire sur le nombre chromatique de G ?
3. a) Quelle est la nature du sous graphe formé par les sommets A, B, C et D ?
b) Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser pour pouvoir attribuer une couleur
à chaque aéroport en respectant les conditions du 2. ?
4. a) En considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, construire la matrice M associée à G .
b) On donne :

6 945

9 924

8 764


M 8 = 8 764

9 358


3 766
5 786
9 924
14 345
12 636
12 636
13 390
5 486
8 310
8 764
12 636
11 178
11 177
11 807
4 829
7 369
8 764
12 636
11 177
11 178
11 807
4 829
7 369
9 358
13 390
11 807
11 807
12 634
5 095
7 807
3 766
5 486
4 829
4 829
5 095
2 116
3 181
Combien y a-t-il de chemins de longueurs 8 qui relient B à D ?

5 786

8 310

7 369


7 369

7 807


3 181
4 890
5. a) Pourquoi est-il impossible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne
une et une seule fois ?
b) Montrer qu’il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n’existe pas déjà
et que l’on précisera.
(D’après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007)
EXERCICE 20
PARTIE I
Le graphe suivant représente le plan d’une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes
et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.
A
B
D
C
E
F
1. Donner l’ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
2. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre
réponse.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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PARTIE II
Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.
A
B
D
C
E
F
1. Écrire la matrice M associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l’ordre alphabétique).
2. a) Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?
b) Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ?
(D’après sujet bac Amérique du Nord 2007)
EXERCICE 21
PREMIÈRE PARTIE
: Étude d’un graphe
B
F
A
Z
D
C
E
Y
G
H
On considère le graphe ci-dessus.
1. a) Ce graphe est-il connexe ?
b) Déterminer le degré de chacun des sommets.
On pourra donner le résultat sous forme de tableau.
c) Justifier l’existence d’une chaîne eulérienne.
2. a) Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
b) Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.
DEUXIÈME PARTIE
: Visite d’un musée
Boutique
A
B
D
C
E
F
Accueil
G
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H
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Voici le plan d’un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l’accueil, visitent
le musée et doivent terminer leur visite à la boutique.
1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets.
2. a) Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les
portes ?
b) Donner un exemple d’un tel circuit.
3. Comment colorier les salles y compris l’accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour
que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?
(D’après sujet bac Antilles-Guyanne 2009)
EXERCICE 22
On considère le graphe G suivant :
B
F
E
C
A
D
1. Le graphe G est-il connexe ? Expliquer la réponse.
2. Le graphe G admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui, en préciser une.
3. Justifier la non-existence d’un cycle eulérien pour le graphe G . Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe
pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien ?
4. Déterminer un encadrement du nombre chromatique du graphe G . Justifier la réponse.
5. Déterminer alors ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche.
6. Déterminer la matrice M associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique).


4 10 8 10 6 5
10 6 11 6 11 10


 8 11 8 11 11 6

7. On donne M 3 = 
10 6 11 6 11 10


 6 11 11 11 8 8
5 10 6 10 8 4
Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet A et aboutissant au sommet F. Citer alors
toutes ces chaînes.
EXERCICE 23
Le graphe ci-dessous indique les différentes liaisons entre plusieurs lieux. Le long de chaque arête figure la
distance en kilomètres séparant les différents lieux.
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à L.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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THÉORIE DES GRAPHES
A
10
B
2
C
5
D
2
8
3
5
1
3
2
E
6
F
3
G
10
H
1
4
2
6
8
9
3
I
2
J
k
3
L
EXERCICE 24
Exécuter l’algorithme de Dijkstra sur le graphe suivant, à partir du sommet F, puis à partir du sommet A.
A
b
19
3
b
B
b
13
26
b
G
5
C
F
5
b
18
b
2
4
5
7
6
b
H
E
14
b
D
EXERCICE 25
Sur la carte ci-dessous, sont représentés sept pays avec leurs frontières.
B
A
E
C
D
F
G
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.
1. On s’intéresse aux frontières séparant ces pays :
a) Traduire cette carte par un graphe dont les sommets sont les pays et où chaque arête représente une
frontière entre deux pays.
b) On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M 3 . Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M 3 .
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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
4

2

2


R = 3

3


1
1
Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
2
4
2
3
1
1
3
2
2
3
2
2
0
2
3
3
2
5
2
2
2
3
1
2
2
4
1
2
1
1
0
2
1
2
1


1
8 12 9 12 7


12 8 9 12 11
3



 9 9 6 11 6
2



2 S = 12 12 11 12 12


 7 11 6 12 6
2




1
 4 4 4 4 6
4
11 7 6 12 10


4 11
4 1 2


2 4 2
4 7



1 2 3
4 6



4 12 T = 3 3 2


2 1 2
6 10




2 6
2 2 1
6 6
2 3 2
2
3
2
6
3
2
3
3
1
2
3
4
2
2
1
2
1
2
2
3
2

1

3

2


3

2


2
4
c) Est-il possible, dans tous les cas, de se rendre d’un pays à un autre en franchissant exactement trois
frontières ?
d) Est-il possible de visiter tous les pays en franchissant une et une seule fois chacune des frontières ?
2. Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux pays qui ont
une frontière commune aient des couleurs différentes.
3. Une personne désire se rendre en train d’une ville située dans le pays A à une autre ville du pays F. Le
graphe pondéré ci-dessous donne, en heures, les durées moyennes des liaisons ferroviaires existantes entre
les différents pays en tenant compte des temps d’attente entre deux correspondances.
4
A
B
3
1
C
7
3
3
2
6
3
D
E
5
3
4
G
2
F
En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court que cette personne devra utiliser pour son
voyage. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?
EXERCICE 26
Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’un quartier.
Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux
correspondants.
A
P
B
E
C
H
G
D
F
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.
1. La municipalité décide de planter des arbres dans chaque zone, de manière à ce que dans deux zones, reliées
entre elles par une voie d’accès principale les espèces plantées soient d’essence différente. Pour des raisons
d’entretien, il est préférable que le nombre d’essences plantées soit le plus petit possible.
On note V le nombre de variétés d’arbres qu’il faut utiliser.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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THÉORIE DES GRAPHES
a) Donner un encadrement de V .
b) Quel nombre minimal d’essences différentes faudra-t-il planter ?
2. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce
quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.
a) Montrer qu’un tel parcours est possible.
b) Un tel parcours est-il possible pour ce candidat en partant de sa permanence électorale située en P ? si
oui le donner, sinon proposer un parcours possible en partant d’un autre endroit.
3. Un candidat aux élections municipales se trouve dans sa permanence située en zone P quand on lui rappelle
qu’il a un rendez-vous avec le responsable de l’hôpital situé en zone H.
a) Quel est le nombre minimal de voies d’accès principales que ce candidat devra emprunter pour arriver à
son rendez-vous ?
b) Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées moyennes des trajets existants entre les
différents lieux :
7
A
4
3
11
C
P
10
G
9
12
4
B
9
10
11
6
E
D
H
8
5
F
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin que ce candidat devra emprunter pour
arriver à son rendez-vous.
Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?
(D’après sujet bac Centres étrangers 2007)
EXERCICE 27
Les parties A et B sont indépendantes
L’objet d’étude est le réseau des égouts d’une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les
sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.
A
D
S
E
G
B
C
PARTIE A
1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
2. Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.
PARTIE B
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Tle ES 1
THÉORIE DES GRAPHES
A
D
9
8
4
2
E
S
5
6
5
3
8
8
7
4
5
B
G
C
Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du
réseau des égouts.
1. Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme,
le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.
2. Ayant choisi le trajet le plus rapide, l’ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont
fermées pour cause de travaux et qu’il ne peut les utiliser.
a) Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu’à S ? Combien de temps le trajet entre E et S
prendra-t-il dans ce cas ?
b) S’il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi
l’ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?
(D’après sujet bac Amérique du Sud 2006)
EXERCICE 28
1. À l’occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des
voyages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d’une équipe nationale. Les routes
empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance
en kilomètres séparant les villes.
Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmnd, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern,
Munich, Nuremberg et Stuttgart.
H
490
D
600
490
650
B
780
600
F
120
K
630
S
580
N
210
230
M
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à
Berlin en utilisant les cars de cette agence.
2. Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde
de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel.
L’objectif de cette question consiste à rechercher une répartition des supporters afin d’utiliser le minimum
d’hôtels.
On donne ci-dessous le graphe d’incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple,
un supporter de l’équipe A ne peut être logé avec un supporter de l’équipe B.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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THÉORIE DES GRAPHES
P
C
Q
A
E
G
R
a) Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée.
b) Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d’hôtels.
EXERCICE 29
(D’après sujet bac Nouvelle Calédonie 2007)
B
Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G
correspondent à sept villes.
Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence
d’une liaison entre les deux villes correspondantes.
A
C
D
G
F
E
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1. Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d’une des sept villes et y revient
en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?
2. On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l’ordre alphabétique.


0 7 6 1 0 4 2


7 2 1 10 9 1 5


6 1 0 9 8 0 3




On donne M 3 = 1 10 9 2 1 7 5


0 9 8 1 0 6 3




4 1 0 7 6 0 2
2 5 3 5 3 2 2
Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.
Les citer tous. Aucune justification n’est demandée.
3.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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THÉORIE DES GRAPHES
B
On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances
exprimées en centaines de kilomètres entre deux villes pour
lesquelles il existe une liaison :
5
7
A
AB : 5 ; AC : 7 ;
BD : 8 ; BE : 15 ;
BG : 6 ;CD : 10 ;
CE : 15 ; DF : 20 ;
DG : 10 ; EF : 5 ;
C
6
8
15
10
G
D
20
15
5
F
10
E
Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F.
En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu’il doit suivre pour que la distance parcourue soit
la plus courte possible et donner cette distance.
(D’après sujet bac Polynésie 2008)
EXERCICE 30
Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi
louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n’importe quelle station de son choix.
La ville compte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G.
Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur
le graphe ci-dessous.
B
b
10
15
14
7
b
C
11
A
9
b
18
E
b
b
5
D
13
5
8
b
F
18
b
G
1. Philippe cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n’empruntant que des pistes cyclables.
a) A-t-il la possibilité d’effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ?
Justifier la réponse.
b) À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.
2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices N



4 9 8
4 9 8 5 5 9 2



9 6 10
9 6 10 7 10 6 4



8 10 8
8 10 8 5 10 9 4






N = 5 7 5 2 8 4 5 et T = 5 7 5



5 8 10
5 10 10 8 6 11 2






9
6
9
4
11
4
6

9 6 9

1 4 4
2 4 4 5 2 6 0
A. YALLOUZ (MATH@ES)
et T :

4 5 9 1

6 10 6 4

4 10 9 4


2 8 4 5

8 6 11 0


4 11 4 6
5 0 6 0
195
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
THÉORIE DES GRAPHES
Tle ES 1
a) Une des deux matrices N ou T est la matrice M 3 .
Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M 3 en justifiant la réponse.
b) Philippe a loué une bicyclette à la station F et l’a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il
est passé exactement deux fois devant une station.
Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A.
À l’aide d’un algorithme, déterminer un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l’effectuer.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
196
Chapitre 14
SUITES
En cours de rédaction
A. YALLOUZ (MATH@ES)
197
Chapitre 15
GRAPHES PROBABILISTES
En cours de rédaction
A. YALLOUZ (MATH@ES)
198
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Année 2010-2011
GRAPHES PROBABILISTES
Tle ES 1
EXERCICE 1
Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits :
– une formule A qui donne droit à deux heures de communication mensuelle ;
– une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles.
On admet que d’une année sur l’autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que :
– 20% des clients ayant choisi la formule B changent de formule ;
– 30% des clients ayant choisi la formule A changent de formule.
En 2008, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.
1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice
de transition.
2. Pour un entier naturel n donné, on note Pn = an bn avec an + bn = 1 , la matrice ligne décrivant l’état
probabiliste lors de l’année 2008 + n. L’état probabiliste initial est donc P0 = 0,8 0,2 .
a) Calculer la probabilité qu’un client soit abonné à la formule A en 2009.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,5an + 0,2.
3. On pose pour tout entier n, un = an − 0,4.
a) Démontrer que la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,5.
b) Exprimer un en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : an = 0,4 × (1 + 0,5n )
c) Déduire de ce qui précède, la limite de la suite (an ). Donner une interprétation concrète de ce résultat.
d) À partir de quelle année, la probabilité qu’un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à
0,401 ?
EXERCICE 2
Un industriel produit une boisson conditionnée sous deux emballages distincts A et B.
Une étude effectuée auprès des consommateurs a permis d’établir que d’un mois sur l’autre, 84% des consommateurs
restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B.
Au moment de l’étude, les consommations des deux conditionnements sont égales.
Pour tout entier naturel n, on notean la probabilité
qu’un consommateur choisisse le conditionnement A le
n-ième mois après l’étude et Pn = an bn la matrice ligne décrivant l’état probabiliste le n-ième mois après
l’étude. Ainsi, P0 = 0,5 0,5 .
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
2. a) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
b) Montrer que la matrice ligne P2 est égale à 0,564 0,436 .
3. Soit P = a b la matrice correspondant à l’état stable, c’est à dire telle que P = P × M . Déterminer les
réels a et b. Interpréter ce résultat.
4. À l’aide de la relation Pn+1 = Pn × M, démontrer que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,6an + 0,24.
5. On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n, par un = an − 0,6.
a) Démontrer que la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,6.
b) Exprimer un en fonction de n et en déduire que an = −0,1 × 0,6n + 0,6.
c) À partir de combien de mois après l’étude, la probabilité qu’un consommateur choisisse le conditionnement
A est-elle supérieure à 0,595 ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
199
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
GRAPHES PROBABILISTES
Tle ES 1
EXERCICE 3
Un industriel décide de mettre sur le marché un nouveau produit. Afin de promouvoir celui-ci, il souhaite lancer
une campagne hebdomadaire de publicité.
Avant le lancement de cette campagne, on contrôle l’impact de cette campagne auprès d’un panel de consommateurs.
On trouve ceux qui ont une opinion favorable (F), ceux qui sont neutres (N) et ceux qui ont une opinion
négative (R). On a constaté que d’une semaine sur l’autre :
– 28% des consommateurs ayant un avis favorable adoptent une position neutre et 10% une opinion négative ;
– Parmi les consommateurs ayant une opinion neutre, 32% émettent un avis favorable et 10% un avis négatif ;
– 70% des consommateurs ayant un avis négatif ne changent pas d’opinion et 16% adoptent un avis favorable.
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets F, N et R.


. . . 0,28 0,1


2. On note M la matrice de transition associée à ce graphe. Compléter M = 0,32 . . . 0,1.
...
. . . 0,7
3. L’industriel décide de lancer la campagne publicitaire.
Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne Pn = an bn cn
, où an désigne la probabilité qu’un consommateur touché par la campagne soit favorable au produit la
semaine n, bn la probabilité que ce consommateur soit neutre la semaine n et cn la probabilité que ce
consommateur ait une opinion négative de ce produit la semaine n.
La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. On a P0 = 0 1 0 .
a) Montrer que l’état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P1 = 0,32 0,58 0,1 .
b) Déterminer l’état probabiliste P3 . Interpréter ce résultat.
c) Soit P = a b 0,25 , la matrice ligne de l’état probabiliste stable du système. Déterminer a et b.
d) En ne prenant en compte que les opinions favorables, combien de semaines devrait durer la campagne
publicitaire ?
(D’après sujet bac Amérique du Nord 2010)
EXERCICE 4
Pendant ses vacances d’été, Alex a la possibilité d’aller se baigner tous les jours. S’il va se baigner un jour, la
probabilité qu’il aille se baigner le lendemain est de 0,7. S’il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu’il
aille se baigner le lendemain est de 0,9. Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.
n étant un entier naturel non nul, on note :
– an la probabilité qu’Alex n’aille pas se baigner le n-ième jour.
– bn la probabilité
qu’Alex aille se baigner le n-ième jour.
– Pn = an bn la matrice ligne traduisant l’état probabiliste le n-ième jour. On a donc P1 = 0 1
1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l’état « Alex va se
baigner »).
!
0,1 . . .
b) Soit M la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter M =
. . . 0,7
2. Calculer P3 , P10 et P20 . Quelle conjecture peut-on faire ?
3. a) Montrer que pour tout entier n non nul, bn+1 = 0,9an + 0,7bn .
b) En déduire que : bn+1 = −0,2bn + 0,9.
4. On considère la suite u définie pour tout entier n non nul par un = bn − 0,75.
a) Montrer que u est une suite géométrique de raison −0,2 ; on précisera son premier terme.
b) Déterminer la limite de la suite u.
c) En déduire lim bn .
n→+∞
A. YALLOUZ (MATH@ES)
200
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
GRAPHES PROBABILISTES
5. On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner.
Quelle est la probabilité qu’il aille se baigner le 20e jour de ses vacances ?
EXERCICE 5
(D’après sujet bac Antilles-Guyane 2010)
M. et Mme Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir
pendant l’été, soit à l’étranger, soit de visiter une région en France.
S’ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu’ils partent à l’étranger l’année suivante est de 0,4.
Par contre, s’ils sont partis à l’étranger une année donnée, la probabilité qu’ils retournent à l’étranger l’années
suivante est de 0,7.
En été 2009, ce couple est parti à l’étranger.
Pour tout entier naturel n, on note Pn la matrice ligne an bn traduisant l’état probabiliste l’année (2009 + n),
où an désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l’année (2009 + n) et bn la probabilité que ce
couple soit parti à l’étranger l’année (2009 + n).
PARTIE A
1. a) Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et
E pour étranger).
b) En déduire la matrice de transition en prenant tout d’abord F puis E pour l’ordre des sommets. On notera
M cette matrice.
2. a) Donner P0 , l’état probabiliste initial, l’année 2009.
!
!
!
0,48
0,52
0,444
0,556
0,4332
0,5668
b) On donne les résultats suivants : M 2 =
; M3 =
; M4 =
.
0,39 0,61
0,417 0,583
0,4251 0,5749
En choisissant la bonne matrice, calculer P3 . En déduire la probabilité que ce couple parte à l’étranger en
2012 (On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).
3. Soit P la matrice ligne x y donnant l’état stable où x et y sont deux réels positifs tels que x + y = 1.
Déterminer l’état stable puis interpréter le résultat.
PARTIE B
1. Montrer que pour tout entier naturel n on a : an+1 = 0,3an + 0,3.
3
2. Pour tout entier naturel n, on pose un = an − .
7
a) Montrer que la suite (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) En déduire l’expression de un , puis celle de an en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (an ) lorsque n tend vers +∞. Que retrouve-t-on ?
EXERCICE 6
(D’après sujet bac Liban 2010)
Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes.
On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant.
La première semaine, 70 % de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A.
Une étude statistique montre que :
15 % des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante.
10 % des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante.
On note respectivement
an et bn les proportions
des chaînes A et B la n-ième semaine et Pn
de téléspectateurs
la matrice ligne an bn . On a donc P1 = 0,7 0,3 .
1. a) Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation.
b) Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
201
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Année 2010-2011
Tle ES 1
GRAPHES PROBABILISTES
2. Calculer M 3 à l’aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à 10−3 près. Quelle est la
répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes lors de la quatrième semaine ?
3. On considère la matrice ligne P = a b , où a et b sont deux réels tels que a + b = 1.
a) Déterminer a et b pour que P = PM.
b) Interpréter les deux valeurs trouvées.
4. On admet que pour tout entier naturel n > 0, on a : an = 0,4 + 0,3 × 0,75n−1 .
a) Résoudre l’inéquation an < 0,5.
b) À partir de quelle semaine l’audience de l’émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l’émission
de la chaîne A ?
EXERCICE 7
(D’après sujet bac Polynésie 2010)
Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d’une part, le logiciel Aurora,
leader du marché, et d’autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre
chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d’utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers
sur le comportement des utilisateurs.
Lors de l’enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32 % des informaticiens utilisait le logiciel
Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath.
Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 2010, ... ), le chef du réseau informatique a constaté que
20 % des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais le logiciel Bestmath,
tandis que 25 % des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.
Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, que l’on appellera semestre 0 (juillet 2009 est donc le
semestre 1).
Pour tout entier naturel n, on désigne par :
– an la probabilité qu’un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le semestre n ;
– bn la probabilité qu’un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le semestre n.
1. a) Traduire les données l’énoncé par un graphe probabiliste.
b) Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
2. a) On note P0 = a0 b0 l’état initial de ce graphe en janvier 2009. Déterminer P0 .
b) On appelle P1 l’état de la société en juillet 2009. Vérifier que P1 = 0,426 0,574 .
c) On appelle P2 l’état en janvier 2010. Déterminer P2 (les résultats seront arrondis à 10−3 ).
3. Dans cette partie on étudie la suite (an ).
a) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : an+1 = 0,55an + 0,25.
5
− an .
9
Démontrer que la suite (Un ) est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme.
b) On considère la suite (Un ) définie pour tout entier naturel n par Un =
c) En déduire l’expression de Un puis de an en fonction de n.
4. Soit P = x y l’état probabiliste stable.
a) Déterminer x et y.
b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
On suppose que l’utilisation du logiciel Aurora dans l’entreprise progresse régulièrement de la même
façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de
60 % des informaticiens de l’entreprise ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
202
Lycée Camille SEE
Année 2010-2011
Tle ES 1
GRAPHES PROBABILISTES
EXERCICE 8
(D’après sujet bac La Réunion 2010)
Les parties A et B sont indépendantes
PARTIE A
Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs.
Certains d’entre eux s’arrêtent de fumer, d’autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur.
On estime que :
– si un individu est fumeur, la probabilité qu’il arrête de fumer (qu’il devienne non fumeur) le trimestre suivant
est 0,2 ;
– si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu’il redevienne
fumeur le trimestre suivant est 0,3.
On notera X l’évènement « l’individu est fumeur » et Y l’évènement « l’individu est non fumeur ».
1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l’on
notera M (aucune justification n’est demandée, on respectera l’ordre alphabétique des sommets).
2. Pour un entier naturel n donné, on note xn la proportion
dans la population et yn la proportion de
de fumeurs
non fumeurs au trimestre de rang n. On note En = xn yn la matrice ligne donnant l’état probabiliste du
système au trimestre de rang n.
On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc : E0 = 1 0 .
a) Vérifier que la proportion de fumeurs à l’issue de deux trimestres est 0,7.
b) Déterminer l’état E4 de la population à l’issue d’une année.
3. La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : E = x y .
Déterminer cet état.
PARTIE B
Le chiffre d’affaires d’un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deux variables : le nombre
de consommateurs, c’est-à-dire de fumeurs, et le prix moyen du paquet de tabac.
On appelle z le chiffre d’affaire en milliers d’euros, x le nombre de consommateurs en milliers et y le prix du
paquet de tabac en euros. On admettra que z = xy.
Dans l’espace, muni d’un repère orthonormal O;~i,~j,~k , on désigne par S la surface d’équation z = xy.
1. Le débitant a pour clients 1000 consommateurs réguliers et le prix moyen du paquet de tabac est de 5 euros.
a) Quel est le chiffre d’affaires réalisé par le débitant ?
b) Soit, dans un plan P parallèle au plan de base xOy, la ligne de niveau z = 5 de la surface S.
On a tracé cette ligne de niveau sur la figure 1 donnée en annexe.
Donner son équation de la forme y = f (x).
Le nombre de consommateurs passe de 1000 à 600 . Quel devrait être, au centime d’euros près, le nouveau
prix du paquet de tabac pour que le chiffre d’affaires du débitant reste égal à 5000 C ?
A. YALLOUZ (MATH@ES)
203
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Année 2010-2011
Tle ES 1
GRAPHES PROBABILISTES
Ligne de niveau z = 5 de la surface S.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,1
A. YALLOUZ (MATH@ES)
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
x
204