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Chapitre 7
Courbes paramétrées
Objectifs
– Définition d’une courbe paramétrée et du vocabulaire qui s’y rattache. Lien avec la cinématique.
– Plan d’étude d’une courbe paramétrée. Étude locale au voisinage d’un point. Étude des branches infinies.
– Définition et étude des courbes polaires.
– Étude des coniques.
Sommaire
I) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1) Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2) Définition d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II) Étude locale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1) Tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2) Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III) Courbes paramétrées en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2) Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3) Plan d’étude d’une courbe polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV) Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1) Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2) Le cas de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3) Le cas de l’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4) Le cas de l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5) Définition bifocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6) Définition algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
P désigne un plan affine muni d’un repère [éventuellement orthonormé direct] R = ( O,−→ ı,−→ ), on
note
−→
P = {a−→ ı + b−→  / a,b∈R} l’ensemble des vecteurs du plan. Dans tout le chapitre I désigne un
intervalle de R(non vide et non réduit à un point).
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Généralités Chapitre 7 : Courbes paramétrées
I) Généralités
1) Fonctions vectorielles
DÉFINITION 7.1
Une fonction vectorielle est une fonction
−→
f:I→−→ P . Pour
t∈R on note ( x ( t ) ,y ( t )) les coordonnées de
−→
f ( t )dans
la base (
−→
ı,−→ ), on a donc
−→
f ( t ) = x ( t )
−→
ı + y ( t )
−→
. On
remarquera que xet ysont deux fonctions de Idans R.−→
ı
−→
x(t)
y(t)
O
−→
f(t)
Remarque : Le repère étant choisi, se donner une fonction vectorielle revient à se donner deux fonctions réelles. Si le
repère est orthonormé direct, on peut utiliser la notion d’affixe complexe.
DÉFINITION 7.2
Soit
−→
f:I→−→ P une fonction vectorielle, soit
−→
`∈−→ P et
soit t0 un élément de I (ou une borne de I ), on dit que
−→
f
admet pour limite le vecteur −→ `en t0lorsque :
lim
t→t0k−→
f(t)−−→ `k=0
Notation :lim
t→t0
−→
f(t) = −→ `ou −→ f(t)−→
t→t0
−→
`.−→
ıa
−→
x(t)
a
y(t)
b
O
−→
f(t)
−→
`
−→
f(t)−−→ `
Caractérisation de la limite avec les fonctions coordonnées :
THÉORÈME 7.1
ÐÐÐÐÐÐÐ
Si −→ f(t) = x(t)−→ ı+y(t)−→ et si −→ `=a−→ ı+b−→ alors : lim
t→t0
−→
f(t) = −→ `⇐⇒ 
x(t)−→
t→t0
a
y(t)−→
t→t0
b.
Preuve : Supposons le repère orthonormé, alors k−→ f ( t ) −−→ `k =
p[x(t)−a]2+ [ y(t)−b]2
ce qui donne l’implication
de droite à gauche. D’autre part, on a : |x ( t ) −a|¶k−→ f ( t ) −−→ `k et |y ( t ) −b|¶k−→ f ( t ) −−→ `k ce qui donne la
réciproque. 
Par analogie avec les fonctions réelles, on définit les notions de continuité puis de dérivabilité.
DÉFINITION 7.3
Soit
−→
f : I→−→ P une fonction vectorielle et t0 un élément de I , on dit que
−→
f est continue en t0
lorsque lim
t→t0
−→
f(t) = −→ f(t0).
Remarque : si
−→
f ( t ) = x ( t )
−→
ı + y ( t )
−→
alors il découle du théorème précédent que
−→
f est continue en t0
ssi les fonctions xet ysont continues en t0.
DÉFINITION 7.4
Soit
−→
f : I→−→ P une fonction vectorielle et t0 un élément de I , on dit que
−→
f est dérivable en
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Généralités Chapitre 7 : Courbes paramétrées
t0 lorsqu’il existe un vecteur
−→
` tel que lim
t→t0
1
t−t0
[
−→
f ( t ) −−→ f ( t0 )] =
−→
` , auquel cas on écrit
−→
f0(t0) = −→ `.
Remarque : si
−→
f ( t ) = x ( t )
−→
ı + y ( t )
−→
alors il découle du théorème précédent que
−→
f est dérivable en t0
ssi les fonctions xet ysont dérivables en t0auquel cas on a −→ f0(t0) = x0(t0)−→ ı+y0(t0)−→ .
On peut alors vérifier que l’on retrouve les règles usuelles de dérivation : dérivée d’une somme, de
λ·−→ f, de −→ f◦g, auxquelles s’ajoutent de nouvelles règles :
THÉORÈME 7.2
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ
Soient −→ fet −→ gdeux fonctions vectorielles dérivables sur I,ona:
– dérivée du produit scalaire : −→ f·−→ g0=−→ f0·−→ g+−→ f·−→ g0.
– dérivée du déterminant : det(−→ f,−→ g)0=det(−→ f0,−→ g) + det(−→ f,−→ g0).
– dérivée de la norme : si −→ fne s’annule pas, k−→ fk0=−→
f0·−→ f
k−→ fk.
Preuve: En exercice. 
Pour terminer cette partie nous allons définir la notion de classe d’une fonction :
DÉFINITION 7.5
Une fonction vectorielle
−→
f : I→−→ P est dite de classe Ck sur l’intervalle I lorsqu’elle est k fois
dérivable sur Iet que sa dérivée k-ième (notée −→ f(k)) est continue sur I.
Si
−→
f ( t ) = x ( t )
−→
ı + y ( t )
−→
alors la fonction
−→
f est de classe Ck sur I ssi les fonctions x et y sont
elles-mêmes de classe Cksur I, si c’est le cas, alors on a −→ f(k)(t) = x(k)(t)−→ ı+y(k)(t)−→ .
2) Définition d’une courbe paramétrée
DÉFINITION 7.6
Une courbe paramétrée (ou arc paramétré) C , de classe Ck est la donnée d’un triplet C = ( I,−→ f, Γ),
où I est un intervalle de R ,
−→
f une fonction vectorielle de classe Ck sur I , et Γ = {M ( t ) /t∈
Iet −→ f ( t ) =
−−−−→
OM(t)} . Le couple ( I,−→ f )est appelé paramétrage de la courbe, et Γest appelé le
support de la courbe [ou ensemble des points de la courbe].
Exemples:
– Un arc paramétré est souvent donné par un paramétrage, exemple : soit C la courbe paramétrée par x ( t ) = 1+ t2
et y(t) = 1−t2+t,t∈R.
– Une courbe cartésienne d’équation y = g ( x ) ,x∈I est un cas particulier de courbe paramétrée, on peut prendre
comme paramétrage : x(t) = tet y(t) = g(t),t∈I.
Interprétation cinématique :
– La courbe C= (I,−→ f,Γ) est appelée mouvement, et le support Γest appelé trajectoire.
– Le vecteur −→ f(t) = −−−−→ OM(t) = x(t)−→ ı+y(t)−→ est appelé vecteur position.
– Le vecteur
−→
f0 ( t ) =
d(−−−−→ OM(t) )
d t
= x0 ( t )
−→
ı + y0 ( t )
−→
=
−→
v ( t )est appelé vecteur vitesse . Lorsque
−→
v ( t ) 6 =0, on dit que le point M ( t )est régulier , sinon on dit qu’il est stationnaire . Lorsque tous les
points sont réguliers, on dit que la courbe Cest régulière.
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Étude locale en un point Chapitre 7 : Courbes paramétrées
– Le vecteur
−→
f00 ( t ) =
d2(−−−−→ OM(t) )
d t2
= x00 ( t )
−→
ı + y00 ( t )
−→
=
−→
a ( t )est appelé vecteur accélération .
Lorsque
−→
v ( t )et
−→
a ( t )sont non colinéaires, (i.e. det (
−→
v ( t ) ,−→ a ( t )) 6 =0), on dit que le point M ( t )est
birégulier. Lorsque tous les points sont biréguliers, on dit que la courbe Cest birégulière.
Exemple : Montrer que la courbe paramétrée par : x ( t ) = 1+ t2 et y ( t ) = 1 −t2 + t , est birégulière. Étudier les
variations de xet de y, étudier le rapport y
xau voisinage de ∞, et donner l’allure de la courbe.
II) Étude locale en un point
1) Tangente en un point
Soit C = ( I,−→ f, Γ) une courbe de classe Cn ( n¾ 1), soit M ( t0 )un point régulier et soit h∈R∗ tel que
t0+h∈I, alors le vecteur :
1
h−−−−−−−−−−−→
M(t0)M(t0+h) = x(t0+h)−x(t0)
h−→
ı+y(t0+h)−y(t0)
h−→
est un vecteur directeur de la droite ( M ( t0 ) M ( t0 + h )), donc lorsque h tend vers 0, cette droite « tend » vers
la droite qui passe par M(t0)et dirigée par le vecteur −→ f0(t0).
DÉFINITION 7.7
Si M ( t0 )est un point régulier , la droite qui passe par M ( t0 )et dirigée par
−→
f0 ( t0 )[le vecteur vitesse]
est appelée tangente à la courbe au point M(t0).
En un point stationnaire M ( t0 ), si le quotient
y(t)−y(t0)
x(t)−x(t0)
admet une limite en t0 , alors celle-ci est le
coefficient directeur de la tangente au point M ( t0 ). Cela revient aussi à étudier la limite en t0 du rapport
y0(t)
x0(t)(si celui-ci existe).
Exemple: Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = cos(t)et y(t) = sin(t)[1+cos(t).
Réponse : on peut se placer dans l’intervalle [ −π ; π ]car la fonction x ( t )est paire et la fonction y ( t )est impaire,
la courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox , et on peut réduire l’étude à l’intervalle [0; π ]. Le tableau des
variations est :
t0π
3π
x0
x
y0
y
0−0
2+0−0
1
−1
0
3p3
4
0
0 1−1
0
1
−1
Le point M(π)est stationnaire, y(t)−y(π)
x(t)−x(π)=sin(t)−→
t→π0 on a donc une tangente horizontale en M(π).
2) Branches infinies
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Étude locale en un point Chapitre 7 : Courbes paramétrées
DÉFINITION 7.8
Soit t0 un élément de I ou une borne de I , on dit que la courbe C = ( I,−→ f, Γ) admet une branche
infinie en t0lorsque lim
t→t0
x(t) = ∞ou lim
t→t0
y(t) = ∞.
Étude des branches infinies :
– Si lim
t→t0
x ( t ) = ∞ et lim
t→t0
y ( t ) = y0 , alors on dit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation y = y0 .
– Si lim
t→t0
x(t) = x0et lim
t→t0
y(t) = ∞, alors on dit qu’il y a une asymptote verticale d’équation x=x0.
– Si lim
t→t0
x(t) = ∞et lim
t→t0
y(t) = ∞, alors on étudie la limite en t0du rapport y(t)
x(t):
– Si lim
t→t0
y(t)
x(t)=0, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axe Ox.
– Si lim
t→t0
y(t)
x(t)=∞, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axe O y.
– Si lim
t→t0
y(t)
x(t)=a∈R∗, alors on étudie la limite de y(t)−ax(t)en t0:
– Si lim
t→t0
y(t)−ax(t) = b, alors on dit qu’il y a une asymptote d’équation y=ax +b.
– Si lim
t→t0
y ( t ) −ax ( t ) = ∞ , alors on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction
asymptotique y=ax.
Exemples:
– Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par x(t) = t3
t2−9et y(t) = t(t−2) t−3.
Réponse : On a I=] −∞;−3[∪]−3; 3[∪]3;+∞[.
∗En t0=−3 : lim
→3x(t) = ∞et lim t→3y(t) = −5/2, il y a donc une asymptote horizontale d’équation y=−5/2.
∗ En t0 =3 :
y(t)
x(t)
=
t(t−2)(t+3)
t3−→
3
2
3
puis on calcule y ( t ) −2
3x
( t ) =
t(t+6)
3(t+3)−→
3
3
2
il y a donc une asymptote
d’équation y +
2
3x
=
3
2
. y ( t ) −2
3x
( t ) −3
2
=
(t−3)(2t+9)
6(t+3)
donc la courbe est au-dessus de l’asymptote au voisinage
à droite de 3, et en-dessous au voisinage à gauche de 3.
En t0 = ±∞ : on a
y(t)
x(t)−→
∞
1 et y ( t ) −x ( t ) =
t2−6t
t2−9−→
∞
1, on a donc une asymptote d’équation y = x +1.
D’autre part, y ( t ) −x ( t ) − 1=
9−6t
t2−9
, donc la courbe est au-dessus de l’asymptote au voisinage de −∞ et
en-dessous au voisinage de +∞.
– Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = t
ln(t)et y(t) = t2 t−1.
t012e+∞
x0
x
y0
y
− − 0+
− − 0+
0
−∞
+∞
e
+∞
0
−∞
+∞
4
+∞0 1 2 3 4 5 6
−1−2−3
−4
0
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
∗En +∞:y(t)
x(t)−→ +∞: branche parabolique de direction O y.
∗En 0 : y0(t)
x0(t)−→ 0 : on arrive à l’origine horizontalement.
∗En 1 : y(t)
x(t)−→ 1 et y(t)−x(t)−→ 1 2: asymptote d’équation y=x+1 2.
Dans la suite du chapitre, R= (O,−→ ı,−→ )désigne un repère orthonormé direct.
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