Courbes paramétrées - Le site de la Sup 1

Chapitre 7
Courbes paramétrées
Objectifs
–
–
–
–
Définition d’une courbe paramétrée et du vocabulaire qui s’y rattache. Lien avec la cinématique.
Plan d’étude d’une courbe paramétrée. Étude locale au voisinage d’un point. Étude des branches infinies.
Définition et étude des courbes polaires.
Étude des coniques.
Sommaire
I)
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Définition d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II) Étude locale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III) Courbes paramétrées en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Plan d’étude d’une courbe polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV) Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Le cas de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Le cas de l’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Le cas de l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5)
Définition bifocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6)
Définition algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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2
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3
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4
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4
.
4
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6
.
6
.
6
.
7
.
8
.
8
.
9
.
9
. . 11
. 12
. 13
. 15
→
→
P désigne un plan affine muni d’un repère [éventuellement orthonormé direct] R = (O, −
ı ,−
 ), on
−
→
−
→
−
→
note P = {a ı + b  / a, b ∈ R} l’ensemble des vecteurs du plan. Dans tout le chapitre I désigne un
intervalle de R (non vide et non réduit à un point).
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Généralités
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
I)
Généralités
1)
Fonctions vectorielles
DÉFINITION 7.1
y(t)
−
→
−
→
Une fonction vectorielle est une fonction f : I → P . Pour
−
→
t ∈ R on note (x(t), y(t)) les coordonnées de f (t) dans
−
→
→
→
→
→
ı ,−
 ), on a donc f (t) = x(t)−
ı + y(t)−
 . On
la base (−
−
→
f (t)
−
→

remarquera que x et y sont deux fonctions de I dans R.
O
−
→
ı
x(t)
Remarque: Le repère étant choisi, se donner une fonction vectorielle revient à se donner deux fonctions réelles. Si le
repère est orthonormé direct, on peut utiliser la notion d’affixe complexe.
DÉFINITION 7.2
−
→
−
→ −
−
→
→
Soit f : I → P une fonction vectorielle, soit ` ∈ P et
−
→
soit t 0 un élément de I (ou une borne de I), on dit que f
−
→
admet pour limite le vecteur ` en t 0 lorsque :
−
→
−
→
lim k f (t) − ` k = 0
t→t 0
−
→
−
→
−
→
−
→
Notation : lim f (t) = ` ou f (t) −→ ` .
t→t 0
y(t)
b
−
→
−
→
f (t) − `
−
→
`
−
→
f (t)
−
→

O
−
→
ı
a
x(t)
t→t 0
Caractérisation de la limite avec les fonctions coordonnées :
THÉORÈME 7.1

Ð
Ð
−→ a
Ð
 x(t) t→t
−
→
−
→
−
→
−
→
Ð
0
−
→
−
→
−
→
−
→
Ð Si f (t) = x(t) ı + y(t)  et si ` = a ı + b  alors : lim f (t) = ` ⇐⇒
.
 y(t) −→ b
t→t 0
Ð
Ð
t→t 0
p
−
→
−
→
Preuve: Supposons le repère orthonormé, alors k f (t)− ` k = [x(t) − a]2 + [ y(t) − b]2 ce qui donne l’implication
−
→
−
→
−
→
−
→
de droite à gauche. D’autre part, on a : |x(t) − a| ¶ k f (t) − ` k et | y(t) − b| ¶ k f (t) − ` k ce qui donne la
réciproque.
ƒ
Par analogie avec les fonctions réelles, on définit les notions de continuité puis de dérivabilité.
DÉFINITION 7.3
−
→
−
→
−
→
Soit f : I → P une fonction vectorielle et t 0 un élément de I, on dit que f est continue en t 0
−
→
−
→
lorsque lim f (t) = f (t 0 ).
t→t 0
−
→
−
→
→
→
Remarque : si f (t) = x(t)−
ı + y(t)−
 alors il découle du théorème précédent que f est continue en t 0
ssi les fonctions x et y sont continues en t 0 .
DÉFINITION 7.4
−
→
−
→
−
→
Soit f : I → P une fonction vectorielle et t 0 un élément de I, on dit que f est dérivable en
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Généralités
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
−
→
t 0 lorsqu’il existe un vecteur ` tel que lim
t→t 0
−
→0
−
→
f (t 0 ) = ` .
1
t − t0
−
→
−
→
−
→
[ f (t) − f (t 0 )] = ` , auquel cas on écrit
−
→
−
→
→
→
Remarque : si f (t) = x(t)−
ı + y(t)−
 alors il découle du théorème précédent que f est dérivable en t 0
−
→
→
→
ssi les fonctions x et y sont dérivables en t auquel cas on a f 0 (t ) = x 0 (t )−
ı + y 0 (t )−
 .
0
0
0
0
On peut alors vérifier que l’on retrouve les règles usuelles de dérivation : dérivée d’une somme, de
−
→
−
→
λ · f , de f ◦ g, auxquelles s’ajoutent de nouvelles règles :
THÉORÈME 7.2
Ð
→ −
Ð Soient −
f et →
g deux fonctions vectorielles
dérivables sur I, on a :
Ð
−
0
Ð
→ −
−
→ → −
→ →0
→
Ð
– dérivée du produit scalaire : f · g
= f 0·−
g + f ·−
g .
Ð
0
Ð
−
→ −
−
→
−
→ →0
→
Ð
– dérivée du déterminant : det( f , →
g ) = det( f 0 , −
g ) + det( f , −
g ).
Ð
Ð
−
→0 −
→
Ð
f · f
−
→
−
→
Ð
– dérivée de la norme : si f ne s’annule pas, k f k0 = −
Ð
→ .
kf k
Preuve: En exercice.
ƒ
Pour terminer cette partie nous allons définir la notion de classe d’une fonction :
DÉFINITION 7.5
−
→
−
→
Une fonction vectorielle f : I → P est dite de classe C k sur l’intervalle I lorsqu’elle est k fois
−
→
dérivable sur I et que sa dérivée k-ième (notée f (k) ) est continue sur I.
−
→
−
→
→
→
Si f (t) = x(t)−
ı + y(t)−
 alors la fonction f est de classe C k sur I ssi les fonctions x et y sont
−
→
→
→
elles-mêmes de classe C k sur I, si c’est le cas, alors on a f (k) (t) = x (k) (t)−
ı + y (k) (t)−
 .
2)
Définition d’une courbe paramétrée
DÉFINITION 7.6
−
→
Une courbe paramétrée (ou arc paramétré) C, de classe C k est la donnée d’un triplet C = (I, f , Γ),
−
→
où I est un intervalle de R, f une fonction vectorielle de classe C k sur I, et Γ = {M (t) / t ∈
−−−−→
−
→
−
→
I et f (t) = OM (t) }. Le couple (I, f ) est appelé paramétrage de la courbe, et Γ est appelé le
support de la courbe [ou ensemble des points de la courbe].
Exemples:
– Un arc paramétré est souvent donné par un paramétrage, exemple : soit C la courbe paramétrée par x(t) = 1+t 2
et y(t) = 1 − t 2 + t, t ∈ R.
– Une courbe cartésienne d’équation y = g(x), x ∈ I est un cas particulier de courbe paramétrée, on peut prendre
comme paramétrage : x(t) = t et y(t) = g(t), t ∈ I.
Interprétation cinématique :
−
→
– La courbe C = (I, f , Γ) est appelée mouvement, et le support Γ est appelé trajectoire.
−−−−→
−
→
→
→
– Le vecteur f (t) = OM (t) = x(t)−
ı + y(t)−
 est appelé vecteur position.
−−−−→
d(OM (t) )
−
→
→
→
→
– Le vecteur f 0 (t) =
= x 0 (t)−
ı + y 0 (t)−
 =−
v (t) est appelé vecteur vitesse. Lorsque
dt
−
→
v (t) 6= 0, on dit que le point M (t) est régulier, sinon on dit qu’il est stationnaire. Lorsque tous les
points sont réguliers, on dit que la courbe C est régulière.
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Étude locale en un point
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
−−−−→
d 2 (OM (t) )
−
→00
→
→
→
ı + y 00 (t)−
 =−
a (t) est appelé vecteur accélération.
– Le vecteur f (t) =
= x 00 (t)−
d t2
−
→
−
→
−
→
−
→
Lorsque v (t) et a (t) sont non colinéaires, (i.e. det( v (t), a (t)) 6= 0), on dit que le point M (t) est
birégulier. Lorsque tous les points sont biréguliers, on dit que la courbe C est birégulière.
Exemple: Montrer que la courbe paramétrée par : x(t) = 1 + t 2 et y(t) = 1 − t 2 + t, est birégulière. Étudier les
y
variations de x et de y, étudier le rapport x au voisinage de ∞, et donner l’allure de la courbe.
II)
1)
Étude locale en un point
Tangente en un point
−
→
Soit C = (I, f , Γ) une courbe de classe C n (n ¾ 1), soit M (t 0 ) un point régulier et soit h ∈ R∗ tel que
t 0 + h ∈ I, alors le vecteur :
y(t 0 + h) − y(t 0 ) −
1 −−−−−−−−−−−→ x(t 0 + h) − x(t 0 ) −
→
→
M (t 0 )M (t 0 + h) =
ı +

h
h
h
est un vecteur directeur de la droite (M (t 0 )M (t 0 + h)), donc lorsque h tend vers 0, cette droite « tend » vers
−
→
la droite qui passe par M (t 0 ) et dirigée par le vecteur f 0 (t 0 ).
DÉFINITION 7.7
−
→
Si M (t 0 ) est un point régulier, la droite qui passe par M (t 0 ) et dirigée par f 0 (t 0 ) [le vecteur vitesse]
est appelée tangente à la courbe au point M (t 0 ).
y(t)− y(t )
En un point stationnaire M (t 0 ), si le quotient x(t)−x(t 0) admet une limite en t 0 , alors celle-ci est le
0
coefficient directeur de la tangente au point M (t 0 ). Cela revient aussi à étudier la limite en t 0 du rapport
y 0 (t)
(si celui-ci existe).
x 0 (t)
Exemple: Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = cos(t) et y(t) = sin(t)[1 + cos(t).
Réponse : on peut se placer dans l’intervalle [−π; π] car la fonction x(t) est paire et la fonction y(t) est impaire,
la courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox, et on peut réduire l’étude à l’intervalle [0; π]. Le tableau des
variations est :
π
π
t
0
3
x0
0
1
−
0
0
−1
0
1
x
y
0
2
+
−
0
−1
0
1
p
3 3
4
−1
y
0
Le point M (π) est stationnaire,
2)
0
y(t) − y(π)
x(t) − x(π)
= sin(t) −→ 0 on a donc une tangente horizontale en M (π).
t→π
Branches infinies
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Étude locale en un point
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
DÉFINITION 7.8
−
→
Soit t 0 un élément de I ou une borne de I, on dit que la courbe C = (I, f , Γ) admet une branche
infinie en t 0 lorsque lim x(t) = ∞ ou lim y(t) = ∞.
t→t 0
t→t 0
Étude des branches infinies :
– Si lim x(t) = ∞ et lim y(t) = y0 , alors on dit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation y = y0 .
t→t 0
t→t 0
t→t 0
t→t 0
– Si lim x(t) = x 0 et lim y(t) = ∞, alors on dit qu’il y a une asymptote verticale d’équation x = x 0 .
– Si lim x(t) = ∞ et lim y(t) = ∞, alors on étudie la limite en t 0 du rapport
t→t 0
t→t 0
y(t)
– Si lim
t→t 0
– Si lim
t→t 0
x(t)
y(t)
x(t)
y(t)
y(t)
x(t)
:
= 0, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axe O x.
= ∞, on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction de l’axe O y.
= a ∈ R∗ , alors on étudie la limite de y(t) − a x(t) en t 0 :
x(t)
– Si lim y(t) − a x(t) = b, alors on dit qu’il y a une asymptote d’équation y = a x + b.
– Si lim
t→t 0
t→t 0
– Si lim y(t) − a x(t) = ∞, alors on dit qu’il y a une branche parabolique dans la direction
t→t 0
asymptotique y = a x.
Exemples:
3
t(t−2)
– Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par x(t) = t 2t−9 et y(t) = t−3 .
Réponse : On a I =] − ∞; −3[∪] − 3; 3[∪]3; +∞[.
∗ En t 0 = −3 : lim x(t) = ∞ et lim y(t) = −5/2, il y a donc une asymptote horizontale d’équation y = −5/2.
∗ En t 0 = 3 :
→3
t→3
y(t)
t(t−2)(t+3)
2
=
−→
x(t)
t3
3 3
2
puis on calcule y(t) − 23 x(t) =
3
t(t+6)
3(t+3)
−→
3
3
2
il y a donc une asymptote
(t−3)(2t+9)
. y(t) − 23 x(t) − 23 = 6(t+3) donc la courbe est au-dessus de l’asymptote au voisinage
3
2
à droite de 3, et en-dessous au voisinage à gauche de 3.
y(t)
t 2 − 6t
En t 0 = ±∞ : on a
−→ 1 et y(t) − x(t) = 2
−→ 1, on a donc une asymptote d’équation y = x + 1.
x(t) ∞
t −9 ∞
9 − 6t
D’autre part, y(t) − x(t) − 1 = 2
, donc la courbe est au-dessus de l’asymptote au voisinage de −∞ et
t −9
en-dessous au voisinage de +∞.
t
t2
– Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = ln(t)
et y(t) = t−1
.
d’équation y +
t
x
0
0
x=
1
2
−
−
0
+∞
0
+∞
e
6
5
4
+
+∞
3
x
y0
−
−
0
+∞
0
2
1
0
e
−∞
+
+∞
y
−∞
4
y(t)
−→ +∞ : branche parabolique de direction O y.
x(t)
0
y (t)
−→ 0 : on arrive à l’origine horizontalement.
x 0 (t)
y(t)
−→ 1 et y(t) − x(t) −→ 21 : asymptote d’équation y
x(t)
−4−3−2−1
−1 0 1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4
∗ En +∞ :
∗ En 0 :
∗ En 1 :
= x + 12 .
→
→
Dans la suite du chapitre, R = (O, −
ı ,−
 ) désigne un repère orthonormé direct.
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Courbes paramétrées en polaires
III)
1)
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
Courbes paramétrées en polaires
Généralités
Une courbe paramétrée de P peut être représentée par des coordonnées polaires (ρ(t), θ (t)) en
fonction du paramètre réel t. Dans ce cas la fonction vectorielle correspondante est :
−−−−→ −
→
→
→
→
→
OM (t) = f (t) = ρ(t)−
u (θ (t)) ou −
u (θ (t)) = cos(θ (t))−
ı + sin(θ (t))−

ce qui équivaut au paramétrage cartésien x(t) = ρ(t) cos(θ (t)) et y(t) = ρ(t) sin(θ (t)).
−−−−→
→
OM (t) = ρ(t)−
u θ (t)
M (t)
(C )
−
→

−
→
u θ (t)
θ (t)
−
→
ı
→
→
→
→
→
Le vecteur vitesse : On a −
v (θ ) = −
u (θ + π2 ) = − sin(θ )−
ı +cos(θ )−
 , les fonctions vectorielles θ 7→ −
u (θ )
−
→
et θ 7→ v (θ ) sont donc dérivables et on a :
→
d−
u
dθ
→
=−
v (θ ) et
→
d−
v
dθ
→
= −−
u (θ ).
−
→
On en déduit que si les fonctions t 7→ ρ(t) et t 7→ θ (t) sont dérivables sur I alors la fonction t 7→ f (t)
l’est aussi et on a :
−
→0
→
→
f (t) = ρ 0 (t)−
u (θ (t)) + ρ(t)θ 0 (t)−
v (θ (t)).
Le vecteur accélération : Si les fonctions t 7→ ρ(t) et t 7→ θ (t) sont deux fois dérivables sur I alors la
−
→
fonction t 7→ f (t) l’est aussi et on a :
”
—→
→
−
→00
f (t) = ρ 00 (t) − ρ(t)θ 0 (t)2 −
u (θ (t)) + 2ρ 0 (t)θ 0 (t) + ρ(t)θ 00 (t) −
v (θ (t)).
2)
Cas particulier
Le cas particulier le plus simple est celui où θ (t) = t, autrement dit le paramètre est l’angle polaire θ .
DÉFINITION 7.9
k
La courbe polaire d’équation r = ρ(θ ) où ρ : I → R est une fonction
¨ de classe C , k ¾ 1, est la
x(θ ) = ρ(θ ) cos(θ )
−−−−→ −
→
→
courbe paramétrée par : OM (θ ) = f (θ ) = ρ(θ )−
u (θ ), c’est à dire
.
y(θ ) = ρ(θ ) sin(θ )
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Courbes paramétrées en polaires
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
Propriétés : si la fonction ρ est de classe C 2 alors :
−
→
→
→
– Le vecteur vitesse au point M (θ ) est f 0 (θ ) = ρ 0 (θ )−
u (θ ) + ρ(θ )−
v (θ ) et le vecteur accélération est
00
−
−
→00
→
−
→
0
f (t) = ρ (θ ) − ρ(θ ) u (θ ) + 2ρ (θ ) v (θ ).
– M (θ ) est un point régulier ⇐⇒ (ρ 0 (θ ), ρ(θ )) 6= (0, 0), on en déduit que tous les points de la courbe
distincts de O sont des points réguliers.
– M (θ ) est birégulier ⇐⇒ 2ρ 0 (θ )2 + ρ(θ )2 − ρ(θ )ρ 00 (t) 6= 0 (c’est le déterminant entre les vecteurs
→
→
vitesse et accélération dans la base (−
u (θ ), −
v (θ )).
3)
Plan d’étude d’une courbe polaire
– Restriction du domaine d’étude :
– Si ρ(θ ) = ρ(−θ ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à l’axe O x, on peut restreindre
l’étude à t ¾ 0.
– Si ρ(−θ ) = −ρ(θ ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à l’axe O y, on peut
restreindre l’étude à t ¾ 0.
– Si ρ(2α − θ ) = ρ(θ ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d’équation
polaire θ = α, on peut restreindre l’étude à θ ¾ α.
– Si ρ(2α − θ ) = −ρ(θ ) : alors la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d’équation
polaire θ = α + π/2, on peut restreindre l’étude à θ ¾ α.
– Si ρ(T + θ ) = ρ(θ ) : (T est une période de ρ), alors le point M (T + θ ) se déduit de M (θ ) par la
rotation de centre O et d’angle T , on peut restreindre l’étude à un intervalle de longueur T .
– Si ρ(T + θ ) = −ρ(θ ) : (T est une anti-période de ρ), alors le point M (T + θ ) se déduit de M (θ )
par la rotation de centre O et d’angle T + π, on peut restreindre l’étude à un intervalle de longueur
T.
– On étudie ensuite les variations de la fonction ρ.
– Classification des points :
– Si M (θ0 ) 6= O : alors le point M (θ0 ) est régulier, donc la tangente est portée par le vecteur
−
→
→
→
vitesse : f 0 (θ ) = ρ 0 (θ )−
u (θ ) + ρ(θ )−
v (θ ). L’équation de cette tangente dans le repère
0
0
0
0
0
ρ(θ0 )
→
→
(M (θ0 ), −
u (θ0 ), −
v (θ0 )) est : ρ(θ0 )X − ρ 0 (θ0 )Y = 0, son coefficient directeur est 0
lorsque
ρ (θ0 )
ρ 0 (θ0 ) 6= 0.
→
1 −−−−→
– Si M (θ0 ) = O alors lim ρ(θ
OM (θ ) = −
u (θ0 ), donc la tangente est dirigée par le vecteur
)
θ →θ0
−
→
u (θ0 ),
– Recherche des points doubles :
¨
0
M (θ ) = M (θ ) ⇐⇒
θ = θ 0 + 2kπ
ρ(θ ) = ρ(θ 0 )
θ = θ 0 + (2k + 1)π
¨
ou
ρ(θ ) = −ρ(θ 0 )
.
Exemples:
p
– Étudier la courbe polaire d’équation ρ(θ ) = a cos(2θ ) où a > 0 (Lemniscate de Bernoulli).
∗ ρ est paire et π-périodique : étude sur [0; π2 ] ∩ Dρ = [0; π4 ], on complétera avec la symétrie par rapport à
Ox, puis avec la symétrie de centre O.
−
→
→
∗ En θ = 0 : ρ(0) = a et f 0 (0) = a−
 : tangente verticale.
0
∗ En θ0 =
π
4
: M (θ0 ) = O donc la tangente est la première bissectrice.
θ
0
a
π
4
0
ρ
−1
0
1
0
– Étudier la courbe polaire d’équation ρ(θ ) = ln(1 − sin(θ )).
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7
Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
Réponse : La fonction est définie sur R\{π/2+kπ / k ∈ Z}. La fonction ρ est 2π-périodique et ρ(π−θ ) = ρ(θ ),
il y a donc une symétrie par rapport à l’axe Ox, on peut donc restreindre l’étude à [−π/2; π/2[. Le tableau des
variations est :
0
−1
θ
− π2
π
2
ln(2)
0
1
−1
−2
ρ
−∞
−3
−4
−5
∗ Points particuliers :
→
i) En θ0 = −π/2 : un vecteur directeur de la tangente est ln(2)−
ı , on a donc une tangente horizontale.
0
ii) En θ0 = 0 : on a M (θ0 ) = O et ρ (0) = −1, donc M (0) est un point régulier et la tangente en portée par
−
→
→
u (0) = −
ı .
∗ Branche infinie en π/2 : y(θ ) = ln(1 − sin(θ )) sin(θ ) −→ −∞ et x(θ ) = ln(1 − sin(θ )) cos(θ ) = ln(1 −
cos(u)) sin(u) = ln(2 sin2 (( 2u )) sin(u) −→ 0, en posant u = θ − π/2, il y a donc une asymptote d’équation x = 0.
u→0
∗ Points doubles : cela revient à chercher θ ∈ [−π/2; π/2[ tel que ρ(θ ) = −ρ(θ + π), ce qui donne sin(θ ) = 0
et donc θ = 0, par conséquent O est le seul point double.
IV)
1)
Les coniques
Définition monofocale
DÉFINITION 7.10
Soit F un point du plan, D une droite affine ne passant pas par F et soit e un réel strictement positif.
On a appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e l’ensemble
C = {M ∈ P / M F = ed(M , D)}
Lorsque :
– e = 1 : la courbe C est appelée parabole.
– e < 1 : la courbe C est appelée ellipse.
– e > 1 : la courbe C est appelée hyperbole.
→
→
On choisit un repère R = (F, −
ı ,−
 ) de tel sorte que D admette comme équation dans ce repère x = −d
H
M
t
où d = d(F, D) :
−
→

−d
F
−
→
ı
D
→
→
Une équation cartésienne dans le repère (F, −
ı ,−
 ) est : M F 2 = e2 M H 2 c’est à dire x 2 + y 2 = e2 (x + d)2
2
2
2
2
2 2
ou encore x (1 − e ) − 2e d x + y − e d = 0. Déterminons maintenant un paramétrage polaire : on a
2
M H = |x H − x M | = |d + x| = |d + ρ cos(t)|, et M F = |ρ|, on a donc M ∈ C ⇐⇒ ρ 2 = e2 d + ρ cos(t)
ce qui équivaut à ρ = e(d + ρ cos(t)) ou ρ = −e(d + ρ cos(t)), on obtient ainsi que C est la réunion
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Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
de deux courbes : C = C1 ∪ C2 avec C1 d’équation polaire : ρ1 =
ρ2 =
−ed
ed
1 − e cos(t)
et C2 d’équation polaire
. On voit que ρ2 (π + t) = −ρ1 (t) et donc M2 (π + t) = M1 (t), on en déduit que les deux
1 + e cos(t)
courbes sont confondues, C1 = C2 et donc :
THÉORÈME 7.3
Ð
p
Ð
−
→ −
→
où p = ed est appelé
Ð Une équation polaire de C dans le repère (F, ı ,  ) est : ρ(t) =
1 − e cos(t)
Ð
Ð
−
→ −
→
Ð paramètre de la courbe. Une équation cartésienne dans le repère (F, ı ,  ) est :
Ð
Ð
Ð
x 2 (1 − e2 ) − 2ep x + y 2 − p2 = 0
Ð
2)
Le cas de la parabole
Équation réduite : On a e = 1, l’équation cartésienne devient y 2 = 2p x + p2 = 2p(x + d2 ). Soit O(− d2 , 0),
→
→
alors dans le repère (O, −
ı ,−
 ) l’équation devient : Y 2 = 2pX c’est l’équation réduire de la parabole. On
p
est ramené à tracer la courbe représentative de la fonction f (X ) = 2pX puis à faire une symétrie par
rapport à O x.
H
M
t
Allure de la courbe :
−
→

O
−d
−
→
ı
F
Parabole de sommet O(− d2 , 0) et d’axe O x.
D
2
t
Tangente en un point : Paramétrons la parabole par x(t) = 2p
− d2 et y(t) = t, dérivons la relation
−−→
−−→
−−→ −−→ −−→ −−→
−−→
−−→ d M H
−−→ −
−−→ d F H
−
→
→
F M · F M = M H · M H , on obtient 2 v (t) · F M = 2 M H ·
= −2 M H · v (t) car M H ·
= 0.
dt
dt
−−→ −−→
−−→
→
→
On en déduit que −
v (t) · [ M H + F M ] = 0 c’est à dire −
v (t) · F H = 0 . La tangente est la perpendiculaire
à (F H) passant par M , c’est la médiatrice du segment [F H] :
M
H
t
−
→

−d
O
F
−
→
ı
Application : principe du miroir parabolique.
D
3)
Le cas de l’ellipse
→
→
Équation réduite : On a e < 1, une équation cartésienne dans le repère (F, −
ı ,−
 ) est (avec e < 1) :
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Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées

x 2 (1 − e2 ) − 2ep x + y 2 − p2 = 0 ⇐⇒  x
p
1 − e2 − p
2
ep
 + y2 =
p2
1 − e2
1 − e2
 p
2
‚
Œ2
2
2
x(1 − e )
y 1−e 
⇐⇒
−e +
 =1
p
p
⇐⇒
avec a =
p
1 − e2
et b = p
p
2
+
y2
b2
=1
→
→
. Soit O( 1−e2 , 0) dans le repère (O, −
ı ,−
 ), on a X = x −
ep
1 − e2
Y = y, donc l’équation devient
ep
1−e2
a2
x−
X2
a2
+
Y2
b2
ep
1 − e2
et
= 1 . C’est l’équation réduite de l’ellipse.
Remarques :
– On a b < a car 0 < 1 − e2 < 1.
ep
→
→
– Les coordonnées de F dans le repère (O, −
ı ,−
 ) sont (−c = − 1−e2 , 0).
p
2
→
→
– On a c = a2 − b2 , e = ac et l’équation de la directrice dans le repère (O, −
ı ,−
 ) est X = −d−c = − ac .
2
En particulier on en déduit que 0 < c < a < ac .
– L’ellipse est symétrique par rapport à O y, elle a donc un deuxième foyer F 0 de coordonnées (c, 0) et
2
→
→
ı ,−
 ).
une autre directrice D0 d’équation X = ac dans le repère (O, −
−
→
−
→
– Un paramétrage possible dans le repère (O, ı ,  ) est X (t) = a cos(t) et Y (t) = b sin(t) avec t ∈ R.
Étude de la courbe : Les fonctions X et Y sont 2π-périodiques, X est paire et Y est impaire, on a donc
une symétrie par rapport à O x, on réduit l’étude sur [0, π]. On a X (π − t) = −X (t) et Y (π − t) = Y (t) :
symétrie par rapport à (O y), on réduit l’étude sur [0, π2 ]. La tangente au point M (0) est verticale et la
tangente au point M ( π2 ) est horizontale :
D0
D
t
π
2
0
a
b
M
H0
H
X
0
b
F (−c, 0)
2
− ac
F 0 (c, 0)
a
a2
c
Y
0
Ellipse de centre O(
ep
1−e2
, 0), de demi-grand axe a =
p
1−e2
p
, de demi-petit axe b = p
1−e2
.
THÉORÈME 7.4
Ð
Pour tout point M de l’ellipse, on a M F + M F 0 = 2a.
2
Preuve: On a M F + M F 0 = e × M H + e × M H 0 = ed(D, D0 ) = e2 ac = 2a.
ƒ
THÉORÈME 7.5 (Tangente en un point)
Ð
Ð
En tout point M de l’ellipse, la tangente est la bissectrice extérieure de l’angle Ø
F M F 0.
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Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
−−−−→
−−−−→
Preuve:On choisit un paramétrage
de l’ellipse puis on dérive la relation k F M (t) k + k F 0 M (t) k = 2a ce qui donne

−−→
−−→
F0M  −
→
 FM
−
→
v (t) ·  −−→ + −−→  = 0 , or le deuxième vecteur est un vecteur directeur de la bissectrice intérieure de
kF M k kF 0 M k
l’angle Ø
F M F 0 , le résultat en découle.
ƒ
4)
Le cas de l’hyperbole
→
→
Équation réduite : On a e > 1, une équation cartésienne dans le repère (F, −
ı ,−
 ) est :

x 2 (1 − e2 ) − 2ep x + y 2 − p2 = 0 ⇐⇒ −  x
p
e2 − 1 + p
ep
2
 + y2 =
−p2
e2 − 1
e2 − 1
 p
2
‚
Œ2
2
2
x(e − 1)
 y e − 1
⇐⇒
+e −
 =1
p
p
⇐⇒
avec a =
p
e2 −1
p
et b = p 2
ep
e2 −1
a2
x+
2
−
y2
b2
= 1,
→
→
. Posons O( e2 −1 , 0), alors dans le repère (O, −
ı ,−
 ) on a X = x +
−ep
e −1
Y = y, l’équation cartésienne s’écrit alors :
X2
a2
−
Y2
b2
ep
e2
−1
et
= 1 c’est l’équation réduite de l’hyperbole.
Remarques :
ep
→
→
– Les coordonnées de F dans le repère (O, −
ı ,−
 ) sont (c = e2 −1 , 0).
p
→
→
– On a c = a2 + b2 , e = ac et l’équation de la directrice dans le repère (O, −
ı ,−
 ) est X = −d + c =
2
a2
.
c
En particulier on en déduit que 0 < ac < a < c.
– L’hyperbole est symétrique par rapport à O y, elle a donc un deuxième foyer F 0 de coordonnées (−c, 0)
2
→
→
et une autre directrice D0 d’équation X = − ac dans le repère (O, −
ı ,−
 ).
→
→
– Un paramétrage possible dans le repère (O, −
ı ,−
 ) est X (t) = ±ach(t) et Y (t) = bsh(t) avec t ∈ R.
Étude de la courbe :
La partie de la courbe dans le demi-plan X > 0 est paramétrée par X (t) = ach(t) et Y (t) = bsh(t) avec
t ∈ R (l’autre partie est symétrique par rapport à O y]. La fonction X est paire et la fonction Y est impaire il
y a donc une symétrie par rapport à O x et on réduit l’étude sur [0; +∞[.
t
0
+∞
+∞
X
a
+∞
Y
La tangente au point M (0) est verticale. En +∞ : on a
Y (t)
= ab th(t) → ab , Y (t) − ab X (t) = −be−t → 0, on a
X (t)
donc une asymptote d’équation Y = ab X et la courbe est
sous l’asymptote.
0
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Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
D0
H
D
0
H
M
a
F (−c, 0)
0
2
− ac
O
F (c, 0)
a2
c
Y = ab X
Y = − ab X
Hyperbole de centre O .
Remarque : Lorsque a = b les deux asymptotes sont orthogonales (ce sont les deux bissectrices) on dit
→
→
→
→
→
alors que l’hyperbole est équilatère. Dans ce cas, dans le repère (O, −
u ,−
v ) avec −
u = p12 [−
ı −−
 ] et
−
→
−
→
−
→
1
1
1
0
0
0
0
v = p [ ı +  ], on a X = p [X + Y ] et Y = p [−X + Y ] donc l’équation de l’hyperbole devient
2
2
(X − Y )(X + Y ) = a2 i.e. X 0 Y 0 =
2
a
2
2
.
THÉORÈME 7.6
Ð
Pour tout point M de l’hyperbole, on a |M F − M F 0 | = 2a.
2
Preuve: Prenons M dans le demi-plan X > 0, on a M F − M F 0 = e × M H − e × M H 0 = −ed(D, D0 ) = −e2 ac = −2a. ƒ
THÉORÈME 7.7 (Tangente en un point)
Ð
Ð
En tout point M de l’hyperbole, la tangente est la bissectrice intérieure de l’angle Ø
F M F 0.
−−−−→
−−−−→
0
Preuve: On choisit
un paramétrage
 de l’hyperbole puis on dérive la relation k F M (t) k − k F M (t) k = ±2a ce qui

−−→
−−→
F0M  −
→
 FM
→
v (t) ·  −−→ − −−→  = 0 , or le deuxième vecteur est un vecteur directeur de la bissectrice extérieure
donne −
0
kF M k kF M k
de l’angle Ø
F M F 0 , le résultat en découle.
5)
ƒ
Définition bifocale
THÉORÈME 7.8
Ð
Ð Soient F, F 0 deux points distincts du plan, soit c = F F 0 et a > c, alors l’ensemble
Ð
2
Ð
Ð
Ð
C = {M ∈ P / M F + M F 0 = 2a}
Ð
Ð
Ð est une ellipse de centre O = Mil[F ; F 0 ] d’excentricité e = c et de foyer F .
a
−−→
F F0
π
−
→
→
→
Preuve: Posons O = Mil[F, F ] comme origine, ı = −−→ , et −
 déduit de −
ı par la rotation vectorielle d’angle .
2
0
kF F k
0
M
. On a F (−c, 0) et F 0 (c, 0), d’où :
F
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Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
p
M F + M F 0 = 2a ⇐⇒
(x + c)2 + y 2 +
p
(x − c)2 + y 2 = 2a
p
⇐⇒ 2a2 − (x 2 + y 2 + c 2 ) = (x 2 + y 2 + c 2 )2 − 4c 2 x 2
¨ 4
4a + [x 2 + y 2 + c 2 ]2 − 4a2 (x 2 + y 2 + c 2 ) = [x 2 + y 2 + c 2 ]2 − 4c 2 x 2
⇐⇒
x 2 + y 2 + c 2 ¶ 2a2
¨ 2 2
x (a − c 2 ) + y 2 a2 = a2 (a2 − c 2 )
⇐⇒
x 2 + y 2 ¶ 2a2 − c 2

2
2
x + y
=1
⇐⇒
a2
a2 − c 2

x 2 + y 2 ¶ a2 + (a2 − c 2 )
On a a > d/2 = c, donc a2 − c 2 > 0, posons b =
p
a2 − c 2 , on doit avoir la relation
x2
a2
x2
a2
+
y2
b2
y2
b2
= 1, si cette relation
est vérifiée, il est clair que x + y ¶ a + b et par conséquent M F + M F = 2a ⇐⇒
+ = 1. D’après l’étude
c
a2
précédente, on a une ellipse de centre O, de foyer F , d’excentricité e = , de directrice D d’équation x = − .
a
c
ƒ
2
2
2
2
0
THÉORÈME 7.9
Ð
Ð Soient F, F 0 deux points distincts du plan, soit c = F F 0 et 0 < a < c, alors l’ensemble
Ð
2
Ð
Ð
Ð
C = {M ∈ P / |M F − M F 0 | = 2a}
Ð
Ð
Ð est une hyperbole de centre O = Mil[F ; F 0 ] et d’excentricité e = c et de foyer F 0 .
a
Preuve: On choisit le même repère que précédemment :
2
M (x, y) ∈ C ⇐⇒ M F 2 + M F 0 − 2M F.M F 0 = 4a2
Æ
2
x 2 + y 2 + c 2 − 4x 2 c 2
⇐⇒ (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 − 4a2 = 2
Æ
2
⇐⇒ x 2 + y 2 + c 2 − 2a2 =
x 2 + y 2 + c 2 − 4x 2 c 2
(€
Š2
€
Š2
x 2 + y 2 + c 2 + 4a4 − 4a2 (x 2 + y 2 + c 2 ) = x 2 + y 2 + c 2 − 4x 2 c 2
⇐⇒
x 2 + y 2 + c 2 ¾ 2a2
¨ 2 2
x (c − a2 ) − a2 y 2 = a2 (c 2 − a2 )
⇐⇒
x 2 + y 2 ¾ a2 − b2

2
2
p
 x − y =1
⇐⇒
avec b = c 2 − a2
a2
b2
 2
x + y 2 ¾ a2 − b2
⇐⇒
x2
a2
−
y2
b2
=1 .
En effet, cette équation entraîne x 2 ¾ a2 et donc x 2 + y 2 ¾ a2 ¾ a2 − b2 . D’après l’étude précédente, on a une
c
hyperbole de centre O, d’excentricité e = a , de foyer F 0 , et de directrice D d’équation x =
6)
a2
.
c
ƒ
Définition algébrique
Soit (E) l’ensemble des points M (x, y) du plan vérifiant l’équation :
P(x, y) = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0).
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Les coniques
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
DÉFINITION 7.11
Le nombre ∆ = b2 − 4ac est appelé discriminant de l’expression P(x, y).
→
→
→
→
→
→
Soit −
u = cos(θ )−
ı + sin(θ )−
 et −
v = − sin(θ )−
ı + cos(θ )−
 , notons (x, y) les coordonnées de M
−
→
−
→
→
→
dans le repère
R
=
(O,
ı
,

)
et
(X
,
Y
)
les
coordonnées
dans
le
repère R 0 = (O, −
u ,−
v ), on a alors les
¨
x = X cos(θ ) − Y sin(θ )
relations :
. On en déduit que dans le repère R 0 l’équation de (E) devient :
y = X sin(θ ) + Y cos(θ )
AX 2 + BX Y + C Y 2 + DX + EY + F = 0 avec

A = a cos2 (θ ) + c sin2 (θ ) + b sin(θ ) cos(θ )

B = (c − a) sin(2θ ) + b cos(2θ )

C = a sin2 (θ ) + c cos2 (θ ) − b sin(θ ) cos(θ )
On a alors :
B 2 = a2 sin2 (2θ ) + c 2 sin2 (2θ ) + b2 cos2 (2θ ) − 2ac sin2 (2θ ) − 2a b sin(2θ ) cos(2θ )
+ 2bc sin(2θ ) cos(2θ )
et
4AC = a2 sin2 (2θ ) + c 2 sin2 (2θ ) − 2a b sin(2θ ) cos(2θ ) + 2bc sin(2θ ) cos(2θ )
+ 4ac[cos4 (θ ) + sin4 (θ )] − b2 sin2 (2θ )
on en déduit alors que B 2 − 4AC = b2 − 4ac[cos4 (θ ) + sin4 (θ ) + 12 sin2 (2θ )] = b2 − 4ac.
Remarques :
→
→
– Si on change −
v en −−
v alors B est changé en −B et on a toujours B 2 − 4AC = b2 − 4ac.
– On a A + C = a + c.
– Si A = B = C = 0 alors b2 = 4ac et a = −c ce qui entraîne a = b = c = 0. Par conséquent, puisque
(a, b, c) 6= (0, 0, 0), on a aussi (A, B, C) 6= (0, 0, 0).
THÉORÈME 7.10
Ð
Un changement de repère orthonormé ne change pas le discriminant.
Étape 1 : élimination du terme croisé. Nous allons choisir θ de telle sorte que B = 0 (réduction de
l’équation) :
– Si b = 0 : il n’y a rien à faire, on prend θ = 0.
– Si b 6= 0 et a = c : il suffit de prendre θ = π4 (mod π2 ).
b
– Si b 6= 0 et a 6= c alors il suffit de prendre θ = 12 arctan a−c
.
Une fois ceci-fait, on a l’équation de (E) dans le repère R 0 :
AX 2 + C Y 2 + DX + EY + f = 0.
Étape 2 : élimination des termes en X et en Y et conclusion.
– Si AC 6= 0 (i.e. si ∆ 6= 0) : alors l’équation devient :
D
E
]2 + F 0 = 0
2A
2C
→
→
ou encore dans le repère R 00 = (O0 , −
u ,−
v ) avec O0 (− D , − E ) 0 :
A[X +
]2 + C[Y +
2A
2C R
A[X 0 ]2 + C[Y 0 ]2 + F 0 = 0.
d’où la conclusion :
– Si AC > 0, c’est à dire si ∆ < 0 [car ici −4AC = ∆], alors l’ensemble (E) est soit vide, soit une
ellipse [éventuellement un cercle].
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Exercices
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
– Si AC < 0, c’est à dire si ∆ > 0 , alors l’ensemble (E) est soit une hyperbole, soit la réunion de
deux droites sécantes [lorsque F 0 = 0].
E 2
] + DX + F 0 = 0,
– Supposons A = 0 [donc C 6= 0], c’est à dire ∆ = 0 , alors l’équation devient C[Y + 2C
on en déduit que :
– Si D = 0 : alors l’ensemble (E) est soit vide, soit la réunion de deux droites parallèles.
0
E 2
D
] = 2p[X + FD ] avec p = − 2C
.
– Si D 6= 0 : alors l’ensemble (E) est une parabole car on a [Y + 2C
V)
Exercices
ÆExercice 7.1
a) Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = cos(t)3 et y(t) = sin(t)3 (astroïde).
b) Même question avec la courbe polaire ρ(θ ) = 1 + cos(θ ) (cardioïde).
ÆExercice 7.2
Á l’aide d’un paramétrage bien choisi, étudier l’ensemble des points M (x, y) tels que :
a) x 3 + 2x y + y 3 = 0 (Folium de DESCARTES).
b) (x 2 + y 2 )3 = (x 2 − y 2 )2 .
ÆExercice 7.3
Un cercle roule sans glisser sur l’axe O x, on fixe un point M sur ce cercle. Étudier la trajectoire du
point M .
ÆExercice 7.4
a) Étudier la courbe paramétrée par : x(t) = cos(t)2 et y(t) = cos(t)(1 + sin(t)).
b) Á tout point M (t) de C \ {O}, on associe le point M (u) de C tel que les droites (OM (t))
et (OM (u)) soient perpendiculaires. Déterminer (Γ) le lieu des milieux des segments
[M (t), M (u)].
ÆExercice 7.5
Soit r > 0, soit C le cercle de centre O et de rayon r. Pour tout M ∈ C, le cercle de centre M passant
par O coupe l’axe O x en deux points O et A (éventuellement confondus), et coupe l’axe O y en deux
points O et B (éventuellement confondus), on considère H le projeté orthogonal de O sur la droite
(AB).
a) Calculer les coordonnées cartésiennes de H en fonction de celles de M .
b) Donner une représentation polaire du lieu des points H lorsque M décrit C. Étudier ce lieu.
ÆExercice 7.6
Étudier les courbes suivantes :
a) x(t) =
t2
1+
t2
et y(t) =
t3
1+
t2
b) x(t) =
c) ρ(θ ) = 1 + tan(θ /2)
1
1+ t
+
d) ρ(θ ) =
1
t
et y(t) =
θ +1
θ −1
1
1
+ .
1− t
t
.
ÆExercice 7.7
Déterminer la nature de la courbe d’équation cartésienne (dans un repère orthonormé du plan) :
a) x 2 − 2 y 2 + x − 2 y = 0. b) y 2 + 3x − 4 y = 2.
p
c) x 2 + x y + y 2 = 1.
d) x 2 + 3x y + x = 2.
ÆExercice 7.8
Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB]. Déterminer l’ensemble
des points M tels que M I 2 = M A × M B.
ÆExercice 7.9
Soit (H) une hyperbole équilatère, soient A, B, C trois points distincts sur (H). Montrer que l’orthocentre du triangle (ABC) est sur l’hyperbole.
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Exercices
Chapitre 7 : Courbes paramétrées
ÆExercice 7.10
a) Étudier la courbe paramétrée par : x(t) =
1
t 2 −1
et y(t) =
t
.
t 2 −1
b) Montrer que cette courbe est une hyperbole privée d’un point.
ÆExercice 7.11
Soit (E) une ellipse de foyers F et F 0 , soit M un point de (E). Soient P et Q les deux points de (E)
tels que F est sur la corde [M , P] et F 0 sur la corde [M , Q].
a) À l’aide d’un paramètrage polaire, montrer que
de (E).
b) En déduire que la quantité
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F0M
F 0Q
+
FM
FP
1
FM
+ F1P =
1
F0M
+ F10Q = 2p , où p est le paramètre
est une constante.
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