Chapitre 1 Le modèle à générations imbriquées et l`inefficience
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Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 1 Chapitre 1 Le modèle à générations imbriquées et l’inefficience dynamique On peut discuter de nombreux aspects de la macroéconomie en utilisant le modèle d'agent représentatif à durée de vie infinie (modèle de Ramsey 1928). Dans la mesure où il est animé d'un altruisme intergénérationnel, le père fondateur optimise non seulement pour lui mais aussi pour sa descendance. Tout se passe comme s'il était seul. Ce cadre a deux limites : - Il ne se prête pas à l'analyse explicite des transferts intergénérationnels puisque tout se passe comme si l’agent était seul. - Il ne fait pas apparaître d’inefficience dynamique puisque l’agent représentatif parfaitement rationnel, choisit un équilibre qui est un optimum de Pareto. Pour un agent solitaire l’équilibre est par définition un optimum. Les modèles à générations imbriquées ont été développés par Allais (1947), Samuelson (1958) et Diamond (1965). Des agents à durée de vie finie se comportent selon la théorie du cycle de vie. L'identification de générations nous permet l'analyse des transferts entre générations et permet de mettre en évidence l’inefficience dynamique. Ce que fait une génération n’est pas nécessairement optimal pour la société de toutes les générations. Dans la théorie du cycle de vie, l’agent est égoïste, il épargne pour consommer dans sa retraite et ne laisse rien comme héritage, dans ce cadre il peut trop épargner et conduire à une situation d’inefficience dynamique. Puisque l’altruisme parfait du modèle de Ramsey conduit à l’absence d’inefficience dynamique on comprend que c’est le degré d’altruisme qui pose problème. On pourra le montrer dans le modèle à GI en faisant varier le degré d’altruisme. Section 1 : L'inefficience dynamique Section 2 : Modèle à générations imbriquées d’agents égoïstes Section 3 : Modèle à générations imbriquées d’agents altruistes Section 1 : L’inefficience dynamique L’équilibre général de concurrence pure et parfaite est optimal au sens de Pareto. En abrégé : l’ECG est OP. C’est le premier théorème de l’économie du bien être. Mais si on relâche les hypothèses de l’ECG en introduisant des biens particuliers ou des situations particulières, il peut y avoir rupture entre l’équilibre et l’optimum. Les externalités, les biens publics, la concurrence imparfaite et les défauts d’information (l’aléa de moralité et la sélection adverse) sont les cas de rupture entre équilibre et optimum. En macroéconomie dynamique il existe un autre cas : Il se peut qu’une société épargne trop au sens de Pareto. C'est ainsi que se manifeste l’inefficience dynamique. Fondamentalement l’inefficience dynamique vient du relâchement d’une hypothèse du modèle de concurrence pure et parfaite : l’hypothèse selon laquelle le nombre de biens et d'agents est fini. Supposons qu'à l'ECG l'allocation de consommation soit x a , xb ,....x m l'ECG est OP. Supposons maintenant que le nombre de biens et d'agents soit infini et qu'a l'ECG l'allocation est x a , xb ,....x m ... (supposons tous les paniers identiques). Cet ECG n'est pas OP, car si chaque agent donne son panier à son voisin de gauche, alice se retrouve avec deux Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 2 paniers, elle y gagne et personne n'y perd ! Evidement il est peu raisonnable de supposer à une date donnée une infinité de biens et d'agent, mais cette hypothèse devient très raisonnable en macroéconomie dynamique. A long terme on suppose que la durée de l’économie est infinie, et donc le nombre de biens et d'agents dont on parle n’est pas borné. Samuelson (1958) présente le problème dans une économie d'échange à durée infinie, où existe un bien périssable qui ne peut être stocké et deux catégories d'agent, des jeunes et des vieux. Seuls les jeunes sont dotés d'une unité du bien. La dotation intertemporelle des agents au cours de leur vie est donc (1,0). Comme les préférences sont convexes les agents préfèreraient consommer ½ à chaque période : U ( 12 , 12) U (1,0) . Normalement, dans ce cas où les dotations ne satisfont pas les agents, la microéconomie nous enseigne que l'échange concurrentiel est profitable à tous et conduit la société à l'optimum de Pareto. Mais on est ici dans un cas de figure : a) où l'échange concurrentiel est impossible, on est donc à l’équilibre. b) où il existe une amélioration au sens de Pareto (ASP), possible. Comme par définition une économie est à l’OP s’il n’y a pas d’ASP possible, on en conclu que dans ce cas, l’ECG n’est pas OP. a) L'échange consisterait à ce que le vieux obtienne ½ bien du jeune, contre la promesse de lui restituer ½ à la période suivante. Malheureusement, à la période suivante, le vieux sera mort et ne pourra tenir sa promesse. Il n'y a pas d'échange possible pour améliorer l'utilité de chacun. Chacun garde en concurrence pure et parfaite le niveau d’utilité U (1,0) , alors que l'optimum est U ( 12 , 12) . L'équilibre concurrentiel n'est pas un optimum de Pareto, car il existe une amélioration au sens de Pareto, possible. b) Il existe en effet une amélioration au sens de Pareto, possible. Par exemple pour régler ce problème le dictateur bienveillant peut créer une institution qui tienne ses promesses. Par exemple : 1) L'Etat prélève à chaque période ½ bien aux jeunes et verse ce ½ bien aux vieux. 2) L’Etat crée de la monnaie, (réserve de valeur stockable) et distribue cette monnaie au vieux. Le vieux peut dès lors, acheter du bien au jeune, qui à son tour quand il sera vieux, pourra acheter du bien au nouveau jeune. 3) Une caisse de retraite ou 4) une dette publique sont des institutions qui font aussi l’affaire. Tout le monde gagne à ces arrangements coopératifs, c’est une ASP. En effet le problème et sa solution vient du fait que le nombre de bien et d'agent est infini. Si l’économie était finie, il n’y aurait pas de différence entre l’équilibre et l’optimum. Si l’économie était finie, il n’existerait pas d’ASP possible, car la dernière génération perdrait à cet arrangement : les jeunes donneraient ½ aux vieux mais personne ne leur donnerait ½ à la période suivante. Donc dans ce cas l’équilibre concurrentiel serait optimal, et il n’y aurait pas de problème. En résumé il existe un problème d’inefficience dynamique à cause de l’hypothèse de durée de vie infinie de l’économie, hypothèse dont voit mal comment on pourrait se passer. 1. La possibilité d’inefficience dynamique lorsque l'épargne est exogène Dans le modèle de Solow1 à l'état régulier, on s'intéresse aux effets du taux d'épargne exogène sur le bien-être. À l'état régulier, s ne détermine pas la croissance mais les niveaux de k*, y*, c*, r*, w*. Ainsi, divers taux d'épargne ou diverses politiques d'épargne mèneront à des états réguliers présentant le même taux de croissance mais avec des niveaux différents de consommation, donc de bien-être. 1 Nous reprenons les notations et le cadre présenté dans «Croissance et politique économique » Darreau (2003) Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 3 Posons nous deux question : - Y a t’il un « bon » s , un taux d’épargne optimal ? - Y a t’il un « mauvais » s, une ASP possible ? 1.1 L’équilibre concurrentiel L’équilibre concurrentiel exige la condition d’équilibre I = S et donc en introduisant l’amortissement du capital I K sY K donc DK sY K et en introduisant le progrès technique et la croissance de la population on peut écrire en variables par tête efficaces l’équation dynamique du modèle de Solow Dkˆ sf (kˆ) ( x n )kˆ et représenter l’état régulier en fonction de différents taux d’épargne : Figure 1 : Etat régulier et épargne Sur la figure 1, le choix de s par une société (s1 élevé ou s2 faible) ou par le dictateur bienveillant, détermine le niveau de consommation par tête à l'état régulier, et donc le bienêtre de la société. Il existe donc (figure 2) une valeur de s (et donc de k*) qui maximise le niveau de consommation par tête d'état régulier : c’est l’optimum de Phelps, qui détermine le taux d'épargne optimal sor de la règle d'or. Figure 2 : Optimum de Phelps Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 4 1.2 La règle d'or L’optimum de Phelps (maximum de consommation par tête d’état régulier) a une propriété mathématique nommée la règle d’or. Le problème d'optimisation peut être formalisé comme un problème de choix de kˆ( s) qui maximise la consommation sous la contrainte d'état régulier : sous : s. f kˆ(s) ( x n ).kˆ(s) Maxkˆ : cˆ( s) (1 s) f kˆ( s) En reportant la contrainte dans la fonction objectif on a : Maxkˆ : cˆ(s) f kˆ(s) ( x n ).kˆ(s) et la condition du premier ordre est la règle d’or : f '(kˆor ) Pmkor ( x n ) . La consommation par tête d'état régulier est maximale lorsque le capital par tête d'état régulier est tel que la productivité marginale du capital est égale à (x+n+ ). Puisque les capitalistes sont rémunérés à la productivité marginale du capital nette de l'amortissement Pmk et puisqu'il y a arbitrage entre les deux formes d'actif, le capital et les prêts r Pmk , on doit avoir à l’optimum de Phelps, l'égalité entre le taux d'intérêt et le taux de croissance de l'économie : ror = (x+n) soit encore ror 1.3 Le taux d'épargne optimal au sens de Phelps On peut le calculer lorsqu'on spécifie la fonction de production, par exemple avec la CobbDouglas Y K ( AL)1 ou encore ŷ kˆ . En rappelant que ŷ kˆ kˆ 1 et que dyˆ dkˆ kˆ 1 et donc que yˆ kˆ 1 dyˆ dkˆ I DK K DK / K x n = Y Y/K (1 / ) Pmk or Y L'épargne optimale au sens de Phelps est égale à la part des profits dans le revenu. Si l'on reprend la paramétrisation = 1/3, le taux d'épargne optimal est égal à 30% . Ce taux paraît très important, même s'il s'agit du taux d'épargne brut. Nos sociétés épargnent moins que ce taux, sauf peut-être le Japon, comme le montre le tableau 1. sor = Tableau 1 : taux d'épargne des pays développés, moyenne 1980-90 Royaume-Uni USA Espagne Italie Allemagne France 17,1% 21,0% 23,9% 24,4% 24,5% 25,2% Japon 33,8% Source : Summers et Heston, 1991. On pourrait conclure sur cette base, que nos sociétés n'épargnent pas assez. Mais ce taux optimal au sens de Phelps, n’est pas nécessairement optimal au sens utilitariste. Il est trop élevé comme on le verra dans la section 2, car il ne tient pas compte de la préférence pour le présent des agents. Pour l'instant la question est de savoir si une société qui n'épargne pas selon sor a toujours intérêt à modifier son taux d'épargne pour adopter le taux optimal de la règle d'or. Si le taux d'épargne est inférieur à celui de la règle d'or, alors toute augmentation du taux d'épargne augmente le niveau de la consommation par tête d'état régulier. Si le taux d'épargne est supérieur à celui de la règle d'or, alors toute réduction du taux d'épargne augmente le niveau de la consommation par tête d'état régulier. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 5 Figure 3 : L’épargne optimale au sens de Phelps c cor sor s Cette constatation n'implique cependant pas, que la modification du taux d'épargne soit nécessairement une politique optimale au sens de Pareto (une ASP). Encore faut il qu’il y ait des ASP possibles pour dire que l’équilibre n’est pas optimal. C’est notre deuxième question Y a t’il des ASP possible ? La figure 4 illustre le cas d'inefficience dynamique lorsque l'épargne est trop forte (s1>sor). Si l'épargne est trop forte et donc le capital d'état régulier kˆ *( s1 ) , on peut être sûr que le dictateur bienveillant a intérêt à baisser le taux d'épargne. Ce taux d'épargne est inefficient, car une consommation par tête plus élevée pourrait être obtenue en tout point du temps, en diminuant le taux d'épargne. Cette politique est une amélioration au sens de Pareto. Figure 4 : Epargne trop forte et ASP yˆ*(s1) (x+n+δkˆ cˆ*(s1) yˆ*(sor) cˆ(t) s1 yˆ cˆ*(sor) cˆ*(sor) sor yˆ cˆ*(s1) t0 kˆ*(sor) kˆ*(s1) t kˆ Dès la date (t0) de la politique (baisse de s1 à sor), la consommation se retrouve immédiatement au dessus de son niveau initial et y reste durant toute la dynamique transitoire, c'est donc une bonne politique (au sens de Pareto : toutes les générations y gagnent). Une épargne trop forte est une inefficience dynamique car une consommation par tête plus élevée pourrait être obtenue en tout point du temps. La figure 5 illustre le cas où l'épargne est « trop faible » (s2 < s or). Si l'épargne est trop faible et donc le capital d'état régulier kˆ *( s2 ) , on ne peut pas savoir, dans ce modèle d'épargne exogène, si le dictateur à intérêt a augmenter le taux d'épargne. Cette politique n'est pas une amélioration au sens de Pareto. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 6 Figure 5 : Epargne trop faible et absence d’ASP yˆ*(sor) (x+n+ kˆ cˆ*(sor) cˆ*(sor) yˆ*(s2) sor yˆ cˆ*(s2) cˆ*(s2) s2 yˆ t0 kˆ*(s2) kˆ*(sor) T t kˆ À la date (t0) de la politique (hausse de s2 à sor), la consommation baisse, puis augmente progressivement durant la dynamique transitoire et se retrouve en fin de compte au dessus de son niveau initial. Mais durant la dynamique transitoire, entre t0 et T la consommation est en dessous de son niveau initial. On ne peut pas être sûr que cette politique augmente le bien-être de la société. Augmenter le taux d'épargne augmentera le bien-être des générations futures, mais baisse pour l'instant le bien-être des générations présentes. Cette politique n'est donc pas une amélioration au sens de Pareto 2. Mais cette politique peut cependant être une amélioration au sens utilitariste, tout dépend de la façon dont on pondère les intérêts des générations présentes et futures. Ce résultat fondamental sera montré dans le paragraphe suivant. En résumé, on vient d’apprendre qu'il ne faut pas trop épargner. Une épargne excessive constitue une inefficience dynamique. Tous les états réguliers à droite de kˆ *or sont des équilibres concurrentiels qui ne sont pas des optimums de Pareto. Cela peut paraître curieux, si l'on se rappelle du premier théorème de l'économie du bien être. Mais il en est simplement ainsi parce que nous avons considéré une épargne exogène3. Si l’épargne est endogène, montrons qu’il n’y a plus de possibilités d’inefficience dynamique. 2 Remarquons que l'état régulier déterminé par s2 (comme tous les états réguliers à gauche de kor) est un optimum de Pareto, puisqu'il n'est pas possible d'améliorer le bien-être d'une génération sans diminuer celui d'une autre. 3 Dans le modèle à GI nous considèrerons des raisons plus subtiles qui font qu'une situation d'inefficience dynamique peut survenir même dans le cas où l'épargne est endogène. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 7 2. L’efficience dynamique dans le modèle d'agent représentatif Dans ce modèle de Ramsey, l’agent représentatif (parfaitement altruiste) choisit son niveau d’épargne. Montrons qu’il ne peut y avoir d’inefficience dynamique. 2.1 Le modèle L’agent représentatif maximise son utilité de la date zéro jusqu’à l’infini sous la contrainte d’accumulation du capital. Max c(t) U e .t en.t u (c(t )). dt avec u(c(t )) c(t )1 1 0 Sous Dkˆ f (kˆ) cˆ x n .kˆ Notons que cet agent est altruiste dans la mesure où il tient compte de tous les individus futurs ( e nt ) et actualise à un taux unique e t le même pour lui et pour toutes les individus futurs. Notons aussi que ce programme satisfait au critère Utilitariste. Remarque importante pour toute la problématique qui suit : Comme l’agent est ici altruiste donc immortel, la fonction objectif est une somme infinie, il y a donc une condition d’existence à la solution de ce problème4 : il faut que soit suffisamment élevé : n (1 ) x C’est cette condition qui permet d’éviter l’inefficience dynamique dans le modèle de Ramsey comme nous le verrons au §2.5. C’est elle qui fera défaut dans le modèle à générations imbriquées comme nous le verrons dans la section 2. On sait que (Voir Darreau 2003 pages 56-58) les 3 conditions du premier ordre peuvent se résumer à deux équations : Dc 1 - Le sentier d’évolution de la consommation, la règle de Ramsey Keynes : r c Elle dit que la consommation par tête augmente lorsque le taux d’intérêt est supérieur à la préférence pour le présent. - La condition de transversalité : lim kˆ.e x.t . (0)e ( r n )t 0 t Elle dit que la valeur actuelle du capital est nulle à l’infini. 2.2 Etat régulier A l’ER, toutes les variables croissent à taux constant. On sait que pour les variables par tête efficace ce taux est nul. Dkˆ Dcˆ 0 . Les valeurs de ĉ et k̂ d'état régulier sont donc solutions de deux équations différentielles qui satisfont les deux conditions suivantes : 4 Pour avoir un maximum il faut que l’utilité ne tende pas vers l’infini. Il faut donc que la somme converge vers une valeur finie. Ue c(t )1 e . dt 1 .t n.t e c(0)e x.t 1 .t n.t e 1 qui converge vers une valeur finie si n (1 ) x . 0 0 . dt .t n.t (1 ) x.t e e e 0 c(0)1 . dt est une somme 1 Cette condition d’existence se retrouve dans les conditions du premier ordre comme on l’explique en 2.2. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique Dkˆ f (kˆ) cˆ x n .kˆ 0 Dcˆ cˆ* f (kˆ*) ( x n )kˆ * 1 f '(kˆ) .x .cˆ 0 8 f '(kˆ*) .x r .x Figure 6 : état régulier du modèle de Ramsey Dcˆ 0 implique une valeur particulière pour la productivité marginale du capital (graphe du haut) et donc pour k̂ : droite verticale en kˆ * sur le graphe du bas. Dkˆ 0 implique une valeur particulière pour ĉ : que la consommation soit un résidu après investissement requis. (lentille sur le graphe du haut) (courbe sur le graphe du bas). f ( kˆ ) f ( kˆ ) n+x+ (n+x+) k̂ x ĉ k̂ Dcˆ 0 cˆor L’intersection de la droite et de la courbe (graphe du bas) satisfait les deux conditions de l'état régulier. Dkˆ O cˆ* L'état régulier est kˆ * , cˆ * . kˆ * kˆor k̂ La condition d'existence de cet état régulier se retrouve dans les conditions du premier ordre. Considérons la condition de transversalité : lim kˆ.e x.t . (0)e ( r n )t 0 . Puisque k̂ est constant à t l'état régulier, cette condition est vérifiée lorsque e ( r n x )t tend vers zéro. Donc lorsque r* f '(kˆ) n x . Comme à l'état régulier r* x , la condition paramétrique pour avoir un état régulier est donc que x > n + x. Cette condition sur les paramètres implique concrètement que le taux d’intérêt doit être supérieur au taux de croissance. 2.3 La règle d'or modifiée L'équation f '(kˆ) x est la règle d'or modifiée. A l'optimum au sens utilitariste5, le taux d'intérêt est égal au taux d'intérêt psychologique : r* x . C'est une implication de la règle de Ramsey-Keynes à l'état régulier. Comparons les deux règles d'or. Maximiser la consommation d'état régulier selon le critère de Phelps, ou maximiser l'utilité intertemporelle selon le critère Utilitariste, ne conduit kˆor sont des optimums de Pareto. Parmi ceux-ci, un est optimal au sens de Phelps ( kˆor ) et un est optimal au sens utilitariste ( kˆ * ). 5 On a vu que tous les équilibres à gauche de Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 9 évidemment pas à la même norme d'optimalité. La règle d'or est (ror = x+n), la règle d'or modifiée est ( r* x ). Selon la condition d'existence, x > n+x et donc r* > ror ou encore f '(kˆ*) f '(kˆ ) . Donc (et on le voit sur la figure 6) le niveau de consommation par or tête, qui découle de la règle d'or modifiée, est inférieur à celui qui résulte de l'application de la règle d'or. En effet, la règle d'or modifiée résulte d'une modélisation où l'agent représentatif a une préférence pour le présent, et cette préférence pour le présent a un prix : c'est l'écart entre cˆ * et cˆor . 2.4 Le taux d'épargne optimal au sens utilitariste Calculons le taux d'épargne déterminé de façon endogène. Avec ŷ kˆ on a : DK K DK / K x n x n I s* = = Y Y Y /K (1/ ) Pmk * ( x) En prenant les valeurs habituelles : = 0,3, x = 2%, n = 1%, = 5%, = 2%, = 2, on trouve un taux d'épargne optimal égal à 22%, inférieur au taux qui résulte de la règle d'or qui est égal à = 30%. Le modèle de Ramsey donne une explication plus réaliste des taux d'épargne, il explique leur faiblesse par la préférence pour le présent. 2.5 Pas d’inefficience dynamique dans le modèle de Ramsey Puisque par la condition d'existence ou par les CPO x > n + x, l’état régulier est nécessairement à gauche de kˆ , l'excès d’épargne ne peut pas exister. Le taux d’épargne or optimal au sens utilitariste (endogène) ne peut être trop élevé. Il pouvait l'être dans le modèle de Solow, car le taux d’épargne exogène était « arbitraire », il pouvait donc être trop fort. Concrètement, le modèle de Ramsey prédit un taux d’intérêt supérieur au taux de croissance, ce qui est la situation des économies occidentales depuis les années 1980. Le graphique suivant présente la différence (taux d’intérêt - taux de croissance). Graphe 1 : Différence taux d’intérêt - taux de croissance (source OCDE) 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 -1,0 1992 1995 1998 2001 2004 2007 -2,0 -3,0 Japan United States Euro area Nous allons maintenant montrer la possibilité d'inefficience dynamique dans le cadre du modèle à générations imbriquées. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 10 Section 2 : Les générations imbriquées d'agents égoïstes Nous allons construire un nouveau modèle pour mettre en évidence les transferts entre générations. L’identification de générations nous oblige à abandonner le temps continu pour le temps discret. La caractéristique propre du modèle à générations imbriquées est que l'agent a un horizon de vie finie. En ce sens il ne se préoccupe pas du sort de ses descendants, et dans un premier temps on le suppose parfaitement égoïste. Cet égoïsme peut être responsable d’une inefficience dynamique, les décisions prises par des agents rationnels en concurrence parfaite, peuvent ne pas être favorables à l’ensemble des générations. Mais l'on peut (Barro 1974) introduire l'altruisme entre parents et enfants. L'altruisme se traduit par des transferts volontaires d'une génération à l'autre, les parents laissent un héritage à leurs enfants. Dans la section 3, on supposera l'agent relativement altruiste. Nous nous demanderons si cela implique l'absence d'inefficience dynamique (comme dans le cas ou il est parfaitement altruiste du modèle de Ramsey que nous venons d'examiner). 1. La population À chaque date t naît une génération d'individus, en nombre N t . Ces individus vivent deux périodes : ils sont « jeunes » et travaillent entre t et t+1 et « vieux » et à la retraite entre t+1 et t+2. Ils meurent en t+2. A chaque période ne vivent donc que deux générations. A la période (t / t 1) vivent N t jeunes et Nt 1 vieux. On peut noter Nt j (t / t 1) ce nombre de jeunes et Ntv1 (t / t 1) ce nombre de vieux. Le schéma suivant montre comment les générations s’imbriquent. Nt j1 Ntv1 t-1__________t___________t+1 Nt j N tv t ___________t+1___________t+2 Nt j1 Ntv1 t+1___________ t+2___________t+3 Puisque les jeunes de la période (t / t 1) seront les vieux de la période (t 1/ t 2) on a : Nt Ntv Nt . Par hypothèse le nombre d’individus nés en t est Nt (1 n).Nt 1 . On suppose donc que la population croit au taux exogène constant, n et que N0 1 . Nt 1 (n 1) (0.1) Nt Il faut remarquer que le taux (n) est un taux sur la période (t / t 1) . Si la période est par exemple de 30 ans, un taux annuel nannuel 1% 0.01 correspond à un taux périodique j n 0.35 si on prend des intérêts composés (1 0.01)30 1.35 ou n 0.3 si on prend des intérêts simples. (Il est plus judicieux de considérer des intérêts simples comme on le verra). Les N t individus nés en t engendrent Nt 1 individus. Chaque individu né en t engendre donc Nt 1 (n 1) individus. Donc (n 1) est le nombre d’enfants de chaque individu. Nt Par la suite on dit pour simplifier "période t" pour période (t / t 1) . Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 11 2. Les consommateurs j Les jeunes vendent leur travail et perçoivent un salaire wt qui leur permet de consommer ( ct ) et d'épargner ( st ). Les vieux consomment intégralement (ils sont égoïstes) le revenu de leur épargne avant de mourir. Les contraintes budgétaires d'un agent né en t sont donc : quand il est jeune en t : ctj st wt (1) : ctv1 1 rt 1 .st quand il est vieux en t+1 La contrainte intertemporelle est donc : ctj (2) v t 1 c wt 1 rt 1 u (ctv1 ) Sa fonction d'utilité est en t : Vt u (ct ) (3) 1 où est le taux de préférence pure pour le présent. L’agent est égoïste, il ne tient pas compte du bien être de ses enfants6. Remarquons que la fonction objectif est une somme finie et donc qu’il n’y a pas ici de condition d’existence7 (ce qui autorisera l’inefficience dynamique). Tout ce que l’on peut imposer sur afin que l’utilité future entre positivement dans la fonction d’utilité c’est que : 1 Pour wt et rt+1 donnés, l'agent, price taker, choisit ct et ct+1 ou de façon équivalente st. Pour résoudre le problème d'optimisation de l'agent né en t, on peut substituer (1) et (2) dans (3) et maximiser cette fonction par rapport à st. Vt u (ctj ) ctj 1 u (ctv1 ) ctv1 La condition du premier ordre est : 0 st ctj st (1 ) ctv1 st j Vt u (ctj ) (1 rt 1 ) u (ctv1 ) 0 Soit : st ctj (1 ) ctv1 u '(ctj ) 1 rt 1 (4) u '(ctv1 ) 1 La règle d'optimalité intra-générationnelle détermine le TMS intertemporel de l'individu entre ses consommations sur les deux périodes de sa vie. Il dépend évidemment du rapport entre le taux d'intérêt et son taux de préférence pour le présent. C’est la règle de RamseyKeynes en temps discret (Voir Darreau 2003 page 295). Ce résultat peut se présenter en utilisant des spécifications particulières des fonctions d'utilité. Nous donnons dans le tableau ce résultat pour les deux fonctions habituelles. Tableau 1 : TMS pour deux fonctions d'utilité habituelles u u =Ln(c) u '(ctj ) 1 rt 1 u '(ctv1 ) 1 ctv1 1 rt 1 ctj 1 u c1 1 1 1 ctv1 1 rt 1 ctj 1 On peut alors, grâce à ces fonctions, déduire la valeur de l'épargne. En utilisant la condition d'optimalité et les contraintes, on exprime st , ctj , ctv1 en fonction de st , wt , rt 1 . u (ctv1 ) (1 n) .Vt 1 Le terme de droite représente l'utilité du 1 (1 ) descendant (Vt+1) multipliée par le nombre de descendants (1+n) et actualisée par (1 ) . 6 7 Plus loin nous considèrerons Vt u (ctj ) En fait la condition de transversalité est posée implicitement dans l'équation (2) qui présuppose que l'agent meurt après avoir consommé tout son capital. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique Exemple en utilisant la fonction d'utilité Vt ln ctj Le lagrangien est L ln ctj 12 ln ctv1 : 1 ln ctv1 cv ctj t 1 wt 1 1 rt 1 ctv1 1 rt 1 La condition du premier ordre : j . ct 1 1 1 La solution 8 : st wt ctj wt 2 2 ctv1 1 rt 1 wt 2 (5) L'épargne est une fonction croissante du salaire. La propension à épargner le revenu salarial est une constante égale à 1 2 lorsque la fonction d’utilité est une fonction log. 1 1 rt 1 c1 1 .wt . Remarquons qu'en utilisant u , on obtiendrait st 1 1 1 1 1 rt 1 L'épargne est une fonction croissante du taux d’intérêt r si est inférieur à 1 (l'effet de substitution domine). L'épargne est une fonction décroissante de r si est supérieur à 1 (l'effet de revenu domine). L'épargne n'est pas fonction de r si est égal à 1(cas u =Ln(c) où les deux effets se compensent exactement). (Voir Darreau 2003 page 297-299). 3. Les producteurs Yt f ( Kt , At Lt ) La production de la période t est : où Lt Nt est le travail fourni par les N t jeunes de la période t. et K t est le capital possédé par les Nt 1 vieux de la période t. Pour simplifier on suppose que toutes les entreprises sont identiques. La dépréciation du capital est parfois nulle 0 , parfois totale sur la période 1 Dans ce modèle où la période est de 30 ans il est réaliste que 1 . Mais utiliser 0 simplifie des fois les calculs. Enfin, le plus souvent on suppose qu’il n’y a pas de progrès technique x 0 , et donc que At A 1 . On peut supposer que le taux de croissance de la population est celui du travail efficace (n = n'+x) où n' serait le taux de croissance de la population. Yt wt Lt (rt ) Kt 0 Les rendements sont constants, le profit est : rt f '(kt ) . En concurrence, on a : wt f (kt ) kt . f '(kt ) et Pour la fonction Cobb-Douglas : Yt Kt .Lt1 ou en divisant par Lt Nt : f (kt ) k , wt (1 ).kt rt .kt 1 1 rt 1 j .ct En égalisant avec (2) on a : ctj (1 ).st 1 wt j En portant cette expression de ct dans (1) on a : (1 ).st st w et donc st 2 1 yt 1 y . y où est le taux d'épargne. w st t t t 2 2 2 8 De la condition on a ctv1 (6) (7) Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 13 4. Equilibre concurrentiel A l’équilibre concurrentiel, les consommateurs maximisent leur utilité, les producteur maximisent leur profit, les équations (4,5,6,7) sont satisfaites et les marchés sont équilibrés. Le marché du travail l’est par hypothèse, il reste deux marchés, celui des biens et celui du capital. Par la loi de Walras il suffit donc que le marché du capital soit équilibré. A l'équilibre, on a I t St . L’originalité du modèle tient dans la formulation de cette condition que l’on explique en détail. L’investissement de la période t,t+1 est : It Kt 1 Kt Kt L’épargne globale nette de la période t est égale à l'épargne des jeunes Nt st moins la désépargne des vieux qui consomment toute l'épargne qu'ils avaient accumulée, qui est égale au capital de la période t net de son usure : Nt 1st 1 Kt Kt . L’épargne globale de la période t,t+1 est : St Nt st Kt Kt A l'équilibre, I t St s’écrit donc : Kt 1 Kt Kt Nt .st Kt Kt , ou encore Kt 1 Nt .st . L'épargne des jeunes est égale au stock de capital de la période suivante. Capital qu’ils consommeront a leur tour quand ils seront vieux. N K N .s En divisant par N t , on obtient t 1 t t et puisque Nt t 1 : (1 n) Nt Nt (1 n)kt 1 st (8) C’est ainsi que nous écrirons la condition d’équilibre sur le marché du capital. 5. Dynamique transitoire et état régulier Dans ce modèle l’équation dynamique résulte du fait que st est fonction de wt et de rt+1, on obtient une équation de récurrence entre kt et kt+1. s w(kt ), r (kt 1 ) st f (kt ) kt . f '(kt ), f '(kt 1 ) s kt 1 t t 1 n 1 n 1 n Elle a comme solution d'état régulier kt = kt+1. Cette solution n'est pas garantie dans le cas général. Il se peut qu’elle n’existe pas, qu'elle ne soit pas stable ou qu'elle ne soit pas unique que la dynamique soit oscillatoire et non asymptotique (voir Romer 1997 p88 et AbrahamFrois dynamique économique, ou instabilité cycle et chaos). L'état régulier existe, est unique et stable, si la fonction d'utilité est logarithmique et la fonction de production est une CobbDouglas. C’est ce que nous supposerons. Dans toute la suite nous supposons un état régulier unique stable et une dynamique transitoire est non oscillatoire. Avec la Cobb-Douglas en remplaçant st par (5) et wt par (6), on a : (1 ).kt kt 1 (9) (1 n).(2 ) C’est une équation de récurrence croissante et concave en kt. Dans ce cas, la figure 1 montre l'évolution de kt+1 en fonction de kt. A partir de k0 le stock de capital par tête augmente et converge vers : 1 1 1 (1 ) k* (1 n).(2 ) 1 1 1 (1 n).(2 ) (1 n) (1 ) (10) Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 14 La seconde écriture correspond à celle du modèle de Ramsey où le dénominateur est la Pmk, la troisième à celle du modèle de Solow où 1 2 est le taux d'épargne9. Pour cette valeur d'état régulier k* la productivité marginale du capital est : f '(k*) .k *( 1) (1 n)(2 ) 1 (11) Figure 1 : Convergence du capital vers l'état régulier kt+1 = kt kt+1 k1 k0 k* kt Les propriétés du modèle sont identiques à celles du modèle d'agent représentatif, sauf trois : 1) l'instabilité est possible ici si la fonction d'utilité n'est pas logarithmique et la fonction de production n'est pas Cobb-Douglas, ce que nous ignorerons, 2) k* peut être dans ce modèle supérieur au niveau de capital par tête de la règle d'or, l’économie peut être en inefficience dynamique, ce qui nous intéresse particulièrement, 3) la consommation des jeunes et des vieux est identifiable. 6. Consommation des jeunes et des vieux Des équations : (1) ctj st wt , (2) ctv1 1 rt 1 .st , (6) wt (1 ).kt (7) rt .kt 1 , (8) (1 n)kt 1 st . On obtient wt ctj ctv1 ctv1 (1 n)kt 1 soit (1 )kt ctj (1 n)kt 1 1 rt 1 1 kt11 Donc : ctj (1 )kt (1 n)kt 1 et ctv1 (1 n)kt 1 1 kt11 La consommation totale en t est : Ct Nt ctj Nt 1ctv En divisant par N t on défini la consommation totale par travailleurs en t : ctv j Définition : ct ct (1 n) A l’état régulier on obtient : (12) cv (1 n)(1 )k (1 n) .k c j (1 ).k (1 n)k c k n k (13) La « consommation par tête agrégée » est égale à la production moins l’investissement requis comme dans le modèle à agent représentatif. Mais observons que le modèle à générations imbriquées nous fournit un renseignement supplémentaire : les vieux consomment le revenu du capital k et le capital10, alors que les jeunes consomment leur salaire, moins le capital qu’ils rachètent aux vieux, moins l’investissement requis. Le niveau du capital par tête ne 9 Voir note de bas de page 8. S'il en reste c’est-à-dire si 1 . 10 Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 15 procure pas la même consommation aux jeunes et aux vieux ce qui pourra être source d'un conflit entre générations. On peut représenter les équations (12) et (13) : Figure 2 : Préférence pour le présent et consommations des jeunes et des vieux cv 1 n w c v cˆ j cˆv cj k̂ c kor k k k Lecture du graphe : Ces courbes (équations 12 et 13, dépendent de , n, et k * . Elles sont tracée pour et n donnés ( 0,3 et n 0,35 et 0 ) et pour k * variable. Puisque k * est fonction de , n, , et puisque et n sont donnés, seul varie. Comme k* est une fonction décroissante de , quand la préférence pour le présent baisse, k * augmente. Plus le capital d’état régulier est important, plus les vieux consomment. Pour les jeunes dans un premier temps, un plus fort capital d’état régulier augmente leurs salaires, puis la décroissance des rendements, rend l’augmentation du salaire inférieure à l’investissement requis et la consommation baisse. Figure 3 : Courbe des possibilités de consommation d’état régulier cv c - Le long de la courbe des possibilités de consommation (0, c v ) , le capital par tête 45° v augmente de 0 à k . 11 -si -si -si -si cˆv cˆ j cj k 0 alors c j 0 et cv 0 k k alors c j 0 et cv c v k kˆ alors c j cˆ j et cv cˆv k k alors c j cv sur la droite à 45° Remarque : Le cas k k où c j cv sur la droite à 45° est la seule solution du modèle à agent représentatif de Ramsey. En effet pour un agent représentatif, la condition de Ramsey-Keynes 11 Remarque : il est difficile de calculer l’équation de la CPC, mais facile de calculer sa pente : dc v dc v dk (1 n)(1 2 k 1 ) . Elle est positive pour les valeurs de k inférieures, négative pour dc j dc j dk (1 ) k 1 (1 n) 1 les valeurs supérieures à (1 ) 1 kˆ 1 n qui est le capital qui maximise la consommation de jeunes. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 16 ct 1 1 rt 1 . A l’état régulier (sans ct 1 progrès technique) comme ct 1 ct on a nécessairement r * . Remarque sur l’hétérogénéité de la préférence pour le présent : Dans le modèle de l’agent représentatif a durée de vie infinie, à l’état régulier, la préférence pour le présent est égale au taux d’intérêt, parce que la consommation par tête ne varie par au cours du temps. Il en résulte qu’il est impossible que deux agents aient des taux de préférences pour le présent différentes. cv 1 rt 1 Dans le modèle à génération imbriquées la condition est t j1 et il n’est pas ct 1 nécessaire que la consommation des jeunes soit égale à la consommation des vieux (même si à l’état régulier le profil de consommation de chaque génération est constant : ctj ctj1 ). Donc la préférence pour le présent n’a pas besoin d’être égale au taux d’intérêt. Il en résulte qu’il est possible que deux agents aient des taux de préférences pour le présent, différentes. dans le cas d’une fonction d’utilité logarithmique est 7. Inefficience dynamique dans le Modèle à GI Comme nous l’avons vu dans la section 1 l’inefficience dynamique se révèle par la comparaison de la position respective du capital d’état régulier et du capital qui maximise la consommation par tête. On a calculé k*, calculons maintenant kor et comparons les deux. 7.1 La règle d’or. La contrainte d'accumulation (Y-DK=C) de l'économie en t s'écrit ici : F ( Kt , Nt ) Kt 1 Kt Kt Nt .ctj Nt 1.ctv f (kt ) (1 n)kt 1 (1 )kt ctj 1 .ctv (1 n) 1 .c *v c * , la consommation par (1 n) travailleur agrégée. La contrainte d'accumulation devient : f (k*) n k* c * (14) Elle est identique à celle du modèle de l’agent représentatif, la consommation par travailleur d'état régulier est égale à la production par travailleur, moins « l'investissement requis » pour maintenir le capital par tête à son niveau d'état régulier. En maximisant (14) on tire la règle d'or : f '(k or ) n Le capital par tête qui vérifie la règle d’or peut être calculé en utilisant la fonction CobbDouglas f (k ) k , on a f '(k ) k 1 et on obtient : A l'état régulier c et k sont constants. Posons c * j k n or 1 1 (15) 7.2 L’état régulier peut être en inefficience dynamique On a expliqué dans la section 1 qu'il y a inefficience dynamique et suraccumulation si k* > kor. En comparant (10) et (15) on voit que ce cas de figure est possible si (en supposant que 1 ): Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique (1 n).(2 ) 1 n f '(k ) 1 n r * n 1 1 1 taux d'épargne (1 n).(2 ) 1 n (2 ) 17 (16) Si les trois paramètres ( , , n ) vérifient cette relation, alors l’économie est en inefficience dynamique. Une suraccumulation peut se produire dans ce modèle, si la part du capital ( ) est faible et si le taux de préférence pure pour le présent ( ) est faible, Ces deux phénomènes, l'un du côté de l'offre , l'autre du côté de la demande , poussent le taux d'intérêt à être faible et le taux d'épargne à être fort. Il y a inefficience dynamique si le taux d'intérêt (voir équation 11) est inférieur au taux de croissance r* < n ou si le taux d'épargne (voir note bas page 8) est supérieur à la part du capital. Pourquoi est-il possible d'être en inefficience dynamique dans ce modèle ? Dans ce modèle à générations imbriquées, rien n’oblige la préférence pour le présent à être suffisamment élevée contrairement au modèle d’agent représentatif12, puisqu’il n’y a pas de condition d’existence (voir les commentaires de l’équation 3). Dans ce modèle peut être nul voire même négatif. Dans ce cas d’inefficience dynamique, théoriquement possible (et empiriquement13), les agents optimisateurs du modèle de générations imbriquées peuvent trop épargner au sens de Pareto. Ce résultat d'inefficience possible est maintenant compris mathématiquement. On comprend que dans le modèle d'agent représentatif on a une condition de transversalité qui n'existe pas dans le modèle à générations imbriquées. Mais quelle est l'intuition derrière ce résultat ? En effet : Cette situation d'inefficience était impossible dans le modèle de Ramsey où l'agent représentatif optimisait son épargne. Comment se fait-il, que dans le modèle à générations imbriquées, bien que les agents décident de leur épargne par optimisation, bien qu'il n'y ait pas d'externalités, bien que les marchés soient en concurrence parfaite, l'épargne puisse être excessive ? Parce que est faible certes ! C'est la condition nécessaire ! Mais la possibilité d'inefficience dynamique du modèle à générations imbriquées provient de la coexistence de trois hypothèses à la base de la modélisation : 1) la durée de vie finie d’agent égoïstes 2) la coexistence des générations 3) d'un nombre infini de générations. Si les agents (à faible ) veulent beaucoup épargner pour avoir une forte "retraite" alors l’épargne est forte, le stock de capital est élevé et le taux d’intérêt est faible et ils ont en définitive une petite retraite. Ils sont d'autant plus obligés d'épargner que le taux d'intérêt est faible…et ce faisant ils diminuent le taux d'intérêt etc… Dans le modèle à générations imbriquées, en concurrence parfaite, si les jeunes veulent consommer quand ils seront vieux, ils sont obligés d'épargner, même si le taux d'intérêt r* est faible. Si les jeunes épargnent une unité de revenu ils auront (1+r*) à dépenser dans leur vieillesse. C’est la seule solution pour eux en concurrence. Mais il existe dans ce modèle (par la coexistence de deux générations) une réallocation centralisée, possible des ressources, Pareto améliorante. Si au lieu d'épargner sur le marché concurrentiel, les générations coopèrent : les jeunes donnent cette unité de 12 13 si Comme on l’a vu au paragraphe 2.1 Pour calibrer ce modèle de façon réaliste on a pris 1 1 et 0.3 . Alors on est en inefficience dynamique 2 . Il faut que 0.33 c’est-à-dire annuel 0.011 . Il faut que la préférence pour le présent soit inférieure à 1% l'an, ce qui est très faible mais possible. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 18 revenu aux vieux qui vivent en même temps qu'eux. Comme il y a (1+n) jeunes pour chaque vieux, la consommation de chaque vieux contemporain augmente de (1+n). À la période suivante, si le même arrangement s'opère, nos jeunes devenus vieux auront eux aussi (1+n) à dépenser dans leur vieillesse. Si r* < n, comme il y a un nombre infini de générations, tout le monde gagne à cette coopération qui constitue donc une amélioration au sens de Pareto. (Si l'horizon temporel était fini, la dernière génération de jeunes perdrait à cet arrangement). Si r* < n, c'est-à-dire si k* > kor, cette coopération est plus efficace que l'épargne concurrentielle. 7.3 Illustration graphique de l'inefficience dynamique cv La contrainte budgétaire intertemporelle est à l’état régulier : c (17) w(k *) 1 r (k *) Elle peut être représentée ainsi que la condition d’équilibre (4) sur le graphe de gauche. La courbe des possibilités de consommation et la fonction d’utilité (3) sont représentées sur le graphe de droite. Pour un capital d’état régulier et donc un taux d’intérêt donnés, l’équilibre du consommateur se situe au point E. Figure 4 : L’équilibre concurrentiel j cv w(1+r) Equations (17) et (4) cv TMS u 'j u 'v CPC Equation (12) (1 ) E E V V cj -(1+f’(k*)=-(1+r) cj w Pour k kor on a f '(k ) f '(kor ) n , l’équilibre représenté est un optimum de pareto. Pour le voir superposons la contrainte budgétaire et la contrainte des possibilités de consommations physiquement possibles (la CPC). Rappel : le long de la CPC en partant de l’origine k augmente. Figure 5 : Un équilibre concurrentiel optimal cv CPC E V -(1+r) w cj Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 19 La lentille hachurée montre qu’une utilité supérieure pourrait physiquement être obtenue (à l’intérieur de la CPC) mais au prix d’un capital par tête supérieur et donc d’un effort d’épargne transitoire. Cette utilité supérieure d'état régulier n’est donc pas une ASP, l’équilibre concurrentiel au point E est optimal au sens de Pareto. (E=OP) Pour k kor on a f '(k ) f '(kor ) n . L’équilibre concurrentiel inefficient est au point EC. Figure 6 : Un équilibre concurrentiel inefficient cv -[1+f’(k)] avec k > kor EC -(1+n)=-[1+f’(kor)] -[1+f’(k)] avec k < kor cj L’équilibre concurrentiel en EC est inefficient car un niveau de capital par tête inférieur permet d’augmenter l’utilité du consommateur comme le montre la figure 7. A partir de EC, la lentille hachurée montre qu’il y a une perte de bien-être en EC. Un gain en bien être peut être obtenu avec un effort d’épargne inférieur. C’est donc une ASP. Figure 7 : L’inefficience de l’équilibre concurrentiel en cas de sur accumulation cv EC F -[1+f’(k)] avec k > kor cj L'équilibre concurrentiel est en EC le point F constitue une ASP. Malheureusement cette augmentation de bien être possible, n’est pas permise par la contrainte budgétaire du consommateur qui le conduit à maximiser son utilité en EC. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 20 Conclusion Il peut exister une inefficience dynamique dans le modèle à générations imbriquées. Ce problème d'inefficience dynamique peut être réglé par le dictateur bienveillant. On examinera plusieurs politiques de transferts publics afin de diminuer l'épargne excessive : la retraite par répartition, la dette publique …. Mais ce problème peut il être réglé par des transferts privés que feraient des agents altruistes ? Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 21 Section 3 : Les générations imbriquées d'agents altruistes On montre d'abord que les résultats du modèle avec altruisme sont très proches des résultats d'optimalité du modèle de Ramsey (1928). L'intérêt du modèle à générations imbriquées altruistes est de faire apparaître explicitement les règles de transferts intra- et inter-générationnelles, que le modèle de Ramsey laisse dans l'ombre. C'est Gary Becker (1974) qui rompt avec le modèle d'agent égoïste et introduit l'hypothèse d'altruisme pour expliquer les comportements de transferts privés. La question essentielle que nous étudierons est de savoir si l'altruisme est suffisant pour exclure la possibilité d'inefficience dynamique, donc si les transferts privés peuvent remplacer les transferts publics dans leur fonction régulatrice, comme le prétend Barro (1974). 1. Les conditions d'optimalité d'allocation intertemporelle On ajoute au modèle précédent la possibilité de transferts privés grâce aux hypothèses suivantes : les agents sont altruistes, leur utilité dépend de celle de leurs enfants. Un jeune né en t reçoit un héritage de ses parents xt 0 . Dans sa vieillesse, il a (n+1) enfants à qui il lègue individuellement le montant xt 1 0 . (Remarquons que l'existence d'un legs négatif est exclue par cette hypothèse d'altruisme descendant : les vieux ne reçoivent pas de transferts des jeunes14, mais bien sûr, ces legs peuvent être nuls comme dans la section précédente). Les contraintes budgétaires d'un agent né en t sont : quand il est jeune : ctj st wt xt (1) quand il est vieux : ctv1 (1 n).xt 1 1 rt 1 .st Sa fonction d'utilité est : Vt u (ctj ) avec xt 1 0 u (ctv1 ) (1 n) .Vt 1 1 (1 ) (2) (3) On suppose l’utilité séparable. Les deux termes à gauche représentent l’utilité de l’agent quand il est jeune en t / t 1 et son utilité quand il est vieux en t 1/ t 2 pondéré par un facteur d’actualisation de sa propre utilité future 1 1 . Le paramètre est le taux de préférence pure pour le présent. Plus est élevé, plus l’agent préfère le présent. Le terme de droite représente l’utilité d’un descendant Vt 1 multiplié par le nombre de descendants et pondéré par un facteur d’actualisation. Ce facteur 1 1 est différent du facteur d’actualisation de sa propre utilité future 1 1 . Le paramètre est le taux d’égoïsme de l’agent. Plus est élevé, plus l’agent est égoïste. On suppose que le taux d’égoïsme est tel que : Si , l’agent déprécie l’utilité de ses descendants comme la sienne. Il est altruiste comme l’agent du modèle à agent représentatif. Lui et les générations futures ne font qu’un. Si , l’agent déprécie l’utilité de ses descendants plus que la sienne. Il est moins altruiste, que l’agent du modèle à agent représentatif. L’altruisme baissant, l’égoïsme augmentant, on se rapproche du modèle de générations imbriquées d’agents égoïstes. 14 Cette remarque est importante puisque nous avons vu que pour régler le problème d'inefficience dynamique c'est ce genre de transfert qu'il faut faire. Si les vieux ne peuvent laisser de dette privée, c’est ce qui peut justifier l’existence d’une dette publique. Mais l’hypothèse est réaliste puisque la loi reconnaît aux enfants le droit de refuser l’héritage de leurs parents. Il est clair qu’en cas de dette, ils refuseraient l’héritage. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 22 Si (valeur à déterminer) l’agent ne laisse aucun héritage. Pour toute valeur de il ne laisse aucun héritage xt 1 0 comme dans le modèle à agents égoïstes. On suppose que l'économie à une durée infinie. La fonction d’utilité peut s’écrire par récurrence : i (1 n) j u (ctv1i ) Vt u (ct i ) 1 i 0 (1 ) L'agent à durée de vie finie, qui tient compte de l'utilité de ses enfants, qui tiennent compte de l'utilité des leurs etc., optimise alors sur un horizon infini, comme l'agent du modèle de Ramsey, à la différence que les transferts qu'il va effectivement réaliser dépendent ici du paramètre d'égoïsme et que le problème est posé en temps discret. Remarquons que comme la fonction objectif est une somme infinie, on retrouve ici une (1 n) condition d’existence de la solution : il est nécessaire que <1 pour que la somme (1 ) converge vers une valeur finie. La condition d’existence demande que le taux d’égoïsme soit assez élevé15. Cette condition va jouer un rôle important dans la démonstration. n En résumé, le problème de l’agent est donc : (1 n) Vt i 0 (1 ) max ss : ctj , ctv1, xt 1 ctj st wt xt , i j u (ctv1i ) u (ct i ) 1 ctv1 (1 n).xt 1 1 rt 1 .st , xt 1 0 Pour résoudre le problème d'optimisation de l'agent né en t, on substitue les deux contraintes (1) et (2) dans la fonction d'utilité (3) et on maximise cette fonction par rapport à st et xt+1, les deux variables de contrôle de l’agent né en t. u (ctv1 ) (1 n) Max / st,xt+1 : Vt u (ctj ) .u (ctj1 ) ....... 1 (1 ) u (1 rt 1 ).st (1 n) xt 1 (1 n) Vt u (wt xt st ) .u (wt 1 xt 1 st 1 ) ....... 1 (1 ) Puisque l’héritage peut être nul, les conditions du premier ordre sont celles de Khun-Tucker : Vt u (ctj ) (1 rt 1 ) u (ctv1 ) 0 puisque st > 0 (4) st ctj (1 ) ctv1 Vt (1 n) u (ctv1 ) (1 n) u (ctj1 ) 0 xt 1 (1 ) ctv1 (1 ) ctj1 Vt (1 n) u (ctv1 ) (1 n) u (ctj1 ) 0 xt 1 (1 ) ctv1 (1 ) ctj1 i (5a) si xt+1 = 0 (5b) 1 n 1 1 j u (c v ) V u (c ) Remarque n implique et à l’état régulier n 1 n i 0 1 15 si xt+1 > 0 Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 23 De ces conditions on déduit les propriétés suivantes de l'équilibre intertemporel du consommateur : u '(ctj ) 1 rt 1 (4) (6) u '(ctv1 ) 1 u '(ctj1 ) 1 u '(ctv1 ) (1 ) (7) u '(ctj ) 1 rt 1 (4) u '(ctj1 ) (1 ) (5a ) (8) (5a) Puisque ces propriétés sont vraies t on a : u '(ctj1 ) u '(ctj ) u '(ctj ) u '(ctv ) et . u '(ctv1 ) u '(ctv ) u '(ctj1 ) u '(ctv1 ) La propriété (6) est la règle d'optimalité intra-générationnelle qui détermine le TMS intertemporel de l'individu entre ses consommations sur les deux périodes de sa vie. Il dépend évidemment du rapport entre le taux d'intérêt et son taux de préférence pour le présent. C'est le résultat de la théorie du cycle de vie trouvé précédemment, il reste vrai même en présence d'agents altruistes. La propriété (7) est la règle d'optimalité inter-générationnelle qui détermine le TMS (à un moment donné) entre la consommation des parents et celle des enfants. Il dépend évidemment du paramètre d'égoïsme. Si le taux, auquel l'agent déprécie la vie de ses enfants, est le même que le taux auquel il déprécie son propre futur et le TMS est égal à 1. Si l'agent est infiniment égoïste ( ) comme dans la théorie du cycle de vie, alors le TMS sera infini et les parents ne laisseront aucun héritage (condition 5b). La propriété (8) est l'équivalent en temps discret de la règle de Ramsey-Keynes. C'est le TMS entre la consommation présente et la consommation future d'une génération, qu'elle soit jeune ou vieille. Par le biais de l'altruisme ( ), ce TMS relie l'ensemble des consommations à travers le temps. Le modèle à générations imbriquées fait clairement apparaître dans la règle de Ramsey ce qui revient au paramètre d'égoïsme. Si l'égoïsme est nul ( ), on revient au modèle de l'agent représentatif de Ramsey. Ce modèle de générations imbriquées généralise donc le modèle de cycle de vie ( ) et le modèle d'agent représentatif ( ). Nous donnons dans le tableau 10.3 ces résultats d’équilibre intertemporel du consommateur pour les spécifications habituelles des fonctions d'utilité. Tableau 10.3 : TMS pour deux fonctions d'utilité habituelles c1 1 u conditions u =ln(c) 1 v 1 6 ct 1 1 rt 1 c v 1 r t 1 t 1 j ct 1 ctj 1 1 7 v ctv 1 c 1 t vrai en t et t+1 j ct 1 ctj 1 1 8 ct 1 1 rt 1 c 1 rt 1 t 1 vrai pour les jeunes et vieux c 1 t ct 1 Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 24 2. Etat régulier Supposons la fonction d’utilité u =ln(c) et la fonction de production Cobb-Douglas f (kt ) k . On calcule l’état régulier et on montre que l’héritage (l’altruisme) augmente le capital d’état régulier et le bien être. A l’équilibre concurrentiel on a, comme précédemment, les conditions du premier ordre des 1 producteurs wt (1 ).kt rt .kt et la condition d’équilibre16 (1 n)kt 1 st . A l’état régulier ct 1 ct , dans l’équation (8) cela implique r* (9) 1 1 Comme r* k en résolvant en k : k * et on a : w* (1 )k * On remarque que ce modèle ne se résout pas comme celui de l'agent égoïste (par la résolution de l'équation de récurrence de kt 1 en kt ) mais comme celui de l'agent représentatif (par la résolution de l'équation de Ramsey Keynes Dc 0 qui donne une valeur particulière à la Pmk et le taux d'intérêt). Il nous reste à déterminer s* et x*. De (1) : cj s w x De (2) : cv (1 r )s (1 n) x (1 r ) j De (6) : cv c (1 ) (1 n)(1 ) En égalisant ces deux dernières équations : c j (1 ) s x (1 r ) En portant cette valeur de c j dans (1), en remplaçant (r) par ( ), et en résolvant en s : 1 1 1 n 1 (10) w * x x 2 (1 ) L’épargne totale est égale à l’épargne sur les salaires plus l’épargne sur l’héritage. s* 16 L’investissement brut est égal à l’épargne brute : I t St Kt 1 Kt Kt wt Nt (rt ) Kt ctj Nt ctv Nt 1 Kt 1 Kt Kt wt Nt (rt ) Kt wt xt st Nt (1 rt )st 1 (1 n) xt Nt 1 Par rapport au cas sans altruisme on constate que Nt xt et (1 n) Nt 1 xt s’éliminent et donc que l’héritage n’intervient pas dans cette condition d’équilibre. Kt 1 Kt Kt rt Kt Kt st Nt (1 rt )st 1 Nt 1 Kt 1 Kt Kt st Nt st 1 Nt 1 rt Kt st 1Nt 1 Kt A la période 1 on a posé que K1 s0 N0 et donc par récurrence : Kt 1 st Nt Kt 1 Kt Kt st Nt Kt Kt t L’épargne brute est égale à l’épargne des jeunes, moins la désépargne des vieux plus l’amortissement. En divisant par N t : (1 n)kt 1 kt kt st kt kt L’investissement net est égal à l’épargne nette : Et en simplifiant : (1 n)kt 1 kt st kt (1 n)kt 1 st . L’équilibre sur le marché du capital peut donc toujours s’exprimer par cette relation. Celle-ci est indépendante du taux d’amortissement, et de l’hypothèse d’altruisme. Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 25 En remplaçant s par à (1 n)k s et en résolvant en x : x* (2 )(1 ) 1 w * (11) 1 n k * (1 ) (1 n)(1 ) 2 En remplaçant k* et w* par leur valeurs on exprime l’héritage d’état régulier en fonction de paramètres. 1 1 1 (2 )(1 ) 1 x* (1 ) 1 n (1 ) (1 n)(1 ) 2 L’héritage est positif si : (2 )(1 n) 1 si r égoiste Le paramètre d’égoïsme doit être faible, inférieur à la valeur critique , autrement dit l’altruisme doit être suffisamment fort, pour que l’héritage soit positif. En se souvenant que cette valeur de est la valeur du taux d’intérêt du modèle égoïste, on en conclu que le taux d’intérêt est plus faible en cas de legs positifs et donc que le capital est plus élevé lorsqu’il y a de l’héritage. Une autre façon de prouver cela est d’examiner l’équation (11). On voit que l’héritage d’état régulier est positif si : 1 1 1 k* 1 n 2 Si l’héritage est positif le capital est supérieur à sa valeur en cas d’égoïsme et de legs nuls. La production, la consommation et le bien être sont donc plus élevés dans une société altruiste. La raison est facile à comprendre, l’équation (10) montre que l’épargne est supérieure puisque l’agent à maintenant deux sources de richesse : son revenu mais aussi son héritage. Cette propriété positive de l’héritage peut justifier de diminuer l’impôt sur l’héritage. k* k 1 w * (1 )k 1 n 2 3. L’impôt sur l’héritage L’impôt sur l’héritage va distordre les choix individuels. Ce ne serait pas le cas si l’héritage était involontaire, un solde que l’on laisse surpris par la mort. Ici l’agent connaît la date de sa mort et il laisse volontairement un héritage choisi. L’impôt sur l’héritage va réduire l’héritage, l’épargne, le stock de capital et augmenter le taux d’intérêt. L’impôt est payé par le jeune, l’équation (1) devient : ctj st wt xt 1 Vt (1 n) u (ctv1 ) (1 n)(1 ) u (ctj1 ) 0 L’équation (5) devient xt 1 (1 ) ctv1 (1 ) ctj1 1 ctv L’équations (7) devient : j ct 1 1 ct 1 (1 rt 1 )(1 ) ct (1 ) 1 1) L’équation (9) devient r* le taux d’intérêt est plus élevé ( 1 1 L’équations (8) devient : 1 L’équation (13) devient k * 1 1 Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 26 Le stock de capital d’état régulier est plus faible et le bien être est diminué par l’imposition de l’héritage. Mais évidement l’impôt sur l’héritage peut rester justifié par des raisons de justice. 4. Possibilité d'inefficience dynamique La justification d'une politique économique de transferts (retraites ou dette) se trouve, comme nous l'avons montré, dans la possibilité d'inefficience dynamique du modèle à générations imbriquées. Une politique publique de transferts peut résoudre le problème d'inefficience. Maintenant que nous avons introduit la possibilité de transferts privés grâce à l'hypothèse d'altruisme, et bâti un modèle qui tend vers celui de Ramsey où l'inefficience est exclue, n'y a t'il plus aucune justifications aux transferts publics ? Autrement dit, n'y a t'il plus de possibilités d'inefficience à l'état régulier ? On va voir que tout dépend de savoir si x 0 . Pour répondre à cette question, on calcule la valeur du taux d'intérêt à l'état régulier (r*) et on se demande s'il est possible que r * < n (cas d'inefficience). Pour calculer r* on utilise les conditions du premier ordre et la condition d'état régulier ct = ct+1 qui égalise, remarquons le, la condition (8) à l'unité. État régulier avec legs positifs : les conditions (4 et 5a) nous donnent la règle de Ramsey à l'état régulier : u '(ct ) (9) ct ct 1 1 r* u '(ct 1 ) Le taux d'intérêt est égal au taux d’égoïsme. État régulier avec legs nuls : les conditions (4 et 5b) impliquent : r* (10) L'état régulier peut donc avoir deux formes : soit les legs sont positifs et le taux d'intérêt est égal au taux égoïsme, soit les legs sont nuls et le taux d'intérêt est inférieur au taux égoïsme ( élevé). Demandons nous si « quelque chose » impose que r* > n , c'est-à-dire que l'économie soit dynamiquement efficiente. Si les legs sont positifs ( xt 1 0 ), puisque la condition d’existence impose n , il est clair que l’on a : r* n et l'économie est dynamiquement efficiente. Si les legs sont nuls xt 1 0 , la condition d’existence ne nous garantie rien du tout puisque r* n . Il se peut que r* n qu’on soit en efficience mais il se peut que r* n qu’on soit en inefficience. ----------------n---------------- ---------------------<---------------r-------------- Dans ce cas, l'état régulier est le même que dans l'économie sans altruisme (il n'y a pas de legs), et il n'est pas exclu que l'économie puisse être en inefficience dynamique. Rien n'impose que r* > n. Il y a donc possibilité d'inefficience dynamique dans le modèle à générations imbriquées, même si l'on suppose l'altruisme, puisque celui-ci peut être inopérant pour que des legs privés aient effectivement lieu. Dans ce cas la politique économique (retraite, dette..) peut seule supprimer l'inefficience. Quelle est l'intuition économique derrière ce résultat ? Philippe Darreau Macroéconomie dynamique (09/09/2013) Chapitre 1 : Le modèle à générations imbriquées et l’ inefficience dynamique 27 Rappelons-nous qu'ici l'altruisme est descendant (l’héritage va des vieux vers les jeunes). Or on a vu qu'en cas d'inefficience dynamique c'est d'un transfert ascendant dont on a besoin pour corriger l'inefficience (que les jeunes donnent aux vieux). Dans le cas où le transfert est « l'héritage », un transfert des jeunes vers les vieux ne peut se concrétiser que par une réduction de l'héritage. Mais si l'héritage est nul, on ne peut le réduire, les transferts privés des jeunes vers les vieux ne peuvent alors se réaliser. Seuls les transferts publics (dette, retraite) peuvent supprimer l'inefficience. Conclusion Il ne peut pas y avoir suraccumulation si l'altruisme est suffisant pour qu'il y ait des legs positifs, puisque l'agent qui prend soin de ses descendants ne va pas choisir une solution inefficace. Il peut y avoir suraccumulation si le taux d'égoïsme est trop fort, si l'altruisme est insuffisant pour qu'il y ait des legs positifs. Dans le cas de suraccumulation (n > r) il faudrait que le stock de capital soit moins élevé, mais diminuer le niveau d'accumulation nécessiterait, comme on l'a montré précédemment, un transfert privé des jeunes vers les vieux, c'est-à-dire des legs négatifs, exclus par hypothèse. L'altruisme descendant n'est donc pas suffisant pour garantir l'efficacité de l'équilibre concurrentiel. Les politiques de transferts publics, des jeunes vers les vieux (retraite par répartition, dette), restent justifiées. Vidal (1996) critique le théorème d'équivalence de Barro, en montrant que l'altruisme descendant et même ascendant, ne permet pas d'obtenir l'efficience, que seule une forme d'altruisme ad hoc le permet et que celle-ci équivaut à revenir au modèle « peu réaliste » (?) d'agent représentatif de Ramsey. Bien évidemment, il faut que l'altruisme soit suffisant pour qu'il y ait des legs positifs. Certes l'hypothèse d'altruisme ne suffit pas, il faut qu'il soit effectif pour que s'opère des legs. C'est donc l'hypothèse, plus forte, de legs positifs, que l'on doit avancer pour obtenir le théorème d'équivalence. Mais si cette hypothèse est plus forte, elle a un contenu empirique plus grand et la question peut être tranchée par les faits. Au niveau de l'hypothèse : y a t'il ou n'y a t'il pas de legs volontaires entre générations ? Au niveau de la conclusion : les économies sont elles ou ne sont elles pas en inefficience dynamique ? Pour que la dette soit un « enrichissement » de la génération présente (pour qu'elle puisse créer (?) des richesses), il faut que cet enrichissement résulte de la suppression de l'inefficience due à la suraccumulation possible dans le modèle à générations imbriquées. Donc le débat autour du théorème d'équivalence (la dette est-elle ou non un enrichissement ?) est moins lié à la question des hypothèses (altruisme, rationalité...) qu'à celle de la réalité d'une suraccumulation. Concluons donc avec Barro et Sala-i-Martin (1996) : « Lorsque l'altruisme est suffisamment fort pour garantir une solution intérieure avec transferts intergénérationnels non nuls, l'introduction d'une structure à générations imbriquées avec durées de vie limitées n'apporte pas de nouvelles perspectives (par rapport au modèle de Ramsey) sur l'évolution d'une économie en croissance. » Résumons nous : Avec un agent représentatif, le taux de préférence pour le présent pondère le poids des générations futures. La condition d’existence d’une solution est n . La condition du premier ordre est r . Donc r n , il ne peut y avoir d’inefficience. Avec des générations imbriquées, le taux d’égoïsme pondère le poids des générations futures. La condition d’existence d’une solution est n . Si les legs sont positifs, la condition du premier ordre est r . Donc r n , il ne peut y avoir d’inefficience. Si les legs sont nuls, la condition du premier ordre est r (1 ) 1 n 2 , si est très faible, il se peut que l’économie soit en inefficience dynamique. Dans ce cas la politique économique peut se justifier.
