matrices

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Table des matières
1 définition et opérations sur les matrices 2
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 inverse d’une matrice carrée et système linéaire 7
2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 devoir maison 11
3.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 évaluation 13
5 corrigé évaluation 14
1

1 définition et opérations sur les matrices
1.1 activités
1.1.1 activité 1

1.2 à retenir
définition 1 :(matrice)
Quels que soient les nombres entiers naturels non nuls n∈N∗et p∈N∗
Aest une ✞
✝☎ ✆
matrice réelle de dimension n×p
si et seulement si
Aest un tableau de n×pnombres réels constitué de nlignes et pcolonnes
on note : A=
a11 ... a1j... a1p
a21 ... a2j... a2p
...
ai1... aij ... aip
...
an1... anj ... anp
|{z }
pcolonnes
nlignes
remarques :
1. on note aussi A= (aij )n1≤i≤n
1≤j≤p
2. aij est le ✄
✂ ✁
coefficient situé à la ieligne et à la jecolonne
3. n=p⇐⇒ la matrice est "carrée"
4. A=a11 ... a1j... a1p
|{z }
pcolonnes 1ligne est une ✞
✝☎ ✆
matrice ligne
5. A=
a11
a21
...
ai1
...
an1
|{z }
1 colonne
nlignes est une ✄
✂ ✁
matrice colonne
exemples :
1. M=
1 8 −1 4
0 5 9 9
−10 8 5 6 
(a) Ma pour dimension 3×4car elle a 3 lignes et 4 colonnes
(b) m23 = 9 car c’est le coefficient situé à la 2eligne et 3ecolonne et m32 = 8
(c) Mn’est pas une matrice carrée
2. M=
1
−8
7
est une matrice colonne de dimension 3×1
3. M=1−8 9 12 est une matrice ligne de dimension 1×4
4. M=
500
0−7 0
005
est une matrice diagonale
5. M=
0 0
0 0
0 0 
est une matrice nulle

définition 2 :(matrices égales)
quelles que soient les matrices réelles Aet B
A=B⇐⇒ A et B ont même dimension
les coefficients de même position sont égaux
exemples :
1. A=1 2 0
3 4 0 et B=1 2
3 4 ne sont pas égales
2. A=1 2 5
3 4 6 et B=1x5
346sont égales si et seulement si x= 2
définition 3 :(addition et soustraction de matrices)
quelles que soient les matrices réelles A,Bet C
(1) C=A+B⇐⇒ A et B ont même dimension
chaque coefficient de Cest la somme des coefficients de Aet Bde même position
(2) C=A−B⇐⇒ A et B ont même dimension
chaque coefficient de Cest la différence des coefficients de Aet Bde même position
exemples :
1. avec A=1 2 3
4 5 6 et B=−1 0 8
−3 10 7 
on a : A+B=1 + (−1) 2 + 0 3 + 8
4 + (−3) 5 + 10 6 + 7 =0 2 11
1 15 13 
et : A−B=1−(−1) 2 −0 3 −8
4−(−3) 5 −10 6 −7=2 2 −5
7−5−1
2. avec A=1 2 5
3 4 6 et B=1 5
3 6 
Aet Bne peuvent s’additionner car elles n’ont pas la même dimension
propriété 1 :
quelles que soient les matrices réelles A, B et C
(1) ✞
✝☎ ✆
A+B=B+A(commutativité de l’addition)
(2) ✞
✝☎ ✆
(A+B) + C=A+ (B+C) = A+B+C(associativité de l’addition)
définition 4 :(multiplication d’une matrice par un nombre )
quelles que soient les matrices réelles A, B et le nombre réel x
(1) B=xA ⇐⇒ 
A et B ont même dimension
chaque coefficient de Best le produit du coefficient de Ade même position
par le nombre x
exemple :
1. avec A=10 20 30
40 50 60 on a : 2A=2×10 2 ×20 2 ×30
2×40 2 ×50 2 ×60 =20 40 60
80 100 120 
propriété 2
quelles que soient les matrices réelles A, B et les réels xet y
(1)✞
✝☎ ✆
(x+y)A=xA +yA
(2)✞
✝☎ ✆
(xy)A=x(yA)
(3)✞
✝☎ ✆
x(A+B) = xA +xB

définition 5 :(multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne )
quelle que soit la matrice ligne A=a1... aj... apde dimension 1×n,
quelle que soit la matrice colonne B=
b1
b2
...
bi
...
bn
de dimension n×1,
C=AB ⇐⇒ Ca pour dimension 1×1
c11 =a1×b1+a2×b2+···+ai×bi+···+an×bn
exemple :
avec A=10 20 30 et B=
2
3
4
on a AB = (10 ×2 + 20 ×3 + 30 ×4) = (200)
2
3
4
10 20 30   10 ×2 + 20 ×3 + 30 ×4
remarques :
1. la définition précédente caractérise le produit d’une ligne par une colonne et pas le contraire
avec A=10 20 30 et B=
2
3
4
le produit BA n’est pas défini
2. avec A=10 20 et B=
2
3
4
le produit AB n’est pas défini car le nombre de colonnes de A
n’est pas égal au nombre de lignes de B
définition 6 :(multiplication de deux matrices)
quelle que soit la matrice Ade dimension n×p
quelle que soit la matrice Bde dimension p×r
C=AB ⇐⇒ (Ca pour dimension n×r
✞
✝☎ ✆
cij =ai1×b1j+ai2×b2j+···+aik ×bkj +···+aip ×bpj
B=
b11 ... b1j... ba1r
b21 ... b2j... b2r
...
bk1... bkj ... bkr
...
bp1... bpj ... bpr
A=
a11 a12 ... a1j... a1p
a21 a22 ... a2j... a2p
...
ai1ai2... aik ... aip
...
an1an2... anj ... anp
c11 ... c1j... c1r
c21 ... c2j... c2r
...
ci1... cij ... cir
...
cn1... cnj ... cnr
= C