matrices

matrices
Table des matières
1 définition et opérations
1.1 activités . . . . . . .
1.1.1 activité 1 . .
1.2 à retenir . . . . . . .
2 inverse d’une matrice
2.1 activités . . . . . .
2.1.1 activité 5 .
2.2 à retenir . . . . . .
2.3 exercices . . . . . .
sur les matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
carrée et
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
système linéaire
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2
2
2
3
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7
7
7
8
10
3 devoir maison
3.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
4 évaluation
13
5 corrigé évaluation
14
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1
définition et opérations sur les matrices
1.1
1.1.1
activités
activité 1
1.2
à retenir
définition 1 : (matrice)
Quels que ✞
soient les nombres entiers naturels ☎
non nuls n ∈ N∗ et p ∈ N∗
A est une matrice réelle de dimension n × p
✝
✆
si et seulement si
A est un tableau de n × p nombres réels constitué
de n lignes et p colonnes

 
a11 ... a1j ... a1p



 a21 ... a2j ... a2p  


 



...


on note : A = 
n lignes


 ai1 ... aij ... aip  


 

...


an1 ... anj ... anp
{z
}
|
p colonnes
remarques :
1. on note aussi A = (aij )n
2. aij
1≤i≤n
1≤j ≤p
✄
est le ✂coefficient ✁situé à la ie ligne et à la j e colonne
3. n = p ⇐⇒ la matrice est "carrée"
☎
✞
4. A = a11 ... a1j ... a1p
1 ligne est une matrice ligne
✝
✆
|
{z
}
p colonnes




5. A = 



|
a11
a21
...
ai1
...
an1
{z








}
1 colonne
exemples :









✄
n lignes est une ✂matrice colonne ✁








1
8 −1 4
5 9 9 
1. M =  0
−10 8 5 6
(a) M a pour dimension 3 × 4 car elle a 3 lignes et 4 colonnes
(b) m23 = 9 car c’est le coefficient situé à la 2e ligne et 3e colonne et m32 = 8
(c) M n’est pas une matrice carrée


1
2. M =  −8  est une matrice colonne de dimension 3 × 1
7
3. M = 1 −8 9 12 est une matrice ligne de dimension 1 × 4


5 0 0
4. M =  0 −7 0  est une matrice diagonale
0 0 5


0 0
5. M =  0 0  est une matrice nulle
0 0
définition 2 : (matrices égales)
quelles que soient
les matrices réelles A et B
A et B ont même dimension
A = B ⇐⇒
les coefficients de même position sont égaux
exemples :
1 2 0
1 2
1. A =
et B =
ne sont pas égales
3 4 0
3 4
1 2 5
1 x 5
2. A =
et B =
sont égales si et seulement si x = 2
3 4 6
3 4 6
définition 3 : (addition et soustraction de matrices)
quelles que soient lesmatrices réelles A , B et C
A et B ont même dimension
(1) C = A + B ⇐⇒
chaque coefficient de C est la somme des coefficients de A et B de même position
(2) C = A − B ⇐⇒
A et B ont même dimension
chaque coefficient de C est la différence des coefficients de A et B de même position
exemples :
1 2 3
−1 0 8
1. avec A =
et B =
4 5 6
−3 10 7
1 + (−1) 2 + 0 3 + 8
0 2 11
on a : A + B =
=
4 + (−3) 5 + 10 6 + 7
1 15 13
1 − (−1) 2 − 0 3 − 8
2 2 −5
et : A − B =
=
4 − (−3) 5 − 10 6 − 7
7 −5 −1
1 2 5
1 5
2. avec A =
et B =
3 4 6
3 6
A et B ne peuvent s’additionner car elles n’ont pas la même dimension
propriété 1 :
quelles
✞ que soient les ☎matrices réelles A, B et C
(1) ✝A + B = B + A ✆(commutativité de l’addition)
✞
✝
(2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C
☎
✆
(associativité de l’addition)
définition 4 : (multiplication d’une matrice par un nombre )
quelles que soientles matrices réelles A, B et le nombre réel x
 A et B ont même dimension
(1) B = xA ⇐⇒
chaque coefficient de B est le produit du coefficient de A de même position

par le nombre x
exemple :
1. avec A =
10 20 30
40 50 60
on a : 2A =
2 × 10 2 × 20 2 × 30
2 × 40 2 × 50 2 × 60
propriété 2
quelles
réelles A, B et les réels x et y
☎
✞ que soient les matrices
(1) (x + y)A = xA + yA
✝
✞
✝
✞
(2) (xy)A = x(yA)
✝
☎
✆
✆
(3) x(A + B) = xA + xB
☎
✆
=
20 40 60
80 100 120
définition 5 : (multiplication d’une matrice ligne par une matrice
colonne )
quelle que soit la matrice ligne A = a1 ... aj ... ap de dimension 1 × n,


b1
 b2 


 ... 

 de dimension n × 1,
quelle que soit la matrice colonne B = 

 bi 
 ... 
bn
C a pour dimension 1 × 1
C = AB ⇐⇒
c11 = a1 × b1 + a2 × b2 + · · · + ai × bi + · · · + an × bn
exemple :
avec A =
remarques :


2
10 20 30 et B =  3  on a AB = (10 × 2 + 20 × 3 + 30 × 4) = (200)
4
 
2
 3 
4
10 20 30
10 × 2 + 20 × 3 + 30 × 4
1. la définition précédente caractérisele produit
d’une ligne par une colonne et pas le contraire

2
avec A = 10 20 30 et B =  3  le produit BA n’est pas défini
4
 
2

2. avec A = 10 20 et B =
3  le produit AB n’est pas défini car le nombre de colonnes de A
4
n’est pas égal au nombre de lignes de B
définition 6 : (multiplication de deux matrices)
quelle que soit la matrice A de dimension n × p
quelle que soit(la matrice B de dimension p × r
C
✞ a pour dimension n × r
☎
C = AB ⇐⇒
cij = ai1 × b1j + ai2 × b2j + · · · + aik × bkj + · · · + aip × bpj
✝


a11
 a21


A=
 ai1


a12
a22
ai2
an1 an2
... a1j
... a2j
...
... aik
...
... anj
b11 ... b1j
 b21 ... b2j


...
B=
 bk1 ... bkj


...
bp1 ... bpj

... a1p
c11
 c21
... a2p 




... aip 
  ci1

... anp
cn1
... c1j
... c2j
...
... cij
...
... cnj
✆

... ba1r
... b2r 



... bkr 


...
bpr

... c1r
... c2r 


=C
... cir 


... cnr
exemple :
avec A =
1 3
2 4
et B =
10 20 30
40 50 60
on a C = AB =
130 170 210
180 240 300
30
10
|20|
40
|50|
60
1 3
1 × 10 + 3 × 40 1 × 20 + 3 × 50 1 × 30 + 3 × 60
2 × 10 + 4 × 40 2 × 20 + 4 × 50 2 × 30 + 4 × 60
2 4
remarques :
10 20 30
1 3
le produit BA n’est pas défini car le nombre de colonnes
et B =
1. avec A =
40 50 60
2 4
de B (soit 3) n’est pas égal au nombre de lignes de A (soit 2)
2. comme l’illustre la remarque précédente et le calcul de l’exemple, le produit des matrices n’est pas
commutatif, c’est à dire, il existe des matrices pour lesquelles AB 6= BA
propriété 3
quelles que soient les matrices réelles A, B et C
✞
☎
✝
✞
☎
✝
✆
✆
(1) A(BC) = (AB)C = ABC (associativité)
✝
✞
✆
☎
(2) A(B + C) = AB + AC (distributivité à gauche)
(3) (B + C)A = BA + CA (distributivité à droite)
2
inverse d’une matrice carrée et système linéaire
2.1
2.1.1
activités
activité 5
2.2
à retenir
définition 7 : (matrice unitaire)
∗
quelle que soit la matrice réelle A et l’entier
 naturel non nul n ∈ N
 A a pour dimension n × n (matrice carrée)
A est la matrice unitaire d’ordre n ⇐⇒
les coefficients de la diagonale sont tous égaux à 1

et tous les autres son nuls
exemples :
1. I2 =
1 0
0 1


1 0 0
et I3 =  0 1 0  sont les matrices carrées unitaires d’ordre 2 et 3
0 0 1
définition 8 : (matrice inversible)
quelle que soit la matrice carrée réelle A de dimension✞n × n ou ☎
n ∈ N∗
A est inversible ⇐⇒ il existe une matrice B telle que ✝AB = In ✆
exemples :
7 −2
1. avec A =
et B =
−3 1
1×7−2×3
1 × (−2) + 2 × 1
1 0
on a : AB =
=
= I2
3 × 7 + 7 × (−3) 3 × (−2) + 7 × 1
0 1
donc A est inversible
1 2
3 7
propriété 4 : (matrice inverse)
∗
quelle que soit la matrice carrée réelle A de dimension n × n ou n ∈ N
✞
☎
A est inversible =⇒ il existe une unique matrice notée A−1 telle que ✝AA−1 = A−1 A = In ✆
remarques :
1. si elle existe, A−1 est appelée la matrice inverse de A
1 1
2. soit A =
1 1
Montrons que A n’est pas inversible par un raisonnement par l’absurde
pour cela :
a b
supposons vrai que : "A est inversible d’inverse B =
"
c d
alors : AB = I2
1×a+1×c 1×b+1×d
1 0
alors : AB =
=
= I2
1×a+1×c 1×b+1×d
0 1

a+c=1



a+c=0
alors :
alors 0 = 1, ce qui est faux
b+d=0



b+d=1
donc la supposition
initiale ne peut pas être vraie, elle est donc fausse
1 1
donc A =
n’est pas inversible
1 1
1
1
3. l’inverse de 2 est = 2−1 , l’inverse de a réel non nul est
= a−1 et tout réel non nul admet un
2
a
inverse, il n’en est pas ainsi pour les matrices.
exemples :
1. avec A =
2. avec A =
1 2
3 7
1 1
1 1
on a A−1 =
7 −2
−3 1
, A−1 n’est pas défini
(exemple de la définition précédente)
propriété 5 : (matrice et système linéaire d’équations)
quel que soit le système linéaire S
à n équations et p inconnues

a11 x1 + · · · + a1j xj + a1n xn = b1




 ...
(S)
ai1 x1 + · · · + aij xj + ain xn = bi


...



ap1 x1 + · · · + apj xj + apn xn = bp
où
les aij sont n × p réels connus (les coefficients),
les bi sont n réels connus et les xi n réels inconnus
S est équivalant à l’équation matricielle AX = B

a11 ... a1j
 a21 ... a2j


...
où : A = 
 ai1 ... aij


...
an1 ... anj





... a1p
x1
b1
 x2 
 b2 
... a2p 






 ... 
 ... 
,X=



 xi  et B =  bi 
... aip 






 ... 
 ... 
... anp
xn
bn
exemples :
x + 2y = 10
1 2
x
10
1. (S)
⇐⇒ AX = B , A =
,X=
,B=
3x + 7y = 20
3 7
y
20



 


2
4
6
x
10
 2x + 4y + 6z = 10
−x + 2y − 3z = 20 ⇐⇒ AX = B , A =  −1 2 −3  , X =  y  , B =  20 
2. (S)

2x − 2y − z = 30
2 −2 −1
z
30
propriété 6 : (matrice inversible et système linéaire d’équations)
quelles que soient les matrices réelles A, B et X
où A et B sont connues et X inconnue
☎
✞
✄
si ✂A est inversible et AX = B ✁alors ✝X = A−1 B ✆
ce qui permet de résoudre un système linéaire matriciellement
exemples :
x + 2y = 10
1 2
x
10
1. (S)
⇐⇒ AX = B , A =
,X=
,B=
3x + 7y = 20
3 7
y
20
7
−2
30
la calculatrice donne A−1 =
puis : X = A−1 B =
donc x = 30 et y = −10
−3 1
−10


 



2
4
6
x
10
 2x + 4y + 6z = 10
2. (S)
−x + 2y − 3z = 20 ⇐⇒ AX = B , A =  −1 2 −3  , X =  y  , B =  20  la

2x − 2y − z = 30
2 −2 −1
z
30


≃ 17, 1
calculatrice confirme que A est inversible et donne X = A−1 B =  6, 25 
≃ −8, 2
donc x ≃ 17, 1 , y = 6, 25 et z ≃ −8, 2
remarque : (admise)
si la matrice A de dimension n × n n’est pas inversible, cela signifie que le système n’admet pas un unique
"n-uplet" solution, il y a alors une infinité de solutions ou aucune solution
2.3
exercices
exercice 1 :
Une certaine quantité d’argent doit être partagée entre trois personnes A, B et C selon les règles suivantes :
(1) la somme totale d’argent à partager est de 300000 euros
(2) 19% de ce que recevra A sera égal à 85% de ce que recevra B plus 89 % de ce que recevra C
(3) la différence entre la part de A et la part de B sera 4 fois plus grande que la différence entre la part de
B et la part de C
Soit x la part de A, y la part de B et z la part de C
1. écrire un système de trois équations à trois inconnues vérifié par x, y et z (chaque équation est de la
forme ax + by + cz = d)
2. le système d’équations ci dessus est équivalent à l’équation matricielle AX = B, préciser les matrices
A et B
3. résoudre matriciellement le système à la calculatrice
4. conclure
exercice 2 :
Du "PageRank" d’une page web dépend la place qu’elle aura dans les résultats donnés par un célèbre
moteur de recherche.
Le principe de calcul du PageRank d’une page web est le suivant :
(1) si une page A fait un lien vers une page B, alors ce lien de A vers B augmente le PageRank de B
(2) l’augmentation de PageRank de la page B est d’autant plus importante que le PageRank de la page A
est élevé
(3) l’augmentation de PageRank de la page B est d’autant plus importante que la page A fait peu de liens
voici la formule de calcul du PageRank de la page B :
_ soient A1, A2, ..., An : n pages pointant vers une page B,
_ soit PR(Ak) le PageRank de la page Ak,
_ soit N(Ak) le nombre de liens sortants présents sur la page Ak,
_ soit d, un facteur compris entre 0 et 1, fixé en général à 0,85
le PageRank de la page B se calcule ainsi :
✞
✝
P R(B) = (1 − d) + d × (P R(A1)/N (A1) + ... + P R(An)/N (An))
☎
✆
1. uniquement trois pages web A,B, et C parlent d’un même sujet,
A
les liens entre les pages web sont donnés par le graphe suivant :
B
C
(a) écrire un système de trois équations à trois inconnues vérifié par P R(A), P R(B) et P R(C) (chaque
équation est de la forme aP R(A) + bP R(B) + cP R(C) = e)
(b) résoudre matriciellement le système à la calculatrice
(c) en déduire l’ordre d’apparition des pages dans le moteur de recherche
( un calculateur : http ://www.webworkshop.net/pagerank_calculator.php3 )
2. uniquement 4 pages web A,B, et C parlent d’un même sujet,
A
B
les liens entre les pages web sont donnés par le graphe suivant : C
déterminer le pagerank et le classement de chaque page
D
3
devoir maison
3.1
corrigé devoir maison 1
1. Modélisation
(a) points dans un repère
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
(b) la courbe passe par M0 (0; 4)
donc f (0) = 4
3
2
or f (0)
✞=a×
☎0 + b × 0 + c × 0 + d = d
donc ✝d = 4 ✆
(c) de même :
la courbe passe par M2 (2; 7) donc f (2) = 7
✞
☎
or f (2) = a × 23 + b × 22 + c × 2 + 4 = 8a + 4b + 2c + 4 donc ✝8a + 4b + 2c + 4 = 7 ✆
x
la courbe passe par M4 (4; 5) donc f (4) = 5
☎
✞
or f (4) = a × 43 + b × 42 + c × 4 + 4 = 64a + 16b + 4c + 4 donc ✝64a + 16b + 4c + 4 = 5 ✆
la courbe passe par M6 (6; 8) donc f (6) = 8
☎
✞
or f (6) = a × 63 + b × 62 + c × 6 + 4 = 216a + 36b + 6c + 4 donc ✝216a + 36b + 6c + 4 = 8 ✆
✔
✗


 8a + 4b + 2c + 4 = 7
 8a + 4b + 2c = 3
d’où le système : (S) :
64a + 16b + 4c + 4 = 5 puis
64a + 16b + 4c = 1


216a + 36b + 6c + 4 = 8
216a + 36b + 6c = 4
✕


 ✖

 
8
4 2
a
3
(d) (S) ⇐⇒ AX = B avec A =  64 16 4 , X =  b  et B =  1 
4
216 36 6
c


5


 24 
0,
2083



 


 

15
−1

 
(e) on a X = A B si A est inversible, la calculatrice donne X = 
 − 8  ≃  −1, 875 
 




 53 
4, 417
12
✟
5 3
53
(f) la courbe a donc pour équation : y = x − 1, 875x2 + x + 4
24
12
✡
✠
(g) sous l’hypothèse que cette courbe ajuste le pourcentage sur la période 2003 − 2011 on a donc :
☎
✞
5
53
en 2008 : x = 5 et y =
× 53 − 1, 875 × 52 +
× 5 + 4 = 5, 25
✝
✆
24
12
✄
53
5
× 83 − 1, 875 × 82 +
× 8 + 4 = ✂26 ✁
en 2011 : x = 8 et y =
24
12
☛
2. (a) on place les points dans le repère
(b) on entre les saisies
✞
(c) Geogebra donne : y = 0, 13x3 − 1, 19x2 + 3, 09x + 4, 06
✝
☎
✆
✞
en 2008 : x = 5 et y = 0, 13 × 53 − 1, 19 × 52 + 3, 09 × 5 + 4, 06 ≃ 6, 01
✝
✞
☎
✆
☎
en 2011 : x = 8 et y = 0, 13 × 83 − 1, 19 × 82 + 3, 09 × 8 + 4, 06 ≃ 19, 18
✝
✆
3. si en 2008, 6% est le pourcentage réel, le second modèles est le meilleur avec une prévision de 6, 01% contre
5, 25% pour le premier modèle
3.2
corrigé devoir maison 2
modèle fermé de Léontief
1. (a) pour
chaque secteur, la production totale est
gale à la consommation totale :
✗
✔

 industrie : 0, 3x + 0, 3y + 0, 3z = x
✄
services : 0, 4x + 0, 1y + 0, 5z = y
⇐⇒ ✂AP = P ✁

électricité : 0, 3x + 0, 6y + 0, 2z = z
✖
✕
✗
✔
✔
0, 3 0, 3 0, 3
x
où A =  0, 4 0, 1 0, 5  , P =  y 
0, 3 0, 6 0, 2
z
✗
✖
✕
✖
✕
✗ 
 −0, 7x + 0, 3y + 0, 3z = 0
(b) si on annule le second membre de chaque équation on obtient alors : (S) :
0, 4x − 0, 9y + 0, 5z = 0

0, 3x + 0, 6y − 0, 8z = 0
✖
☎
✞
(c) l’affichage montre que le système n’admet pas une unique solution mais une infinité de solutions
✝
✆
de la forme (x = 0, 823519411765z; y = 0, 921567627451z; z) où z est un nombre quelconque
positif
2. avec z = 10000 on obtient alors ( à l’unité près)
✞
☎
✆
✄✝
x
≃
8235
✂
✁unités d’électricité
y ≃ 9216 unités de services,
modèle ouvert de Léontief
1. _une unité du secteur Energie nécessite 0,044 unités du secteur Agriculture, 0,01 unités du secteur
Biens manufacturés et 0,216 unités du secteur Energie
_une unité du secteur agriculture ne consomme aucune unité du secteur Energie
_le besoin de la population est de 17,6 unités du secteur Biens manufacturés
2. (a) la production totale de chaque secteur couvre les✞besoins des secteurs et de la population
☎ donc :
_pour le secteur des Biens manufacturés on a : 0, 014x + 0, 207y + 0, 017z + 17, 6 = y
✝
✆
_pour le secteur Agriculture on a : 0, 293x + 0y + 0z + 13, 2 = x
_pour le secteur Energie on a : 0, 044x + 0, 01y + 0, 216z + 1, 8 = z

 



0
0
x
13, 2
0, 207 0, 017  , P =  y  et D =  17, 6 
0, 044 0, 01 0, 216
z
1, 8
0, 293
☎
✞

0, 014
(b) on a donc ✝AP + D = P ✆avec A =
(c) AP correspond à la consommation totale par secteurs
(d) AP + D = P ⇐⇒ D = P − AP ⇐⇒ D = I3 P − AP ⇐⇒ D = (I3 − A)P

 

1 − 0, 293
0
0
0, 707
0
0
3. (a) soit L = I3 −A, on a L =  0, 014
1 − 0, 207
0, 017  =  −0, 014 0, 793 −0, 017 
0, 044
0, 01
1 − 0, 216
−0, 044 −0, 01 0, 784
LP = D ⇐⇒ P = L−1 D ✗
✔


≃ 18, 7
la calculatrice donne alors P =  ≃ 22, 6 
3, 6
✖
(b) pour que la production soit équilibrée il faut :
✞
✝
☎
✆
✕
_pour le secteur Agriculture : ≃ 18, 7 milliards d’euros
✞
✝
☎
✆
_pour le secteur des Biens manufacturés : ≃ 22, 6 milliards d’euros
✞
✝
☎
✆
_pour le secteur Energie on a : ≃ 3, 6 milliards d’euros
✔
✕
4
évaluation
Nom, Prénom : ...
Evaluation : ( Matrices )
Exercice :
Une étude statistique donne le bénéfice B (en milliers d’euros) d’une entreprise en fonction du prix de
vente x (en euros) de l’article qu’elle produit (elle est spécialisée dans la construction de cet article)
prix de vente de l’article : x 1 2 3 4
bénéfice : B
11 4 9 20
35
30
25
20
15
10
5
0
B
x
0
1
2
3
4
5
6
7
on cherche, dans ce qui suit à modéliser l’évolution du bénéfice B en fonction du prix de vente x
1. Modèle du troisième degré :
On suppose que le bénéfice est donné en fonction de x par une expression de la forme
B1 (x) = ax3 + bx2 + cx + d où a, b, c et d sont 4 coefficients à déterminer
(a) à partir du tableauet de la supposition ci dessus, montrer que a, b, c et d sont solution du système
a + b + c + d = 11



8a + 4b + 2c + d = 4
d’équation : (S) :
27a + 9b + 3c + d = 9



64a + 16b + 4c + d = 20
 
a
 b 

(b) (S) est équivalent à l’équation matricielle AX = B, où X = 
 c , donner les matrices A et B
d
(c) exprimer la matrice X en fonction des matrices A et B puis résoudre cette équation matricielle
grâce à la calculatrice en indiquant sur la copie la démarche suivie et donner les valeurs de a, b, c
et d trouvées ainsi que l’expression du bénéfice B1 (x) en fonction de x qui en découle
(d) compléter le tableau ci dessous avec la formule trouvée précédemment (détailler un calcul)
x
1
2
3
4
B1 (x)
la formule trouvée est-elle acceptable au vu de ce tableau ?
(e) d’après les résultats précédents, quel serait le bénéfice pour un prix de vente de 8 euros ?
placer le point dans le repère ci dessus
2. Modèle du second degré :
On suppose que le bénéfice est donné en fonction de x par une expression de la forme
B2 (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont trois coefficients à déterminer
(a) à partir des points M1 (1; 11) ; M2 (2; 4) et M3 (3; 9) du tableau de départ, établir un système
d’équations vérifié par les coefficients a, b et c
(b) résoudre le système trouvé ci dessus grâce au calcul matriciel et à la calculatrice et donner l’expression de B2 (x) qui en découle
(c) calculer la valeur du bénéfice prévue pour x = 4
(d) d’après les résultats précédents, quel serait le bénéfice pour un prix de vente de 8 euros ?
3. comparaison des modèles
(a) le bénéfice pour un prix de vente de 6 e est en réalité de 36000 e
quel est le modèle le plus en adéquation avec ce résultat ? (justifier)
4. étudier les variations du bénéfice avec le modèle du troisième degré pour x ∈ [1; 8] et proposer le prix
idéal pour l’entreprise
5
corrigé évaluation
Corrigé évaluation : ( Matrices )
35
30
25
20
15
10
5
0
B
x
0
1
2
3
4
5
6
7
1. Modèle du troisième degré : B1 (x) = ax3 + bx2 + cx + d
(a) 
à partir du tableau donné et de la supposition ci dessus,on a :
B1 (1) = a × 13 + b × 12 + c × 1 + d = 11
a + b + c + d = 11






B1 (2) = a × 23 + b × 22 + c × 2 + d = 4
8a + 4b + 2c + d = 4
⇐⇒ (S) :
 B1 (3) = a × 33 + b × 32 + c × 3 + d = 9
 27a + 9b + 3c + d = 9




B1 (4) = a × 43 + b × 42 + c × 4 + d = 20
64a + 16b + 4c + d = 20
 



a
1 1 1 1
11
 b 
 8 4 2 1 
 4




(b) (S) est équivalent à AX = B, où X = 
 c , A =  27 9 3 1  et B =  9
d
64 16 4 1
20
✞
☎




on entre les matrices A et B et on demande la calcul de A−1 B
(c) ✝X = A−1 B ✛
✆et à la calculatrice

✘
−1
✞
☎
 12 
 on en déduit que B1 (x) = −x3 + 12x2 − 36x + 36
qui donne : X = 
 −36 
✝
✆
36
✚
✙
(d) on complète le tableau ci dessous avec la formule trouvée précédemment
x
1 2 3 4
avec par exemple B(1) = −13 + 12 × 12 − 36 × 1 + 36 = 11
B1 (x) 11 4 9 20
la formule trouvée est donc acceptable au vu de ce tableau
✞
☎
(e) d’après les résultats précédents, le bénéfice pour un prix de vente de 8 euros serait de B(8) = 4
✝
✆
milliers d’euros et on place le point dans le repère ci dessus
2. Modèle du second degré : B2 (x) = ax2 + bx + c
(a) 
à partir des points M1 (1; 11) ; M2 (2; 4) et M3 (3;9) du tableau de départ on déduit que :
 B2 (1) = a × 12 + b × 1 + c = 11
 a + b + c = 11
2
B (2) = a × 2 + b × 2 + c = 4 ⇐⇒ (S) :
4a + 2b + c = 4
 2

B2 (3) = a × 32 + b × 3 + c = 9
9a + 3b + c = 9
 




a
1 1 1
11
(b) (S) est équivalent à AX = B, où X =  b , A =  4 2 1  et B =  4 
c
9 3 1
9
✗
✔
6
−1

−25 
(c) X = A B et la calculatrice donne : X =
30
✞
✖☎
on en déduit que B2 (x) = 6x2 − 25x + 30
✝
✆
✕
✄
(d) la valeur du bénéfice prévue pour x = 4 est B2 (4) = 6 × 4 − 25 × 4 + 30 = ✂26 ✁
✄
(e) B2 (8) = 6 × 82 − 25 × 8 + 30 =✂214 ✁
3. comparaison des modèles
✄
(a) B1 (x) = −63 + 12 × 62 − 36 × 6✄ + 36 =✂36 ✁
B2 (6) = 6 × 62 − 25 × 6 + 30 =✂96 ✁
✞
☎
le modèle le plus en adéquation avec ce résultat est donc le premier car il donne le résultat obtenu
✝
✆
dans la réalité, c’est à dire 36 milliers d’euros