Introduction aux Mathématiques Financi`eres Ecole Centrale Paris

Introduction aux
Math´ematiques Financi`eres
Ecole Centrale Paris
Deuxi`eme ann´ee, S3
Lionel Gabet, Fr´ed´eric Abergel, Ioane Muni Toke
Version 2010

Introduction aux math´ematiques financi`eres
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Table des mati`eres
I Produits et march´es financiers 7
1 Les produits financiers classiques 9
1.1 Les actions et les indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Lesobligations ............................. 11
1.3 Lesswaps ................................ 12
1.4 Les forwards et les futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Lesoptions ............................... 14
1.6 Les produits structur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Les options 17
2.1 Les options sur actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Les diff´erents types d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Mod`eles financiers 23
3 Objectifs et principes 25
3.1 L’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Les objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Les outils de mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 Les hypoth`eses sur les march´es . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 La finance quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 La physique des march´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Les risques et leur minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Rappels sur les processus al´eatoires et premi`eres applications en
finance 29
4.1 Danger de l’´evaluation par actualisation de l’esp´erance des flux futurs 29
4.2 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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Introduction aux math´ematiques financi`eres
4.3 Filtrations................................ 31
4.3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Mesurabilit´e d’un processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Martingales ............................... 33
4.6 Prix actualis´es, martingales et rendements . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Arbitrage et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7.1 Arbitrages et march´es viables . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7.2 AOA et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 Une premi`ere obtention de la formule de Black et Scholes . . . . . . 37
5 Evaluation par arbitrage en temps discret – Le mod`ele binomial 39
5.1 Introduction............................... 39
5.2 Un mod`ele financier `a plusieurs p´eriodes . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1 Actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2 Strat´egies (de trading) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.3 Actif sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.4 Strat´egies autofinanc´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Opportunit´es d’arbitrage et probabilit´e martingale . . . . . . . . . . 42
5.3.1 D´efinition d’une oppportunit´e d’arbitrage . . . . . . . . . . . 42
5.3.2 D´efinition d’une probabilit´e martingale . . . . . . . . . . . . 42
5.3.3 Th´eor`eme fondamental de l’´evaluation par arbitrage . . . . . 42
5.4 March´ecomplet............................. 43
5.4.1 Options et strat´egie de “r´eplication” . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.2 D´efinition d’un march´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.3 Second th´eor`eme fondamental de l’´evaluation par arbitrage . 44
5.5 Le mod`ele binˆomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5.1 Introduction........................... 44
5.5.2 Construction du mod`ele binˆomial . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.3 Viabilit´e et compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.4 Evaluation des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.5 Couverture (Hedging)...................... 46
5.5.6 Vers un mod`ele `a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5.7 Algorithme d’´evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6 Bibliographie .............................. 48
6 Le mod`ele de Black et Scholes et introduction au trading 49
6.1 Introduction............................... 49
6.2 La formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Les hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.2 Laformule............................ 50
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6.2.3 La couverture en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.4 Estimation des param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Critique du mod`ele et volatilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.1 Les points forts apparents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.2 Volatilit´es historiques et implicites, smile de volatilit´es . . . 52
6.4 Introduction au trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4.1 Calcul des sensibilit´es (grecques) . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4.2 Vente d’un call et couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4.3 Etude en Gamma et Th´eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4.4 P&L du trader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4.5 Quelques missions du trader . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Risque et valorisation 57
7.1 Quelques notions de risque sur les march´es financiers . . . . . . . . 57
7.2 Gestion quantitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.1 Mesure de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.2 Exemples ............................ 59
7.3 Gestion optimale par minimisation du risque pour les d´eriv´es . . . . 59
7.3.1 March´e `a une p´eriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3.2 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3.3 Passage au temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.4 R´ef´erences................................ 61
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