Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Mathématiques
Cours, exercices et problèmes
Terminale S
François THIRIOUX
Lycée René Perrin – Ugine – Savoie
[email protected]
2013-2014
version du 22 juin 2013

Préambule
Pratique d’un cours polycopié
Le polycopié n’est qu’un résumé de cours. Il ne contient pas tous les schémas, exercices
d’application, algorithmes ou compléments prodigués en classe. Il est indispensable de tenir des
notes de cours afin de le compléter.
Compléments
Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S. Le
programme complet (B.O. spécial n°8 du 13/10/2011) indique clairement qu’on ne saurait se
restreindre aux capacités minimales attendues.
Notations
Une expression en italique indique une définition ou un point important.
Logiciels
Une liste de logiciels libres ou de liens librement accessibles est donnée sur le blog
www.ac-grenoble.fr/ugine/maths
Il faudra Geogebra (géométrie, courbes), LibreOffice (tableur) et Sage (programmation,
calcul formel). Ce dernier tourne uniquement sous Linux mais est accessible en ligne via
www.sagenb.org ou www.sagemath.org/eval.html .
Devoirs à la maison
Les exercices sont de difficulté très variable et les objectifs poursuivis sont divers :
⋆Peu difficile – à faire par tous pour la préparation du bac.
⋆⋆ Moyennement difficile – à considérer pour toute poursuite d’études scientifiques.
⋆⋆⋆ Très difficile – à essayer pour toute poursuite d’études exigeante en maths.
Ces étoiles sont simplement un indicateur de la difficulté globale d’un exercice : certaines
questions peuvent être très simples !
1

Questions de cours
Les points suivants peuvent être abordés dans le cadre d’une restitution organisée de connais-
sances (ROC) à l’épreuve écrite du bac.
•2 - Suites – Si (un) et (vn) sont deux suites telles que un6vnà partir d’un certain rang
et si lim un= +∞alors lim vn= +∞.
•2 - Suites – Si une suite est croissante et converge vers ℓalors tous les termes de cette
suite sont 6ℓ.
•2 - Suites – La suite (qn) avec q > 1 tend vers +∞.
•2 - Suites – Une suite croissante et non majorée tend vers +∞.
•6 - Exponentielle – Unicité d’une fonction fdérivable sur Rvérifiant f′=fet f(0) = 1.
•6 - Exponentielle – On a lim
x→+∞ex= +∞et lim
x→−∞ ex= 0.
•9 - Conditionnement et indépendance – Si Aet Bsont deux évènements indépendants
alors Aet Baussi.
•10 - Intégration – Si fest une fonction continue, positive et croissante sur [a;b] alors la
fonction F:x7→ Zx
afest une primitive de f.
•11 - Produit scalaire – Théorème du toit : soient deux plans sécants contenant deux droites
parallèles ; alors la droite d’intersection des deux plans est parallèle aux deux droites.
•11 - Produit scalaire – L’équation ax+by+cz+d= 0 (avec a, b, c non tous nuls) caractérise
les points d’un plan.
•11 - Produit scalaire – Une droite est orthogonale à toute droite d’un plan ssi elle est
orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
•13 - Lois de probabilité – Une v.a. Tqui suit une loi exponentielle est sans vieillissement :
PT>t(T>t+h) = P(T>h).
•13 - Lois de probabilité – L’espérance d’une v.a. suivant la loi exponentielle de paramètre
λvaut 1
λ.
•13 - Lois de probabilité – Pour α∈]0; 1[ et Xune v.a. de loi N(0; 1), il existe un unique
réel positif uαvérifiant P(−uα6X6uα) = 1 −α.
•13 - Lois de probabilité – Si Xnest une v.a. qui suit la loi B(n, p) alors pour tout α∈]0; 1[
on a lim
n→+∞PXn
n∈In= 1 −αoù In=
p−uαqp(1 −p)
√n;p+uαqp(1 −p) √n
.
•13 - Lois de probabilité – Soit pune proportion fixée ; lorsque nest assez grand, l’intervalle
"Xn
n−1
√n;Xn
n+1
√n#contient la proportion pavec une probabilité d’au moins 0,95.
2

Table des matières
I Cours et exercices – Tronc commun 10
1 Limites 11
1.1 Généralités....................................... 11
1.2 Opérations....................................... 12
1.3 Comparaison...................................... 14
1.4 Exercices........................................ 16
2 Suites numériques 18
2.1 Récurrence....................................... 18
2.2 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Existencedelimite................................... 20
2.4 Exercices........................................ 23
3 Continuité 27
3.1 Généralités....................................... 27
3.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Compléments...................................... 29
3.4 Exercices........................................ 31
4 Dérivation 32
4.1 Généralités....................................... 32
4.2 Opérations....................................... 33
4.3 Variations ....................................... 34
4.4 Exercices........................................ 36
5 Fonctions trigonométriques 39
5.1 Cercletrigonométrique................................. 39
5.2 Dérivabilité....................................... 39
5.3 Propriétés ....................................... 41
5.4 Exercices........................................ 43
6 Exponentielle 45
6.1 Construction et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Propriétés algébriques et notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Propriétésanalytiques ................................. 47
6.4 Construction de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 Exercices........................................ 50
3

7 Nombres complexes 54
7.1 Généralités....................................... 54
7.2 Conjuguéetmodule .................................. 54
7.3 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.5 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.6 Cerclesetrotations .................................. 59
7.7 Exercices........................................ 60
8 Logarithme 65
8.1 Construction...................................... 65
8.2 Propriétés ....................................... 65
8.3 Fonctionspuissances.................................. 67
8.4 Exercices........................................ 69
9 Conditionnement et indépendance 72
9.1 Espacesprobabilisés .................................. 72
9.2 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 Probabilitéstotales................................... 75
9.4 Exercices........................................ 76
10 Intégration 80
10.1 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2Propriétés ....................................... 82
10.3Calculd’intégrales ................................... 84
10.4Exercices........................................ 86
11 Produit scalaire 92
11.1 Expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.2Plans.......................................... 92
11.3Exercices........................................ 95
12 Droites et plans 97
12.1Barycentres....................................... 97
12.2Plans.......................................... 97
12.3Droites......................................... 98
12.4Intersections ...................................... 98
12.5Exercices........................................ 99
13 Lois de probabilité 101
13.1Loibinomiale......................................101
13.2Densité.........................................103
13.3Loiuniforme ......................................104
13.4Loiexponentielle....................................105
4