Chapitre 3 : Séries de Fonctions

Kiwidream : la licence économie
Université de Cergy-Pontoise – Eco-Maths
Semestre 4 – Notes de cours d’Optimisation de M. Imed Chérif
1
Chapitre 4 : Théorème des
accroissements finis.
Formule de Taylor
I) Le cas des fonctions d’une variable
Théorème de Rolle :
Si
f
est continue sur
,ab
et dérivable sur
,ab
alors si
, / 0f a f b c a b f c
.
Théorème des accroissements finis :
Soit
f
une fonction continue sur
,ab
et dérivable sur
,ab
alors
,/e a b f b f a b a f c
.
Preuve :
On considère la fonction
f b f a
x f x f a x a
ba
. est continue sur
,ab
et dérivable sur
,ab
. De plus on a :
0a
et
0 c'est à dire b a b
.
D’après le théorème de Rolle,
, tel que 0c a b c
.
Or
f b f a
x f x ba
.
Donc
, tel que 0c a b c
, tel que 0
, tel que
f b f a
c a b f c ba
c a b f b f a f c b a
Théorème :
Soit
f
une fonction continue sur
,ab
et 2 fois dérivable sur
,ab
alors
2
1
,/ 2 e a b f b f a b a f a b a f c
Preuve : On considère la fonction
2
2
bx
x f b f x b x f x f b f a b a f a
ba

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2
Il est clair que est continue sur
,ab
et dérivable sur
,ab
.
De plus
0ab
.
D’après le théorème de Rolle,
, tel que 0c a b c
.
2
2
Or 2
2
bx
x f x f x b x f x f b f a b a f a
ba
bx
b x f x f b f a b a f a
ba
2
2
2
2
Donc 0 2 0
1
20
0
2
2
bc
c b c f c f b f a b a f a
ba
f c f b f a b a f a
ba
ba
f b f a b a f a f c
ba
f b f a b a f a f c
Remarque
1.
, 1 où 0 1c a b c a b
2.
3.
,
où 0
,,
, 1 où 0,1
où 0,1
a b a b
b a h h
a b a a h
c a a h c a a h
c a h
4. Le théorème précédent s’écrit alors
2
1 où 0 1
2
f a h f a hf a h f a h
C’est la formule de Taylor
a c b
où 0 1c a b a

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5. Si en plus, on suppose que
2
fC
,
22 h0
1 avec 0
2
f a h f a hf a h f a h h h
Il suffit de prendre
1
2 h f a h f a
6.
0 et x a x a h  
0
2
0 0 0 0 0 0
1 avec 0
2xx
f x f x x x f x x x f x x x x x
Formule de développement limité à l’ordre de
f
au voisinage de
0
x
.
II) Le cas des fonctions de plusieurs variables
Soient
et
nn
AB
Schéma
, 1 où 0,1 segment , .
n
A B X A B A B
Théorème des accroissements finis :
Soit
D
un ouvert de
n
.
Soit
1
: fDC
11
11
Soit et tel que ,
On a : 0< <1 tel que
c , tel que
nn
n
ii
iiAB
n
ii
iiAB
A B A B D
f
f B f A b a A B A
x
f
A B f B f A b a A B A
x
Preuve :
Soit et
nn
AB
On considère la fonction :
où 0,1s f A s B A s
est continue sur 0,1
continue et dérivable sur 0,1
s A s B A
X f X
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction d’une variable
où 0,1 .
, 0 1 tel que ' 1 0
s f A s B A s

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4
2
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2
1
1
2
1 1 1 2 2
1 1 1 2 2
11
12
, , 3
, , 2
1,2,3 4
: 3 2, , 2
//////////////////////////////////////
, ,...,
( , ,...,
(...) (...)
s
nn
nn
f x x x x x x
fx x x x x
x
f
x
g s f s e s
s f a s b a s b a s b a
df a s b a s b a s b a
ds ff
ba
xx
22
1 1 2 2
12
1 1 1 2 2 2
1
1 1 1
1
... (...)
²(...) (...) (...) (...) ... (...)
²
, ,...,
,
²
nn
n
nn
n
n n n
f
b a b a
x
d d d d f d f d f
f f b a b a b a
ds ds ds ds x ds x ds x
df
a s b a a s b a a s b a
ds x
fa s b a a
x
2 2 2 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,..., ( )
, ,..., ( )
, ,...,
n n n
n n n
n n n n n
s b a a s b a b a
a s b a a s b a a s b a b a
a s b a a s b a a s b a b a
Exercice :
/////////////////////////

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5
Théorème :
Soit
D
un ouvert de
n
, soit
2
: f D C
, Soient
, tels que ,A B D A B D
,
Alors
2
1 , 1
0 1 tel que :
1
2
nn
i i i i j j
i i j
i i j
ff
f B f A b a A b a b a A s B A
x x x
Rappel :
, 1 1 1
n n n
DEF
ij ij
i j i j
aa
Preuve :
Soient
, tels que ,A B D A B D
,
On considère Soient
, tels que ,A B D A B D
………………….
…………………..
………………….