Chapitre 3 : Séries de Fonctions

Chapitre 4 : Théorème des
accroissements finis.
Formule de Taylor
I)
Le cas des fonctions d’une variable
Théorème de Rolle :
Si f est continue sur  a, b et dérivable sur a, b alors si
f  a   f  b   c  a, b / f   c   0 .
Théorème des accroissements finis :
Soit f une fonction continue sur  a, b et dérivable sur a, b alors
e  a, b / f b   f  a   b  a  f   c  .
Preuve :
f b   f  a 
 x  a  .  est continue sur
ba
a, b et dérivable sur a, b . De plus on a :   a   0 et  b  0 c'est à dire   a    b .
On considère la fonction   x   f  x   f  a  
D’après le théorème de Rolle, c  a, b tel que    c   0 .
f b  f  a 
.
ba
Donc c  a, b tel que    c   0
Or    x   f   x  
f b  f  a 
0
ba
 c  a, b tel que f  b   f  a   f   c  b  a 
 c  a, b tel que f   c  
Théorème :
Soit f une fonction continue sur  a, b et 2 fois dérivable sur a, b alors
e  a, b / f  b   f  a    b  a  f   a  
1
2
 b  a  f   c 
2
Preuve : On considère la fonction
b  x   f b  f a  b  a f  a 
  x   f b   f  x   b  x  f   x  
    
  
2
b  a  
2
1
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Il est clair que  est continue sur  a, b et dérivable sur a, b .
De plus   a   0    b  .
D’après le théorème de Rolle,
 c  a, b tel que    c   0 .
Or    x    f   x   f   x    b  x  f   x   2
   b  x  f   x   2
bx
b  a 
Donc    c   0    b  c  f   c   2
  f   c   2
1
b  a 
2
2
bx
b  a 
2
 f  b   f  a    b  a  f   a  
 f  b   f  a    b  a  f   a  
bc
b  a 
2
 f  b   f  a    b  a  f   a    0
 f  b   f  a    b  a  f   a    0
 f b  f  a   b  a  f   a 
b  a 

 f b   f  a   b  a  f   a 
b  a 

2
2
2
2
f   c   0
f   c 
Remarque
1. c  a, b 
 c  1    a  b où 0    1
a
c
b
c  a   b  a  où 0    1
2.
ab
 a, b 
b  a  h où h  0
3.
a, b  a, a  h
c  a, a  h  c  1    a    a  h 
 c  a   h où   0,1
où   0,1
4. Le théorème précédent s’écrit alors
1
f  a  h   f  a   hf   a   h 2 f   a   h  où 0    1
2
C’est la formule de Taylor
2
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5. Si en plus, on suppose que
f C
2
,
1
f  a  h   f  a   hf   a   h 2 f   a   h 2  h  avec   h  
0
h 0
2
1
Il suffit de prendre   h    f   a   h   f   a  
2
6. x0  a et x  a  h
1
2
f  x   f  x0    x  x0  f   x0    x  x0  f   x0    x  x0    x  avec   x  
0
x  x0
2
Formule de développement limité à l’ordre de f au voisinage de x0 .
II)
Le cas des fonctions de plusieurs variables
Soient A  n et B  n
Schéma
 A, B    X  n  1    A   B où   0,1
 segment A, B.
Théorème des accroissements finis :
n
Soit D un ouvert de
Soit f : D  C 1
Soit A 
n
et B 
n
.
tel que  A, B   D
n
On a :  0< <1 tel que f  B   f  A     bi  ai 
i 1
n
 1  A  B 
 c   A, B tel que f  B   f  A     bi  ai 
i 1
f
 A    B  A 
xi
f
 A    B  A 
xi
1  A  B 
Preuve :
Soit A  n et B  n
On considère la fonction :   s   f  A  s  B  A  où s  0,1
 est continue sur  0,1
s 
 A  s  B  A
X 
 f  X  continue et dérivable sur 0,1
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction d’une variable 
  s   f  A  s  B  A   où s   0,1.
  , 0    1 tel que  '      1    0 
3
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f  x1 , x2 , x3   x12  x2  3x3
f
 x1 , x2 , x3   2 x1 x2
x1

f
1, 2,3  4
x1
g:s
f  3s  2, e s , s 2  2 
//////////////////////////////////////
s
f  a1  s  b1  a1  , s  b2  a2  ,..., s  bn  an  
d
 f (a1  s  b1  a1  , s  b2  a2  ,..., s  bn  an  
ds 
f
f
f

(...)  b1  a1  
(...)  b2  a2   ... 
(...)  bn  an 
x1
x2
xn



d²
d d
d  f
d  f
d  f
 f (...)    f (...)   (...)   b1  a1    (...)   b2  a2   ...   (...)   bn  an 
ds ²
ds  ds
ds  x2
ds  xn
 ds  x1





d  f
  a1  s  b1  a1  , a2  s  b2  a2  ,..., an  s  bn  an   
ds  x1


f
 a1  s  b1  a1  , a2  s  b2  a2  ,..., an  s  bn  an   (b1  a1 )
x1 ²
  a1  s  b1  a1  , a2  s  b2  a2  ,..., an  s  bn  an   (b2  a2 )
  a1  s  b1  a1  , a2  s  b2  a2  ,..., an  s  bn  an    bn  an 
Exercice : /////////////////////////
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Théorème :
Soit D un ouvert de n , soit f : D 

 0    1 tel que :
Alors
n
f  B   f  A     bi  ai 
i 1
C 2 , Soient A, B  D tels que  A, B  D ,
f
1 n
2 f
A

b

a
b

a
    i i  j j 
 A  s  B  A
xi
2 i , j 1
xi x j
Rappel :
n
 n

  aij 

i 1  j 1

DEF n
 aij 
i , j 1
Preuve :
Soient A, B  D tels que  A, B  D ,
On considère Soient A, B  D tels que  A, B  D
………………….
…………………..
………………….
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Soient
   s  

d
d  n
f
A  s  B  A 
   s       bi  ai 

ds
ds  i 1
xi

n

d  f
   bi  ai    A  s  B  A   
ds  xi
i 1


d  f
  A  s  B  A  
ds  xi


2 f
2 f
2 f
A  s  B  A    b1  a1  
A  s  B  A    b2  a2   ... 


 A  s  B  A   bn  an 
xi x1
xi x2
xi xn
2 f
 A  s  B  A   b j  a j 
j 1 xi x j
n

Donc
2 f
 A  s  B  A  b j  a j 
j 1 xi x j
n
n
   s     bi  ai 
i 1
n
n
   bi  ai 
i 1 j 1

n
  bi  ai 
i , j 1
2 f
 A  s  B  A   b j  a j 
xi x j
2 f
 A  s  B  A   b j  a j 
xi x j
1
2
n
f
1 n 2 f
 f  B   f  A  
 A bi  ai   
 A    B  A   bi  ai   b j  a j 
2 i , j 1 xi x j
i 1 xi
 1    0      0        où 0    1
……………………… ;;;
…………………………………………..
…………………………..
………………………….
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n
f  A  H   f  A  
i 1
f
1 n f
2
0
 A hi  
 A hi h j H   H  avec   H  
H 0
xi
2 i , j 1 xi x j
f
1 n f
2
0
f  X   f  X0   
 X 0   xi  xi   
 X 0   xi  xi0  x j  x 0j   X  X 0   X 
2 i , j 1 xi x j
i 1 xi
n
avec   X  
0
X X0
Exemple :
Soit f :
2



 x1 , x2   ln  x1 x2  1 e2 x
2
Ecrire la formule de développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage du point 1,1
2
f  X   f 1,1  
i 1
2
f
1 2 2 f
0
1,1 xi  1  
1,1 xi  1  x j  1   x1  1, x2  1   X  avec   X  
X 1,1
xi
2 i , j 1 xi x j
x
f
 x1 , x2   2 ,
x1
x1 x2  1
x
f
 x1 , x2   1 e2 x2  2 ln  x1 x2  1 e2 x2 ,
x2
x1 x2  1
 x2 2
2 f
x , x2  
e 2 x2 ,
2
2  1
x1
 x1 x2  1
 x e 2 x2

2 x1e 2 x2  x1 x2  1  x12 e 2 x2
2 f
x
,
x


2
 2 ln  x1 x2  1 e 2 x2   e 2 x2
 1


1
2
2
2
2
x2
 x1 x2  1
  x1 x2  1

2 x2
x x  1  x2 x1 2 x2
2 x2
f
e
1  2 x2 2 x1  2 x2 
e 
e 2 x2 
 x1 , x2   1 2
2
2
x1x2
 x1 x2  1
 x1 x2  1
 x1 x2  1 
 4x

x12
1

 4 ln  x1 x2  1 

2
  x1 x2  1  x1 x2  1

1
1
1 
2
1

5 
f  x1 , x2   ln  2  e 2   x1  1 e 2   x2  1   2 ln 2  e 2   x1  1   e 2    x1  1 x2  1  e 2   Z  x 
2
2
2
4




4 
avec Z  x  
1
2
2 7
 x2  1   4 ln 2  e2  x1  1, x2  1   x1 , x2 
2
4


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