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On entend par phénomène transitoire une phase de durée limitée dans le temps.
On peut opposer ainsi phénomène transitoire et phénomène permanent : Par exemple, on parlera de la phase de
démarrage d’un moteur comme d’une phase transitoire où sa vitesse évolue suite à un ordre de mise en
rotation ; à l’inverse, on qualifiera de régime permanent ou établi la phase ultérieure où la vitesse de rotation est
stable.
De façon plus générale, nous dirons qu’un régime transitoire est la phase qui sépare (dans le temps) deux
régimes permanents distincts d’un système physique.
Ces phénomènes transitoires sont ainsi très généraux et surviennent dans bon nombre de domaines.
En voici quelques exemples :
- Electricité : Mise sous tension ou hors tension d’un circuit, établissement d’un régime électrique périodique
(oscillateurs, hacheur)…
- Mécanique : Variation de la vitesse d’un moteur (pas nécessairement électrique) suite à une variation de
l’effort demandé ; évolution du débit d’un fluide dans une canalisation après manœuvre d’une vanne…
- Thermique : Modification de l’allure de chauffe dans un chauffage domestique ; montée en température de
semi-conducteurs de puissance…
Cadre de l’étude abordée ici : Nous raisonnons sur des circuits électriques linéaires modèles ; ces circuits sont
complètement décrits par une ou plusieurs équations différentielles linéaires faisant intervenir des variables
électriques.
Nous distinguerons essentiellement les phénomènes transitoires du premier et du second ordre, c’est à dire
correspondant à une description du circuit concerné par une équation différentielle du 1
er
ou du 2
ème
ordre.
(Nous verrons par la suite que l’ordre des équations différentielles décrivant un système augmente avec la
précision de description)
6.1 Modèle du premier ordre.
Le circuit du premier ordre le plus simple comprend une résistance et un élément réactif (capacité ou
inductance) ; intéressons nous à la réponse indicielle d’un circuit de type « RC », c’est à dire à sa réponse à une
sollicitation de type échelon de tension
6.1.1 Equations différentielles.
Pour le circuit ci-contre, nous pouvons écrire :
e = Ri + u
C
, en valeurs instantanées.
i(t) et u
C
(t) sont liés par la relation : dt
du
Ci
c
=
On peut alors écrire :
c
c
u
dt
du
RCe += , qui constitue une équation
différentielle du 1
er
ordre vis à vis de u
c
.
En dérivant par rapport au temps l’équation e = Ri + u
C
il vient, compte tenu de dt
du
Ci
c
= :
C
i
dt
di
R
dt
de +=
, soit , après multiplication par C : i
dt
di
RC
dt
de
C+=
autre équation du 1
er
ordre, en i.
On peut remarquer la présence du terme RC dans ces 2 équations ; son importance va apparaître dans leur
résolution.
C
R
e u
C
i

6.1.2 Mise sous tension
La tension e(t) est un échelon de hauteur E, apparaissant à une date origine.
La tension u
C
aux bornes du condensateur va croître jusqu’à E
L’équation différentielle en i(t) s’écrit :
i
dt
di
RC0 += , dans la mesure où e est une constante pour t > 0 .
Supposons le condensateur initialement déchargé.
Cette équation se résout en
RC
t
0
eI)0t(i
−
×=>
On pose τ =RC, constante de temps du phénomène.
Au bout d’une durée τ, le courant I
0
a été divisé par
e ≈ 2,718.
A la date origine, u
C
= 0, donc RI
0
= E ;
il vient ainsi
R
E
I
0
=
Compte tenu de la relation dt
du
Ci
c
=, nous déduisons
u
C
(t) par intégration :
−⋅=>
−RC
t
C
e1E)0t(u
u
C
évolue entre 0V et E, exponentiellement, avec la
constante de temps τ également.
Ce phénomène transitoire est accompli à 63% au bout d’une durée τ, à 95% au bout de 3τ, et à plus de 99% au
bout d’une durée 5τ.
Voir en annexe 1 les principales caractéristiques de la réponse indicielle du 1
er
ordre.
Remarquer la continuité de la tension u
C
(t) et la discontinuité de i(t) : La charge q portée par un condensateur
(et donc l’énergie
C
q
2
1
W
2
= ) ne peuvent varier instantanément d’une valeur finie. Par contre, la variation de
la charge q (donc le courant i(t)) peut être discontinue.
6.1.3 Autres cas
• Magnétisation d’un bobinage :
Pour le circuit ci-contre, l’interrupteur est fermé à une date origine.
Pour t ≥ 0,
dt
di
LRiE
L
L
+= , soit
dt
di
R
L
i
R
E L
L
+= .
Si nous posons maintenant
R
L
=τ
La solution de l’équation différentielle s’écrit :
)e1(
R
E
)t(i
t
Lτ
−
−=
aux bornes de l’inductance, la tension u
L
(t) s’écrit :
τ
−
==
t
L
L
e.E
dt
di
Lu
Nous obtenons une réponse semblable à la mise sous tension d’un réseau RC, en associant iL à uC et iC à uL.
Cette fois, c’est iL qui ne subit pas de discontinuité. (iL est liée à l’énergie stockée
2
Li
2
1
W= )
E
e
t 0
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7
i (mA)
20
40
60
80
u (V)
1
2
3
4
L
R iL
E uL

• Magnétisation à tension constante :
Qu’advient-il si la résistance R de l’exemple précédent tend vers 0 ?
L’inductance est soumise à la tension constante E : E
dt
di
Lu
L
L
== ; cette équation se résout en :
t
L
E
)0(i)t(i
LL
+= : Le courant croît constamment , de façon linéaire avec le temps.
Cette rampe de courant ne peut pas se poursuivre indéfiniment ; il faudra nécessairement ouvrir le circuit ,afin
de limiter l’énergie stockée. (Dans ce cas, on doit prévoir une dissipation progressive de l’énergie stockée, par
exemple en câblant une diode de roue libre aux bornes de l’inductance.
• Charge à courant constant :
Chargeons maintenant un condensateur à l’aide d’un générateur de courant :
Nous pouvons écrire :
dt
du
CIi
C
0C
== .
Cette équation se résout en : t
C
I
)0(u)t(u
0
CC
+=
On obtient ici une rampe de tension aux bornes du condensateur.
Là non plus, ce régime ne peut perdurer : Il faudra ouvrir le circuit au bout d’un certain temps.
6.2 Modèle du second ordre.
Le modèle électrique fondamental comprend une inductance, une capacité, et inévitablement une
résistance ; c’est le circuit RLC bien connu.
6.2.1 Equations différentielles.
Considérons le circuit RLC série ci-contre :
La loi des mailles s’écrit :
e(t) = Ri(t) + u
L
(t) + u
C
(t)
En outre,
dt
di
Lu
L
= et dt
du
Ci
C
=
Dérivons l’expression de la loi des mailles par rapport
au temps et exprimons les différentes grandeurs en
fonction de i ; il vient ainsi :
i
C
1
dt id
L
dt
di
R
dt
de
2
2
++= qui est bien une équation du second ordre (en i)
Nous pouvons exprimer également i(t) et uL(t) en fonction de uC(t) dans la loi des mailles :
C
2
C
2
C
u
dt
ud
LC
dt
du
RC)t(e ++= qui est cette fois une équation du second ordre en uC.
6.2.2 Réponse indicielle.
Le circuit est initialement au repos : e(t) et i(t) sont nulles, le condensateur est déchargé.
A une date prise comme origine des temps, e(t) subit un échelon de hauteur E.
Le phénomène transitoire correspond cette fois à la charge du condensateur
à travers la résistance R et l’inductance L.
Ce régime se termine quand uC atteint la valeur E ; le courant i dans la maille
s’annule alors.
L’évolution de ces grandeurs peut se faire de 2 manières : On parle de
régime apériodique ou de régime périodique amorti.
Voir le complément mathématique en annexe 2, concernant les solutions d’une équation différentielle du
second ordre, ainsi qu les principales caractéristiques de la réponse indicielle du second ordre en annexe 3.
uC
iC =I0
C
L
C
R
e
i
u
C
u
L
E
e
t 0

L’évolution selon l’un ou l’autre de ces régimes dépend de la valeur de la résistance R :
L’équation caractéristique associée à l’équation en u
C
(par exemple) est (LC).r
2
+(RC).r + 1 = 0
son discriminant ∆ est ∆ = (RC)
2
– 4LC ; le régime transitoire change selon le signe de ∆ :
∆ s’annule pour C
L
2R = (cette valeur de R se nomme résistance critique)
Si ∆ > 0 , soit C
L
2R >, alors le régime est apériodique.
Si ∆ < 0 , soit C
L
2R <, alors le régime est périodique amorti. (à la limite, si on pouvait rendre R nulle,
l’amortissement du phénomène serait inexistant ; on aurait ainsi réalisé un système oscillant perpétuellement ;
l’approche des oscillateurs fera l’objet d’une étude ultérieure)
Raisonnons sur un exemple numérique : Prenons L = 25mH, et C = 2,5µF. (E =4V)
La résistance critique est R = 200Ω
Résultats de simulation pour R = 400Ω , R = 100Ω et R = 50Ω :
Courant
Tension uC
La réponse est apériodique pour R = 400Ω ; elle est périodique amortie pour les 2 autres valeurs.
Time
0s 2.0ms 4.0ms 6.0ms
-I(C1)
-16mA
0A
16mA
30mA
400
Ω
100
Ω
50
Ω
Time
0s 2.0ms 4.0ms 6.0ms
V(uc)
0V
2.0V
4.0V
6.0V
100
Ω
50
Ω
400
Ω

6.3 Généralisation.
En première approximation, la plupart des régimes transitoires observables peuvent être assimilés à des
phénomènes du 1
er
ou du 2
ème
ordre.
Exemple : Enregistrement du courant appelé et de la vitesse de rotation d’un moteur lors de sa mise sous
tension :
L’examen de cette réponse met en évidence un processus du second ordre (tangente à l’origine horizontale
pour la courbe de vitesse) .
Par rapport à un circuit RLC à réponse indicielle apériodique, la montée en vitesse du moteur est analogue à
la tension aux bornes du condensateur, alors que le courant appelé par la machine est comparable au courant
appelé par le circuit RLC.
Les mesures réalisables sont :
- Vitesse permanente : 862 tr/min
- Courant permanent : 1,6A
- Pointe de courant de 40,8A à 0,12s
- Temps de montée de la vitesse (10 à 90% de 862tr/min) : 0,62s
- Temps de réponse à 5% (mesuré sur la courbe de vitesse) : 0,88s
D’autre part, la connaissance des régimes transitoires électriques est nécessaire pour analyser le
fonctionnement de dispositifs variés tels que les circuits monostables ou astables (en électronique), ou bien
les alimentations à découpage non isolées ou hacheurs (en électrotechnique)