Les nombres réels

27/03/2012 Analyse – Nombres réels | 1
 Nombres réels 
Ordre dans 
Proposition
(, +, , ≤) est un corps archimédien commutatif totalement ordonné qui possède la propriété de la borne supérieure.
*  est archimédien x  , y  , (x > 0)  (n   nx > y)
* ≤ est compatible avec l’addition et la multiplication par un réel positif
Définition – Plus grand et plus petit élément
Soit A une partie de  et a un élément de A
On dit que a est le plus grand élément de A si x  A, x ≤ a et on le note max(A) ou max A
On dit que a est le plus petit élément de A si x  A, a ≤ x et on le note min(A) ou max A
Définition – Majorant et minorant
Si A est une partie de  , un élément de a   est :
- un majorant de A si x  A, x ≤ a
- un minorant de A si x  A, a ≤ x
* lorsqu’il existe le plus grand élément de A est l’unique majorant de A qui se trouve dans A
Définition – Borne supérieure et borne inférieure
Soit A une partie de 
La borne supérieure de A est s’il existe le plus petit des majorants de A. Elle se note sup(A) ou sup A
La borne supérieure de A est s’il existe le plus grand des minorants de A. Elle se note inf(A) ou inf A
Propriété de la borne supérieure et de la borne inférieure
Toute partie non vide et majorée de  possède une borne supérieure
Toute partie non vide et minorée de  possède une borne inférieure
* L'ensemble ordonné  des rationnels ne possède pas cette propriété
Proposition – Caractérisation de la borne supérieure
La borne supérieure d’une partie X de  est caractérisé par :
x  X, x ≤ a et   > 0, x  X, a –  < x
Proposition – Caractérisation de la borne inférieure
La borne inférieure d’une partie X de  est caractérisé par :
x  X, x  a et   > 0, x  X, a +  > x
Définition – Droite numérique achevée
On appelle droite numérique achevée l’ensemble 
On prolonge la relation d’ordre ≤ sur 
 en posant :
 et 
 est le plus grand élément de 
 est le plus petit élément de 

27/03/2012 Analyse – Nombres réels | 2
Valeur absolue
Définition
Soit x  . On définit la valeur absolue de x par 
Propriétés
Proposition
Soient x, y   et ≥ 0, 
* La quantité  mesure la distance entre deux points de la droite réelle x et y.
* Astuce : les réels de l’intervalle sont décrits par x + t(y - x) avec t  [0, 1]
Inégalités triangulaires
Inégalité de Cauchy-Schwartz
Soit n  * Soient (a1, a2, …, an) et (b1, b2, …, bn) deux n-uplets de réels. Alors

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Topologie de 
Définition – Intervalle de 
Un intervalle de  a une des formes suivantes :
[a, b] = {x  , a ≤ x ≤ b} (fermé) ]-, a] = {x  , x ≤ a } (fermé)
[a, b[ = {x  , a ≤ x < b} (semi-ouvert) ]-, a[ = {x  , x < a } (ouvert)
]a, b] = {x  , a < x ≤ b} (semi-ouvert) [a, +[ = {x  , x ≥ a } (fermé)
]a, b[ = {x  , a < x < b} (ouvert) ]a, +[ = {x  , x > a } (ouvert)
 = ]-, +[  = ]a, a[  et  sont à la fois ouverts et fermés
{a} = [a, a] [0,1[ ni fermé ni ouvert (fermé n’est pas le contraire de ouvert)
Un segment est un intervalle fermé borné [a,b] avec a et b réels
Propositions
* Une partie I de  est un intervalle ssi pour tout x, y dans I x < a < y  a  I
* Si I est un intervalle non vide, majoré et non minoré de  alors I est un intervalle de la forme
] -, sup I] ou de la forme ] -, sup I[
* Si I est un intervalle non vide, minoré, non majoré de  alors I est de la forme [inf I, + [ ou de la forme ]inf I, + [
* Si I est un intervalle non vide minoré et majoré il est de la forme [inf I, sup I] ou ] inf I, sup I[ ou
]inf I, sup I] ou [inf I, sup I[
* intersection d’intervalles => intervalle
* réunion d’intervalles non disjoints => intervalle
Proposition
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b alors [a, b] ={(1-t)a + tb, t  [0, 1]} ={a + t(b-a), t  [0, 1]}
Définition – Intérieur
On appelle intérieur de A le sous-ensemble de  formé par les points x de A tels que il existe un intervalle ouvert I de  tel
que x  I  A. Noté Int A ou Å. On a Int A  A
Définition – Adhérence
Soit A une partie de . On appelle adhérence de A le sous-ensemble de  fermé par les points x tels que pour tout intervalle
ouvert I de  contenant A ∩ I ≠ . On note Adh A ou 
 et A  
* Soit A une partie de . Alors 
[0 ,1] adhérence de ]0, 1[
Définition – Ouvert /fermé
Soit A une partie de . On dit que A est ouverte lorsque pour tout x  A il existe un intervalle ouvert I de  tel que x  I et I 
A. On dit que A est fermé lorsque son complémentaire Ac est ouvert.
* La réunion d’une famille d’ouvert est un ouvert de 
* L’intersection de deux fermés de  est un fermé de 
* Une partie est fermée ssi elle est égale à son adhérence
* Une partie est ouverte ssi elle est égale à son intérieur
Définition – Voisinage
Soit a  . Une partie de  est un voisinage de a si elle contient un intervalle ouvert contenant a.
* Une partie de  est ouverte si c’est un voisinage de chacun de ses points
*[0, 1[ est un voisinage de 1 mais pas de 0
* En général on prend ]a-1, a+1[
* voisinage épointé de a = voisinage de a privé de a
* voisinage de + = partie de  contenant un intervalle de la forme ]A, +
* voisinage de - = partie de  contenant un intervalle de la forme ] -, A[

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Rationnels et irrationnels
*    et les éléments de  qui n’appartiennent pas à  sont des irrationnels
* La somme ou le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel
* Par contre la somme ou le produit de deux irrationnels peut être un rationnel
Définition – Densité
Une partie A de  est dite dense dans  si entre deux réels distincts il existe toujours au moins un éléments de A
Densité de  et de \ dans 
 et son complémentaire \ sont denses dans  donc étant donné deux réels x et y vérifiant x < y il existe au moins un
rationnel et un irrationnel dans l’intervalle ] x, y [
* Tout réel est limite d’une suite de nombre rationnels
* Tout réel est limite d’une suite de nombres irrationnels
Approximations décimales
Définition – Valeurs approchées
Soit a   et b  . On dit que b est une valeur approchée de a à  si . C'est-à-dire si b  
* On parle de valeur approchée par excès si b > a et par défaut si b < a
Définition – Partie entière
Etant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif noté E(x) ou [x] tel que E(x) ≤ x. On l’appelle partie entière
de x et donc par définition E(x) ≤ x ≤ E(x) + 1
* Attention E(-8,5) = - 9
* on peut encadrer E(x) par : x - 1 ≤ E(x) ≤ x
Définition – Valeurs décimales approchées
Soit x    
d est la partie entière de 
 est la valeur décimale approchée de x à  près par défaut
 est la valeur décimale approchée de x à  près par excès

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