Les nombres réels

⋇ Nombres réels ⋇
Ordre dans ℝ
Proposition
(ℝ, +, 𝗑, ≤) est un corps archimédien commutatif totalement ordonné qui possède la propriété de la borne supérieure.
* ℝ est archimédien ⇔ ∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, (x > 0) ⇒ (∃n ∈ ℕ nx > y)
* ≤ est compatible avec l’addition et la multiplication par un réel positif
Définition – Plus grand et plus petit élément
Soit A une partie de ℝ et a un élément de A
On dit que a est le plus grand élément de A si ∀x ∈ A, x ≤ a et on le note max(A) ou max A
On dit que a est le plus petit élément de A si ∀x ∈ A, a ≤ x et on le note min(A) ou max A
Définition – Majorant et minorant
Si A est une partie de ℝ , un élément de a ∈ ℝ est :
- un majorant de A si ∀x ∈ A, x ≤ a
- un minorant de A si ∀x ∈ A, a ≤ x
* lorsqu’il existe le plus grand élément de A est l’unique majorant de A qui se trouve dans A
Définition – Borne supérieure et borne inférieure
Soit A une partie de ℝ
La borne supérieure de A est s’il existe le plus petit des majorants de A. Elle se note sup(A) ou sup A
La borne supérieure de A est s’il existe le plus grand des minorants de A. Elle se note inf(A) ou inf A
Propriété de la borne supérieure et de la borne inférieure
Toute partie non vide et majorée de ℝ possède une borne supérieure
Toute partie non vide et minorée de ℝ possède une borne inférieure
* L'ensemble ordonné ℚ des rationnels ne possède pas cette propriété
Proposition – Caractérisation de la borne supérieure
La borne supérieure d’une partie X de ℝ est caractérisé par :
∀x ∈ X, x ≤ a et ∀ 𝜀 > 0, ∃x ∈ X, a – 𝜀 < x
Proposition – Caractérisation de la borne inférieure
La borne inférieure d’une partie X de ℝ est caractérisé par :
∀x ∈ X, x ≥ a et ∀ 𝜀 > 0, ∃x ∈ X, a + 𝜀 > x
Définition – Droite numérique achevée
̅ = ℝ ∪ {−∞, +∞}
On appelle droite numérique achevée l’ensemble ℝ
̅ en posant :
On prolonge la relation d’ordre ≤ sur ℝ
̅
̅ , 𝑥 ≥ −∞
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≤ +∞
et
∀𝑥 ∈ ℝ
̅
+∞ est le plus grand élément de ℝ
̅
−∞ est le plus petit élément de ℝ
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 1
Valeur absolue
Définition
Soit x ∈ ℝ. On définit la valeur absolue de x par |x| = {
x si x ≥ 0
−x sinon
Propriétés
∀x ∈ ℝ, |x| ≥ 0
∀x ∈ ℝ, |x| = 0 ⟹ x = 0
∀(x, y) ∈ ℝ2 , |xy| = |x||y|
1
∀(x, y) ∈ ℝ2 sup(x, y) = (x + y + |x − y|)
2
1
∀(x, y) ∈ ℝ2 inf(x, y) = (x + 𝑦 − |x − y|)
2
Proposition
Soient x, y ∈ ℝ et ℰ≥ 0,
|x − y| ≤ ℰ ⇔ x − ℰ ≤ y ≤ x + ℰ ⇔ y ∈ [x − ℰ, x + ℰ]
* La quantité |x − y| mesure la distance entre deux points de la droite réelle x et y.
* Astuce : les réels de l’intervalle sont décrits par x + t(y - x) avec t ∈ [0, 1]
Inégalités triangulaires
∀(x, y) ∈ ℝ2 , ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
∀(x, y) ∈ ℝ2 , ||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|
Inégalité de Cauchy-Schwartz
Soit n ∈ ℕ* Soient (a1, a2, …, an) et (b1, b2, …, bn) deux n-uplets de réels. Alors
n
2
n
n
(∑ a k bk ) ≤ (∑ a k ) (∑ bk 2 )
2
k=1
27/03/2012
k=1
k=1
Analyse – Nombres réels | 2
Topologie de ℝ
Définition – Intervalle de ℝ
Un intervalle de ℝ a une des formes suivantes :
[a, b] = {x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b} (fermé)
]-∞, a] = {x ∈ ℝ, x ≤ a } (fermé)
[a, b[ = {x ∈ ℝ, a ≤ x < b} (semi-ouvert)
]-∞, a[ = {x ∈ ℝ, x < a } (ouvert)
]a, b] = {x ∈ ℝ, a < x ≤ b} (semi-ouvert)
[a, +∞[ = {x ∈ ℝ, x ≥ a } (fermé)
]a, b[ = {x ∈ ℝ, a < x < b} (ouvert)
]a, +∞[ = {x ∈ ℝ, x > a } (ouvert)
ℝ = ]-∞, +∞[
∅ = ]a, a[
∅ et ℝ sont à la fois ouverts et fermés
{a} = [a, a]
[0,1[ ni fermé ni ouvert (fermé n’est pas le contraire de ouvert)
Un segment est un intervalle fermé borné [a,b] avec a et b réels
Propositions
* Une partie I de ℝ est un intervalle ssi pour tout x, y dans I x < a < y ⇒ a ∈ I
* Si I est un intervalle non vide, majoré et non minoré de ℝ alors I est un intervalle de la forme
] -∞, sup I] ou de la forme ] -∞, sup I[
* Si I est un intervalle non vide, minoré, non majoré de ℝ alors I est de la forme [inf I, +∞ [ ou de la forme ]inf I, +∞ [
* Si I est un intervalle non vide minoré et majoré il est de la forme [inf I, sup I] ou ] inf I, sup I[ ou
]inf I, sup I] ou [inf I, sup I[
* intersection d’intervalles => intervalle
* réunion d’intervalles non disjoints => intervalle
Proposition
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b alors [a, b] ={(1-t)a + tb, t ∈ [0, 1]} ={a + t(b-a), t ∈ [0, 1]}
Définition – Intérieur
On appelle intérieur de A le sous-ensemble de ℝ formé par les points x de A tels que il existe un intervalle ouvert I de ℝ tel
que x ⊂ I ⊂ A. Noté Int A ou Å. On a Int A ⊂ A
Définition – Adhérence
Soit A une partie de ℝ. On appelle adhérence de A le sous-ensemble de ℝ fermé par les points x tels que pour tout intervalle
̅ et A ⊂ A
̅
ouvert I de ℝ contenant A ∩ I ≠ ∅. On note Adh A ou A
c
c
c
̅ = (Int A ) et Int A = (A
̅̅̅c )
* Soit A une partie de ℝ. Alors A
[0 ,1] adhérence de ]0, 1[
Définition – Ouvert /fermé
Soit A une partie de ℝ. On dit que A est ouverte lorsque pour tout x ∈ A il existe un intervalle ouvert I de ℝ tel que x ∈ I et I ⊂
A. On dit que A est fermé lorsque son complémentaire A c est ouvert.
* La réunion d’une famille d’ouvert est un ouvert de ℝ
* L’intersection de deux fermés de ℝ est un fermé de ℝ
* Une partie est fermée ssi elle est égale à son adhérence
* Une partie est ouverte ssi elle est égale à son intérieur
Définition – Voisinage
Soit a ∈ ℝ. Une partie de ℝ est un voisinage de a si elle contient un intervalle ouvert contenant a.
* Une partie de ℝ est ouverte si c’est un voisinage de chacun de ses points
*[0, 1[ est un voisinage de 1 mais pas de 0
* En général on prend ]a-1, a+1[
* voisinage épointé de a = voisinage de a privé de a
* voisinage de +∞ = partie de ℝ contenant un intervalle de la forme ]A, +∞[
* voisinage de -∞ = partie de ℝ contenant un intervalle de la forme ] -∞, A[
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 3
Rationnels et irrationnels
* ℚ ⊂ ℝ et les éléments de ℝ qui n’appartiennent pas à ℚ sont des irrationnels
* La somme ou le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel
* Par contre la somme ou le produit de deux irrationnels peut être un rationnel
Définition – Densité
Une partie A de ℝ est dite dense dans ℝ si entre deux réels distincts il existe toujours au moins un éléments de A
Densité de ℚ et de ℝ\ℚ dans ℝ
ℚ et son complémentaire ℝ\ℚ sont denses dans ℝ donc étant donné deux réels x et y vérifiant x < y il existe au moins un
rationnel et un irrationnel dans l’intervalle ] x, y [
* Tout réel est limite d’une suite de nombre rationnels
* Tout réel est limite d’une suite de nombres irrationnels
Approximations décimales
Définition – Valeurs approchées
Soit a ∈ ℝ et b ∈ ℝ. On dit que b est une valeur approchée de a à 𝜀 si |a − b| < ε. C'est-à-dire si b ∈ ]a − ε, a + ε[
* On parle de valeur approchée par excès si b > a et par défaut si b < a
Définition – Partie entière
Etant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif noté E(x) ou [x] tel que E(x) ≤ x. On l’appelle partie entière
de x et donc par définition E(x) ≤ x ≤ E(x) + 1
* Attention E(-8,5) = - 9
* on peut encadrer E(x) par : x - 1 ≤ E(x) ≤ x
Définition – Valeurs décimales approchées
Soit x ∈ ℝ et n ∈ ℕ. Il existe un entier d unique tel que d × 10−n ≤ x < (d + 1) × 10−n
d est la partie entière de 10n 𝑥
d × 10−n est la valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut
(d + 1) × 10−n est la valeur décimale approchée de x à 10−n près par excès
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 4
27/03/2012
Analyse – Nombres réels | 5