Équations différentielles

Équations différentielles
Nicolas Raymond
20 février 2011
Table des matières
1 Cas scalaire d’ordre 1 3
1.1 Définitions............................. 3
1.2 Résolution théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Résolution......................... 5
1.3 Résolution pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Cas vectoriel d’ordre 1 6
2.1 Généralités sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Définition et réduction au premier ordre . . . . . . . . 7
2.1.2 Le problème de Cauchy et sa formulation intégrale . . 7
2.1.3 Solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Équations différentielles vectorielles linéaires d’ordre 1 . . . . . 8
2.2.1 Préliminaires sur les suites et séries de fonctions . . . . 8
2.2.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz (cas linéaire) . . . . . . 10
2.2.3 Structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Cas scalaire d’ordre 2 13
3.1 Généralités ............................ 13
3.2 Cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Solutions de (H)..................... 14
3.2.3 Solutions de (E)..................... 15
3.3 Quelques problèmes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 Problème des raccords : exemple . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2 Développement en série entière des solutions : exemple 15
3.3.3 Changement de variable ou de fonction inconnue : exemple 15
1

4 Cas des coefficients constants 16
4.1 Étudethéorique.......................... 16
4.2 Résolution de (E)quand Aest diagonalisable . . . . . . . . . 16
4.2.1 Résolution de (H).................... 16
4.2.2 Résolution de (E)..................... 17
4.2.3 Résolution de (E)quand Aest trigonalisable . . . . . . 17
5 Cas non linéaire 17
5.1 Autour du théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Notions sur les entonnoirs, échappement des solutions . . . . . 18
5.2.1 Solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.2 Entonnoirs......................... 19
5.2.3 Un exemple d’étude qualitative . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Quelques exemples d’équations non linéaires . . . . . . . . . . 21
5.3.1 Équations de Bernoulli et Riccati . . . . . . . . . . . . 21
5.3.2 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . 22
5.4 Un exemple pour traiter des équations différentielles : la mé-
thodedutir............................ 22
5.5 Un exemple d’étude qualitative de système non linéaire . . . . 25
5.6 Notions des méthodes numériques pour les équations différen-
tielles................................ 26
5.6.1 Rappel sur la formule de Taylor avec reste intégral . . 26
5.6.2 Méthodes de quadrature pour les intégrales . . . . . . . 27
5.6.3 Méthodes de résolution numérique pour les équations
différentielles ....................... 29
6 Rappels d’algèbre linéaire 31
6.1 Matrices, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Endomorphismes, valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Notions de la théorie des séries entières 33
7.1 Éléments de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 Un exemple fondamental : l’exponentielle . . . . . . . . . . . . 35
2

Introduction
Dans de nombreux domaines (mathématiques, physique, chimie, biolo-
gie, etc.), on est amené à chercher des fonctions dont les dérivées vérifient
certaines relations. Ainsi est-ce le cas pour le principe fondamental de la
dynamique (équation différentielle) :
d2M
dt2=−→
F ,
pour l’équation des ondes (équation aux dérivées partielles) :
−∂2ψ
∂x2−∂2ψ ∂y2−∂2ψ ∂z2−1 c2
∂2ψ
∂t2= 0.
ou encore pour la célèbre équation de Schrödinger (équation aux dérivées
partielles) :
(−∆ + V(x))ψ=i∂tψ.
Dans ce cours, nous étudierons les équations différentielles (sujet déjà bien
vaste !). Le problème général consistera, étant données des conditions initiales
(position et vitesse par exemple) et une relation satisfaite par les dérivées
d’une fonction (principe de la dynamique par exemple) à déterminer cette
fonction inconnue et/ou ses propriétés.
En particulier, nous ferons l’inventaire des méthodes classiques de résolutions,
ainsi que des problèmes divers qui apparaissent dans la théorie des équations
différentielles.
1 Équations différentielles scalaires linéaires du
premier ordre
1.1 Définitions
Définition 1.1 (Forme générale de l’équation) On appelle équation dif-
férentielle scalaire linéaire d’ordre 1 toute équation différentielle de la forme :
A(x)y0+B(x)y=C(x),(1.1)
où A, B, C sont trois fonctions continues de J⊂Rà valeurs dans K,Jétant
un intervalle de Rnon réduit à un point.
L’équation homogène associée à (1.1) est :
A(x)y0+B(x)y= 0.(1.2)
3

Définition 1.2 Si Ane s’annule pas en un point x0∈J, alors il existe un
intervalle I⊂Jtel que A(x)6= 0 pour x∈Iet alors (1.1) se met sous la
forme dite "résolue" sur I:
y0=−B(x)
A(x)y+C(x) A(x)=b(x)y+c(x).
Définition 1.3 Soit J1⊂Jun intervalle de Rnon réduit à un point. On
dit que fest une J1-solution de (1.1) si, pour tout x∈J1,ona:
A(x)f0(x) + B(x)f(x) = C(x).
Nous nous intéresserons donc aux couples (J1, f )qui résolvent l’équation
(1.1). Si (J1, f)est une solution de (1.1) et si J2⊂J1, alors (J2, f)est une
J2solution de (1.1).
Définition 1.4 (Solution maximale) On dit que (J1, f)est une solution
maximale de (1.1) si et seulement si elle n’est la restriction à J1d’aucune
autre solution qu’elle-même.
Dans la suite, nous allons porter essentiellement notre attention les solu-
tions de l’équation mise sous forme résolue.
1.2 Résolution théorique
Le cas scalaire linéaire a le bon goût d’être particulièrement simple à
résoudre. Nous considérons donc l’équation :
y0=b(x)y+c(x), x ∈I, (1.3)
où bet csont des fonctions continues sur I. Nous rappelons l’équation ho-
mogène :
y0=b(x)y, x ∈I. (1.4)
1.2.1 Propriétés élémentaires
Nous disposons des théorèmes élémentaires suivants :
Théorème 1.5 L’ensemble des I1-solutions de (1.4) est un Kespace vecto-
riel.
Théorème 1.6 L’ensemble des I1-solutions de (1.3) est un Kespace affine
de direction l’ensemble des I1-solutions de (1.4).
4

1.2.2 Résolution
Théorème 1.7 (Équation homogène) Soit I1un intervalle de Rnon ré-
duit à un point. Les I1-solutions de l’équation homogène (H)forment un K
e. v. de dimension 1. De plus, les solutions maximales sont définies sur Iet
si une solution de (H)s’annule en un point, elle est identiquement nulle.
Théorème 1.8 Soit I1un intervalle de Rnon réduit à un point. Les I1-
solutions de (E)forment une droite affine de dimension 1. De plus, les so-
lutions maximales sont définies sur I.
Remarque 1.9.
Si l’équation n’est pas mise sous forme résolue, on résout d’abord sur les
intervalles où Ane s’annule pas, puis on se pose la question du recollement
des solutions.
1.3 Résolution pratique
La théorie du paragraphe précédent fournit les solutions de façon explicite.
Cependant, il vaut mieux retenir le principe (très général) de la démonstra-
tion :
– on résout l’équation homogène (H),
– on cherche une solution particulière de (E) : soit on en trouve une
explicite, soit on utilise la méthode de variation de la constante (qui
marche à coup sûr !).
Proposition 1.10 (Superposition des solutions) Considérons l’équation :
A(x)y0+B(x)y=
n
X
i
Ci(x),
avec A, B, Cicontinues sur Iet avec Ane s’annulant pas sur I. Si yiest une
solution de
A(x)y0+B(x)y=Ci(x),
alors,
n
X
i
yiest solution de (E).
Exemple : xy0−y= ln(x)+1.
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