Séance 1

EXERCICES DE MATH-F302 Processus Stochastiques
Titulaire : Céline Azizieh
SEANCE 1 :
Assistant : Matthieu Simon
INTRODUCTION
Probabilités
Exercice 1.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres
respectifs λ et µ.
1. Déterminer la loi de X + Y .
2. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant que X + Y = n.
Exercice 2.
Un centre de calcul possède deux ordinateurs A et B . Les "jobs" arrivant au centre de calcul
sont dirigés indépendamment les uns des autres vers l'ordinateur A avec probabilité p, et
vers l'ordinateur B avec probabilité 1 − p. Le nombre X de "jobs" arrivant au centre de
calcul par unité de temps est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ.
Déterminer la loi de probabilité du nombre de jobs reçus par l'ordinateur A par unité de
temps.
Exercice 3.
Considérons un système en série constitué de composantes indépendantes, ayant chacune
une durée de vie aléatoire de fonction de répartition G et de fonction de densité g . A cause
des options oertes, le nombre de composantes de ce système est une variable aléatoire Y
suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Soit X la durée de vie de ce système. Le système
tombe en panne dès qu'une de ses composantes tombe en panne.
1. Déterminer la densité de probabilité de X .
2. Déterminer la distribution de probabilité de Y sachant que le système a survécu jusqu'à
l'instant t.
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Loi exponentielle
Exercice 4.
Considérons un système en série constitué de deux composantes indépendantes, ayant chacune une durée de vie exponentielle de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la probabilité
que la seconde composante soit la cause d'une panne du système.
Exercice 5.
Soient X1 , X2 , · · · , Xn des variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètres µ1 , µ2 , · · · , µn . Montrer que la variable aléatoire Z = min {X1 , X2 , · · · , Xn } suit
également une loi exponentielle.
Exercice 6.
Une variable aléatoire positive X est dite "sans mémoire" si ∀s, t ≥ 0 :
P (X ≥ t + s | X ≥ s) = P (X ≥ t) .
1. Montrer que les variables exponentielles sont sans mémoire.
2. Pourquoi la seule famille de variables aléatoires continues et sans mémoire est-elle la
famille des variables exponentielles ?
Exercice 7.
Le nombre de kilomètres couverts par une batterie de voiture avant défaillance est distribuée
exponentiellement et sa valeur moyenne est de 20000 kilomètres. Une personne souhaite se
lancer dans un voyage de 10000 kilomètres, alors que sa voiture a déjà roulé k kilomètres
sans avarie.
1. Quelle est la probabilité qu'elle termine son voyage sans défaillance de la batterie ?
2. Que devient cette probabilité si la distribution n'est pas exponentielle ?
Exercice 8.
1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1. On note
Y = dXe le plafond de X .
(a) Montrer que Y suit une loi géométrique.
(b) Soit Z = Y − X . Quelle est la fonction de répartition de Z ?
2. Soient Y1 , Y2 , · · · une suite telle que Yn suit une loi géométrique de paramètre pn .
Montrer que si
lim pn = 0 ,
lim
n→∞
n→∞
pn
= λ > 0,
an
alors la suite an Yn converge en loi vers une loi exponentielle de paramètre λ.
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Espérance conditionnelle
Exercice 9.
Soit X une variable aléatoire discrète telle que P (X = n) = 32n ∀n ∈ N0 .
A partir de X , on dénit la variable aléatoire Y de la façon suivante : sachant que X = n,
Y suit une loi uniforme sur {n, n + 1}.
1. Calculer E [X].
2. Calculer E [Y |X = n] et en déduire E [Y |X], puis E [Y ].
3. Calculer la loi jointe de (X, Y ).
4. Déterminer la loi de Y .
5. Calculer E [X|Y = i] (∀i ∈ N0 ) et en déduire E [X|Y ].
6. Calculer la covariance de X et Y .
Exercice 10.
Un mineur est prisonnier dans un puit d'où partent trois tunnels. Le premier de ces tunnels
le mènerait à la sortie au bout de 3 heures de marche. Le second tunnel le ramènerait à son
point de départ au bout de 5 heures de marches, ainsi que le troisième au bout de 7 heures
de marche.
Si à chaque choix qu'il fait le mineur emprunte n'importe quel tunnel avec la même probabilité, quelle sera la durée moyenne de sa tentative de sortie ?
Exercice 11.
Une poule pond N oeufs, où N suit une loi de Poisson de paramètre λ. Chaque oeuf éclot
avec probabilité p, indépendamment des autres oeufs. Soit K le nombre de poussins.
Calculer :
1. Le nombre moyen de poussins, sachant le nombre d'oeufs pondus,
2. Le nombre moyen de poussins,
3. Le nombre moyen d'oeufs pondus, connaissant le nombre de poussins qui sont nés.
Exercice 12.
Sur un échangeur autoroutier, le nombre de véhicules arrivant en une heure suit une loi de
Poisson de paramètre 100. Les véhicules ont alors le choix entre deux directions A ou B, ils
choisissent A avec probabilité 13 (indépendamment les uns des autres).
Sachant que 100 véhicules ont pris la direction A en une heure, quel est le nombre moyen de
voitures qui sont passées par l'échangeur ?
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