IPM2 LOI EXPONENTIELLE Exercices Exercice 1 : Soit X une

IPM2
LOI EXPONENTIELLE
Exercices
Exercice 1 :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre =0,5.
1. Déterminer la loi de densité de X.
2. Calculer P( X  2) , puis P(X  2) .
3. Calculer P(1  X 3).
Exercice 2 : La durée d’un match de tennis suit une loi exponentielle de paramètre =0,32. Quelle est
la probabilité que ce match dure plus de 5 heures ?
Exercice 3 : La durée de vie d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre  =
0,225.
1. Quelle est la probabilité qu’un composant électronique dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ?
2. Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans, sachant qu’il a déjà duré plus de 3
ans ?
Exercice 4 :
La durée de vie d’un robot, exprimée en années, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle
de paramètre  = 0,2.
1. A quel instant t, à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois
est-elle de 0,5 ?
2. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années
est de e–0,4.
Exercice 5 : Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La
durée de vie, exprimée en années, d’un oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit une loi
exponentielle de paramètre (   0 ) . Toutes les probabilités seront déterminées à 10 –3 près.
1. Sachant que P( X  10 ) = 0,286 , montrer qu’une valeur approchée de  est : 0,125.
2. Dans la suite de l’exercice on prendra  = 0,125.
Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné 8 ans, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie
supérieure à 10 ans ?
Exercice 6 :
La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne),
est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  avec   0 .
1. Déterminer  sachant que p(X  5 ) = 0,4 .
2. Dans cette question, on prendra  = 0,18. sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de pannes au cours
des 3 premières années, quelle est, à 10
–3
près, la probabilité qu’il ait une durée de vie
supérieure à 5 ans ?
3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des
autres et que P( X  4) =0,4.
a. On considère un lot de 10 ordinateurs. Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au
moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?
b. Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de
l’événement : « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit
supérieure à 0,999 ?