II - Rappels de trigo - Univ

DEPARTEMENT SCIENCES Janvier 2005
A.Biolluz
DOCUMENT ANNEXE
II - RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE

DOCUMENT ANNEXE
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RAPPELS DE TRIGONOMETRIE
I - DÉFINITIONS RELATIVES AU TRIANGLE RECTANGLE
- L'hypoténuse est le plus grand côté, opposé (faisant face) à l'angle droit.
- L'angle droit est un angle de 90° ou
2
radians (symbole : rad):
90° =
2
14163 ...,
rad
le nombre irrationnel 3,1416… est noté π par convention.
- Les deux angles α et β, autres que l'angle droit, sont aigus et
complémentaires, c'est à dire que leur somme est égale à 90° ou
2
radians.
α
αα
α + β
ββ
β = 2
 rad ou
β
ββ
β = 2
 -
α
αα
α
- Le sinus d'un angle aigu est égal au quotient :
hypoténuse
opposécôté
≤
≤≤
≤ 1
- Le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient :
hypoténuse
adjacentcôté
≤
≤≤
≤ 1
- La tangente d'un angle aigu est égale au quotient :
adjacentcôté opposécôté
QUE PEUT - ON EN DEDUIRE ?
Le triangle OMN est rectangle en N :
ONM =
2
rad MON = α
αα
α OMN = β
ββ
β
sin( α
αα
α ) = cos( β
ββ
β ) = OM
MN cos(
α
αα
α ) = sin( β
ββ
β ) = OM
ON
tan( α
αα
α ) = )tan(
1= ON
MN tan(
α
αα
α )= )
(cos )
(sin = )(tan
1 = )sin(
)cos(
Si deux angles sont complémentaires :
- le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre,
- la tangente de l'un est égale à l'inverse de la tangente de l'autre.
L'inverse de la tangente se nomme aussi co-tangente.
0
N
M

2
II - LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon R égal à 1 unité (R = 1m ou
R = 1 cm etc.)
Si on trace le triangle rectangle OMN dans un tel cercle de centre O et de rayon
R = OM et donc d'angle au centre α, on constate que les quotients qui définissent
le sinus et le cosinus se simplifient puisque la longueur OM = 1.
sin( α
αα
α ) = NM = OM' cos( α
αα
α ) = ON
Dans un cercle trigonométrique, le diamètre vertical, orienté vers le haut, est
appelé axe des sinus et le diamètre horizontal, orienté vers la droite, axe des
cosinus. Le centre O du cercle est l'origine des axes.
TABLEAU DE VALEURS POUR LES ANGLES AIGUS
On peut mémoriser facilement le tableau des valeurs des lignes trigonométriques
pour quelques valeurs d'angle rencontrées fréquemment.
α
αα
α 0° ou 0 rad 30° ou 6
 rad
45° ou 4
 rad
60° ou 3 rad 90° ou 2
 rad
sin( α
αα
α ) 0 2
1
2
2
2
3
1
cos( α
αα
α ) 1
2
3
2
2
2
1 0
0 N
M
cosinus
sinus
α
M'

3
APPLICATION DIRECTE A2-1
Sur un cercle de 7,5 cm de rayon, sont reportés des angles de 30°, 45° et 60°.
Vérifier que les mesures de leur sinus et cosinus correspondent aux valeurs
données dans le tableau précédent.