7 Probabilités

7 Probabilités
7.1 Probabilité conditionnelle
Définition : Soient Aet Bdeux événements dans un univers Edonné, Aétant de probabilité non
nulle : P(A)6= 0,
la probabilité de l’événement Bsachant Aest le nombre noté PA(B) et défini par :
PA(B) = P(A∩B)
P(A)
La probabilité de Bsachant Aest la probabilité que l’événement Bsoit réalisé sachant que l’événe-
ment Aest déjà réalisé.
Remarques :•Dans une situation d’équiprobabilité des événements élémentaires il suffit de compter le
nombre d’événements élémentaires de A∩Bet de A. Leur quotient est égal à PA(B).
•Si P(B)6= 0, alors on définit de même : PB(A) = P(A∩B)
P(B).
Exemple : Une urne contient 4 boules blanches numérotées de 1 à 4 et 7 boules noires numérotées de 1
à 7, toutes indiscernables au toucher.
On appelle Bl’événement « tirer une boule blanche », Nl’événement « tirer une boule noire », Pl’évé-
nement « tirer une boule portant un numéro pair » et Il’événement « tirer une boule portant un numéro
impair ».
On a : P(B) = 4
11 ;P(N) = 7 11 ;P(P) = 5 11 et P(I) = 6 11.
La probabilité de tirer une boule portant un numéro pair sachant qu’elle est blanche est égale à :
PB(P) = P(P∩B)
P(B)=
2
11
4
11
=2
4=1 2.
La probabilité de tirer une boule blanche sachant qu’elle porte un numéro pair est égale à : PP(B) =
P(B∩P)
P(P)=
2
11
5
11
=2
5.
Propriétés : La probabilité conditionnelle est une loi de probabilité.
Soient Aet Bdeux événements tels que P(A)6= 0, alors :
06PA(B)61 et PA(B) + PA(B) = 1
Preuve :PA(B) + PA(B) = P(A∩B)
P(A)+P(A∩B) P(A)=P(A∩B) + P(A∩B) P(A),
or P(A∩B)+P(A∩B) = P(A∩B)∪P(A∩B)+P(A∩B)∩P(A∩B)et (A∩B)∪P(A∩B) = A, et de plus, comme
Bet Bsont disjoints, (A∩B)∩P(A∩B) est vide, donc de probabilité nulle, par suite PA(B) + PA(B) = P(A) + 0
P(A)= 1. 
Exemple : En prenant l’exemple ci-dessus et ses notations, on a bien :
PB(P) + PB(P) = PB(P) + PB(I) = 1
2+1 2= 1
De même PN(P) = P(P∩N)
P(N)=
3
11
7
11
=3
7et PN(I) = P(I∩N) P(N)=
4
11
7
11
=4
7=PN(P)
et on a PN(P) + PN(P) = 3
7+4 7= 1.
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Maths Tes-Tl 7. Probabilités prog 2011
Utilisation d’un tableau
A A Total
B P (A∩B)P(A∩B)P(B)
B P (A∩B)P(A∩B)P(B)
Total P(A)P(A) 1
Exemple : Pour l’exemple ci-dessus on obtient :
B N Total
P2
11
3
11
5
11
I2
11
4
11
6
11
Total 4
11
7
11 1
7.2 Arbres pondérés
On peut représenter une expérience par un arbre pondéré. Si on place l’événement Aau premier niveau
de l’arbre on obtient :
P(A)A
PA(B)B:P(A∩B) = P(A)×PA(B)
PA(B)B:P(A∩B) = P(A)×PA(B)
P(A)A
PA(B)B:P(A∩B) = P(A)×PA(B)
PA(B)B:P(A∩B) = P(A)×PA(B)
Remarque : La somme des probabilités de toutes les branches issues d’un même nœud est égale à 1 :
P(A) + P(A) = 1, PA(B) + PA(B) = 1, PA(B) + PA(B) = 1.
Propriété : Si Aet Bsont deux événements de probabilités non nulles, alors :
P(A∩B) = P(A)×PA(B) = P(B)×PB(A)
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
Preuve : Par définition des probabilités conditionnelles : PA(B) = P(A∩B)
P(A)et PB(A) = P(A∩B) P(B),
ce qui donne immédiatement la double égalité P(A∩B) = P(A)×PA(B) = P(B)×PB(A). 
Remarque : Si on place l’événement Bau premier niveau de l’arbre on obtient :
P(B)B
PB(A)A:P(A∩B) = P(B)×PB(A)
PB(A)A:P(A∩B) = P(B)×PB(A)
P(B)B
PB(A)A:P(A∩B) = P(B)×PB(A)
PB(A)A:P(A∩B) = P(B)×PB(A)
Avec les deux arbres on retrouve bien les deux façons de calculer P(A∩B).
Exemple : En reprenant l’exemple ci-dessus et ses notations on obtient l’arbre suivant :
math4
bac – 25 – v1.618

Maths Tes-Tl 7. Probabilités prog 2011
4
11 B
2/4P:P(B∩P) = 4
11 ×2 4=2 11
2/4I:P(B∩I) = 4
11 ×2 4=2 11
7
11 N
3/7P:P(N∩P) = 7
11 ×3 7=3 11
4/7I:P(N∩I) = 7
11 ×4 7=4 11
Propriété des probabilités totales (admise) :
Si A1,A2, ..., Ansont des événements de probabilités non nulles, incompatibles deux à deux et tels
que leur réunion soit égale à l’univers E,
alors pour tout événement B, on a :
P(B) = P(A1∩B) + P(A2∩B) + ...+P(An∩B)
c’est-à-dire :
P(B) = P(A1)×PA1(B) + P(A2)×PA2(B) + ...+P(An)×PAn(B)
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins conduisant à cet
événement.
Exemple : Pour l’exemple ci-dessus et ses notations, on obtient :
et P(P) = P(B∩P) + P(N∩P) = 2
11 +3 11 =5 11
P(I) = P(B∩I) + P(N∩I) = 2
11 +4 11 =6 11
Dans un arbre pondéré on peut avoir plus de deux branches issues d’un même nœud suivant la situation
modélisée.
Exemple : La répartition des différents groupes sanguins dans la population est la suivante : groupe O:
45 %, groupe A: 40 %, groupe B: 11 % et groupe AB : 4 %. Une seconde caractéristique du sang
est importante : c’est le facteur Rhésus, positif (Rh+) ou négatif (Rh−). La population mondiale est
approximativement répartie conformément au tableau suivant :
(en %) O A B AB Total
Rh+ 38 34 9 3 84
Rh−7 6 2 1 16
Total 45 40 11 4 100
Calcul de PA(Rh+) = P(A∩Rh+)
P(A)=0,34 0,4=17 20 = 0,85 ; . . .
On construit ainsi l’arbre pondéré suivant :
math4
bac – 26 – v1.618

Maths Tes-Tl 7. Probabilités prog 2011
0,45
O
0,84 Rh+ : P(O∩Rh+) = 0,45 ×0,84 = 0,38
0,16 Rh−:P(O∩Rh−) = 0,45 ×0,16 = 0,07
0,40 A
0,85 Rh+ : P(A∩Rh+) = 0,40 ×0,85 = 0,34
0,15 Rh−:P(A∩Rh−) = 0,40 ×0,15 = 0,06
0,11 B
0,82 Rh+ : P(B∩Rh+) = 0,11 ×0,82 = 0,09
0,18 Rh−:P(B∩Rh−) = 0,11 ×0,18 = 002
0,04
AB
0,75 Rh+ : P(AB ∩Rh+) = 0,04 ×0,75 = 0,03
0,25 Rh−:P(AB ∩Rh−) = 0,04 ×0,25 = 0,01
Probabilités totales pour le calcul de P(Rh−) :
P(Rh−) = P(O)×PO(Rh−) + P(A)×PA(Rh−) + P(B)×PB(Rh−) + P(AB)×PAB (Rh−)
= 0,45 ×0,16 + 0,40 ×0,15 + 0,11 ×0,18 + 0,04 ×0,25 = 0,16
math4
bac – 27 – v1.618