7 Probabilités

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7 Probabilités
7.1 Probabilité conditionnelle
Définition : Soient A et B deux événements dans un univers E donné, A étant de probabilité non
nulle : P (A) 6= 0,
la probabilité de l’événement B sachant A est le nombre noté PA (B) et défini par :
PA (B) =
P (A ∩ B)
P (A)
La probabilité de B sachant A est la probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est déjà réalisé.
Remarques : • Dans une situation d’équiprobabilité des événements élémentaires il suffit de compter le
nombre d’événements élémentaires de A ∩ B et de A. Leur quotient est égal à PA (B).
• Si P (B) 6= 0, alors on définit de même : PB (A) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Exemple : Une urne contient 4 boules blanches numérotées de 1 à 4 et 7 boules noires numérotées de 1
à 7, toutes indiscernables au toucher.
On appelle B l’événement « tirer une boule blanche », N l’événement « tirer une boule noire », P l’événement « tirer une boule portant un numéro pair » et I l’événement « tirer une boule portant un numéro
impair ».
4
7
5
6
On a : P (B) =
; P (N ) =
; P (P ) =
et P (I) =
.
11
11
11
11
La probabilité de tirer une boule portant un numéro pair sachant qu’elle est blanche est égale à :
2
P (P ∩ B)
1
2
PB (P ) =
= 11 = = .
4
P (B)
4
2
11
La probabilité de tirer une boule blanche sachant qu’elle porte un numéro pair est égale à : PP (B) =
2
2
P (B ∩ P )
11
= .
=
5
P (P )
5
11
Propriétés : La probabilité conditionnelle est une loi de probabilité.
Soient A et B deux événements tels que P (A) 6= 0, alors :
0 6 PA (B) 6 1 et
PA (B) + PA (B) = 1
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
+
=
,
P (A)
P (A)
P (A)
or P (A∩B)+P (A∩B) = P (A ∩ B) ∪ P (A ∩ B) +P (A ∩ B) ∩ P (A ∩ B) et (A∩B)∪P (A∩B) = A, et de plus, comme
P (A) + 0
= 1. B et B sont disjoints, (A ∩ B) ∩ P (A ∩ B) est vide, donc de probabilité nulle, par suite PA (B) + PA (B) =
P (A)
Preuve : PA (B) + PA (B) =
Exemple : En prenant l’exemple ci-dessus et ses notations, on a bien :
PB (P ) + PB (P ) = PB (P ) + PB (I) =
1 1
+ =1
2 2
3
4
3
4
P (P ∩ N )
P
(I
∩
N
)
De même PN (P ) =
= 11 = et PN (I) =
= 11 = = PN (P )
7
7
P (N )
7
P (N )
7
11
11
3 4
et on a PN (P ) + PN (P ) = + = 1.
7 7
24
Maths Tes-Tl
7. Probabilités
prog 2011
Utilisation d’un tableau
A
A
Total
B
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (B)
B
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (B)
Total
P (A)
P (A)
1
Exemple : Pour l’exemple ci-dessus on obtient :
P
I
Total
B
N
Total
2
11
2
11
4
11
3
11
4
11
7
11
5
11
6
11
1
7.2 Arbres pondérés
On peut représenter une expérience par un arbre pondéré. Si on place l’événement A au premier niveau
de l’arbre on obtient :
P (A)
P (A)
PA (B)
B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
PA (B)
B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
PA (B)
B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
PA (B)
B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
A
A
Remarque : La somme des probabilités de toutes les branches issues d’un même nœud est égale à 1 :
P (A) + P (A) = 1, PA (B) + PA (B) = 1, PA (B) + PA (B) = 1.
Propriété : Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, alors :
P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) = P (B) × PB (A)
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
et PB (A) =
,
P (A)
P (B)
ce qui donne immédiatement la double égalité P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) = P (B) × PB (A). Preuve : Par définition des probabilités conditionnelles : PA (B) =
Remarque : Si on place l’événement B au premier niveau de l’arbre on obtient :
P (B)
P (B)
PB (A)
A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)
PB (A)
A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)
PB (A)
A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)
PB (A)
A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)
B
B
Avec les deux arbres on retrouve bien les deux façons de calculer P (A ∩ B).
Exemple : En reprenant l’exemple ci-dessus et ses notations on obtient l’arbre suivant :
math4bac
– 25 –
v1.618
Maths Tes-Tl
7. Probabilités
2/4
4
11
B
7
11
N
2/4
3/7
4/7
prog 2011
2
2
4
× =
11
4
11
2
2
4
× =
I : P (B ∩ I) =
11
4
11
7
3
3
P : P (N ∩ P ) =
× =
11
7
11
7
4
4
I : P (N ∩ I) =
× =
11
7
11
P : P (B ∩ P ) =
Propriété des probabilités totales (admise) :
Si A1 , A2 , . . . , An sont des événements de probabilités non nulles, incompatibles deux à deux et tels
que leur réunion soit égale à l’univers E,
alors pour tout événement B, on a :
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + . . . + P (An ∩ B)
c’est-à-dire :
P (B) = P (A1 ) × PA1 (B) + P (A2 ) × PA2 (B) + . . . + P (An ) × PAn (B)
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins conduisant à cet
événement.
Exemple : Pour l’exemple ci-dessus et ses notations, on obtient :
2
3
5
P (P ) = P (B ∩ P ) + P (N ∩ P ) =
+
=
11 11
11
et
4
6
2
+
=
P (I) = P (B ∩ I) + P (N ∩ I) =
11 11
11
Dans un arbre pondéré on peut avoir plus de deux branches issues d’un même nœud suivant la situation
modélisée.
Exemple : La répartition des différents groupes sanguins dans la population est la suivante : groupe O :
45 %, groupe A : 40 %, groupe B : 11 % et groupe AB : 4 %. Une seconde caractéristique du sang
est importante : c’est le facteur Rhésus, positif (Rh+) ou négatif (Rh−). La population mondiale est
approximativement répartie conformément au tableau suivant :
(en %)
Rh+
Rh−
Total
O
38
7
45
A
34
6
40
B
9
2
11
AB
3
1
4
Total
84
16
100
P (A ∩ Rh+)
0,34
17
=
=
= 0,85 ; . . .
P (A)
0,4
20
On construit ainsi l’arbre pondéré suivant :
Calcul de PA (Rh+) =
math4bac
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v1.618
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0,84
Rh+ : P (O ∩ Rh+) = 0,45 × 0,84 = 0,38
0,16
Rh− : P (O ∩ Rh−) = 0,45 × 0,16 = 0,07
0,85
Rh+ : P (A ∩ Rh+) = 0,40 × 0,85 = 0,34
0,15
Rh− : P (A ∩ Rh−) = 0,40 × 0,15 = 0,06
0,82
Rh+ : P (B ∩ Rh+) = 0,11 × 0,82 = 0,09
0,18
Rh− : P (B ∩ Rh−) = 0,11 × 0,18 = 002
0,75
Rh+ : P (AB ∩ Rh+) = 0,04 × 0,75 = 0,03
0,25
Rh− : P (AB ∩ Rh−) = 0,04 × 0,25 = 0,01
prog 2011
O
0,45
0,40
0,11
A
B
0,04
AB
Probabilités totales pour le calcul de P (Rh−) :
P (Rh−)
math4bac
=
=
P (O) × PO (Rh−) + P (A) × PA (Rh−) + P (B) × PB (Rh−) + P (AB) × PAB (Rh−)
0,45 × 0,16 + 0,40 × 0,15 + 0,11 × 0,18 + 0,04 × 0,25 = 0,16
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