F1 : Espace de probabilité et analyse combinatoire

Licence de Mathématiques Université de Cergy Pontoise
TD de probabilités 2001/2002
F1 : Espace de probabilité et analyse combinatoire
Exercice 1 : Combien de nombres distinctes de 4 chiffres peut-on former en n’utilisant que les chiffres
2;4;5;7;8?
Exercice 2 : Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de façons de choisir trois cartes qui soient :
a) des as?
b) de même hauteur?
c) trois coeurs?
d) de hauteurs deux à deux différentes?
Exercice 3 : Combien y a-t-il d’applications strictement croissantes de {1; 2; ...n}dans {1;2...m}?
Exercice 4 : Combien y a-t-il d’applications surjectives de {1; 2; ...n + 1}dans {1;2...n}?
Exercice 5 : Soit Eun ensemble de cardinal n.
a) Déterminer le nombre de couples (A, B)de parties de Etelles que A∩B=∅.
b) Déterminer le nombre de couples (A, B)de parties de Etelles que A∪B=E.
c) Déterminer le nombre de triplés (A, B, C)de parties de Etelles que A∪B∪C=E.
Exercice 6 : On lance 4 dés, et on suppose les résultats possibles équiprobables.
1) Décrire un modèle probabiliste associé à cette épreuve.
2) Calculer la probabilité pour que le même numéro apparaisse sur les 4 dés.
3) Calculer la probabilité pour que les numéros qui apparaissent sur les dés soient distincts.
Exercice 7 : Soit Pune probabilité sur un espace Ωfini non vide et A, B, C trois événements de P(Ω). On
suppose que P(A) = 0,6,P(A∩B) = 0,2,P(B∩C) = 0,1P(A∩C) = 0,1P(A∩B∩C) = 0,05.
1) Déterminer la probabilité des évènements : E1=A∪(B∩C), E2=A∩(B∪C).
2) Avec en outre P(B) = 0,4, calculer la probabilité pour que ni Ani Bne se produisent.
Exercice 8 : Dans une population de npersonnes, quelle est la probabilité pour que 2 personnes soient nées
le même jour?
Exercice 9 : 1) Une urne contient Nboules numérotées de 1 à N. On tire successivement sans remise
n(1 ≤n≤N)boules de l’urne. Quel est l’ensemble Ωdes résultats possibles? Calculer card(Ω).
Désormais, on suppose que les résultats possibles sont équiprobables.
2) Les boules numérotées de 1àMsont rouges (M < N) et les boules numérotées de M+ 1 àNsont
blanches. Soit Akl’événement "la k ème boule tirée est rouge".
a) Calculer P(Ak)
b) Calculer P(Ak∩Al).
Exercice 10 : Montrer qu’il y a n!
n1!n2!...nk!possibilités différentes de répartir nboules dans kurnes de sorte
que la i-ième urne contienne exactement niboules pour tout i∈ {1, ..., k}(n=n1+n2+... +nk). En
déduire la formule :
(a1+a2+... +ak)n=X
n1+n2+...nk=n
n!
n1!n2!...nk!an1
1an2 2...ank
k
qui est la généralisation de la formule du binôme.
Exercice 11 : Étant donné Ωet Aune de ses parties, on note 1Al’indicatrice de A. Vérifier les assertions
suivantes :
(1) A⊂B⇔1A≤1B
1

(2) 1(A∩B)= 1A.1B
(3) 1(A∪B)= 1A+ 1B−1A∩B
Exercice 12 : (Formule de Poincaré)
Soient A1, A2, ..., Andes événements d’un espace de probabilité (Ω,A,P).
1) Montrer que
1∪n
i=1Ai= 1 −Πn
i=1(1 −1Ai).
En déduire la "formule de Poincaré" :
P(∪n
i=1Ai) =
n
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<i2<...<ik≤n
PAi1∩... ∩Aik.
2) Un facteur répartit au hasard nfactures dans nboites aux lettres, une par boite. Calculer la probabilité p(n)
qu’une facture au moins parvienne à son destinataire et limn→+∞p(n).
Exercice 13 : On dispose de 3 urnes et de 3 boules. On répartit au hasard les boules dans les urnes.
Modéliser les cas suivants à l’aide d’un ensemble ωet d’une probabilité Psur ω:
1) Les urnes et les boules sont distinguables (discernables).
2) Les urnes sont distinguables mais non les boules.
3) Les boules sont distinguables mais non les urnes.
4) Les boules et les urnes sont indistinguables.
Exercice 14 : Un lot de 120 vis contient 20 vis défectueuses. On choisit au hasard (équiprobabilité) sans
remise 6 vis.
I)- Calculer la probabilité d’obtenir :
1) Une vis exactement défectueuse 2) 6 vis correctes 3) Une vis au moins bonne 4)deux vis au moins bonnes.
II)- Mêmes questions lorsque le tirage s’effectue avec remise.
Exercice 15 : Soient (ω, P )un espace de probabilité, et Aet Bdeux événements de cet espace, notons α,β,
γ, et δles probabilités des événements A∩B,A∩B,A∩B, et A∩B.
a) Calculer α+β+γ+δ.
b) Montrer que P(A∩B)−P(A)P(B) = αδ −βγ
c) Montrer que |P(A∩B)−P(A)P(B)| ≤ 1
4.
d) Donner des exemples d’égalités.
Exercice 16 : On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à npersonnes.
Quelle est la probabilité que deux amis soient distants de rplaces (c’est à dire séparés par r−1personnes).
On résoudra l’exercice en utilisant trois modélisations différentes :
a) Ω = {(k1, k2)|k16=k2}
b)Ω = {{k1, k2}|k16=k2}
c) Ω = {(k1, k2, ..., kn)|∀i, j, i 6=j=⇒ki6=kj}
Exercice 17 : Un joueur de poker reçoit une "main" de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la
probabilité qu’une main contienne :
1)Une seule paire? 2) Deux paires? 3) Un brelan? 4) Un carré? 5) Un full?
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TD de probabilités 2001/2002
F2 : Conditionnement et indépendance
Exercice 1 : On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités que l’on
obtienne :
1) un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.
2) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.
3) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6.
4) au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10.
Exercice 2 : On jette 2 fois un même dé. Soient A,Bet Cles évènements suivants :
a) A={la sommes des points obtenus vaut 6}, B={On obtient 4 au premier jet}, C={la sommes des
points vaut 7}.
b) A={le 1 er jet est impair}, B={le 2 ème jet est impair}, C={la somme des points est impaire}.
Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènements A,Bet Csonts indépendants 2 à 2, puis s’ils sont
indépendants ("dans leur ensemble").
Exercice 3 : On suppose que dans une région la proportion de moutons ayant une certaine maladie est de 1%
Si le mouton n’est pas atteint, il a 9 chances sur 10 d’être négatif à un test T. S’il est atteint, il a 8 chances sur
10 d’être positif à ce test.
Quelle est la probabilité pour qu’un mouton pris au hasard et ayant un test positif soit atteint par cette maladie?
Exercice 4 : On cherche un parapluie qui se trouve dans un immeuble de 7 étages (rdc compris) avec la
probabilité p(p∈[0,1]). On a exploré en vain les 6 premiers niveaux, quelle est la probabilité que le
parapluie se trouve au 7 ème étage?
(On admettra qu’il n y a pas à priori d’étage privilégié!)
Exercice 5 : Le dépistage systématique d’une maladie est effectué sur une population dont 0.1% des
individus est malade, le test utilisé donne 95% de résultats positifs pour les personnes atteintes par la
maladie, et 1% de résultat positifs pour les personnes non atteintes.
Quelle est la probabilité conditionnelle qu’une personne prise au hasard soit atteinte sachant que le test a
donné un résultat positif? soit indemne sachant que le test a donné un résultat négatif?
Exercice 6 : On admet que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres et que
chaque enfant a la probabilité 1
2d’être un garçon et la probabilité 1 2d’être une fille.
a) Une famille a deux enfants dont l’un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deux
enfants soient des garçons?
b) Une famille a deux enfants. L’aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient
des garçons?
Exercice 7 : On effectue une suite de parties de pile ou face. Soit unla probabilité de ne pas avoir trois fois
face à la suite aux cours des npremières parties. On a u1=u2= 1 et u0= 1.
a) En conditionnant par le résultat des trois premières pièces, montrer que l’on a la relation de récurrence
suivante :
un=1
2un−1+1 4un−2+1 8un−3
b) A l’aide de votre calculatrice donner une valeur approchée de u50.
c)En utilisant une méthode analogue montrer que la probabilité vnd’avoir 3 faces consécutifs ou 3 piles
consécutifs parmi les n premières parties vérifie la relation de récurrence
vn=1
4+1 2vn−1+1 4vn−2
1

d) En s’inspirant de la même méthode et en utilisant une calculatrice montrer que la probabilité d’avoir sur
100 jets de pièces au moins 5 piles ou 5 faces consécutifs et de l’ordre de 97%.
Exercice 8 : On lance un dé régulier, puis on effectue deux tirages d’une boule avec remise :
- dans l’urne Ucontenant 9 boules blanches et 1 noire, si le dé amène l’as,
- dans l’urne Vcontenant 3 boules blanches et 7 noires, si le dé n’amène pas l’as.
On supposera qu’il existe un modèle probabiliste à cette expérience aléatoire (Ω, P et des événements
U, V, Bket Nkcorrespondant respectivement à : on tire dans l’urne U, on tire dans l’urne V, la kième boule
tirée est blanche et la kième boule tirée est noire.
a) Les événements B1et N2sont-ils indépendants? sont-ils indépendants conditionnellement à U?
conditionnellement à V?
b) On obtient une boule blanche, puis une noire; de quelle urne est-il plus probable qu’on les ait tirées?
Exercice 9 : Une machine à sous propose le jeu suivant, il y a trois boutons l’un des trois boutons est choisi
par la machine comme étant la cible. Le joueur appuie sur l’un des boutons.
S’il a appuyé sur la cible, la machine fait clignoter l’un des deux autres boutons choisi aléatoirement.
Sinon la machine fait clignoter le bouton qui n’est ni la cible ni le bouton appuyé.
Le but est de trouver la cible au deuxième essai. Expliquer pourquoi Yvan qui est un fin mathématicien, appuie
sur un bouton, regarde le bouton qui clignote et choisit au deuxième essai le troisième bouton.
Exercice 10 : Un fumeur décide de ne plus fumer ... on admet que s’il ne fume pas un jour donné, la
probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,9. Mais s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il ne
fume pas le lendemain est 0,2.
Calculer la probabilité pnque la personne ne fume pas le nème jour, en fonction de p1.
Exercice 11 : On s’intéresse à la transmission d’une information binaire, c’est à dire ne pouvant prendre que
deux valeurs. On admet que le procédé de transmission directe entre deux individus Aet Best tel que,
lorsque Aémet une valeur de l’information à destination de B, ce dernier reçoit la valeur émise par Aavec la
probabilité p, et donc l’autre valeur avec la probabilité q= 1 −p, on suppose que 0< p < 1. On considère
des individus successifs i0, i1, ..., inavec n∈N. L’information émise par i0est transmise à i1, qui transmet
la valeur reçue à i2, et ainsi de suite jusqu’à in.
Entre deux individus, iket ik+1, la transmission de l’information suit la loi décrite plus haut. On note pkla
probabilité que la valeur de l’information reçue par iksoit identique à celle émise par i0, et on pose p0= 1.
a) Exprimer pk+1 en fonction de pk.
b) On rappelle que pour étudier une suite arithmético-géométrique du genre un+1 =aun+bon pose
vn=un+αavec αtel que (vn)soit une suite géométrique. En déduire une expression de pnen fonction de
net de p.
c) Déterminer limk→∞ pk
d) Déterminer un ptel que p100 >99,9%
Exercice 12 : Une puce se déplace entre 3 points A, B et C. Au départ elle est en A. A chaque étape, elle
quitte sa position et gagne indifférement l’un des deux autres points. On note αn, βnet γnles probabilités
qu’elle se trouve respectivement en A, B et Cà l’issue de la n`eme étape (on pose α0= 1 et β0=γ0= 0).
a) Calculer α1, β1, γ1et α2, β2, γ2.
b) Exprimer αn+1, βn+1, γn+1 en fonction de αn, βn, γn, puis αn, βn, γnen fonction de n.
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TD de probabilités 2001/2002
F3 : Variables aléatoires discrètes, Fonctions génératrices
Exercice 1 : Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les
remettre jusqu’à ce qu’il ne reste que des boules d’une seule couleur dans l’urne. Comment peut-on modéliser
le nombre de tirages nécessaires à l’aide d’une variable aléatoire?
Exercice 2 : Soit Xune v.a. suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0 (∀k∈NP(X=k) = e−λλk
k!).
Calculer E(X)puis E1
1+X.
Exercice 3 : On lance deux fois de suite un dé. Soient Xet Yrespectivement le premier et le second
numéro obtenus et soit U= min{X, Y }.
a) Donner la loi du couple (X, Y ), les lois de Xet de Y. Les v.a. Xet Ysont-elles indépendantes?
b) Déterminer la loi du couple (X, U )et la loi de U. Les v.a. Xet Usont-elles indépendantes ?
Exercice 4 : On jette deux dés, un rouge et un noir, et l’on regarde la somme des deux dés.
a) Modéliser le résultat des deux dés à l’aide d’un ensemble Ωet d’une probabilité Psur Ω, puis modéliser la
somme à l’aide d’une variable aléatoire Sdéfinie sur Ω.
b) Décrire l’événement {S= 4}, calculer sa probabilité.
c) Calculer l’espérance de S:
i) directement à l’aide de la définition E(X) = RΩXdP .
ii) à l’aide de la formule E(X) = RRxdPX(x).
On modélise différemment cette même expérience à l’aide de deux variables aléatoires Xet Yreprésentant
respectivement le résultat du dé rouge et du dé noir. On ne cherche pas à définir Ω.
a) Comment pouvons nous choisir la loi du couple (X, Y )?
b) Déterminer les lois de Xet Y? sont-elles indépendantes?
c) Soit U= min{X, Y }, déterminer la loi du couple (X, U )puis la loi de U. Les variables aléatoires Xet U
sont-elles indépendantes?
Exercice 5 : Soit Tune v.a. entière définie sur (Ω,A, P ). On suppose que ∀n∈N,P(T > n)6= 0 et
∀(p, n)∈N2,P(T≥n+p|T≥n) = P(T≥p). Montrer que Tsuit une loi géométrique (C’est la seule
loi sur Nqui possède cette propriété dite "propriété de non vieillissement").
Donner un exemple d’expérience modélisée par une telle loi.
Exercice 6 : Soient Xet Ydeux v.a. indépendantes suivant la même loi :
∀k∈N, P (X=k) = P(Y=k) = pqk(q= 1 −p, p ∈]0,1[).
On pose U=max(X, Y )et V=min(X, Y ).
1) Calculer P(U≤k)pour k∈N. En déduire la loi de U.
2) En s’inspirant de ce qui précède déterminer la loi de V.
Exercice 7 : Soit X une v.a. à valeurs dans N. Montrer que E(X) = P+∞
k=1 P(X≥k).En déduire l’espérance
d’une loi géomètrique de paramètre a,0< a < 1.
Exercice 8 : On appelle Snle nombre de piles obtenus dans un jeu de pile ou face où la probabilité d’obtenir
pile est p∈]0,1[. Soit νr=inf{n≥1 : Sn=r}le nombre aléatoire de parties nécessaires pour obtenir r
fois pile.
a) Déterminer la loi de ν1.
b) Soit r∈N,r≥2. Déterminer la loi de νren remarquant que , pour n≥r,{ν=n}={le n-ième tirage donne pile et parmi les n−1premiers tirages il y a r−1piles et n−rfaces }
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