Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F1 : Espace de probabilité et analyse combinatoire Exercice 1 : Combien de nombres distinctes de 4 chiffres peut-on former en n’utilisant que les chiffres 2 ;4 ;5 ;7 ;8 ? Exercice 2 : Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de façons de choisir trois cartes qui soient : a) des as ? b) de même hauteur ? c) trois coeurs ? d) de hauteurs deux à deux différentes ? Exercice 3 : Combien y a-t-il d’applications strictement croissantes de {1; 2; ...n} dans {1 ;2...m} ? Exercice 4 : Combien y a-t-il d’applications surjectives de {1; 2; ...n + 1} dans {1 ;2...n} ? Exercice 5 : Soit E un ensemble de cardinal n. a) Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A ∩ B = ∅. b) Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A ∪ B = E. c) Déterminer le nombre de triplés (A, B, C) de parties de E telles que A ∪ B ∪ C = E. Exercice 6 : On lance 4 dés, et on suppose les résultats possibles équiprobables. 1) Décrire un modèle probabiliste associé à cette épreuve. 2) Calculer la probabilité pour que le même numéro apparaisse sur les 4 dés. 3) Calculer la probabilité pour que les numéros qui apparaissent sur les dés soient distincts. Exercice 7 : Soit P une probabilité sur un espace Ω fini non vide et A, B, C trois événements de P (Ω). On suppose que P (A) = 0, 6, P (A ∩ B) = 0, 2, P (B ∩ C) = 0, 1 P (A ∩ C) = 0, 1 P (A ∩ B ∩ C) = 0, 05. 1) Déterminer la probabilité des évènements : E1 = A ∪ (B ∩ C), E2 = A ∩ (B ∪ C). 2) Avec en outre P (B) = 0, 4, calculer la probabilité pour que ni A ni B ne se produisent. Exercice 8 : Dans une population de n personnes, quelle est la probabilité pour que 2 personnes soient nées le même jour ? Exercice 9 : 1) Une urne contient N boules numérotées de 1 à N . On tire successivement sans remise n (1 ≤ n ≤ N ) boules de l’urne. Quel est l’ensemble Ω des résultats possibles ? Calculer card(Ω). Désormais, on suppose que les résultats possibles sont équiprobables. 2) Les boules numérotées de 1 à M sont rouges (M < N ) et les boules numérotées de M + 1 à N sont blanches. Soit Ak l’événement "la k ème boule tirée est rouge". a) Calculer P (Ak ) b) Calculer P (Ak ∩ Al ). Exercice 10 : Montrer qu’il y a n1 !n2n!!...nk ! possibilités différentes de répartir n boules dans k urnes de sorte que la i-ième urne contienne exactement ni boules pour tout i ∈ {1, ..., k} (n = n1 + n2 + ... + nk ). En déduire la formule : X (a1 + a2 + ... + ak )n = n1 +n2 +...nk n! an1 1 an2 2 ...ank k n !n !...nk ! =n 1 2 qui est la généralisation de la formule du binôme. Exercice 11 : Étant donné Ω et A une de ses parties, on note 1A l’indicatrice de A. Vérifier les assertions suivantes : (1) A ⊂ B ⇔ 1A ≤ 1B 1 (2) 1(A∩B) = 1A .1B (3) 1(A∪B) = 1A + 1B − 1A∩B Exercice 12 : (Formule de Poincaré) Soient A1 , A2 , ..., An des événements d’un espace de probabilité (Ω, A, P). 1) Montrer que 1∪ni=1 Ai = 1 − Πni=1 (1 − 1Ai ). En déduire la "formule de Poincaré" : P (∪ni=1 Ai ) = n X k=1 X (−1)k−1 P Ai1 ∩ ... ∩ Aik . 1≤i1 <i2 <...<ik ≤n 2) Un facteur répartit au hasard n factures dans n boites aux lettres, une par boite. Calculer la probabilité p(n) qu’une facture au moins parvienne à son destinataire et limn→+∞ p(n). Exercice 13 : On dispose de 3 urnes et de 3 boules. On répartit au hasard les boules dans les urnes. Modéliser les cas suivants à l’aide d’un ensemble ω et d’une probabilité P sur ω : 1) Les urnes et les boules sont distinguables (discernables). 2) Les urnes sont distinguables mais non les boules. 3) Les boules sont distinguables mais non les urnes. 4) Les boules et les urnes sont indistinguables. Exercice 14 : Un lot de 120 vis contient 20 vis défectueuses. On choisit au hasard (équiprobabilité) sans remise 6 vis. I)- Calculer la probabilité d’obtenir : 1) Une vis exactement défectueuse 2) 6 vis correctes 3) Une vis au moins bonne 4)deux vis au moins bonnes. II)- Mêmes questions lorsque le tirage s’effectue avec remise. Exercice 15 : Soient (ω, P ) un espace de probabilité, et A et B deux événements de cet espace, notons α, β, γ, et δ les probabilités des événements A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, et A ∩ B. a) Calculer α + β + γ + δ. b) Montrer que P (A ∩ B) − P (A)P (B) = αδ − βγ c) Montrer que |P (A ∩ B) − P (A)P (B)| ≤ 14 . d) Donner des exemples d’égalités. Exercice 16 : On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes. Quelle est la probabilité que deux amis soient distants de r places (c’est à dire séparés par r − 1 personnes). On résoudra l’exercice en utilisant trois modélisations différentes : a) Ω = {(k1 , k2 )|k1 6= k2 } b)Ω = {{k1 , k2 }|k1 6= k2 } c) Ω = {(k1 , k2 , ..., kn )|∀i, j, i 6= j =⇒ ki 6= kj } Exercice 17 : Un joueur de poker reçoit une "main" de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité qu’une main contienne : 1)Une seule paire ? 2) Deux paires ? 3) Un brelan ? 4) Un carré ? 5) Un full ? 2 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F2 : Conditionnement et indépendance Exercice 1 : On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités que l’on obtienne : 1) un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6. 2) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6. 3) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6. 4) au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10. Exercice 2 : On jette 2 fois un même dé. Soient A, B et C les évènements suivants : a) A ={la sommes des points obtenus vaut 6}, B ={On obtient 4 au premier jet}, C ={la sommes des points vaut 7}. b) A ={le 1 er jet est impair}, B ={le 2 ème jet est impair}, C ={la somme des points est impaire}. Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènements A, B et C sonts indépendants 2 à 2, puis s’ils sont indépendants ("dans leur ensemble"). Exercice 3 : On suppose que dans une région la proportion de moutons ayant une certaine maladie est de 1% Si le mouton n’est pas atteint, il a 9 chances sur 10 d’être négatif à un test T. S’il est atteint, il a 8 chances sur 10 d’être positif à ce test. Quelle est la probabilité pour qu’un mouton pris au hasard et ayant un test positif soit atteint par cette maladie ? Exercice 4 : On cherche un parapluie qui se trouve dans un immeuble de 7 étages (rdc compris) avec la probabilité p (p ∈ [0, 1]). On a exploré en vain les 6 premiers niveaux, quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au 7 ème étage ? (On admettra qu’il n y a pas à priori d’étage privilégié !) Exercice 5 : Le dépistage systématique d’une maladie est effectué sur une population dont 0.1% des individus est malade, le test utilisé donne 95% de résultats positifs pour les personnes atteintes par la maladie, et 1% de résultat positifs pour les personnes non atteintes. Quelle est la probabilité conditionnelle qu’une personne prise au hasard soit atteinte sachant que le test a donné un résultat positif ? soit indemne sachant que le test a donné un résultat négatif ? Exercice 6 : On admet que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres et que chaque enfant a la probabilité 12 d’être un garçon et la probabilité 21 d’être une fille. a) Une famille a deux enfants dont l’un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? b) Une famille a deux enfants. L’aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? Exercice 7 : On effectue une suite de parties de pile ou face. Soit un la probabilité de ne pas avoir trois fois face à la suite aux cours des n premières parties. On a u1 = u2 = 1 et u0 = 1. a) En conditionnant par le résultat des trois premières pièces, montrer que l’on a la relation de récurrence suivante : 1 1 1 un = un−1 + un−2 + un−3 2 4 8 b) A l’aide de votre calculatrice donner une valeur approchée de u50 . c)En utilisant une méthode analogue montrer que la probabilité vn d’avoir 3 faces consécutifs ou 3 piles consécutifs parmi les n premières parties vérifie la relation de récurrence vn = 1 1 1 + vn−1 + vn−2 4 2 4 1 d) En s’inspirant de la même méthode et en utilisant une calculatrice montrer que la probabilité d’avoir sur 100 jets de pièces au moins 5 piles ou 5 faces consécutifs et de l’ordre de 97%. Exercice 8 : On lance un dé régulier, puis on effectue deux tirages d’une boule avec remise : - dans l’urne U contenant 9 boules blanches et 1 noire, si le dé amène l’as, - dans l’urne V contenant 3 boules blanches et 7 noires, si le dé n’amène pas l’as. On supposera qu’il existe un modèle probabiliste à cette expérience aléatoire (Ω, P et des événements U, V, Bk et Nk correspondant respectivement à : on tire dans l’urne U , on tire dans l’urne V , la k ième boule tirée est blanche et la k ième boule tirée est noire. a) Les événements B1 et N2 sont-ils indépendants ? sont-ils indépendants conditionnellement à U ? conditionnellement à V ? b) On obtient une boule blanche, puis une noire ; de quelle urne est-il plus probable qu’on les ait tirées ? Exercice 9 : Une machine à sous propose le jeu suivant, il y a trois boutons l’un des trois boutons est choisi par la machine comme étant la cible. Le joueur appuie sur l’un des boutons. S’il a appuyé sur la cible, la machine fait clignoter l’un des deux autres boutons choisi aléatoirement. Sinon la machine fait clignoter le bouton qui n’est ni la cible ni le bouton appuyé. Le but est de trouver la cible au deuxième essai. Expliquer pourquoi Yvan qui est un fin mathématicien, appuie sur un bouton, regarde le bouton qui clignote et choisit au deuxième essai le troisième bouton. Exercice 10 : Un fumeur décide de ne plus fumer ... on admet que s’il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,9. Mais s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0,2. Calculer la probabilité pn que la personne ne fume pas le n ème jour, en fonction de p1 . Exercice 11 : On s’intéresse à la transmission d’une information binaire, c’est à dire ne pouvant prendre que deux valeurs. On admet que le procédé de transmission directe entre deux individus A et B est tel que, lorsque A émet une valeur de l’information à destination de B, ce dernier reçoit la valeur émise par A avec la probabilité p, et donc l’autre valeur avec la probabilité q = 1 − p, on suppose que 0 < p < 1. On considère des individus successifs i0 , i1 , ..., in avec n ∈ N. L’information émise par i0 est transmise à i1 , qui transmet la valeur reçue à i2 , et ainsi de suite jusqu’à in . Entre deux individus, ik et ik+1 , la transmission de l’information suit la loi décrite plus haut. On note pk la probabilité que la valeur de l’information reçue par ik soit identique à celle émise par i0 , et on pose p0 = 1. a) Exprimer pk+1 en fonction de pk . b) On rappelle que pour étudier une suite arithmético-géométrique du genre un+1 = aun + b on pose vn = un + α avec α tel que (vn ) soit une suite géométrique. En déduire une expression de pn en fonction de n et de p. c) Déterminer limk→∞ pk d) Déterminer un p tel que p100 > 99, 9% Exercice 12 : Une puce se déplace entre 3 points A, B et C. Au départ elle est en A. A chaque étape, elle quitte sa position et gagne indifférement l’un des deux autres points. On note αn , βn et γn les probabilités qu’elle se trouve respectivement en A, B et C à l’issue de la nème étape (on pose α0 = 1 et β0 = γ0 = 0). a) Calculer α1 , β1 , γ1 et α2 , β2 , γ2 . b) Exprimer αn+1 , βn+1 , γn+1 en fonction de αn , βn , γn , puis αn , βn , γn en fonction de n. 2 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F3 : Variables aléatoires discrètes, Fonctions génératrices Exercice 1 : Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu’à ce qu’il ne reste que des boules d’une seule couleur dans l’urne. Comment peut-on modéliser le nombre de tirages nécessaires à l’aide d’une variable aléatoire ? k −λ λ Exercice 2 : Soit X une v.a.suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0 (∀k ∈ N P (X = k) = e k! ). 1 . Calculer E(X) puis E 1+X Exercice 3 : On lance deux fois de suite un dé. Soient X et Y respectivement le premier et le second numéro obtenus et soit U = min{X, Y }. a) Donner la loi du couple (X, Y ), les lois de X et de Y . Les v.a. X et Y sont-elles indépendantes ? b) Déterminer la loi du couple (X, U ) et la loi de U . Les v.a. X et U sont-elles indépendantes ? Exercice 4 : On jette deux dés, un rouge et un noir, et l’on regarde la somme des deux dés. a) Modéliser le résultat des deux dés à l’aide d’un ensemble Ω et d’une probabilité P sur Ω, puis modéliser la somme à l’aide d’une variable aléatoire S définie sur Ω. b) Décrire l’événement {S = 4}, calculer sa probabilité. c) Calculer l’espérance de S : R i) directement à l’aide de la définition E(X) = Ω XdP . R ii) à l’aide de la formule E(X) = R xdPX (x). On modélise différemment cette même expérience à l’aide de deux variables aléatoires X et Y représentant respectivement le résultat du dé rouge et du dé noir. On ne cherche pas à définir Ω. a) Comment pouvons nous choisir la loi du couple (X, Y ) ? b) Déterminer les lois de X et Y ? sont-elles indépendantes ? c) Soit U = min{X, Y }, déterminer la loi du couple (X, U ) puis la loi de U . Les variables aléatoires X et U sont-elles indépendantes ? Exercice 5 : Soit T une v.a. entière définie sur (Ω, A, P ). On suppose que ∀n ∈ N , P (T > n) 6= 0 et ∀(p, n) ∈ N 2 , P (T ≥ n + p|T ≥ n) = P (T ≥ p). Montrer que T suit une loi géométrique (C’est la seule loi sur N qui possède cette propriété dite "propriété de non vieillissement"). Donner un exemple d’expérience modélisée par une telle loi. Exercice 6 : Soient X et Y deux v.a. indépendantes suivant la même loi : ∀k ∈ N, P (X = k) = P (Y = k) = pq k (q = 1 − p, p ∈]0, 1[). On pose U = max(X, Y ) et V = min(X, Y ). 1) Calculer P (U ≤ k) pour k ∈ N . En déduire la loi de U . 2) En s’inspirant de ce qui précède déterminer la loi de V . Exercice 7 : Soit X une v.a. à valeurs dans N. Montrer que E(X) = d’une loi géomètrique de paramètre a, 0 < a < 1. P+∞ k=1 P (X ≥ k). En déduire l’espérance Exercice 8 : On appelle Sn le nombre de piles obtenus dans un jeu de pile ou face où la probabilité d’obtenir pile est p ∈]0, 1[. Soit νr = inf{n ≥ 1 : Sn = r} le nombre aléatoire de parties nécessaires pour obtenir r fois pile. a) Déterminer la loi de ν1 . b) Soit r ∈ N , r ≥ 2. Déterminer la loi de νr en remarquant que , pour n ≥ r, {ν = n} = {le n-ième tirage donne pile et parmi 1 Exercice 9 : Soit p ∈]0, 1[. Soient X1 , X2 , ..., Xn , ... une suite de v.a. indépendantes et de même loi telles que P (Xn = 1) = p, P (Xn = 0) = 1 − p (loi de Bernouilli). Soient Yn = Xn Xn+1 , Un = Y1 + ... + Yn . 1) Quelle est la loi de Yn ? 2) Pour quels couples (n, m) les v.a. Yn et Ym sont-elles indépendantes ? 3) Calculer l’espérance et la variance de Un . 4) Montrer que ∀ε > 0, on a limn→+∞ P | Unn − p2 |≥ ε = 0. Exercice 10 : 1) Soit X1 , ..., Xn , ...une famille indépendante de v.a. entières définies sur (Ω, A, P ) de même loi de Bernouilli de paramètre p ∈]0, P 1[. Déterminer la loi de la v.a. Sn = ni=1 Xi (n ≥ 1) a) En utilisant la fonction génératrice. b) Par un calcul direct. 2) Soient X et Y deux v.a. indépendantes suivant les lois binomiales B(n1 , p) et B(n2 , p). Calculer la fonction génératrice puis la loi de X + Y . Calculer la loi de (X, X + Y ). -Donner un exemple d’expérience modélisée par Sn . Exercice 11 : Soit X une v.a. suivant la loi géomêtrique de paramètre p. On considère la v.a. Y définie par : 1 Y (ω) = 0 si X(ω) est impair et X(ω) sinon 2 Déterminer la loi de Y , son espérance et sa variance. Exercice 12 : Soient X1 , ..., Xn des v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètres respectifs λi (λi > 0, i = 1, ...n). Calculer la fonction génératrice de Sn = X1 + ... + Xn et identifier la loi de cette v.a. b) Déterminer la loi de 2X1 , puis de 2X1 + X2 lorsque λ1 = λ2 = λ. Exercice 13 : Soient X1 , ..., Xn des v.a. indépendantes de même loi géomètrique de paramètre a. Déterminer la fonction génératrice de Sn = X1 + ... + Xn . Exercice 14 : Soit (Xn )n∈N∗ une suite de v.a. positives , indépendantes, de même loi et d’éspérance m = E(X1 ) finie. Pn Soit N une v.a. entière positive indépendante des Xn d’éspérance M = E(N ) finie. 1) Soit Sn = i=1 Xi et SN la v.a. définie par : SN (ω) = Sn (ω) si N (ω) = n > 0 et SN (ω) = 0 si N (ω) = 0. Calculer E(SN ) en fonction de m et de M (sans utiliser les fonctions génératrices car les Xi ne sont pas à priori à valeurs entières). Z = 1 si N =0 Calculer E(Z) en fonction de 2) On suppose 0 ≤ m ≤ 1. On pose Z = X1 X2 ...Xn si N = n ≥ 1 m et de GN la fonction génératrice de N . Exercice 15 : Soit {X1 , X2 , ...Xn , ....} une famille indépendante de v.a. entières définies P sur (Ω, A, P ). On suppose que les v.a. Xi suivent la loi de Bernouilli de paramètre p ∈]0, 1[. Soit Sn = ni=1 Xi . Soit N une v.a. entière définie sur (Ω, A, P ) indépendante des Xi et SN la v.a. définie comme dans l’exercice précédent. a) On suppose que N suit une loi géomètrique de paramètre a ∈]0, 1[. Trouver la loi de SN . b) Même question si N suit une loi de Poisson de paramètre λ (λ > 0). Exercice 16 : Soit X et Y deux VA à valeurs entières définies sur un même espace probabilisé, montrer que si X et Y ont même fonction génératrice alors elles ont même loi. Exercice 17 : Montrer que l’on ne peut pas piper deux dés à 6 faces de sorte que la somme des points soit équirépartie sur {2, 3, ....12}, on pourra étudier les racines de différentes fonctions caractéristiques. 2 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F4 : Variables (vecteurs) aléatoires absolument continues Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire, de fonction de répartition FX . a) Montrer que si FX est continue alors P (X = a) = 0 pour tout réel a. b) Montrer que si FX est continue et dérivable sur A, avec R − A de cardinal fini, alors f telle que f |A = FX0 et F |A arbitraire est une densité de probabilité pour la variable aléatoire X. Exercice 2 : Soit F : R → R définie par F (x) = 0 si x ≤ 0 x 1 − e− 2 (1 + x2 ) si x > 0 a) Montrer que F est la fonction de répartition d’une loi de probabilité dont on déterminera la densité si elle existe. b) Si X est une variable aléatoire de fonction de répartition F , calculer la probabilité P (−2 < X < 3) Exercice 3 : Soit X une v.a.r. de loi uniforme sur [1, 3] (de densité de probabilité f (t) = 21 11[1,3] (t)). Déterminer la fonction de répartition de la v.a. Y = min{X, a} (a ∈ [1, 3]). Montrer que la loi de Y est une combinaison linéaire d’une loi à densité et d’une mesure de dirac. Exercice 4 : Soient X1 et X2 deux v.a. indépendantes de même loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer les lois des v.a. U = max{X1 , X2 } et V = min{X1 , X2 } par leurs fonctions de répartition et en déduire les densités de probabilité correspondantes. Que vaut E(| X1 − X2 |) ? Exercice 5 : Déterminer la loi du minimum de n v.a. indépendantes suivant des lois exponentielles de paramètres respectifs λi pour i = 1, ..., n. Exercice 6 : Soient X et Y deux v.a. indépendantes telles que X ∼ N (0, 1) et P (Y = −1) = P (Y = +1) = 12 . 1) Quelle est la loi de Z = XY ? 2) X et Z sont-elles indépendantes ? 3) Soit U = X + Y . Quelle est la loi de U ? Exercice 7 : Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes suivant la loi de Cauchy de densité f (x) = 1 1 . π 1 + x2 1) Z = αX. Quelle est la loi de Z ? (α > 0). 2) S = X + Y . Quelle est la loi de S ? (Comparer la à celle de 2X). Exercice 8 : Soit (X, Y ) un couple de v.a. suivant la loi uniforme sur le disque unité. 1) Quelles sont les lois de X et de Y ? 2) X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 9 : Soit X une v.a.r. de fonction de répartition F (x) = P (X ≤ x). Soit Y = F (X). Quelle est la loi de Y ? (On pourra supposer F continue, strictement croissante). Exercice 10 : Soit A le domaine du carré unité défini par A = {(x, y) ∈ [0, 1]2 : x ≥ y + a) Déterminer RR 1A (x, y) dxdy 1 1 1 ou x ≤ y ≤ x + }. 2 2 b) Soit (X, Y ) un couple de v.a. de densité uniforme sur A. Déterminer les lois marginales de X et de Y . c) Calculer Cov(X, Y ). Exercice 11 : Soit L une v.a.r. positive admettant une densité de probabilité f et X une v.a.r. de loi uniforme sur [0, 1] indépendante de L. On définit deux v.a.r. L1 et L2 par L1 = XL et L2 = (1 − X)L (cela représente par exemple la rupture aléatoire en 2 morceaux de longueurs L1 et L2 , d’une certaine moléculaire de longueur initiale (aléatoire) L. a) Déterminer la loi du couple (L1 , L2 )ainsi que les lois de L1 et L2 . b) Que peut-on dire du couple (L1 , L2 ) lorsque f (y) = λ2 ye−λy 11[0,+∞[ (y) (λ > 0) ? c) Déterminer la loi de Z = min{L1 , L2 }. Exercice 12 : Soit (X1 , X2 ) un couple de v.a.r. admettant la densité de probabilité f (x1 , x2 ) = 1 2π p 1 − ρ2 exp −( 1 (x2 − 2ρx1 x2 + x22 )). 2(1 − ρ2 ) 1 où ρ ∈]0, 1[. a) Vérifier que f est une densité de probabilité sur R2 et trouver les densités marginales de X1 et X2 . Ces v.a.r. sont-elles indépendantes ? p 2 2 b) On pose R = X1 + X2 et Φ ∈ [0, 2π] défini par : cos Φ = XR1 et sin Φ = XR2 . Déterminer la densité du couple (R, Φ). Exercice 13 : Soient X1 , X2 , ..., Xn des v.a.r. indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). On pose S0 = 0, Sk = X1 + X2 + ... + Xk . Calculer la loi de (S1 , S2 , ..., Sn ). Exercice 14 : On suppose que la durée, en minutes, d’attente entre deux appels consécutifs à une ligne d’assistance informatique suit une loi exponentielle de paramètre 1 : Sa densité est 0 si x ≤ 0 f (x) = e−x si x > 0 a)Quelle est la probabilité que l’attente entre deux appels soit comprise entre 1 et 2 minutes ? soit inférieur à 10 minutes ? soit supérieur à 2 minutes ? b)Déterminer λ tel que la probabilité que l’attente soit supérieur à λ soit égale à la probabilité que l’attente soit inférieur à λ. c) Déterminer l’attente moyenne entre deux appels. Exercice 15 : Soit Y une variable aléatoire normale de paramètre (3,4), sachant que si X est une variable normale centrée réduite et Φ sa fonction de répartition on a les valeurs approchées suivantes : φ(2) ' 0, 977 et Φ(1) ' 0, 841. calculer P (Y < 7), P (5 < Y < 7), P (Y < −1) et P (|Y | < 1). Exercice 16 : On suppose que X suit une loi uniforme sur [0,1]. Déterminer les lois des variables aléatoires suivantes : 2X + 3, X 2 , eX , et (X − 13 )2 . Exercice 17 : La densité de probabilité d’une variable aléatoire X est 4 2 81 x(9 − x ) si 0 < x < 3 f (x) = 0 sinon a) Représenter f . b) Déterminer ’le mode’ de X (’la valeur la plus probable’). c) Déterminer ’la médiane’ de X (Valeur pour laquelle il y a la même probabilité d’être supérieur que d’être inférieur). d) Déterminer la ’moyenne’ de X. e) Calculer P (0 < X < 1). Exercice 18 : Soient X et Y deux v.a. indépendantes et admettant chacune une densité de probabilité sur R. Monter que P (X = Y ) = 0. 2 Exercice 19 : Soient X1 , ..., Xn des v.a. indépendantes et de même loi de probabilité de densité f . 1) Quelle est la densité de la v.a. X = (X1 , ..., Xn ) ? Si σ est une permutation de {1, ..., n}, quelle est la densité de Xσ = (Xσ(1) , ..., Xσ(n) ) ? 2) On note Y1 ≤ Y2 ≤ ... ≤ Yn les valeurs prises par X1 , ..., Xn réordonnées en suite croissante. Montrer que si F = {Y1 < Y2 < ... < Yn }, P (F ) = 1 et que Y = (Y1 , Y2 , ..., Yn ) admet pour densité sur Rn la fonction fY (y1 , ..., yn ) = n!f (y1 )...f (yn )11(y1 <...<yn ) (y1 , ..., yn ). 3) Application : 3 personnes arrivent en même temps à un guichet, il y a deux guichetier et une seule queue, la durée d’un client avec le guichetier suit une loi exponentielle de paramètre α. Deux des trois passent de suite et le troisième attend, quelle est la probabilité que se soit lui qui finisse le dernier des trois ? Exercice 20 : On suppose que les v.a. X1 , X2 , ..., Xn de l’exercice précédent suivent la loi exponentielle de paramètre λ. Avec les mêmes notations, on définit Z1 = Y1 , Z2 = Y2 − Y1 , ..., Zn = Yn − Yn−1 . Déterminer la loi de (Z1 , ..., Zn ). Les v.a. Z1 , ..., Zn , sont-elles indépendantes ? Déterminer la loi marginale de chacune d’entre elles. Exercice 21 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètre λ. Déterminer les lois des variables aléatoires :−Y , X + Y et X − Y . Exercice 22 : Soit Z une v.a.r ; admettant la densité suivante sur R : z2 2 f (z) = √ e− 2 1 R+ (z). 2π Soit U une v.a. indépendante Z telle que P (U = 1) = P (U = −1) = 12 . Quelle est la loi de V = U Z ? Exercice 23 : Soit h une densité de probabilité sur R et g une fonction réelle sur R, telle que pour tout x on ait 0 < g(x) < 1. On engendre une suite (Yn , Un ) n = 1, 2, ... de couples indépendants de v.a.r., Yn et Un étant indépendantes entre-elles. Les Yn ont la même densité h et les Un suivent la loi uniforme sur [0, 1]. Soit τ le premier instant où Un ≤ g(Yn ) ie ; τ = inf {n, n ≥ 1 : Un ≤ g(Yn )}, convention : inf ∅ = +∞. 1) Exprimer p = P (Un ≤ g(Yn )) à l’aide de h et de g. Quelle est la loi de τ en fonction de p ? Montrer que P (τ < +∞) = 1. 2) On prend pour X la v.a. X = Yτ (i.e; X = Yn pour τ = n). Quelle est la loi de X ? Exercice 24 : Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité f 1 f (x, y) = (2x + y)11[0;1]×[0;2] (x, y) 4 a) Calculer P (Y ≤ 1) ; P (X ≤ 21 ; Y ≤ 1) et P (X + Y ≤ 1) b) Calculer E(X) ; E(Y ) ; E(X + Y ) ; E(XY ) c) X et Y sont elles indépendantes ? X − 21 et Y − 1 sont-elles indépendantes ? d) Quel est la loi du couple ((X − 12 )2 , (Y − 1)2 ) ? e) Les variables aléatoires (X − 12 )2 et (Y − 1)2 sont-elles indépendantes ? 3 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F5 : Lois conditionnelles et espérances conditionnelles Exercice 1 : Soient b, r ∈ N∗ et c ∈ N . Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On effectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l’urne avec en plus c boules de la même couleur. On note Xn la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera p= r b q= b+r b+r 1) Déterminer la loi du couple (X1 , X2 ) En déduire la loi de X2 la comparer à celle de X1 . 2) Trouver les lois conditionnelles de X1 sachant X2 et de X2 sachant X1 . 3) Déterminer la loi de la variable S2 = X1 + X2 . 4) Déterminer la loi de X3 sachant que S2 = k pour k ∈ N. 5) Déduire du 4) que la loi de X3 est la même que celle de X1 . 6) Exprimer la loi de Xn+1 à l’aide de E(Sn ). 7) Montrer que toutes les variables aléatoires Xn ont même loi de probabilité. Exercice 2 : a) Soient X,Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi, de densité f . On note M1 = min(X, Y ) et M2 = max(X, Y ). Montrer que la loi du couple (M1 , M2 ) est donnée par : f(M1 ,M2 ) (m1 , m2 ) = 2f (m1 )f (m2 )11m1 <m2 b) On suppose dans la suite que f (t) = λe−λt 11R+ (t), déterminer la loi du couple (M1 , M2 ), puis les lois marginales de M1 et M2 . c) Déterminer l’espérance conditionnelle de M2 sachant M1 . d) Si X et Y modélise la durée de vie de deux composants électroniques, interpréter l’espérance conditionnelle E(M2 |M1 ), calculée précédemment. 5) Même question avec E(M1 |M2 = m2 ) lorsque m2 est petit et lorsque m2 est grand. Exercice 3 : Soient X1 et X2 v.a. indépendantes de loi de Poisson P(λ1 ) et P(λ2 ). a) Déterminer la loi de X1 sachant X1 + X2 = n. b) Calculer E(X1 |X1 + X2 ). Exercice 4 : Soient X1 et X2 v.a. indépendantes de loi exponentielle E(λ). a) Déterminer la loi de X1 sachant X1 + X2 . b) Calculer E(X1 |X1 + X2 ). Exercice 5 : Soient X et Y deux v.a. telles que : - X suit la loi de Poisson P(λ), - la loi conditionnelle de Y sachant X = n est la loi binomiale B(p, n). a) Déterminer la loi du couple (X, Y ) puis la loi de Y . b) Les v.a. X − Y et Y sont-elles indépendantes ? c) Calculer E(X|Y = k), en déduire E(X|Y ). Exercice 6 : Soient X et Y deux v.a. telles que - X a pour densité fX (x) = xe−x 1 {x>0} , - pour tout x > 0 la loi conditionnelle de Y sachant X = x est la loi uniforme sur [0, x] . a) Déterminer la loi du couple (X, Y ) puis la loi de Y . b) Les v.a. X − Y et Y sont-elles indépendantes ? c) Calculer E(X|Y = y), en déduire E(X|Y ). Exercice 7 : Soient X, Y, Z trois variables aléatoires telles que : 1 - X suit la loi uniforme sur [0, 1], - fY |X=x (y) = (y − x)e−(y−x) 1{y>x} pour x ∈ [0, 1]. - fZ|X=x,Y =y (z) = (y − x)e−z(y−x) 1{z>0} pour (x, y) ∈ A où A = {(x, y) ∈ [0, 1] × R|y > x} 1) Déterminer la loi de (X, Y ) puis la loi de (X, Y, Z). 2) En déduire la loi de Z, puis la loi de (X, Y ) sachant Z = z. 1 1 3) Calculer E((Y − X) 2 |Z = z) puis E((Y − X) 2 ). 4) Soient U = Y − X, V = Z(X − Y ). Déterminer la loi de (X, U, V ). Les v.a. X, U, V sont-elles indépendantes ? Exercice 8 : Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la densité est : f(X,Y ) (x, y) = 1 2π p 1− ρ2 exp{− 1 (x2 − 2ρxy + y 2 )} 2(1 − ρ2 ) où 0 < ρ < 1. 1) Trouver α∗ ∈ R t.q. E{(X − α∗ Y )2 } = inf α∈R E{(X − αY )2 }. 2) Montrer que X − α∗ Y et Y sont indépendantes. 3) En déduire que E{(X − α∗ Y )h(Y )} = 0 pour toute fonction h : R → R t.q. E{h2 (Y )} < ∞. 4) On note H l’ensemble de toutes les fonctions h : R → R t.q. E{h2 (Y )} < ∞. Montrer que inf E((X − h(Y ))2 ) = E{(X − α∗ Y )2 } h∈H 5) Déterminer la loi de X sachant Y = y et calculer E(X|Y ). Comparer E(X|Y ) et α∗ Y . Exercice 9 : On considère une variable aléatoire X de loi uniforme sur [a, 1]. pour a = 0 puis pour a = −1 : 1. Calculer E(X 2 |X), et E(X|X 2 ) 2. Trouver α∗ et β ∗ telle que : E(X − α∗ X 2 )2 = min E(X − αX 2 )2 , et E(X 2 − β ∗ X)2 = min E(X 2 − βX)2 , α∈R β∈R Exercice 10 : Soit (Xi )i≥1 une suite de v.a. indépendantes de même loi t.q. E(Xi ) = µ, var(Xi ) = σ 2 . Soit N une v.a. à valeurs entières indépendante des Xi avec E(N ) = ν et var(N ) = τ 2 . On pose : Sn = n X Xi i=1 a) Déterminer E(SN |N ). b) En déduire E(SN ) et var(SN ). Exercice 11 : (Examen 2000) Soient X et N des variables aléatoires à valeurs dans N. On sait que E(N ) = m et var(N ) = σ 2 ou m et σ sont des constantes réelles positives (mais on ne connaît pas la loi de N ). on suppose que la probabilité conditionnelle de X sachant N = n ≥ 0 est donnée par : 1 0≤k≤n 1+n pour P (X = k|N = n) = 0 ailleurs 1. Calculer E(X|N ), E(X 2 |N ), E(X) et var(X). 2. On suppose que Y = N − X et X sont indépendantes, calculer E(Y ), var(Y ), E(N |X), et E(N |Y ). 2 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F6 : Lemme de Borel Cantelli Exercice 1 : Soit {An , n ≥ 1} une suit de parties d’un ensemble Ω, on définit les parties limite supérieure et limite inférieure par : \ [ [ \ lim An = Ap , lim An = Ap , n→∞ n→∞ n≥1 p≥n n≥1 p≥n a) Déterminer la lim et la lim des suites (An ) et (Cn ) : A, B ∈ P(Ω), A2n = A, A2n+1 = B, b) Montrer que c lim An Cn = [−1; (1 + (−1)n )n] = lim Acn . n→∞ n→∞ c) Montrer que ω appartient à lim An si et seulement si ω appartient à une infinité de An . n→∞ d) Montrer que ω appartient à lim An si et seulement si ω appartient à tous les An sauf à un nombre fini. n→∞ e) Déterminer la lim et la lim de la suite suivante : Ω = IR, D2n = [0, (−1)n ], D2n+1 = [0, (−1)n + 1 ] n f) Montrer que : lim An ⊂ lim An n→∞ n→∞ lim (An ∪ Bn ) = ( lim An ) ∪ ( lim Bn ) n→∞ n→∞ n→∞ lim (An ∩ Bn ) ⊂ ( lim An ) ∩ ( lim Bn ) n→∞ n→∞ n→∞ Montrer, en utilisant l’exemple de la question e), que l’inclusion peut être stricte. g) On dit que la suite (An ) admet une limite si lim An = lim An n→∞ n→∞ Montrer que si (An ) est une suite monotone, elle admet une limite. h) On rappelle que pour une suite réelle (xn ) la limite supérieure est définie par lim xn = limn→∞ sup{xk |k > n}. Montrer que pour une suite de variables aléatoires (Xn ) on a : ( lim Xn > ) ⊂ lim (Xn > ) n→∞ n→∞ Soit {An , n ≥ 1} une suit de parties d’un ensemble Ω, on définit les parties limite supérieure et limite inférieure par : \ [ [ \ lim An = Ap , lim An = Ap , n→∞ n→∞ n≥1 p≥n n≥1 p≥n a) Déterminer la lim et la lim des suites (An ) et (Cn ) : A, B ∈ P(Ω), A2n = A, A2n+1 = B, 1 Cn = [−1; (1 + (−1)n )n] b) Montrer que c lim An = lim Acn . n→∞ n→∞ c) Montrer que ω appartient à lim An si et seulement si ω appartient à une infinité de An . n→∞ d) Montrer que ω appartient à lim An si et seulement si ω appartient à tous les An sauf à un nombre fini. n→∞ e) Déterminer la lim et la lim de la suite suivante : Ω = IR, D2n = [0, (−1)n ], D2n+1 = [0, (−1)n + 1 ] n f) Montrer que : lim An ⊂ lim An n→∞ n→∞ lim (An ∪ Bn ) = ( lim An ) ∪ ( lim Bn ) n→∞ n→∞ n→∞ lim (An ∩ Bn ) ⊂ ( lim An ) ∩ ( lim Bn ) n→∞ n→∞ n→∞ Montrer, en utilisant l’exemple de la question e), que l’inclusion peut être stricte. g) On dit que la suite (An ) admet une limite si lim An = lim An n→∞ n→∞ Montrer que si (An ) est une suite monotone, elle admet une limite. h) On rappelle que pour une suite réelle (xn ) la limite supérieure est définie par lim xn = limn→∞ sup{xk |k > n}. Montrer que pour une suite de variables aléatoires (Xn ) on a : ( lim Xn > ) ⊂ lim (Xn > ) n→∞ n→∞ Exercice 2 : Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé et (An ) une suite d’événements de A. On définit l’événement B = {ω ∈ Ω : ω ∈ An pour une infinité de n} S a) On pose : Bm = n>m An , montrer que B = limm→∞ Bm . b) Montrer l’implication : X P (An ) < ∞ =⇒ P (B) = 0 n c) On suppose que les An sont indépendants. Montrer l’implication : X P (An ) = ∞ =⇒ P (B) = 1 n Exercice 3 : Soit (Xn ) une suite de v.a. indépendantes et de même loi : P (Xn = 1) = p, P (Xn = −1) = 1 − p, où 0 < p < 1 P On considère la suite de v.a. définie par : Sn = nk=1 Xk (marche aléatoire). a) Que représentent les évènements An = {Sn = 0} et A = lim An ? n→∞ b) On suppose que p 6= 21 et l’on rappelle P le critère de D’Alembert pour les séries strictement positives : Si un+1 lim un = l avec l < 1 alors la série un converge. Montrer que P (A) = 0. Interprétation. Exercice 4 : Soit (Xn ) une suite de v.a. et G leur tribu asymptotique. 2 1) Montrer que la v.a. Y = lim Xn est G-mesurable. n→∞ 2) que les Xn sont indépendantes. Montrer que le rayon de convergence de la série entière P On suppose n n≥0 Xn z est presque sûrement constant. des v.a. indépendantes et identiquement distribuées telles que E(X1 ) = 0 et Exercice 5 : Soient X1 , X2 , ...P 4 E(X1 ) < +∞. On pose Sn = ni=1 Xi et Yn = n1 Sn . a) Démontrer le lemme suivant : Un suite de variables aléatoires (Xn ) converge vers X p.s. ssi ∀ > 0 P (lim(|Xn − X| > )) = 0 ssi ∀ > 0 X P (|Xn − X| > ) = 0 b) En développant Sn4 , écrire E(Sn4 ) à l’aide de n, E(X12 ) et E(X14 ). c) Montrer que : ∀ > 0, E(Y 4 ) < 4 P (|Y | > ) d) Montrer, sans utiliser la loi forte des grands nombres que (Yn ) converge vers 0 p.s. e) Montrer que si les Xn ne sont pas de même loi, mais sont telles que la suite E(Xn4 ) est bornée, le résultat reste vrai. Exercice 6 : Argument de bloc : Soient (Xn ) une suite de V.A. indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ = 1 et Mn = max(X1 ; X2 ; ...Xn ). a) Calculer P (M n ≤ x). P b) Montrer que P (Mn ≤ (1 − ) ln n) < ∞. c) Montrer que pour tout > 0 il existe une sous suite (nk ) que l’on déterminera telle que X P (Mnk ≥ (1 + ) ln nk ) < ∞ et lim d) en remarquant que (Mn ) est une suite croissante montrer que Mn ln n ln nk =1 ln nk+1 converge vers 1 p.s. Exercice 7 : Quelle est la probabilité que dans une suite infinie de lettres et de symboles typographiques choisit indépendamment avec la même probabilité, se trouve quelques part la déclaration universelle des droits de l’homme. 3 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F7 : Fonctions caractéristiques. Convergences Exercice 1 : Soit (Xn )n une suite de variables aléatoires telles que Xn ait pour loi une loi uniforme sur l’ensemble fini 1 2 n−1 An = {0, , , . . . , } n n n montrer que (Xn ) converge en loi vers une loi uniforme sur [0; 1]. Exercice 2 : Soit (Xn )n une suite de variables aléatoires telle que pour tout n : Xn (Ω) = {1, 2, . . . , n} et ∀k ∈ {1, 2, . . . , n} P (Xn ≤ k) = On pose Yn = Xn n , k 2 (3n − 2k) n3 et [ ] désigne la partie entière : 1. Soit t un réel, calculer limn→∞ [nt] n . 2. Montrer que pour tout réel t dans [0 ;1], P (Yn ≤ t) = [nx]2 (3n n3 − 2[nx]) 3. En déduire pour t ∈ R, l’existence et la valeur de lim P (Yn ≤ t), montrer que Yn converge en loi. Exercice 3 : a) Soit (xn ) une suite de réels convergente vers x montrer que (δxn ) converge étroitement vers δx . b) Soient X, X1 , ...Xn , ... des variables aléatoires à valeur dans N montrer que si (Xn ) converge en loi vers X alors pour tout entier k, la suite de réels (P (Xn = k))n converge vers P (X = k). c) Montrer la réciproque du b). d) Soient X, X1 , ...Xn , ... des variables aléatoires, F et Fn leur fonction de répartition. Montrer que si L Xn −→ X alors en tout point a où F est continue, on a lim Fn (a) = F (a). On ne démontrera pas mais on pourra noter que la réciproque est aussi vrai. L L e) Donner un exemple où l’on a Xn −→ X mais où l’on a pas Xn − X −→ 0. L P f) Montrer que si Xn −→ 0 alors Xn −→ 0. Exercice 4 : Déterminer les fonctions caractéristiques de la v.a. X dans les cas suivants : X = a p.s., X ∼ B(p), B(n, p), P(λ), G(p), U([a, b]), Exp(λ), N (0, 1), N (m, σ 2 ), Exercice 5 : Considérons une suite (Xn )n∈N∗ de v.a. telle que Xn ∼ Exp(λn ). On suppose que limn→+∞ λn = 0. Soit Zn = Xn − [Xn ]. Montrer que Zn converge en loi vers une v.a. U dont on précisera la loi. [Xn ] représente la partie entière de Xn . Exercice 6 : Montrer que si (Xn ) et X sont des vecteurs aléatoires à valeurs dans (Rm , BRm ) tels que L L Xn −→ X et si g est une fonction continue de Rm dans Rp alors g(Xn ) −→ g(X). Exercice 7 : On considère une suite de v.a. (Xn ) indépendantes et de même loi. On fait correspondre à celle-ci la suite de v.a. (Yn ) définie par : Y0 = X0 , 2 Y1 = X1 + Y0 , 2 Y2 = X2 + Y1 , 2 ..., Yn = Xn + Yn−1 . 2 a) Calculer la fonction caractéristique Φn (u) de Yn en fonction de Φ(u) (la f.c. de X) et de n. b) On supposera que la loi des Xn est la loi N (0, σ). Quelle est la loi de Yn ? Quelle est la loi limite de Yn lorsque n → +∞ ? c) Si Xn suit la loi de Cauchy de paramètre 1, montrer que Yn converge en loi vers une v.a. dont on identifiera la loi. 1 a . π(x2 +a2 ) −a|t| e . Exercice 8 : La loi de Cauchy de paramètre a > 0, a pour densité f (x) = Soit Φa sa fonction caractéristique. On admettra que ∀t ∈ R, Φa (t) = 1) Vérifier à l’aide de la définition puis en utilisant la f.c. qu’une v.a. qui suit la loi de Cauchy n’est pas intégrable. 2) Vérifier que si X et Y sont deux v.a. suivant la loi de Cauchy indépendantes de paramètres a et a0 , X + Y suit la loi de Cauchy de paramètre a + a0 . 3) Montrer que si X ∼ Cauchy(a) et α > 0, alors αX ∼ Cauchy(αa). 4) Soit (bn ) une suite de réels strictement positifs et Sn la somme de n v.a. indépendantes suivant la loi de Cauchy de paramètre 1. A quelle condition sur les bn a-t-on convergence en loi de Sbnn ?. Exercice 9 : Soit (Xn )n une suite de v.a.r.. On suppose que ∀n, Xn est uniformément répartie sur l’intervalle [0, n1 ]. 1) calculer la f.c. Φn de Xn . 2) Est-ce-que les v.a. Xn convergent en loi vers une limite X lorsque n → +∞ ? Si oui, quelle est la loi de la limite X ? 3) Posons Yn = nXn . Quelle est la loi de Yn ? 4) On suppose que les Xn sont indépendantes. Soit Sn = Y1 + ... + Yn . Montrer que Snn converge vers une limite non aléatoire m qu’on calculera ; dans quel sens a lieu cette convergence ? converge en loi vers une limite Y dont on déterminera la loi. 5) Montrer que Sn√−nm n Exercice 10 : Soient (Xn )n≥1 et (Yn )n≥1 deux suites de v.a.r. indépendantes et de carré intégrable. On suppose que les Xn suivent la même loi d’espérance µ et de variance σ 2 , et que les Yn suivent la même loi d’espérance ν et de variance τ 2 . On définit pour n ≥ 1 les v.a. : Sn = n X Xk et Tn = k=1 n X Xk Yk . k=1 a) Calculer pour tout n fixé l’espérance et la matrice de covariance de (Sn , Tn ) (qui est un vecteur aléatoire bidimensionnel) en fonction de n, µ, ν, σ 2 , τ 2 . b) Quel est le comportement asymptotique des suites : ( Sn , n ≥ 1) n , ( Tn , n ≥ 1) n c) Quelle est lorsque n → +∞, la limite en loi de la v.a. , Tn√ −νSn n ( Tn − νSn , n ≥ 1) n ? Exercice 11 : Soit X une v.a. de loi uniforme sur ]0, 1[. Pour tout n ∈ N∗ on pose n si 0 ≤ X ≤ n1 Yn = 0 si X < 0 ou X > n1 La suite (Yn ) converge t-elle P -presque sûrement (respectivement, en probabilité, dans L1 ) vers une limite ? Exercice 12 : a) Montrer l’équivalence entre les trois propriétés suivantes : i : Xn → X p.s.; ii : P ( ∪ ∩ ∪ (|Xn − X| > ) = 0; iii : ∀ > 0, P ( lim |Xn − X|) > ) = 0 n→∞ >0 N n>N Soit (Xn )n une suite de v.a. indépendantes et positives. Montrer que Sn = seulement si elle converge en probabilité. Pn k=1 Xk Exercice 13 : Soit (Xk )k une suite de v.a. indépendantes et de même loi : P (Xk = −1) = P (Xk = 1) = 21 . Soit Sn = X1 + ... + Xn pour n ≥ 1. x2 1) Calculer E(exSn ) pour x ∈ R. Montrer que E(exSn ) ≤ en 2 , ∀x > 0. 2) ∀a > 0, ∀x > 0, ∀n ≥ 1, montrer que P (Sn ≥ a) ≤ e−ax E(exSn ). En déduire que P (| Sn |≥ a) ≤ 2e −a2 2n . 2 converge p.s. si et |Sn | 3) On pose a = c(2nLogn)1/2 , avec c > 1. Montrer que p.s. lim sup (2nLogn) 1/2 ≤ 1. Exercice 14 : Soient (Xn )n une suite de variables aléatoires indépendantes de loi U[0; 1], Y une variable aléatoire de loi E(1) et Zn = n min(X1 ; ...; Xn ). L a) Montrer que Zn −→ Y b) Soit X ∼ E(λ), déterminer la loi de la v.a. e−λX . c) Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi E(λ). Déterminer la limite en loi de la suite (An ) définie par An = n min(e−λX1 , e−λX2 ....e−λXn ) Exercice 15 : Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2, tel que lim E(Xn ) = n) Xn +∞ et ( var(X E(Xn ) ) soit une suite bornée. Montrer que E(Xn ) converge vers 1 en probabilité (on pourra commencer par chercher un autre type de convergence). Exercice 16 : Soit (Xk ) une suite de variables aléatoires indépendantes centrées telle que var(Xk ) = σ 2 < 1, on pose : Yk = k Y Xi et Zk = i=1 k 1 X Yj avec α > 0 kα j=1 a) Étudier la variance de Yk , en déduire la convergence en probabilité de la suite (Yk ). b) Même question pour la suite (Zk ). Exercice 17 : (exam 2001) Soit (Xn )n∈N une suite des variables aléatoires à valeurQ dans ]0, +∞[, indépendantes, et suivant la même loi qu’une variable aléatoire X. On pose Zn = ( ni=1 Xi )1/n . On suppose dans la suite que E(X) < ∞ et E(1/X) < ∞. 1) Montrer que ln(X) est une variable aléatoire de carré p √ intégrable. (Indication : on pourra utiliser l’inégalité | ln t| ≤ | t − 1/t|, vraie pour tout t > 0) 2) Soit (Yn )n∈N une suite de variables aléatoires à valeur dans ]0, +∞[. Montrer que Yn −→ m > 0 p.s. ssi ln(Yn ) −→ ln(m) p.s. 3) Montrer que Zn converge presque sûrement vers une constante. (Indication : La loi forte des grands nombres s’applique, mais comment ?) Rappelons que, d’après l’inégalité de Jensen, −∞ ≤ E(f (X)) ≤ f (E(X)) ≤ +∞, lorsque f : R+ → R est une fonction concave. 4) Montrer que l’espérance de Zn est inférieure ou égale à E(X). Exercice 18 : (examen 2000) Soit 0 < θ < 1 et soit X1 , X2 , X3 , . . . une suite des variables aléatoires ayant la même espérance m ∈ R. On suppose de plus que les covariances vérifient |Cov(Xn , Xm )| ≤ θ|n−m| , n, m = 1, 2, 3, . . . 1. Soit X, Y, Z des variables aléatoires. Montrer que Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z). 2. Soit Sn = X1 + · · · + Xn les sommes partielles. Montrer que pour tout n et m : |Cov(Sn , Xm )| ≤ X k∈Z 3. Montrer que var(Sn ) ≤ n(1 + θ)/(1 − θ). 4. Montrer que Sn /n converge en probabilité vers m. 3 θ|k| = 1+θ 1−θ Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F8 : Vecteurs Gaussiens Exercice 1 : Soient Y et Z deux vecteurs gaussiens centrés de matrice de covariance ΓY et ΓZ et M une matrice : 5 2 0 3 2 1 1 0 0 0 ΓY = 2 2 0 ΓZ = 2 2 0 M = 0 1 0 0 1 1 0 1 1 −1 0 a) Écrire les f.c. de Y et de Z. b) Y est-il absolument continu ? Si oui quelle est sa densité ? c) Quelle est la loi de M Y ? d) Déterminer une matrice carrée A telle que Y = AX où X ∼ N (0, D) avec D une matrice diagonale. e) Même question avec A orthogonale. f) Z est-il absolument continu ? g) Déterminer une matrice réelle B telle que Z = BX où X ∼ N (0, J) avec J une matrice diagonale telle que Jii ∈ {0; 1}. Exercice 2 : Soit X un v.a. gaussien centré de matrice de covariance Γ. On suppose que Γ est inversible. t −1 X ∼ χ2 . (c’est la loi de la somme des carrés de k variables aléatoires indépendantes Montrer que XΓ normales centrées réduites). Exercice 3 : Soient X1 , . . . , Xn des v.a. indépendantes suivant la loi N (0, 1). Soient Y = n X n X ai Xi , Z = i=1 bi X i i=1 Pn Montrer que Y et Z sont indépendantes si et seulement si i=1 ai bi = 0. Exercice 4 : Soit X = (X1 ; X2 ; ....; Xn ) un vecteur gaussien de matrice de covariance Γ. Montrer que X1 est indépendant de (X2 ; ....; Xn ) si et seulement si Γi1 = 0 pour tout i supérieur ou égal à 2. Exercice 5 : Soient X1 , . . . , Xn des v.a. indépendantes suivant la loi N (a, σ 2 ). Définissons X= n n i=1 i=1 1 X 1X Xi , S 2 = (Xi − X)2 n n−1 a) Calculer E(X). P P b) Montrer que (Xi − X)2 = (Xi − a)2 − n(X − a)2 en déduire E(S 2 ). c) Posons Yi = Xi − X1 , i = 1, . . . , n. 1. Montrer que X est indépendante de Y2 , . . . , Yn . 2. Montrer que S 2 s’exprime en fonction des Y2 , . . . , Yn . 3. Déduire que S 2 et X sont indépendantes. d) Vérifier que (n − 1)S 2 + σ2 e) Montrer que : Pn i=1 ( Xi −a 2 σ ) X −a √ σ/ n 2 = n X Xi − a 2 i=1 σ . X−a √ )2 suit la loi du χ2 . suit la loi du χ2n , puis que ( σ/ 1 n 1 f) En admettant que la fonction caractéristique de la loi du χ2 avec r degrés de liberté est ( √1−2ti )r . Montrer que (n−1)S 2 σ2 suit la loi du χ2 avec n − 1 degrés de liberté. 1 Exercice 6 : Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi N (0, σ). On pose Y1 = X1 et Yn = aXn−1 + Xn avec a un réel non nul Déterminer la loi de (Y1 ; Y2 ; ...Yn ) Exercice 7 : Soient X1 , X2 , ..., Xn des variables aléatoires indépendantes de loi normale, centrée, réduite. On note : n X S= Xi i=1 a) Le vecteur (X1 , S) est-il un vecteur gaussien ? Quelle est sa loi ? b) Déterminer la loi de X1 sachant S. c) Déterminer l’espérance conditionnelle de X1 sachant S. → − Exercice 8 : (Examen 2000) Soit −1 < γ < 1 et soit X = (X1 , X2 ) un vecteur aléatoire gaussien à valeurs dans R2 ayant pour densité : p 1 − γ2 1 2 2 exp − (x1 − 2γx1 x2 + x2 ) g(x1 , x2 ) = 2π 2 a : Calculer la matrice de covariance de (X1 , X2 ). b : Déterminer la fonction caractéristique de (X1 , X2 ). c : Quelle est la loi de la variable aléatoire X1 ? d : Déterminer la loi du vecteur aléatoire r 1 − γ2 (X1 + X2 , X1 − X2 ) (Y1 , Y2 ) = 2 e : Considérons la convergence en loi sous la limite γ → 1− ; Quelle est la loi du vecteur aléatoire limγ→1− (Y1 , Y2 ) ? Quelle est la loi de limγ→1− (1 − γ 2 )(X12 + X22 ) ? X1 2 1 ~ Exercice 9 : (Examen 2001) Soit X = un vecteur gaussien centré et ΓX = sa matrice X2 1 2 1 a X1 ~ = Y1 de variance. Soit a ∈ R un nombre réel et posons Y = . Y2 −1 1 X2 ~ et calculer sa matrice de variance, ΓY . 1) Déterminer la loi de Y ~ soit un vecteur gaussien dégénéré. 2) Déterminer les valeurs de a ∈ R telles que Y 3) Déterminer les valeurs de a ∈ R telles que Y1 et Y2 soit indépendantes. 4) Déterminer la fonction caractéristique de Y1 (qui dépend de a). 5) Montrer que la variance de Y1 est supérieure ou égale á 3/2. 6) Quelle est la densité de la loi de Y1 par rapport a la mesure de Lebesgue ? Exercice 10 : Soit (Xn )n une suite de variables aléatoires gaussiennes telles que |E(Xn )| ≤ 1, qui converge en loi vers une variable aléatoire X. On note mn = E(Xn ) et σn2 = var(Xn ). 1. Montrer en utilisant les fonctions caractéristiques que la suite (σn2 )n converge. 2. Déterminer en utilisant une sous suite la loi de X. 2 Licence de Mathématiques TD de probabilités 2001/2002 Université de Cergy Pontoise F9 : Chaînes de Markov. Exercice 1 : Soit (Xn )n une chaîne de Markov à valeurs dans [−1; 0; 1; 2], de matrice de transition Π : 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Π= 2 0 1 0 1 0 0 1 1 On suppose de plus que P (X0 = −1) = P (X0 = 0) = P (X0 = 1) = 16 . a) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov. b) Quelle est la loi de X3 . c) Montrer qu’il existe une unique mesure invariante et la déterminer. d) Déterminer : lim P (Xn = k) n→∞ e) Calculer : E(X0 ), E(X1 ) et limn E(Xn ). Exercice 2 : Soit une chaîne de Markov à valeurs dans {A; B; C} dont la matrice de transition est 0 1/2 1/2 1/4 . On note Ni la variable aléatoire modélisant le nombre de transitions avant M = 3/4 0 0 0 1 l’absorption par C, avec un départ en i. a) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov. b) Déterminer la loi de NA . c) Déterminer le nombre moyen de transitions avant absorption, avec un départ de A. d) Pour i 6= C, montrer E(Ni ) = 1 + MiA E(NA ) + MiB E(NB ). Retrouver le résultat précédent. Exercice 3 : L’urne contient N boules blanches. En une étape on tire une boule et on la remplace par une autre boule (blanche avec la probabilité p et noire avec la probabilité q = 1 − p). Soit Xn le nombre de boules blanches après n étapes. a) Est-ce-que Xn est une chaîne de Markov ? b) Déterminer les probabilités pij = P (Xn+1 = j|Xn = i), i, j ∈ {1, . . . , N }. c) Calculer la limite de P (Xn = k) quand n → ∞. Exercice 4 : Soit Xt une chaîne de Markov sur {0, 1, 2, . . . , n, . . .} avec des probabilités de transitions P (Xt+1 = n + 1|Xt = n) = p P (Xt+1 = 0|Xt = n) = 1 − p ∀n où 0 < p < 1. Posons X0 = 0, τ0 = 0 et τn = min{t ≥ 0 : Xt = n}. a) Calculer la limite de P (Xn = k) quand n → ∞. b) Calculer la fonction génératrice et l’espérance de τn . c) Déterminer la loi limite de τn /E(τn ) quand n → ∞. Exercice 5 : Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernouilli de paramètre p. On pose Y0 = 0 et Yn = 0 si Xn = 0 Yn = n si X1 = X2 = ... = Xn = 1 Yn = i si Xn−i = 0 et Xn−i+1 = Xn − i + 2 = ... = Xn = 1 1 a) Montrer que (Yn ) est une chaîne de Markov homogène puis déterminer sa matrice de transition, représenter son graphe de transition. b) Déterminer l’unique probabilité invariante de cette chaîne ? (n) c) Calculer les élément Πij de la matrice Πn . Exercice 6 : (Examen 2000) Soit 0 ≤ p ≤ 12 et considérons une chaîne de Markov (X0 , X1 , ...Xn ) telle que chacune des variables aléatoires Xi prend ses valeurs dans {1, 2, 3} et telle que sa matrice de transition soit donnée par 1 1 p 2 −p 2 1 0 Π = 12 2 p 0 1−p a) Trouver une loi stationnaire pour la matrice Π. Pour quelles valeurs de p, cette loi est-elle unique ? On suppose que P (X0 = 1) = 0, et P (X0 = 2) = P (X0 = 3) = 21 b) Calculer l’espérance E(X1 ) et la variance E(X1 ). c) Selon les valeurs de p, calculer limn→∞ E(Xn ). Exercice 7 : (examen 2001) Soit (Xn )n∈N une chaîne de Markov à valeurs dans N. Pour 0 < p < 1 on suppose que (pour tout n ∈ N) sachant Xn = k avec k ∈ N on aura Xn+1 = k + 1 avec probabilité p et Xn+1 = 0 avec probabilité 1 − p. 1. Décrire la matrice de transition associée (taille infinie). 2. Montrer que pour tout k, n ∈ N on a P (Xn ≥ k) = 0 ⇒ P (Xn+1 > k) = 0. 3. Montrer que pour tout n > 0 on a P (Xn = 0) = 1 − p (quelle que soit la loi de X0 ). 4. Supposons P (X0 = 0) = 1, déterminer la loi de X1 et la loi de X2 . 5. Montrer que la chaîne a une unique loi stationnaire µ∗ , et que Xn converge en loi vers µ∗ . 6. Trouver µ∗ . Exercice 8 : Soit (Xn )n une chaîne de Markov homogène a deux états. 1. Quelle est la forme de sa matrice de transition Π. On suppose que det π 6= 0. 2. Calculer Πn . 3. Montrer qu’il y a une unique mesure invariante : [µ0 , µ1 ]. 4. Étudier les limites de : [0, 0]Πn , [1, 0]Πn , [0, 1]Πn , et [1, 1]Πn . 5. Soit Nn (i, j) le nombre de passage en j en partant de i durant n pas. Montrer que Nn (i, j) = µj n→∞ n lim Exercice 9 : Soit Xn une suite des variables aléatoires indépendantes, de même loi telle que : 1 P Xn = 1 = P Xn = −1 = . 2 P Posons Sn = nk=1 Xk . a) Quelle est la loi de |Sn | ? b) Montrer que |Sn | est une chaîne de Markov et déterminer ses probabilités de transition. c) Soit Mn = max{Sk : 0 ≤ k ≤ n}. 1) En remarquant que toutes les trajectoires possibles ont la même probabilité montrer que P ((Sn < k) ∩ (∪j<n (Sj ≥ k) = P (Sn > k) 2) En déduire P (Mn ≥ k) puis la loi de Mn . d) Vérifier que Yn = Mn − Sn est une chaîne de Markov, déterminer ses probabilités de transition. 2