CIRCUITS EN REGIME CONTINU PERMANENT

CIRCUITS EN REGIME CONTINU
CIRCUITS EN REGIME CONTINU CIRCUITS EN REGIME CONTINU
CIRCUITS EN REGIME CONTINU
PERMANENT
PERMANENTPERMANENT
PERMANENT
Université du Sud - TOULON ~ VAR Génie Electrique et Informatique Industrielle
Institut Universitaire de Technologie
1 Eléments linéaires simples
1.1 Dipôles passifs : R – L - C
1.2 Dipôles actifs vrais : E - J
1.3 Dipôles actifs contrôlés
2 Lois de Kirchhoff
2.1 Loi des nœuds
2.2 Loi des mailles
2.3 Méthode d’utilisation
3 Règles d’association
3.1 Association en série
3.2 Association en dérivation
4 Règles de partage
4.1 Partage de la tension
4.2 Partage du courant
5 Théorème de superposition
6 Théorème de Thévenin / Norton
6.1 Théorème de Thévenin
6.2 Equivalence Thévenin / Norton
6.3 Méthode d’utilisation
6.4 Cas des sources contrôlées
7 Théorème de Millman
8 Transfigurations de Kennely
8.1 Transformation de Π en T (triangle → étoile)
8.2 Transformation de T en Π (étoile → triangle)
M. GARNERO

M. GARNERO Chapitre 2 Page : GE11-2.doc
2
CIRCUITS EN REGIME
CONTINU PERMANENT
Bien qu ‘établies en continu, les résultats de ce
chapitre sont également applicables en
alternatif sinusoïdal.
1 ELEMENTS LINEAIRES
SIMPLES
1.1. Dipôles passifs
On suppose dans ce paragraphe qu’il s’agit de
composants parfaits.
a) La RÉSISTANCE
Cet objet porte, en anglais, le nom de résistor et
en français, légalement il faudrait dire
« conducteur ohmique » cependant, le terme
résistance est un abus de langage très souvent
utilisé. (Cette appellation peut porter à
confusion puisqu’elle confond le nom de l’objet
et une de ses propriétés – comme le mètre par
exemple). On pourrait dire « Résisteur ».
Une résistance est un dipôle qui répond à la loi
d’Ohm, c’est à dire pour lequel l’intensité qui le
traverse est proportionnelle à la tension qu’on lui
applique. Le coefficient de proportionnalité est
appelé « Conductance », il est noté « G » et se
mesure en Siemens [S]. Il est cependant d’usage
d’utiliser son inverse, la « Résistance » notée
« R » qui, elle, se mesure en Ohm [Ω
ΩΩ
Ω].
i = G.v =
R
1
v
Le courant est la conséquence de la tension
appliquée (donc réellement v est antérieur à i
mais l’écart est si faible qu’on peut admettre la
simultanéité).
La loi de commande, c’est à dire la loi qui permet
de connaître quelle tension il faut appliquer pour
obtenir un courant désiré, s’obtient simplement :
si i =
R
1
v → v = R.i
Ces deux formes de la loi d’ohm sont valables
pour une orientation « Récepteur » (flèche de
tension et chevron de courant en sens inverses).
Si la convention « Générateur » avait été
adoptée elles deviendraient évidemment :
i = - G.v ou v = - R.i
La résistance transforme toute l’énergie qu’elle
reçoit en chaleur. La puissance dissipée vaudra :
p = v.i = R.i.i p = R.i
2
( loi de Joule )
En électronique, c’est un composant très utilisé,
l’ordre de grandeur le plus fréquent est le kilo-
Ohm ( ½ ou ¼ W).
En électrotechnique on n’utilise peu de
composant résistif en tant que tel mais les
dispositifs ont une résistance propre que l’on
s’efforce de réduire (afin de diminuer les
pertes)
b Le CONDENSATEUR
( capacitor en anglais) C’est un dipôle qui
accumule toute l’énergie qu’il reçoit en la
transformant en champ électrique entre ses
armatures. La tension qui en découle est
proportionnelle à la charge en réserve.
v =
C
1
.q
Le coefficient « C » est la
« Capacité » en Farad [F].
Le comportement est similaire à celui d’un
réservoir que l’on remplirait avec un débit i. La
hauteur de liquide v étant proportionnelle à la
quantité totale contenue (et inversement
proportionnelle à la surface au sol du réservoir).
La quantité d’électricité en réserve, donc la
tension à ses bornes dépend de l’historique des
« remplissages » et « vidanges » successives
depuis sa création. Le condensateur a une
« mémoire » de son passé.
Pour connaître la tension à ses bornes à une
date t
1
il faut faire : v
(t1)
=
C
1
.q
(t1)
et q
(t1)
s’obtient en ‘ intégrant ’ tout le passé.
dt
i
q
t
t
t
∫
∞−
=
1
)(
)1(
→ dt
iv
t
tt
∫
∞−
=
1
)()1(
C
1
(en supposant qu’à sa création le condensateur
était vide)
Si on connaît la charge (donc la tension) à une
date t
0
on peut en déduire la tension à une date
t
1
ultérieure :
v
i
R
v
i
C
i
v

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3
dt
iv
t
tttt
∫
+=
1
0)()0()1(
C
1
V
avec
C
V
)0(
)0(
q
t
t
=
On généralise cette équation à pour une date t
positive quelconque et en appelant V
0
la tension
à la date t = 0 par :
τ
τ
d
iv
t
t
∫
+=
0)(0)(
C
1
V
(on adopte ici deux désignations du temps τ et t afin de ne
pas confondre la variable et la borne d’intégration)
La tension aux bornes d’un condensateur est
donc la conséquence du passage du courant.
Si l’on cherche la loi de commande, c’est à dire si
l’on désire connaître le courant nécessaire pour
évolution de tension donnée, il faut dériver la
formule précédente qui donnera :
dt
dv
=
dt
d
i
d
t
)
C
1
(V
0)(
0
τ
τ
∫
+
= 0 +
C
1
i (t) ou encore
i (t) = C
dt
dv
Nous pouvons déduire de cette analyse trois
propriétés fondamentales :
- En régime périodique, c’est à dire lorsque la
tension reprend périodiquement la même
valeur, la valeur moyenne du courant qui a
traversé le condensateur est obligatoirement
nulle. En effet si V
(t1+T)
= V
(t1)
c’est que ∆q est
nul donc I
Cmoy
= 0
- Lors d’une commande en tension, si l’on tente
de la faire varier très rapidement, il s’en suit
un appel de courant très important. Plus
dt
dv
est grand plus i (t) l’est également. A la limite
si l’on tentait de lui faire subir une
discontinuité de tension, le courant serait
infini.
- En « ontinu », (donc pour des tensions
constantes dans le temps) 0=
dt
dv
donc i (t)
=0 le courant est nul.
L’énergie en réserve dans le condensateur ne
dépend que de sa charge, donc de la tension à
ses bornes. Elle s’écrit :
W = ½ C V
2
Un condensateur de 1 000µF chargé sous 300 V
ne possède en réserve que W = 45 J soit
12,5 10
-6
kWh c’est à dire de quoi allumer une
ampoule de 100 W pendant une demi-seconde.
Notes personnelles
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c La BOBINE d’Inductance
( Inductor , coil ou self en anglais)
C’est un dipôle qui accumule toute l’énergie qu’il
reçoit en la transformant en champ magnétique.
Le courant nécessaire à maintenir cette énergie
est proportionnel au flux magnétique en réserve.
i =
L
1
.Φ
Le coefficient « L » est l’
« Inductance » en Henry
[H].
Le comportement est similaire à celui d’une
sonde spatiale que l’on propulserait avec une
impulsion v. La vitesse i étant proportionnelle à
la quantité de mouvement totale (et inversement
proportionnelle à la masse de la sonde).
La quantité de flux en réserve, donc le courant
qui la traverse dépend de l’historique des
« tensions » successives depuis sa création. La
bobine a une « mémoire » de son passé.
Pour connaître le courant à une date t
1
il faut
faire : i
(t1)
=
L
1
.Φ
(t1)
et Φ
(t1)
s’obtient en
‘ intégrant ’ tout le passé.
dt
v
t
t
t
∫
∞−
=
Φ
1
)(
)1(
→ dt
vi
t
tt
∫
∞−
=
1
)()1(
L
1
(en supposant qu’à sa création la bobine était
vide)
Si on connaît le flux (donc le courant) à une date
t
0
on peut en déduire le courant à une date t
1
ultérieure :
dt
vi
t
tt
t
t
∫
+=
1
0)(
)0(
)1(
L
1
I
avec
C
I
)0(
)0(
Φ
=
t
t
On généralise cette équation à pour une date t
positive quelconque et en appelant I
0
le courant
à la date t = 0 par :
τ
τ
d
vi
t
t
∫
+=
0)(
0
)(
L
1
I
Le courant au travers d’une bobine est donc la
conséquence de l’application d’une tension.
Si l’on cherche la loi de commande, c’est à dire si
l’on désire connaître la tension nécessaire pour
une évolution de courant donnée, il faut dériver
la formule précédente :
dt
di
= = 0 +
L
1
v (t) ou encore
v (t) = L
dt
di
Nous pouvons déduire de cette analyse trois
propriétés fondamentales :
- En régime périodique, c’est à dire lorsque le
courant reprend périodiquement la même
valeur, la valeur moyenne de la tension qui a
été appliquée à la bobine est obligatoirement
nulle. En effet si I
(t1+T)
= I
(t1)
c’est que ∆Φ est
nul donc V
Lmoy
= 0
- Lors d’une commande en courant, si l’on tente
de le faire varier très rapidement, il s’en suit
une variation de tension très importante. Plus
dt
di
est grande plus v (t) l’est également. A la
limite si l’on tentait de lui faire subir une
discontinuité de courant, la tension serait
infinie. (cf cas de l’ouverture inopinée d’un
circuit inductif qui provoque un arc
électrique)
- En « continu », (donc pour des courants
constants dans le temps) 0=
dt
di
donc v (t) =0
le courant est nul.
L’énergie en réserve dans la bobine ne dépend
que de son flux, donc du courant qui la traverse.
Elle s’écrit :
W = ½ L I
2
Une bobine de 1 H traversée par un courant de
100 A possède en réserve W = 5 000 J soit
1,39 10
-3
kWh c’est à dire de quoi allumer une
ampoule de 100 W pendant 50 secondes.
(soit cent fois plus que dans l’exemple du condensateur !)
1.2. Dipôles ACTIFS VRAIS
Un dipôle actif peut fournir (ou faire
disparaître en permanence de l’énergie
électrique dans un circuit. Il réalise la
transformation W
xx
→ W
elec
(ou la
transformation inverse). On appelle
caractéristique du dipôle la courbe des
variations de v en fonction de i (cette
caractéristique est dite externe pour une
orientation générateur et interne pour une
orientation récepteur).
v
i
L
v
i
V
0
Tension
à circuit ouvert
I
CC
Courant
de court-circuit
V
0
I
CC
I
N
V
N
N
Point nominal
0

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V
0
est la tension à vide (on devrait dire à circuit
ouvert), alors que I
CC
est le courant de court-
circuit. V
N
et I
N
définissent le point nominal,
c’est à dire la valeur extrême au delà de laquelle
il ne faut pas aller sous peine de destruction du
dipôle. Dans le cas proposé sur la figure
précédente, la partie utile de la caractéristique
se situe entre 0 et I
N
, on dira que ce dipôle est
une source de tension. On peut laisser ce dipôle
en circuit ouvert mais pas le court-circuiter.
Dans le cas ci-dessous, la partie utile se situe
entre I
N
et I
CC
, on dira qu’il s’agit d’une source
de courant.
On peut court-circuiter ce dipôle mais pas le.
laisser en circuit ouvert. On peut laisser ce
dipôle en circuit ouvert mais pas le court-
circuiter.
a) La source de TENSION (parfaite)
On dit également l’électromoteur de tension.
La tension nominale est égale à la tension à vide,
il n’y a pas de chute de tension en charge.
La tension aux bornes de ce dipôle lui est
propre, elle ne dépend pas du courant qui le
traverse. Cette tension peut être « continue »
ou « variable ».
Notes personnelles
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v
i
E
v
(t)
= E
(t)
quel que soit i
(t)
I
CC
Courant
de court-circuit
v
i
V
0
Tension
à circuit ouvert
V
0
I
CC
I
N
V
N
N
Point nominal
0
v
i
I
CC
Courant
de court-circuit à l’infini
V
0
I
N
N
0