CIRCUITS EN REGIME CONTINU PERMANENT

Université du Sud - TOULON ~ VAR
Institut Universitaire de Technologie
Génie Electrique et Informatique Industrielle
CIRCUITS EN REGIME CONTINU
PERMANENT
1 Eléments linéaires simples
1.1 Dipôles passifs : R – L - C
1.2 Dipôles actifs vrais : E - J
1.3 Dipôles actifs contrôlés
2
Lois de Kirchhoff
2.1 Loi des nœuds
2.2 Loi des mailles
2.3 Méthode d’utilisation
3
Règles d’association
3.1 Association en série
3.2 Association en dérivation
4
Règles de partage
4.1 Partage de la tension
4.2 Partage du courant
5
Théorème de superposition
6
Théorème de Thévenin / Norton
6.1
6.2
6.3
6.4
Théorème de Thévenin
Equivalence Thévenin / Norton
Méthode d’utilisation
Cas des sources contrôlées
7
Théorème de Millman
8
Transfigurations de Kennely
8.1 Transformation de Π en T (triangle → étoile)
8.2 Transformation de T en Π (étoile → triangle)
M. GARNERO
Ces deux formes de la loi d’ohm sont valables
pour une orientation « Récepteur » (flèche de
tension et chevron de courant en sens inverses).
CIRCUITS EN REGIME
CONTINU PERMANENT
Bien qu ‘établies en continu, les résultats de ce
chapitre sont également applicables en
alternatif sinusoïdal.
1
1.1.
ELEMENTS LINEAIRES
SIMPLES
On suppose dans ce paragraphe qu’il s’agit de
composants parfaits.
a)
La RÉSISTANCE
Cet objet porte, en anglais, le nom de résistor et
en français, légalement il faudrait dire
« conducteur ohmique » cependant, le terme
résistance est un abus de langage très souvent
utilisé. (Cette appellation peut porter à
confusion puisqu’elle confond le nom de l’objet
et une de ses propriétés – comme le mètre par
exemple). On pourrait dire « Résisteur ».
Une résistance est un dipôle qui répond à la loi
d’Ohm, c’est à dire pour lequel l’intensité qui le
traverse est proportionnelle à la tension qu’on lui
applique. Le coefficient de proportionnalité est
appelé « Conductance », il est noté « G » et se
mesure en Siemens [S]. Il est cependant d’usage
d’utiliser son inverse, la « Résistance » notée
« R » qui, elle, se mesure en Ohm [Ω
Ω].
i
v
R
v
Le courant est la conséquence de la tension
appliquée (donc réellement v est antérieur à i
mais l’écart est si faible qu’on peut admettre la
simultanéité).
La loi de commande, c’est à dire la loi qui permet
de connaître quelle tension il faut appliquer pour
obtenir un courant désiré, s’obtient simplement :
i= 1 v→
R
M. GARNERO
v = R.i
Chapitre 2
p = R.i2
(loi de Joule)
En électronique, c’est un composant très utilisé,
l’ordre de grandeur le plus fréquent est le kiloOhm ( ½ ou ¼ W).
En électrotechnique on n’utilise peu de
composant résistif en tant que tel mais les
dispositifs ont une résistance propre que l’on
s’efforce de réduire (afin de diminuer les
pertes)
b Le CONDENSATEUR
(capacitor en anglais) C’est un dipôle qui
accumule toute l’énergie qu’il reçoit en la
transformant en champ électrique entre ses
armatures. La tension qui en découle est
proportionnelle à la charge en réserve.
i
v = 1 .q
C
C
Le coefficient « C » est la
« Capacité » en Farad [F].
v
Le comportement est similaire à celui d’un
réservoir que l’on remplirait avec un débit i. La
hauteur de liquide v étant proportionnelle à la
quantité totale contenue (et inversement
proportionnelle à la surface au sol du réservoir).
La quantité d’électricité en réserve, donc la
tension à ses bornes dépend de l’historique des
« remplissages » et « vidanges » successives
depuis sa création. Le condensateur a une
« mémoire » de son passé.
Pour connaître la tension à ses bornes à une
i = G.v = 1 v
R
si
La résistance transforme toute l’énergie qu’elle
reçoit en chaleur. La puissance dissipée vaudra :
p = v.i = R.i.i
Dipôles passifs
i
Si la convention « Générateur » avait été
adoptée elles deviendraient évidemment :
i = - G.v ou v = - R.i
Page : 2
date t1 il faut faire : v(t1) =
1 .q et q(t1)
C (t1)
s’obtient en ‘intégrant’ tout le passé.
t1
q(t1)= ∫ i(t)dt
−∞
→
1 t1 i dt
v(t1)= C
∫−∞ (t)
(en supposant qu’à sa création le condensateur
était vide)
Si on connaît la charge (donc la tension) à une
date t0 on peut en déduire la tension à une date
t1 ultérieure :
GE11-2.doc
t1
1 i dt
v(t1)=V(t0)+ C
∫t0 (t)
avec
V(t0)=
Notes personnelles
q (t0)
C
On généralise cette équation à pour une date t
positive quelconque et en appelant V0 la tension
à la date t = 0 par :
t
1 i dτ
v(t)=V0+ C
∫0 (τ)
(on adopte ici deux désignations du temps τ et t afin de ne
pas confondre la variable et la borne d’intégration)
La tension aux bornes d’un condensateur est
donc la conséquence du passage du courant.
Si l’on cherche la loi de commande, c’est à dire si
l’on désire connaître le courant nécessaire pour
évolution de tension donnée, il faut dériver la
formule précédente qui donnera :
t
d(V0+ 1 ∫ i (τ)dτ)
C 0
dv =
= 0 + 1 i(t)
dt
dt
C
i(t) = C dv
dt
ou encore
Nous pouvons déduire de cette analyse trois
propriétés fondamentales :
- En régime périodique, c’est à dire lorsque la
tension reprend périodiquement la même
valeur, la valeur moyenne du courant qui a
traversé le condensateur est obligatoirement
nulle. En effet si V(t1+T) = V(t1) c’est que ∆q est
nul donc ICmoy = 0
- Lors d’une commande en tension, si l’on tente
de la faire varier très rapidement, il s’en suit
un appel de courant très important. Plus
-
dv
dt
est grand plus i(t) l’est également. A la limite
si l’on tentait de lui faire subir une
discontinuité de tension, le courant serait
infini.
En « ontinu », (donc pour des tensions
dv
constantes dans le temps)
= 0 donc i(t)
dt
=0 le courant est nul.
L’énergie en réserve dans le condensateur ne
dépend que de sa charge, donc de la tension à
ses bornes. Elle s’écrit :
W = ½ C V2
Un condensateur de 1 000µF chargé sous 300 V
ne possède en réserve que W = 45 J soit
12,5 10-6 kWh c’est à dire de quoi allumer une
ampoule de 100 W pendant une demi-seconde.
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 3
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GE11-2.doc
c
La BOBINE d’Inductance
(Inductor , coil ou self en anglais)
C’est un dipôle qui accumule toute l’énergie qu’il
reçoit en la transformant en champ magnétique.
Le courant nécessaire à maintenir cette énergie
est proportionnel au flux magnétique en réserve.
i
i = 1 .Φ
L
L
Le coefficient « L » est l’
« Inductance » en Henry
[H].
v
Nous pouvons déduire de cette analyse trois
propriétés fondamentales :
- En régime périodique, c’est à dire lorsque le
courant reprend périodiquement la même
valeur, la valeur moyenne de la tension qui a
été appliquée à la bobine est obligatoirement
nulle. En effet si I(t1+T) = I(t1) c’est que ∆Φ est
nul donc VLmoy = 0
- Lors d’une commande en courant, si l’on tente
de le faire varier très rapidement, il s’en suit
une variation de tension très importante. Plus
di est grande plus v(t) l’est également. A la
dt
Le comportement est similaire à celui d’une
sonde spatiale que l’on propulserait avec une
impulsion v. La vitesse i étant proportionnelle à
la quantité de mouvement totale (et inversement
proportionnelle à la masse de la sonde).
La quantité de flux en réserve, donc le courant
qui la traverse dépend de l’historique des
« tensions » successives depuis sa création. La
bobine a une « mémoire » de son passé.
Pour connaître le courant à une date t1 il faut
faire : i(t1) =
1 .Φ et Φ(t1) s’obtient en
L (t1)
‘intégrant’ tout le passé.
t1
Φ(t1)=∫−∞v(t)dt
(en supposant qu’à sa création la bobine était
vide)
Si on connaît le flux (donc le courant) à une date
t0 on peut en déduire le courant à une date t1
ultérieure :
avec
Φ(t0)
I(t0)= C
On généralise cette équation à pour une date t
positive quelconque et en appelant I0 le courant
à la date t = 0 par :
1 tv dτ
i (t)=I0+ L
∫0 (τ)
Le courant au travers d’une bobine est donc la
conséquence de l’application d’une tension.
Si l’on cherche la loi de commande, c’est à dire si
l’on désire connaître la tension nécessaire pour
une évolution de courant donnée, il faut dériver
la formule précédente :
di = = 0 + 1 v(t)
dt
L
ou encore
v(t) = L di
dt
M. GARNERO
constants dans le temps)
Chapitre 2
W = ½ L I2
Une bobine de 1 H traversée par un courant de
100 A possède en réserve W = 5 000 J soit
1,39 10-3 kWh c’est à dire de quoi allumer une
ampoule de 100 W pendant 50 secondes.
(soit cent fois plus que dans l’exemple du condensateur !)
1.2.
Dipôles ACTIFS VRAIS
Un dipôle actif peut fournir (ou faire
disparaître en permanence de l’énergie
électrique dans un circuit. Il réalise la
transformation Wxx → Welec (ou la
transformation inverse). On appelle
caractéristique du dipôle la courbe des
variations de v en fonction de i (cette
caractéristique est dite externe pour une
orientation générateur et interne pour une
orientation récepteur).
v
V0 Tension
V0
à circuit ouvert
N Point nominal
VN
ICC Courant
de court-circuit
0
Page : 4
di
= 0 donc v(t) =0
dt
le courant est nul.
L’énergie en réserve dans la bobine ne dépend
que de son flux, donc du courant qui la traverse.
Elle s’écrit :
t1
1 v dt
i (t1)= L
∫−∞ (t)
→
1 t1v dt
i (t1)=I(t0)+ L
∫t0 (t)
-
limite si l’on tentait de lui faire subir une
discontinuité de courant, la tension serait
infinie. (cf cas de l’ouverture inopinée d’un
circuit inductif qui provoque un arc
électrique)
En « continu », (donc pour des courants
ICC
IN
GE11-2.doc
i
V0 est la tension à vide (on devrait dire à circuit
ouvert), alors que ICC est le courant de courtcircuit. VN et IN définissent le point nominal,
c’est à dire la valeur extrême au delà de laquelle
il ne faut pas aller sous peine de destruction du
dipôle. Dans le cas proposé sur la figure
précédente, la partie utile de la caractéristique
se situe entre 0 et IN, on dira que ce dipôle est
une source de tension. On peut laisser ce dipôle
en circuit ouvert mais pas le court-circuiter.
Dans le cas ci-dessous, la partie utile se situe
entre IN et ICC, on dira qu’il s’agit d’une source
de courant.
v
V0 Tension
V0
à circuit ouvert
N Point nominal
VN
ICC Courant
de court-circuit
0
IN
ICC
i
On peut court-circuiter ce dipôle mais pas le.
laisser en circuit ouvert. On peut laisser ce
dipôle en circuit ouvert mais pas le courtcircuiter.
La source de TENSION (parfaite)
a)
v
V0
N
ICC Courant
de court-circuit à l’infini
0
IN
i
On dit également l’électromoteur de tension.
La tension nominale est égale à la tension à vide,
il n’y a pas de chute de tension en charge.
La tension aux bornes de ce dipôle lui est
propre, elle ne dépend pas du courant qui le
traverse. Cette tension peut être « continue »
ou « variable ».
i
E
v(t) = E(t) quel que soit i(t)
v
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 5
Notes personnelles
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GE11-2.doc
b)
La source de COURANT (parfaite)
v
V0 Tension à circuit ouvert
Dans le cas général théorique, on peut donner
deux représentations équivalentes d’une même
source.
v
à l’infini.
Thévenin
V0 = ET
Norton
N
VN
0
0
IN
i
i
On dit également l’électromoteur de courant.
Le courant nominal est égal au courant de courtcircuit. Il n’y à pas de chute de courant en
charge. Le courant au travers de ce dipôle lui
est propre, il ne dépend pas de la tension à ses
i
bornes.
J
Dipôles ACTIFS CONTRÔLES
La source de TENSION (contrôlée)
La tension aux bornes de ce dipôle ne dépend
pas du courant qui le traverse mais par contre,
elle est contrôlée par une autre grandeur
physique dans le système. Cela peut être une
grandeur électrique ou mécanique.
i
v(t) = E(t) quel que soit i(t)
E
mais E est contrôlée par une
v
autre grandeur physique
b)
La source de COURANT (contrôlée)
Le courant au travers de ce dipôle ne dépend
pas de la tension à ses bornes mais par contre, il
est contrôlé par une autre grandeur physique
dans le système. Cela peut être une grandeur
électrique ou mécanique.
i
i(t) = J(t) quelle que soit v(t)
mais J est contrôlé par une
autre grandeur physique
i
JN
RT
v
v
RN
ET
Modèle équivalent
de Norton
Modèle équivalent
de Thévenin
v
i(t) = J(t) quelle que soit v(t)
a)
i
ICC = JN
Dans un cas on considère que la caractéristique
est une horizontale et on traduit la chute de
tension par l’adjonction d’une résistance en
série.
Dans l’autre cas on considère la caractéristique
comme une verticale et on attribue la chute de
courant à une résistance en dérivation. Mais
nous aurons :
V0 = E T
ICC = JN
RT = RN = R = ET/JN
ce qui donne : ET = R.JN
Dans la pratique la caractéristique est
rarement linéaire et il est fréquent d’avoir la
forme ci-dessous
v
Tension à circuit ouvert
V0
F.e.m. de Thévenin
ET
J
N
v
VN
Domaine de linéarité
0
i
IN
ICC
JN
Courant
de court-circuit
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 6
GE11-2.doc
Courant
de Norton
2
Notes personnelles
Lois de Kirchhoff
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On peut également écrire :
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v1 - v2 + v3 - v4 + v5 = 0
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2.1
Loi des nœuds
Un nœud est le point de concours d’au moins
trois branches. Comme il n’y a pas d’accumulation
du courant en un point, la somme des courants
orientés vers le nœud est égale à celle des
courants orientés en sens inverse.
i2
i1 + i3 + i5 = i2 + i4
i3
i5
N
i4
Remarque : La forme arithmétique indiquant que la somme
des courant qui arrivent à un nœud est égale à celle des
courants qui en partent n’a que peu d’intérêt. Elle suppose en
effet que l’on connaisse le sens réel des courants à priori.
2.2
Loi des mailles
Une maille est un parcours fermé qu’on peut se
frayer dans un circuit. Elle a un point de départ
(qui est identique au point d’arrivée) et un sens
de parcours.
Puisque le potentiel du point de départ est le
même que celui du point d’arrivée c’est que la
somme des tensions orientées dans le sens du
parcours est égale à celle des tensions orientées
en sens inverse.
v2
A
B
v3
v1 + v3 + v5 = v2 + v4
C
Maille EABCDE
v1
Départ
v4
E
D
v5
Sens de parcours
en comptant positivement les tensions orientées
dans le sens de parcours et négativement celles
orientées en sens inverse.
De même si l’on rencontre une résistance
parcourue par un courant, en admettant une
orientation "récepteur pour celle-ci cela donne :
v2
A
B
i3
R3
v1 - v2+ R3i3 - v4+ R5i5 = 0
C
v1
v4
M. GARNERO
Chapitre 2
E
i5
R5
D
Page : 7
GE11-2.doc
2.2
En utilisant la loi des nœuds et des mailles on
peut résoudre n’importe quel circuit linéaire.
Pour cela il faut :
- Dénombrer les nœuds et les repérer par des
lettres. Si le montage possède N nœuds, on
écrira N-1 lois des nœuds.
- Dénombrer les branches et orienter les
courants dans chacune d’elles.
Si le circuit comprend N nœuds et B branches
on peut écrire N – 1 lois des nœuds. Il faut
ensuite chercher B – (N – 1) mailles
indépendantes afin d’appliquer autant de fois la
loi des mailles. On commence par prendre une
maille minimale puis on en construit d’autres en
choisissant chaque fois un élément différent.
On se trouve alors en présence d’un système de
B équations à B inconnues (les B courants de
branche) que l’on peut résoudre.
Cette méthode est très rigoureuse et permet
d’atteindre le résultat de façon certaine.
Cependant, elle est souvent fastidieuse surtout
si le nombre de branches est important.
Toutefois, elle constitue une méthode
satisfaisante lors de la mise en équation
automatique des réseaux utilisée par les
logiciels de simulation.
3
Règles d’association
3.1
Association en série
i
v1
Le courant i commun à tous les condensateurs a
transporté une charge Q au total. Cette charge
Q
Q
Q
va donner V1 =
, V2 =
, V3 =
, mais
C1
C2
C3
Q
également VT =
, comme VT = V1 + V2 + V3
Ceq
Dans le cas particulier de 2 condensateurs cela
donne :
1 = 1 + 1 soit Ceq = C1.C2
Ceq C1 C2
C1+C2
2.2
Association en dérivation
Des résistances ou des condensateurs associés
en dérivation sont soumis à la même tension. Le
courant total est égal à la somme qui traverse
chacun d’eux. Ainsi la conductance (ou la
capacité) équivalente à l’ensemble est égale à la
somme des conductances :
R1 ‖ R2 ‖ R3 ⇔ Geq = G1 + G2 + G3
C1 ‖ C2 ‖ C3 ⇔ Ceq = C1 + C2 + C3
ce qui donne :
R1 ‖ R2 ‖ R3 ⇔
1 = 1 + 1 + 1
Leq L1 L2 L3
Dans le cas particulier de 2 résistances cela
donne : Req =
R1.R2
R1+ R2
Pour N résistances identiques en dérivation nous
aurons : Req =
R1
N
4
Règles de partage
3.1
Partage des tensions
Lorsque deux résistances R1 et R2 en série se
partagent une tension totale VT , la tension aux
bornes de l’une vaut le produit de sa résistance
par le courant. Ce dernier est limité par la
somme des deux résistances.
i
v3
v = v1 + v2 + v3 = R1.i + R2.i + R3.i =Req.i
R1 ⊕ R2 ⊕ R3 ⇔ Req = R1 + R2 + R3
L1 ⊕ L2 ⊕ L3 ⇔ Leq = L1 + L2 + L3
Cela donne :
Dans le cas particulier de N éléments identiques
R1 cela donnera : Req = N. R1
v1 = R1 i
Pour des condensateurs puisque la tension est
inversement proportionnelle à la capacité nous
aurons :
v1 =
M. GARNERO
Chapitre 2
1 = 1 + 1 + 1
Re q R1 R2 R3
Pour des bobines, le courant étant inversement
proportionnel à l’inductance nous aurons :
L1 ‖ L2 ‖ L3 ⇔
Pour des résistances ou des bobines lorsqu’elles
sont associées en série, elles sont traversées
par le même courant, la tension totale est égale
à la somme des tensions aux bornes de chacune
d’elles. Ainsi la résistance (ou l’inductance)
équivalente à l’ensemble est égale à la somme
des résistances :
v
v2
1 = 1 + 1 + 1
Ceq C1 C2 C3
C1 ⊕ C2 ⊕ C3 ⇔
Méthode d’utilisation
Page : 8
R1 .v
R1+ R2 T
i=
vT
R1+ R2
R2
vT
R1
GE11-2.doc
v1
Notes personnelles
S’il y avait plus de deux résistances mais toutes
en série, le dénominateur serait égal à la somme
de ces résistances.
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S’il y avait plus de deux résistances mais toutes
en dérivation, le dénominateur serait égal à la
somme des conductances.
En posant Geq = G1 + G2 + G3 + …. et Req = 1
Geq
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cela donne :
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Re q
i1 = G1 .iT =
.iT
Geq
R1
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La linéarité traduit le fait qui si R1 est la
réponse à une stimulation S1 et R2 celle à S2
alors la réponse R3 à une stimulation
S3 = a.S1 + b.S2 sera R3 = a.R1 + b.R2
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En conséquence, dans un circuit linéaire
comprenant plusieurs sources, le courant dans
une branche est une combinaison linéaire de
l’action de chacune de ces sources prise
séparément les autres étant neutralisées.
On peut donc, pour le calculer, additionner les
courants élémentaires créés par chacune des
sources prises séparément (en annulant toutes
les autres).
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3.2
Partage des courants
Lorsque deux résistances R1 et R2 se partagent
un courant total IT , le courant dans l’une vaut le
produit de sa conductance par la tension.
Cette dernière est liée à la somme des deux
conductances. Cela donne :
iT
v = iT
G1+G2
i1 = G1 v
i1
R2
R1
i1 =
v
G1 .i = R2 .i
G1+G2 T R1+ R2 T
En remplaçant G par 1/R
5
Théorème de superposition
i3
IC
EA
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 9
GE11-2.doc
interne en série. Le problème se ramène alors à
un circuit à une seule maille, très simple.
i3A
A
EA
iB
RT
RB
i3B
EB
EB
EB + RBIB + RTIB – ET = 0
ET
B
i3C
Le théorème de Thévenin exprime que tout
réseau linéaire complexe vu de deux points, peut
être remplacé par une source de Thévenin
équivalente.
IC
RD
RA
i3 = i3A + i3B + i3C
Ce qui est valable pour les courants l’est aussi
pour les tensions.
6
IC
A
RC
EA
B
Théorème de Thévenin / Norton
6.1
RD
Théorème de Thévenin
A
Lorsqu’on ne s’intéresse qu’à un seul courant
dans une branche d’un réseau complexe (ou à une
seule tension), on peut considérer d’une part
cette branche, d’autre part le reste du réseau.
RA
IA
RC
RA
B
EC
RD
A
iB
RB
EA
IC
RC
A
I’C
IA
EB
R’C
RA
B
B
A
A
iB
RT
Tout le reste du
circuit sauf B
RB
RT
A
A
IX
EA, RA, IC, RC, RD
EB
B
B
B
ET
RX
ET
B
Equivalent de Thévenin
Si le reste du réseau est linéaire, on peut lui
trouver un équivalent de Thévenin qui ne
comprendrait qu’une f.e.m. et une résistance
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 10
Une série de transformations Thévenin/Norton
et de regroupements conduit au résultat.
GE11-2.doc
6.2
Notes personnelles
Théorème de Norton
C’est le dual du précédent qui indique que tout
réseau linéaire complexe vu de deux points peut
être remplacé par une source de Norton
équivalente.
A
A
iB
Tout le reste du
circuit sauf B
RB
RN
JN
EA, RA, IC, RC, RD
EB
B
B
Equivalent de Norton
Compte tenu des équivalences T/N nous aurons :
JN = ET ou ET = Req JN
Req
RT = RN = Req
6.3
Méthode d’utilisation
Afin de se ramener à un problème simple, il faut
donc déterminer deux éléments parmi ET, Req ou
JN. Le circuit étant linéaire, le dipôle actif
équivalent aura comme caractéristique une
droite passant par V0 = ET et ICC = JN.
ET est donc égale à la tension VAB à circuit
ouvert et JN au courant IAB en court-circuit.
Ainsi, en prenant l’exemple du circuit
précédent :
RD
RA
A
EA
VAB0 = ET
RC
IC
B
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En utilisant le théorème de Millman (cf § 6) on
obtient assez facilement :
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EA.(RC+ RD) + RA.RC.IC
ET =
RA + RB + RC
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Cependant, il est encore plus facile de calculer
le courant de court-circuit . En utilisant le
théorème de superposition on obtient :
JN = EA + RCIC
R A R C + RD
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 11
GE11-2.doc
RA
RD
A
L’annulation de toutes les sources donnerait :
IABCC = JN
RCM ⇔ RC ‖ RB
IC
RC
RC
EA
Mais ce résultat est
faux, RCM n’est pas la
résistance équivalente
de Thévenin !
RB
C
B
M
Enfin s’il est possible, pour connaître Req de
faire le rapport de TT sur JN, il est plus simple
de chercher Req directement sur le montage. Il
suffit, pour cela de calculer la résistance
équivalente entre les points A et B lorsqu’on a
rendu les sources passives. C’est à dire quand on
annule la partie active (il suffit sur le schéma de
faire disparaître les ronds)
RA
RD
A
Req =
veq ⇔ R ‖ R ‖ veq
C
B
ieq
βi B
RC
RB
ieq
C
βiB
iB
veq
M
Nous trouvons dans ce cas :
Req = veq ⇔ RC ‖ RB ‖ RB
ieq
β
RAB = Req
EA = 0
IC = 0
RC
qui est très différent du résultat précédent.
La méthode en présence de sources contrôlées
consiste à appliquer fictivement une tension Veq
et à calculer le courant Ieq qui en découle.
La résistance équivalente étant le rapport de
Veq sur Ieq.
B
Dans l’exemple Req ⇔ RA ‖ (RD ⊕ RC)
6.4
7
Cas des sources contrôlées
Dans l’exemple traité précédemment, toutes les
sources étaient des sources vraies (des ronds).
Lorsque le montage comprend des sources
contrôlées (des losanges), il faut être plus
vigilent lors du calcul de Req. En effet
l’annulation de toutes les sources conduit à un
résultat faux. Seules les sources vraies
doivent être rendues passives, pas les sources
contrôlées.
Traitons un autre exemple :
Soit à calculer la résistance équivalente vue de
CM sur le montage ci-dessous.
VCC
RC
VCC
MTE
RB
RC
eB
M
iA
RA
P
iC
RC
A
C
iM
vB
vA
vP
vC
RM
M
vA − vP
RA
v
iM = P
RM
vA
vB
+
+
RB
RA
iA =
C
iB
Il s’agit d’un « raccourci » permettant de
calculer rapidement le potentiel d’un point
lorsqu’on connaît ceux des points voisins
(adjacents)
RB
B
iB
La loi des nœuds en P donne :
iA + iB + iC = iM
avec
RB
C
Théorème de Millman
βiB
M
iB =
vB − vP
RB
iC =
vC − vP
RC
ce qui donne après avoir ordonné
vC
= vP + vP + vP + vP
RC
RA
RB
RC
RM
d’où l’on tire vP
M. GARNERO
Chapitre 2
Page : 12
GE11-2.doc
Notes personnelles
vA + vB + vC
R
A
RB RC
vP =
1 + 1 + 1 + 1
RA RB RC RM
GA.vA+GB.vB +GC.vC
vP =
GA + GB + GC + GM
ou encore
Si la résistance RM n’existe pas, il suffit de
faire tendre RM vers l’infini et voir disparaître
le terme correspondant.
Le théorème de Millman s’énonce donc de la
façon suivante :
Le potentiel d’un point est le rapport des
potentiels des points adjacents divisés par les
résistances adjacentes sur la somme des
conductances des éléments arrivant sur ce
point.
8
Transfigurations de Kennely
On appelle circuit en T (ou en étoile) un montage
dont le schéma correspond à :
ra
rc
rb
B
ra arrive en A, rb en B, rc en C
De même on appelle circuit en Π (ou en triangle)
le montage dessiné ci-dessous (avec 2
représentations du même montage).
RB
C
RB
C
A
RC
RA
RC
RA
B
B
B
Variante de dessin
RA est opposée à A, RB à B, RC à C
Les transfigurations de Kennely permettent de
substituer un montage à l’autre tout en restant
parfaitement équivalent vu de l’extérieur.
M. GARNERO
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C
A
A
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Chapitre 2
Page : 13
GE11-2.doc
8.1 Transformation Π → T (triangle - étoile)
RB
A
C
RC
A
ra
rc
C
RA
RB
A
C
C
RC
rb + rc = RA ‖ (RC ⊕ RB)
entre B et C
rc + ra = RB ‖ (RA ⊕ RC)
entre C et A
On peut obtenir la deuxième et la troisième
équation en faisant une permutation circulaire
sur A, B, C si le repérage des résistances a été
fait correctement au départ. (A→B, B→C, C→A)
Soit encore :
RC.(RB+ RA)
RC+(RB+ RA)
RA.(RC+ RB)
rb + rc =
RA+(RC+ RB)
RB.(RA + RC)
rc + ra =
RB+(RA + RC)
ra + rb =
RB.RC
R A + RB + RC
rb =
RA.RC
RA + RB + RC
rc =
RA.RB
RA + RB + RC
Chapitre 2
Entre AB reliés et C
GA + GB = gc ⊕ (gb ‖ ga)
Entre BC reliés et A
GB + GC = ga ⊕ (gc ‖ gb)
Entre AB reliés et C
GC + GA = gb ⊕ (ga ‖ gc)
Les équations ressemblent exactement aux
précédentes on peut donc les traiter de la même
façon, le résultat final sera donc :
gb.gc
soit encore en exprimant les
ga +gb+gc
inverses :
RC.(RB+ RA) RA.(RC+ RB)
RC.(RB+ RA)
ra =
+
RC+(RB+ RA) RA+(RC+ RB) RC+(RB+ RA)
ra =
Il s’agit de la transformation inverse, la mise en
équation peut se faire de la même façon mais en
exprimant la conductance entre une borne et la
connexion des deux autres.
Il vient :
GA =
en faisant (2) – (3), on élimine rc puis en
soustrayant le résultat à (1) on élimine rb ce qui
donne au final :
RA
B
B
entre A et B
M. GARNERO
rc
B
ra + rb = RC ‖ (RB ⊕ RA)
(3)
ra
rb
Les résistances équivalentes vues de deux
bornes alors que la troisième est laissée en l’air
doivent être égales, ainsi :
(2)
A
rb
B
(1)
Transformation T → Π (étoile-triangle)
8.2
1 1
1 = rb rc
et après avoir réduit
RA 1 + 1 + 1
ra rb rc
au même dénominateur et simplifié :
ra
1 =
RA ra.rb + rb.rc + rc.ra
par permutation circulaire on obtient ensuite :
rb
1 =
RB ra.rb + rb.rc + rc.ra
rc
1 =
RC ra.rb + rb.rc + rc.ra
Remarque : Les résistances RA, RB, RC sont de plus grandes
valeurs que ra, rb, rc
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GE11-2.doc