2.1 Rappels sur les Dipôles linéaires. THÉORÈM ES DES

R
i(t)
u(t)
uL (t)
L
iL (t)
Les circuits électriques linéaires peuvent être décrits par des associations de 5 éléments principaux :
- Deux dipôles actifs : La source de tension et la source de courant;
- Trois dipôles passifs : La résistance, l’inductance et la capacité.
Ces 5 éléments sont des modèles qui décrivent le comportement de composants réels, dans certaines
limites toutefois.
2.1 Rappels sur les Dipôles linéaires.
211 Dipôles actifs.
Ils seront essentiellement fléchés en convention générateur.
Source de tension : La tension à ses bornes ne dépend pas de l’intensité du
courant qui la traverse.
On a ainsi u(t) = e(t), quelque soit i(t) ; (e(t) est nommée fém)
dans la pratique, l’amplitude (ou la valeur efficace) de i(t) est limitée.
Ce type de source fonctionne parfaitement à vide, mais pas en court-circuit .
Source de courant : L’intensité du courant débité est indépendante de la
tension qui existe entre ses bornes.
D’où i(t) = i
o
, quelque soit u(t) ; i
O
est nommé courant de court-circuit
là aussi, l’amplitude (ou la valeur efficace de u(t)) est limitée en pratique.
Ce type de source fonctionne parfaitement en court-circuit, mais pas à vide.
212 Dipôles passifs.
Ils seront fléchés en convention récepteur
Résistance : u(t) = R×i(t) (R en Ω)
Inductance : Le flux magnétique ϕ dépend de l’intensité i(t)
ϕ(t) = L×i(t) (ϕ en Wb ; L en H)
dt
di
L
dt
d
)t(u
L
L
×=
ϕ
=
Capacité : La charge stockée est liée à la tension u(t)
q(t) = C×u(t) (q en C ; C en F)
dt
du
C
dt
dq
)t(i
C
C
×==
e(t)
i(t)
u(t)
i
o
u(t)
i(t)
C
iC (t)
uC (t)

i4
i1 i2
i3
N
213 Electromoteurs de Thévenin et de Norton.
Ces éléments modélisent un dipôle actif (générateur ou récepteur), dont la caractéristique courant-tension est
linéaire.
Considérons par exemple un dipôle générateur, dont
la caractéristique courant-tension a l’allure représentée
ci-contre.
Dans la portion AB de cette caractéristique, le dipôle est
considéré comme linéaire ; l’équation liant u(t) et i(t) est
du type u(t) = E - R×i(t), où E correspond à une tension
à vide (fém), et -R à la pente de la droite.
Pour la portion AB, et pour elle seule, le dipôle considéré
est modélisable à l’aide d’associations de 2 dipôles élémentaires :
La modélisation de Thévenin (série) :
u(t) = E - R×i(t)
E est la fém du dipôle
R est la résistance interne
La modélisation de Norton (parallèle) :
i(t) = Icc – u(t)/R
Icc = E/R est le courant de court-circuit
La résistance interne R est identique à celle du
modèle de Thévenin.
2.2 Les lois de Kirchhoff.
221 La loi des nœuds .
En un nœud où convergent plusieurs branches, les courants sont
fléchés en grandeurs instantanées.
Comme il ne peut y avoir d’accumulation de charges électriques
au niveau de ce nœud, la somme des courants qui y arrivent doit être
égale à la somme des courants qui en repartent :
i
1
+ i
2
= i
3
+ i
4
ou encore i
1
+ i
2
– i
3
– i
4
= 0 (Cf. figure ci-contre)
222 La loi des mailles.
Chaque branche de la maille est tout d’abord
orientée et fléchée.
On choisit ensuite un sens de parcours sur cette maille.
La somme des ddp rencontrées sur un tour complet de
la maille est évidemment nulle :
e
1
– R
1
×i
1
– R
3
×i
3
– e
2
– R
2
×i
2
= 0 (Cf. figure ci-contre)
223 Condition de validité de ces lois.
Ces 2 lois s’écrivent en valeurs instantanées, ou en valeurs
moyennes. (Mais surtout pas en valeurs efficaces !)
Dans le cas d’un réseau fonctionnant en régime sinusoïdal,
il est également possible de les formuler en grandeurs complexes.
R
2
e
2
R
1
R
3
e
1
R
1
i
1
R
3
i
3
R
2
i
2
i
1
i
3
i
2
0
E
u
i
A
B
E
R
u
i
Icc
R u
i

2.3 Théorèmes de Thévenin et Norton.
Ces 2 théorèmes stipulent que tout réseau linéaire, vu de 2 de ses points, peut être assimilé à un électromoteur
linéaire, à structure série (modélisation de Thévenin) ou parallèle (modélisation de Norton).
La source active équivalente est :
- Soit une source de tension, produisant la tension qui existe à vide entre les 2 points considérés.
(modélisation de Thévenin)
- Soit une source de courant, débitant le courant qui passerait entre ces 2 points s’ils étaient reliés par
un court-circuit. (modélisation de Norton)
La résistance interne équivalente est la résistance existant entre ces 2 points, les sources autonomes du réseau
ayant été, au préalable, neutralisées.
Remarque 1 : Neutralisation d’une source.
- Une source de tension est neutralisée lorsque la tension qu’elle produit est nulle : On la remplace ainsi
par un fil.
- Une source de courant est neutralisée lorsque le courant qu’elle débite est nul : On la remplacera par
un circuit ouvert.
Remarque 2 : On oppose sources autonomes et sources commandées ; une source commandée produit une
grandeur active dépendant d’un paramètre du réseau où elle est insérée. (un courant ou une tension en général)
Une source commandée ne peut être neutralisée qu’à partir du moment où la grandeur de commande a été
annulée !
2.4 Théorème de superposition.
Ce théorème est souvent incontournable dans le cas de réseaux (ou circuits) comportant plusieurs sources ;
son importance en électronique n’est plus à démontrer : Ce théorème est le seul qui permette (assez)
simplement de calculer la contribution de telle ou telle source à un signal en un quelconque point du réseau
étudié.
Soit un réseau linéaire comportant plusieurs sources actives, de tension (e
1
, e
2
, … ) et de courant (i
1
, i
2
, … ).
Compte-tenu de la linéarité des lois de Kirchhoff, l’intensité i
n
du courant dans la branche n du réseau s’écrit :
...ibib...eaeai
22112211n
+
+
+
+
+
=
Les coefficients a
1
, a
2
, .. b
1
, b
2
,… s’expriment en fonction de résistances (ou d’impédances) du réseau.
On peut ainsi écrire que i
n
est la somme de courants dus chacun à une seule des sources du réseau, si elle
existait seule.
Enoncé du théorème de superposition : Le courant dans une branche d’un réseau linéaire est la somme des
courants qu’imposent dans cette branche chacune des sources du réseau, les autres ayant été au préalable
neutralisées.
Remarque : Cet énoncé suppose que les différentes sources soient autonomes (non commandées)
2.5 Relation de Millmann.
Cette relation est assimilable à une écriture particulière de la loi des nœuds, c’est pourquoi on parle de relation
et non pas de théorème.
Son utilisation en temps que telle relève de l’application d’une « formule », ce qui en fait souvent une cause
d’erreurs !!
Un cas classique d’utilisation est représenté en haut de la page suivante :
Dans la mesure où les tensions v
1
, v
2
et v
3
sont connues, la loi des nœuds, appliquée au point A s’écrit :
0
R
vv
R
vv
R
vv
3
3
2
2
1
1
=
−
+
−
+
−
,

en supposant que les courants dans les 3 branches sont fléchés vers le point A.
La tension entre le point A et la référence des potentiels,
soit v, s’en déduit :
321
3
3
2
2
1
1
R
1
R
1
R
1
R
v
R
v
R
v
v
++
++
=
Une autre formulation peut être donnée :
Soient n générateurs de Thévenin en parallèle (fém ei , résistances internes Ri) ;
la tension u commune à tous ces générateurs s’écrit :
=
=
=
n
1i i
n
1i i
i
R
1
R
e
u
Attention ! La somme des courants de court-circuit (e
i
/R
i
) est algébrique ; il faut consulter attentivement le
fléchage des courants .
2.6 Théorème de Kennely.
Ce théorème porte également le nom de « conversion triangle – étoile » ou de « transformation té – pi ».
Il permet de passer de l’un à l’autre des schémas structurels ci-dessous :
R
AB
= R
A
+ R
B
'
C
'
B
'
A
'
C
'
B
'
A
AB RRR
)RR(R
R
++
+×
=
R
BC
= R
B
+ R
C
'
C
'
B
'
A
'
A
'
C
'
B
BC RRR
)RR(R
R
++
+×
=
R
CA
= R
C
+ R
A
'
C
'
B
'
A
'
B
'
A
'
C
CA
RRR
)RR(R
R
++
+×
=
Par identification, il vient, pour la transformation triangle → étoile :
'
C
'
B
'
A
'
C
'
A
A
RRR
RR
R
++
×
=
'
C
'
B
'
A
'
A
'
B
B
RRR
RR
R
++
×
=
'
C
'
B
'
A
'
B
'
C
C
RRR
RR
R
++
×
=
Dans l’autre sens, ( étoile → triangle) on pourrait montrer les relations suivantes :
C
ACCBBA
'
A
R
RRRRRR
R
+
+
= ;
A
ACCBBA
'
B
R
RRRRRR
R
+
+
= ;
B
ACCBBA
'
C
R
RRRRRR
R
+
+
=
R
1
R
2
R
3
v
3
v
2
v
1
v
A
RB
RA
RC
A
B C
Etoile
ou « té » R’C
C
A
B
R’A
R’B
Triangle
ou « pi »