Terminale S Exercices limites et continuité 2011

Terminale S Exercices limites et continuité 2011-2012
1
Exercice 1 : limite finie en l'infini
Soit f la fonction définie sur]0;+ ∞[ par f(x) = 3 + 1
x.
1) Soit r un réel strictement positif et I = ]3 – r;3 + r[.
Montrer que, si x > 1
r, alors f(x) ∈ I.
2) En déduire la limite de f en + ∞, en utilisant la définition.
3) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) – 3 < 10
-3
?
Exercice 2 : continuité
Soit f la fonction définie sur Y par :
f(x) = 2ax² + 5 si x < 2 et f(x) = 2x – 1 si x > 2.
Déterminer a pour que f soit continue en 2.
Exercice 3 : calcul de limites
Déterminer les limites suivantes :
a) lim
x→- ∞
x
3 - sin x
b) lim
x→ 2+
x² - 4
2 - x
c) lim
x→π/3
cos x - 1
2
x - π
3
Exercice 3 : QCM
1) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur Y \ {3} par f(x) = -2x² + 7x – 4
3 - x est :
0 2 + ∞ - ∞
2) La limite en - ∞ de la fonction f définie sur 
 - ∞ ; - 3
2 
par f(x) = x² + x
3
+ 1
3x – 4x
3
est :
1
3 -1 4 + ∞ - ∞
3) Soit f la fonction définie sur Y \ {-1 ;1} par f(x) = (2x – 3)(x² + 1)
(1 – x²)² .
f admet pour limite en + ∞ :
0 - 2 - ∞ + ∞

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4) Soit f la fonction définie sur Y \ {3} par f(x) = -2
(x – 3)².
La limite de f en 3 est :
-2 - ∞ N’existe pas + ∞
5) Soit f la fonction définie sur Y
*
par f(x) =1 – cos(x)
x.
La limite en + ∞ de f est :
+ ∞ 0 1 N’existe pas
6) Soit f la fonction définie sur Y\{-1} par f(x) = x
3
+ 1
x + 1 .
La limite de f en -1 est :
1 3 + ∞ - ∞
7) Soit f la fonction définie sur ]3 ; + ∞[ par f(x) =. x - 3
x - 3 .
La limite de f en 3 est :
+ ∞ 3 1
2 3 1 3
8) Soit f la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) =. x – 4
x² - 6x + 5.
La limite de f en 1 est :
- ∞ + ∞ 1 -3
9) Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; -1[ par f(x) =. x² - 1 + x.
La limite de f en - ∞ est :
- ∞ + ∞ 0 1
2
10) Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f(x) =. 1
x – x² + 2 x.
La limite de f en 1 est :
2 - ∞ + ∞ N’existe pas
11) Soit f la fonction définie sur Y
*
par f(x) =.x sin
1
x.
La limite de f en 1 est :
N’existe pas + ∞ 0 1
12) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =. x 1 +1
x.
La limite de f en 0 est :
1 0 + ∞

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13) La courbe représentative de la fonction f définie sur Y \ {-2} par
f(x) = x² + 3x – 2
x + 2 admet pour asymptote la droite d’équation :
y = x x = -2 y = x + 1 y = -2
14) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]-1; + ∞[ par
f(x) = x² - 3
x + 1 admet pour asymptote la droite d’équation :
y = x y = x - 1 x = -1 x = - 3
Exercice 4 :
Calculer : lim
x→− ∞
( 2x² + 5x + 1 + x + 1)

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CORRECTION
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Exercice 1 : limite finie en l'infini
1) x > 1
r  1 x < r (car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+ ∞[.)
Donc 3 + 1
x < 3 + r
D'autre part, 1
x > -r car 1 x > 0 et r > 0
Donc 3 – r < 3 + 1
x < 3 + r
Soit f(x) ∈ I.
2) Pour x assez grand (supérieur à 1
r) l'intervalle ouvert I contient toutes les valeurs
de f(x).
On en déduit que lim
x→+ ∞
f(x) = 3
3) f(x) – 3 < 10
-3
 1
x < 10
-3
 x > 1000
Exercice 2 : continuité
f est continue en a si lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x)
lim
x→2−
f(x) = 2×a×4 + 5 = 8a + 5
lim
x→2+
f(x) = 2×2 – 1 = 3
On doit avoir donc 8a + 5 = 3
D'où a = - 1
4
Vérification graphique

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CORRECTION
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Exercice 3 : calcul de limites
a) Pour tout x réel, -1 < sin x < 1
Donc 2 < 3 – sin x < 4
Donc 1
4 < 1 3 – sin x < 1 2
Pour x négatif, on a alors : x
2< x 3 – sin x < x 4
Or lim
x→− ∞
x
2 = lim
x→− ∞
x
4 = - ∞
Le théorème des gendarmes appliqué à l'encadrement précédent assure que :
lim
x→- ∞
x
3 - sin x = - ∞
b) Pour x ≠ 2, x² - 4
2 - x = (x + 2)(x – 2)×( 2 + x)
2 - x = - (x + 2)( 2 + x)
On en déduit alors facilement que : lim
x→ 2+
x² - 4
2 - x = -8 2
c) On pose f(x) = cos(x)
On a alors
cos x – 1
2
x - π
3
=
f(x) – f
π
3
x - π
3
Par définition du nombre dérivé, on a : lim
x→π/3
cos x - 1
2
x - π
3
= f'
π
3
Or f'(x) = - sin(x)
Donc lim
x→π/3
cos x - 1
2
x - π
3
= - sin π
3 = - 3 2