Solutions 4

Th´eorie des nombres. Mat 3632
Devoir 4. Ne pas remettre. Les solutions seront donn´ees le 21 novembre.
1. Exhiber un syst`eme r´eduit de r´esidus modulo 7 compos´e enti`erement de puissances de
3.
Solution: 36≡(32)3≡23≡1 mod 7, et comme 32≡26≡ 1 mod 7 et 33≡66≡
1 mod 7, on a {3,32,33,34,35,36}≡{1,2,3,4,5,6}mod 7.
2. Soit m > 2 un entier positif. Montrer que la somme des ´el´ements d’un syst`eme r´eduit
de r´esidus modulo mest congrue `a 0 mod m.
Solution: On a (r, m) = 1 ssi (m−r, m) = 1. Si r=m−ret (m, r) = r= 1,
alors m= 2. Comme m > 2, un syst`eme r´eduit de r´esidus modulo mest de la forme
{r1, m −r1, r2, m −r2, . . . , rn, m −rn}. La somme est donn´ee par r1+ (m−r1) +
· · · rn+ (m−rn)≡nm ≡0 mod m.
3. Quel est le dernier chiffre dans la repr´esentation d´ecimale de 3400? Quels sont les deux
derniers chiffres?
Solution: Comme φ(10) = φ(2 ·5) = (2 −1)(5 −1) = 4 et φ(100) = φ(22·52) =
φ(22)φ(52) = 2(2−1)5(5−1) = 40, on a 3400 ≡(34)100 ≡1 mod 10 et 3400 ≡(340)10 ≡
1 mod 100. Alors les deux derniers chiffres sont 01.
4. Trouver le plus petit r´esidu positif de 2710 modulo 11.
Solution: Par le Petit Th´eor`eme de Fermat, on a que 210 ≡1(mod11). Alors, il
faut trouver le r´esidu de 710 modulo 10. Par le th´eor`eme d’Euler, 74≡1(mod10).
Alors, 710 ≡72≡9(mod10). Alors,
2710 ≡29(mod11).
Pour trouver 29modulo 11, il faut trouver l’inverse de 2 modulo 11. On r´emarke que
2·6≡1(mod11), alors, 29≡6(mod11) et
2710 ≡6(mod11).

5. R´esoudre
x81 ≡7(mod150).
Solution: D’abord notons que (x, 150) = 1, car si (x, 150) = d > 1, on aurait que
d|(7,150) = 1, contradiction. On peut trouver φ(150) = φ(2·3·52) = φ(2)φ(3)φ(52) =
2·5·(5 −1) = 40. Alors, par le th´eor`eme d’Euler,
x40 ≡1(mod150).
Par cons´equent,
x81 =x·(x40)2≡x(mod150).
et on trouve que la solution est
x≡7(mod150).
6. Si pet qsont des nombres premiers distincts, est-il vrai que l’on n´ecessairement
pq−1+qp−1≡1 mod pq?
Solution: Par le Petit th´eor`eme de Fermat, p|(qp−1−1) et q|(pq−1−1) donc
pq |(qp−1−1)(pq−1−1) = qp−1pq−1−(pq−1+qp−1) + 1. Comme pq |qp−1pq−1, on a
0≡(qp−1−1)(pq−1−1) ≡ −(pq−1+qp−1) + 1 mod pq, donc l’affirmation est vraie.
7. Soit pun nombre premier impair qu’on ´ecrit de la forme p=m+n+ 1 o`u m, n ≥0.
Montrer que
m!n!≡(−1)m+1 mod p.
D´eduire de cette formule que
p−1
2!2
≡(−1)p+1
2mod p.
Solution: D’apr`es le th´eor`eme de Wilson,
−1≡(m+n)! ≡(m+n)(m+n−1) . . . (m+n−(n−1))m!≡modp
≡(−1)(−2) . . . (−n)m!≡(−1)nn!m! mod p
puisque met nont mˆeme parit´e, on a la solution.
Maintenant prenons m=n=p−1
2et notons que m+ 1 = p+1 2, ce qui donne la
derni`ere r´eponse.
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8. Soit pun nombre premier. Montrer que p|(ap+a(p−1)!).
Solution: Par le th´eor`eme de Wilson et le Petit th´eor`eme de Fermat, ap+a(p−1)! ≡
a+a(−1) ≡0 mod p.
9. Trouver le plus petit entier sup´erieur `a 1 qui satisfait le syst`eme de congruences suivant:
x≡1 mod 3
x≡1 mod 5
x≡1 mod 7
Solution: Il est clair que x≡1 mod 3 ·5·7 satisfait les trois ´equations. Par le
th´eor`eme du reste chinois, c’est la seule solution modulo 3 ·5·7. Alors, le plus petit
entier sup´erieur `a 1 qui satisfait le syst`eme est 1 + 3 ·5·7 = 106.
10. R´esoudre le syst`eme de congruences suivant:
x≡1 mod 4
x≡0 mod 3
x≡5 mod 7
Solution: On v´erifie d’abord que tous les modulos sont relativement premiers deux
`a deux. On a, par le th´eor`eme du reste chinois, m= 4 ·3·7 = 84 et 21 ·1≡1 mod 4,
28 ·1≡1 mod 3, 12 ·3≡1 mod 7. Alors,
x0≡21 ·1·1 + 28 ·1·0 + 12 ·3·5≡201 ≡33 mod 84.
11. Trouver les solutions des syst`emes d’´equations suivants:
a)
2x≡1 mod 5
3x≡2 mod 7
4x≡1 mod 11
b)5x≡7 mod 12
4x≡12 mod 14
Solution: a) D’abord, on a que
2x≡1 mod 5
3x≡2 mod 7
4x≡1 mod 11
⇐⇒ 
x≡3 mod 5
x≡3 mod 7
x≡3 mod 11
.
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Alors, il est clair que x≡3 mod 5 ·7·11 est une solution, et par le th´eor`eme du reste
chinois, elle est unique modulo 5 ·7·11 = 385.
b) D’abord on a que
5x≡7 mod 12
4x≡12 mod 14 ⇐⇒ x≡ −1 mod 12 x≡3 mod 7
On v´erifie maintenant que les deux modulos sont relativement premiers. Par le
th´eor`eme du reste chinois, m= 12 ·7 = 84, 12 ·3≡1 mod 7, 7 ·7≡1 mod 12,
x0≡12 ·3·3+7·7·(−1) ≡59 mod 84.
Probl`emes additionels sugg´er´es: pages 55-58: 12, 20, 26, 32, 34
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