Oral 2008 - Michel Gonnord

SP´ ECIALE MP* : ORAL 2008
Mis `a jour le 6 juin 2010 `a 18:55
– 32 exos des ENS + 2 ADS,
– 24 exos de l’X + un ADS,
– 22 exos des Mines,
– 45 exos de Centrale.
Avec la contribution de
BELZ Vincent
BOUBAKER Kais
BOUTONNET R´emi
CAMUS Mickael
CARON St´ephane
CAZASSUS Guillem
CHAARI Firas
DALSTEIN Boris
DE PAEPE Guillaume
DENAT Jean Baptiste
DIOT-G1RARD Sarah
FENEUIL Joseph
FOURQUET David
GALIMBERTI Arnaud
HOULLIER Marc
JAMAUX Pierrick
LAFARGE Denis
LE M0IGNE Nicolas
LEDUC Laetitia
L´ ERIQUE Sebastien
LEROY Laure
MALLEIN Bastien
MOUCHOUS Michael
PA¨ IS Vincent
P´ ECASTAING Vincent
PESSINET Olivia
PEYRAT Jean-Baptiste
RABIE Mikael
RAFA¨ I Cyprien
RICHERT-BOTTE Ulysse
ROQUES Yoann
SABBAH Benjamin
THORENT Benjamin
YELLES Lotfi
ZHOU Delong
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2 SP´ ECIALE MP* : ORAL 2008
1. Sujets pos´ es aux ´ Ecoles Normales Sup´ erieures ` a l’oral 2008
1.1. Oral Maths Ulm.
Exercice 1.1.1.
(1) Soient Aet Bdeux matrices de Mn(C) telles que AB =BA montrer que ∃P∈GLn(C)
telle que P−1AP et P−1BP soient triangulaires.
(2) On ne suppose plus que Aet Bcommutent montrer que ∃P, Q ∈GLn(C) telles que
P AQ et P BQ soient triangulaires.
(3) Soient fet gdeux fonctions de C([0,1],[0,1]) telles que f◦g=g◦f(et oui encore
une histoire de commutation) et fd´ecroissante. montrer que ∃c∈[0,1] telle que f(c) =
g(c) = c.
Exercice 1.1.2.
(1) Soit P∈R[X] ayant exactement kcoefficients non nuls.
Montrer que Pa au plus 2k−1 racines r´eelles distinctes.
Montrer ensuite que c’est la meilleure majoration (i.e. que ∀k, ∃Pqui atteint la majo-
ration).
(2) Montrer qu’il existe une infinit´e d’entiers n>0 tels que 2n= 7... (i.e. le d´eveloppement
d´ecimal commence par 7).
(3) Soit Sun sous-ensemble infini du plan, tel que ∀(x, y)∈S2,d(x, y)∈N.
Montrer que tous les points de Ssont align´es.
Exercice 1.1.3.
(1) Soit M∈GLn(C). Prouver qu’il existe Tet T′triangulaires sup´erieures et σpermutation
de [[1, n]] telles que : M=T PσT′o`u Pσest la matrice de permutation associ´ee `a σ:
Pσ= (δi,σ(j)).
Dans cette ´ecriture, Tet T′ne sont pas uniques. Montrer que par contre, la permutation
σl’est.
(2) Le mˆeme que Tata (1.1.1 (3)), avec en plus : que se passe-t-il si fest croissante ?
Exercice 1.1.4.
(1) Soit Eun C-ev de dimension finie, u, v ∈ L(E).
a) Montrer ∃t∈C|u+tv inversible ⇒Ker(u)∩Ker(v) = {0}.
b) On suppose uv =vu. Montrer que Ker(u)∩Ker(v) = {0} ⇒ ∃t∈C|u+tv
inversible.
(2) Soit fcontinue de [0,1] dans [0,1] telle qu’il existe a, b tels que f(b)6a < b 6f(a). On
pose p= min{x∈[a, b]|f(x) = x}.
Montrer que pexiste. Si fn’a aucun point fixe entre 0 et a, montrer que f2en a un.
De mˆeme si on note q= max des points fixes de fplus petit que a.
En fait, le but de l’exo est de prouver que f2a un point fixe qui n’en est pas un de f.

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Exercice 1.1.5.
Soient fet gdeux fonctions telles que f′′ +fg = 0 avec g > c > 0.
(1) Montrer que fadmet une infinit´e de racines.
(2) Montrer que det (eaibj)i,j∈[1,n]6= 0 avec aidistincts et bjdistincts.
Exercice 1.1.6.
(1) Dans Rn[X] on note El’ensemble des polynˆomes `a nracines distinctes. montrer que E
est ouvert.
(2) a) Soit a1,...,andes entiers relatifs premiers dans leur ensemble, montrer qu’il existe
une matrice Pde taille n, `a coeff dans Z, dont la first line est (a1, ..., an) et de
d´eterminant 1 ou -1.
b) Soit Adans Mp,q(Z). Montrer qu’il existe Pdans GLp(Z), et Qdans GLq(Z) telles
que P AQ soit de la forme :
d1...
dr
0
0 0
.
avec d1|d2...|dr.
1.2. Oral Maths Ulm-Lyon-Cachan.
Exercice 1.2.1.
EC-ev, u∈ L(E), r(u) = sup{|λ|, λ ∈Sp(u)}
Montrer que ces 3 propositions sont ´equivalentes :
(1) Il existe une norme Ntelle que N(u)<1 ;
(2) r(u)<1 ;
(3) lim
n→∞ un= 0.
Exercice 1.2.2.
(1) Soit Pun polynˆome trigo : P(θ) =
n
P
k=0
akcos(kθ) + bksin(kθ).
Montrer que Pa au moins 2nracines dans [0,2π[.
(2) Soit q>1, kun entier relatif, et βun r´eel.
Calculer
q
P
j=1
exp(ik(2jπ
q+β)).
(3) Calculer 1
n+ 1
n
P
j=0
P(2jπ
n+1 +β).
(4) Soit A={x∈[0,2π[|P(x)>0}que pouvez vous dire de A?
On suppose Pde moyenne nulle sur une p´eriode, montrer que la longueur de Aest
sup´erieure `a 2π
n+ 1.

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Exercice 1.2.3.
(1) Soient fet gdeux fonctions de classe C1(R,R) telles que ∀(x, y)∈R2f′(x)6=g′(y). On
d´efinit h: (x, y)∈R27→ (x+y, f(x) + g(y))R2.
Montrer que hest un C1diff´eomorphisme.
(2) On suppose de plus que f′(x)>k > 0 et gborn´ee. Montrer que Im(h) = R2.
Exercice 1.2.4.
(1) Est-ce que GL2(R) est connexe par arcs ?
(2) Est-ce que GL+
2(R) = {M∈GL2(R)|det M > 0}est connexe par arcs ?
(3) Est-ce que GL+
n(R) est connexe par arcs ?
Exercice 1.2.5.
Soient a6=b∈R, et α, β, γ, δ ∈R.
(1) Montrer que ∃!P∈R3[X]|P(a) = α, P (b) = β, P ′(a) = γ, P ′′(a) = δ.
(2) Soit σ= (x0=a,...,xn=b) une subdivision de [a, b] et
Sσ=f∈ C2([a, b]) | ∀i, f|[xi,xi+1]est un polynˆome de degr´e 63.
Montrer que c’est un ev de dimension finie. Quelle est sa dimension ?
(3) Soit f∈Sσ, et on suppose que ∀i, f(xi) = 0.
Montrer que Rb
af′′2(t)dt =f′(b)f′′(b)−f′(a)f′′(a).
(4) Soit ϕ∈ C2([a, b]) , montrer que
∃!f∈Sσ| ∀i f(xi) = ϕ(xi), f′(a) = ϕ′(a), f′(b) = ϕ′(b).
Exercice 1.2.6.
Exercice : Soit E=RN∗et T:un→1
n
n
P
i=1
ui.
(1) Valeurs propres et vecteurs propres de T.
(2) Calculer Ker(T−λId)2.
(3) Quels sont les sous-espaces propres de dimension finie de Estables par T?
Exercice 1.2.7.Soit A∈ C(R,M2(R)) et X∈ C1(R,M2(R)) telles que
X′(t) = A(t)X(t)−X(t)A(t)
(1) Montrer que ∀k>0,Tr(X(t)k) est ind´ependante de t.
(2) Montrer que les valeurs propres de X(t) sont ind´ependantes de t.
(3) Il y avait une troisi`eme question : montrer que X(t) est semblable `a X(0) d’apr`es un
gars que j’ai interrog´e l’apr`es-midi.

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Exercice 1.2.8.
(1) D´eterminer tous les morphismes continus de Udans C∗.
(2) D´eterminer tous les morphismes continus de Udans GL2(C).
Exercice 1.2.9.
Soit M∈ M2(R) de d´eterminant 1, U0∈R2de norme 1.
D´eterminer le comportement de la suite Und´efinie par Un+1 =MUn
kMUnk.
Exercice 1.2.10.
Soit Hun compact de GLn(C) stable par produit. Montrer que Hest un sous groupe de
GLn(C).
Exercice 1.2.11.
Soit P∈C[x] de degr´e sup´erieur o`u ´egal `a 2.
A tout nombre complexe zon associe la suite (un) d´efinie par :
{u0=z, un+1 =P(un)}
On consid`ere l’ensemble K={z∈C| |un|ne tend pas vers l’infini}.
(1) Montrer que Kest compact.
(2) Montrer que son compl´ementaire est connexe par arcs.
1.3. Oral Maths Lyon.
Exercice 1.3.1.
(1) Soit
T:C(R,R)→ C(R,R)
f7→ Zx
0
f
a) Montrer qu’aucun sev de dimension 1 n’est stable par T.
b) Montrer qu’aucun sev de dimension finie n’est stable par T.
(2) Soit anune suite de r´eels >0. On suppose que ∃A > 0,∃k∈N,∃(αi)i∈[1,k],(βi)i∈[1,k]
avec β16=α1tels que an+1
an
=Ank+α1nk−1+···+αk
nk+β1nk−1+···+βk
.
Mq ∃c > 0|an∼cAnnα1−β1.
Exercice 1.3.2.
Soit f∈ C(R,C), T-p´eriodique. On consid`ere V(f) = ZT
0ZT 0|f(s)−f(t)|2dsdt
(1) Montrer que (V(f) = 0) est ´equivalent `a fconstante.
(2) On suppose fde classe C1. Exprimer V(f) en fonction des coefficients de Fourier de f.
(3) soit Fune fonction k-lip. On suppose que l’E.D. y′=F(y) admet une solution non
constante T-p´eriodique. montrer que T>2π
k.