Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles

TES Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles 2012-2013
Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles
Dans tout le chapitre, E désigne l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
I Probabilité conditionnelle
TD1 : Réussite au bac
Le proviseur d’un lycée fait le point sur la réussite au bac des élèves de son établissement en distinguant
les élèves redoublants et les élèves non redoublants : « Sur nos 468 élèves de Terminale, 414 ont obtenu
leur bac. Il est à noter que, parmi nos 40 redoublants, on déplore 4 échecs. »
1. Compléter le tableau ci-dessous :
Nombre de succès Nombre d’échecs Total
Nombre de redoublants
Nombre de non redoublants
Total 468
On choisit au hasard le dossier d’un des élèves de Terminale du lycée.
On considère les évènements suivants :
–B: « l’élève choisi a obtenu son bac » ;
–R: « l’élève choisi est redoublant » .
2. (a) Définir par une phrase en français les évènements : R,B∩Ret B∩R.
(b) Calculer les probabilités p(B),p(R),p(R),p(B∩R)et p(B∩R).
3. (a) Sachant que l’on a choisi le dossier d’un élève redoublant, quelle est la probabilité qu’il soit
bachelier ? On note pR(B)cette probabilité.
(b) Expliquer pourquoi, en calculant p(B∩R)
p(R), on obtient le résultat de la question précédente.
4. (a) Sachant que l’on a choisi le dossier d’un élève non redoublant, quelle est la probabilité qu’il
soit bachelier ? On note pR(B)cette probabilité.
(b) Calculer p(B∩R)
p(R). Que constate-t-on ?
5. Comparer la réussite au bac des élèves redoublants et des élèves non redoublants.
6. Que représentent les quotients 36
414 et 378 414 ?
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I.1 Probabilité conditionnelle de B sachant A
Définition 1
Soit Aet Bdeux événements de l’ensemble E,Aétant de probabilité non nulle (p(A)≠0).
La probabilité conditionnelle de Bsachant A(probabilité que l’événement Bsoit réalisé
sachant que l’événement Aest réalisé) est le nombre noté pA(B)défini par : pA(B)=p(B∩A)
p(A).
Propriété
Soit Aet Bdeux événements tels que p(A)≠0, alors : 0⩽pA(B)⩽1;pA(B)+pA(B)=1.
Dans une situation d’équiprobabilité : pA(B)=nombre d’éléments de B∩A
nombre d’éléments de A.
Probabilité d’une intersection :
p(A∩B)peut se calculer de deux façons :
1. p(A∩B)=p(A)×pA(B)(avec p(A)≠0)
2. p(A∩B)=p(B)×pB(A)(avec p(B)≠0)
Démonstration : D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :
1. pA(B)=p(B∩A)
p(A)⇔p(B∩A)=p(A)×pA(B)⇔p(A∩B)=p(A)×pA(B).
2. pB(A)=p(A∩B)
p(B)⇔p(A∩B)=p(B)×pB(A).
I.2 Utilisation de tableaux
Un tableau à double entrée permet de déterminer des probabilités conditionnelles.
A A Total
B p(A∩B)p(A∩B)p(B)
B p(A∩B)p(A∩B)p(B)
Total p(A)p(A)1
La probabilité de l’événement A∩Bse trouve à l’intersection de la ligne Aet de la colonne B.
La dernière ligne et la dernière colonne du tableau contiennent les probabilités de chaque événement :
A,A, . . .
pA(B)est alors le quotient des valeurs de p(A∩B)et de p(A)lues dans le tableau.
Exemple
Soit Aet Bdeux événements tels que p(A∩B)=0,18,p(A∩B)=0,42 et pA(B)=0,25.
Compléter le tableau ci-dessous et en déduire la probabilité pA(B).
A A Total
B
B
Total 1
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II Arbres pondérés et probabilités totales
II.1 Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
TD2 : Un test de dépistage
À l’aide d’un test, on procède au dépistage d’une maladie affectant 2% d’une population. Le laboratoire
qui fabrique le test fournit les informations suivantes : « le test est positif chez 96% des individus
malades et négatif chez 99% des individus sains. »
On désigne respectivement par M,S,Pet Nles événements « l’individu est malade » , « l’individu
est sain » , « le test est positif » , « le test est négatif » .
L’arbre construit ci-dessous, appelé arbre pondéré, permet de schématiser la situation décrite.
1. Que représente le nombre 0,98 figurant sur la branche du premier niveau ? Compléter l’autre
branche figurant au premier niveau de l’arbre.
2. Que représente la valeur 0,99 figurant sur la branche du second niveau ? Compléter les branches
figurant au second niveau.
3. (a) Réaliser l’événement S∩N, c’est suivre le chemin passant par Spuis N. Calculer la pro-
babilité de cet événement.
(b) À quel événement correspond le chemin passant par Mpuis N? Quelle est sa probabilité ?
(c) En déduire la probabilité de l’événement : « le test est négatif » .
4. (a) Déterminer la probabilité correspondant aux deux autres chemins.
(b) En déduire la probabilité de l’événement : « le test est positif » .
Dans le cas d’une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers
E, on peut modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
Une branche relie deux événements. Sur chaque branche on note la probabilité correspondante : la
probabilité de la branche reliant Aet Best pA(B).
Un chemin est une suite de branches : il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce
chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur
ce chemin.
Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.
Règles :
1. La somme des probabilités des branches issues d’un nœud est égale à 1.
2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.
3. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet
événement.
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II.2 Formule des probabilités totales
TD3 : Tirages avec des jetons
Un sac contient des jetons ronds (R) ou carré (C) de trois couleurs : bleu (B), noir (N)ou vert (V).
On sait que :
●25% des jetons sont bleus dont 60% sont ronds ;
●35% des jetons sont noirs dont la moitié sont ronds ;
●40% des jetons sont verts dont 62,5% sont ronds.
Un jeton est tiré au hasard dans le sac.
L’objectif est de calculer p(R), la probabilité de l’événement « le jeton est rond » .
1. Utilisation d’un tableau
La probabilité des événements B,Net Vfigure sur la dernière ligne. Celle des événements Ret
Cfigure sur la dernière colonne.
B N V Total
R
C
Total 0,25 0,35 0,40
(a) Déterminer la probabilité de l’événement B∩Ret placer la valeur obtenue dans le tableau.
(b) Procéder de même pour les événements N∩Ret V∩R, puis exprimer p(R)comme somme
de trois probabilités.
(c) Vérifier que l’on peut écrire : p(R)=p(B)×pB(R)+p(N)×pN(R)+p(V)×pV(R).
(d) Finir de compléter le tableau
2. Utilisation d’un arbre
L’arbre pondéré ci-dessous schématise la situation.
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Couleur Forme Événement Probabilité
(a) Compléter les colonnes « Événement » et « Probabilité » .
(b) Quels sont les chemins conduisant au choix d’un jeton rond ? En déduire la probabilité
p(R).
Propriété
Soit A1,A2,...,An,névénements incompatibles deux à deux et tels que leur réunion soit égale
àE. Pour tout événement B, on a
p(B)=p(A1∩B)+p(A2∩B)+ ⋅ ⋅ ⋅ + p(An∩B)
c’est-à-dire : p(B)=p(A1)×pA1(B)+p(A2)×pA2(B)+ ⋅ ⋅ ⋅ + p(An)×pAn(B).
A1,A2,...,Anétant des événements de probabilité non nulle.
Cas particulier :
Soit Aet Bdeux événements, avec Ade probabilité non nulle alors p(B)=p(A∩B)+p(A∩B),
c’est-à-dire p(B)=p(A)×pA(B)+p(A)×pA(B).
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