Correction DM n°2.

Correction DM n°2.
Exercice 1.
1 - Le quadrilatère ABCD est formé par les 4 triangles rectangles identiques AMP,
BMN, CNO et DOP. Le quadrilatère ABCD a donc 4 angles droits. De plus, chaque
côté a pour longueur a+b. Le quadrilatère ABCD a donc ses 4 côtés de même
longueur.
Or, un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 côtés de même longueur est un
carré.
Donc le quadrilatère ABCD est un carré .
2 - D'après l'énoncé (question 1), on sait que les points A, M et B sont alignés dans
cet ordre. Donc l'angle
̂
AMB
mesure 180°.
On sait aussi que les triangles AMP et BMN sont respectivement rectangles en A et
B et qu'ils sont identiques (énoncé question 1). Donc les angles
̂
APMet
̂
BMN
sont égaux, de même que les angles
̂
AMPet
̂
BNM
.
De plus, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°.
Donc
̂
AMP+
̂
APM=
̂
AMP+
̂
BMN=90°
.
Or,
̂
AMB=
̂
AMP+
̂
PMN+
̂
BMN=90°+
̂
PMN
, d'où
̂
PMN=
̂
AMB−90°=180°−90°=90°
. On peut donc conclure que l'angle
̂
PMN
est un angle droit.
Le quadrilatère MNOP possède 4 côtés de même longueur et un angle droit.
Or un quadrilatère qui possède 4 côtés de même longueur et un angle droit est un
carré. Donc MNOP est un carré.
3 - Le quadrilatère MNOP est un carré de côté c.
On sait que l'aire d'un carré est donnée par la formule
côté×côté
.
Donc l'aire du carré MNOP vaut c².
4 - Les deux carrés ABCD et EFGH ont la même aire car ce sont deux carrés
identiques : ils ont la même longueur de côté, c'est-à-dire, a+b.
5 - Comme les carrés ABCD et EFGH ont la même aire et que les 4 triangles
rectangles identiques occupent la même aire dans les deux carrés, on en déduit
que l'aire du carré rose est égale à la somme des aires des carrés vert et bleu.
6 - L'aire du carré rose est égale à c², celle du carré vert est égale à b² et celle du
carré bleu à a². On en déduit que c² = a² + b².
7 - Dans un triangle rectangle, le carré du grand côté est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés.

Exercice 2.
A=19 x 2+25÷ 5=38+5=43.
B=15+3 x 7
39−2 x 13=15+21 39−26=36 13 .
C=16,25 x 10−1625 x 0,1=162,5−162,5=0.
D=(−2)x(−66)÷3+(−18)=(−2)x(−22)+(−18)=44+(−18)=26.
E=
30
(−3)
2=−10 2=−5 .