Correction DM n°2. Exercice 1. 1 - Le quadrilatère ABCD est formé par les 4 triangles rectangles identiques AMP, BMN, CNO et DOP. Le quadrilatère ABCD a donc 4 angles droits. De plus, chaque côté a pour longueur a+b. Le quadrilatère ABCD a donc ses 4 côtés de même longueur. Or, un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 côtés de même longueur est un carré. Donc le quadrilatère ABCD est un carré . 2 - D'après l'énoncé (question 1), on sait que les points A, M et B sont alignés dans AMB mesure 180°. cet ordre. Donc l'angle ̂ On sait aussi que les triangles AMP et BMN sont respectivement rectangles en A et APMet ̂ BMN B et qu'ils sont identiques (énoncé question 1). Donc les angles ̂ ̂ ̂ sont égaux, de même que les angles AMPet BNM . De plus, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°. AMP+̂ APM=̂ AMP+̂ BMN=90° . Donc ̂ AMB=̂ AMP+̂ PMN+̂ BMN=90°+̂ PMN , d'où Or, ̂ ̂ ̂ PMN= AMB−90 °=180°−90°=90° . On peut donc conclure que l'angle ̂ PMN est un angle droit. Le quadrilatère MNOP possède 4 côtés de même longueur et un angle droit. Or un quadrilatère qui possède 4 côtés de même longueur et un angle droit est un carré. Donc MNOP est un carré. 3 - Le quadrilatère MNOP est un carré de côté c. On sait que l'aire d'un carré est donnée par la formule côté×côté . Donc l'aire du carré MNOP vaut c². 4 - Les deux carrés ABCD et EFGH ont la même aire car ce sont deux carrés identiques : ils ont la même longueur de côté, c'est-à-dire, a+b. 5 - Comme les carrés ABCD et EFGH ont la même aire et que les 4 triangles rectangles identiques occupent la même aire dans les deux carrés, on en déduit que l'aire du carré rose est égale à la somme des aires des carrés vert et bleu. 6 - L'aire du carré rose est égale à c², celle du carré vert est égale à b² et celle du carré bleu à a². On en déduit que c² = a² + b². 7 - Dans un triangle rectangle, le carré du grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Exercice 2. A=19 x 2+25 ÷ 5=38+5=43 . B= 15+3 x 7 15+21 36 = = . 39−2 x 13 39−26 13 C=16,25 x 10−1625 x 0,1=162,5−162,5=0. D=(−2)x (−66)÷3+(−18)=(−2) x(−22)+(−18)=44+(−18)=26 . 30 (−3) −10 E= = =−5 . 2 2