PROBABILITÉS CONDITIONNELLES Ph DEPRESLE 1er juillet 2015 Table des matières 1 Rappel : Probabilité d’un événement 1.1 Ensemble des issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 Probabilité conditionnelle 3 3 Formule des probabilités totales 4 4 Indépendance 4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Indépendance et événements contraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 5 Exercices 7 6 Exercices corrigés 9 1 Chapitre : Probabilités conditionnelles 1 1.1 Terminale S Rappel : Probabilité d’un événement Ensemble des issues On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d’issues. On désigne par Ω l’ensemble de ces issues : Ω = {ω1 ; ω2 ; ...; ωn }. On appelle cardinal de Ω le nombre des éléments de Ω . On le note card(Ω). 1.2 Événement Un événement A est une partie de l’ensemble Ω des issues : A ⊂ Ω. • L’événement complémentaire de A, ou événement contraire de A, noté A contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas éléments de A. • Un événement élémentaire ne contient qu’une issue : par exemple B = {ω2 }. • Si A et B sont deux événements : – l’événement A ∪ B est réalisé si l’un au moins des événements A ou B est réalisé. – l’événement A ∩ B est réalisé si A et B sont réalisés tous les deux. – A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅. 1.3 Probabilité À chacune de ces issues ωi , on associe un nombre noté P (ωi ) avec : 0 6 P (ωi ) 6 1 et n X P (ωi ) = 1 i=1 À chaque événement A = {ωi1 , ...., ωip } lié à l’expérience est associé alors le nombre P (A) défini par : P (A) = P (ωi1 ) + ... + P (ωip ) Propriétés 1. • 0 6 P (A) 6 1 et P (Ω) = 1 • P (A) + P (A) = 1 • P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). • Si A et B sont incompatibles, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B). • Si tous les événements élémentaires {ωi } ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. On a alors : P (A) = Ph Depresle Nombre des issues favorables à A card(A) = Nombre des issues possibles card(Ω) Page 2 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles 2 Terminale S Probabilité conditionnelle Définition 1. Soit A et B deux événements d’un univers Ω muni d’une loi de probabilité. Si P (B) 6= 0, on P (A ∩ B) . appelle probabilité de A sachant B notée PB (A), le quotient P (B) PB (A) = P (A ∩ B) P (B) Remarques : • Dans le cas de l’équiprobabilité on a : PB (A) = card(A ∩ B) cardB • Si P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0 on a alors : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A) = P (A) × PA (B) • PB (A) = 1 − PB (A) car PB (A) + PB (A) = P (B) P (A ∩ B) + P (A ∩ B) = =1 P (B) P (B) PB (A) • Sur un arbre de probabilités, on peut envisager deux niveaux de branches : un qui indique la probabilité de l’événement B, puis un second qui permet de figurer la probabilité conditionnelle PB (A). P(B) A P (A ∩ B) B A B Sur un autre arbre, on pourrait commencer par A puis PA (B). Exemple : On lance 2 dés normaux et on considère les événements suivants : – A : " La somme des deux dés est égale à 10" – B : "Le premier dé marque 4" Calculer la probabilité de B sachant A. L’univers Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles. Ici cardΩ = 36, il y a équiprobabilité sur Ω . A ∩ B = {(4; 6)} et A = {(4; 6)(5; 5)(6; 4)} 1 1 1 3 On a : P (A ∩ B) = et P (A) = donc PA (B) = 36 = 36 36 3 3 36 Remarque : On peut considérer aussi l’expérience sur l’univers A, équiprobable, 1 Nombre des issues favorables = alors PA (B) = Nombre des issues possibles 3 Ph Depresle Page 3 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles 3 Terminale S Formule des probabilités totales Définition 2. On dit que n parties A1 , A2 , ..., An de Ω forment une partition de Ω si elles sont 2 à 2 disjointes et ont pour réunion Ω . b b b An−1 An Ω b A1 A2 b b b b Propriétés 2. Soit A1 , A2 , ..., An une partition de Ω , telle que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, P (Ai ) 6= 0. Alors, pour tout événement B, n X P (Ai ).PAi (B) P (B) = P (A1 ).PA1 (B) + · · · + P (An ).PAn (B) = i=1 Cas particulier : (A, A) est une partition de Ω, A 6= Ω, A 6= ∅. Pour un événement B,on a : B = (B ∩ A) ∪ B ∩ A (réunion disjointe ) donc : P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A) P (B) = P (A).PA (B) + P (A).PA (B) Ce qui se visualise sur un arbre. PA (B) P(A) B A A B A∩B A∩B A B P(A) PA (B) B A B Visualisation sur un arbre dans le cas d’une partition à 3 parties A, B, C : PA (D) D P (A ∩ D) = P (A).PA (D) A P(A) D PB (D) P(B) D P (B ∩ D) = P (B).PB (D) B D P(C) PC (D) D P (C ∩ D) = P (C).PC (D) C D Ph Depresle Page 4 sur 11 Ω Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S P (D) = P (A ∩ D) + P (B ∩ D) + P (C ∩ D) P (D) = P (A).PA (D) + P (B).PB (D) + P (C).PC (D) 4 Indépendance 4.1 Indépendance de deux événements Définition 3. On dit que les deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité P lorsque P (A ∩ B) = P (A) × P (B) . Propriétés 3. Les deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants pour la probabilité P si et seulement si , P (A) = PB (A) ou P (B) = PA (B) Démonstration : Si le événements A et B sont indépendants, alors : P (A) × P (B) P (A ∩ B) = car A et B sont indépendants. PA (B) = P (A) P (A) Donc PA (B) = P (B) Réciproquement si PA (B) = P (B), alors P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) = P (A)P (B). Donc les événements A et B sont indépendants. Exemple : On considère une famille ayant n enfants. On suppose que chaque fois qu’un enfant 1 naît, la probabilité que ce soit une fille est . 2 Soit A l’événement "il y a au plus une fille". Soit B l’événement "il y a des enfants des deux sexes". 1. Les événements A et B sont-ils indépendants pour n = 2 ? 2. Les événements A et B sont-ils indépendants pour n = 3 ? 1. Pour n = 2 on a : F F G F L’univers Ω = {F F, F G, GF, GG}. Il y a équiprobabilité. G G 3 c’est l’événement contraire de "il y a deux filles". 4 2 1 P (B) = = .il y a parmi les 4 cas possibles, 2 cas favorables. B = {F G, GF } 4 2 1 P (A ∩ B) = car A ∩ B = {F G, GF } 2 3 1 3 P (A).P (B) = × = donc P (A ∩ B) 6= P (A).P (B) 4 2 8 donc les événements A et B ne sont pas indépendants. P (A) = Ph Depresle Page 5 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S 2. Pour n = 3 on a : G G F G G F F Il y a 8 issues possibles équiprobables. G G F F G F F 4 1 = Il y a 4 cas favorables A = {GGG, GGF, GF G, F GG} 8 2 2 3 P (B) = 1 − = car B = {F F F, GGG} 8 4 3 P (A ∩ B) = car A ∩ B = {GGF, GF G, F GG} 8 1 3 3 P (A).P (B) = × = 2 4 8 donc P (A ∩ B) = P (A).P (B) donc les événements A et B sont indépendants. P (A) = 4.2 Indépendance et événements contraires Propriétés 4. Si deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants pour la probabilité P , alors il en est de même pour les événements A et B, A et B ainsi que pour A et B. P (A ∩ B) = P (A) × P (B) P (A ∩ B) = P (A) × P (B)) P (A ∩ B) = P (A) × P (B) Démonstration : △ROC Démontrons P (A ∩ B) = P (A) × P (B) On sait que P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) Comme PA (B) + PA (B) = 1 on a P (A ∩ B) = P (A) × (1 − PA (B)) A et B étant indépendants, PA (B) = P (B) donc P (A ∩ B) = P (A) × (1 − P (B)) et donc P (A ∩ B) = P (A) × P (B). La démonstration des autres propriétés se font de la même manière. N Ph Depresle Page 6 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles 5 Terminale S Exercices Exercice 1 Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3. On pourra construire un arbre pondéré. 1. On note : • D1 l’événement : « la personne décroche au premier appel » ; • R1 l’événement « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ». Calculer la probabilité de l’événement R1 . 2. Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : • D2 l’événement : « la personne décroche au second appel ». • R2 l’événement : « la personne répond au questionnaire lors du second appel ». • R l’événement : « la personne répond au questionnaire ». Montrer que la probabilité de l’événement R est 0,236. 3. Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième) 4. Un enquêteur a une liste de 10 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que aucune des personnes ne réponde au questionnaire ? (on donnera la réponse arrondie au millième) Exercice 2 Une compagnie d’assurance automobile fait le bilan des frais d’intervention, parmi les dossiers d’accidents de circulation. 85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. 12% des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels. Soit les événements suivants : R : “le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle” ; D : “le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels”. 1. En utilisant les notations R et D, exprimer les trois pourcentages de l’énoncé en termes de probabilités. 2. Calculer la probabilité pour qu’un dossier : (a) entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ; (b) entraîne seulement des frais de réparation matérielle ; (c) n’entraîne ni des frais de réparation matérielle ni des frais de dommages corporels ; (d) entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu’il entraîne des frais de dommages corporels. Ph Depresle Page 7 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S 3. On constate que 60% des dossiers entraînant des frais de dommages corporels et la moitié de ceux qui n’en entraînent pas sont dus à des excès de vitesse. On choisit un dossier. Quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse ? 4. On choisit 5 dossiers de manière indépendante. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse ? Exercice 3 On considère deux urnes U1 et U2 . L’urne U1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L’urne U2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U1 , on note sa couleur et on la remet dans U1 . Étape n (n > 2) : • Si la boule tirée à l’étape (n − 1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U1 , on note sa couleur et on la remet dans U1 . • Si la boule tirée à l’étape (n − 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U2 , on note sa couleur et on la remet dans U2 . On note An l’évènement « le tirage a lieu dans l’urne U1 à l’étape n » et pn sa probabilité. On a donc p1 = 1. 1. Calculer p2 . 2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 0, 8pn + 0, 05. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 3. (a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n entier naturel non nul, pn > 0, 25. (b) Démontrer que la suite (pn ) est décroissante. (c) En déduire que la suite (pn ) est convergente vers un réel noté ℓ. (d) Justifier que ℓ vérifie l’équation : ℓ = 0, 8ℓ + 0, 05. En déduire la valeur de ℓ. (e) On pose pour tout entier n > 0, un = pn − ℓ. Montrer que cette suite est géométrique. En déduire l’expression de pn . en fonction de n. Ph Depresle Page 8 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles 6 Terminale S Exercices corrigés Exercice 1 0, 6 0, 3 R1 0, 7 R1 D1 0, 7 0, 4 0, 2 R2 0, 8 R2 D2 D1 0, 3 D2 1. P (R1 ) = P (D1 ∩ R1 ) = P (D1 )PD1 (R1 ) = 0, 6 × 0, 3 = 0, 18. 2. P (R2 ) = P (D1 ∩D2 ∩R2 ) = P (D1 )P (D2 ∩R2 ) = P (D1 )P (D2 )PD2 (R2 ) = 0, 4×0, 7×0, 2 = 0, 056. Donc P (R) = P (R1 ∪ R2 ) = P (R1 ) + P (R2 ) = 0, 18 + 0, 056 = 0, 236. P (R1 ∩ R) 0, 18 3. PR (R1 ) = = ≈ 0, 763. P (R) 0, 236 4. La probabilité qu’une personne donnée ne réponde pas au questionnaire est p = 1−P (R) ≈ 0, 764. Les sondages étant indépendants, la probabilité qu’aucune ne réponde au questionnaire est p10 ≈ 0.067. Exercice 2 1. Le premier pourcentage nous donne la probabilité de R : P (R) = 0, 85. Le deuxième nous donne la probabilité de D : P (D) = 0, 20. Le troisième correspond à une probabilité conditionnelle. La probabilité que le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels, sachant qu’il entraîne des frais de réparation matérielle est PR (D) = 0, 12. 2. (a) La probabilité cherchée est la probabilité de l’intersection : R ∩ D Pour la calculer on utilise la définition d’une probabilité conditionnelle : PR (D) = P (R ∩ D) . P (R) Soit P (R ∩ D) = P (R)PR (D) = 0, 85 × 0, 12 = 0, 102. (b) On calcule ici la probabilité de l’événement R − (R ∩ D). Les événements R ∩ D et R − (R ∩ D) étant incompatibles, la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités. Ph Depresle Page 9 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S Or cette réunion est R : P (R) = P (R ∩ D) + P (R − (R ∩ D)). Donc P (R − (R ∩ D)) = P (R) − P (R ∩ D) = 0, 85 − 0, 102 = 0, 748. (c) L’événement contraire de l’événement considéré est : “le dossier entraîne des frais de réparation matérielle ou des frais de dommages corporels” : c’est R ∪ D. P (R ∪ D) = P (R) + P (D) − P (R ∩ D) = 0, 85 + 0, 20 − 0, 102 = 0, 948. La probabilité cherchée est : 1 − P (R ∪ D) = 0, 052. (d) La probabilité cherchée est la probabilité conditionnelle : 0, 102 P (R ∩ D) = = 0, 51 PD (R) = P (D) 0, 2 3. Soit l’événement V : “ Le dossier traité correspond à un excès de vitesse”. On traduit l’énoncé : PD (V ) = 0, 6 et PD (V ) = 0, 5, D étant l’événement contraire de D. Les événements D et D sont incompatibles et leur réunion est l’univers : on peut utiliser la formule des probabilités totales. P (V ) = P (D)PD (V ) + P (D)PD (V ) = 0, 2 × 0, 6 + 0, 8 × 0, 5 = 0, 52. 0.6 D 0.2 0.8 D 0.4 V 0.5 V V 0.5 V 4. Soit l’événement : “au moins un dossier choisi correspond à des excès de vitesse”. L’événement contraire est “aucun des dossiers choisis ne correspond à des excès de vitesse” et sa probabilité est 1 − p(V ) = 1 − 0, 52 = 0, 48 Les choix des dossiers étant indépendants (ceci signifiant que après avoir choisi un dossier on le remet avec les autres) : P (A) = 0, 485 ≈ 0, 025. Donc p(A) ≈ 1 − 0, 025 ≈ 0, 975. Exercice 3 1. L’événement A2 est réalisé si on tire une boule blanche au premier tirage. Comme le premier 17 tirage se fait dans U1 p2 = . 20 2. (An , An ) est un système complet d’événements. On peut utiliser la formule des probabilités totales : P (An+1 ) = P (An )PAn (An+1 ) + P (An )PAn (An+1 ) 17 1 16 1 pn+1 = pn + (1 − pn ) × = pn + . 20 20 20 20 On peut aussi s’aider d’un arbre. 17 20 B pn N 3 b b b 20 1 20 b 1 − pn 19 20 Ph Depresle b B b b N Page 10 sur 11 Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S 1 3. (a) Soit Pn la proposition : “pn > ”. 4 • P1 est vraie, car p1 = 1. • Supposons que pour un entier naturel n > 0, la proposition Pn est vraie. Sous cette hypothèse : 1 1 16 1 1 16 pn + > × + = pn+1 = 20 20 20 4 20 4 Donc la proposition Pn+1 est vraie. • Par récurrence on en déduit que la proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n > 0. 16 1 4 1 4 1 (b) pn+1 − pn = pn + − pn = − pn + = − (pn − ) < 0. 20 20 20 20 20 4 1 (c) La suite (pn ) est décroissante et minorée par Donc elle converge vers un réel ℓ 4 1 supérieur ou égal à . 4 (d) On a : pn+1 = 0, 8pn + 0, 05 Quand n tend vers +∞, (pn+1 ) tend vers ℓ. 1 Donc ℓ = 0, 8ℓ + 0, 05, ce qui équivaut à ℓ = . 4 16 1 16 1 (e) pn+1 = pn + et ℓ = ℓ + . 20 20 20 20 16 On soustrait membre à membre : pn+1 − ℓ = (pn − ℓ). 20 !n−1 4 (p1 − ℓ). La suite (pn − ℓ) est géométrique. Donc pn − ℓ = 5 !n−1 3 4 1 . pn = + 4 5 4 1 On retrouve que la suite (pn ) converge vers . 4 Ph Depresle Page 11 sur 11