probabilités conditionnelles

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Ph DEPRESLE
1er juillet 2015
Table des matières
1 Rappel : Probabilité d’un événement 2
1.1 Ensemble des issues ................................... 2
1.2 Événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Probabilité conditionnelle 3
3 Formule des probabilités totales 4
4 Indépendance 5
4.1 Indépendance de deux événements .......................... 5
4.2 Indépendance et événements contraires ........................ 6
5 Exercices 7
6 Exercices corrigés 9
1

Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S
1 Rappel : Probabilité d’un événement
1.1 Ensemble des issues
On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d’issues.
On désigne par Ωl’ensemble de ces issues : Ω={ω1;ω2;...;ωn}.
On appelle cardinal de Ωle nombre des éléments de Ω. On le note card(Ω).
1.2 Événement
Un événement Aest une partie de l’ensemble Ωdes issues : A⊂Ω.
•L’événement complémentaire de A, ou événement contraire de A, noté Acontient tous les
éléments de Ωqui ne sont pas éléments de A.
•Un événement élémentaire ne contient qu’une issue : par exemple B={ω2}.
•Si Aet Bsont deux événements :
– l’événement A∪Best réalisé si l’un au moins des événements Aou Best réalisé.
– l’événement A∩Best réalisé si Aet Bsont réalisés tous les deux.
–Aet Bsont dits incompatibles si A∩B=∅.
1.3 Probabilité
À chacune de ces issues ωi, on associe un nombre noté P(ωi)avec :
06P(ωi)61et
n
X
i=1
P(ωi) = 1
À chaque événement A={ωi1, ...., ωip}lié à l’expérience est associé alors le nombre P(A)défini
par : P(A) = P(ωi1) + ... +P(ωip)
Propriétés 1.
•06P(A)61et P(Ω) = 1
•P(A) + P(A) = 1
•P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
•Si Aet Bsont incompatibles, alors P(A∪B) = P(A) + P(B).
•Si tous les événements élémentaires {ωi}ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabi-
lité. On a alors
:
P(A) = Nombre des issues favorables à A
Nombre des issues possibles =card(A) card(Ω)
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Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S
2 Probabilité conditionnelle
Définition 1.
Soit Aet Bdeux événements d’un univers Ωmuni d’une loi de probabilité. Si P(B)6= 0, on
appelle probabilité de Asachant Bnotée PB(A), le quotient P(A∩B)
P(B).
PB(A) = P(A∩B)
P(B)
Remarques :
•Dans le cas de l’équiprobabilité on a : PB(A) = card(A∩B)
cardB
•Si P(A)6= 0 et P(B)6= 0 on a alors :
P(A∩B) = P(B)×PB(A) = P(A)×PA(B)
•PB(A) = 1 −PB(A)car PB(A) + PB(A) = P(A∩B) + P(A∩B)
P(B)=P(B) P(B)= 1
•Sur un arbre de probabilités,
on peut envisager deux niveaux de
branches : un qui indique la proba-
bilité de l’événement B, puis un se-
cond qui permet de figurer la proba-
bilité conditionnelle PB(A).B
B
A
A
P(B)
PB(A)P(A∩B)
Sur un autre arbre, on pourrait commencer par Apuis PA(B).
Exemple : On lance 2 dés normaux et on considère les événements suivants :
– A : " La somme des deux dés est égale à 10"
– B : "Le premier dé marque 4"
Calculer la probabilité de B sachant A.
L’univers Ωest l’ensemble de tous les résultats possibles.
Ici cardΩ = 36, il y a équiprobabilité sur Ω.
A∩B={(4; 6)}et A={(4; 6)(5; 5)(6; 4)}
On a : P(A∩B) = 1
36 et P(A) = 3 36 donc PA(B) =
1
36
3
36
=1
3
Remarque : On peut considérer aussi l’expérience sur l’univers A, équiprobable,
alors PA(B) = Nombre des issues favorables
Nombre des issues possibles =1 3
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Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S
3 Formule des probabilités totales
Définition 2. On dit que nparties A1, A2, ..., Ande Ωforment une partition de Ωsi elles sont
2 à 2 disjointes et ont pour réunion Ω.
A1A2An−1AnΩ
Propriétés 2.
Soit A1, A2, ..., Anune partition de Ω, telle que pour tout i∈ {1,...,n}, P (Ai)6= 0.
Alors, pour tout événement B,
P(B) = P(A1).PA1(B) + ···+P(An).PAn(B) =
n
X
i=1
P(Ai).PAi(B)
Cas particulier : (A, A)est une partition de Ω, A 6= Ω, A 6=∅.
Pour un événement B, on a :
B= (B∩A)∪B∩A(réunion disjointe )
donc :
P(B) = P(B∩A) + P(B∩A)
P(B) = P(A).PA(B) + P(A).PA(B)
Ce qui se visualise sur un arbre.
A
A
B
B
B
B
P(A)
P(A)
PA(B)
PA(B)
Ω
A
A
B
A∩BA∩B
Visualisation sur un arbre dans le cas d’une partition à 3 parties A, B, C :
P(A)
P(B)
P(C)
C
B
A
D
D
D
D
D
D
PA(D)
PB(D)
PC(D)
P(A∩D) = P(A).PA(D)
P(B∩D) = P(B).PB(D)
P(C∩D) = P(C).PC(D)
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Chapitre : Probabilités conditionnelles Terminale S
P(D) = P(A∩D) + P(B∩D) + P(C∩D)
P(D) = P(A).PA(D) + P(B).PB(D) + P(C).PC(D)
4 Indépendance
4.1 Indépendance de deux événements
Définition 3. On dit que les deux événements Aet Bsont indépendants pour la probabilité P
lorsque P(A∩B) = P(A)×P(B).
Propriétés 3. Les deux événements Aet Bde probabilités non nulles sont indépendants pour
la probabilité Psi et seulement si , P(A) = PB(A)ou P(B) = PA(B)
Démonstration :
Si le événements Aet Bsont indépendants, alors :
PA(B) = P(A∩B)
P(A)=P(A)×P(B) P(A)car Aet Bsont indépendants.
Donc PA(B) = P(B)
Réciproquement si PA(B) = P(B), alors P(A∩B) = P(A)×PA(B) = P(A)P(B).
Donc les événements Aet Bsont indépendants.
Exemple : On considère une famille ayant nenfants. On suppose que chaque fois qu’un enfant
naît, la probabilité que ce soit une fille est 1
2.
Soit Al’événement "il y a au plus une fille".
Soit Bl’événement "il y a des enfants des deux sexes".
1. Les événements Aet Bsont-ils indépendants pour n= 2 ?
2. Les événements Aet Bsont-ils indépendants pour n= 3 ?
1. Pour n= 2 on a :
G
F
G
F
G
F
L’univers Ω = {F F, F G, GF, GG}. Il
y a équiprobabilité.
P(A) = 3
4c’est l’événement contraire de "il y a deux filles".
P(B) = 2
4=1 2.il y a parmi les 4 cas possibles, 2 cas favorables. B={F G, GF }
P(A∩B) = 1
2car A∩B={F G, GF }
P(A).P (B) = 3
4×1 2=3 8donc P(A∩B)6=P(A).P (B)
donc les événements Aet Bne sont pas indépendants.
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