Cours de mathématiques MPSI

Chapitre 20
La dimension finie
Sommaire
I Espaces de dimension finie ......................................178
1) Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2) Familles libres, familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3) Familles libres et familles liées en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
II Propriétés de la dimension finie ...................................181
1) Bases, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3) Applications linéaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
III Notion de rang ..............................................185
1) Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2) Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
IV Compléments ..............................................188
1) Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2) Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3) Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
I ESPACES DE DIMENSION FINIE
1) Familles génératrices
Soit E un K -e.v, et soit A une famille de vecteurs de E , on dit que la famille A est une famille génératrice
de E lorsque E=Vect[A] . Ce qui signifie que tout vecteur de E est combinaison linéaire d’un nombre
fini de vecteurs de A.
Définition 20.1
ZExemples :
– Soit E=Kn , pour i∈J 1; nK , on pose ei= ( δi,1,...,δi,n ), alors la famille A= ( e1,...,en ) est une famille
génératrice de E, car (x1,...,xn)=
n
P
i=1xiei.
– Soit E =Kn[X], la famille A =(Xi)06i6nest une famille génératrice de E.
– Soit E =K[X], la famille A =(Xi)i∈Nest une famille génératrice de E.
– Soit E=C0 ( R,R ), la famille A= ( fk )
06k6n
où fk : x7→ ekx , n’est pas une famille génératrice de E . Si elle
l’était, il existerait des réels ak tels que sin =
n
P
k=0akfk
, en posant P=
n
P
k=0akXk
, on aurait alors pour tout
réel x : sin ( x ) =P ( ex ), la fonction sin s’annulant une infinité de fois et la fonction exp étant injective, on
voit que P possède une infinité de racines, donc P= 0i.e. tous les réels ak sont nuls et donc la fonction
sin est nulle, ce qui est absurde.
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Espaces de dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie
Soit Aune famille génératrice de E:
– Toute sur-famille de A est génératrice, i.e. si B est une famille de vecteurs de E telle que A⊂B , alors
Best génératrice.
– Si f∈L(E,F), alors B=(f(x))x∈Aest une famille génératrice de Im(f).
– Soit f∈L(E,F), alors fest surjective si et seulement si f(A) est une famille génératrice de F.
Théorème 20.1 (premières propriétés)
Preuve : Le premier point est évident. Si f∈L ( E,F ), soit y∈Im ( f ), alors il existe x∈E tel que f ( x ) =y , mais A est
génératrice de E , donc il existe x1,...,xn∈A et des scalaires α1,...,αn tels que x=
b
P
i=1αixi
, f étant linéaire, on a alors
f(x)=
n
P
i=1αif(xi), ce qui prouve que B est génératrice de Im(f). Le troisième point en découle. 
FExercice 20.1 Les familles suivantes sont-elles génératrices dans K3?
–A={(1,1,1);(−1,0,2);(1,2,3)}.
–A={(1,1,1),(1,2,3)}.
Soit E un K -e.v, on dit que E est de dimension finie lorsque E possède une famille génératrice finie ,
c’est à dire lorsqu’il existe des vecteurs x1,..., xn∈E tels que E=Vect[x1,...,xn] . Si ce n’est pas le cas,
on dit que Eest de dimension infinie.
Définition 20.2 (espace de dimension finie)
ZExemples :
–Knest de dimension finie.
–Kn[X] est de dimension finie.
–K [ X ] est de dimension infinie. En effet : sinon, il existerait une famille de polynômes P1,...,Pn telle que
K [ X ] =Vect[P1,...,Pn] , mais alors tout polynôme aurait un degré inférieur ou égal à max ( deg ( P1 ) ,...,deg ( Pn )),
ce qui est absurde. Nous verrons plus loin que F(R,R) est également de dimension infinie.
Soit Eun K-e.v de dimension finie :
– Si f∈L ( E,F ), alors Im ( f )est de dimension finie. En particulier lorsque f est surjective , F est de
dimension finie.
– Si Fest de dimension finie, alors E×Fest de dimension finie également.
Théorème 20.2
Preuve : Le premier point découle directement du théorème précédent. Si ( x1,...,xn ) est une famille génératrice de E
et si (y1,..., yp) est une famille génératrice de F, alors pour (x,y)∈E×F, on a :
(x,y)=(
n
X
i=1
αixi,
p
X
k=1
βkyk)=X
16i6n
αi(xi,0F)+X
16k6p
βk(0E,yk),
ce qui prouve que la famille ((xi,0F);(0E,yk))16i6n,16k6nest une famille génératrice finie de E ×F. 
2) Familles libres, familles liées
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs d’un K-e.v E, on dit que :
– La famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire de la famille qui donne le vecteur nul est
celle pour laquelle tous les coefficients sont nuls (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement
indépendants), c’est à dire :
P
i∈Iαixi=0E=⇒ ∀ i∈I,αi=0.
– La famille est dite liée lorsqu’elle n’est pas libre (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement
dépendants), ce qui signifie qu’il existe une famille de scalaires à support fini ( αi )
i∈Inon tous nuls
tels que :
P
i∈Iαixi=0E.
Définition 20.3
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Espaces de dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie
La famille (xi)i∈Iest liée si et seulement si un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des
autres.
Théorème 20.3 (caractérisation des familles liées)
Preuve : Supposons xk=P
i∈I\{k}αixi
, on a alors xk−P
i∈I\{k}αixi=
0
E
avec le coefficient de xk qui est non nul, donc la
famille est liée.
Réciproquement : si la famille est liée, il existe une famille à support fini de scalaires ( λi )
i∈I
non tous nuls tels que
P
i∈Iλixi=0E, supposons que λi06= 0, on a alors : xi0=P i∈I\{i0}
−λi
λi0xi.
Remarque 20.1 – Soient x,y∈E , alors la famille ( x,y )est liée si et seulement si les deux vecteurs sont coli-
néaires.
ZExemples :
– E =Kn, la famille A =(e1,...,en) avec ei=(δi,1,...,δi,n) est une famille libre.
– E =Kn[X], la famille A =(Xi)06i6nest une famille libre.
– E =K[X], la famille A =(Xi)i∈Nest une famille libre.
– E =C0([a;b],C), pour k∈J0;nKon pose fk:x7→ ekx, alors la famille A =(fk)k∈Nest libre.
– E =K2, soit i=(1,1), j=(1,2) et k=(4,3), la famille A =(i,j,k) est une famille liée.
– Soit E=C0 ( R,R ) pour k∈J 1; nK on pose fk : x7→ sin ( kx ). Montrer par récurrence sur n que la famille
A=(fk)k>1est libre.
Il est clair que ( f1 ) est libre, supposons que ( f1,..., fn−1 ) soit libre et supposons que
n
P
k=1αkfk=
0, on a donc pour
tout réel x de [ a ; b ] :
n
P
k=0αksin
( kx ) = 0, en dérivant deux fois cette relation, on obtient :
n
P
k=1k2αksin
( kx ) = 0, en
lui retranchant n2 fois la première, on obtient :
n−1
P
k=1
( k2−n2 ) αkfk= 0, de l’hypothèse de récurrence on déduit que
αk=0 pour k∈J1;n−1K, il reste alors αnfn=0 et donc αn=0.
Soit Eun K-e.v
– Si x∈E, alors la famille (x)est libre si et seulement si x6= 0E.
– Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
– Toute partie d’une famille libre est une famille libre.
– Toute famille contenant une famille liée est une famille liée.
– L’image d’une famille liée par une application linéaire est une famille liée.
– Soit f∈L ( E,F ), alors f est injective si et seulement si f transforme toute famille libre de E en une
famille libre de F.
– La famille ( xi )
i∈I
est libre si et seulement si ∀x∈Vect[(xi)i∈I] , x s’écrit de manière unique comme
combinaison linéaire des vecteurs (xi)i∈I.
– Soit (xi)i∈Iune famille libre, alors ∀x∈E,x∈Vect[(xi)i∈I]⇐⇒ {x,(xi)i∈I}est liée.
Théorème 20.4 (propriétés des familles libres et des familles liées)
Preuve : Démontrons les trois derniers points, il suffit de les démontrer pour toute famille finie :
Si f est injective et si ( x1,...,xn ) est libre dans E , supposons que
n
P
k=1αkf
( xk ) = 0
F
, alors
n
P
k=1αkxk∈ker
( f ), donc
n
P
k=1αkxk=0E, mais cette famille étant libre, les coefficients αksont tous nuls.
Si f transforme une famille libre en une famille libre : si x∈ker ( f ) et si x6= 0
E
, alors ( x ) est libre, donc ( f ( x )) est
libre i.e. f (x)6= 0Fce qui est absurde, donc x=0Eet fest injective.
Si ( x1,...,xn ) est libre et si x=
n
P
k=1αkxk=
n
P
k=1βkxk
, alors
n
P
k=1
( αk−βk ) xk= 0
E
et donc, la famille étant libre, αk=βk
pour k∈J1;nK.
Réciproquement, si l’écriture est unique alors n
P
k=1αkxk=0E=⇒ ∀ k∈J1;nK,αk=0, i.e. la famille est libre.
Si x∈Vect[x1,...,xn], alors x=
n
P
k=1αkxkce qui prouve que la famille (x1,..., xn,x) est liée.
Réciproque : si ( x1,...,xn,x ) est liée, alors il existe des scalaires αk pour k∈J 1; n+ 1 K tels que
n
P
k=1αkxk+αn+1x=
0
E
,
si αn+1= 0, alors il reste
n
P
k=1αkxk=
0
E
donc tous les scalaires αk sont nuls, ce qui est contradictoire, d’où αn+16= 0, ce
qui entraîne x= −
n
P
k=1
αk
αn+1xk.
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Propriétés de la dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie
3) Familles libres et familles liées en dimension finie
Si E est de dimension finie et si ( x1,..., xn )est une famille génératrice de E , alors toute famille de
cardinal supérieur ou égal à n+1est une famille liée.
Théorème 20.5 (fondamental de la dimension finie)
Preuve : Par récurrence sur n : pour n= 1 on a E=Vect[x1] soit x,y∈E , x=αx1 et y=βx1 . Si α= 0 alors x= 0
E
et la
famille (x,y) est liée, sinon on a y=β/αxet donc la famille (x,y) est liée.
Supposons le théorème vrai au rang n et soit ( x1,...,xn+1 ) une famille génératrice de E , soit ( y1,..., yn+2 ) une famille
de vecteurs de E , on pose F=Vect[x1,..., xn] . Si tous les vecteurs yi sont dans F alors on peut appliquer l’hypothèse
de récurrence et la famille ( y1,..., yn+2 ) est liée, dans le cas contraire, supposons yn+2∉F , pour tout j∈J 1; n+ 2 K il
existe un scalaire λj et un vecteur uj de F tels que yj=uj+λjxn+1 , on a donc λn+26= 0, on en déduit xn+1 en fonction
de un+2 et yn+2 , d’où pour j∈J 1; n+ 1 K : yj=uj−λj
λn+2un+2+λj λn+2yn+2
, mais la famille ( uj−λj
λn+2un+2
)
j∈J1;n+1K
est liée
dans F (hypothèse de récurrence), donc la famille ( yj−λj
λn+2yn+2
)
j∈J1;n+1K
est liée dans E , ce qui entraîne que la famille
(y1,..., yn+2) est liée dans E. 
ZExemples :
– E =Kn , pour i∈J 1; nK , on pose ei= ( δi,1,...,δi,n ), on a vu en exemple que la famille A= ( e1,...,en ) est
génératrice, donc dans Kn, toute famille de n+1 vecteurs (ou plus) est liée.
– E =Kn [ X ], on sait que la famille A= ( X0,...,Xn ) est génératrice, donc dans Kn [ X ] toute famille de n+ 2
vecteurs (ou plus) est liée.
– E =F ( R,C ) est de dimension infinie, sinon il existe une famille génératrice finie A= ( f1,..., fn ), mais
alors toute famille de n+ 1 vecteurs est liée, or la famille ( g0,..., gn ) où gk : x7→ ekx , est une famille
libre, on a donc une contradiction, ce qui prouve que E est de dimension infinie.
Si E est de dimension finie et si ( x1,..., xn )est une famille libre, alors toute famille génératrice de E
contient au moins nvecteurs.
Théorème 20.6
Preuve : Soit ( y1,..., ym ) une famille génératrice de E , si n>m , alors d’après le théorème fondamental, la famille
(x1,...,xn) est liée, ce qui est contradictoire, donc m>n.
II PROPRIÉTÉS DE LA DIMENSION FINIE
1) Bases, coordonnées
Soit E un K -e.v et soit B= ( e1,...,en )une famille de vecteurs de E , on dit que B est une base de
E lorsque B est à la fois libre et génératrice de E . Si c’est le cas, alors ∀x∈E,∃ !( λ1,...,λn ) ∈Kn ,
tel que x=
n
P
k=1λkxk
. Par définition ( λ1,...,λn )sont les coordonnées de x dans la base B , et on
pose CoordB ( x ) = ( λ1,...,λn ) ∈Kn (on fera attention à l’ordre sur les vecteurs de la base B , λi est la
coordonnée de xsur le vecteur ei).
Définition 20.4
ZExemples :
– E =Kn , la famille B= ( e1,...,en ) où ei= ( δi,1,...,δi,n ) pour i∈J 1; nK , est une famille libre et génératrice
de Kn , c’est donc une base, on l’appelle base canonique de Kn . Si u= ( λ1,...,λn ) ∈Kn , alors on sait que
u=
n
P
k=1λkek
, donc CoordB ( u ) = ( λ1,...,λn ), c’est à dire : dans la base canonique de Kn les coordonnées
d’un vecteur usont les composantes de u.
– E =Kn [ X ], on sait que la famille B= ( X0,...,Xn ) est libre et génératrice de Kn [ X ], c’est donc une base de
Kn [ X ], on l’appelle base canonique de Kn [ X ]. Si P=
n
P
k=0λkXk∈Kn
[ X ], alors CoordB ( P ) = ( λ0,...,λn ),
c’est à dire : dans la base canonique de Kn [ X ], les coordonnées d’un polynôme P sont les coefficients
de P.
– Dans Kn [ X ], soit a∈K , d’après la formule de Taylor en a , la famille B= (( X−a )
k
)
k∈J0;nK
est une famille
libre et génératrice de Kn [ X ], c’est donc une base. Pour P∈Kn [ X ], on sait que P=
n
P
k=0
P(k)(a)
k!
( X−a )
k
,
donc CoordB(P) =(P(a),P0(a),..., P(n)(a)
n!).
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Propriétés de la dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie
FExercice 20.2 E=K2 , on pose i= (1 , 1) et j= (1 , 2), montrer que B= ( i,j )est une base de E , et pour u= ( x,y ) ∈E , calculer
CoordB(u).
Tout K -e.v non réduit au vecteur nul et de dimension finie, possède des bases. Plus précisément,
toute famille génératrice contient une base.
Théorème 20.7 (existence de bases)
Preuve : Soit ( x1,...,xn ) une famille génératrice de E , si tous ces vecteurs sont nuls, alors E={ 0
E}
ce qui est exclu, donc
au moins un des vecteurs de la famille est non nul, on peut donc considérer les sous-familles de ( x1,...,xn ) qui sont
libres et en prendre une de cardinal maximal : ( xi1,...,xir ). Posons yj=xij pour j∈J 1; rK , lorsque k∉{i1,...,ir} on a
( y1,..., yr,xk ) est liée (maximalité de r ), donc xk∈Vect£y1,..., yr¤ , mais alors Vect[x1,..., xn]⊂Vect£y1,..., yr¤ , ce qui
entraîne que (y1,..., yr) est une famille génératrice de E, comme elle est libre, c’est une base de E. 
Si E est un K -e.v de dimension finie, alors toutes les bases de E ont le même cardinal. Ce cardinal est
appelé dimension de Eet noté dim(E) ou dimK(E). Par convention {0E}est de dimension 0.
Théorème 20.8 (propriété fondamentale des bases en dimension finie)
Preuve : Soit B= ( e1,...,en ) une base de E , cette famille est libre, donc toute famille génératrice possède au minimum
n vecteurs, mais cette famille est également génératrice, donc toute famille libre contient au maximum n vecteurs,
finalement, toute base de E, étant à la fois libre et génératrice, contient exactement nvecteurs. 
ZExemples :
– La base canonique de Kncontient nvecteurs, donc dimK(Kn)=n.
– La base canonique de Kn[X] contient n+1 vecteurs, donc dimK(Kn[X]) =n+1.
–C=R2donc dimR(C)=2, mais dimC(C)=1.
– Une droite vectorielle est un espace de dimension 1 et un plan vectoriel est un espace de dimension 2.
Si E est de dimension n> 1et si B est une famille de vecteurs de E alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
a) Best une base de E.
b) Best libre de cardinal n(on dit aussi libre maximale).
c) Best génératrice de cardinal n(on dit aussi génératrice minimale).
Théorème 20.9 (application)
Preuve : On a évidemment a)=⇒ b) et a)=⇒ c).
Montrons b ) =⇒ c ) : si B est libre de cardinal n : B= ( y1,..., yn ), alors pour tout x∈E , la famille ( y1,..., yn,x ) est
liée (car de cardinal n+ 1 et E possède une base de cardinal n ), ce qui entraîne que x∈Vect£y1,..., yn¤ , ce qui prouve
que B est génératrice.
Montrons c ) =⇒ a ) : si B est génératrice de cardinal n , on peut extraire de B une famille libre de cardinal maximal,
cette famille sera alors une base de E , elle est donc de cardinal n , mais B est de cardinal n , donc cette famille extraite ne
peut être que B elle-même, c’est à dire B est une base de E. 
FExercice 20.3 Montrer que dans Kn[X], la famille B=(Xk(1 −X)n−k)k∈J0;nKest une base.
On remarquera au passage la puissance du théorème précédent, car le fait que cette famille B soit
génératrice n’est pas du tout évident à démontrer « à la main ».
Soit B=(e1,...,en)une base de E, l’application :
CoordB: E →Kn
x7→ CoordB(x)
est un isomorphisme entre Eet Kn.
Théorème 20.10
Preuve : En exercice. 
Remarque 20.2 – Ce théorème permet de calculer facilement les coordonnées d’une combinaison linéaire de
vecteurs connaissant les coordonnées de chacun d’eux.
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